"தட்டையான" வரைபடங்களுக்குப் பதிலாக, நாங்கள் மிகவும் பொதுவான இடஞ்சார்ந்த மேற்பரப்புகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், மேலும் அவற்றை கையால் எவ்வாறு திறமையாக உருவாக்குவது என்பதையும் கற்றுக்கொள்வோம். முப்பரிமாண வரைபடங்களை உருவாக்குவதற்கான மென்பொருள் கருவிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் நான் நீண்ட நேரம் செலவிட்டேன், மேலும் சில நல்ல பயன்பாடுகளைக் கண்டறிந்தேன், ஆனால் பயன்பாட்டின் எளிமை இருந்தபோதிலும், இந்த திட்டங்கள் ஒரு முக்கியமான நடைமுறை சிக்கலை சரியாக தீர்க்கவில்லை. உண்மை என்னவென்றால், வரலாற்று எதிர்காலத்தில், மாணவர்கள் இன்னும் ஒரு ஆட்சியாளர் மற்றும் பென்சிலுடன் ஆயுதம் ஏந்தியிருப்பார்கள், மேலும் உயர்தர "இயந்திரம்" வரைதல் இருந்தாலும், பலரால் அதை சரிபார்க்கப்பட்ட காகிதத்தில் சரியாக மாற்ற முடியாது. எனவே, கையேட்டில், கையேடு கட்டுமானத்தின் நுட்பத்திற்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்படுகிறது, மேலும் பக்க விளக்கப்படங்களின் குறிப்பிடத்தக்க பகுதி கையால் செய்யப்பட்ட தயாரிப்பு ஆகும்.

இந்த குறிப்பு பொருள் ஒப்புமைகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகிறது?

ஒழுக்கமான நடைமுறை அனுபவத்தைக் கொண்டிருப்பதால், உயர் கணிதத்தின் உண்மையான சிக்கல்களில் நாம் அடிக்கடி எதிர்கொள்ள வேண்டிய மேற்பரப்புகளை நான் நன்கு அறிவேன், மேலும் உங்கள் சாமான்களை 90 ஐக் கணக்கிடும் தொடர்புடைய அறிவு மற்றும் பயன்பாட்டு திறன்களுடன் விரைவாக நிரப்ப இந்த கட்டுரை உதவும் என்று நம்புகிறேன். -95% போதுமான வழக்குகள் இருக்க வேண்டும்.

இந்த நேரத்தில் நீங்கள் என்ன செய்ய வேண்டும்?

மிகவும் அடிப்படை:

முதலில், நீங்கள் முடியும் சரியாக கட்டஇடஞ்சார்ந்த கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு (கட்டுரையின் தொடக்கத்தைப் பார்க்கவும் வரைபடங்கள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் பண்புகள்) .

இந்த கட்டுரையைப் படித்த பிறகு நீங்கள் என்ன பெறுவீர்கள்?

பாட்டில் பாடம் பொருட்கள் மாஸ்டரிங் பிறகு, நீங்கள் விரைவில் அதன் செயல்பாடு மற்றும் / அல்லது சமன்பாடு மூலம் மேற்பரப்பு வகை தீர்மானிக்க கற்று, அது விண்வெளியில் அமைந்துள்ள எப்படி கற்பனை, மற்றும், நிச்சயமாக, வரைபடங்கள் செய்ய. முதல் வாசிப்புக்குப் பிறகு உங்கள் தலையில் எல்லாவற்றையும் பெறவில்லை என்றால் பரவாயில்லை - தேவைக்கேற்ப எந்தப் பத்திக்கும் நீங்கள் எப்போது வேண்டுமானாலும் திரும்பலாம்.

தகவல் அனைவரின் அதிகாரத்திலும் உள்ளது - அதை மாஸ்டர் செய்ய உங்களுக்கு சூப்பர் அறிவு, சிறப்பு கலை திறமை அல்லது இடஞ்சார்ந்த பார்வை தேவையில்லை.

தொடங்கு!

நடைமுறையில், இடஞ்சார்ந்த மேற்பரப்பு பொதுவாக வழங்கப்படுகிறது இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடுஅல்லது படிவத்தின் சமன்பாடு (வலது பக்கத்தில் உள்ள மாறிலி பெரும்பாலும் பூஜ்ஜியம் அல்லது ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்). முதல் பதவி கணித பகுப்பாய்விற்கு மிகவும் பொதுவானது, இரண்டாவது - க்கு பகுப்பாய்வு வடிவியல். சமன்பாடு அடிப்படையில் உள்ளது மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்டது 2 மாறிகளின் செயல்பாடு, இது வழக்கமான சந்தர்ப்பங்களில் எளிதாக படிவமாக குறைக்கப்படலாம். எளிமையான உதாரணத்தை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் c:

–விமான சமன்பாடுகருணை .

- விமானத்தின் செயல்பாடு வெளிப்படையாக .

அதனுடன் ஆரம்பிக்கலாம்:

விமானங்களின் பொதுவான சமன்பாடுகள்

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் விமானங்களை அமைப்பதற்கான வழக்கமான விருப்பங்கள் கட்டுரையின் ஆரம்பத்தில் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகின்றன. விமானச் சமன்பாடு. இருப்பினும், நடைமுறைக்கு மிகவும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்த சமன்பாடுகளில் மீண்டும் ஒருமுறை வாழ்வோம்.

முதலாவதாக, ஒருங்கிணைக்கும் விமானங்களுக்கு இணையான விமானங்களின் சமன்பாடுகளை நீங்கள் முழுமையாக தானாக அங்கீகரிக்க வேண்டும். விமானங்களின் துண்டுகள் நிலையான செவ்வகங்களாக சித்தரிக்கப்படுகின்றன, இது கடைசி இரண்டு நிகழ்வுகளில் இணையான வரைபடங்கள் போல இருக்கும். இயல்பாக, நீங்கள் எந்த பரிமாணங்களையும் தேர்வு செய்யலாம் (நிச்சயமாக, நியாயமான வரம்புகளுக்குள்), ஆனால் ஒருங்கிணைப்பு அச்சு விமானத்தை "துளைக்கும்" புள்ளி சமச்சீர் மையமாக இருப்பது விரும்பத்தக்கது:


கண்டிப்பாகச் சொன்னால், ஆய அச்சுகள் சில இடங்களில் புள்ளியிடப்பட்ட கோடுகளுடன் சித்தரிக்கப்பட வேண்டும், ஆனால் குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக இந்த நுணுக்கத்தை நாம் புறக்கணிப்போம்.

