Tento článok sa zaoberá operáciami so zlomkami. Vytvoria sa a zarovnajú sa pravidlá pre sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie alebo umocňovanie zlomkov tvaru A B, kde A a B môžu byť čísla, číselné výrazy alebo výrazy s premennými. Na záver sa zvážia príklady riešení s podrobným popisom.

Pravidlá pre vykonávanie operácií s číselnými zlomkami všeobecného tvaru

Číselné zlomky všeobecného tvaru majú čitateľa a menovateľa, v ktorých sú prirodzené čísla alebo číselné výrazy. Ak vezmeme do úvahy také zlomky ako 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 l numer , 2 l numer , 5 , nie je jasný len nutor 3, 5 čísla, ale aj vyjadrenia iného plánu.

Definícia 1

Existujú pravidlá, podľa ktorých sa akcie vykonávajú s obyčajnými zlomkami. Je vhodný aj pre zlomky všeobecného tvaru:

• Pri odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi sa pridávajú iba čitatelia a menovateľ zostáva rovnaký, konkrétne: a d ± c d \u003d a ± c d, hodnoty a, c a d ≠ 0 sú nejaké čísla alebo číselné výrazy.
• Pri pridávaní alebo odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi je potrebné znížiť na spoločný a potom pridať alebo odčítať výsledné zlomky s rovnakými ukazovateľmi. Doslova to vyzerá takto a b ± c d = a p ± c r s, kde hodnoty a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 sú reálne čísla a b p = d r = s. Keď p = d a r = b, potom a b ± c d = a d ± c d b d.
• Pri násobení zlomkov sa vykoná akcia s čitateľmi, po ktorej s menovateľmi dostaneme a b c d \u003d a c b d, kde a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 pôsobia ako reálne čísla.
• Pri delení zlomku zlomkom vynásobíme prvý druhým prevráteným, to znamená, že vymeníme čitateľa a menovateľa: a b: c d \u003d a b d c.

Zdôvodnenie pravidiel

Definícia 2

Existujú nasledujúce matematické body, na ktoré by ste sa mali pri výpočte spoliehať:

• zlomková čiara znamená deliaci znak;
• delenie číslom sa považuje za násobenie jeho recipročným;
• aplikácia vlastnosti akcií s reálnymi číslami;
• aplikácia základnej vlastnosti zlomku a číselných nerovností.

S ich pomocou môžete vykonávať transformácie formulára:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Príklady

V predchádzajúcom odseku bolo povedané o akciách so zlomkami. Potom je potrebné zlomok zjednodušiť. Táto téma bola podrobne diskutovaná v časti o prevode zlomkov.

Najprv zvážte príklad sčítania a odčítania zlomkov s rovnakým menovateľom.

Príklad 1

Dané zlomky 8 2 , 7 a 1 2 , 7 , potom podľa pravidla treba doplniť čitateľa a prepísať menovateľa.

Riešenie

Potom dostaneme zlomok tvaru 8 + 1 2 , 7 . Po vykonaní sčítania dostaneme zlomok tvaru 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Takže 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

odpoveď: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Existuje aj iný spôsob riešenia. Na začiatok sa vykoná prechod do formy obyčajného zlomku, po ktorom vykonáme zjednodušenie. Vyzerá to takto:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Príklad 2

Odčítajme od 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 zlomky tvaru 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Keďže sú dané rovnaké menovatele, znamená to, že počítame zlomok s rovnakým menovateľom. Chápeme to

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Existujú príklady výpočtu zlomkov s rôznymi menovateľmi. Dôležitým bodom je redukcia na spoločného menovateľa. Bez toho nebudeme môcť vykonávať ďalšie akcie so zlomkami.

Proces vzdialene pripomína redukciu na spoločného menovateľa. To znamená, že sa hľadá najmenší spoločný deliteľ v menovateli a potom sa chýbajúce faktory pridajú k zlomkom.

Ak pridané frakcie nemajú žiadne spoločné faktory, ich produkt sa môže stať jedným.

Príklad 3

Zoberme si príklad sčítania zlomkov 2 3 5 + 1 a 1 2 .

Riešenie

V tomto prípade je spoločný menovateľ súčinom menovateľov. Potom dostaneme, že 2 · 3 5 + 1 . Potom pri nastavovaní ďalších faktorov máme, že k prvému zlomku sa rovná 2 a k druhému 3 5 + 1. Po vynásobení sa zlomky zredukujú na tvar 4 2 3 5 + 1. Všeobecné obsadenie 1 2 bude 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Pridáme výsledné zlomkové výrazy a dostaneme to

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 · 2

odpoveď: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Keď máme čo do činenia so zlomkami všeobecného tvaru, potom ten najmenší spoločný menovateľ zvyčajne neplatí. Je nerentabilné brať ako menovateľ súčin čitateľov. Najprv musíte skontrolovať, či existuje číslo, ktoré má nižšiu hodnotu ako ich produkt.

Príklad 4

Uvažujme o príklade 1 6 2 1 5 a 1 4 2 3 5, keď sa ich súčin rovná 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Potom vezmeme 12 · 2 3 5 ako spoločného menovateľa.

Zvážte príklady násobenia zlomkov všeobecného tvaru.

Príklad 5

Na tento účel je potrebné vynásobiť 2 + 1 6 a 2 · 5 3 · 2 + 1.

Riešenie

Podľa pravidla je potrebné prepísať a zapísať ako menovateľ súčin čitateľov. Dostaneme, že 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Keď sa zlomok vynásobí, možno ho znížiť, aby sa zjednodušil. Potom 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Pomocou pravidla prechodu od delenia k násobeniu prevrátenou dostaneme prevrátenú hodnotu daného. Na tento účel sa čitateľ a menovateľ obrátia. Pozrime sa na príklad:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Potom musia vykonať násobenie a zjednodušiť výsledný zlomok. V prípade potreby sa zbavte iracionality v menovateli. Chápeme to

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 3 = 3 2 - 1 2 2 - 2 - 3

odpoveď: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Tento odsek je použiteľný, keď číslo alebo číselný výraz možno reprezentovať ako zlomok s menovateľom rovným 1, potom sa operácia s takýmto zlomkom považuje za samostatný odsek. Napríklad výraz 1 6 7 4 - 1 3 ukazuje, že koreň 3 možno nahradiť iným výrazom 3 1. Potom bude tento záznam vyzerať ako násobenie dvoch zlomkov tvaru 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Vykonanie akcie so zlomkami obsahujúcimi premenné

Pravidlá opísané v prvom článku sú použiteľné pre operácie so zlomkami obsahujúcimi premenné. Zvážte pravidlo odčítania, keď sú menovatelia rovnaké.

Je potrebné dokázať, že A , C a D (D sa nerovná nule) môžu byť ľubovoľné výrazy a rovnosť A D ± C D = A ± C D je ekvivalentná rozsahu platných hodnôt.

