Diferenciálne rovnice v totálnych diferenciáloch. Rovnica v totálnych diferenciáloch Krivočiare integrály obnovenie totálneho diferenciálu

Majúci štandardný tvar $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, v ktorom je ľavá strana celkovým diferenciálom nejakej funkcie $F \left( x,y\right)$ sa nazýva totálna diferenciálna rovnica.

Rovnicu v totálnych diferenciáloch možno vždy prepísať ako $dF\left(x,y\right)=0$, kde $F\left(x,y\right)$ je taká funkcia, že $dF\left(x, y\vpravo)=P\vľavo(x,y\vpravo)\cdot dx+Q\vľavo(x,y\vpravo)\cdot dy$.

Integrujme obe strany rovnice $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; integrál nulovej pravej strany sa rovná ľubovoľnej konštante $C$. Všeobecné riešenie tejto rovnice v implicitnom tvare je teda $F\left(x,y\right)=C$.

Na to, aby daná diferenciálna rovnica bola rovnicou v totálnych diferenciáloch, je potrebné a postačujúce, aby podmienka $\frac(\čiastočné P)(\čiastočné y) =\frac(\čiastočné Q)(\čiastočné x) $ byť uspokojený. Ak je zadaná podmienka splnená, potom existuje funkcia $F\left(x,y\right)$, pre ktorú môžeme napísať: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, z čoho získame dva vzťahy : $\frac(\ čiastočné F)(\čiastočné x) =P\vľavo(x,y\vpravo)$ a $\frac(\čiastočné F)(\čiastočné y) =Q\vľavo(x,y\vpravo )$.

Prvý vzťah integrujeme $\frac(\čiastočné F)(\čiastočné x) =P\vľavo(x,y\vpravo)$ cez $x$ a dostaneme $F\left(x,y\vpravo)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, kde $U\left(y\right)$ je ľubovoľná funkcia $y$.

Vyberme to tak, aby bol splnený druhý vzťah $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$. Aby sme to dosiahli, diferencujeme výsledný vzťah pre $F\left(x,y\right)$ vzhľadom na $y$ a výsledok prirovnáme k $Q\left(x,y\right)$. Dostaneme: $\frac(\čiastočný )(\čiastočný y) \ľavý(\int P\ľavý(x,y\vpravo)\cdot dx \vpravo)+U"\ľavý(y\vpravo)=Q\vľavo (x,y\vpravo)$.

Dalsie riesenie je:

od poslednej rovnosti nájdeme $U"\left(y\right)$;
integrovať $U"\left(y\right)$ a nájsť $U\left(y\right)$;
dosaďte $U\left(y\right)$ do rovnosti $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ a nakoniec získame funkciu $F\left(x,y\right)$.

Nájdeme rozdiel:

Integrujeme $U"\left(y\right)$ cez $y$ a nájdeme $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Nájdite výsledok: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Všeobecné riešenie zapíšeme v tvare $F\left(x,y\right)=C$, a to:

Nájdite konkrétne riešenie $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kde $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Čiastočné riešenie má tvar: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

niektoré funkcie. Ak obnovíme funkciu z jej totálneho diferenciálu, nájdeme všeobecný integrál diferenciálnej rovnice. Nižšie budeme hovoriť o metóda obnovenia funkcie z jej totálneho diferenciálu.

Ľavá strana diferenciálnej rovnice je celkovým diferenciálom nejakej funkcie U(x, y) = 0, ak je splnená podmienka.

Pretože plná diferenciálna funkcia U(x, y) = 0 Toto , čo znamená, že pri splnení podmienky sa uvádza, že .

potom .

Z prvej rovnice sústavy dostaneme . Funkciu nájdeme pomocou druhej rovnice systému:

Takto nájdeme požadovanú funkciu U(x, y) = 0.

Príklad.

Poďme nájsť všeobecné riešenie DE .

Riešenie.

V našom príklade. Podmienka je splnená, pretože:

Potom je ľavá strana počiatočnej diferenciálnej rovnice celkovým diferenciálom nejakej funkcie U(x, y) = 0. Túto funkciu musíme nájsť.

Pretože je celkový diferenciál funkcie U(x, y) = 0, Znamená:

Integrujeme podľa X 1. rovnica sústavy a diferencovať vzhľadom na r výsledok:

Z 2. rovnice sústavy dostaneme . znamená:

Kde S- ľubovoľná konštanta.