– (இடது வரைதல்)சமத்துவமின்மை, விமானத்தைத் தவிர்த்து, நம்மிடமிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ள அரை-வெளியைக் குறிப்பிடுகிறது;

– (நடுத்தர வரைதல்)சமத்துவமின்மை விமானம் உட்பட சரியான அரை-வெளியைக் குறிப்பிடுகிறது;

– (வலது வரைதல்)இரட்டை சமத்துவமின்மை இரண்டு விமானங்களும் உட்பட, விமானங்களுக்கு இடையில் அமைந்துள்ள ஒரு "அடுக்கை" வரையறுக்கிறது.

சுய வெப்பமயமாதலுக்கு:

எடுத்துக்காட்டு 1

விமானங்களால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உடலை வரையவும்
கொடுக்கப்பட்ட உடலை வரையறுக்கும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பை உருவாக்கவும்.

உங்கள் பென்சிலின் கீழ் இருந்து ஒரு பழைய அறிமுகம் வெளிப்பட வேண்டும். கனசதுரம். கண்ணுக்கு தெரியாத விளிம்புகள் மற்றும் முகங்கள் புள்ளியிடப்பட்ட கோடுடன் வரையப்பட வேண்டும் என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள். பாடத்தின் முடிவில் வரைதல் முடிந்தது.

தயவு செய்து, புறக்கணிக்காதீர்கள்கற்றல் பணிகள், அவை மிகவும் எளிமையானதாகத் தோன்றினாலும். இல்லையெனில், நீங்கள் அதை ஒரு முறை தவறவிட்டீர்கள், இரண்டு முறை தவறவிட்டீர்கள், பின்னர் சில உண்மையான உதாரணத்தில் முப்பரிமாண வரைபடத்தைக் கண்டுபிடிக்க ஒரு திடமான மணிநேரத்தை செலவழித்தீர்கள். கூடுதலாக, இயந்திர வேலை நீங்கள் மிகவும் திறம்பட பொருள் கற்று மற்றும் உங்கள் புத்திசாலித்தனத்தை வளர்க்க உதவும்! மழலையர் பள்ளி மற்றும் தொடக்கப் பள்ளிகளில் குழந்தைகள் வரைதல், மாடலிங், கட்டுமான பொம்மைகள் மற்றும் விரல்களின் சிறந்த மோட்டார் திறன்களுக்கான பிற பணிகளை ஏற்றுவது தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல. திசைதிருப்பலுக்கு மன்னிக்கவும், ஆனால் வளர்ச்சி உளவியல் பற்றிய எனது இரண்டு குறிப்பேடுகள் காணாமல் போகக்கூடாது =)

விமானங்களின் அடுத்த குழுவை நாங்கள் நிபந்தனையுடன் “நேரடி விகிதாசாரம்” என்று அழைப்போம் - இவை ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் வழியாக செல்லும் விமானங்கள்:

2) வடிவத்தின் சமன்பாடு அச்சின் வழியாக செல்லும் ஒரு விமானத்தைக் குறிப்பிடுகிறது;

3) வடிவத்தின் சமன்பாடு அச்சின் வழியாக செல்லும் விமானத்தைக் குறிப்பிடுகிறது.

முறையான அடையாளம் வெளிப்படையானது என்றாலும் (சமன்பாட்டில் எந்த மாறி இல்லை - விமானம் அந்த அச்சின் வழியாக செல்கிறது), நடக்கும் நிகழ்வுகளின் சாராம்சத்தைப் புரிந்துகொள்வது எப்போதும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 2

விமானம் கட்டவும்

உருவாக்க சிறந்த வழி என்ன? நான் பின்வரும் அல்காரிதத்தை முன்மொழிகிறேன்:

முதலில், சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம், அதில் இருந்து "y" எடுக்க முடியும் என்பதை தெளிவாகக் காணலாம். ஏதேனும்அர்த்தங்கள். மதிப்பை சரிசெய்வோம், அதாவது, ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம். சமன்பாடுகள் அமைக்கப்பட்டன இடஞ்சார்ந்த கோடு, கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் பொய். இந்த வரியை வரைபடத்தில் சித்தரிக்கலாம். நேர்கோடு ஆயங்களின் தோற்றம் வழியாக செல்கிறது, எனவே அதை உருவாக்க ஒரு புள்ளியைக் கண்டறிவது போதுமானது. விடுங்கள் . ஒரு புள்ளியை ஒதுக்கி ஒரு நேர் கோட்டை வரையவும்.

இப்போது நாம் விமானத்தின் சமன்பாட்டிற்கு திரும்புவோம். "Y" ஏற்றுக்கொள்வதால் ஏதேனும்மதிப்புகள், பின்னர் விமானத்தில் கட்டப்பட்ட நேர்கோடு தொடர்ந்து இடது மற்றும் வலதுபுறமாக "பிரதி" செய்யப்படுகிறது. அச்சு வழியாகச் செல்லும் நமது விமானம் இப்படித்தான் உருவாகிறது. வரைபடத்தை முடிக்க, நேர் கோட்டின் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் இரண்டு இணையான கோடுகளை இடுகிறோம் மற்றும் குறுக்கு கிடைமட்ட பிரிவுகளுடன் குறியீட்டு இணையான வரைபடத்தை "மூடு":

நிபந்தனை கூடுதல் கட்டுப்பாடுகளை விதிக்கவில்லை என்பதால், விமானத்தின் ஒரு பகுதி சற்று சிறிய அல்லது சற்று பெரிய அளவுகளில் சித்தரிக்கப்படலாம்.

உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இடஞ்சார்ந்த நேரியல் சமத்துவமின்மையின் பொருளை மீண்டும் மீண்டும் செய்வோம். அது வரையறுக்கும் அரை இடத்தை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது? ஒரு விஷயத்தை எடுத்துக் கொள்வோம் சேர்ந்தது அல்லவிமானம், எடுத்துக்காட்டாக, நமக்கு மிக நெருக்கமான அரை-இடத்திலிருந்து ஒரு புள்ளி மற்றும் அதன் ஒருங்கிணைப்புகளை சமத்துவமின்மைக்கு மாற்றுகிறது:

பெற்றது உண்மையான சமத்துவமின்மை, அதாவது சமத்துவமின்மை குறைந்த (விமானத்துடன் தொடர்புடைய) அரை-இடத்தைக் குறிப்பிடுகிறது, அதே நேரத்தில் விமானம் தீர்வில் சேர்க்கப்படவில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 3

விமானங்களை உருவாக்குங்கள்
A) ;
b) .

இவை சுய கட்டுமானத்திற்கான பணிகள், சிரமங்கள் ஏற்பட்டால், இதே போன்ற காரணத்தைப் பயன்படுத்தவும். பாடத்தின் முடிவில் சுருக்கமான வழிமுறைகள் மற்றும் வரைபடங்கள்.