Je potrebné vziať množinu premenných ODZ. Potom A, C, D musia nadobudnúť zodpovedajúce hodnoty a 0, c 0 a d0. Substitúciou tvaru A D ± CD D vznikne rozdiel tvaru a 0 d 0 ± c 0 d 0 , kde podľa pravidla sčítania dostaneme vzorec tvaru a 0 ± c 0 d 0 . Ak dosadíme výraz A ± CD D , dostaneme rovnaký zlomok tvaru a 0 ± c 0 d 0 . Z toho usudzujeme, že zvolená hodnota, ktorá spĺňa ODZ, A ± CD a AD ± CD sa považujú za rovnaké.

Pre akúkoľvek hodnotu premenných sa tieto výrazy budú rovnať, to znamená, že sa nazývajú identicky rovnaké. To znamená, že tento výraz sa považuje za dokázateľnú rovnosť tvaru A D ± C D = A ± CD D .

Príklady sčítania a odčítania zlomkov s premennými

V prípade rovnakých menovateľov je potrebné iba pripočítať alebo odčítať čitateľa. Tento zlomok sa dá zjednodušiť. Niekedy musíte pracovať so zlomkami, ktoré sú identicky rovnaké, ale na prvý pohľad to nie je viditeľné, pretože je potrebné vykonať určité transformácie. Napríklad x 2 3 x 1 3 + 1 a x 1 3 + 1 2 alebo 1 2 sin 2 α a sin a cos a. Najčastejšie sa vyžaduje zjednodušenie pôvodného výrazu, aby sa zobrazili rovnaké menovatele.

Príklad 6

Vypočítajte: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2), x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Riešenie

1. Ak chcete vykonať výpočet, musíte odpočítať zlomky, ktoré majú rovnaký menovateľ. Potom dostaneme, že x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Potom môžete otvoriť zátvorky s redukciou podobných výrazov. Dostaneme, že x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Keďže menovatelia sú rovnakí, zostáva len pridať čitateľov a ponechať menovateľa:
   Doplnenie bolo dokončené. Je vidieť, že zlomok sa môže znížiť. Jeho čitateľ sa dá zložiť pomocou štvorcového vzorca, potom dostaneme (l g x + 2) 2 zo skrátených vzorcov násobenia. Potom to dostaneme
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Dané zlomky tvaru x - 1 x - 1 + x x + 1 s rôznymi menovateľmi. Po transformácii môžete pristúpiť k pridávaniu.

Uvažujme o obojsmernom riešení.

Prvý spôsob spočíva v tom, že menovateľ prvého zlomku sa podrobí rozkladu pomocou druhých mocnín as jeho následnou redukciou. Dostaneme zlomok formy

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Takže x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

V tomto prípade je potrebné zbaviť sa iracionality v menovateli.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Druhým spôsobom je vynásobenie čitateľa a menovateľa druhého zlomku x-1. Tým sa zbavíme iracionality a pristúpime k sčítaniu zlomku s rovnakým menovateľom. Potom

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

odpoveď: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x 1 + x + 1 = x - 1 + x x x x x x - 1.

V poslednom príklade sme zistili, že redukcia na spoločného menovateľa je nevyhnutná. Aby ste to dosiahli, musíte zjednodušiť zlomky. Na sčítanie alebo odčítanie je vždy potrebné hľadať spoločného menovateľa, ktorý vyzerá ako súčin menovateľov s pridaním ďalších faktorov k čitateľom.

Príklad 7

Vypočítajte hodnoty zlomkov: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - 2 x + 1 cos

Riešenie

1. Menovateľ nevyžaduje žiadne zložité výpočty, takže si musíte vybrať ich súčin v tvare 3 x 7 + 2 2, potom sa k prvému zlomku vyberie x 7 + 2 2 ako dodatočný faktor a 3 k druhému. Pri násobení dostaneme zlomok tvaru x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 3 7 x 2 x 2 x
2. Je vidieť, že menovatele sú prezentované ako súčin, čo znamená, že ďalšie transformácie nie sú potrebné. Spoločným menovateľom bude súčin tvaru x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Odtiaľ x 4 je dodatočný faktor k prvému zlomku a ln (x + 1) do druhého. Potom odčítame a dostaneme:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - hriech x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - hriech x ln x + 1 x 5 ln 2 x 1 x 5 ln 2 (x - 4) = 1 x - 4 = v + 1 x - 4 = s x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - hriech x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4)
3. Tento príklad dáva zmysel pri práci s menovateľmi zlomkov. Je potrebné aplikovať vzorce rozdielu druhých mocnín a druhej mocniny súčtu, pretože umožnia prejsť na výraz v tvare 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2 . Je vidieť, že zlomky sú zredukované na spoločného menovateľa. Dostaneme, že cos x - x cos x + x 2 .

Potom to dostaneme

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x cos x cos x - x cos x +

odpoveď:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - hriech x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = 1 x n 5 + + 1) (2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Príklady násobenia zlomkov s premennými

Pri násobení zlomkov sa čitateľ násobí čitateľom a menovateľ menovateľom. Potom môžete použiť vlastnosť zmenšenia.

Príklad 8

Vynásobte zlomky x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 a 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Riešenie

Musíte urobiť násobenie. Chápeme to

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 hriech (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 hriech (2 x - x)

Číslo 3 sa pre uľahčenie výpočtov prenesie na prvé miesto a zlomok môžete znížiť o x 2, potom dostaneme výraz tvaru

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 hriech (2 x - x)

odpoveď: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 hriech (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 x + 1 hriech (2 x - x) .

divízie

Delenie zlomkov je podobné ako násobenie, keďže prvý zlomok sa násobí druhým prevráteným. Ak vezmeme napríklad zlomok x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 a vydelíme 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, potom to možno zapísať ako

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 hriech (2 x - x), potom nahraďte súčinom v tvare x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x hriech (2 x - 2 x sin)

Umocňovanie

Prejdime k uvažovaniu o akcii so zlomkami všeobecného tvaru s umocnením. Ak existuje stupeň s prirodzeným exponentom, potom sa akcia považuje za násobenie rovnakých zlomkov. Odporúča sa však použiť všeobecný prístup založený na vlastnostiach právomocí. Akékoľvek výrazy A a C, kde C nie je zhodne rovné nule a akékoľvek reálne r na ODZ pre výraz tvaru A C r, platí rovnosť A C r = A r C r. Výsledkom je zlomok umocnený na mocninu. Zvážte napríklad:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Poradie operácií so zlomkami

Akcie na zlomkoch sa vykonávajú podľa určitých pravidiel. V praxi si všimneme, že výraz môže obsahovať niekoľko zlomkov alebo zlomkových výrazov. Potom je potrebné vykonať všetky akcie v prísnom poradí: zvýšiť na moc, vynásobiť, rozdeliť, potom pridať a odčítať. Ak existujú zátvorky, prvá akcia sa vykoná v nich.