Všeobecný integrál danej rovnice teda bude .

Existuje aj druhý metóda výpočtu funkcie z jej celkového diferenciálu. Pozostáva z prevzatia úsečky integrálu pevného bodu (x 0, y 0) do bodu s premenlivými súradnicami (x, y): . V tomto prípade je hodnota integrálu nezávislá od cesty integrácie. Je vhodné vziať ako integračnú cestu prerušovanú čiaru, ktorej prepojenia sú rovnobežné so súradnicovými osami.

Príklad.

Poďme nájsť všeobecné riešenie DE .

Riešenie.

Kontrolujeme splnenie podmienky:

Ľavá strana diferenciálnej rovnice je teda úplným diferenciálom nejakej funkcie U(x, y) = 0. Nájdite túto funkciu výpočtom krivočiareho integrálu bodu (1; 1) predtým (x, y). Ako cestu integrácie berieme prerušovanú čiaru: prvá časť prerušovanej čiary prechádza po priamke y = 1 z bodu (1, 1) predtým (x, 1), druhá časť cesty preberá priamku z bodu (x, 1) predtým (x, y):

Takže všeobecné riešenie diaľkového ovládača vyzerá takto: .

Príklad.

Stanovme všeobecné riešenie DE.

Riešenie.

Pretože , čo znamená, že podmienka nie je splnená, potom ľavá strana diferenciálnej rovnice nebude úplným diferenciálom funkcie a je potrebné použiť druhú metódu riešenia (táto rovnica je diferenciálna rovnica s oddeliteľnými premennými).

V tejto téme sa pozrieme na metódu rekonštrukcie funkcie z jej totálneho diferenciálu a uvedieme príklady problémov s kompletnou analýzou riešenia.

Stáva sa, že diferenciálne rovnice (DE) tvaru P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 môžu obsahovať úplné diferenciály niektorých funkcií na ľavej strane. Potom môžeme nájsť všeobecný integrál diferenciálnej rovnice, ak najskôr zrekonštruujeme funkciu z jej totálneho diferenciálu.

Príklad 1

Uvažujme rovnicu P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Ľavá strana obsahuje diferenciál určitej funkcie U(x, y) = 0. Na to musí byť splnená podmienka ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Celkový diferenciál funkcie U (x, y) = 0 má tvar d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Ak vezmeme do úvahy podmienku ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x dostaneme:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Transformáciou prvej rovnice z výslednej sústavy rovníc môžeme získať:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Funkciu φ (y) môžeme nájsť z druhej rovnice predtým získaného systému:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y d y

Takto sme našli požadovanú funkciu U (x, y) = 0.

Príklad 2

Nájdite všeobecné riešenie pre diferenciálnu rovnicu (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Riešenie

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Skontrolujme, či je splnená podmienka ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Naša podmienka je splnená.

Na základe výpočtov môžeme usúdiť, že ľavá strana pôvodnej diferenciálnej rovnice je celkovým diferenciálom nejakej funkcie U (x, y) = 0. Túto funkciu musíme nájsť.

Keďže (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y je celkový diferenciál funkcie U (x, y) = 0, potom

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integrujme prvú rovnicu systému vzhľadom na x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Teraz diferencujeme výsledný výsledok vzhľadom na y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Transformáciou druhej rovnice systému dostaneme: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Znamená to, že
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

kde C je ľubovoľná konštanta.

Dostaneme: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Všeobecný integrál pôvodnej rovnice je x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Pozrime sa na inú metódu hľadania funkcie pomocou známeho totálneho diferenciálu. Zahŕňa použitie krivočiareho integrálu z pevného bodu (x 0, y 0) do bodu s premenlivými súradnicami (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

V takýchto prípadoch hodnota integrálu nijako nezávisí od cesty integrácie. Ako integračnú cestu môžeme brať prerušovanú čiaru, ktorej spojnice sú umiestnené rovnobežne so súradnicovými osami.

Príklad 3

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Riešenie

Skontrolujme, či je splnená podmienka ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Ukazuje sa, že ľavú stranu diferenciálnej rovnice predstavuje celkový diferenciál nejakej funkcie U (x, y) = 0. Na nájdenie tejto funkcie je potrebné vypočítať čiarový integrál bodu (1 ; 1) predtým (x, y). Zoberme si ako cestu integrácie prerušovanú čiaru, ktorej úseky budú prechádzať v priamke y = 1 z bodu (1, 1) do (x, 1) a potom z bodu (x, 1) do (x, y):

∫ (1 , 1) (x, y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x, 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Získali sme všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice v tvare x y - x y 2 + C = 0.

