16.1. Rozšírenie elementárnych funkcií do Taylorovho radu a

Maclaurin

Ukážme, že ak je na množine definovaná ľubovoľná funkcia
, v blízkosti bodu
má veľa derivátov a je súčtom mocninového radu:

potom môžete nájsť koeficienty tohto radu.

Dosadíme v mocninnom rade
. Potom
.

Nájdite prvú deriváciu funkcie
:

O
:
.

Pre druhú deriváciu dostaneme:

O
:
.

Pokračovanie v tomto postupe n akonáhle dostaneme:
.

Takto sme dostali mocninný rad v tvare:

,

ktorá sa volá vedľa Taylora pre funkciu
v blízkosti bodu
.

Špeciálnym prípadom Taylorovho radu je Séria Maclaurin pri
:

Zvyšok série Taylor (Maclaurin) sa získa vyradením hlavnej série n prvými členmi a označuje sa ako
. Potom funkcia
možno zapísať ako súčet n prví členovia série
a zvyšok
:,

.

Zvyšok je zvyčajne
vyjadrené v rôznych vzorcoch.

Jeden z nich je vo forme Lagrange:

, Kde
.
.

Všimnite si, že v praxi sa častejšie používa séria Maclaurin. Aby bolo možné napísať funkciu
vo forme súčtu mocninového radu je potrebné:

1) nájdite koeficienty série Maclaurin (Taylor);

2) nájdite oblasť konvergencie výsledného mocninového radu;

3) dokážte, že tento rad konverguje k funkcii
.

Veta1 (nevyhnutná a postačujúca podmienka pre konvergenciu Maclaurinovho radu). Nech je polomer konvergencie radu
. Aby tento rad v intervale konvergoval
k funkcii
, na splnenie podmienky je potrebné a postačujúce:
v určenom intervale.

Veta 2. Ak derivácie ľubovoľného rádu funkcie
v nejakom intervale
v absolútnej hodnote obmedzené na rovnaký počet M, teda
, potom v tomto intervale funkcia
možno rozšíriť v sérii Maclaurin.

Príklad1 . Expandujte v Taylorovom rade v blízkosti bodu
funkciu

Riešenie.

.

, ;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Konvergenčný región
.

Príklad2 . Rozbaľte funkciu v Taylorovom rade v blízkosti bodu
.

Riešenie:

Nájdite hodnotu funkcie a jej derivácií na
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Dajme tieto hodnoty do radu. Dostaneme:

alebo
.

Nájdite oblasť konvergencie tohto radu. Podľa d'Alembertovho testu séria konverguje, ak

.

Preto pre akékoľvek táto hranica je menšia ako 1, a preto rozsah konvergencie radu bude:
.

Uvažujme niekoľko príkladov rozšírenia základných elementárnych funkcií Maclaurinovým radom. Pripomeňme, že séria Maclaurin:

.

konverguje na intervale
k funkcii
.

Všimnite si, že na rozšírenie funkcie do série je potrebné:

a) nájdite koeficienty Maclaurinovho radu pre túto funkciu;

b) vypočítajte polomer konvergencie pre výsledný rad;

c) dokážte, že výsledný rad konverguje k funkcii
.

Príklad 3 Zvážte funkciu
.

Riešenie.

Vypočítajme hodnotu funkcie a jej derivácií at
.

Potom majú číselné koeficienty radu tvar:

pre hocikoho n. Dosaďte nájdené koeficienty do Maclaurinovho radu a získame:

Nájdite polomer konvergencie výsledného radu, a to:

.

Preto rad konverguje k intervalu
.

Tento rad konverguje k funkcii pre akékoľvek hodnoty , pretože na akomkoľvek intervale
funkciu a jeho deriváty v absolútnej hodnote sú obmedzené počtom .

Príklad4 . Zvážte funkciu
.

Riešenie.

:

Je ľahké vidieť, že deriváty párneho poriadku
a deriváty sú nepárneho poradia. Dosadíme nájdené koeficienty do Maclaurinovho radu a získame rozšírenie:

Nájdite interval konvergencie tohto radu. Podľa d'Alembertovho znamenia:

pre hocikoho . Preto rad konverguje k intervalu
.