நடைமுறையில், அச்சுக்கு இணையான விமானங்கள் குறிப்பாக பொதுவானவை. விமானம் அச்சின் வழியாக செல்லும் சிறப்பு வழக்கு "இரு" என்ற பத்தியில் விவாதிக்கப்பட்டது, இப்போது நாம் ஒரு பொதுவான சிக்கலை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4

விமானம் கட்டவும்

தீர்வு: "z" மாறியானது சமன்பாட்டில் வெளிப்படையாக சேர்க்கப்படவில்லை, அதாவது விமானம் பயன்பாட்டு அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது. முந்தைய உதாரணங்களில் உள்ள அதே நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

விமானத்தின் சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம் அதில் இருந்து "zet" எடுக்க முடியும் என்பது தெளிவாகிறது ஏதேனும்அர்த்தங்கள். அதை சரிசெய்து, "சொந்த" விமானத்தில் வழக்கமான "பிளாட்" நேர்கோட்டை வரைவோம். அதை உருவாக்க, குறிப்பு புள்ளிகளை எடுத்துக்கொள்வது வசதியானது.

"Z" ஏற்பதால் அனைத்துமதிப்புகள், பின்னர் கட்டமைக்கப்பட்ட நேர்கோடு தொடர்ந்து மேலும் கீழும் "பெருக்கி", அதன் மூலம் விரும்பிய விமானத்தை உருவாக்குகிறது . நியாயமான அளவிலான ஒரு இணையான வரைபடத்தை கவனமாக வரைகிறோம்:

தயார்.

பிரிவுகளில் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு

மிக முக்கியமான பயன்பாட்டு வகை. என்றால் அனைத்துமுரண்பாடுகள் விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு பூஜ்யம் அல்லாத, பின்னர் அதை வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம் என்று அழைக்கப்படும் பிரிவுகளில் விமானத்தின் சமன்பாடு. விமானம் ஆய அச்சுகளை புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது என்பது வெளிப்படையானது, மேலும் அத்தகைய சமன்பாட்டின் சிறந்த நன்மை ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவது எளிது:

எடுத்துக்காட்டு 5

விமானம் கட்டவும்

தீர்வு: முதலில், பிரிவுகளில் விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம். இலவசச் சொல்லை வலப்புறமாக எறிந்து, இரு பக்கங்களையும் 12 ஆல் வகுப்போம்:

இல்லை, இங்கே எழுத்துப் பிழை இல்லை, எல்லா விஷயங்களும் விண்வெளியில் நடக்கும்! சமீபத்தில் விமானங்களுக்குப் பயன்படுத்தப்பட்ட அதே முறையைப் பயன்படுத்தி முன்மொழியப்பட்ட மேற்பரப்பை நாங்கள் ஆராய்வோம். சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம் , அதில் இருந்து "zet" எடுக்கிறது ஏதேனும்அர்த்தங்கள். விமானத்தில் ஒரு நீள்வட்டத்தை சரிசெய்து உருவாக்குவோம். "zet" ஏற்றுக்கொள்வதால் அனைத்துமதிப்புகள், பின்னர் கட்டப்பட்ட நீள்வட்டம் தொடர்ந்து மேலும் கீழும் "பிரதி" செய்யப்படுகிறது. மேற்பரப்பு என்பதை புரிந்துகொள்வது எளிது எல்லையற்ற:

இந்த மேற்பரப்பு அழைக்கப்படுகிறது நீள்வட்ட உருளை. ஒரு நீள்வட்டம் (எந்த உயரத்திலும்) அழைக்கப்படுகிறது வழிகாட்டிநீள்வட்டத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் கடந்து செல்லும் உருளை மற்றும் இணையான கோடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன உருவாக்கும்சிலிண்டர் (இது உண்மையில் அதை உருவாக்குகிறது). அச்சு என்பது சமச்சீர் அச்சுமேற்பரப்பு (ஆனால் அதன் ஒரு பகுதி அல்ல!).

கொடுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பிற்குச் சொந்தமான எந்தப் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளும் சமன்பாட்டைத் திருப்திப்படுத்த வேண்டும் .

இடஞ்சார்ந்தசமத்துவமின்மை எல்லையற்ற "குழாயின்" "உள்ளே", உருளை மேற்பரப்பு உட்பட, மற்றும், அதன்படி, எதிர் சமத்துவமின்மை சிலிண்டருக்கு வெளியே உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பை வரையறுக்கிறது.

நடைமுறை சிக்கல்களில், மிகவும் பிரபலமான சிறப்பு வழக்கு எப்போது வழிகாட்டிசிலிண்டர் ஆகும் வட்டம்:

எடுத்துக்காட்டு 8

சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பை உருவாக்கவும்

முடிவில்லாத "குழாயை" சித்தரிக்க இயலாது, எனவே கலை பொதுவாக "டிரிம்மிங்" மட்டுமே.

முதலில், விமானத்தில் ஆரம் வட்டத்தை உருவாக்குவது வசதியானது, பின்னர் மேலும் இரண்டு வட்டங்கள் மேலேயும் கீழேயும். இதன் விளைவாக வரும் வட்டங்கள் ( வழிகாட்டுகிறதுசிலிண்டர்) நான்கு இணை நேர்கோடுகளுடன் கவனமாக இணைக்கவும் ( உருவாக்கும்சிலிண்டர்):

நமக்குப் புலப்படாத வரிகளுக்குப் புள்ளியிடப்பட்ட கோடுகளைப் பயன்படுத்த மறக்காதீர்கள்.

கொடுக்கப்பட்ட சிலிண்டருக்குச் சொந்தமான எந்தப் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கின்றன . "குழாயின்" உள்ளே கண்டிப்பாக இருக்கும் எந்த புள்ளியின் ஆயங்களும் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கின்றன , மற்றும் சமத்துவமின்மை வெளிப்புற பகுதியின் புள்ளிகளின் தொகுப்பை வரையறுக்கிறது. சிறந்த புரிதலுக்கு, விண்வெளியில் பல குறிப்பிட்ட புள்ளிகளைக் கருத்தில் கொண்டு நீங்களே பார்க்க பரிந்துரைக்கிறேன்.

