Nájdite čitateľa a menovateľa. Zlomok pozostáva z dvoch čísel: číslo nad riadkom sa nazýva čitateľ a číslo pod riadkom sa nazýva menovateľ. Menovateľ označuje celkový počet častí, na ktoré je celok rozdelený, a čitateľ je uvažovaný počet takýchto častí.

• Napríklad v zlomku ½ je čitateľ 1 a menovateľ 2.

Určte menovateľa. Ak majú dva alebo viac zlomkov spoločného menovateľa, tieto zlomky majú pod čiarou rovnaké číslo, to znamená, že v tomto prípade je nejaký celok rozdelený na rovnaký počet častí. Sčítanie zlomkov so spoločným menovateľom je veľmi jednoduché, pretože menovateľ celkového zlomku bude rovnaký ako menovateľ sčítaných zlomkov. Napríklad:

• Zlomky 3/5 a 2/5 majú spoločného menovateľa 5.
• Zlomky 3/8, 5/8, 17/8 majú spoločného menovateľa 8.

Určte čitateľov. Ak chcete sčítať zlomky so spoločným menovateľom, pridajte ich čitateľov a výsledok zapíšte nad menovateľa sčítaných zlomkov.

• Zlomky 3/5 a 2/5 majú čitateľa 3 a 2.
• Zlomky 3/8, 5/8, 17/8 majú čitateľov 3, 5, 17.

Sčítajte čitateľov. V úlohe 3/5 + 2/5 pridajte čitateľa 3 + 2 = 5. V úlohe 3/8 + 5/8 + 17/8 pridajte čitateľa 3 + 5 + 17 = 25.

Zapíšte si súčet. Pamätajte, že pri sčítaní zlomkov so spoločným menovateľom zostáva nezmenený – pridávajú sa iba čitatelia.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

V prípade potreby zlomok preveďte. Niekedy možno zlomok zapísať ako celé číslo a nie ako bežný alebo desatinný zlomok. Napríklad zlomok 5/5 sa ľahko prevedie na 1, pretože každý zlomok, ktorého čitateľ sa rovná menovateľovi, je 1. Predstavte si koláč rozrezaný na tri časti. Ak zjete všetky tri časti, tak zjete celý (jeden) koláč.

• Akýkoľvek bežný zlomok možno previesť na desatinné číslo; Ak to chcete urobiť, vydeľte čitateľa menovateľom. Napríklad zlomok 5/8 možno zapísať takto: 5 ÷ 8 = 0,625.

Ak je to možné, zlomok zjednodušte. Zjednodušený zlomok je zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ nemajú spoločného deliteľa.

• Uvažujme napríklad zlomok 3/6. Čitateľ aj menovateľ tu majú spoločného deliteľa rovného 3, to znamená, že čitateľ a menovateľ sú úplne deliteľné 3. Preto zlomok 3/6 môžeme zapísať takto: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

V prípade potreby preveďte nesprávny zlomok na zmiešaný zlomok (zmiešané číslo). Pre nesprávny zlomok je čitateľ väčší ako menovateľ, napríklad 25/8 (pre vlastný zlomok je čitateľ menší ako menovateľ). Nevlastný zlomok možno previesť na zmiešaný zlomok, ktorý pozostáva z celočíselnej časti (t. j. celého čísla) a zlomkovej časti (t. j. vlastného zlomku). Ak chcete previesť nesprávny zlomok, napríklad 25/8, na zmiešané číslo, postupujte takto:

• Vydeľte čitateľa nesprávneho zlomku jeho menovateľom; zapíšte neúplný kvocient (celú odpoveď). V našom príklade: 25 ÷ 8 = 3 plus nejaký zvyšok. IN tento prípad celá odpoveď je celá časť zmiešaného čísla.
• Nájdite zvyšok. V našom príklade: 8 x 3 = 24; odčítajte výsledok od pôvodného čitateľa: 25 - 24 \u003d 1, to znamená, že zvyšok je 1. V tomto prípade je zvyšok čitateľom zlomkovej časti zmiešaného čísla.
• Napíšte zmiešaný zlomok. Menovateľ sa nemení (to znamená, že sa rovná menovateľovi nesprávneho zlomku), takže 25/8 = 3 1/8.