Príklad 4

Určte všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Riešenie

Skontrolujme, či je splnená podmienka ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Keďže ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, podmienka nebude splnená. To znamená, že ľavá strana diferenciálnej rovnice nie je úplným diferenciálom funkcie. Ide o diferenciálnu rovnicu so separovateľnými premennými a na jej riešenie sú vhodné iné riešenia.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Diferenciál nazývaná rovnica tvaru

P(x, y)dx + Q(x, y)D Y = 0 ,

kde ľavá strana je celkový diferenciál ľubovoľnej funkcie dvoch premenných.

Označme neznámu funkciu dvoch premenných (to je to, čo treba nájsť pri riešení rovníc v totálnych diferenciáloch) F a čoskoro sa k tomu vrátime.

Prvá vec, ktorú by ste mali venovať pozornosť, je, že na pravej strane rovnice musí byť nula a znamienko spájajúce dva výrazy na ľavej strane musí byť plus.

Po druhé, musí sa dodržiavať určitá rovnosť, ktorá potvrdzuje, že táto diferenciálna rovnica je rovnicou totálnych diferenciálov. Táto kontrola je povinnou súčasťou algoritmu na riešenie rovníc v totálnych diferenciáloch (je v druhom odseku tejto lekcie), takže proces hľadania funkcie F dosť náročné na prácu a je dôležité sa v počiatočnej fáze uistiť, že nestrácame čas.

Neznáma funkcia, ktorú treba nájsť, je teda označená F. Súčet parciálnych diferenciálov pre všetky nezávislé premenné dáva celkový diferenciál. Preto, ak je rovnica totálna diferenciálna rovnica, ľavá strana rovnice je súčtom parciálnych diferenciálov. Potom podľa definície

dF = P(x, y)dx + Q(x, y)D Y .

Pripomeňme si vzorec na výpočet celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných:

Vyriešenie posledných dvoch rovnosti môžeme napísať

Prvú rovnosť diferencujeme vzhľadom na premennú „y“, druhú - vzhľadom na premennú „x“:

čo je podmienka, aby daná diferenciálna rovnica bola skutočne totálnou diferenciálnou rovnicou.

Algoritmus riešenia diferenciálnych rovníc v totálnych diferenciáloch

Krok 1. Uistite sa, že rovnica je totálna diferenciálna rovnica. Aby sa výraz bol celkový diferenciál nejakej funkcie F(x, y) je potrebné a postačujúce na to . Inými slovami, musíte brať čiastočnú deriváciu s ohľadom na X a čiastočná derivácia vzhľadom na r iný člen a ak sú tieto derivácie rovnaké, potom rovnica je totálna diferenciálna rovnica.

Krok 2. Napíšte sústavu parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré tvoria funkciu F:

Krok 3. Integrujte prvú rovnicu systému - podľa X (r F:

,
r.

Alternatívnou možnosťou (ak je jednoduchšie nájsť integrál týmto spôsobom) je integrácia druhej rovnice systému - r (X zostáva konštantná a je vyňatá zo znamienka integrálu). Týmto spôsobom sa obnoví aj funkcia F:

,
kde je zatiaľ neznáma funkcia X.

Krok 4. Výsledok kroku 3 (nájdený všeobecný integrál) sa diferencuje o r(alternatívne - podľa X) a rovnať sa druhej rovnici systému:

a v alternatívnej verzii - k prvej rovnici systému:

Z výslednej rovnice určíme (alternatívne)

Krok 5. Výsledkom kroku 4 je integrovať a nájsť (prípadne nájsť ).

Krok 6. Dosaďte výsledok kroku 5 do výsledku kroku 3 - do funkcie obnovenej čiastočnou integráciou F. Svojvoľná konštanta Cčasto sa píše za znakom rovnosti - na pravej strane rovnice. Takto získame všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice v totálnych diferenciáloch. Ako už bolo spomenuté, má formu F(x, y) = C.