எடுத்துக்காட்டு 9

ஒரு மேற்பரப்பை உருவாக்கி அதன் திட்டத்தை விமானத்தில் கண்டறியவும்

சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம் அதில் இருந்து "x" எடுக்கிறது ஏதேனும்அர்த்தங்கள். விமானத்தில் சரிசெய்து சித்தரிக்கலாம் வட்டம்தொடக்கத்தில் மையத்துடன், அலகு ஆரம். "x" தொடர்ந்து ஏற்றுக்கொள்வதால் அனைத்துமதிப்புகள், பின்னர் கட்டப்பட்ட வட்டம் சமச்சீர் அச்சுடன் ஒரு வட்ட உருளையை உருவாக்குகிறது. மற்றொரு வட்டத்தை வரையவும் ( வழிகாட்டிசிலிண்டர்) மற்றும் அவற்றை நேர்கோடுகளுடன் கவனமாக இணைக்கவும் ( உருவாக்கும்சிலிண்டர்). சில இடங்களில் ஒன்றுடன் ஒன்று இருந்தது, ஆனால் நீங்கள் என்ன செய்ய முடியும், அத்தகைய சாய்வு உள்ளது:

இந்த நேரத்தில் நான் இடைவெளியில் ஒரு சிலிண்டரின் துண்டுக்கு என்னை மட்டுப்படுத்தினேன், இது தற்செயலானதல்ல. நடைமுறையில், மேற்பரப்பின் ஒரு சிறிய பகுதியை மட்டுமே சித்தரிக்க வேண்டியது அவசியம்.

இங்கே, 6 ஜெனரேட்ரிஸ்கள் உள்ளன - இரண்டு கூடுதல் நேர் கோடுகள் மேல் இடது மற்றும் கீழ் வலது மூலைகளிலிருந்து மேற்பரப்பை "மூடுகின்றன".

இப்போது ஒரு சிலிண்டரை விமானத்தில் செலுத்துவதைப் பார்ப்போம். பல வாசகர்கள் கணிப்பு என்றால் என்ன என்பதைப் புரிந்துகொள்கிறார்கள், இருப்பினும், மற்றொரு ஐந்து நிமிட உடல் பயிற்சியை நடத்துவோம். அச்சுப் புள்ளி உங்கள் நெற்றியில் செங்குத்தாக இருக்கும்படி தயவு செய்து நின்று, வரைபடத்தின் மேல் உங்கள் தலையை வணங்குங்கள். இந்த கோணத்தில் இருந்து ஒரு சிலிண்டர் தோன்றுவது ஒரு விமானத்தின் மீது அதன் ப்ரொஜெக்ஷன் ஆகும். ஆனால் இது ஒரு முடிவற்ற துண்டு போல் தெரிகிறது, நேர் கோடுகள் உட்பட, நேர் கோடுகளுக்கு இடையில் மூடப்பட்டிருக்கும். இந்த கணிப்பு சரியாக உள்ளது களம்செயல்பாடுகள் (சிலிண்டரின் மேல் "கட்டர்"), (கீழ் "கட்டர்").

மூலம், மற்ற ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களில் கணிப்புகளுடன் நிலைமையை தெளிவுபடுத்துவோம். சூரியனின் கதிர்கள் சிலிண்டரின் நுனியிலிருந்தும் அச்சில் இருந்தும் பிரகாசிக்கட்டும். ஒரு விமானத்தின் மீது ஒரு சிலிண்டரின் நிழல் (புரொஜெக்ஷன்) இதேபோன்ற முடிவிலா துண்டு ஆகும் - விமானத்தின் ஒரு பகுதி நேர் கோடுகளால் (- ஏதேனும்), நேர் கோடுகள் உட்பட.

ஆனால் விமானத்தின் மீதான கணிப்பு சற்று வித்தியாசமானது. நீங்கள் அச்சின் முனையிலிருந்து சிலிண்டரைப் பார்த்தால், அது அலகு ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தில் திட்டமிடப்படும். , அதனுடன் நாங்கள் கட்டுமானத்தைத் தொடங்கினோம்.

எடுத்துக்காட்டு 10

ஒரு மேற்பரப்பை உருவாக்கி அதன் கணிப்புகளை ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களில் கண்டறியவும்

இது நீங்களே தீர்க்க வேண்டிய பணி. நிலை மிகவும் தெளிவாக இல்லை என்றால், இருபுறமும் சதுரம் மற்றும் முடிவை பகுப்பாய்வு செய்யவும்; செயல்பாட்டின் மூலம் சிலிண்டரின் எந்தப் பகுதி குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது என்பதைக் கண்டறியவும். மேலே பயன்படுத்தப்பட்ட கட்டுமான நுட்பத்தை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்தவும். பாடத்தின் முடிவில் ஒரு குறுகிய தீர்வு, வரைதல் மற்றும் கருத்துகள்.

நீள்வட்ட மற்றும் பிற உருளை மேற்பரப்புகளை ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் ஒப்பிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக:

(பற்றிய கட்டுரையின் பழக்கமான நோக்கங்களின் அடிப்படையில் 2 வது வரிசை கோடுகள்) - அச்சுக்கு இணையான ஒரு புள்ளி வழியாகச் செல்லும் சமச்சீர் கோடு கொண்ட அலகு ஆரம் கொண்ட உருளை. இருப்பினும், நடைமுறையில், இத்தகைய சிலிண்டர்கள் மிகவும் அரிதாகவே காணப்படுகின்றன, மேலும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் தொடர்புடைய "சாய்ந்த" ஒரு உருளை மேற்பரப்பை சந்திப்பது முற்றிலும் நம்பமுடியாதது.

பரவளைய உருளைகள்

பெயர் குறிப்பிடுவது போல், வழிகாட்டிஅத்தகைய சிலிண்டர் பரவளைய.

எடுத்துக்காட்டு 11

ஒரு மேற்பரப்பை உருவாக்கி அதன் கணிப்புகளை ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களில் கண்டறியவும்.

இந்த உதாரணத்தை என்னால் எதிர்க்க முடியவில்லை =)

தீர்வு: அடிபட்ட பாதையில் செல்வோம். சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம், அதில் இருந்து “zet” எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம். விமானத்தில் ஒரு சாதாரண பரவளையத்தை சரிசெய்து கட்டமைப்போம், முன்பு அற்பமான ஆதரவு புள்ளிகளைக் குறித்தோம். "Z" ஏற்பதால் அனைத்துமதிப்புகள், பின்னர் கட்டமைக்கப்பட்ட பரவளையம் முடிவிலிக்கு மேலும் கீழும் தொடர்ந்து "பிரதி" செய்யப்படுகிறது. நாங்கள் அதே பரவளையத்தை ஒரு உயரத்தில் (விமானத்தில்) இடுகிறோம், அவற்றை இணையான நேர் கோடுகளுடன் கவனமாக இணைக்கிறோம் ( சிலிண்டரை உருவாக்குகிறது):

நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் பயனுள்ள நுட்பம்: வரைபடத்தின் தரம் குறித்து முதலில் உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டால், முதலில் பென்சிலால் கோடுகளை மிக மெல்லியதாக வரைவது நல்லது. பின்னர் நாம் ஸ்கெட்சின் தரத்தை மதிப்பீடு செய்கிறோம், மேற்பரப்பு நம் கண்களில் இருந்து மறைந்திருக்கும் பகுதிகளைக் கண்டுபிடித்து, பின்னர் மட்டுமே எழுத்தாணிக்கு அழுத்தம் கொடுக்க வேண்டும்.

