Hneď ako som po operácii mohol prednášať, prvá otázka, ktorú študenti položili, bola:

Kedy nám nakreslíte 4-rozmernú kocku? Ilyas Abdulkhaevič nám to sľúbil!

Pamätám si, že moji drahí priatelia majú občas radi chvíľku matematicko-vzdelávacích aktivít. Preto tu napíšem časť mojej prednášky pre matematikov. A pokúsim sa bez toho, aby som bol nudný. V niektorých momentoch som prednášku čítal, samozrejme, prísnejšie.

Najprv sa dohodnime. 4-rozmerný, a ešte viac 5-6-7- a všeobecne k-rozmerný priestor nám nie je daný v zmyslových vnemoch.
„Sme úbohí, pretože sme iba trojrozmerní,“ povedal môj učiteľ v nedeľnej škole, ktorý mi ako prvý povedal, čo je 4-rozmerná kocka. Nedeľná škola bola, prirodzene, mimoriadne nábožensko – matematická. V tom čase sme študovali hyperkocky. Týždeň pred tým matematická indukcia, týždeň po nej hamiltonovské cykly v grafoch - podľa toho ide o 7. ročník.

Nemôžeme sa dotýkať, cítiť, počuť alebo vidieť 4-rozmernú kocku. Čo s tým môžeme robiť? Vieme si to predstaviť! Pretože náš mozog je oveľa zložitejší ako naše oči a ruky.

Aby sme teda pochopili, čo je 4-rozmerná kocka, poďme najprv pochopiť, čo máme k dispozícii. Čo je to 3-rozmerná kocka?

DOBRE DOBRE! Nežiadam vás o jasnú matematickú definíciu. Len si predstavte najjednoduchšiu a najobyčajnejšiu trojrozmernú kocku. Predstavený?

Dobre.
Aby sme pochopili, ako zovšeobecniť 3-rozmernú kocku do 4-rozmerného priestoru, poďme zistiť, čo je 2-rozmerná kocka. Je to také jednoduché - je to štvorec!

Štvorec má 2 súradnice. Kocka má tri. Štvorcové body sú body s dvoma súradnicami. Prvá je od 0 do 1. A druhá je od 0 do 1. Body kocky majú tri súradnice. A každé je ľubovoľné číslo od 0 do 1.

Je logické si predstaviť, že 4-rozmerná kocka je vec, ktorá má 4 súradnice a všetko je od 0 do 1.

/* Je okamžite logické predstaviť si 1-rozmernú kocku, ktorá nie je ničím iným ako jednoduchým segmentom od 0 do 1. */

Tak počkaj, ako nakreslíš 4-rozmernú kocku? Nemôžeme predsa nakresliť 4-rozmerný priestor v rovine!
Ale ani 3-rozmerný priestor nekreslíme v rovine, my ho kreslíme projekcia na 2-rozmernú rovinu kreslenia. Tretiu súradnicu (z) umiestnime pod uhlom, pričom si predstavíme, že os z roviny kreslenia ide „smerom k nám“.

Teraz je úplne jasné, ako nakresliť 4-rozmernú kocku. Rovnakým spôsobom, ako sme umiestnili tretiu os pod určitým uhlom, zoberme štvrtú os a tiež ju umiestnime pod určitým uhlom.
A - voila! -- premietanie 4-rozmernej kocky na rovinu.

Čo? Čo to vôbec je? Vždy počujem šepot zo zadných stolov. Dovoľte mi podrobnejšie vysvetliť, čo je táto spleť riadkov.
Najprv sa pozrite na trojrozmernú kocku. čo sme urobili? Vzali sme štvorec a pretiahli ho pozdĺž tretej osi (z). Je to ako veľa, veľa papierových štvorcov zlepených dohromady v stohu.
Rovnako je to aj so 4-rozmernou kockou. Nazvime štvrtú os pre pohodlie a pre sci-fi „časová os“. Musíme vziať obyčajnú trojrozmernú kocku a pretiahnuť ju časom z času „teraz“ do času „za hodinu“.

Máme "teraz" kocku. Na obrázku je ružová.

A teraz to ťaháme po štvrtej osi - po časovej osi (ukázal som to zelenou farbou). A dostaneme kocku budúcnosti – modrú.

Každý vrchol „kocky teraz“ zanecháva stopu v čase - segment. Spája svoju prítomnosť s budúcnosťou.

Stručne povedané, bez akýchkoľvek textov: nakreslili sme dve rovnaké 3-rozmerné kocky a spojili zodpovedajúce vrcholy.
Presne to isté, čo urobili s 3-rozmernou kockou (nakreslite 2 rovnaké 2-rozmerné kocky a spojte vrcholy).

Ak chcete nakresliť 5-rozmernú kocku, budete musieť nakresliť dve kópie 4-rozmernej kocky (4-rozmernú kocku s piatou súradnicou 0 a 4-rozmernú kocku s piatou súradnicou 1) a spojiť zodpovedajúce vrcholy s hranami. Pravda, na rovine bude taká spleť hrán, že bude takmer nemožné ničomu rozumieť.