Obsah lekcie

Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Sčítanie zlomkov je dvoch typov:

1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Začnime sčítaním zlomkov s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a menovateľa ponechať nezmenený. Sčítajme napríklad zlomky a . Pridáme čitateľov a menovateľa necháme nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Pridajte zlomky a .

Odpoveď je nesprávny zlomok. Ak príde koniec úlohy, je zvykom zbaviť sa nesprávnych zlomkov. Aby ste sa zbavili nesprávnej frakcie, musíte v nej vybrať celú časť. V našom prípade je celá časť ľahko rozlíšiteľná - dve delené dvoma sa rovnajú jednej:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na dve časti. Ak k pizzi pridáte viac pízz, získate jednu celú pizzu:

Príklad 3. Pridajte zlomky a .

Opäť pridajte čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate pizzu:

Príklad 4 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Čitatelia sa musia pridať a menovateľ ponechať nezmenený:

Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak k pizzi pridáte pizzu a pridáte ďalšie pizze, získate 1 celú pizzu a viac pízz.

Ako vidíte, pridávanie zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je ťažké. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete pridať zlomky s rovnakým menovateľom, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený;

Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Teraz sa naučíme, ako sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi. Pri sčítaní zlomkov musia byť menovatelia týchto zlomkov rovnaké. Ale nie sú vždy rovnaké.

Napríklad zlomky možno sčítať, pretože majú rovnakých menovateľov.

Zlomky však nemožno sčítať naraz, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Existuje niekoľko spôsobov, ako znížiť zlomky na rovnakého menovateľa. Dnes zvážime iba jednu z nich, pretože ostatné metódy sa pre začiatočníka môžu zdať komplikované.

Podstata tejto metódy spočíva v tom, že sa hľadá prvý (LCM) z menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor. To isté urobia s druhým zlomkom - LCM sa vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor.

Potom sa čitatelia a menovatelia zlomkov vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto akcií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať.

Príklad 1. Pridajte frakcie a

V prvom rade nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 6

LCM (2 a 3) = 6

Teraz späť k zlomkom a . Najprv vydelíme LCM menovateľom prvého zlomku a získame prvý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 6 3, dostaneme 2.

Výsledné číslo 2 je prvým dodatočným faktorom. Zapisujeme to na prvý zlomok. Za týmto účelom urobíme malú šikmú čiaru nad zlomkom a nad ním zapíšeme nájdený dodatočný faktor:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM vydelíme menovateľom druhého zlomku a dostaneme druhý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Ak vydelíme 6 2, dostaneme 3.

Výsledné číslo 3 je druhým dodatočným faktorom. Napíšeme to na druhý zlomok. Opäť urobíme malú šikmú čiaru nad druhým zlomkom a nad ňu napíšeme nájdený ďalší faktor:

Teraz sme všetci pripravení pridať. Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov ich dodatočnými faktormi:

Pozrite sa pozorne, k čomu sme dospeli. Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať. Dokončite tento príklad až do konca:

Tým sa príklad končí. Ak chcete pridať, ukazuje sa.

Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate jednu celú pizzu a ďalšiu šestinu pizze:

Redukciu zlomkov na rovnaký (spoločný) menovateľ možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením zlomkov a do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto dve frakcie budú reprezentované rovnakými plátkami pizze. Jediný rozdiel bude v tom, že tentoraz budú rozdelené na rovnaké podiely (redukované na rovnakého menovateľa).

Prvý obrázok ukazuje zlomok (štyri kusy zo šiestich) a druhý obrázok zobrazuje zlomok (tri kusy zo šiestich). Zložením týchto kúskov dostaneme (sedem kúskov zo šiestich). Tento zlomok je nesprávny, preto sme v ňom zvýraznili celočíselnú časť. Výsledok bol (jedna celá pizza a ďalšia šiesta pizza).