கணிப்புகள்.

1) ஒரு சிலிண்டரை விமானத்தின் மீது செலுத்துவது ஒரு பரவளையமாகும். இந்த விஷயத்தில் அது பற்றி பேச முடியாது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம்- சிலிண்டர் சமன்பாடு செயல்பாட்டு வடிவத்திற்கு குறைக்க முடியாத காரணத்திற்காக.

2) ஒரு சிலிண்டரை ஒரு விமானத்தின் மீது செலுத்துவது, அச்சு உட்பட ஒரு அரை-தளமாகும்.

3) இறுதியாக, விமானத்தின் மீது சிலிண்டரின் ப்ரொஜெக்ஷன் முழு விமானமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 12

பரவளைய சிலிண்டர்களை உருவாக்கவும்:

a) அருகிலுள்ள அரை இடைவெளியில் மேற்பரப்பின் ஒரு பகுதிக்கு உங்களை கட்டுப்படுத்துங்கள்;

b) இடைவெளியில்

சிரமங்கள் ஏற்பட்டால், நாங்கள் அவசரப்பட மாட்டோம், முந்தைய உதாரணங்களுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்க்கிறோம், அதிர்ஷ்டவசமாக, தொழில்நுட்பம் முழுமையாக உருவாக்கப்பட்டுள்ளது. மேற்பரப்புகள் கொஞ்சம் விகாரமாக மாறினால் அது முக்கியமானதல்ல - அடிப்படை படத்தை சரியாகக் காண்பிப்பது முக்கியம். வரிகளின் அழகைப் பற்றி நானே கவலைப்படுவதில்லை; சி கிரேடுடன் நான் வரைந்தால், நான் அதை மீண்டும் செய்ய மாட்டேன். மூலம், வரைபடத்தின் தரத்தை மேம்படுத்த மாதிரி தீர்வு மற்றொரு நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துகிறது ;-)

ஹைபர்போலிக் சிலிண்டர்கள்

வழிகாட்டிகள்அத்தகைய சிலிண்டர்கள் ஹைபர்போலாக்கள். இந்த வகை மேற்பரப்பு, எனது அவதானிப்புகளின்படி, முந்தைய வகைகளை விட மிகவும் குறைவாகவே உள்ளது, எனவே நான் ஒரு ஹைபர்போலிக் சிலிண்டரின் ஒற்றை திட்ட வரைபடத்திற்கு வரம்பிடுவேன்:

இங்கே பகுத்தறிவின் கொள்கை சரியாகவே உள்ளது - வழக்கமானது பள்ளி மிகைப்படுத்தல்விமானத்தில் இருந்து முடிவிலி வரை தொடர்ந்து "பெருக்குகிறது".

கருதப்படும் சிலிண்டர்கள் என்று அழைக்கப்படுபவை 2 வது வரிசை மேற்பரப்புகள், இப்போது இந்த குழுவின் பிற பிரதிநிதிகளுடன் நாங்கள் தொடர்ந்து பழகுவோம்:

நீள்வட்டம். கோளம் மற்றும் பந்து

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு நீள்வட்டத்தின் நியதிச் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது , நேர்மறை எண்கள் எங்கே ( அச்சு தண்டுகள் ellipsoid), இது பொது வழக்கில் வெவ்வேறு. ஒரு நீள்வட்டம் அழைக்கப்படுகிறது மேற்பரப்பு, அதனால் உடல், கொடுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. உடல், பலர் யூகித்தபடி, சமத்துவமின்மையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது மற்றும் எந்த உள் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளும் (அதே போல் எந்த மேற்பரப்பு புள்ளியும்) இந்த சமத்துவமின்மையை அவசியம் பூர்த்தி செய்கின்றன. ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களைப் பொறுத்து வடிவமைப்பு சமச்சீராக உள்ளது:

"நீள்வட்ட" என்ற வார்த்தையின் தோற்றமும் வெளிப்படையானது: மேற்பரப்பு ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களால் "வெட்டப்பட்டால்", பிரிவுகள் மூன்று வெவ்வேறு (பொது வழக்கில்) விளைவிக்கும்.

1.7.1. விமானம்.

கார்ட்டீசியன் அடிப்படையில் ஒரு தன்னிச்சையான விமானம் P மற்றும் அதற்கு ஒரு சாதாரண திசையன் (செங்குத்தாக) `n (A, B, C). இந்த விமானத்தில் ஒரு தன்னிச்சையான நிலையான புள்ளி M0(x0, y0, z0) மற்றும் தற்போதைய புள்ளி M(x, y, z) ஆகியவற்றை எடுத்துக் கொள்வோம்.

?`n = 0 (1.53) என்பது வெளிப்படையானது.

(பார்க்க (1.20) j = p /2). இது திசையன் வடிவத்தில் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு ஆகும். ஆயத்தொலைவுகளுக்குச் செல்லும்போது, ​​விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1.54).

(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

கார்ட்டீசியன் ஆயங்களில், ஒவ்வொரு விமானமும் முதல் பட்டத்தின் சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, மாறாக, முதல் பட்டத்தின் ஒவ்வொரு சமன்பாடும் ஒரு விமானத்தை தீர்மானிக்கிறது (அதாவது, ஒரு விமானம் என்பது முதல் வரிசையின் மேற்பரப்பு மற்றும் மேற்பரப்பு முதல் வரிசை ஒரு விமானம்).

பொதுவான சமன்பாட்டால் குறிப்பிடப்பட்ட விமானத்தின் இருப்பிடத்தின் சில சிறப்பு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

A = 0 - ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையாக; B = 0 - Oy அச்சுக்கு இணையாக; C = 0 – Oz அச்சுக்கு இணையாக. (ஒருங்கிணைந்த விமானங்களில் ஒன்றிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் இத்தகைய விமானங்கள் திட்ட விமானங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன); D = 0 - தோற்றம் வழியாக செல்கிறது; A = B = 0 - Oz அச்சுக்கு செங்குத்தாக (xOy விமானத்திற்கு இணையாக); A = B = D = 0 – xOy விமானத்துடன் (z = 0) ஒத்துப்போகிறது. மற்ற எல்லா நிகழ்வுகளும் இதேபோல் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகின்றன.

டி என்றால்? 0, பின்னர் (1.54) இரு பக்கங்களையும் -D ஆல் வகுப்பதன் மூலம், விமானத்தின் சமன்பாட்டை வடிவத்திற்கு கொண்டு வரலாம்: (1.55),

a = – D /A, b = –D/ B, c = –D /C. உறவு (1.55) பிரிவுகளில் விமானத்தின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது; a, b, c – abscissa, Ox, Oy, Oz அச்சுகள் மற்றும் |a|, |b|, |c| - ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்திலிருந்து தொடர்புடைய அச்சுகளில் விமானத்தால் துண்டிக்கப்பட்ட பகுதிகளின் நீளம்.