Tento rad konverguje k funkcii
, pretože všetky jeho deriváty sú obmedzené na jednotu.

Príklad5 .
.

Riešenie.

Nájdite hodnotu funkcie a jej derivácií na
:

Takže koeficienty tohto radu:
A
, teda:

Podobne ako v predchádzajúcom riadku, oblasť konvergencie
. Rad konverguje k funkcii
, pretože všetky jeho deriváty sú obmedzené na jednotu.

Upozorňujeme, že funkcia
nepárne a radové rozšírenie v nepárnych mocninách, funkcia
– párne a rozšírenie do radu v párnych mocninách.

Príklad6 . Binomický rad:
.

Riešenie.

Nájdite hodnotu funkcie a jej derivácií na
:

Z toho je vidieť, že:

Dosaďte tieto hodnoty koeficientov do Maclaurinovho radu a získajme rozšírenie tejto funkcie do mocninového radu:

Nájdite polomer konvergencie tohto radu:

Preto rad konverguje k intervalu
. V hraničných bodoch pri
A
rad môže alebo nemusí konvergovať v závislosti od exponentu
.

Študovaný rad konverguje na intervale
k funkcii
, teda súčet série
pri
.

Príklad7 . Rozšírme funkciu v sérii Maclaurin
.

Riešenie.

Na rozšírenie tejto funkcie na rad používame binomický rad at
. Dostaneme:

Na základe vlastnosti mocninného radu (mocninový rad možno integrovať v oblasti jeho konvergencie) nájdeme integrál ľavej a pravej strany tohto radu:

Nájdite oblasť konvergencie tohto radu:
,

to znamená, že oblasťou konvergencie tohto radu je interval
. Určme konvergenciu radu na koncoch intervalu. O

. Táto séria je harmonická séria, to znamená, že sa rozchádza. O
dostaneme číselný rad so spoločným členom
.

Séria konverguje podľa Leibnizovho testu. Oblasťou konvergencie tohto radu je teda interval
.

16.2. Aplikácia mocninových radov v približných výpočtoch

V približných výpočtoch zohrávajú mocninné rady mimoriadne dôležitú úlohu. S ich pomocou boli zostavené tabuľky goniometrických funkcií, tabuľky logaritmov, tabuľky hodnôt iných funkcií, ktoré sa používajú v rôznych oblastiach vedomostí, napríklad v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike. Okrem toho je rozšírenie funkcií do mocninového radu užitočné pre ich teoretické štúdium. Hlavným problémom pri použití mocninových radov v približných výpočtoch je otázka odhadu chyby pri nahradení súčtu radu súčtom jeho prvého nčlenov.

Zoberme si dva prípady:

funkcia je rozšírená do radu so striedaním znamienok;

funkcia je rozšírená do radu konštantných znamienkov.

Výpočet pomocou striedavých radov

Nechajte funkciu
rozšírený do striedavého výkonového radu. Potom pri výpočte tejto funkcie pre konkrétnu hodnotu dostaneme číselný rad, na ktorý môžeme aplikovať Leibnizovo kritérium. V súlade s týmto kritériom, ak sa súčet série nahradí súčtom jej prvého nčleny, potom absolútna chyba nepresiahne prvý člen zvyšku tohto radu, to znamená:
.

Príklad8 . Vypočítajte
s presnosťou 0,0001.

Riešenie.

Na to použijeme sériu Maclaurin
, nahradením hodnoty uhla v radiánoch:

Ak porovnáme prvý a druhý člen radu s danou presnosťou, potom: .

Tretí termín rozšírenia:

menšia ako špecifikovaná presnosť výpočtu. Preto počítať
stačí nechať dva termíny série, tzn

.

Teda
.

Príklad9 . Vypočítajte
s presnosťou 0,001.

Riešenie.

Použijeme vzorec binomického radu. Aby sme to urobili, napíšme
ako:
.

V tomto výraze
,

Porovnajme každý z výrazov série s presnosťou, ktorá je špecifikovaná. To je jasné
. Preto počítať
stačí nechať tri termíny série.

alebo
.