Príklad 9

Vypočítajte 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Riešenie

Keďže máme rovnakého menovateľa, potom 1 - x cos x a 1 c o s x , ale nie je možné odčítať podľa pravidla, najskôr sa vykonajú akcie v zátvorkách, potom násobenie a potom sčítanie. Potom pri výpočte dostaneme to

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Pri dosadení výrazu do pôvodného dostaneme, že 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Pri násobení zlomkov máme: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Po vykonaní všetkých substitúcií dostaneme 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Teraz musíte pracovať so zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov. Dostaneme:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

odpoveď: 1 - x cos x - 1 cos x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Inštrukcia

Najprv si pamätajte, že zlomok je len podmienený zápis na delenie jedného čísla druhým. Okrem toho a násobenia, delenie dvoch celých čísel nie vždy vedie k celému číslu. Zavolajte teda tieto dve „deliteľné“ čísla. Číslo, ktoré sa delí, je čitateľ a číslo, ktoré sa delí, je menovateľ.

Ak chcete napísať zlomok, najprv napíšte jeho čitateľa, potom pod toto číslo nakreslite vodorovnú čiaru a pod čiaru napíšte menovateľa. Vodorovná čiara oddeľujúca čitateľa a menovateľa sa nazýva zlomková čiara. Niekedy sa zobrazuje ako lomka "/" alebo "∕". V tomto prípade sa čitateľ píše naľavo od riadku a menovateľ napravo. Takže napríklad zlomok „dve tretiny“ sa zapíše ako 2/3. Kvôli prehľadnosti sa čitateľ zvyčajne píše v hornej časti riadku a menovateľ v dolnej časti, teda namiesto 2/3, nájdete: ⅔.

Ak je čitateľ zlomku väčší ako jeho menovateľ, potom sa takýto „nevlastný“ zlomok zvyčajne zapíše ako „zmiešaný“. Ak chcete získať zmiešaný zlomok z nesprávneho zlomku, jednoducho vydeľte čitateľa menovateľom a zapíšte výsledný podiel. Potom vložte zvyšok delenia do čitateľa zlomku a zapíšte tento zlomok napravo od podielu (menovateľa sa nedotýkajte). Napríklad 7/3 = 2⅓.

Ak chcete pridať dva zlomky s rovnakým menovateľom, jednoducho pridajte ich čitateľov (menovateľov ponechajte). Napríklad 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Podobne odčítajte dva zlomky (čitatelia sa odčítajú). Napríklad 6/7 – 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

Ak chcete pridať dva zlomky s rôznymi menovateľmi, vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého a čitateľa a menovateľa druhého zlomku vynásobte menovateľom prvého zlomku. V dôsledku toho dostanete súčet dvoch zlomkov s rovnakými menovateľmi, ktorých sčítanie je popísané v predchádzajúcom odseku.

Napríklad 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 1 5/12.

Ak majú menovatelia zlomkov spoločných deliteľov, to znamená, že sú deliteľní rovnakým číslom, zvoľte ako spoločného menovateľa najmenšie číslo deliteľné prvým a druhým menovateľom súčasne. Ak je teda napríklad prvý menovateľ 6 a druhý 8, potom berte za spoločného menovateľa nie ich súčin (48), ale číslo 24, ktoré je deliteľné 6 aj 8. Čitatelia zlomkov sa násobia podielom delenia spoločného menovateľa menovateľom každého zlomku. Napríklad pre menovateľ 6 bude toto číslo 4 - (24/6) a pre menovateľ 8 - 3 (24/8). Tento proces je jasnejšie vidieť na konkrétnom príklade:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi sa robí presne rovnakým spôsobom.

Ďalšia akcia, ktorú možno vykonať s obyčajnými zlomkami, je odčítanie. V rámci tohto materiálu zvážime, ako správne vypočítať rozdiel medzi zlomkami s rovnakými a rôznymi menovateľmi, ako odpočítať zlomok od prirodzeného čísla a naopak. Všetky príklady budú ilustrované úlohami. Vopred si ujasnime, že rozoberieme len prípady, keď rozdiel zlomkov vedie k kladnému číslu.

Ako nájsť rozdiel medzi zlomkami s rovnakým menovateľom

Začnime hneď názorným príkladom: povedzme, že máme jablko rozdelené na osem častí. Na plechu necháme päť častí a dve z nich odoberieme. Táto akcia môže byť napísaná takto:

Nakoniec máme 3 osminy, pretože 5 − 2 = 3 . Ukazuje sa, že 5 8 - 2 8 = 3 8 .

Na tomto jednoduchom príklade sme presne videli, ako funguje pravidlo odčítania pre zlomky s rovnakými menovateľmi. Poďme to sformulovať.

Definícia 1

Ak chcete nájsť rozdiel medzi zlomkami s rovnakými menovateľmi, musíte odpočítať čitateľa jedného od čitateľa druhého a ponechať menovateľa rovnakého. Toto pravidlo možno zapísať ako a b - c b = a - c b .

Tento vzorec použijeme v nasledujúcom.

Uveďme si konkrétne príklady.

Príklad 1

Od zlomku 24 15 odčítajte bežný zlomok 17 15 .

Riešenie

Vidíme, že tieto zlomky majú rovnakých menovateľov. Takže všetko, čo musíme urobiť, je odpočítať 17 od 24. Dostaneme 7 a pridáme k nemu menovateľa, dostaneme 7 15 .

Naše výpočty môžu byť napísané takto: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15

Ak je to potrebné, môžete zmenšiť zložitý zlomok alebo oddeliť celú časť od nesprávnej, aby bolo počítanie pohodlnejšie.

Príklad 2

Nájdite rozdiel 37 12 - 15 12 .

Riešenie

Použime vzorec opísaný vyššie a vypočítajme: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Je ľahké vidieť, že čitateľa a menovateľa možno deliť 2 (už sme o tom hovorili skôr, keď sme analyzovali znaky deliteľnosti). Zmenšením odpovede dostaneme 11 6 . Toto je nesprávny zlomok, z ktorého vyberieme celú časť: 11 6 \u003d 1 5 6.

Ako nájsť rozdiel medzi zlomkami s rôznymi menovateľmi

Takáto matematická operácia sa dá zredukovať na to, čo sme už opísali vyššie. Ak to chcete urobiť, jednoducho priveďte požadované zlomky do rovnakého menovateľa. Sformulujme definíciu:

Definícia 2

Ak chcete nájsť rozdiel medzi zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov, musíte ich priviesť k rovnakému menovateľovi a nájsť rozdiel medzi čitateľmi.

Pozrime sa na príklad, ako sa to robí.

Príklad 3

Odčítajte 1 15 od 2 9 .

Riešenie

Menovatelia sú rôzne a musíte ich znížiť na najmenšiu spoločnú hodnotu. V tomto prípade je LCM 45. Pre prvú frakciu je potrebný ďalší faktor 5 a pre druhú - 3.

Vypočítajme: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Získali sme dva zlomky s rovnakým menovateľom a teraz môžeme ľahko nájsť ich rozdiel pomocou algoritmu opísaného vyššie: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Stručný záznam riešenia vyzerá takto: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.

