Ako viete, telo, ktoré nie je nijako obmedzené vo svojich pohyboch, sa nazýva voľné, pretože sa môže pohybovať akýmkoľvek smerom. Každé voľné tuhé teleso má teda šesť stupňov voľnosti pohybu. Má schopnosť produkovať nasledujúce pohyby: tri translačné pohyby zodpovedajúce trom hlavným súradnicovým systémom a tri rotačné pohyby okolo týchto troch súradnicových osí.

Uloženie spojov (upevnenie) znižuje počet stupňov voľnosti. Ak je teda teleso fixované v jednom bode, nemôže sa pohybovať po súradnicových osiach, jeho pohyby sú obmedzené len na rotáciu okolo týchto osí, t.j. telo má tri stupne voľnosti. V prípade, že sú dva body pevné, teleso má len jeden stupeň voľnosti, môže sa otáčať len okolo priamky (osi) prechádzajúcej oboma týmito bodmi. A nakoniec, s tromi pevnými bodmi, ktoré neležia na tej istej priamke, je počet stupňov voľnosti nula a nemôžu nastať žiadne pohyby tela. Pasívny pohybový aparát človeka pozostáva z častí jeho tela, ktoré sa nazývajú články. Všetky sú navzájom prepojené, takže strácajú schopnosť vykonávať tri druhy pohybov pozdĺž súradnicových osí. Majú len schopnosť otáčať sa okolo týchto osí. Maximálny počet stupňov voľnosti, ktoré môže mať jeden článok tela vo vzťahu k ďalšiemu článku, ktorý k nemu susedí, sú teda tri.

Týka sa to najpohyblivejších kĺbov ľudského tela, ktoré majú guľovitý tvar.

Sekvenčné alebo rozvetvené spojenia častí tela (články) tvoria kinematické reťazce.

U ľudí existujú:

• - otvorené kinematické reťazce majúci voľný pohyblivý koniec, upevnený iba na jednom konci (napríklad rameno vo vzťahu k telu);
• - uzavreté kinematické reťazce, upevnené na oboch koncoch (napríklad stavec - rebro - hrudná kosť - rebro - stavec).

Treba poznamenať, že ide o potenciálny rozsah pohybov v kĺboch. V skutočnosti sú tieto ukazovatele u živého človeka vždy nižšie, čo dokázali početné práce domácich výskumníkov - P. F. Lesgaft, M. F. Ivanitsky, M. G. Prives, N. G. Ozolin atď. človeka ovplyvňuje množstvo faktorov súvisiacich s vekom, pohlavím, individuálnymi charakteristikami, funkčným stavom nervovej sústavy, stupňom natiahnutia svalov, teplotou okolia, dennou dobou a napokon, čo je pre športovcov dôležité, napr. stupeň zaškolenia. Teda vo všetkých kostných spojeniach (nespojitých a súvislých) je stupeň pohyblivosti u mladých ľudí väčší ako u starších ľudí; Ženy majú v priemere viac ako muži. Miera pohyblivosti je ovplyvnená stupňom natiahnutia tých svalov, ktoré sú na opačnej strane pohybu, ako aj silou svalov produkujúcich tento pohyb. Čím pružnejší je prvý z týchto svalov a čím silnejší je druhý, tým väčší je rozsah pohybov v danom spojení kostí a naopak. Je známe, že v chladnej miestnosti majú pohyby menší rozsah ako v teplej miestnosti, ráno sú menšie ako večer. Použitie rôznych cvičení má rôzne účinky na pohyblivosť kĺbov. Systematický tréning s cvikmi „ohybnosti“ teda zvyšuje rozsah pohybu v kĺboch, zatiaľ čo „silové“ cviky ho naopak zmenšujú, čo vedie k „stuhnutiu“ kĺbov. Zníženie rozsahu pohybu v kĺboch ​​pri silových cvičeniach však nie je absolútne nevyhnutné. Dá sa mu predísť správnou kombináciou silového tréningu a strečingových cvičení na rovnaké svalové skupiny.

V otvorených kinematických reťazcoch ľudského tela sa pohyblivosť počíta v desiatkach stupňov voľnosti. Napríklad pohyblivosť zápästia vo vzťahu k lopatke a pohyblivosť tarzu vo vzťahu k panve má sedem stupňov voľnosti a končeky prstov ruky vo vzťahu k hrudníku majú 16 stupňov voľnosti. Ak zrátame všetky stupne voľnosti končatín a hlavy vzhľadom na telo, potom to bude vyjadrené číslom 105, zloženým z nasledujúcich pozícií:

• - hlava - 3 stupne voľnosti;
• - ramená - 14 stupňov voľnosti;
• - nohy - 12 stupňov voľnosti;
• - ruky a nohy - 76 stupňov voľnosti.