இரு பக்கங்களையும் (1.54) இயல்பாக்கும் காரணி மூலம் பெருக்குதல் (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1.56)

இதில் cosa = Am, cosb = Bm, cosg = Cm ஆகியவை விமானத்திற்கான இயல்பான திசையின் கோசைன்கள், p என்பது மூலத்திலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம்.

கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்தப்படும் அடிப்படை உறவுகளை கருத்தில் கொள்வோம். A1x + B1y + C1z + D1 = 0 மற்றும் A2x + B2y + C2z + D2 = 0 ஆகிய விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம், இந்த விமானங்களின் இயல்புகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் `n1 (A1, B1, C1) மற்றும்

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

(1.57) இலிருந்து செங்குத்து நிலையைப் பெறுவது எளிது

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1.58)

மற்றும் இணைநிலை (1.59) விமானங்கள் மற்றும் அவற்றின் இயல்புகள்.

ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M0(x0, y0, z0) இலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம் (1.54)

வெளிப்பாடு மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: (1.60)

கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளான M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு, திசையன்களின் கோப்லானரிட்டி நிலையை (1.25) பயன்படுத்தி மிகவும் வசதியாக எழுதப்படுகிறது. M(x, y, z) - விமானத்தின் தற்போதைய புள்ளி.

(1.61)

விமானங்களின் மூட்டையின் சமன்பாட்டை முன்வைப்போம் (அதாவது.

ஒரு நேர் கோடு வழியாக செல்லும் விமானங்களின் தொகுப்புகள்) - பல பணிகளில் பயன்படுத்த வசதியானது.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1.62)

l О R மற்றும் அடைப்புக்குறிக்குள் பீமின் ஏதேனும் இரண்டு விமானங்களின் சமன்பாடுகள் இருக்கும்.

கட்டுப்பாட்டு கேள்விகள்.

1) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி இந்த சமன்பாட்டால் குறிப்பிடப்பட்ட மேற்பரப்பில் இருப்பதை எவ்வாறு சரிபார்க்கலாம்?

2) கார்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள விமானத்தின் சமன்பாட்டை மற்ற மேற்பரப்புகளின் சமன்பாட்டிலிருந்து வேறுபடுத்தும் சிறப்பியல்பு அம்சம் என்ன?

3) அதன் சமன்பாடு கொண்டிருக்கவில்லை என்றால், ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புடன் தொடர்புடைய விமானம் எவ்வாறு அமைந்துள்ளது: a) ஒரு இலவச சொல்; b) ஒருங்கிணைப்புகளில் ஒன்று; c) இரண்டு ஆயங்கள்; ஈ) ஒருங்கிணைப்புகளில் ஒன்று மற்றும் ஒரு இலவச சொல்; ஈ) இரண்டு ஆயங்கள் மற்றும் ஒரு இலவச கால?

1) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் M1(0,-1,3) மற்றும் M2(1,3,5). புள்ளி M1 வழியாக மற்றும் திசையன் செங்குத்தாக கடந்து செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள் சரியான பதிலைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

A) ; b) .

2) விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும் மற்றும் . சரியான பதிலைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

a) 135o, b) 45o

1.7.2. நேராக. கோலினியர் இல்லாத சாதாரண விமானங்கள் அல்லது வெட்டுங்கள், நேர்கோட்டை அவற்றின் குறுக்குவெட்டின் கோடு என்று தெளிவாக வரையறுக்கிறது, இது பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

இந்த கோட்டின் மூலம் எண்ணற்ற விமானங்களை வரைய முடியும் (விமானங்களின் மூட்டை (1.62)), அதை ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களில் செலுத்துவது உட்பட. அவற்றின் சமன்பாடுகளைப் பெற, ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலிருந்தும் தெரியாத ஒன்றை நீக்கி (1.63) மாற்றுவது போதுமானது, எடுத்துக்காட்டாக, படிவத்திற்கு (1.63`).

பணியை அமைப்போம் - திசையன் `S (l, m, n) க்கு இணையான ஒரு நேர்கோட்டை M0(x0,y0,z0) புள்ளியின் வழியாக வரையலாம் (இது ஒரு இயக்கக் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது). விரும்பிய வரியில் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(x,y,z) ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். திசையன்கள் மற்றும் கோலினியர் இருக்க வேண்டும், அதில் இருந்து கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்.

(1.64) அல்லது (1.64`)

இதில் cosa, cosb, cosg ஆகியவை திசையன் `Sன் திசை கோசைன்கள். (1.64) இலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் M1(x1, y1, z1) மற்றும் M2(x2, y2, z2) (இது இணையாக உள்ளது) வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுவது எளிது )

அல்லது (1.64``)

((1.64) இல் உள்ள பின்னங்களின் மதிப்புகள் வரியின் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் சமமாக இருக்கும் மற்றும் t ஆல் குறிக்கப்படலாம், இங்கு t R. இது வரியின் அளவுரு சமன்பாடுகளை உள்ளிட உங்களை அனுமதிக்கிறது

t அளவுருவின் ஒவ்வொரு மதிப்பும் ஒரு கோட்டில் உள்ள ஒரு புள்ளியின் x, y, z ஆயத்தொகுப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது அல்லது (இல்லையெனில்) - ஒரு கோட்டின் சமன்பாடுகளை திருப்திப்படுத்தும் தெரியாத மதிப்புகள்).

ஏற்கனவே அறியப்பட்ட திசையன்கள் மற்றும் அவற்றின் செயல்பாடுகளின் பண்புகள் மற்றும் நேர்கோட்டின் நியமன சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பெறுவது எளிது:

நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்: (1.65)

இணையான நிலை (1.66).

செங்குத்தாக l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) நேர்கோடுகள்.

நேர் கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணம் (நேராக கோட்டிற்கும் சாதாரண விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறிவதன் மூலம் எளிதாகப் பெறலாம், இது விரும்பிய p/2 வரை சேர்க்கிறது)

(1.68)

(1.66) இலிருந்து Al + Bm + Cn = 0 (1.69) என்ற இணைநிலை நிலையைப் பெறுகிறோம்.

மற்றும் ஒரு நேர்கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் செங்குத்தாக (1.70). இரண்டு கோடுகள் ஒரே விமானத்தில் இருப்பதற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனையை கோப்லானாரிட்டி நிலையில் இருந்து எளிதாகப் பெறலாம் (1.25).

(1.71)

கட்டுப்பாட்டு கேள்விகள்.