Príklady riešení diferenciálnych rovníc v totálnych diferenciáloch

Príklad 1

Krok 1. rovnica v totálnych diferenciáloch X jeden výraz na ľavej strane výrazu

a čiastočná derivácia vzhľadom na r iný termín
rovnica v totálnych diferenciáloch .

Krok 2. F:

Krok 3. Autor: X (r zostáva konštantná a je vyňatá zo znamienka integrálu). Tým obnovíme funkciu F:

kde je zatiaľ neznáma funkcia r.

Krok 4. r

Krok 5.

Krok 6. F. Svojvoľná konštanta C :
.

Aká chyba sa tu s najväčšou pravdepodobnosťou vyskytne? Najčastejšími chybami je vziať parciálny integrál nad jednou z premenných za obvyklý integrál súčinu funkcií a pokúsiť sa integrovať po častiach alebo náhradnej premennej a tiež brať parciálnu deriváciu dvoch faktorov ako deriváciu funkcie. súčin funkcií a hľadať deriváciu pomocou zodpovedajúceho vzorca.

Toto je potrebné mať na pamäti: pri výpočte parciálneho integrálu vzhľadom na jednu z premenných je druhá konštanta a je vyňatá zo znamienka integrálu a pri výpočte parciálnej derivácie vzhľadom na jednu z premenných je druhá konštanta. je tiež konštanta a derivácia výrazu sa nachádza ako derivácia „pôsobiacej“ premennej vynásobená konštantou.

Medzi rovnice v totálnych diferenciáloch Nie je nezvyčajné nájsť príklady s exponenciálnou funkciou. Toto je ďalší príklad. Je pozoruhodný aj tým, že jeho riešenie využíva alternatívnu možnosť.

Príklad 2 Riešiť diferenciálnu rovnicu

Krok 1. Uistime sa, že rovnica platí rovnica v totálnych diferenciáloch . Aby sme to dosiahli, nájdeme čiastočnú deriváciu vzhľadom na X jeden výraz na ľavej strane výrazu

a čiastočná derivácia vzhľadom na r iný termín
. Tieto deriváty sú rovnaké, čo znamená, že rovnica je rovnica v totálnych diferenciáloch .

Krok 2. Napíšme sústavu parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré tvoria funkciu F:

Krok 3. Integrujme druhú rovnicu sústavy – podľa r (X zostáva konštantná a je vyňatá zo znamienka integrálu). Tým obnovíme funkciu F:

kde je zatiaľ neznáma funkcia X.

Krok 4. Výsledok kroku 3 (nájdený všeobecný integrál) diferencujeme vzhľadom na X

a rovnať sa prvej rovnici systému:

Z výslednej rovnice určíme:
.

Krok 5. Integrujeme výsledok kroku 4 a nájdeme:
.

Krok 6. Výsledok kroku 5 dosadíme do výsledku kroku 3 - do funkcie obnovenej čiastočnou integráciou F. Svojvoľná konštanta C písať za znakom rovnosti. Tak dostaneme súčet riešenie diferenciálnej rovnice v totálnych diferenciáloch :
.

V nasledujúcom príklade sa vrátime z alternatívnej možnosti k hlavnej.

Príklad 3 Riešiť diferenciálnu rovnicu

Krok 1. Uistime sa, že rovnica platí rovnica v totálnych diferenciáloch . Aby sme to dosiahli, nájdeme čiastočnú deriváciu vzhľadom na r jeden výraz na ľavej strane výrazu

a čiastočná derivácia vzhľadom na X iný termín
. Tieto deriváty sú rovnaké, čo znamená, že rovnica je rovnica v totálnych diferenciáloch .

Krok 2. Napíšme sústavu parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré tvoria funkciu F:

Krok 3. Poďme integrovať prvú rovnicu systému - Autor: X (r zostáva konštantná a je vyňatá zo znamienka integrálu). Tým obnovíme funkciu F:

kde je zatiaľ neznáma funkcia r.

Krok 4. Výsledok kroku 3 (nájdený všeobecný integrál) diferencujeme vzhľadom na r

a rovnať sa druhej rovnici systému:

Z výslednej rovnice určíme:
.

Krok 5. Integrujeme výsledok kroku 4 a nájdeme:

Príklad 4. Riešiť diferenciálnu rovnicu

Krok 2. Napíšme sústavu parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré tvoria funkciu F:

Krok 3. Poďme integrovať prvú rovnicu systému - Autor: X (r zostáva konštantná a je vyňatá zo znamienka integrálu). Tým obnovíme funkciu F:

kde je zatiaľ neznáma funkcia r.