Keď sme si predstavili 4-rozmernú kocku a dokonca sme ju dokázali nakresliť, môžeme ju skúmať rôznymi spôsobmi. Nezabudnite to preskúmať vo svojej mysli aj z obrázka.
Napríklad. 2-rozmerná kocka je ohraničená na 4 stranách 1-rozmernými kockami. Je to logické: pre každú z 2 súradníc má začiatok aj koniec.
3-rozmerná kocka je ohraničená na 6 stranách 2-rozmernými kockami. Pre každú z troch súradníc má začiatok a koniec.
To znamená, že 4-rozmerná kocka musí byť obmedzená ôsmimi 3-rozmernými kockami. Pre každú zo 4 súradníc - na oboch stranách. Na obrázku vyššie jasne vidíme 2 tváre, ktoré ho obmedzujú pozdĺž súradnice „času“.

Tu sú dve kocky (sú mierne šikmé, pretože majú 2 rozmery premietnuté do roviny pod uhlom), ktoré obmedzujú našu hyperkocku vľavo a vpravo.

Je tiež ľahké si všimnúť „horné“ a „dolné“.

Najťažšie je vizuálne pochopiť, kde sú „predné“ a „zadné“. Predná časť začína od predného okraja „kocky teraz“ a po predný okraj „kocky budúcnosti“ - je červená. Zadná časť je fialová.

Najťažšie sa spozorujú, pretože sa pod nohami pletú ďalšie kocky, ktoré obmedzujú hyperkocku na inej premietnutej súradnici. Ale všimnite si, že kocky sú predsa len iné! Tu je opäť obrázok, kde sú zvýraznené „kocka súčasnosti“ a „kocka budúcnosti“.

Samozrejme je možné premietnuť 4-rozmernú kocku do 3-rozmerného priestoru.
Prvý možný priestorový model je jasný, ako vyzerá: treba zobrať 2 rámy kocky a spojiť ich zodpovedajúce vrcholy novou hranou.
Tento model momentálne nemám na sklade. Na prednáške študentom ukazujem trochu iný 3-rozmerný model 4-rozmernej kocky.

Viete, ako sa kocka premieta do roviny, ako je táto.
Je to ako keby sme sa pozerali na kocku zhora.

Blízky okraj je, samozrejme, veľký. A vzdialená hrana vyzerá menšia, vidíme ju cez blízku.

Takto môžete premietnuť 4-rozmernú kocku. Kocka je teraz väčšia, v diaľke vidíme kocku budúcnosti, takže vyzerá menšia.

Na druhej strane. Z vrchnej strany.

Priamo presne zo strany okraja:

Zo strany rebier:

A posledný uhol, asymetrický. Z časti „povedz mi, že som sa mu pozrel medzi rebrá“.

No potom sa dá vymyslieť čokoľvek. Napríklad tak, ako dochádza k vývoju 3-rozmernej kocky na rovinu (je to ako vystrihnutie listu papiera, takže po zložení získate kocku), to isté sa stane s vývojom 4-rozmernej kocky do priestor. Je to ako vystrihnúť kus dreva tak, že jeho zložením v 4-rozmernom priestore dostaneme tesseract.

Môžete študovať nielen 4-rozmernú kocku, ale n-rozmerné kocky vo všeobecnosti. Je napríklad pravda, že polomer gule opísanej okolo n-rozmernej kocky je menší ako dĺžka hrany tejto kocky? Alebo tu je jednoduchšia otázka: koľko vrcholov má n-rozmerná kocka? Koľko hrán (jednorozmerných plôch)?

Začnime vysvetlením, čo je štvorrozmerný priestor.

Toto je jednorozmerný priestor, teda jednoducho os OX. Ktorýkoľvek bod na ňom je charakterizovaný jednou súradnicou.

Teraz nakreslíme os OY kolmo na os OX. Dostaneme teda dvojrozmerný priestor, teda rovinu XOY. Akýkoľvek bod na ňom je charakterizovaný dvoma súradnicami - úsečkou a osou.

Nakreslíme os OZ kolmo na osi OX a OY. Výsledkom je trojrozmerný priestor, v ktorom má každý bod úsečku, ordinátu a aplikáciu.

Je logické, že štvrtá os, OQ, by mala byť súčasne kolmá na osi OX, OY a OZ. Takúto os však nedokážeme presne zostrojiť, a preto sa ju môžeme len pokúsiť predstaviť. Každý bod v štvorrozmernom priestore má štyri súradnice: x, y, z a q.

Teraz sa pozrime, ako sa objavila štvorrozmerná kocka.

Na obrázku je postava v jednorozmernom priestore - čiara.

Ak urobíte paralelný preklad tejto čiary pozdĺž osi OY a potom spojíte zodpovedajúce konce dvoch výsledných čiar, dostanete štvorec.

Podobne, ak urobíte paralelný preklad štvorca pozdĺž osi OZ a spojíte zodpovedajúce vrcholy, dostanete kocku.

A ak urobíme paralelný preklad kocky pozdĺž osi OQ a spojíme vrcholy týchto dvoch kociek, tak dostaneme štvorrozmernú kocku. Mimochodom, je to tzv tesseract.

Ak chcete nakresliť kocku v rovine, potrebujete ju projektu. Vizuálne to vyzerá takto:

Predstavme si, že visí vo vzduchu nad hladinou drôtený model kocka, teda akoby „z drôtu“ a nad ňou je žiarovka. Ak zapnete žiarovku, obkreslíte ceruzkou tieň kocky a potom žiarovku vypnete, na povrchu sa zobrazí projekcia kocky.