Pre porovnanie uvádzame, že drvivá väčšina strojov má len jeden stupeň voľnosti pohybu.

V guľových kĺboch ​​sú možné rotácie okolo troch vzájomne kolmých osí. Celkový počet osí, okolo ktorých sú možné rotácie v týchto kĺboch, je nekonečne veľký. V dôsledku toho, čo sa týka guľových kĺbov, môžeme povedať, že články v nich kĺbovo spojené majú z možných šiestich stupňov voľnosti pohybu tri stupne voľnosti a tri stupne spojenia.

Kĺby s dvoma stupňami voľnosti pohybu a štyrmi stupňami spojenia majú menšiu pohyblivosť. Patria sem spoje vajcovitých alebo elipsovitých a sedlových tvarov, t.j. dvojosový. Umožňujú pohyby okolo týchto dvoch osí.

Telo sa spája v tých kĺboch, ktoré majú jednu os rotácie, t.j. majú jeden stupeň voľnosti pohyblivosti a súčasne päť stupňov konektivity. má dva pevné body.

Väčšina kĺbov v ľudskom tele má dva alebo tri stupne voľnosti. S niekoľkými stupňami voľnosti pohybu (dva alebo viac) je možný nekonečný počet trajektórií. Spojenia kostí lebky majú šesť stupňov spojenia a sú nepohyblivé. Spojenie kostí pomocou chrupaviek a väziva (synchondróza a syndesmóza) môže mať v niektorých prípadoch výraznú pohyblivosť, ktorá závisí od elasticity a od veľkosti útvarov chrupavkového alebo spojivového tkaniva umiestnených medzi týmito kosťami.

Systémy s dvoma stupňami voľnosti sú špeciálnym prípadom systémov s niekoľkými stupňami voľnosti. Tieto systémy sú však najjednoduchšie a umožňujú získať v konečnej forme výpočtové vzorce na určenie frekvencií vibrácií, amplitúd a dynamických výchyliek.

yVychýlenie lúča v dôsledku zotrvačných síl:

P2 = 1 (1)

Znamienka (-) vo výrazoch (1) sú spôsobené tým, že zotrvačné sily a jednotky. pohyby sú v opačnom smere.

Veríme, že k vibráciám hmoty dochádza podľa harmonického zákona:

(2)

Poďme zistiť zrýchlenie pohybu hmoty:

(3)

Dosadením výrazov (2) a (3) do rovnice (1) dostaneme:

(5)

Amplitúdy kmitov A 1 a A 2 považujeme za neznáme a transformujeme rovnice:

(6)

Riešenie sústavy homogénnych rovníc A 1 = A 2 =0 nám nevyhovuje, aby sme dostali nenulové riešenie, determinanty sústavy (6) dáme rovnítkom k nule:

(7)

Transformujme rovnicu (8), berúc do úvahy kruhovú frekvenciu vlastných kmitov  neznáma:

Rovnica (9) sa nazýva biharmonická rovnica voľných kmitov sústav s dvoma stupňami voľnosti.

Nahradením premennej  2 =Z dostaneme

odtiaľ určíme Z 1 a Z 2.

V dôsledku toho možno vyvodiť tieto závery:

1. Voľné vibrácie systémov s dvoma stupňami voľnosti sa vyskytujú s dvoma frekvenciami  1 a  2. Nižšia frekvencia 1 sa nazýva základný alebo základný tón, vyššia frekvencia 2 sa nazýva druhá frekvencia alebo podtón.

Voľné vibrácie systémov s n-stupňami voľnosti sú n-tónové, pozostávajúce z n-voľných vibrácií.

2. Pohyby hmôt m 1 a m 2 sú vyjadrené nasledujúcimi vzorcami:

t.j. ak sa oscilácie vyskytujú s frekvenciou  1, potom pohyby hmoty majú v každom okamihu rovnaké znaky.

Ak sa oscilácie vyskytujú len s frekvenciou  2, potom pohyby hmoty majú v každom okamihu opačné znamienka.

Pri súčasných kmitoch hmôt s frekvenciami  1 a  2 sústava kmitá prevažne s frekvenciou  1 a do týchto kmitov zapadá podtón s frekvenciou  2.

Ak je systém s dvoma stupňami voľnosti vystavený hnacej sile s frekvenciou , potom je potrebné, aby:

  0,7  1 .

Prednáška 9

Oscilácie systémov s nekonečným počtom stupňov voľnosti.