Výpočet pomocou kladných sérií

Príklad10 . Vypočítajte číslo s presnosťou 0,001.

Riešenie.

V rade pre funkciu
poďme nahradiť
. Dostaneme:

Odhadnime chybu, ktorá vznikne pri nahradení súčtu radu súčtom prvého členov. Zapíšme si zjavnú nerovnosť:

to je 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Podľa problému musíte nájsť n tak, že platí nasledujúca nerovnosť:
alebo
.

Je ľahké skontrolovať, že kedy n= 6:
.

teda
.

Príklad11 . Vypočítajte
s presnosťou 0,0001.

Riešenie.

Všimnite si, že na výpočet logaritmov je možné použiť sériu funkcie
, ale tento rad konverguje veľmi pomaly a na dosiahnutie danej presnosti by bolo potrebné odobrať 9999 členov! Preto sa na výpočet logaritmov spravidla používa rad funkcie
, ktorá konverguje na intervale
.

Poďme počítať
pomocou tejto série. Nechaj
, Potom .

teda
,

Aby bolo možné vypočítať
s danou presnosťou vezmite súčet prvých štyroch výrazov:
.

Zvyšok série
zahoďme to. Odhadnime chybu. To je zrejmé

alebo
.

V rade, ktorý bol použitý na výpočet, teda stačilo vziať len prvé štyri členy namiesto 9999 v rade pre funkciu
.

Samodiagnostické otázky

1. Čo je to Taylorov rad?

2. Akú podobu mala séria Maclaurin?

3. Formulujte vetu o expanzii funkcie v Taylorovom rade.

4. Napíšte rozšírenie Maclaurinovho radu hlavných funkcií.

5. Označte oblasti konvergencie uvažovaného radu.

6. Ako odhadnúť chybu pri približných výpočtoch pomocou mocninových radov?

Študenti vyššej matematiky by mali vedieť, že súčet určitého mocninného radu prislúchajúceho do intervalu konvergencie radu, ktorý nám bol daný, sa ukazuje ako spojitá a neobmedzene mnohonásobne diferencovaná funkcia. Vzniká otázka: je možné povedať, že daná ľubovoľná funkcia f(x) je súčtom určitého mocninného radu? To znamená, za akých podmienok môže byť funkcia f(x) reprezentovaná mocninným radom? Dôležitosť tejto otázky spočíva v tom, že je možné približne nahradiť funkciu f(x) súčtom niekoľkých prvých členov mocninného radu, teda polynómu. Toto nahradenie funkcie pomerne jednoduchým výrazom - polynómom - je tiež vhodné pri riešení určitých problémov, a to: pri riešení integrálov, pri výpočte atď.

Je dokázané, že pre určitú funkciu f(x), v ktorej je možné počítať derivácie až do (n+1)-ého rádu, vrátane posledného, ​​v okolí (α - R; x 0 + R ) nejaký bod x = α, je pravda, že vzorec:

Tento vzorec je pomenovaný po slávnej vedkyni Brooke Taylor. Séria získaná z predchádzajúcej sa nazýva séria Maclaurin:

Pravidlo, ktoré umožňuje vykonať rozšírenie v sérii Maclaurin:

1. Určte derivácie prvého, druhého, tretieho... rádu.
2. Vypočítajte, čomu sa rovnajú derivácie v x=0.
3. Napíšte Maclaurinov rad pre túto funkciu a potom určte interval jej konvergencie.
4. Určte interval (-R;R), kde je zvyšok Maclaurinovho vzorca

Rn (x) -> 0 v n -> nekonečne. Ak existuje, funkcia f(x) v ňom sa musí zhodovať so súčtom Maclaurinovho radu.

Uvažujme teraz sériu Maclaurin pre jednotlivé funkcie.