Prejdime k niečomu trochu zložitejšiemu. Pozrite sa znova na kresbu so žiarovkou: ako vidíte, všetky lúče sa zbiehajú v jednom bode. To sa nazýva úbežník a používa sa na stavbu perspektívna projekcia(a deje sa to aj paralelne, keď sú všetky lúče navzájom rovnobežné. Výsledkom je, že nevzniká pocit objemu, ale je ľahší a navyše, ak je úbežník dosť vzdialený od premietaného objektu, potom je rozdiel medzi týmito dvoma projekciami málo viditeľný). Ak chcete premietnuť daný bod do danej roviny pomocou úbežníka, musíte nakresliť priamku cez úbežník a daný bod a potom nájsť priesečník výslednej priamky a roviny. A aby ste mohli premietnuť zložitejší obrazec, povedzme kocku, musíte premietnuť každý z jej vrcholov a potom spojiť zodpovedajúce body. Treba poznamenať, že algoritmus na premietanie priestoru do podpriestoru možno zovšeobecniť na prípad 4D->3D, nielen na 3D->2D.

Ako som povedal, nevieme si presne predstaviť, ako vyzerá os OQ, rovnako ako tesseract. Obmedzenú predstavu o tom však môžeme získať, ak to premietneme na zväzok a potom nakreslíme na obrazovku počítača!

Teraz si povedzme o projekcii tesseract.

Vľavo je projekcia kocky do roviny a vpravo je tesseract na objem. Sú si dosť podobné: projekcia kocky vyzerá ako dva štvorce, malý a veľký, jeden vo vnútri druhého a ktorých zodpovedajúce vrcholy sú spojené čiarami. A projekcia tesseractu vyzerá ako dve kocky, malá a veľká, jedna vo vnútri druhej, ktorej zodpovedajúce vrcholy sú spojené. Všetci sme však kocku videli a môžeme s istotou povedať, že malý štvorec aj veľký štvorec a štyri lichobežníky nad, pod, napravo a naľavo od malého štvorca sú v skutočnosti štvorce a sú rovnaké. . A tesseract má to isté. A veľká kocka a malá kocka a šesť zrezaných ihlanov po stranách malej kocky - to všetko sú kocky a sú si rovné.

Môj program dokáže nielen nakresliť projekciu tesseractu na zväzok, ale ho aj otočiť. Pozrime sa, ako sa to robí.

Najprv vám poviem, čo to je rotácia rovnobežná s rovinou.

Predstavte si, že sa kocka otáča okolo osi OZ. Potom každý jeho vrchol opisuje kružnicu okolo osi OZ.

Kruh je plochá postava. A roviny každého z týchto kruhov sú navzájom rovnobežné a v tomto prípade rovnobežné s rovinou XOY. To znamená, že môžeme hovoriť nielen o rotácii okolo osi OZ, ale aj o rotácii rovnobežne s rovinou XOY.Ako vidíme, pre body, ktoré sa otáčajú rovnobežne s osou XOY, sa mení iba úsečka a ordináta, zatiaľ čo aplikácia zostáva A v skutočnosti môžeme hovoriť o rotácii okolo priamky iba vtedy, keď máme do činenia s trojrozmerným priestorom. V dvojrozmernom priestore sa všetko otáča okolo bodu, v štvorrozmernom priestore okolo roviny, v päťrozmernom priestore hovoríme o otáčaní okolo objemu. A ak si vieme predstaviť rotáciu okolo bodu, tak rotácia okolo roviny a objemu je niečo nemysliteľné. A ak hovoríme o rotácii rovnobežnej s rovinou, tak v akomkoľvek n-rozmernom priestore sa bod môže otáčať rovnobežne s rovinou.

Mnohí z vás už určite počuli o rotačnej matici. Vynásobením bodu ním dostaneme bod otočený rovnobežne s rovinou o uhol phi. Pre dvojrozmerný priestor to vyzerá takto:

Ako násobiť: x bodu otočeného o uhol phi = kosínus uhla phi*ix pôvodného bodu mínus sínus uhla phi*ig pôvodného bodu;
ig bodu otočeného o uhol phi = sínus uhla phi * ix pôvodného bodu plus kosínus uhla phi * ig pôvodného bodu.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, kde Xa a Ya sú úsečka a ordináta bodu, ktorý sa má otočiť, Xa` a Ya` sú úsečka a ordináta už otočeného bodu

Pre trojrozmerný priestor je táto matica zovšeobecnená takto:

Rotácia rovnobežná s rovinou XOY. Ako vidíte, súradnica Z sa nemení, ale menia sa iba X a Y
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (v podstate Za`=Za)

Rotácia rovnobežná s rovinou XOZ. Nič nové,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (v podstate Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

A tretia matica.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (v podstate Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

A pre štvrtý rozmer vyzerajú takto:


Myslím, že už chápete, čím sa má násobiť, takže nebudem znova zachádzať do podrobností. Ale podotýkam, že robí to isté ako matica pre rotáciu rovnobežnú s rovinou v trojrozmernom priestore! Obidve zmenia iba súradnicu a aplikáciu a nedotýkajú sa ostatných súradníc, takže sa dá použiť v trojrozmernom prípade, pričom nevenujeme pozornosť štvrtej súradnici.