Všimnite si, že sme tento príklad namaľovali príliš podrobne. Vo vzdelávacích inštitúciách nie je zvykom písať tak podrobne. Musíte byť schopní rýchlo nájsť LCM oboch menovateľov a ďalších faktorov k nim, ako aj rýchlo znásobiť dodatočné faktory nájdené vašimi čitateľmi a menovateľmi. V škole by sme tento príklad museli napísať takto:

Je tu však aj druhá strana mince. Ak sa v prvých fázach štúdia matematiky nerobia podrobné poznámky, potom otázky tohto druhu "Odkiaľ pochádza to číslo?", "Prečo sa zlomky zrazu zmenia na úplne iné zlomky? «.

Na uľahčenie pridávania zlomkov s rôznymi menovateľmi môžete použiť nasledujúce podrobné pokyny:

1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov;
2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší multiplikátor pre každý zlomok;
3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi;
4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov;
5. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť;

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu .

Využime vyššie uvedené pokyny.

Krok 1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov

Nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľmi zlomkov sú čísla 2, 3 a 4

Krok 2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší multiplikátor pre každý zlomok

Vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 2. Vydelíme 12 2, dostaneme 6. Získame prvý dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez prvý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. 12 vydelíme 3, dostaneme 4. Získame druhý dodatočný faktor 4. Napíšeme ho cez druhý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Získame tretí dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez tretí zlomok:

Krok 3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov vašimi ďalšími faktormi

Čitateľov a menovateľov vynásobíme našimi ďalšími faktormi:

Krok 4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. Zostáva pridať tieto zlomky. Sčítať:

Doplnenie sa nezmestilo na jeden riadok, tak sme zvyšný výraz presunuli na ďalší riadok. V matematike je to dovolené. Keď sa výraz nezmestí na jeden riadok, prenesie sa na ďalší riadok a na koniec prvého riadku a na začiatok nového riadku je potrebné vložiť znamienko rovnosti (=). Znamienko rovnosti v druhom riadku znamená, že ide o pokračovanie výrazu, ktorý bol v prvom riadku.

Krok 5. Ak sa odpoveď ukázala ako nesprávny zlomok, vyberte v nej celú časť

Naša odpoveď je nesprávny zlomok. Musíme vyčleniť celú jeho časť. Zdôrazňujeme:

Dostal som odpoveď

Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Existujú dva typy odčítania zlomkov:

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Najprv sa naučme, ako odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať rovnaký.

Napríklad nájdime hodnotu výrazu . Na vyriešenie tohto príkladu je potrebné odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechať menovateľa nezmenený. Poďme to spraviť:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu.

Opäť, od čitateľa prvého zlomku, odčítajte čitateľa druhého zlomku a menovateľ ponechajte nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Od čitateľa prvého zlomku musíte odpočítať čitateľa zostávajúcich zlomkov:

Ako vidíte, pri odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený;
2. Ak sa ukázalo, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte v nej vybrať celú časť.

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Napríklad zlomok možno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rovnakých menovateľov. Zlomok však nemožno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Spoločný menovateľ sa nachádza podľa rovnakého princípu, aký sme použili pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez prvý zlomok. Podobne sa LCM vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez druhý zlomok.

Zlomky sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto operácií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu:

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.

Najprv nájdeme LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 12

LCM (3 a 4) = 12

Teraz späť k zlomkom a

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Štvorku napíšeme nad prvý zlomok:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM delíme menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Napíšte trojku cez druhý zlomok:

Teraz sme všetci pripravení na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončite tento príklad až do konca:

Dostal som odpoveď

Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak nakrájate pizzu z pizze, dostanete pizzu.

Toto je podrobná verzia riešenia. Byť v škole, museli by sme tento príklad riešiť kratšie. Takéto riešenie by vyzeralo takto:

Redukciu zlomkov a na spoločného menovateľa možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením týchto zlomkov do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto zlomky budú reprezentované rovnakými plátkami pizze, ale tentoraz budú rozdelené na rovnaké zlomky (redukované na rovnakého menovateľa):

Prvý obrázok ukazuje zlomok (osem kusov z dvanástich) a druhý obrázok zobrazuje zlomok (tri kusy z dvanástich). Odrezaním troch kusov z ôsmich kusov dostaneme päť kusov z dvanástich. Zlomok popisuje týchto päť kusov.

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich najprv musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.

Nájdite LCM menovateľov týchto zlomkov.