Nezanedbajte zníženie výsledku alebo výber celej časti z neho, ak je to potrebné. V tomto príklade to nemusíme robiť.

Príklad 4

Nájdite rozdiel 19 9 - 7 36 .

Riešenie

Zlomky uvedené v podmienke privedieme k najnižšiemu spoločnému menovateľovi 36 a získame 76 9 a 7 36.

Zvažujeme odpoveď: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36

Výsledok je možné znížiť o 3 a získať tak 23 12 . Čitateľ je väčší ako menovateľ, čo znamená, že môžeme extrahovať celú časť. Konečná odpoveď je 1 11 12 .

Súhrn celého riešenia je 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .

Ako odčítať prirodzené číslo od bežného zlomku

Takáto akcia sa dá tiež ľahko zredukovať na jednoduché odčítanie obyčajných zlomkov. Dá sa to dosiahnuť reprezentáciou prirodzeného čísla ako zlomku. Ukážme si príklad.

Príklad 5

Nájdite rozdiel 83 21 – 3 .

Riešenie

3 je to isté ako 31. Potom môžete vypočítať takto: 83 21 - 3 \u003d 20 21.

Ak je v podmienke potrebné odčítať celé číslo od nesprávneho zlomku, je vhodnejšie z neho najprv celé číslo extrahovať a zapísať ho ako zmiešané číslo. Potom sa predchádzajúci príklad dá vyriešiť inak.

Zo zlomku 83 21, keď vyberiete celú časť, dostanete 83 21 \u003d 3 20 21.

Teraz od neho odčítajte 3: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

Ako odčítať zlomok od prirodzeného čísla

Táto akcia sa robí podobne ako predchádzajúca: prirodzené číslo prepíšeme na zlomok, obe privedieme k spoločnému menovateľovi a nájdeme rozdiel. Ilustrujme si to na príklade.

Príklad 6

Nájdite rozdiel: 7 - 5 3 .

Riešenie

Urobme zo 7 zlomok 7 1 . Urobíme odčítanie a transformujeme konečný výsledok, pričom z neho vyberieme celú časť: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Existuje aj iný spôsob výpočtu. Má niektoré výhody, ktoré možno použiť v prípadoch, keď sú čitateľmi a menovateľmi zlomkov v úlohe veľké čísla.

Definícia 3

Ak je zlomok, ktorý sa má odčítať, správny, potom prirodzené číslo, od ktorého odpočítavame, musí byť vyjadrené ako súčet dvoch čísel, z ktorých jedno sa rovná 1. Potom musíte odpočítať požadovaný zlomok od jednoty a získať odpoveď.

Príklad 7

Vypočítajte rozdiel 1 065 - 13 62 .

Riešenie

Zlomok, ktorý sa má odpočítať, je správny, pretože jeho čitateľ je menší ako menovateľ. Preto musíme odpočítať jeden od 1065 a odpočítať od neho požadovaný zlomok: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62

Teraz musíme nájsť odpoveď. Pomocou vlastností odčítania možno výsledný výraz zapísať ako 1064 + 1 - 13 62 . Vypočítajme rozdiel v zátvorkách. Za týmto účelom reprezentujeme jednotku ako zlomok 1 1 .

Ukazuje sa, že 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.

Teraz si spomeňme na 1064 a sformulujme odpoveď: 1064 49 62 .

Používame starý spôsob, ako dokázať, že je to menej pohodlné. Tu sú výpočty, ktoré by sme dostali:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064

Odpoveď je rovnaká, ale výpočty sú zjavne ťažkopádnejšie.

Zvažovali sme prípad, keď potrebujete odčítať správny zlomok. Ak je nesprávne, nahradíme ho zmiešaným číslom a odčítame podľa známych pravidiel.

Príklad 8

Vypočítajte rozdiel 644 - 73 5 .

Riešenie

Druhá frakcia je nesprávna a musí sa od nej oddeliť celá časť.

Teraz vypočítame podobne ako v predchádzajúcom príklade: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Vlastnosti odčítania pri práci so zlomkami

Vlastnosti, ktoré má odčítanie prirodzených čísel, platia aj pre prípady odčítania obyčajných zlomkov. Pozrime sa, ako ich použiť pri riešení príkladov.

Príklad 9

Nájdite rozdiel 24 4 - 3 2 - 5 6 .

Riešenie

Podobné príklady sme už riešili, keď sme analyzovali odčítanie súčtu od čísla, takže postupujeme podľa už známeho algoritmu. Najprv vypočítame rozdiel 25 4 - 3 2 a potom od neho odčítame posledný zlomok:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Transformujme odpoveď extrahovaním celej časti z nej. Výsledok je 3 11 12.

Stručné zhrnutie celého riešenia:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Ak výraz obsahuje zlomky aj prirodzené čísla, odporúča sa ich pri výpočte zoskupiť podľa typov.

Príklad 10

Nájdite rozdiel 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

Riešenie

Keď poznáme základné vlastnosti odčítania a sčítania, môžeme čísla zoskupiť takto: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Dokončite výpočty: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

V 5. ročníku strednej školy sa zavádza znázornenie zlomku. Zlomok je číslo pozostávajúce z celého počtu zlomkov jednotiek. Obyčajné zlomky sa zapisujú ako ±m/n, číslo m sa nazýva čitateľ zlomku, číslo n je jeho menovateľ. Ak je modul menovateľa väčší ako modul čitateľa, povedzme 3/4, potom sa zlomok nazýva správny, inak je nesprávny. Zlomok môže obsahovať časť celého čísla, napríklad 5 * (2/3). Pre zlomky sú povolené rôzne aritmetické operácie.

Inštrukcia

1. Redukcia na spoločného menovateľa. Nech sú uvedené zlomky a / b a c / d. - Najprv sa zistí počet LCM (najmenší spoločný násobok) pre menovateľov zlomkov - Čitateľ a menovateľ prvého zlomku sa vynásobia LCM / b - Čitateľ a menovateľ 2. zlomku sa porovnajú V príklade sa musí zmenšiť zlomok, aby sa zlomok zmenšil / násobí sa zlomok v LCM. na spoločného menovateľa a potom porovnajte čitateľov. Povedzme 3/4< 4/5, см. рисунок.

2. Sčítanie a odčítanie zlomkov Ak chcete nájsť súčet 2 obyčajných zlomkov, musíte ich zredukovať na spoločného menovateľa, potom sčítať čitateľov, pričom menovateľ zostane nezmenený. Príklad sčítania zlomkov 1/2 a 1/3 je na obrázku Rozdiel medzi zlomkami sa zistí podobným spôsobom, po nájdení spoločného menovateľa sa odčítajú čitatelia zlomkov, pozri príklad na obrázku.