Teória mechanických vibrácií má početné a veľmi rôznorodé aplikácie takmer vo všetkých oblastiach techniky. Bez ohľadu na účel a konštrukčné riešenie rôznych mechanických systémov, ich vibrácie podliehajú rovnakým fyzikálnym zákonom, ktorých štúdium je predmetom teórie vibrácií elastických systémov. Najplnšie bola rozvinutá lineárna teória kmitov. Teóriu kmitov systémov s niekoľkými stupňami voľnosti vrátil v 18. storočí Lagrange vo svojom klasickom diele „Analytická mechanika“.

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) - od 19 rokov profesor matematiky v Turíne. Od roku 1759 - člen a od roku 1766 - prezident Berlínskej akadémie vied; od roku 1787 žil v Paríži. V roku 1776 bol zvolený za čestného zahraničného člena Petrohradskej akadémie vied.

Koncom 19. storočia Rayleigh položil základy lineárnej teórie kmitov sústav s nekonečným stupňom voľnosti (t. j. so spojitým rozložením hmoty v celom objeme deformovateľnej sústavy). V 20. storočí by sa dalo povedať, že lineárna teória bola dokončená (Bubnova-Galerkinova metóda, ktorá umožňuje určiť aj vyššie frekvencie kmitov pomocou postupných aproximácií).

John William Strett (Lord Rayleigh) (1842 - 1919) – anglický fyzik, autor množstva prác o teórii kmitov.

Ivan Grigorievich Bubnov (1872 - 1919) - jeden zo zakladateľov lodnej štrukturálnej mechaniky. Profesor na Petrohradskom polytechnickom inštitúte, od roku 1910 - na Námornej akadémii.

Boris Grigorievich Galerkin (1871-1945) - profesor Leningradského polytechnického inštitútu.

Rayleighov vzorec je najpopulárnejší v teórii vibrácií a stability elastických systémov. Myšlienka, ktorá je základom odvodenia Rayleighovho vzorca, spočíva v nasledujúcom. Pri monoharmonických (jednotónových) voľných kmitoch elastického systému s frekvenciou  dochádza k pohybom jeho bodov v čase podľa harmonického zákona:

kde  1 (x,y,z),  2 (x,y,z),  3 (x,y,z) sú funkcie priestorových súradníc bodu, ktoré určujú príslušný tvar kmitania (amplitúdu).

Ak sú tieto funkcie známe, potom frekvenciu  voľných vibrácií možno zistiť z podmienky, že súčet kinetickej a potenciálnej energie telesa je konštantný. Táto podmienka vedie k rovnici obsahujúcej iba jednu neznámu veličinu.

Tieto funkcie však nie sú vopred známe. Hlavnou myšlienkou Rayleighovej metódy je špecifikovať tieto funkcie a prispôsobiť ich výber okrajovým podmienkam a očakávanému tvaru vibrácií.

Pozrime sa podrobnejšie na implementáciu tejto myšlienky pre rovinné ohybové vibrácie tyče, tvar vibrácií je opísaný funkciou =(x). Voľné kmity sú opísané závislosťou

potenciálna energia ohnutej tyče

(2)

Kinetická energia

(3)

Kde l- dĺžka tyče, m=m(x) intenzita rozloženej hmoty tyče;

Zakrivenie zakrivenej osi tyče; - rýchlosť priečnych vibrácií.

Dané (1)

.

(4)

(5)

V priebehu času sa každá z týchto veličín neustále mení, ale podľa zákona zachovania energie zostáva ich súčet konštantný, t.j.

alebo nahradením výrazov (4), (5).

(7)

To vedie k Rayleighovmu vzorcu:

(8)

Ak sú sústredené zaťaženia s hmotnosťou M i spojené s tyčou s rozloženou hmotnosťou m, potom má Rayleighov vzorec tvar:

(9)

Celý priebeh odvodenia ukazuje, že v rámci prijatých predpokladov (platnosť technickej teórie ohybu tyčí, absencia nepružného odporu) je tento vzorec presný, ak (x) je skutočná forma vibrácií . Funkcia(x) je však vopred neznáma. Praktický význam Rayleighovho vzorca je v tom, že ho možno použiť na nájdenie vlastnej frekvencie, vzhľadom na tvar vibrácií(x). Zároveň sa do rozhodnutia vnáša viac či menej závažný prvok blízkosti. Z tohto dôvodu sa Rayleighov vzorec niekedy nazýva približný vzorec.

m=cosnt Zoberme si ako kmitanie z funkcie:(x)=ax 2, ktorá spĺňa kinematické okrajové podmienky úlohy.

Definujeme:

Podľa vzorca (8)

Tento výsledok sa výrazne líši od presného

Presnejší je vzorec Grammel, ktorý sa ešte nestal tak populárnym ako vzorec Rayleigh (možno kvôli svojej relatívnej „mladosti“ - bol navrhnutý v roku 1939).