Menovateľmi zlomkov sú čísla 10, 3 a 5. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 30

LCM(10,3,5) = 30

Teraz nájdeme ďalšie faktory pre každý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom každého zlomku.

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. LCM je číslo 30 a menovateľom prvého zlomku je číslo 10. Vydelením 30 10 dostaneme prvý dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez prvý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre druhý zlomok. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelením 30 číslom 3 dostaneme druhý dodatočný faktor 10. Napíšeme ho cez druhý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre tretí zlomok. Vydeľte LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 5. Vydelením 30 číslom 5 dostaneme tretí dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez tretí zlomok:

Teraz je všetko pripravené na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončime tento príklad.

Pokračovanie príkladu sa nezmestí na jeden riadok, preto posunieme pokračovanie na ďalší riadok. Nezabudnite na znamienko rovnosti (=) v novom riadku:

Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok a zdá sa, že nám všetko vyhovuje, ale je príliš ťažkopádna a škaredá. Mali by sme to uľahčiť. čo sa dá robiť Tento zlomok môžete znížiť.

Ak chcete zlomok zmenšiť, musíte vydeliť jeho čitateľa a menovateľa (gcd) číslami 20 a 30.

Nájdeme teda GCD čísel 20 a 30:

Teraz sa vrátime k nášmu príkladu a vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku nájdeným GCD, teda 10

Dostal som odpoveď

Násobenie zlomku číslom

Ak chcete vynásobiť zlomok číslom, musíte vynásobiť čitateľa daného zlomku týmto číslom a menovateľa ponechať rovnaký.

Príklad 1. Vynásobte zlomok číslom 1.

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 1

Vstup možno chápať tak, že si vezmete polovičný 1 čas. Napríklad, ak si dáte pizzu 1 krát, dostanete pizzu

Zo zákonov násobenia vieme, že ak dôjde k zámene násobiteľa a násobiteľa, súčin sa nezmení. Ak je výraz napísaný ako , potom sa súčin bude stále rovnať . Opäť platí pravidlo pre násobenie celého čísla a zlomku:

Tento zápis možno chápať ako odber polovice jednotky. Napríklad, ak je 1 celá pizza a vezmeme si polovicu z nej, potom budeme mať pizzu:

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 4

Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:

Výraz možno chápať ako brať dve štvrtiny 4 krát. Napríklad, ak si vezmete pizzu 4-krát, dostanete dve celé pizze.

A ak miestami zameníme násobilku a násobiteľa, dostaneme výraz. Bude sa rovnať aj 2. Tento výraz možno chápať ako odoberanie dvoch pizze zo štyroch celých pízz:

Násobenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov. Ak je odpoveďou nesprávny zlomok, musíte v nej vybrať celú časť.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu.

Dostal som odpoveď. Je žiaduce znížiť túto frakciu. Zlomok možno zmenšiť o 2. Potom bude mať konečné riešenie nasledujúcu podobu:

Výraz možno chápať tak, že si vezmete pizzu z polovice pizze. Povedzme, že máme polovicu pizze:

Ako odobrať dve tretiny z tejto polovice? Najprv musíte rozdeliť túto polovicu na tri rovnaké časti:

A vezmite si dva z týchto troch kúskov:

Dáme si pizzu. Pamätajte si, ako vyzerá pizza rozdelená na tri časti:

Jeden plátok z tejto pizze a dva plátky, ktoré sme odobrali, budú mať rovnaké rozmery:

Inými slovami, hovoríme o rovnakej veľkosti pizze. Preto je hodnota výrazu

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok, ale bude dobré, ak sa zníži. Ak chcete tento zlomok zmenšiť, musíte vydeliť čitateľa a menovateľa tohto zlomku najväčším spoločným deliteľom (GCD) čísel 105 a 450.

Takže nájdime GCD čísel 105 a 450:

Teraz vydelíme čitateľa a menovateľa našej odpovede na GCD, ktorú sme teraz našli, teda 15

Predstavuje celé číslo ako zlomok

Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Napríklad číslo 5 môže byť reprezentované ako . Z toho päť nezmení svoj význam, pretože výraz znamená „číslo päť delené jedným“ a toto, ako viete, sa rovná piatim:

Obrátené čísla

Teraz sa zoznámime s veľmi zaujímavou témou z matematiky. Hovorí sa tomu „obrátené čísla“.