1) விண்வெளியில் ஒரு நேர்கோட்டை வரையறுப்பதற்கான வழிகள் யாவை?

1) புள்ளி A(4,3,0) வழியாக செல்லும் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடுகளை மற்றும் வெக்டருக்கு இணையாக எழுதவும் சரியான பதிலைக் குறிப்பிடவும்:

A) ; b) .

2) புள்ளிகள் A(2,-1,3) மற்றும் B(2,3,3) வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடுகளை எழுதவும். சரியான பதிலைக் குறிப்பிடவும்.

A) ; b) .

3) விமானத்துடன் கோட்டின் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்: , . சரியான பதிலைக் குறிப்பிடவும்:

a) (6,4,5); b) (6,-4,5).

1.7.3. இரண்டாவது வரிசையின் மேற்பரப்புகள். முப்பரிமாண கார்ட்டீசியன் அடிப்படையில் ஒரு நேரியல் சமன்பாடு ஒரு விமானத்தை தனித்துவமாக வரையறுத்தால், x, y, z ஆகியவற்றைக் கொண்ட எந்த நேரியல் சமன்பாடும் வேறு சில மேற்பரப்பை விவரிக்கிறது. சமன்பாடு வடிவமாக இருந்தால்

Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, பின்னர் அது இரண்டாவது-வரிசை மேற்பரப்பை விவரிக்கிறது (இரண்டாம்-வரிசை மேற்பரப்பின் பொதுவான சமன்பாடு). கார்ட்டீசியன் ஆயங்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் அல்லது மாற்றுவதன் மூலம், சமன்பாட்டை முடிந்தவரை எளிமைப்படுத்தலாம், இது தொடர்புடைய மேற்பரப்பை விவரிக்கும் பின்வரும் வடிவங்களில் ஒன்றுக்கு வழிவகுக்கும்.

1. இரண்டாம் வரிசை சிலிண்டர்களின் நியதிச் சமன்பாடுகள், இவற்றின் ஜெனரேட்டர்கள் Oz அச்சுக்கு இணையாக உள்ளன, மேலும் xOy விமானத்தில் கிடக்கும் தொடர்புடைய இரண்டாம்-வரிசை வளைவுகள் வழிகாட்டிகளாகச் செயல்படுகின்றன:

(1.72), (1.73), y2 = 2px (1.74)

நீள்வட்ட, அதிபரவளையம் மற்றும் பரவளைய உருளைகள் முறையே.

(ஒரு உருளை மேற்பரப்பு என்பது ஒரு நேர்கோட்டை நகர்த்துவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்பு என்பதை நினைவில் கொள்க, ஜெனராட்ரிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஜெனராட்ரிக்ஸுக்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானத்துடன் இந்த மேற்பரப்பின் வெட்டும் கோடு ஒரு வழிகாட்டி என்று அழைக்கப்படுகிறது - இது அதன் வடிவத்தை தீர்மானிக்கிறது. மேற்பரப்பு).

ஒப்புமை மூலம், ஓய் அச்சு மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையான ஜெனரேட்ரிக்ஸுடன் அதே உருளை மேற்பரப்புகளின் சமன்பாடுகளை நாம் எழுதலாம். வழிகாட்டி சிலிண்டரின் மேற்பரப்பின் வெட்டும் கோடு மற்றும் தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்பு விமானம் என வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது. படிவத்தின் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு:

2. தோற்றத்தில் உச்சியுடன் கூடிய இரண்டாவது வரிசை கூம்பு சமன்பாடுகள்:

(1.75)

(கூம்பின் அச்சுகள் முறையே Oz, Oy மற்றும் Ox அச்சுகள்)

3. நீள்வட்டத்தின் நியதிச் சமன்பாடு: (1.76);

சிறப்பு நிகழ்வுகள் புரட்சியின் நீள்வட்டங்கள், எடுத்துக்காட்டாக - நீள்வட்டத்தை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்பு Oz அச்சைச் சுற்றி (At

a > c நீள்வட்டமானது ஒரு x2 + y2+ z2 + = r2 உடன் சுருக்கப்பட்டுள்ளது - மூலத்தில் மையத்துடன் r ஆரம் கொண்ட கோளத்தின் சமன்பாடு).

4. ஒரு தாள் ஹைப்பர்போலாய்டின் நியமன சமன்பாடு

(“–” அடையாளம் இடது பக்கத்தில் உள்ள மூன்று சொற்களில் ஏதேனும் ஒன்றின் முன்னால் தோன்றும் - இது விண்வெளியில் மேற்பரப்பின் நிலையை மட்டுமே மாற்றுகிறது). சிறப்பு நிகழ்வுகள் புரட்சியின் ஒற்றை-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டுகள், எடுத்துக்காட்டாக - ஒரு ஹைபர்போலாவை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்பு Oz அச்சைச் சுற்றி (மிகப்பெருக்கத்தின் கற்பனை அச்சு).

5. இரண்டு-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டின் நியமனச் சமன்பாடு

(இடது பக்கத்தில் உள்ள மூன்று சொற்களில் ஏதேனும் ஒன்றின் முன்னால் "-" அடையாளம் தோன்றும்).

சிறப்பு நிகழ்வுகள் புரட்சியின் இரண்டு-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டுகள், எடுத்துக்காட்டாக, ஓஸ் அச்சில் (ஹைப்பர்போலாவின் உண்மையான அச்சு) ஒரு ஹைபர்போலாவைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்பு.

6. நீள்வட்ட பாராபோலாய்டின் நியதிச் சமன்பாடு

(p >0, q >0) (1.79)

7. ஹைபர்போலிக் பாராபோலாய்டின் நியதிச் சமன்பாடு

(p >0, q >0) (1.80)

(z மாறி x மற்றும் y மாறுபாடுகளுடன் இடங்களை மாற்றலாம் - விண்வெளியில் மேற்பரப்பின் நிலை மாறும்).

ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக விமானங்கள் மூலம் இந்த மேற்பரப்புகளின் பிரிவுகளைக் கருத்தில் கொள்வதன் மூலம் இந்த மேற்பரப்புகளின் அம்சங்கள் (வடிவம்) பற்றிய யோசனையை எளிதாகப் பெறலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க.

கட்டுப்பாட்டு கேள்விகள்.

1) விண்வெளியில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பு சமன்பாட்டை தீர்மானிக்கிறது?

2) இரண்டாவது வரிசை சிலிண்டர்களின் நியமன சமன்பாடுகள் என்ன; இரண்டாவது வரிசை கூம்பு; நீள்வட்டம்; ஒற்றை-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டு; இரண்டு தாள் ஹைப்பர்போலாய்டு; நீள்வட்ட பாராபோலாய்டு; அதிபரவளையம்?