1. Takže prvý bude f(x) = e x. Samozrejme, podľa svojich charakteristík má takáto funkcia derivácie veľmi odlišných rádov a f (k) (x) = e x , kde k sa rovná všetkým. Dosaďte x = 0. Dostaneme f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Na základe vyššie uvedeného bude rad e x vyzerať takto:

2. Maclaurinov rad pre funkciu f(x) = sin x. Hneď si ujasnime, že funkcia pre všetky neznáme bude mať derivácie, navyše f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), kde k sa rovná ľubovoľnému prirodzenému číslu. To znamená, že po vykonaní jednoduchých výpočtov môžeme dospieť k záver, že séria pre f(x) = sin x bude vyzerať takto:

3. Teraz skúsme zvážiť funkciu f(x) = cos x. Pre všetky neznáme má derivácie ľubovoľného poriadku a |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Uviedli sme teda najdôležitejšie funkcie, ktoré môžu byť rozšírené v rade Maclaurin, ale pre niektoré funkcie sú doplnené o Taylorov rad. Teraz ich uvedieme. Za zmienku tiež stojí, že Taylorove a Maclaurinove rady sú dôležitou súčasťou praktickej práce na riešení radov vo vyššej matematike. Takže séria Taylor.

1. Prvý bude rad pre funkciu f(x) = ln(1+x). Rovnako ako v predchádzajúcich príkladoch, pre dané f(x) = ln(1+x) môžeme sčítať rad pomocou všeobecného tvaru Maclaurinovho radu. avšak pre túto funkciu sa séria Maclaurin dá získať oveľa jednoduchšie. Integráciou určitého geometrického radu dostaneme sériu pre f(x) = ln(1+x) takejto vzorky:

2. A druhý, ktorý bude v našom článku konečný, bude rad pre f(x) = arctan x. Pre x patriace do intervalu [-1;1] platí rozšírenie:

To je všetko. Tento článok skúmal najpoužívanejšie Taylorove a Maclaurinove rady vo vyššej matematike, najmä na ekonomických a technických univerzitách.

Ak má funkcia f(x) derivácie všetkých rádov na určitom intervale obsahujúcom bod a, možno na ňu použiť Taylorov vzorec:
,
Kde r n– takzvaný zvyšok alebo zvyšok radu, možno ho odhadnúť pomocou Lagrangeovho vzorca:
, kde číslo x je medzi x a a.

Pravidlá pre zadávanie funkcií:

Ak pre nejakú hodnotu X r n→0 o n→∞, potom v limite sa Taylorov vzorec stane konvergentným pre túto hodnotu Taylorova séria:
,
Funkciu f(x) je teda možné rozšíriť na Taylorov rad v uvažovanom bode x, ak:
1) má deriváty všetkých rádov;
2) zostrojený rad v tomto bode konverguje.

Keď a = 0 dostaneme rad tzv neďaleko Maclaurinu:
,
Rozšírenie najjednoduchších (elementárnych) funkcií v rade Maclaurin:
Exponenciálne funkcie
R = ∞
Goniometrické funkcie
R = ∞
R = ∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcia actgx sa nerozpína ​​v mocninách x, pretože ctg0=∞
Hyperbolické funkcie


Logaritmické funkcie
, -1
Binomický rad
.

Príklad č.1. Rozbaľte funkciu na mocninový rad f(x)= 2X.
Riešenie. Nájdeme hodnoty funkcie a jej derivátov na X=0
f(x) = 2X, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2X ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2X V 22, f""( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2X ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.
Nahradením získaných hodnôt derivátov do vzorca Taylorovho radu získame:

Polomer konvergencie tohto radu sa rovná nekonečnu, preto toto rozšírenie platí pre -∞<X<+∞.

Príklad č.2. Napíšte Taylorovu sériu v mocninách ( X+4) pre funkciu f(x)= e X.
Riešenie. Hľadanie derivácií funkcie e X a ich hodnoty v bode X=-4.
f(x)= e X, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e X, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e X, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .
Preto požadovaný Taylorov rad funkcie má tvar:

Toto rozšírenie platí aj pre -∞<X<+∞.