Definícia. Obráťte sa na čísloa je číslo, ktoré po vynásobenía dáva jednotku.

Namiesto premennej dosadíme v tejto definícii ačíslo 5 a skúste si prečítať definíciu:

Obráťte sa na číslo 5 je číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku.

Je možné nájsť číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku? Ukazuje sa, že môžete. Predstavme päť ako zlomok:

Potom tento zlomok vynásobte sám, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Inými slovami, vynásobme zlomok sám o sebe, len prevrátený:

Aký bude výsledok? Ak budeme pokračovať v riešení tohto príkladu, dostaneme jeden:

To znamená, že inverzná hodnota k číslu 5 je číslo, pretože keď sa 5 vynásobí jednotkou, dostaneme jednotku.

Prevrátenú hodnotu možno nájsť aj pre akékoľvek iné celé číslo.

Môžete tiež nájsť prevrátenú hodnotu pre akýkoľvek iný zlomok. K tomu ho stačí otočiť.

Delenie zlomku číslom

Povedzme, že máme polovicu pizze:

Rozdeľme to rovným dielom medzi dvoch. Koľko pizze dostane každý?

Je vidieť, že po rozdelení polovice pizze sa získali dva rovnaké kusy, z ktorých každý tvorí pizzu. Takže každý dostane pizzu.

Delenie zlomkov sa robí pomocou reciprokých. Recipročné vám umožňujú nahradiť delenie násobením.

Ak chcete rozdeliť zlomok číslom, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa.

Pomocou tohto pravidla si zapíšeme rozdelenie našej polovice pizze na dve časti.

Preto musíte zlomok vydeliť číslom 2. Dividenda je tu zlomok a deliteľ je 2.

Ak chcete rozdeliť zlomok číslom 2, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa 2. Prevrátená hodnota deliteľa 2 je zlomok. Takže musíte násobiť

Prinieslo vám dieťa zo školy domácu úlohu a vy neviete, ako ju vyriešiť? Potom je tento mini návod pre vás!

Ako pridať desatinné miesta

Je vhodnejšie pridať desatinné zlomky do stĺpca. Ak chcete pridať desatinné miesta, musíte dodržiavať jednoduché pravidlo:

• Číslica musí byť pod číslicou, čiarka pod čiarkou.

Ako vidíte na príklade, celé jednotky sú pod sebou, desatiny a stotiny sú pod sebou. Teraz sčítame čísla, čiarku ignorujeme. Čo robiť s čiarkou? Čiarka sa prenesie na miesto, kde stála pri vybíjaní celých čísel.

Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Ak chcete vykonať sčítanie so spoločným menovateľom, musíte ponechať menovateľa nezmenený, nájsť súčet čitateľov a získať zlomok, ktorý bude predstavovať celkovú sumu.

Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi nájdením spoločného násobku

Prvá vec, ktorú treba venovať pozornosť, sú menovatelia. Menovatelia sú rôzni, či je jeden deliteľný druhým, či ide o prvočísla. Najprv musíte priviesť k jednému spoločnému menovateľovi, existuje niekoľko spôsobov, ako to urobiť:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, na vyriešenie tohto príkladu musíme nájsť najmenší spoločný násobok (LCM), ktorý bude deliteľný 2 menovateľmi. Na označenie najmenšieho násobku a a b - LCM (a; b). V tomto príklade LCM (3;4) = 12. Kontrola: 12:3=4; 12:4=3.
• Vynásobíme faktory a vykonáme sčítanie výsledných čísel, dostaneme 13/12 - nesprávny zlomok.

• Aby sme previedli nevlastný zlomok na vlastný, vydelíme čitateľa menovateľom, dostaneme celé číslo 1, zvyšok 1 je čitateľ a 12 je menovateľ.