3. Násobenie a delenie zlomkov.Pri násobení obyčajných zlomkov sa násobia čitateľa a menovateľa medzi sebou.Aby ste mohli deliť dva zlomky, potrebujete dostať prevrátenú hodnotu 2. zlomku, t.j. miestami zameňte jeho čitateľa a menovateľa a potom vynásobte výsledné zlomky.

modul predstavuje bezpodmienečnú hodnotu výrazu. Zátvorky sa používajú na označenie modulu. Hodnoty väzňov sa v nich berú modulo. Riešením modulu je rozšírenie zátvoriek modulu podľa určitých pravidiel a nájdenie množiny hodnôt výrazu. Vo väčšine prípadov je modul rozšírený takým spôsobom, že výraz submodulu dostane množstvo kladných a záporných hodnôt vrátane nuly. Na základe týchto vlastností modulu sa zostavujú a riešia ďalšie rovnice a nerovnice počiatočného výrazu.

Inštrukcia

1. Napíšte počiatočnú rovnicu s modulom. Ak to chcete vyriešiť, rozbaľte modul. Zvážte akýkoľvek výraz podmodulu. Určte, pri akej hodnote neznámych hodnôt, ktoré sú v ňom zahrnuté, výraz v modulárnych zátvorkách zmizne.

2. Za týmto účelom prirovnajte výraz submodulu k nule a nájdite riešenie výslednej rovnice. Zistené hodnoty zapíšte. Rovnakým spôsobom určte hodnoty neznámej premennej pre celý modul v danej rovnici.

3. Zvážte prípady, keď premenné existujú, keď sú dobré od nuly. Za týmto účelom napíšte systém nerovností pre všetky moduly počiatočnej rovnice. Nerovnosti musia pokrývať všetky platné hodnoty premennej na číselnej osi.

4. Nakreslite číselnú os a nakreslite na ňu výsledné hodnoty. Hodnoty premennej v nulovom module budú slúžiť ako obmedzenia pri riešení modulárnej rovnice.

5. V počiatočnej rovnici je potrebné rozšíriť modulárne zátvorky a zmeniť znamienko výrazu tak, aby hodnoty premennej zodpovedali hodnotám zobrazeným na číselnej osi. Vyriešte výslednú rovnicu. Skontrolujte zistenú hodnotu premennej voči limitu nastavenému modulom. Ak riešenie spĺňa podmienku, potom je pravdivé. Korene, ktoré nespĺňajú obmedzenia, sa musia zlikvidovať.

6. Podobne rozbaľte moduly počiatočného výrazu s prihliadnutím na znamienko a vypočítajte korene výslednej rovnice. Zapíšte všetky získané korene, ktoré spĺňajú obmedzujúce nerovnosti.

Zlomkové čísla umožňujú vyjadriť presnú hodnotu veličiny v rôznych formách. So zlomkami je dovolené vykonávať rovnaké matematické operácie ako s celými číslami: odčítanie, sčítanie, násobenie a delenie. Aby ste sa naučili, ako sa rozhodnúť zlomky, musíte si zapamätať niektoré z ich funkcií. Závisia od typu zlomky, prítomnosť celočíselnej časti, spoločného menovateľa. Niektoré aritmetické operácie si neskôr vyžadujú zníženie zlomkovej časti súčtu.

Budete potrebovať

• - kalkulačka

Inštrukcia

1. Pozrite sa pozorne na tieto čísla. Ak sú medzi zlomkami desatinné a nesprávne, je niekedy pohodlnejšie najprv vykonať akcie s desatinnými miestami a potom ich preložiť do nesprávneho tvaru. Môžete preložiť zlomky v tejto forme na začiatku napíšte hodnotu neskoršiu ako čiarka do čitateľa a do menovateľa vložte 10. Ak je to potrebné, zlomok znížte vydelením čísel nad a pod čiarou jedným deliteľom. Zlomky, v ktorých je vydaná celá časť, vedú k nesprávnemu tvaru vynásobením menovateľom a pripočítaním čitateľa k súčtu. Táto hodnota sa stane novým čitateľom zlomky. Aby sa zvýraznila celá časť z pôvodne nesprávnej zlomky, vydeľte čitateľa menovateľom. Napíšte celý súčet vľavo od zlomky. A zvyšok delenia sa stáva novým čitateľom, menovateľom zlomky pričom sa nezmení. Pre zlomky s celočíselnou časťou je povolené vykonávať akcie oddelene, najprv pre celé číslo a potom pre zlomkové časti. Povedzme, že súčet je 1 2/3 a 2? možno vypočítať dvoma spôsobmi: - Prevod zlomkov do nesprávneho tvaru: - 1 2/3 + 2 ? \u003d 5/3 + 11/4 \u003d 20/12 + 33/12 \u003d 53/12 \u003d 4 5/12;- Súčet oddelene celých a zlomkových častí výrazov: - 1 2/3 + 2? \u003d (1 + 2) + (2/3 + ?) \u003d 3 + (8/12 + 9/12) \u003d 3 + 17/12 \u003d 3 + 1 5/12 \u003d 4 5/12.

2. Pre nesprávne zlomky s rôznymi hodnotami pod čiarou nájdite spoločného menovateľa. Povedzme, že pre 5/9 a 7/12 je spoločný menovateľ 36. Čitateľ a menovateľ prvého zlomky musíte vynásobiť 4 (ukáže sa to 28/36) a 2. - 3 (ukáže sa 15/36). Teraz môžete vykonať potrebné výpočty.

3. Ak idete vypočítať súčet alebo rozdiel zlomkov, zapíšte si pod čiaru najprv nájdeného spoločného menovateľa. Vykonajte potrebné akcie medzi čitateľmi a zapíšte výsledok na nový riadok zlomky. Novým čitateľom teda bude rozdiel alebo súčet čitateľov pôvodných zlomkov.

4. Ak chcete vypočítať súčin zlomkov, vynásobte čitateľov zlomkov a napíšte súčet namiesto čitateľa konečného čísla. zlomky. Urobte to isté pre menovateľov. Pri delení jedného zlomky napíšte jeden zlomok na druhý a potom vynásobte jeho čitateľa menovateľom druhého. Zároveň menovateľ prvého zlomky zodpovedajúcim spôsobom vynásobiť čitateľom 2. V tomto prípade pôvodný prevrat 2 zlomky(rozdeľovač). Konečný zlomok bude pozostávať z výsledkov vynásobenia čitateľov a menovateľov oboch zlomkov. Je ľahké sa naučiť, ako to vyriešiť zlomky, napísaný v podmienke vo forme "štvorposchodový" zlomky. Ak dve oddeľuje čiara zlomky, prepíšte ich oddeľovačom ":" a pokračujte bežným delením.

5. Ak chcete získať konečný výsledok, znížte výsledný zlomok vydelením čitateľa a menovateľa jedným celým číslom, ktoré je v tomto prípade najväčšie. Zároveň musia byť celé čísla nad a pod čiarou.

Poznámka!
Nevykonávajte aritmetické operácie so zlomkami, ktorých menovateľ sa líši. Vyberte číslo také, že keď sa ním vynásobí čitateľ a menovateľ ľubovoľného zlomku, v dôsledku toho sa menovatelia oboch zlomkov rovnajú.