Príklad č.3. Rozbaľte funkciu f(x)=ln X v sérii v mocnostiach ( X- 1),
(t. j. v Taylorovom rade v blízkosti bodu X=1).
Riešenie. Nájdite deriváty tejto funkcie.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Nahradením týchto hodnôt do vzorca získame požadovaný Taylorov rad:

Pomocou d'Alembertovho testu môžete overiť, že séria konverguje pri ½x-1½<1 . Действительно,

Rad konverguje, ak ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 dostaneme striedavý rad, ktorý spĺňa podmienky Leibnizovho kritéria. Keď x=0 funkcia nie je definovaná. Oblasť konvergencie Taylorovho radu je teda polootvorený interval (0;2].

Príklad č.4. Rozbaľte funkciu na mocninový rad.
Riešenie. V expanzii (1) nahradíme x -x 2, dostaneme:
, -∞

Príklad č.5. Rozšírte funkciu v sérii Maclaurin .
Riešenie. Máme
Pomocou vzorca (4) môžeme napísať:

nahradením –x namiesto x vo vzorci dostaneme:

Odtiaľto nájdeme: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Dostaneme otvorenie zátvoriek, preusporiadanie podmienok série a prinesenie podobných podmienok
. Tento rad konverguje v intervale (-1;1), keďže je získaný z dvoch radov, z ktorých každý konverguje v tomto intervale.

Komentujte .
Vzorce (1)-(5) možno použiť aj na rozšírenie zodpovedajúcich funkcií do Taylorovho radu, t.j. pre rozširujúce funkcie v kladných celých číslach ( Ha). Na to je potrebné vykonať také identické transformácie na danej funkcii, aby sme získali jednu z funkcií (1)-(5), v ktorej namiesto X náklady k( Ha) m , kde k je konštantné číslo, m je kladné celé číslo. Často je vhodné vykonať zmenu premennej t=Ha a rozšíriť výslednú funkciu vzhľadom na t v Maclaurinovom rade.

Táto metóda je založená na teoréme o jedinečnosti expanzie funkcie v mocninnom rade. Podstatou tejto vety je, že v okolí toho istého bodu nemožno získať dva rôzne mocninné rady, ktoré by konvergovali k tej istej funkcii, bez ohľadu na to, ako sa jej expanzia vykonáva.

Príklad č. 5a. Rozšírte funkciu v Maclaurinovom rade a označte oblasť konvergencie.
Riešenie. Najprv nájdeme 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
na základné:

Zlomok 3/(1-3x) možno považovať za súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti s menovateľom 3x, ak |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

s konvergenčným regiónom |x|< 1/3.

Príklad č.6. Rozviňte funkciu do Taylorovho radu v blízkosti bodu x = 3.
Riešenie. Tento problém je možné vyriešiť, ako predtým, pomocou definície Taylorovho radu, pre ktorý musíme nájsť deriváty funkcie a ich hodnoty na X=3. Bude však jednoduchšie použiť existujúce rozšírenie (5):
=
Výsledný rad konverguje na alebo –3

Príklad č.7. Napíšte Taylorov rad v mocninách (x -1) funkcie ln(x+2) .
Riešenie.


Séria konverguje na , alebo -2< x < 5.

Príklad č. 8. Rozviňte funkciu f(x)=sin(πx/4) do Taylorovho radu v blízkosti bodu x =2.
Riešenie. Urobme náhradu t=x-2:

Pomocou rozšírenia (3), v ktorom namiesto x dosadíme π / 4 t, dostaneme:

Výsledný rad konverguje k danej funkcii pri -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞teda
, (-∞

Približné výpočty pomocou mocninových radov

Mocninné rady sú široko používané v približných výpočtoch. S ich pomocou môžete vypočítať hodnoty koreňov, goniometrické funkcie, logaritmy čísel a určité integrály s danou presnosťou. Pri integrácii diferenciálnych rovníc sa používajú aj rady.
Zvážte rozšírenie funkcie v mocninnom rade:

Aby sa vypočítala približná hodnota funkcie v danom bode X, patriace do oblasti konvergencie označeného radu, prvé sú ponechané v jeho expanzii nčlenovia ( n– konečný počet) a zvyšné výrazy sa vyradia:

Pre odhad chyby získanej približnej hodnoty je potrebné odhadnúť vyradený zvyšok rn (x) . Ak to chcete urobiť, použite nasledujúce techniky:

• ak je výsledný rad striedavý, použije sa nasledujúca vlastnosť: v prípade striedavej série, ktorá spĺňa Leibnizove podmienky, zvyšok série v absolútnej hodnote nepresahuje prvý vyradený člen.
• ak má daný rad konštantné znamienko, potom sa rad zložený z vyradených členov porovnáva s nekonečne klesajúcou geometrickou progresiou.
• vo všeobecnom prípade na odhad zvyšku Taylorovho radu môžete použiť Lagrangeov vzorec: a X ).