Ale s projekčným vzorcom nie je všetko také jednoduché. Bez ohľadu na to, koľko fór som prečítal, žiadna z metód projekcie mi nefungovala. Tá paralelná mi nevyhovovala, keďže by projekcia nevyzerala trojrozmerne. V niektorých projekčných vzorcoch na nájdenie bodu potrebujete vyriešiť sústavu rovníc (a ja neviem, ako ich naučiť riešiť počítač), iným som jednoducho nerozumel... Vo všeobecnosti som sa rozhodol prísť na svoj spôsob. Na tento účel zvážte 2D->1D projekciu.

pov znamená "Uhol pohľadu", ptp znamená "Bod do projektu" (bod, ktorý sa má premietnuť) a ptp` je požadovaný bod na osi OX.

Uhly povptpB a ptpptp`A sú rovnaké ako zodpovedajúce (bodkovaná čiara je rovnobežná s osou OX, priamka povptp je sečna).
X bodu ptp` sa rovná x bodu ptp mínus dĺžka úsečky ptp`A. Tento segment možno nájsť v trojuholníku ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangens uhla ptpptp`A. Túto dotyčnicu môžeme nájsť z trojuholníka povptpB: dotyčnica ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Odpoveď: Xptp`=Xptp-Yptp/tangens uhla ptpptp`A.

Tento algoritmus som tu podrobne neopisoval, pretože existuje veľa špeciálnych prípadov, keď sa vzorec trochu zmení. Ak má niekto záujem, pozrite si zdrojový kód programu, všetko je tam popísané v komentároch.

Aby sme premietli bod v trojrozmernom priestore do roviny, jednoducho zvážime dve roviny - XOZ a YOZ a pre každú z nich vyriešime tento problém. V prípade štvorrozmerného priestoru je potrebné zvážiť tri roviny: XOQ, YOQ a ZOQ.

A nakoniec o programe. Funguje to takto: inicializujte šestnásť vrcholov tesseractu -> v závislosti od príkazov zadaných používateľom, otočte ho -> premietnite ho na objem -> v závislosti od príkazov zadaných používateľom otočte jeho projekciu -> premietnite na rovina -> kresliť.

Projekcie a rotácie som napísal sám. Fungujú podľa vzorcov, ktoré som práve opísal. Knižnica OpenGL kreslí čiary a rieši aj miešanie farieb. A súradnice vrcholov tesseractu sa vypočítajú týmto spôsobom:

Súradnice vrcholov čiary so stredom v počiatku a dĺžke 2 - (1) a (-1);
- " - " - štvorec - " - " - a hrana dĺžky 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) a (-1; -1);
- " - " - kocka - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Ako vidíte, štvorec je jeden riadok nad osou OY a jeden riadok pod osou OY; kocka je jedno políčko pred rovinou XOY a jedno za ňou; Tesseract je jedna kocka na druhej strane zväzku XOYZ a jedna na tejto strane. Oveľa ľahšie je ale toto striedanie jednotiek a mínusiek vnímať, ak sú napísané v kolónke

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

V prvom stĺpci sa strieda jedna a mínus jedna. V druhom stĺpci sú najprv dve plusy, potom dve mínusy. V treťom - štyri plusové a potom štyri mínusové. Boli to vrcholy kocky. Tesseract ich má dvakrát toľko, a preto bolo potrebné na ich deklaráciu napísať slučku, inak sa dá veľmi ľahko zmiasť.

Môj program dokáže kresliť aj anaglyf. Šťastní majitelia 3D okuliarov môžu pozorovať stereoskopický obraz. Na kreslení obrázka nie je nič zložité, jednoducho nakreslíte dve projekcie do roviny, pre pravé a ľavé oko. Program sa však stáva oveľa vizuálnejším a zaujímavejším, a čo je najdôležitejšie, poskytuje lepšiu predstavu o štvorrozmernom svete.

Menej podstatné funkcie sú podsvietenie jednej z hrán červenou farbou, aby bolo lepšie vidieť zákruty, ako aj drobné vymoženosti - regulácia súradníc bodov „oka“, zvyšovanie a znižovanie rýchlosti otáčania.

Archív s programom, zdrojovým kódom a návodom na použitie.

Ak sa vám stala nezvyčajná príhoda, videli ste zvláštne stvorenie alebo nepochopiteľný úkaz, môžete nám poslať svoj príbeh a bude zverejnený na našej stránke ===> .

Doktrína viacrozmerných priestorov sa začala objavovať v polovici 19. storočia. Myšlienku štvorrozmerného priestoru si od vedcov požičali spisovatelia sci-fi. Vo svojich dielach rozprávali svetu o úžasných zázrakoch štvrtej dimenzie.

Hrdinovia svojich diel, využívajúci vlastnosti štvorrozmerného priestoru, mohli zjesť obsah vajíčka bez poškodenia škrupiny a vypiť nápoj bez toho, aby otvorili uzáver fľaše. Zlodeji odstránili poklad z trezoru cez štvrtú dimenziu. Chirurgovia vykonávali operácie vnútorných orgánov bez toho, aby pacientovi rezali telesné tkanivo.