Užitočné rady
Pri písaní zlomkových čísel sa dividenda píše nad čiarou. Toto množstvo sa označuje ako čitateľ zlomku. Pod čiarou sa píše deliteľ alebo menovateľ zlomku. Povedzme, že jeden a pol kilogramu ryže vo forme zlomku sa zapíše takto: 1? kg ryže. Ak je menovateľ zlomku 10, nazýva sa desatinný zlomok. V tomto prípade sa čitateľ (dividenda) píše napravo od celej časti oddelenej čiarkou: 1,5 kg ryže. Kvôli uľahčeniu výpočtov je vždy dovolené písať takýto zlomok v nesprávnom tvare: 1 2/10 kg zemiakov. Aby ste to uľahčili, môžete znížiť hodnoty čitateľa a menovateľa tak, že ich vydelíte jedným celým číslom. V tomto príklade je prijateľné delenie číslom 2. Výsledkom je 1 1/5 kg zemiakov. Uistite sa, že čísla, s ktorými budete vykonávať aritmetické operácie, sú uvedené rovnakým spôsobom.

Ak píšete seminárnu prácu alebo zostavujete nejaký iný dokument obsahujúci časť výpočtu, potom sa nemôžete zbaviť zlomkových výrazov, ktoré je tiež potrebné vytlačiť. Ako to urobiť, zvážime ďalej.

Inštrukcia

1. Kliknite raz na položku ponuky „Vložiť“ a potom vyberte položku „Symbol“. Toto je jedna z najprimitívnejších metód vkladania. zlomky do textu. Končí sa neskôr. Sada hotových postáv má zlomky. Ich počet je, ako obvykle, malý, ale ak potrebujete do textu napísať ? a nie 1/2, potom bude pre vás podobná možnosť najoptimálnejšia. Okrem toho môže počet zlomkových znakov závisieť aj od typu písma. Napríklad v prípade písma Times New Roman sú zlomky o niečo menšie ako v prípade rovnakého písma Arial. Obmieňajte písma, aby ste našli najlepšiu možnosť, pokiaľ ide o primitívne výrazy.

2. Kliknite na položku ponuky „Vložiť“ a vyberte podpoložku „Objekt“. Zobrazí sa okno so zoznamom platných objektov na vloženie. Vyberte si z nich Microsoft Equation 3.0. Táto aplikácia vám pomôže písať zlomky. A nielen to zlomky, ale aj ťažké matematické výrazy obsahujúce rôzne goniometrické funkcie a iné prvky. Dvakrát kliknite na tento objekt ľavým tlačidlom myši. Uvidíte okno obsahujúce veľa znakov.

3. Ak chcete vytlačiť zlomok, vyberte symbol predstavujúci zlomok s prázdnym čitateľom a menovateľom. Kliknite naň raz ľavým tlačidlom myši. Objaví sa ďalšie menu špecifikujúce schému zlomky. Možností môže byť niekoľko. Vyberte si ten najvhodnejší pre vás a kliknite naň raz ľavým tlačidlom myši.

4. Zadajte čitateľa a menovateľa zlomky všetky potrebné údaje. Na hárku dokumentu to bude plynúť prirodzenejšie. Zlomok sa vloží ako samostatný objekt, ktorý možno v prípade potreby presunúť na ľubovoľné miesto v dokumente. Môžete tlačiť viacposchodové zlomky. Ak to chcete urobiť, vložte do čitateľa alebo menovateľa (podľa potreby) ďalší zlomok, ktorý môžete uprednostniť v okne tej istej aplikácie.

Podobné videá

Algebraický zlomok je výraz v tvare A / B, kde písmená A a B označujú ľubovoľné číselné alebo abecedné výrazy. Čitateľ a menovateľ v algebraických zlomkoch majú často masívny tvar, ale operácie s takýmito zlomkami by sa mali vykonávať podľa rovnakých pravidiel ako operácie s obyčajnými, kde čitateľ a menovateľ sú pravidelné celé čísla.

Inštrukcia

1. Ak sa podáva zmiešané zlomky, preveďte ich na nepravidelné (zlomok, v ktorom je čitateľ väčší ako menovateľ): vynásobte menovateľa celou časťou a pridajte čitateľa. Takže číslo 2 1/3 sa zmení na 7/3. Ak to chcete urobiť, vynásobte 3 x 2 a pridajte jeden.

2. Ak potrebujete previesť desatinný zlomok na nesprávny, predstavte si to ako delenie čísla bez čiarky jednotkou s toľkými nulami, koľko je čísel za čiarkou. Povedzme, že číslo 2,5 je reprezentované ako 25/10 (ak ho znížite, dostanete 5/2) a číslo 3,61 - ako 361/100. Práca s nesprávnymi zlomkami je často jednoduchšia ako so zmiešanými alebo desatinnými zlomkami.

3. Ak majú zlomky rovnakých menovateľov a potrebujete ich sčítať, primitívne pripočítajte čitateľov; menovatele zostávajú nezmenené.

4. Ak potrebujete odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi od čitateľa prvého zlomku, odčítajte čitateľa druhého zlomku. Nemenia sa ani menovatelia.

5. Ak potrebujete sčítať zlomky alebo odpočítať jeden zlomok od druhého a majú rôznych menovateľov, priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi. Ak to chcete urobiť, nájdite číslo, ktoré bude najmenší spoločný násobok (LCM) oboch menovateľov alebo niekoľko, ak sú zlomky väčšie ako 2. NOC je číslo, ktoré sa vydelí menovateľmi všetkých daných zlomkov. Napríklad pre 2 a 5 je toto číslo 10.

6. Za znakom rovnosti nakreslite vodorovnú čiaru a do menovateľa napíšte toto číslo (NOC). Ku každému termínu pridajte ďalšie faktory – číslo, ktorým musíte vynásobiť čitateľa aj menovateľa, aby ste získali LCM. Postupne násobte čitateľov aditívnymi faktormi, pričom zachovávajte znamienko sčítania alebo odčítania.

7. Vypočítajte súčet, v prípade potreby ho znížte alebo zvýraznite celú časť. Napríklad – treba zložiť? A?. LCM pre oba zlomky je 12. Potom je dodatočný faktor k prvému zlomku 4, k 2. - 3. Celkom: a+?=(1 4+1 3)/12=7/12.

8. Ak je uvedený príklad násobenia, vynásobte čitateľov spolu (toto bude čitateľ súčtu) a menovateľov (toto bude menovateľ súčtu). V tomto prípade ich netreba redukovať na spoločného menovateľa.

9. Ak chcete zlomok rozdeliť zlomkom, musíte otočiť druhý zlomok hore nohami a vynásobiť zlomky. To znamená, a/b: c/d = a/b d/c.

10. Čitateľ a menovateľ rozdeľte podľa potreby. Povedzme, že univerzálny súčiniteľ prenesieme zo zátvorky alebo rozšírime podľa vzorcov skráteného násobenia, aby potom bolo možné v prípade potreby zmenšiť čitateľa a menovateľa o GCD - minimálneho spoločného deliteľa.