Príklad č.1. Vypočítajte ln(3) s presnosťou na 0,01.
Riešenie. Použime rozšírenie, kde x=1/2 (pozri príklad 5 v predchádzajúcej téme):

Skontrolujeme, či môžeme zvyšok po prvých troch členoch expanzie zahodiť, na to ho vyhodnotíme pomocou súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti:

Takže môžeme tento zvyšok zahodiť a získať

Príklad č.2. Vypočítajte s presnosťou na 0,0001.
Riešenie. Použime binomický rad. Keďže 5 3 je kocka celého čísla najbližšie k 130, odporúča sa znázorniť číslo 130 ako 130 = 5 3 +5.



keďže už štvrtý člen výsledného striedavého radu, ktorý spĺňa Leibnizovo kritérium, je menší ako požadovaná presnosť:
, takže ho a nasledujúce výrazy možno zahodiť.
Mnoho prakticky potrebných určitých alebo nevlastných integrálov nie je možné vypočítať pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca, pretože jeho aplikácia je spojená s hľadaním primitívnej derivácie, ktorá často nemá vyjadrenie v elementárnych funkciách. Stáva sa aj to, že nájdenie antiderivátu je možné, ale je to zbytočne prácne. Ak je však integrandová funkcia rozšírená do mocninového radu a limity integrácie patria do intervalu konvergencie tohto radu, potom je možný približný výpočet integrálu s vopred stanovenou presnosťou.

Tak zistíme
.

Príklad č.4. Vypočítajte integrál ∫ 0 1 4 e x 2 s presnosťou na 0,001.
Riešenie.
. Skontrolujeme, či môžeme zahodiť zvyšok po druhom člene výsledného radu.
0,0001<0.001. Следовательно, .

V teórii funkčných radov ústredné miesto zaujíma časť venovaná expanzii funkcie do radu.

Úloha je teda nastavená: pre danú funkciu musíme nájsť takýto mocninný rad

ktorý konvergoval na určitom intervale a jeho súčet sa rovnal
, tie.

= ..

Táto úloha sa nazýva problém rozšírenia funkcie do mocninového radu.

Nevyhnutná podmienka rozložiteľnosti funkcie v mocninnom rade je jeho diferencovateľnosť nekonečne veľakrát – to vyplýva z vlastností konvergentných mocninných radov. Táto podmienka je spravidla splnená pre elementárne funkcie v oblasti ich definície.

Predpokladajme teda, že funkcia
má deriváty akéhokoľvek rádu. Je možné ho rozšíriť na mocninový rad? Ak áno, ako tento rad nájdeme? Druhá časť problému je ľahšie vyriešiť, takže začnime s ňou.

Predpokladajme, že funkcia
možno znázorniť ako súčet mocninových radov konvergujúcich v intervale obsahujúcom bod X 0 :

= .. (*)

Kde A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – neznáme (zatiaľ) koeficienty.

Dajme do rovnosti (*) hodnotu x = x 0 , potom dostaneme

.

Rozlišujme mocninný rad (*) člen po člene

= ..

a veriť tu x = x 0 , dostaneme

.

Ďalším diferenciáciou získame rad

= ..

veriaceho x = x 0 , dostaneme
, kde
.

Po P- dostávame viacnásobnú diferenciáciu

Za predpokladu, že v poslednej rovnosti x = x 0 , dostaneme
, kde

Takže koeficienty sú nájdené

,
,
, …,
,….,

dosadením ktorých do radu (*) dostaneme

Výsledný rad je tzv vedľa Taylora pre funkciu
.