Tesseract

V geometrii je hyperkocka n-rozmernou analógiou štvorca (n = 2) a kocky (n = 3). Štvorrozmerný analóg našej bežnej trojrozmernej kocky je známy ako tesseract. Tesseract je ku kocke ako kocka ku štvorcu. Formálnejšie možno tesseract opísať ako pravidelný konvexný štvorrozmerný mnohosten, ktorého hranica pozostáva z ôsmich kubických buniek.

Každý pár nerovnobežných 3D plôch sa pretína a vytvára 2D plochy (štvorce) atď. Nakoniec má tesseract 8 3D plôch, 24 2D plôch, 32 hrán a 16 vrcholov.
Mimochodom, podľa Oxfordského slovníka slovo tesseract vymyslel a použil v roku 1888 Charles Howard Hinton (1853-1907) vo svojej knihe A New Age of Thought. Neskôr niektorí ľudia nazvali tú istú postavu tetracube (grécky tetra - štyri) - štvorrozmerná kocka.

Konštrukcia a popis

Skúsme si predstaviť, ako bude vyzerať hyperkocka bez toho, aby sme opustili trojrozmerný priestor.
V jednorozmernom „priestore“ - na priamke - vyberieme úsečku AB dĺžky L. Na dvojrozmernej rovine vo vzdialenosti L od AB nakreslíme úsečku DC rovnobežnú s ňou a ich konce spojíme. Výsledkom je štvorcový CDBA. Opakovaním tejto operácie s rovinou získame trojrozmernú kocku CDBAGHFE. A posunutím kocky v štvrtom rozmere (kolmo na prvé tri) o vzdialenosť L dostaneme hyperkocku CDBAGHFEKLJIOPNM.

Podobným spôsobom môžeme pokračovať v úvahách pre hyperkocky väčšieho počtu rozmerov, no oveľa zaujímavejšie je sledovať, ako bude štvorrozmerná hyperkocka vyzerať pre nás, obyvateľov trojrozmerného priestoru.

Vezmeme drôtenú kocku ABCDHEFG a pozrieme sa na ňu jedným okom zo strany okraja. Uvidíme a môžeme nakresliť dva štvorce na rovine (jej blízke a vzdialené okraje), spojené štyrmi čiarami - bočnými okrajmi. Podobne štvorrozmerná hyperkocka v trojrozmernom priestore bude vyzerať ako dve kubické „škatule“ vložené do seba a spojené ôsmimi hranami. V tomto prípade sa samotné „boxy“ – trojrozmerné tváre – premietnu do „nášho“ priestoru a čiary, ktoré ich spájajú, sa roztiahnu v smere štvrtej osi. Môžete si tiež skúsiť predstaviť kocku nie v projekcii, ale v priestorovom obrázku.

Tak ako je trojrozmerná kocka tvorená štvorcom posunutým o dĺžku jeho plochy, kocka posunutá do štvrtého rozmeru vytvorí hyperkocku. Je ohraničený ôsmimi kockami, ktoré budú v perspektíve vyzerať ako nejaký dosť zložitý obrazec. Samotnú štvorrozmernú hyperkocku je možné rozdeliť na nekonečné množstvo kociek, rovnako ako trojrozmernú kocku možno „rozrezať“ na nekonečné množstvo plochých štvorcov.

Rozrezaním šiestich plôch trojrozmernej kocky ju môžete rozložiť na plochú postavu - vývoj. Bude mať štvorec na každej strane pôvodnej tváre plus jeden ďalší - tvár oproti nemu. A trojrozmerný vývoj štvorrozmernej hyperkocky bude pozostávať z pôvodnej kocky, šiestich kociek, ktoré z nej „rastú“, plus jednej ďalšej - konečnej „hyperface“.

Hyperkocka v umení

Tesseract je taká zaujímavá postava, že opakovane priťahuje pozornosť spisovateľov a filmárov.
Robert E. Heinlein spomenul hyperkocky niekoľkokrát. V The House That Teal Built (1940) opísal dom postavený ako nezabalený tesseract a potom, v dôsledku zemetrasenia, „zložený“ vo štvrtej dimenzii, aby sa stal „skutočným“ tesseractom. Heinleinov román Glory Road popisuje hyperveľkú krabicu, ktorá bola väčšia zvnútra ako zvonka.

Príbeh Henryho Kuttnera „All Tenali Borogov“ opisuje vzdelávaciu hračku pre deti z ďalekej budúcnosti, podobnú štruktúre ako tesseract.

Dej hry Cube 2: Hypercube sa sústreďuje na osem cudzincov uväznených v „hyperkocke“ alebo sieti spojených kociek.

Paralelný svet

Matematické abstrakcie viedli k myšlienke existencie paralelných svetov. Tie sú chápané ako reality, ktoré existujú súčasne s našou, ale nezávisle od nej. Paralelný svet môže mať rôzne veľkosti: od malej geografickej oblasti až po celý vesmír. V paralelnom svete sa udalosti dejú vlastným spôsobom, môže sa líšiť od nášho sveta v jednotlivých detailoch a takmer vo všetkom. Navyše, fyzikálne zákony paralelného sveta nemusia byť nevyhnutne podobné zákonom nášho vesmíru.

