а на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.
Предварительные сведения
Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.
Определение 1
Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.
Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.
Определение 2
Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.
Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).
Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).
Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.
Определение 3
Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).
Определение 4
Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:
- Эти векторы коллинеарны.
- Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).
Обозначение: $\overline{a}\overline{b}$
Определение 5
Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:
- Эти векторы коллинеарны.
- Если они направлены в разные стороны (рис. 4).
Обозначение: $\overline{a}↓\overline{d}$
Определение 6
Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.
Обозначение: $|\overline{a}|$
Перейдем к определению равенства двух векторов
Определение 7
Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:
- Они сонаправлены;
- Их длины равны (рис. 5).
Геометрическая проекция
Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.
Определение 8
Геометрической проекцией вектора $\overline{AB}$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A"$ - начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B"$ - конец искомого вектора. Вектор $\overline{A"B"}$ и будет искомым вектором.
Рассмотрим задачу:
Пример 1
Постройте геометрическую проекцию $\overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.
Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A"$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B"$ (рис. 7).
Обозначим через а угол между вектором и осью проекции и перенесем вектор
так, чтобы его начало совпало с какой-нибудь точкой оси. Если направления составляющей вектора и оси одина ковы, то угол а будет острым и, как видно из рис. 24, а,
где а - модуль вектора а. Если же направления вектора и оси противоположны, то, учитывая знак проекции, будем иметь-(см. рис. 24, б)
т. е. предыдущее выражение (нужно помнить, что в данном случае угол а тупой и
Таким образом, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:
Кроме этой имеющей исключительно важное значение формулы, для проекции вектора на ось можно дать еще одну очень простую формулу. Установим на оси начало отсчета и выберем масштаб, общий с масштабом векторов. Как известно, координатой точки называется число, выражающее в выбранном масштабе расстояние от начала отсчета оси до проекции данной точки на ось, причем это число берется со знаком плюс, если проекция точки удалена от начала отсчета в сторону направления оси, и со знаком минус в противном случае. Так, например, координатой точки А (рис. 23, б) будет взятое со знаком число, выражающее длину отрезка а координатой точки В будет взятое со знаком - число, определяющее длину отрезка (мы не останавливаемся на этом
подробнее, считая, что читатель знаком с понятием координат точки из курса элементарной математики).
Обозначим через координату начала, а через координату конца вектора на ось х. Тогда, как видно из рис. 23, а, будем иметь
Проекция вектора на ось х будет равна
или, учитывая предыдущие равенства,
Легко видеть, что эта формула имеет общий характер и не зависит от расположения вектора относительно оси и начала отсчета. Действительно, рассмотрим случай, изображённый на рис. 23, б. Из определения координат точек и проекции вектора последовательно получим
(читатель легко проверит справедливость формулы и и при другом расположении вектора относительно оси и начала отсчета).
Из (6.11) следует, что проекция вектора на ось равна разности координат конца и начала вектора.
Вычисление проекции вектора на ось встречается весьма часто в самых различных вопросах. Поэтому необходимо выработать твердые навыки вычисления проекций. Можно указать некоторые приемы, облегчающие процесс вычисления проекций.
1. Знак проекции вектора на ось, как правило, можно определить непосредственно из чертежа, а модуль проекции можно вычислить по формуле
где - острый угол между вектором и осью проекций - если а если Этом прием, не внося ничего принципиально нового, несколько
облегчает вычисление проекции, так как не требует тригонометрических преобразований.
2. Если требуется определить проекции вектора на две взаимноперпендикулярные оси х и у (предполагается, что вектор лежит в плоскости этих осей) и - острый угол между вектором и осью х, то
(знак проекций определяется из чертежа).
Пример. Найти проекции на оси координат х и у силы изображенной на рис. 25. Из чертежа видно, что обе проекции будут отрицательны. Следовательно,
3. Иногда применяется правило двойного проектирования, состоящее в следующем. Пусть дан вектор и ось лежащая в плоскости Опустим из конца вектора перпендикуляры на плоскость и прямую и соединим затем основания перпендикуляров отрезком прямой линии (рис. 26). Обозначим угол между вектором и плоскостью через угол между и через и угол между вектором и осью проекций через а. Так как угол прямой (по построению), то
Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:Пр a b = |b|cos(a,b) или
Где a b - скалярное произведение векторов , |a| - модуль вектора a .