Tak sme to zistili ak je možné funkciu rozšíriť na mocninný rad (x - x 0 ), potom je toto rozšírenie jedinečné a výsledný rad je nevyhnutne Taylorovým radom.

Všimnite si, že Taylorov rad možno získať pre akúkoľvek funkciu, ktorá má v bode derivácie akéhokoľvek rádu x = x 0 . To ale neznamená, že medzi funkciu a výsledný rad možno umiestniť znamienko rovnosti, t.j. že súčet radu sa rovná pôvodnej funkcii. Po prvé, takáto rovnosť môže mať zmysel len v oblasti konvergencie a Taylorov rad získaný pre funkciu môže divergovať a po druhé, ak Taylorov rad konverguje, potom sa jeho súčet nemusí zhodovať s pôvodnou funkciou.

3.2. Dostatočné podmienky pre rozložiteľnosť funkcie v Taylorovom rade

Sformulujme vyhlásenie, pomocou ktorého bude úloha vyriešená.

Ak funkcia
v nejakom okolí bodu x 0 má deriváty až (n+ 1) poriadku vrátane, potom v tejto štvrti mámevzorec Taylor

KdeR n (X)-zvyšný člen Taylorovho vzorca – má tvar (Lagrangeova forma)

Kde bodkaξ leží medzi x a x 0 .

Všimnite si, že medzi Taylorovým radom a Taylorovým vzorcom je rozdiel: Taylorov vzorec je konečný súčet, t.j. P - pevné číslo.

Pripomeňme, že súčet série S(X) možno definovať ako hranicu funkčnej postupnosti čiastkových súčtov S P (X) v nejakom intervale X:

.

Podľa toho expandovať funkciu do Taylorovho radu znamená nájsť taký rad, že pre ľubovoľný XX

Napíšme Taylorov vzorec v tvare kde

Všimni si
definuje chybu, ktorú dostaneme, nahraďte funkciu f(X) polynóm S n (X).

Ak
, To
,tie. funkcia je rozšírená do Taylorovho radu. Naopak, ak
, To
.

Tak sme dokázali kritérium rozložiteľnosti funkcie v Taylorovom rade.

Aby bola funkciaf(x) expanduje do Taylorovho radu, je potrebné a postačujúce, aby na tomto intervale
, KdeR n (X) je zvyšok Taylorovho radu.

Pomocou formulovaného kritéria je možné získať dostatočnépodmienky rozložiteľnosti funkcie v Taylorovom rade.

Ak vnejaké okolie bodu x 0 absolútne hodnoty všetkých derivácií funkcie sú obmedzené na rovnaké číslo M≥ 0, t.j.

, To v tomto okolí funkcia expanduje do Taylorovho radu.

Z vyššie uvedeného vyplýva algoritmurozšírenie funkcie f(X) v sérii Taylor v blízkosti bodu X 0 :

1. Hľadanie derivácií funkcií f(X):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (X),…

2. Vypočítajte hodnotu funkcie a hodnoty jej derivácií v bode X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f“(x 0 ), f'“ (x 0 ), f (n) (X 0 ),…

3. Formálne napíšeme Taylorov rad a nájdeme oblasť konvergencie výsledného mocninného radu.

4. Kontrolujeme splnenie dostatočných podmienok, t.j. stanovujeme pre ktoré X z konvergenčného regiónu, zvyšok obdobia R n (X) má tendenciu k nule pri
alebo
.

Rozšírenie funkcií do Taylorovho radu pomocou tohto algoritmu sa nazýva rozšírenie funkcie do Taylorovho radu podľa definície alebo priamy rozklad.

Ak funkcia f(x) má na nejakom intervale obsahujúcom bod A, deriváty všetkých rádov, potom naň možno použiť Taylorov vzorec:

Kde r n– takzvaný zvyšok alebo zvyšok radu, možno ho odhadnúť pomocou Lagrangeovho vzorca:

, kde číslo x je medzi X A A.

Ak pre nejakú hodnotu x r n®0 pri n®¥, potom sa v limite Taylorov vzorec zmení na konvergentný vzorec pre túto hodnotu Taylorova séria:

Takže funkcia f(x) môžu byť rozšírené do Taylorovho radu v danom bode X, Ak:

1) má deriváty všetkých rádov;

2) zostrojený rad v tomto bode konverguje.