Zastavme sa ešte raz pri rovnakom probléme kmitania tyče pri voľnom ohybe.

Nech (x) je určený tvar voľných kmitov tyče. Potom intenzitu maximálnych zotrvačných síl určíme výrazom m 2 , kde, ako predtým, m=m(x) je intenzita rozloženej hmoty tyče, 2 je druhá mocnina vlastnej frekvencie. Tieto sily dosiahnu uvedenú hodnotu v momente, keď sú priehyby maximálne, t.j. sú určené funkciou(x).

Napíšme výraz pre najvyššiu potenciálnu ohybovú energiu z hľadiska ohybových momentov spôsobených maximálnymi zotrvačnými silami:

. (10)

Tu - ohybové momenty spôsobené zaťažením m 2 . Označme ohybový moment spôsobený podmieneným zaťažením m, t.j.  2 krát menšia ako zotrvačná sila.

, (11)

a výraz (10) možno zapísať ako:

. (12)

Najvyššia kinetická energia, rovnaká ako vyššie

. (13)

Porovnaním výrazov (12) a (13) dospejeme ku Grammelovmu vzorcu:

(14)

Ak chcete vypočítať pomocou tohto vzorca, musíte najprv určiť vhodnú funkciu (x). Potom sa určí podmienené zaťaženie m=m(x)(x) a zapíšu sa výrazy pre ohyb spôsobený podmieneným zaťažením m. Pomocou vzorca (14) sa určí frekvencia vlastných kmitov systému.

Príklad: (vezmite do úvahy predchádzajúci)

r

m(x)·(x)=max 2

Uvažujme malé kmity systému s dvoma stupňami voľnosti, ktorý je vystavený silám potenciálneho poľa a silám, ktoré sa periodicky menia v čase. Výsledné pohyby systému sa nazývajú nútené kmity.

Nech sa rušivé zovšeobecnené sily menia podľa harmonického zákona s časom, majú rovnaké periódy a počiatočnú fázu. Potom pohybové rovnice posudzovaného systému budú mať tvar:

Pohybové rovnice v posudzovanom prípade sú sústavou lineárnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi a pravou stranou.

Prejdite na hlavné súradnice

Pre uľahčenie štúdia pohybových rovníc prejdime na hlavné súradnice systému. Vzťah medzi súradnicami je určený vzorcami predchádzajúceho odseku formulára:

Označme zodpovedajúcim spôsobom zovšeobecnené sily zodpovedajúce normálovým súradniciam Keďže zovšeobecnené sily predstavujú koeficienty pre zodpovedajúce variácie zovšeobecnených súradníc pri vyjadrení elementárnej práce síl pôsobiacich na systém, potom

Preto:

Pohybové rovnice v hlavných súradniciach majú teda tvar:

Rovnice vynútených kmitov systému s dvoma stupňami voľnosti v normálnych súradniciach sú na sebe nezávislé a možno ich integrovať samostatne.

Kritické frekvencie rušivej sily

Rovnica pre alebo určuje oscilačnú povahu zmeny normálnych súradníc, podrobne študovanú pri zvažovaní nútenej oscilácie bodu pozdĺž priamky, pretože diferenciálne rovnice pohybu sú v oboch prípadoch rovnaké. Najmä ak sa frekvencia rušivej sily rovná frekvencii jednej z vlastných oscilácií systému, alebo potom riešenie bude zahŕňať čas t ako faktor. V dôsledku toho jedna z normálnych zovšeobecnených súradníc pre dostatočne veľké t bude ľubovoľne veľká, alebo máme fenomén rezonancie.

Oscilácie s niekoľkými stupňami voľnosti.

Stručné informácie z teórie.

Sústavy s n mocninamislobody v dynamike je zvyčajné nazývať takéto systémy, aby sa úplne fixoval geometrický stav, ktorý je potrebné kedykoľvek nastaviť P parametre, napríklad poloha (odklony) P bodov. Poloha ostatných bodov je určená konvenčnými statickými technikami.

Príklad systému s P stupňami voľnosti môže byť nosník alebo plochý rám, ak sa hmoty jeho jednotlivých častí alebo prvkov podmienene (na uľahčenie dynamických výpočtov) považujú za sústredené v P bodov, alebo ak nesie n veľkých hmôt (motory, motory), v porovnaní s ktorými je možné zanedbať vlastnú hmotnosť prvkov. Ak sa jednotlivé sústredené („bodové“) hmoty môžu pri oscilácii pohybovať v dvoch smeroch, potom sa počet stupňov voľnosti systému bude rovnať počtu spojení, ktoré by mali byť na systém uložené, aby sa eliminovali posuny. všetkých más.