Sčítanie zlomkov pomocou krížového násobenia

Na sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi existuje iný spôsob podľa vzorca „krížovo“. Toto je zaručený spôsob vyrovnania menovateľov, preto je potrebné vynásobiť čitateľov menovateľom jedného zlomku a naopak. Ak ste len v počiatočnom štádiu učenia sa zlomkov, potom je táto metóda najjednoduchším a najpresnejším spôsobom, ako získať správny výsledok pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Zlomky sú obyčajné čísla, možno ich aj sčítať a odčítať. Ale vzhľadom na to, že majú menovateľa, sú tu potrebné zložitejšie pravidlá ako pre celé čísla.

Zvážte najjednoduchší prípad, keď existujú dva zlomky s rovnakými menovateľmi. potom:

Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, pridajte ich čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený.

Na odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi je potrebné odpočítať čitateľa druhého od čitateľa prvého zlomku a opäť ponechať menovateľa nezmenený.

V rámci každého výrazu sú menovatele zlomkov rovnaké. Definíciou sčítania a odčítania zlomkov dostaneme:

Ako vidíte, nič zložité: stačí pridať alebo odčítať čitateľa - a je to.

Ale aj pri takýchto jednoduchých činoch sa ľuďom darí robiť chyby. Najčastejšie zabúdajú, že menovateľ sa nemení. Napríklad pri ich sčítaní sa začnú aj sčítavať, a to je zásadne nesprávne.

Zbaviť sa zlozvyku pridávania menovateľov je celkom jednoduché. Pokúste sa urobiť to isté pri odčítaní. V dôsledku toho bude menovateľ nula a zlomok (náhle!) stratí svoj význam.

Preto si pamätajte raz a navždy: pri sčítaní a odčítaní sa menovateľ nemení!

Mnoho ľudí tiež robí chyby pri pridávaní niekoľkých záporných zlomkov. Existuje zmätok so znakmi: kde dať mínus a kde - plus.

Tento problém je tiež veľmi ľahko riešiteľný. Stačí si zapamätať, že mínus pred zlomkom možno vždy preniesť do čitateľa - a naopak. A samozrejme, nezabudnite na dve jednoduché pravidlá:

1. Plus krát mínus dáva mínus;
2. Dve negatíva znamenajú pozitívnu odpoveď.

Poďme si to všetko analyzovať na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

V prvom prípade je všetko jednoduché a v druhom pridáme do čitateľov zlomkov mínusy:

Čo ak sú menovatelia iní

Nemôžete priamo pridávať zlomky s rôznymi menovateľmi. Aspoň mne je táto metóda neznáma. Pôvodné zlomky sa však vždy dajú prepísať tak, aby sa menovatelia stali rovnakými.

Existuje mnoho spôsobov, ako previesť zlomky. Tri z nich sú diskutované v lekcii „Privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi“, takže sa nimi tu nebudeme zaoberať. Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

V prvom prípade privedieme zlomky na spoločného menovateľa metódou „krížom“. V druhom budeme hľadať LCM. Všimnite si, že 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Posledné faktory v týchto rozšíreniach sú rovnaké a prvé faktory sú coprime. Preto LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Čo ak má zlomok celočíselnú časť

Môžem ťa potešiť: rôzni menovatelia zlomkov nie sú najväčšie zlo. Oveľa viac chýb sa vyskytuje, keď je celá časť zvýraznená v zlomkoch.

Samozrejme, pre takéto zlomky existujú vlastné algoritmy sčítania a odčítania, ale sú dosť komplikované a vyžadujú si dlhé štúdium. Je lepšie použiť jednoduchú schému nižšie:

1. Preveďte všetky zlomky obsahujúce celočíselné časti na nesprávne. Získame normálne členy (aj keď s rôznymi menovateľmi), ktoré sa vypočítajú podľa pravidiel diskutovaných vyššie;
2. V skutočnosti vypočítajte súčet alebo rozdiel výsledných zlomkov. Výsledkom je, že prakticky nájdeme odpoveď;
3. Ak je to všetko, čo bolo v úlohe požadované, vykonáme inverznú transformáciu, t.j. zbavíme sa nesprávneho zlomku a zvýrazníme v ňom časť celého čísla.