Инструкция . Для нахождения проекции вектора Пp a b в онлайн режиме необходимо указать координаты векторов a и b . При этом вектор может быть задан на плоскости (две координаты) и в пространстве (три координаты). Полученное решение сохраняется в файле Word . Если векторы заданы через координаты точек, то необходимо использовать этот калькулятор .
Классификация проекций вектора
Виды проекций по определению проекция вектора
Виды проекций по системе координат
Свойства проекции вектора
- Геометрическая проекция вектора есть вектор (имеет направление).
- Алгебраическая проекция вектора есть число.
Теоремы о проекциях вектора
Теорема 1 . Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна проекции слагаемых векторов на ту же ось.
Теорема 2 . Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:
Пр a b = |b|cos(a,b)
Виды проекций вектора
- проекция на ось OX.
- проекция на ось OY.
- проекция на вектор.
| Проекция на ось OX | Проекция на ось OY | Проекция на вектор |
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
 | Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
 | Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
 |
Если направление вектора противоположно с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
 | Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
 | Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
 |
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
  | Если вектор AB параллелен оси OY, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
  | Если вектор AB параллелен вектору NM, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
  |
Если вектор AB перпендикулярен оси OX, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).
  | Если вектор AB перпендикулярен оси OY, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).
  | Если вектор AB перпендикулярен вектору NM, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).
  |
1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак. Ответ: Да, проекций вектора может быть отрицательной величиной. В этом случае, вектор имеет противоположное направление (см. как направлены ось OX и вектор AB)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае, векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нуль-вектор). Ответ: Да, может. В этом случае вектор перпендикулярен соответствующей оси (вектору).
Пример 1
. Вектор (рис. 1) образует с осью OX (она задана вектором a) угол 60 о. Если OE есть единица масштаба, то |b|=4, так что 
.
Действительно, длина вектора (геометрической проекции b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси OX.
Пример 2
. Вектор (рис. 2) образует с осью OX (с вектором a) угол (a,b) = 120 o . Длина |b| вектора b равна 4, поэтому пр a b=4·cos120 o = -2.
Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.
Введение…………………………………………………………………………3
1. Значение вектора и скаляра………………………………………….4
2. Определение проекции, оси и координатой точки………………...5
3. Проекция вектора на ось……………………………………………...6
4. Основная формула векторной алгебры……………………………..8
5. Вычисление модуля вектора по его проекциям…………………...9
Заключение……………………………………………………………………...11
Литература……………………………………………………………………...12
Введение:
Физика неразрывно связана с математикой. Математика дает физике средства и приемы общего и точного выражения зависимости между физическими величинами, которые открываются в результате эксперимента или теоретических исследований.Ведь основной метод исследований в физике – экспериментальный. Это значит – вычисления ученый выявляет с помощью измерений. Обозначает связь между различными физическими величинами. Затем, все переводится на язык математики. Формируется математическая модель. Физика - есть наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности. Задача физики состоит в том, чтобы создать в нашем сознании такую картину физического мира, которая наиболее полно отражает свойства его и обеспечивает такие соотношения между элементами модели, какие существуют между элементами.
Итак, физика создает модель окружающего нас мира и изучает ее свойства. Но любая модель является ограниченной. При создании моделей того или иного явления принимаются во внимание только существенные для данного круга явлений свойства и связи. В этом и заключается искусство ученого - из всего многообразия выбрать главное.
Физические модели являются математическими, но не математика является их основой. Количественные соотношения между физическими величинами выясняются в результате измерений, наблюдений и экспериментальных исследований и лишь выражаются на языке математики. Однако другого языка для построения физических теорий не существует.
1. Значение вектора и скаляра.