Poznámka!
Pridajte čísla s číslami, písmená rovnakého druhu s písmenami rovnakého druhu. Povedzme, že nie je možné sčítať 3a a 4b, čo znamená, že ich súčet alebo rozdiel zostane v čitateli - 3a±4b.

Podobné videá

Zlomky

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Zlomky na strednej škole nie sú veľmi otravné. Zatiaľ. Až kým nenarazíte na exponenty s racionálnymi exponentmi a logaritmami. A tam…. Stlačíte, stlačíte kalkulačku a zobrazí sa celá tabuľka niektorých čísel. Treba myslieť hlavou, ako v tretej triede.

Poďme sa konečne zaoberať zlomkami! No ako veľmi sa v nich dá zmiasť!? Navyše je to všetko jednoduché a logické. takže, čo sú zlomky?

Druhy zlomkov. Premeny.

Zlomky sú troch typov.

1. Bežné zlomky , Napríklad:

Niekedy namiesto vodorovnej čiary dajú lomítko: 1/2, 3/4, 19/5, dobre atď. Tu budeme často používať tento pravopis. Zavolá sa najvyššie číslo čitateľ, nižšie - menovateľ. Ak si tieto mená neustále zamieňate (stáva sa ...), povedzte si frázu s výrazom: " Zzzzz zapamätaj si! Zzzzz menovateľ - von zzzz ty!" Pozri, všetko si bude pamätať.)

Pomlčka, ktorá je vodorovná, ktorá je šikmá, znamená divízie od horného čísla (čitateľ) po spodné číslo (menovateľ). A je to! Namiesto pomlčky je celkom možné umiestniť znak delenia - dve bodky.

Keď je rozdelenie úplne možné, musí sa to urobiť. Takže namiesto zlomku "32/8" je oveľa príjemnejšie napísať číslo "4". Tie. 32 je jednoducho delené 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Nehovorím o zlomku „4/1“. Čo je tiež len „4“. A ak sa nerozdelí úplne, necháme to ako zlomok. Niekedy to musíte urobiť naopak. Vytvorte zlomok z celého čísla. Ale o tom neskôr.

2. Desatinné čísla , Napríklad:

Práve touto formou bude potrebné zapisovať odpovede na úlohy „B“.

3. zmiešané čísla , Napríklad:

Zmiešané čísla sa na strednej škole prakticky nepoužívajú. Aby sa s nimi dalo pracovať, musia sa previesť na obyčajné zlomky. Určite však musíte vedieť, ako na to! A potom sa takéto číslo objaví v skladačke a visí ... Od nuly. Tento postup si však pamätáme! Trochu nižšie.

Najvšestrannejšie bežné zlomky. Začnime nimi. Mimochodom, ak sú v zlomku najrôznejšie logaritmy, sínusy a iné písmená, nič to nemení. V tom zmysle, že všetko akcie so zlomkovými výrazmi sa nelíšia od akcií s obyčajnými zlomkami!

Základná vlastnosť zlomku.

Tak, poďme! V prvom rade vás prekvapím. Celú škálu transformácií zlomkov poskytuje jediná vlastnosť! Tak sa to volá základná vlastnosť zlomku. Pamätajte: Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia (vydelia) rovnakým číslom, zlomok sa nezmení. tieto:

Je jasné, že môžete písať ďalej, kým nezmodriete v tvári. Nenechajte sa zmiasť sínusmi a logaritmy, budeme sa im venovať ďalej. Hlavná vec, ktorú treba pochopiť, je, že všetky tieto rôzne výrazy sú rovnaký zlomok . 2/3.

A potrebujeme to, všetky tieto premeny? A ako! Teraz uvidíte sami. Najprv použime základnú vlastnosť zlomku pre zlomkové skratky. Zdalo by sa, že vec je elementárna. Čitateľa a menovateľa vydelíme rovnakým číslom a je to! Je nemožné pokaziť sa! Ale... človek je tvor tvorivý. Všade môžete robiť chyby! Najmä ak musíte zmenšiť nie zlomok ako 5/10, ale zlomkový výraz so všetkými druhmi písmen.

Ako správne a rýchlo zmenšiť zlomky bez zbytočnej práce nájdete v špeciálnej časti 555.

Normálny študent sa neobťažuje delením čitateľa a menovateľa rovnakým číslom (alebo výrazom)! Len prečiarkne všetko rovnako zhora aj zdola! Tu sa skrýva typická chyba, ak chcete, omyl.

Napríklad musíte zjednodušiť výraz:

Nie je nad čím rozmýšľať, písmeno „a“ prečiarkneme zhora a dvojku zdola! Dostaneme:

Všetko je správne. Ale naozaj ste zdieľali celá čitateľ a celá menovateľ "a". Ak ste zvyknutí len prečiarknuť, potom v zhone môžete prečiarknuť „a“ vo výraze

a získať znova

Čo by bolo kategoricky nesprávne. Pretože tu celáčitateľ na "a" už nezdieľané! Tento zlomok nie je možné znížiť. Mimochodom, takáto skratka je, ehm ... vážna výzva pre učiteľa. Toto sa neodpúšťa! Pamätáte si? Pri redukcii je potrebné deliť celá čitateľ a celá menovateľ!

Zmenšením zlomkov je život oveľa jednoduchší. Niekde dostanete zlomok, napríklad 375/1000. A ako s ňou teraz pracovať? Bez kalkulačky? Vynásobte, povedzte, sčítajte, druhú mocninu!? A ak nie ste príliš leniví, ale opatrne znížte o päť, dokonca aj o päť, a dokonca ... kým sa to znižuje, skrátka. Dostávame 3/8! Oveľa krajšie, však?

Základná vlastnosť zlomku umožňuje previesť obyčajné zlomky na desatinné a naopak bez kalkulačky! To je dôležité pre skúšku, nie?

Ako previesť zlomky z jedného tvaru do druhého.

S desatinnými číslami je to jednoduché. Ako sa počúva, tak sa aj píše! Povedzme 0,25. Je to nula, dvadsaťpäť stotín. Takže píšeme: 25/100. Zmenšíme (vydelíme čitateľa a menovateľa číslom 25), dostaneme obvyklý zlomok: 1/4. Všetky. Stáva sa to a nič sa neznižuje. Ako 0,3. Ide o tri desatiny, t.j. 3/10.

Čo ak sú celé čísla nenulové? Je to v poriadku. Zapíšte celý zlomok bez čiarok v čitateli a v menovateli - to, čo je počuť. Napríklad: 3.17. Toto sú tri celé, sedemnásť stotín. Do čitateľa napíšeme 317 a do menovateľa 100. Dostaneme 317/100. Nič sa nezmenšuje, to znamená všetko. Toto je odpoveď. Základný Watson! Zo všetkého vyššie uvedeného je užitočný záver: akýkoľvek desatinný zlomok možno previesť na bežný zlomok .