Pravidlá pre prechod na nesprávne zlomky a zvýraznenie celočíselnej časti sú podrobne popísané v lekcii „Čo je to číselný zlomok“. Ak si nepamätáte, určite zopakujte. Príklady:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všetko je tu jednoduché. Menovatelia vo vnútri každého výrazu sú si rovní, takže zostáva previesť všetky zlomky na nesprávne a počítať. Máme:

Pre zjednodušenie výpočtov som v posledných príkladoch preskočil niektoré zrejmé kroky.

Malá poznámka k posledným dvom príkladom, kde sa odčítavajú zlomky so zvýraznenou celočíselnou časťou. Mínus pred druhým zlomkom znamená, že sa odpočítava celý zlomok, nielen jeho časť.

Znova si prečítajte túto vetu, pozrite sa na príklady a zamyslite sa nad tým. To je miesto, kde začiatočníci dovolia veľké množstvo chyby. Takéto úlohy radi dávajú pri kontrolnej práci. Opakovane sa s nimi stretnete aj v testoch k tejto lekcii, ktoré budú čoskoro zverejnené.

Zhrnutie: Všeobecná schéma výpočtovej techniky

Na záver uvediem všeobecný algoritmus, ktorý vám pomôže nájsť súčet alebo rozdiel dvoch alebo viacerých zlomkov:

1. Ak je časť celého čísla zvýraznená v jednom alebo viacerých zlomkoch, preveďte tieto zlomky na nesprávne;
2. Priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi akýmkoľvek spôsobom, ktorý vám vyhovuje (pokiaľ to, samozrejme, neurobili zostavovatelia úloh);
3. Výsledné čísla sčítajte alebo odčítajte podľa pravidiel na sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi;
4. Ak je to možné, znížte výsledok. Ak sa zlomok ukázal ako nesprávny, vyberte celú časť.

Pamätajte, že je lepšie zvýrazniť celú časť na samom konci úlohy, tesne pred napísaním odpovede.

Uvažujme zlomok $\frac63$. Jeho hodnota je 2, pretože $\frac63 =6:3 = 2$. Čo sa stane, ak sa čitateľ a menovateľ vynásobia 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Je zrejmé, že hodnota zlomku sa nezmenila, takže $\frac(12)(6)$ sa tiež rovná 2 ako y. vynásobte čitateľa a menovateľa o 3 a získate $\frac(18)(9)$ alebo o 27 a získate $\frac(162)(81)$ alebo o 101 a získate $\frac(606)(303)$. V každom z týchto prípadov je hodnota zlomku, ktorú dostaneme delením čitateľa menovateľom, 2. To znamená, že sa nezmenila.

Rovnaký vzor je pozorovaný v prípade iných frakcií. Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku $\frac(120)(60)$ (rovná sa 2) vydelí 2 (výsledok $\frac(60)(30)$) alebo 3 (výsledok $\ frac(40)(20) $), alebo o 4 (výsledok $\frac(30)(15)$) atď., potom v každom prípade zostane hodnota zlomku nezmenená a rovná sa 2.

Toto pravidlo platí aj pre zlomky, ktoré sa nerovnajú. celé číslo.

Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku $\frac(1)(3)$ vynásobí 2, dostaneme $\frac(2)(6)$, teda hodnota zlomku sa nezmenila. A v skutočnosti, ak tortu rozdelíte na 3 časti a jednu z nich odoberiete, alebo ju rozdelíte na 6 častí a odoberiete 2 časti, dostanete v oboch prípadoch rovnaké množstvo koláča. Preto sú čísla $\frac(1)(3)$ a $\frac(2)(6)$ totožné. Sformulujme všeobecné pravidlo.

Čitateľ a menovateľ ľubovoľného zlomku možno vynásobiť alebo vydeliť rovnakým číslom a hodnota zlomku sa nemení.

Toto pravidlo je veľmi užitočné. Napríklad umožňuje v niektorých prípadoch, ale nie vždy, vyhnúť sa operáciám s veľkým počtom.

Napríklad môžeme vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku $\frac(126)(189)$ číslom 63 a dostaneme zlomok $\frac(2)(3)$, ktorý je oveľa jednoduchšie vypočítať. Ešte jeden príklad. Čitateľ a menovateľ zlomku $\frac(155)(31)$ môžeme vydeliť 31 a dostaneme zlomok $\frac(5)(1)$ alebo 5, keďže 5:1=5.