В физике и математике вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они "скалярами" .
Они записываются либо буквами обычного шрифта, либо цифрами (а, б, t, G, 5, −7….). Скалярные величины могут быть положительными и отрицательными. В то же время некоторые объекты изучения могут обладать такими свойствами, для полного описания которых знание только числовой меры оказывается недостаточным, необходимо ещё охарактеризовать эти свойства направлением в пространстве. Такие свойства характеризуются векторными величинами (векторами). Векторы, в отличие от скаляров, обозначаются буквами жирного шрифта: a, b, g, F, С ….
Нередко вектор обозначают буквой обычного (нежирного) шрифта, но со стрелкой над ней:
Кроме того, часто вектор обозначают парой букв (обычно заглавных), причём первая буква обозначает начало вектора, а вторая - его конец.
Модуль вектора, то есть длину направленного прямолинейного отрезка, обозначают теми же буквами, как и сам вектор, но в обычном (не жирном) написании и без стрелки над ними, либо точно также как и вектор (то есть жирным шрифтом или обычным, но со стрелкой), но тогда обозначение вектора заключается в вертикальные черточки.
Вектор – сложный объект, который одновременно характеризуется и величиной и направлением.
Не бывает также положительных и отрицательных векторов. А вот равными между собой векторы быть могут. Это когда, например, aиb имеют одинаковые модули и направлены в одну сторону. В этом случае справедлива запись a = b. Надо также иметь в виду, что перед символом вектора может стоять знак минус, например, - с, однако, этот знак символически указывает на то, что вектор -с имеет такой же модуль, как и вектор с, но направлен в противоположную сторону.
Вектор -с называют противоположным (или обратным) вектору с.
В физике же каждый вектор наполнен конкретным содержанием и при сравнении однотипных векторов (например, сил) могут иметь существенное значение и точки их приложения.
2.Определение проекции, оси и координатой точки.
Ось
– это прямая, которой придается какое–то направление.
Ось обозначается какой-либо буквой: X , Y , Z , s , t … Обычно на оси выбирается (произвольно) точка, которая называется началом отсчета и, как правило, обозначается буквой О. От этой точки отсчитываются расстояния до других интересующих нас точек.
Проекцией точки на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось. То есть, проекцией точки на ось является точка.
Координатой точки на данной оси называется число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между началом оси и проекцией точки на эту ось. Это число берется со знаком плюс, если проекция точки располагается в направлении оси от ее начала и со знаком минус, если в противоположном направлении.
3.Проекция вектора на ось.
Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а x ·i - его векторная проекция на эту ось.
Обозначим векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим а x (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или
(нежирная буква, обозначающая вектор, но со стрелкой наверху (!) и нижний индекс названия оси).
Скалярной проекцией вектора на ось называется число , абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция . Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектора, то его проекция обозначается а x . При проектировании этого же вектора на другую ось, если ось Y , его проекция будет обозначаться а y .
Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть
а x = х к − x н.
Проекция вектора на ось - это число. Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н,
отрицательной, если величина х к меньше величины х н
и равной нулю, если х к равно х н.
Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.
Из рисунка видно, что а x = а Cos α
То есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора
. Если угол острый, то
Cos α > 0 и а x
> 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.
Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.
Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.
4. Основная формула векторной алгебры.
Спроектируемвектор а на оси Х и Y прямоугольной системы координат. Найдем векторные проекции вектора а на эти оси:
а x = а x ·i, а y = а y ·j.
Но в соответствии справилом сложения векторов
а = а x + а y .
а = а x ·i + а y ·j.
Таким образом, мы выразили вектор через его проекции и орты прямоугольной системы координат (или через его векторные проекции).
Векторные проекции а x и а y называютсясоставляющими или компонентами вектора а. Операция, которую мы выполнили, называется разложением вектора по осямпрямоугольной системы координат.
Если вектор задан в пространстве, то
а = а x ·i + а y ·j + а z ·k.
Эта формула называется основной формулой векторной алгебры. Конечно, ее можно записать и так.