No spätný prevod, obyčajný na desatinné, sa niektorí bez kalkulačky nezaobídu. A je to potrebné! Ako si zapíšeš odpoveď na skúšku!? Tento proces pozorne čítame a ovládame.

Čo je desatinný zlomok? Má v menovateli Vždy má hodnotu 10 alebo 100 alebo 1 000 alebo 10 000 a tak ďalej. Ak má váš obvyklý zlomok takéhoto menovateľa, nie je problém. Napríklad 4/10 = 0,4. Alebo 7/100 = 0,07. Alebo 12/10 = 1,2. A ak v odpovedi na úlohu sekcie "B" to dopadlo 1/2? Čo napíšeme ako odpoveď? Vyžaduje sa desatinné číslo...

Pamätáme si základná vlastnosť zlomku ! Matematika priaznivo umožňuje vynásobiť čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Mimochodom, pre kohokoľvek! Okrem nuly, samozrejme. Využime túto funkciu v náš prospech! Čím sa dá vynásobiť menovateľ, t.j. 2 tak, že z toho bude 10, alebo 100, alebo 1000 (samozrejme, že menšie je lepšie...)? 5, samozrejme. Pokojne vynásobte menovateľa (to je nás potrebné) číslom 5. Potom však musí byť aj čitateľ vynásobený číslom 5. Toto už je matematiky požiadavky! Získame 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. To je všetko.

Narážajú však na všelijaké menovatele. Napríklad padne zlomok 3/16. Skúste to, zistite, čím vynásobiť 16, aby ste dostali 100, alebo 1000... Nefunguje to? Potom môžete jednoducho vydeliť 3 číslom 16. Ak nemáte kalkulačku, budete musieť deliť v rohu na papieri, ako sa to učilo v základných ročníkoch. Dostaneme 0,1875.

A existuje niekoľko veľmi zlých menovateľov. Napríklad zlomok 1/3 nemožno zmeniť na dobré desatinné číslo. Na kalkulačke aj na papieri dostaneme 0,3333333 ... To znamená, že 1/3 na presný desatinný zlomok neprekladá. Rovnako ako 1/7, 5/6 a tak ďalej. Mnohé z nich sú nepreložiteľné. Preto ďalší užitočný záver. Nie každý bežný zlomok sa prevádza na desatinné číslo. !

Mimochodom, toto je užitočná informácia na samovyšetrenie. V sekcii "B" ako odpoveď musíte zapísať desatinný zlomok. A dostali ste napríklad 4/3. Tento zlomok sa neprevádza na desatinné číslo. To znamená, že niekde na ceste ste urobili chybu! Vráťte sa, skontrolujte riešenie.

Takže, s obyčajnými a desatinnými zlomkami vytriedenými. Zostáva zaoberať sa zmiešanými číslami. Aby ste s nimi mohli pracovať, je potrebné ich všetky previesť na bežné zlomky. Ako to spraviť? Môžete chytiť šiestaka a opýtať sa ho. Ale nie vždy bude po ruke šiestak ... Budeme to musieť urobiť sami. Nie je to ťažké. Vynásobte menovateľa zlomkovej časti celým číslom a pridajte čitateľa zlomkovej časti. Toto bude čitateľ spoločného zlomku. A čo menovateľ? Menovateľ zostane rovnaký. Znie to komplikovane, ale v skutočnosti je to celkom jednoduché. Pozrime sa na príklad.

Vpustite do problému, ktorý ste s hrôzou videli, číslo:

Pokojne, bez paniky, rozumieme. Celá časť je 1. Jedna. Zlomková časť je 3/7. Preto je menovateľ zlomkovej časti 7. Tento menovateľ bude menovateľom obyčajného zlomku. Počítame čitateľa. Vynásobíme 7 číslom 1 (celočíselná časť) a pridáme 3 (čitateľ zlomkovej časti). Dostaneme 10. Toto bude čitateľ obyčajného zlomku. To je všetko. V matematickom zápise to vyzerá ešte jednoduchšie:

jasne? Potom si zabezpečte svoj úspech! Previesť na bežné zlomky. Mali by ste dostať 10/7, 7/2, 23/10 a 21/4.

Opačná operácia – premena nesprávneho zlomku na zmiešané číslo – sa na strednej škole vyžaduje len zriedka. No, ak... A ak nie ste na strednej škole, môžete sa pozrieť do špeciálnej sekcie 555. Mimochodom, na tom istom mieste sa dozviete o nesprávnych zlomkoch.

No skoro všetko. Zapamätali ste si typy zlomkov a pochopili ste Ako previesť ich z jedného typu na druhý. Otázkou zostáva: Prečo urob to? Kde a kedy uplatniť tieto hlboké znalosti?

Odpovedám. Každý príklad sám o sebe naznačuje potrebné kroky. Ak sa v príklade zmiešajú bežné zlomky, desatinné miesta a dokonca aj zmiešané čísla do zväzku, všetko preložíme na bežné zlomky. Vždy sa to dá. No, ak je napísané niečo ako 0,8 + 0,3, tak si myslíme, že áno, bez akéhokoľvek prekladu. Prečo potrebujeme prácu navyše? Vyberáme riešenie, ktoré je pohodlné nás !

Ak je úloha plná desatinných zlomkov, ale hm ... nejaké zlé, choďte na obyčajné, skúste to! Pozri, všetko bude v poriadku. Napríklad musíte odmocniť číslo 0,125. Nie je to také ľahké, ak ste nestratili návyk na kalkulačku! Nielen, že musíte vynásobiť čísla v stĺpci, ale tiež premýšľať o tom, kam vložiť čiarku! V mojej mysli to určite nefunguje! A ak pôjdete na obyčajný zlomok?

0,125 = 125/1000. Znížime o 5 (to je pre začiatok). Dostaneme 25/200. Ešte raz na 5. Dostaneme 5/40. Oh, zmenšuje sa! Späť na 5! Dostaneme 1/8. Ľahko štvorcu (vo vašej mysli!) a získajte 1/64. Všetky!

Zhrňme si túto lekciu.

1. Existujú tri typy zlomkov. Obyčajné, desatinné a zmiešané čísla.

2. Desatinné a zmiešané čísla Vždy možno previesť na bežné zlomky. Obrátený preklad nie vždy k dispozícii.

3. Voľba typu zlomkov pre prácu s úlohou závisí práve od tejto úlohy. Ak sú v jednej úlohe rôzne typy zlomkov, najspoľahlivejšie je prejsť na obyčajné zlomky.

Teraz môžete cvičiť. Najprv preveďte tieto desatinné zlomky na obyčajné:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Mali by ste dostať takéto odpovede (v neporiadku!):

Na tomto skončíme. V tejto lekcii sme si oprášili kľúčové body o zlomkoch. Stáva sa však, že nie je nič špeciálne na osvieženie...) Ak niekto úplne zabudol, alebo to ešte nezvládol... Tí môžu ísť na osobitný § 555. Všetky základy sú tam podrobne popísané. Mnohí zrazu rozumieť všetkému začínajú. A zlomky riešia za chodu).

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.