V tomto príklade sme sa prvýkrát stretli zlomok, ktorého menovateľ je 1. Takéto zlomky zohrávajú dôležitú úlohu vo výpočtoch. Malo by sa pamätať na to, že akékoľvek číslo možno deliť 1 a jeho hodnota sa nezmení. To znamená, že $\frac(273)(1)$ sa rovná 273; $\frac(509993)(1)$ sa rovná 509993 a tak ďalej. Preto nemusíme deliť čísla , pretože každé celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok s menovateľom 1.

S takýmito zlomkami, ktorých menovateľ sa rovná 1, môžete vykonávať rovnaké aritmetické operácie ako so všetkými ostatnými zlomkami: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Možno sa pýtate, na čo slúži reprezentácia celého čísla ako zlomku, ktorý bude mať jednotku pod čiarou, pretože je pohodlnejšie pracovať s celým číslom. Faktom však je, že reprezentácia celého čísla ako zlomku nám dáva možnosť vykonávať rôzne akcie efektívnejšie, keď sa zaoberáme celými aj zlomkovými číslami súčasne. Napríklad učiť sa pridať zlomky s rôznymi menovateľmi. Predpokladajme, že potrebujeme pridať $\frac(1)(3)$ a $\frac(1)(5)$.

Vieme, že môžete sčítať iba zlomky, ktorých menovatelia sa rovnajú. Musíme sa teda naučiť, ako priviesť zlomky do takejto formy, keď sú ich menovatelia rovnakí. V tomto prípade opäť potrebujeme skutočnosť, že môžete vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom bez toho, aby ste zmenili jeho hodnotu.

Najprv vynásobíme čitateľa a menovateľa zlomku $\frac(1)(3)$ 5. Dostaneme $\frac(5)(15)$, hodnota zlomku sa nezmenila. Potom vynásobíme čitateľa a menovateľa zlomku $\frac(1)(5)$ 3. Dostaneme $\frac(3)(15)$, opäť sa hodnota zlomku nezmenila. Preto $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Teraz sa pokúsime použiť tento systém na sčítanie čísel obsahujúcich celé číslo aj zlomkové časti.

Musíme pridať $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Najprv prevedieme všetky pojmy na zlomky a dostaneme: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Teraz musíme priviesť všetky zlomky k spoločnému menovateľovi, preto vynásobíme čitateľa a menovateľa prvého zlomku 12, druhého 4 a tretieho 3. Výsledkom je $\frac(36 )(12) + \frac(4)(12)+\frac(15)(12)$, čo sa rovná $\frac(55)(12)$. Ak sa chcete zbaviť nesprávny zlomok, možno ho premeniť na číslo pozostávajúce z celého čísla a zlomkovej časti: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ alebo $4\frac( 7) (12) $.

Všetky pravidlá, ktoré to umožňujú operácie so zlomkami, ktoré sme práve študovali, platia aj v prípade záporných čísel. Takže -1: 3 možno zapísať ako $\frac(-1)(3)$ a 1: (-3) ako $\frac(1)(-3)$.

Keďže delenie záporného čísla kladným číslom aj delenie kladného čísla záporným výsledkom v záporných číslach, v oboch prípadoch dostaneme odpoveď v tvare záporného čísla. T.j

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ alebo $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Znamienko mínus, ak je napísané týmto spôsobom, sa vzťahuje na celý zlomok ako celok, a nie samostatne na čitateľa alebo menovateľa.

Na druhej strane, (-1) : (-3) možno zapísať ako $\frac(-1)(-3)$, a keďže delenie záporného čísla záporným číslom dáva kladné číslo, potom $\frac (-1 )(-3)$ možno zapísať ako $+\frac(1)(3)$.

Sčítanie a odčítanie negatívnych zlomkov sa vykonáva rovnakým spôsobom ako sčítanie a odčítanie pozitívnych zlomkov. Napríklad, čo je $ 1-1\frac13$? Predstavme obe čísla ako zlomky a získajme $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Zredukujme zlomky na spoločného menovateľa a získame $\frac(1 \krát 3)(1 \krát 3)-\frac(4)(3)$, teda $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ alebo $-\frac(1)(3)$.