Ak sa systém s n stupňami voľnosti dostane z rovnováhy, zaviaže sa voľné vibrácie a každý „bod“ (hmotnosť) bude vykonávať zložité polyharmonické oscilácie typu:

Konštanty A i a B i závisí od počiatočných podmienok pohybu (odchýlky hmotností od statickej úrovne a rýchlostí v čase t=0). Len v niektorých špeciálnych prípadoch budenia kmitov sa môže polyharmonický pohyb pre jednotlivé hmoty zmeniť na harmonický, t.j. ako v systéme s jedným stupňom voľnosti:

Počet vlastných frekvencií systému sa rovná počtu jeho stupňov voľnosti.

Na výpočet vlastných frekvencií je potrebné vyriešiť takzvaný frekvenčný determinant, zapísaný v tomto tvare:

Táto podmienka v rozšírenej forme dáva rovnicu P stupeň určiť P hodnoty ω 2, čo sa nazýva frekvenčná rovnica.

Prostredníctvom δ 11, δ 12, δ 22 atď. sú naznačené možné pohyby. 5 12 je teda posun v prvom smere bodu umiestnenia prvého závažia z jednotkovej sily pôsobiacej v druhom smere do bodu umiestnenia druhého závažia atď.

Pri dvoch stupňoch voľnosti má frekvenčná rovnica tvar:

Kde pre dve frekvencie máme:

V prípade, že jednotlivé masy M i môže vykonávať aj rotačné alebo len rotačné pohyby v kombinácii s lineárnymi pohybmi, potom i-tou súradnicou bude uhol natočenia a vo frekvenčnom determinante hmotnosť

M i musí byť nahradený momentom zotrvačnosti hmoty J i; podľa toho možné pohyby v smere i-té súradnice ( δ i 2 , δ i 2 atď.) budú uhlové pohyby.

Ak nejaká hmota osciluje vo viacerých smeroch - i-mu a k-tá (napríklad vertikálna a horizontálna), potom sa takáto hmotnosť niekoľkokrát zúčastňuje na determinante pod číslami M i ich k a zodpovedá niekoľkým možným pohybom ( δ ii, δ kk, δ ik, atď.).

Všimnite si, že každá vlastná frekvencia má svoju vlastnú špeciálnu formu oscilácie (povaha zakrivenej osi, línie vychýlenia, posunutia atď.), ktorá sa v jednotlivých, špeciálnych prípadoch môže ukázať ako platná forma oscilácie, ak je len voľná. oscilácie sú správne vybudené (správny výber impulzov, body ich aplikácie a pod.). V tomto prípade bude systém oscilovať podľa zákonov pohybu systému s jedným stupňom voľnosti.

Vo všeobecnom prípade, ako vyplýva z výrazu (9.1), systém vykonáva polyharmonické kmity, ale je zrejmé, že každú zložitú elastickú čiaru, ktorá odráža vplyv všetkých vlastných frekvencií, možno rozložiť na jednotlivé zložky formy, každú z nich čo zodpovedá vlastnej frekvencii Proces takéhoto rozkladu skutočného módu vibrácií na zložky (ktorý je nevyhnutný pri riešení zložitých problémov štruktúrnej dynamiky) sa nazýva rozklad na módy prirodzených vibrácií.

Ak v každej hmote, presnejšie - v smere každého stupňa voľnosti, pôsobí rušivá sila, ktorá sa mení v čase podľa harmonického zákona

alebo, čo je pre ďalšie účely indiferentné a amplitúdy síl pre každú hmotnosť sú rôzne a frekvencia a fázy sú rovnaké, potom pri dlhšom pôsobení takýchto rušivých síl systém vykoná ustálené vynútené oscilácie s frekvenciou hybnej sily. Amplitúdy pohybov v akomkoľvek smere i- tento stupeň v tomto prípade bude:

kde determinant D je zapísaný podľa (9.2) s ω nahradeným θ a teda D≠0; D i sa určuje výrazom:

tie. i Stĺpec determinantu D je nahradený stĺpcom zloženým z členov v tvare: Pre prípad dvoch stupňov voľnosti: (9.6)

A tomu zodpovedajúco

Pri výpočte vynútených vibrácií nosníkov konštantného prierezu nesúcich sústredené hmoty (obr. 9.1).

Jednoduchšie je však použiť nasledujúce vzorce pre amplitúdy vychýlenia, uhla natočenia, ohybového momentu a šmykovej sily v ľubovoľnej časti nosníka:

(9.7)

Kde r 0 , φ 0 , M 0 , Q 0 – amplitúdy priehybu, rotácie, momentu a šmykovej sily počiatočného úseku (počiatočné parametre); M i A J i- hmotnosť a jej moment zotrvačnosti (koncentrované hmoty); znamienko ∑ platí pre všetky sily a sústredené hmoty nachádzajúce sa od počiatočného úseku po subjekt.