Táto téma je úrodnou pôdou pre autorov sci-fi.

Obraz Salvadora Dalího „Ukrižovanie“ zobrazuje tesseract. „Ukrižovanie alebo hyperkubické telo“ je obraz španielskeho umelca Salvadora Dalího namaľovaný v roku 1954. Zobrazuje ukrižovaného Ježiša Krista na skene tesseractu. Obraz je uložený v Metropolitnom múzeu umenia v New Yorku

Všetko sa to začalo v roku 1895, keď H.G. Wells svojim príbehom „The Door in the Wall“ otvoril sci-fi existenciu paralelných svetov. V roku 1923 sa Wells vrátil k myšlienke paralelných svetov a do jedného z nich umiestnil utopickú krajinu, kam chodia postavy z románu Muži ako bohovia.

Román nezostal bez povšimnutia. V roku 1926 sa objavil príbeh G. Denta „Cisár krajiny „Keby“ V Dentovom príbehu sa prvýkrát objavila myšlienka, že by mohli existovať krajiny (svety), ktorých história by sa mohla uberať inak ako história skutočných krajín. A tieto svety nie sú o nič menej skutočné ako ten náš.

V roku 1944 Jorge Luis Borges publikoval príbeh „Záhrada rozvetvených ciest“ vo svojej knihe Vymyslené príbehy. Tu bola myšlienka rozvetvenia času konečne vyjadrená s maximálnou jasnosťou.
Napriek objaveniu sa vyššie uvedených diel sa myšlienka mnohých svetov začala vážne rozvíjať v sci-fi až koncom štyridsiatych rokov 20. storočia, približne v rovnakom čase, keď podobná myšlienka vznikla vo fyzike.

Jedným z priekopníkov nového smeru v sci-fi bol John Bixby, ktorý v príbehu „One Way Street“ (1954) navrhol, že medzi svetmi sa môžete pohybovať len jedným smerom – akonáhle prejdete zo svojho sveta do paralelného, nevrátiš sa späť, ale presunieš sa z jedného sveta do druhého. Nie je však vylúčený ani návrat do vlastného sveta - na to je potrebné, aby bol systém svetov uzavretý.

Román Clifforda Simaka A Ring Around the Sun (1982) opisuje početné planéty Zem, z ktorých každá existuje vo svojom vlastnom svete, ale na rovnakej obežnej dráhe, pričom tieto svety a tieto planéty sa od seba líšia len nepatrným (mikrosekundovým) posunom v čase. Početné Zeme, ktoré hrdina románu navštívi, tvoria jednotný systém svetov.

Zaujímavý pohľad na vetvenie svetov vyjadril Alfred Bester vo svojom príbehu „Muž, ktorý zabil Mohameda“ (1958). „Zmenou minulosti,“ tvrdil hrdina príbehu, „to zmeníte iba pre seba.“ Inými slovami, po zmene v minulosti vzniká odvetvie histórie, v ktorom táto zmena existuje len pre postavu, ktorá zmenu vykonala.

Príbeh bratov Strugackých „Pondelok začína v sobotu“ (1962) opisuje cesty postáv do rôznych verzií budúcnosti opísanej autormi sci-fi – na rozdiel od ciest do rôznych verzií minulosti, ktoré už v sci-fi existovali.

Aj obyčajný zoznam všetkých diel, ktoré sa dotýkajú témy paralelných svetov, by však zabral príliš veľa času. A hoci spisovatelia sci-fi spravidla vedecky nepodkladajú postulát multidimenzionality, v jednej veci majú pravdu - je to hypotéza, ktorá má právo existovať.
Štvrtý rozmer tesseractu nás ešte len čaká na návštevu.

Viktor Savinov

Ak ste fanúšikom filmov o Avengers, prvá vec, ktorá vás napadne, keď počujete slovo „Tesseract“, je priehľadná nádoba v tvare kocky z kameňa nekonečna obsahujúca neobmedzenú silu.

Pre fanúšikov Marvel Universe je Tesseract svietiacou modrou kockou, ktorá rozblázni ľudí nielen zo Zeme, ale aj z iných planét. Preto sa všetci Avengers spojili, aby ochránili pozemšťanov pred extrémne ničivými silami Tesseractu.

Toto je však potrebné povedať: Tesseract je skutočný geometrický koncept, alebo konkrétnejšie tvar, ktorý existuje v 4D. Nie je to len modrá kocka z Avengers... je to skutočný koncept.

Tesseract je objekt v 4 rozmeroch. Kým si to však podrobne vysvetlíme, začnime od začiatku.

Čo je to "meranie"?

Každý už počul pojmy 2D a 3D, ktoré predstavujú dvojrozmerné alebo trojrozmerné objekty v priestore. Ale aké sú tieto miery?

Dimenzia je jednoducho smer, ktorým sa môžete vydať. Napríklad, ak kreslíte čiaru na kus papiera, môžete ísť buď doľava/doprava (os x) alebo hore/dole (os y). Takže hovoríme, že papier je dvojrozmerný, pretože môžete ísť iba dvoma smermi.

V 3D je cítiť hĺbku.