O A=0 dostaneme sériu tzv neďaleko Maclaurinu:

Príklad 1 f(x)= 2X.

Riešenie. Nájdeme hodnoty funkcie a jej derivátov na X=0

f(x) = 2X, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2X V 22, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f(n)(x) = 2X ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Nahradením získaných hodnôt derivátov do vzorca Taylorovho radu získame:

Polomer konvergencie tohto radu je rovný nekonečnu, preto toto rozšírenie platí pre -¥<X<+¥.

Príklad 2 X+4) pre funkciu f(x)= e X.

Riešenie. Hľadanie derivácií funkcie e X a ich hodnoty v bode X=-4.

f(x)= e X, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e X, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e X, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .

Preto požadovaný Taylorov rad funkcie má tvar:

Toto rozšírenie platí aj pre -¥<X<+¥.

Príklad 3 . Rozbaľte funkciu f(x)=ln X v sérii v mocnostiach ( X- 1),

(t. j. v Taylorovom rade v blízkosti bodu X=1).

Riešenie. Nájdite deriváty tejto funkcie.

Nahradením týchto hodnôt do vzorca získame požadovaný Taylorov rad:

Pomocou d'Alembertovho testu môžete overiť, že séria konverguje, keď

½ X- 1½<1. Действительно,

Rad konverguje, ak ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 dostaneme striedavý rad, ktorý spĺňa podmienky Leibnizovho kritéria. O X Funkcia =0 nie je definovaná. Oblasť konvergencie Taylorovho radu je teda polootvorený interval (0;2].

Uveďme takto získané expanzie do Maclaurinovho radu (t.j. v blízkosti bodu X=0) pre niektoré elementárne funkcie:

(2) ,

(3) ,

( posledný rozklad je tzv binomický rad)

Príklad 4 . Rozbaľte funkciu na mocninový rad

Riešenie. V expanzii (1) nahrádzame X na - X 2, dostaneme:

Príklad 5 . Rozšírte funkciu v sérii Maclaurin

Riešenie. Máme

Pomocou vzorca (4) môžeme napísať:

nahradenie namiesto toho X do vzorca -X, dostaneme:

Odtiaľto nájdeme:

Dostaneme otvorenie zátvoriek, preusporiadanie podmienok série a prinesenie podobných podmienok

Tento rad v intervale konverguje

(-1;1), pretože sa získa z dvoch radov, z ktorých každý konverguje v tomto intervale.

Komentujte .

Vzorce (1)-(5) možno použiť aj na rozšírenie zodpovedajúcich funkcií do Taylorovho radu, t.j. pre rozširujúce funkcie v kladných celých číslach ( Ha). Na to je potrebné vykonať také identické transformácie na danej funkcii, aby sme získali jednu z funkcií (1)-(5), v ktorej namiesto X náklady k( Ha) m , kde k je konštantné číslo, m je kladné celé číslo. Často je vhodné vykonať zmenu premennej t=Ha a rozšíriť výslednú funkciu vzhľadom na t v Maclaurinovom rade.

Táto metóda ilustruje teorém o jedinečnosti rozšírenia mocninového radu funkcie. Podstatou tejto vety je, že v okolí toho istého bodu nemožno získať dva rôzne mocninné rady, ktoré by konvergovali k tej istej funkcii, bez ohľadu na to, ako sa jej expanzia vykonáva.

Príklad 6 . Rozšírte funkciu v Taylorovom rade v okolí bodu X=3.

Riešenie. Tento problém je možné vyriešiť, ako predtým, pomocou definície Taylorovho radu, pre ktorý musíme nájsť deriváty funkcie a ich hodnoty na X=3. Bude však jednoduchšie použiť existujúce rozšírenie (5):

Výsledný rad konverguje na alebo –3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Príklad 7 . Napíšte Taylorovu sériu v mocninách ( X-1) funkcie .

Riešenie.

Séria konverguje na , alebo 2< X 5 £.