Uvedené vzorce (9.7) je možné použiť aj pri výpočte vlastných frekvencií, pri ktorých je potrebné uvažovať s rušivými silami ∑ Ri a momenty ∑ Mi rovná nule, nahraďte frekvenciu vynútených kmitov θ frekvenciou vlastných kmitov ω a za predpokladu existencie kmitov (voľných kmitov) napíšte výrazy (9.7) vo vzťahu k úsekom, kde sa nachádzajú sústredené hmoty a amplitúdy sú už známe ( referenčné rezy, os symetrie atď.). Získame sústavu homogénnych lineárnych rovníc. Prirovnaním determinantu tohto systému k nule budeme schopní vypočítať vlastné frekvencie.

Ukázalo sa, že je vhodné použiť výrazy (9.4) a (9.5) na určenie amplitúd ( r 0 , φ 0 , atď.) pri X=0 a potom pomocou (9.7) vypočítajte všetky ostatné prvky priehybu.

Zložitejší je problém výpočtu pohybov sústavy s niekoľkými stupňami voľnosti pri pôsobení ľubovoľného zaťaženia, ktoré sa v čase mení a pôsobí na rôzne hmoty.

Pri riešení takéhoto problému by ste mali postupovať takto:

a) určiť vlastné frekvencie a režimy prirodzených vibrácií;

b) preskupiť dané zaťaženie medzi hmoty alebo, ako sa hovorí, rozložiť podľa režimov prirodzených vibrácií. Počet skupín zaťaženia sa rovná počtu vlastných frekvencií systému;

c) po vykonaní dvoch vyššie uvedených pomocných operácií urobte výpočet pre každú skupinu zaťažení pomocou známych vzorcov z teórie kmitov sústavy s jedným stupňom voľnosti, pričom frekvencia vlastných kmitov v týchto vzorcoch sa považuje za rovnakú. ktorej zodpovedá táto skupina zaťaženia;

d) čiastkové riešenia z každej kategórie zaťažení sa sčítajú, čím sa určí konečné riešenie úlohy.

Stanovenie vlastných frekvencií sa vykonáva podľa (9.2). Čo sa týka identifikácie foriem prirodzených vibrácií, tu je potrebné vychádzať zo základnej vlastnosti každej formy prirodzených vibrácií, že predstavuje priamku vplyvu výchylky od síl (ktorých počet sa rovná počtu stupne voľnosti) úmerné súčinu hmôt a ordinátam výchyliek bodov uchytenia hmôt. Pre rovnaké hmotnosti predstavuje tvar prirodzených vibrácií čiaru vychýlenia od síl úmerných súradniciam vychýlenia; diagram zaťaženia je podobný diagramu priehybu.

Najnižšia frekvencia zodpovedá najjednoduchšej forme vibrácií. Pri nosníkoch najčastejšie tento tvar tesne zodpovedá zakrivenej osi systému pod vplyvom vlastnej hmotnosti. Ak sa ukáže, že táto konštrukcia je menej tuhá v akomkoľvek smere, napríklad v horizontále, potom na identifikáciu povahy požadovanej zakrivenej osi je potrebné podmienečne použiť svoju vlastnú hmotnosť v tomto smere.

TEORETICKÁ MECHANIKA

MDT 531.8:621.8

D. M. Kobylyansky, V. F. Gorbunov, V. A. Gogolin

KOMPATIBILITA OTÁČANIA A VIBRÁCIÍ TELÚ S JEDEN STUPŇOM SLOBODY

Uvažujme ploché teleso T, na ktoré sú uložené tri ideálne obmedzenia, ktoré bránia iba pohybu telesa vo všetkých smeroch, ako je znázornené na obr. 1a. Spojnicami sú body A, B, C, ktoré sa nachádzajú vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka. Po zvolení súradnicového systému tak, aby sa jeho stred zhodoval so stredom trojuholníka a bol s ním zarovnaný (obr. 1a), máme súradnice spojení: A(0;R), B(^l/3 /2 -R/2), C^-Ld/e/2; -I/2), kde I je vzdialenosť od stredu trojuholníka k jeho vrcholom, teda polomer kružnice prechádzajúcej bodmi A, B, C. V tejto polohe bude mať teleso jeden stupeň voľnosti len ak sa normály k jej hranici v bodoch A, B, C pretnú v jednom bode, ktorý bude okamžitým stredom rýchlostí. V opačnom prípade je počet stupňov voľnosti telesa nula a nemôže sa pohybovať nielen translačne, ale ani vykonávať rotačný pohyb. Keď má teleso jeden stupeň voľnosti, môže sa začať otáčať s okamžitým stredom otáčania v priesečníku vyššie uvedených normál. Nech je tento bod počiatkom súradníc, bod O. Ak okamžitý stred otáčania nemení svoju polohu, potom jediný možný tvar telesa T je kružnica s polomerom R so stredom v bode O.