Teraz, v reálnom svete, okrem dvoch vyššie uvedených smerov (vľavo/vpravo a hore/dole), môžete ísť aj „do/z“. V dôsledku toho sa do 3D priestoru pridáva pocit hĺbky. Preto hovoríme, že skutočný život je trojrozmerný.

Bod môže predstavovať 0 rozmerov (keďže sa nepohybuje žiadnym smerom), čiara predstavuje 1 rozmer (dĺžka), štvorec predstavuje 2 rozmery (dĺžka a šírka) a kocka predstavuje 3 rozmery (dĺžka, šírka a výška ).

Vezmite 3D kocku a nahraďte každú z jej plôch (ktoré sú momentálne štvorcové) kockou. A tak! Tvar, ktorý získate, je tesseract.

Čo je to tesseract?

Jednoducho povedané, tesseract je kocka v 4-rozmernom priestore. Môžete tiež povedať, že ide o 4D analóg kocky. Toto je 4D tvar, kde každá tvár je kocka.

3D projekcia tesseractu vykonávajúceho dvojitú rotáciu okolo dvoch ortogonálnych rovín.
Obrázok: Jason Hise

Tu je jednoduchý spôsob, ako konceptualizovať dimenzie: štvorec je dvojrozmerný; preto každý z jeho rohov má 2 čiary, ktoré z neho vychádzajú pod uhlom 90 stupňov navzájom. Kocka je 3D, takže každý jej roh má 3 čiary, ktoré z nej vychádzajú. Rovnako tesseract má 4D tvar, takže každý roh má 4 čiary, ktoré z neho vychádzajú.

Prečo je ťažké predstaviť si tesseract?

Keďže sme sa ako ľudia vyvinuli na vizualizáciu objektov v troch rozmeroch, čokoľvek, čo ide do ďalších dimenzií, ako je 4D, 5D, 6D atď., nám nedáva veľký zmysel, pretože ich vôbec nedokážeme predstaviť. Náš mozog nedokáže pochopiť 4. dimenziu vo vesmíre. Len na to nemôžeme myslieť.

Avšak to, že si nedokážeme predstaviť koncept viacrozmerných priestorov, neznamená, že nemôže existovať.

Matematicky je tesseract dokonale presný tvar. Podobne všetky formy vo vyšších dimenziách, teda 5D a 6D, sú tiež matematicky prijateľné.

Tak ako sa dá kocka rozložiť na 6 štvorcov v 2D priestore, tesseract sa dá v 3D priestore rozložiť na 8 kociek.

Prekvapivé a nepochopiteľné, však?

Takže tesseract je „skutočný koncept“, ktorý je absolútne matematicky hodnoverný, nie len lesklá modrá kocka, o ktorú sa bojuje vo filmoch Avengers.

Hyperkocka a platónske telesá

Modelujte skrátený dvadsaťsten („futbalovú loptu“) v systéme „Vektor“.
v ktorej je každý päťuholník ohraničený šesťuholníkmi

Skrátený dvadsaťsten možno získať odrezaním 12 vrcholov, aby sa vytvorili tváre vo forme pravidelných päťuholníkov. V tomto prípade sa počet vrcholov nového mnohostenu zväčší 5-krát (12×5=60), 20 trojuholníkových plôch sa zmení na pravidelné šesťuholníky (celkom tváre budú 20+12=32), A počet hrán sa zvýši na 30+12×5=90.

Kroky na konštrukciu skráteného dvadsaťstenu v systéme Vector

Postavy v 4-rozmernom priestore.

--à

--à ?

Napríklad daná kocka a hyperkocka. Hyperkocka má 24 stien. To znamená, že 4-rozmerný osemsten bude mať 24 vrcholov. Hoci nie, hyperkocka má 8 plôch kociek – každá má stred vo svojom vrchole. To znamená, že 4-rozmerný osemsten bude mať 8 vrcholov, čo je ešte ľahšie.

4-rozmerný osemsten. Pozostáva z ôsmich rovnostranných a rovnakých štvorstenov,
spojené štyrmi v každom vrchole.

Ryža. Pokus o simuláciu
hypersféra-hypersféra v systéme Vector

Predná - zadná strana - gule bez skreslenia. Ďalších šesť guľôčok možno definovať cez elipsoidy alebo kvadratické plochy (cez 4 obrysové čiary ako generátory) alebo cez plochy (najskôr definované pomocou generátorov).

Viac techník na „vybudovanie“ hypersféry
- rovnaká „futbalová lopta“ v 4-rozmernom priestore

Dodatok 2

Pre konvexné mnohosteny existuje vlastnosť, ktorá dáva do súvislosti počet jeho vrcholov, hrán a plôch, ktorú v roku 1752 dokázal Leonhard Euler a ktorá sa nazýva Eulerova veta.

Pred jeho formulovaním zvážte nám známe mnohosteny a vyplňte nasledujúcu tabuľku, v ktorej B je počet vrcholov, P - hrán a G - plôch daného mnohostenu:

Názov mnohostenu
Trojuholníková pyramída
Štvorhranná pyramída
Trojuholníkový hranol
Štvorhranný hranol
n-uhoľná pyramída	n+1	2n	n+1
n-uhlíkový hranol	2n	3n	n+2
n-uhlie skrátené pyramída	2n	3n	n+2

Z tejto tabuľky je hneď zrejmé, že pre všetky vybrané mnohosteny platí rovnosť B - P + G = 2. Ukazuje sa, že táto rovnosť platí nielen pre tieto mnohosteny, ale aj pre ľubovoľný konvexný mnohosten.