Krok 4. Výsledok kroku 3 (nájdený všeobecný integrál) diferencujeme vzhľadom na r

a rovnať sa druhej rovnici systému:

Z výslednej rovnice určíme:
.

Krok 5. Integrujeme výsledok kroku 4 a nájdeme:

Príklad 5. Riešiť diferenciálnu rovnicu

Definícia 8.4. Diferenciálna rovnica tvaru

Kde
sa nazýva totálna diferenciálna rovnica.

Všimnite si, že ľavá strana takejto rovnice je celkovým diferenciálom nejakej funkcie
.

Vo všeobecnosti možno rovnicu (8.4) znázorniť ako

Namiesto rovnice (8.5) môžeme uvažovať o rovnici

ktorého riešením je všeobecný integrál rovnice (8.4). Na vyriešenie rovnice (8.4) je teda potrebné nájsť funkciu
. V súlade s definíciou rovnice (8.4) máme

(8.6)

Funkcia
budeme hľadať funkciu, ktorá spĺňa jednu z týchto podmienok (8.6):

Kde - ľubovoľná funkcia nezávislá od .

Funkcia
je definovaná tak, aby bola splnená druhá podmienka výrazu (8.6).

(8.7)

Z výrazu (8.7) je určená funkcia
. Nahradením do výrazu pre
a získajte všeobecný integrál pôvodnej rovnice.

Problém 8.3. Integrovať rovnicu

Tu
.

Preto táto rovnica patrí k typu diferenciálnych rovníc v totálnych diferenciáloch. Funkcia
budeme hľadať vo forme

Na druhej strane,

V niektorých prípadoch stav
nemusia byť splnené.

Potom sa takéto rovnice zredukujú na uvažovaný typ vynásobením takzvaným integračným faktorom, ktorý je vo všeobecnom prípade iba funkciou alebo .

Ak má niektorá rovnica integračný faktor, ktorý závisí len od , potom sa určí podľa vzorca

kde je vzťah by mala byť len funkcia .

Podobne integračný faktor závisí len od , sa určuje podľa vzorca

kde je vzťah
by mala byť len funkcia .

Absencia v daných vzťahoch, v prvom prípade, premennej a v druhom - premenná , sú znakom existencie integrujúceho faktora pre danú rovnicu.

Problém 8.4. Redukujte túto rovnicu na rovnicu v totálnych diferenciáloch.

Zvážte vzťah:

Téma 8.2. Lineárne diferenciálne rovnice

Definícia 8.5. Diferenciálnej rovnice
sa nazýva lineárny, ak je lineárny vzhľadom na požadovanú funkciu , jeho derivát a neobsahuje súčin požadovanej funkcie a jej derivácie.

Všeobecný tvar lineárnej diferenciálnej rovnice predstavuje nasledujúci vzťah:

(8.8)

Ak je vo vzťahu (8.8) pravá strana
, potom sa takáto rovnica nazýva lineárna homogénna. V prípade, že pravá strana
, potom sa takáto rovnica nazýva lineárna nehomogénna.

Ukážme, že rovnicu (8.8) možno integrovať do kvadratúr.

V prvej fáze uvažujeme lineárnu homogénnu rovnicu.

Takáto rovnica je rovnica s oddeliteľnými premennými. naozaj,

;

Posledný vzťah určuje všeobecné riešenie lineárnej homogénnej rovnice.

Na nájdenie všeobecného riešenia lineárnej nehomogénnej rovnice sa používa metóda variácie derivácie konštanty. Myšlienkou metódy je, že všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice je v rovnakej forme ako riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice, ale má ľubovoľnú konštantu nahradená nejakou funkciou
byť odhodlaný. Takže máme:

(8.9)

Dosadenie zodpovedajúcich výrazov do vzťahu (8.8).
A
, dostaneme

Dosadením posledného výrazu do vzťahu (8.9) dostaneme všeobecný integrál lineárnej nehomogénnej rovnice.

Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice je teda určené dvoma kvadratúrami: všeobecným riešením lineárnej homogénnej rovnice a konkrétnym riešením lineárnej nehomogénnej rovnice.

Problém 8.5. Integrovať rovnicu