Vyvstáva problém: existujú iné formy tela, ktoré mu umožňujú otáčať sa vzhľadom na nejaký pohybujúci sa stred tak, že

prešlo teleso nepretržite cez tri body A, B, C bez toho, aby tieto spojenia prerušilo? V nám známej literatúre sa o takomto probléme neuvažovalo a zdá sa, že sa rieši po prvýkrát.

Aby sme tento problém vyriešili, najprv zvážime pohyb trojuholníka ABC ako tuhého telesa vzhľadom na súradnicový systém X1O1Y1 spojený s telesom T (obr. 1b). Ak potom k pohybu trojuholníka dôjde tak, že jeho vrcholy plynule zostanú na hranici telesa pri úplnom otočení trojuholníka o 360°, potom teleso vykoná požadovaný pohyb aj opačným smerom oproti pevnému trojuholník ABC a pridružený súradnicový systém XOU.

Pohyb trojuholníka ABC definujeme ako rotáciu voči stredu O a pohyb stredu O pozdĺž osi ОіХі o /(g), pozdĺž osi ОіУі o g(t). Potom bude mať parametrická rovnica trajektórie bodu A tvar: x = ryaSh +/(r); уі=г-єо,?ґ +g(t), ґє (1)

Keďže pri g=0 sa bod O musí zhodovať s bodom O1, musí byť splnená podmienka /(0)= g(0)=0. Požadujeme, aby pri otočení o uhol r = 2n/3 sa bod A zhodoval s bodom B1, bod B sa zhodoval s bodom C a bod C

S bodom A1. Pri otáčaní o uhol r = 4n/3 by mal bod A smerovať do bodu C1, bod B do bodu A1 a bod C do bodu B1. Spojenie týchto požiadaviek na pohyb vrcholov trojuholníka vedie k podmienkam pre hodnoty funkcií pohybu stredu otáčania /(0)=/(2 p/3)=/(4 p/3)= 0; g0)=g(2l/3)=g(4l/3)=0. (2) Podmienky (2) spĺňa široká trieda funkcií, najmä funkcie tvaru sin(3mt/2), kde m je celé číslo, a ich lineárne kombinácie so všeobecne premenlivými koeficientmi tvaru:

H (g) = ^ bt (g) 8Іп(3тґ / 2)

Navyše, ako

Obr.1. Schéma výpočtu: a) - poloha stacionárneho telesa a jeho spojov v systéme XOU; b) - poloha pevného systému X1O1U1 spojeného s telom a pohyblivého systému XOU spojeného s trojuholníkom ABC

Teoretická mechanika

Obr.2. Tvary telies a trajektórie pohybu ich stredov otáčania

Ryža. 3. Poloha tela pri otáčaní pod uhlom a zodpovedajúca trajektória pohybu jeho stredu otáčania

funkcie posunu, funkcie, ktoré definujú uzavreté krivky, ako sú cykloidy, trochoidy, lemniskáty, s parametrami vhodnými podľa podmienky (2). V tomto prípade musia byť všetky možné funkcie periodické s periódou 2n/3.

Systém parametrických rovníc (1) s podmienkami na hodnotách funkcií /(^, g(t) (2) alebo v ich tvare (3) teda dáva požadovanú rovnicu pre hranicu telesa T. Na obrázku 2 sú príklady možných tvarov tela, ktoré spĺňajú podmienky úlohy. V strede každého obrázku je znázornená trajektória stredu otáčania O1 a pre lepšiu vizualizáciu sú zväčšené bodové spoje A, B, C. Tieto príklady ukazujú, že aj jednoduché typy funkcií z triedy definovanej výrazom (3) s konštantnými koeficientmi dávajú pomerne širokú množinu kriviek opisujúcich hranice telies podliehajúcich rotácii a

osciluje súčasne len s jedným stupňom voľnosti. Hraničné krivky a), c) na obr. 2 zodpovedajú pohybu stredu otáčania len po vodorovnej osi

ОіХі podľa harmonického zákona, a ako je vidieť, majú dve osi symetrie a môžu byť buď čisto konvexné, oválne (obr. 2a), alebo môžu kombinovať konvexnosť s konkávnosťou (obr. 2b). Pri vertikálnom a horizontálnom harmonickom zákone s rovnakou amplitúdou pohybu stredu otáčania strácajú hraničné krivky svoju symetriu (obr. 2 c, d). Významný vplyv frekvencie harmonických vibrácií na tvar hraničnej krivky telesa je znázornený na obrázku 2 d, f. Bez vykonania úplnej analýzy vplyvu amplitúdy a frekvencie na tvar a geometrické vlastnosti hranice krivky v tejto práci by som rád poznamenal, že príklady uvedené na obr.2 už ukazujú schopnosť riešiť technické problémy pri výbere požadovaného tvaru

telesa spojiť svoj rotačný pohyb s kmitmi v rovine rotácie.