Eulerova veta. Pre každý konvexný mnohosten platí rovnosť

B – P + G = 2,

kde B je počet vrcholov, P je počet hrán a G je počet plôch daného mnohostenu.

Dôkaz. Na dôkaz tejto rovnosti si predstavte povrch tohto mnohostenu vyrobený z elastického materiálu. Odstránime (vystrihneme) jednu z jeho plôch a zvyšnú plochu natiahneme na rovinu. Získame mnohouholník (tvorený okrajmi odstránenej plochy mnohostena), rozdelený na menšie mnohouholníky (tvorené zvyšnými plochami mnohostena).

Všimnite si, že polygóny môžu byť deformované, zväčšené, zmenšené alebo dokonca zakrivené, pokiaľ na stranách nie sú žiadne medzery. Počet vrcholov, hrán a plôch sa nezmení.

Dokážme, že výsledné rozdelenie mnohouholníka na menšie mnohouholníky spĺňa rovnosť

(*)B – P + G “ = 1,

kde B je celkový počet vrcholov, P je celkový počet hrán a Г " je počet polygónov zahrnutých v oddiele. Je jasné, že Г " = Г - 1, kde Г je počet plôch danej oblasti mnohosten.

Dokážme, že rovnosť (*) sa nemení, ak je v niektorom mnohouholníku daného oddielu nakreslená uhlopriečka (obr. 5, a). Skutočne, po nakreslení takejto uhlopriečky bude mať nový oddiel B vrcholov, P+1 hrán a počet polygónov sa zvýši o jeden. Preto máme

B - (P + 1) + (G "+1) = B - P + G " .

Pomocou tejto vlastnosti nakreslíme uhlopriečky, ktoré rozdelia prichádzajúce mnohouholníky na trojuholníky a pre výsledné rozdelenie ukážeme uskutočniteľnosť rovnosti (*) (obr. 5, b). Aby sme to dosiahli, postupne odstránime vonkajšie okraje, čím sa zníži počet trojuholníkov. V tomto prípade sú možné dva prípady:

a) na odstránenie trojuholníka ABC je potrebné odstrániť dve rebrá, v našom prípade AB A B.C.;

b) na odstránenie trojuholníkaMKNje potrebné odstrániť jeden okraj, v našom prípadeMN.

V oboch prípadoch sa rovnosť (*) nezmení. Napríklad v prvom prípade po odstránení trojuholníka bude graf pozostávať z B - 1 vrcholov, P - 2 hrán a G " - 1 mnohouholníka:

(B - 1) - (P + 2) + (G " - 1) = B - P + G ".

Zvážte druhý prípad sami.

Odstránením jedného trojuholníka sa teda nezmení rovnosť (*). Pokračujúc v tomto procese odstraňovania trojuholníkov, nakoniec dospejeme k oddielu pozostávajúcom z jedného trojuholníka. Pre takéto rozdelenie platí B = 3, P = 3, Г " = 1 a teda B – Р + Г " = 1. To znamená, že rovnosť (*) platí aj pre pôvodný oddiel, z čoho nakoniec dostaneme, že pretože toto rozdelenie polygónu platí rovnosť (*). Pre pôvodný konvexný mnohosten teda platí rovnosť B - P + G = 2.

Príklad mnohostenu, pre ktorý neplatí Eulerov vzťah, znázornené na obrázku 6. Tento mnohosten má 16 vrcholov, 32 hrán a 16 plôch. Pre tento mnohosten teda platí rovnosť B – P + G = 0.

Dodatok 3.

Film Cube 2: Hypercube je sci-fi film, pokračovanie filmu Cube.

Osem cudzincov sa prebúdza v miestnostiach v tvare kocky. Izby sú umiestnené vo vnútri štvorrozmernej hyperkocky. Miestnosti sa neustále pohybujú prostredníctvom „kvantovej teleportácie“ a ak vyleziete do ďalšej miestnosti, je nepravdepodobné, že sa vrátite do predchádzajúcej. V hyperkocke sa prelínajú paralelné svety, v niektorých miestnostiach čas plynie inak a niektoré miestnosti sú pasce smrti.

Dej filmu do značnej miery opakuje dej prvého dielu, čo sa odráža aj na obrazoch niektorých postáv. V miestnostiach hyperkocky zomiera nositeľ Nobelovej ceny Rosenzweig, ktorý vypočítal presný čas zničenia hyperkocky..

Kritika

Ak sa v prvej časti ľudia uväznení v labyrinte snažili jeden druhému pomáhať, v tomto filme je to každý sám za seba. Je tu množstvo zbytočných špeciálnych efektov (alias pascí), ktoré túto časť filmu nijako logicky nespájajú s predchádzajúcou. To znamená, že sa ukazuje, že film Kocka 2 je akýmsi labyrintom budúcnosti 2020-2030, ale nie 2000. V prvej časti môže všetky typy pascí teoreticky vytvárať človek. V druhej časti sú tieto pasce akýmsi počítačovým programom, takzvanou „virtuálnou realitou“.