Teraz, keď vezmeme do úvahy pohyb tela vzhľadom na pevný súradnicový systém XOU spojený s trojuholníkom ABC, to znamená pohyb zo súradnicového systému X1O1U1 do súradnicového systému XOU, získame nasledujúce parametrické rovnice hraničnej krivky telesa pri a daný uhol otočenia p x = cosp-

Cosp(4)

alebo berúc do úvahy rovnice (1), rovnice (4) majú tvar x = cosp-

- [ R cos(t) + g (t) - g (p)] sin p, y = sin p +

Čos p.

Rovnice (5) umožňujú opísať dráhu ľubovoľného bodu telesa podľa jeho daných polarít.

t-g.i m*4<. п-і

t-ÍLÍtWM. d-0

Ryža. 4. Varianty tvarov telies s rôznym počtom spojení, zabezpečujúce kompatibilitu rotácie a vibrácií telies

naálne súradnice R,t. Najmä pri R = 0, t = 0 máme bod zhodný s počiatkom súradníc Ob, to znamená so stredom rotácie, ktorého dráha je v uvažovanej schéme opísaná rovnicami vyplývajúcimi z (5) :

*0 = -f (ph) cos ph + g (ph) sin ph, y0 = - f (ph) sin ph- g (ph) cos r.

Obrázok 3 zobrazuje príklad polôh tela (obrázok 2b), keď je otočené o uhol φ, a v strede každého obrázku je znázornená trajektória stredu otáčania

Oi, čo zodpovedá rotácii tela cez tento uhol. Technicky nie je ťažké urobiť animáciu

3 namiesto fyzického modelu, avšak rámec článku v časopise to umožňuje len v elektronickej verzii. Zobrazený príklad bol stále

Zovšeobecnením uvažovaného problému je systém n ideálnych spojení vo forme bodov umiestnených vo vrcholoch pravidelného trojuholníka, ktoré bránia iba translačným pohybom tela. Preto, ako v prípade trojuholníka, teleso sa môže začať otáčať vzhľadom na stred otáčania, ktorý je priesečníkom normály k hranici telesa v bodoch spojenia. V tomto prípade bude mať rovnica pre trajektóriu bodu telesa A, umiestneného na osi OU a umiestneného vo vzdialenosti H od stredu otáčania, rovnaký tvar ako (1). Podmienky pre hodnoty funkcií pohybu stredu otáčania (2) budú v tomto prípade trvať

Kobyljanskij Gorbunov

Dmitrij Michajlovič Valerij Fedorovič

Postgraduálny študent odboru. stacionárne a - doc. tech. vedy, prof. oddelenie sto

dopravné vozidlá, stojace a prepravné vozidlá

f(2kp/p)=g(2kp/p)=0. (7)

Podmienka (7) zodpovedá periodickým funkciám s periódou 2n/n, napríklad 8m(n-m4/2), ako aj ich lineárnym kombináciám tvaru (3) a ďalším funkciám opisujúcim uzavreté krivky. Zdôvodnenie podobné vyššie uvedenému vedie k rovnakým rovniciam (4-6), ktoré umožňujú vypočítať tvar telesa, jeho polohu počas otáčania a trajektóriu stredu otáčania s osciláciami telesa v súlade s otáčaním. . Príkladom takýchto výpočtov je obr. 4, na ktorom bodkovaná čiara znázorňuje počiatočnú polohu telies, plná čiara znázorňuje polohu telies pri otáčaní o uhol l/3 a v strede každého obrázku je úplná trajektória stredu otáčania počas úplnej rotácie tela. A hoci sa v tomto príklade uvažuje len vodorovný pohyb stredu otáčania O, ako stred n-uholníka, získané výsledky ukazujú širokú škálu možných tvarov telesa s jedným stupňom voľnosti, kombinujúci rotačný pohyb s osciláciami v prítomnosti štyroch, piatich a šiestich spojení.

Výslednú metódu výpočtu kompatibility rotačných a kmitavých pohybov telies s jedným stupňom voľnosti je možné bez dodatkov použiť aj pre priestorové telesá, pre ktoré sú zakázané pohyby pozdĺž tretej súradnice a rotácie v iných rovinách súradníc.

Gogolin Vjačeslav Anatolievič

DR. tech. vedy, prof. oddelenie aplikovaný matematik a