1) கோளத்தின் மையம் மற்றும் ஆரம் ஆகியவற்றைக் கண்டறிந்து சரியான பதிலைக் குறிப்பிடவும்:

அ) சி(1.5;-2.5;2), ; b) C(1.5;2.5;2), ;

2) சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பின் வகையைத் தீர்மானிக்கவும்: . சரியான பதிலைக் குறிப்பிடவும்:

a) ஒற்றை-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டு; அதிபரவளையம்; நீள்வட்ட பாராபோலாய்டு; கூம்பு.

b) இரண்டு தாள் ஹைப்பர்போலாய்டு; அதிபரவளையம்; நீள்வட்ட பாராபோலாய்டு; கூம்பு.

விண்வெளியில், பகுப்பாய்வு வடிவியல், முதல், இரண்டாவது, முதலிய இயற்கணித சமன்பாடுகளால் செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஆயங்களில் தீர்மானிக்கப்படும் மேற்பரப்புகளை ஆய்வு செய்கிறது. X,Y,Z உடன் தொடர்புடைய டிகிரி:

Ax+By+Cz+D=0 (1)

ஏx²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

மற்றும் பல. ஒரு சமன்பாட்டின் வரிசை அது வரையறுக்கும் மேற்பரப்பின் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது. சமன்பாடு என்பதை ஏற்கனவே பார்த்தோம் முதல் ஆணை(நேரியல்) (1) எப்போதும் குறிப்பிடுகிறது விமானம்ஒரே முதல்-வரிசை மேற்பரப்பு. ஏற்கனவே பல இரண்டாம் வரிசை மேற்பரப்புகள் உள்ளன. அவற்றில் முக்கியமானவற்றைப் பார்ப்போம்.

§2. ஆய அச்சுகளில் ஒன்றிற்கு இணையான ஜெனரேட்ரைஸ்கள் கொண்ட உருளை மேற்பரப்புகள்.

எடுத்துக்காட்டாக, XОY விமானத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட வரி L கொடுக்கப்பட்டால், அதன் சமன்பாடு F(x,y)=0 (1) . பின்னர் oz அச்சுக்கு இணையான நேர் கோடுகளின் தொகுப்பு (ஜெனரேட்டர்கள்) மற்றும் L இல் உள்ள புள்ளிகள் வழியாக கடந்து செல்வது S எனப்படும் மேற்பரப்பை உருவாக்குகிறது உருளை மேற்பரப்பு.

z என்ற மாறியைக் கொண்டிருக்காத சமன்பாடு (1), இந்த உருளைப் பரப்பின் சமன்பாடு என்று காட்டுவோம். S ஐச் சேர்ந்த ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(x,y,z) ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். M வழியாகச் செல்லும் ஜெனரேட்டரை விடுங்கள், N புள்ளியில் L வெட்டும். புள்ளி N ஆனது N(x,y,0) ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை சமன்பாட்டை (1) திருப்திப்படுத்துகின்றன. (·)N ஆனது L ஐச் சேர்ந்தது. ஆனால் பின்னர் ஆயத்தொகுதிகளும் (x,y,z,) திருப்திப்படுத்துகின்றன (1), ஏனெனில் இதில் z இல்லை. இதன் பொருள் உருளை மேற்பரப்பு S இன் எந்தப் புள்ளியின் ஆயங்களும் சமன்பாட்டை (1) திருப்திப்படுத்துகின்றன. இதன் பொருள் F(x,y)=0 என்பது இந்த உருளை மேற்பரப்பின் சமன்பாடு ஆகும். வளைவு எல் என்று அழைக்கப்படுகிறது வழிகாட்டி (வளைவு)உருளை மேற்பரப்பு. ஸ்பேஷியல் அமைப்பில் L ஆனது, பொதுவாக, F(x,y)=0, z=0 என்ற இரண்டு சமன்பாடுகளால் ஒரு வெட்டுக் கோடாக கொடுக்கப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

ஹோவ் விமானத்தில் உள்ள வழிகாட்டிகள் நீள்வட்டம், பரவளையம், ஹைபர்போலா. வெளிப்படையாக, F=(y,z)=0 மற்றும் F(x,z)=0 ஆகிய சமன்பாடுகள் முறையே, OX மற்றும் OY அச்சுகளுக்கு இணையான ஜெனரேட்டர்களைக் கொண்ட உருளை மேற்பரப்புகளை வரையறுக்கின்றன. அவர்களின் வழிகாட்டிகள் முறையே YOZ மற்றும் XOZ விமானங்களில் உள்ளன.

கருத்து.ஒரு உருளை மேற்பரப்பு என்பது இரண்டாவது-வரிசை மேற்பரப்பு அவசியமில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, 3 வது வரிசையின் ஒரு உருளை மேற்பரப்பு உள்ளது, மேலும் சமன்பாடு y=sin(x) ஒரு சைனூசாய்டல் சிலிண்டரைக் குறிப்பிடுகிறது, இதற்கு எந்த வரிசையும் ஒதுக்கப்படவில்லை;

§3. புரட்சியின் மேற்பரப்பின் சமன்பாடு.

சில 2 வது வரிசை மேற்பரப்புகள் புரட்சியின் மேற்பரப்புகள். YOZ விமானத்தில் சில வளைவு L F(y,z)=0(1) இருக்கட்டும். oz அச்சைச் சுற்றி வளைவு (1) சுழற்றுவதன் மூலம் உருவாகும் மேற்பரப்பு S இன் சமன்பாடு என்னவாக இருக்கும் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

S மேற்பரப்பில் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(x,y,z) ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். இது L க்கு சொந்தமான (.) N இலிருந்து பெறப்பட்டதாகக் கருதலாம், பின்னர் M மற்றும் N புள்ளிகளின் பயன்பாடுகள் சமம் (=z). புள்ளி N இன் ஆர்டினேட் இங்கே சுழற்சியின் ஆரம் ஆகும், ஏனெனில் .ஆனால் C(0,0,z) மற்றும் ஏனெனில் . ஆனால் புள்ளி N வளைவில் உள்ளது, எனவே அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் அதை திருப்திப்படுத்துகின்றன. பொருள் (2) . சமன்பாடு (2) புரட்சியின் மேற்பரப்பின் ஆயத்தொலைவுகளால் திருப்திப்படுத்தப்படுகிறது S. இதன் பொருள் (2) என்பது புரட்சியின் மேற்பரப்பின் சமன்பாடு ஆகும். YOZ விமான வளைவின் எந்தப் பகுதியில் (1) அமைந்துள்ளது, y>0 அல்லது .

எனவே, விதி: OZ அச்சில் L வளைவைச் சுழற்றுவதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட மேற்பரப்பின் சமன்பாட்டைக் கண்டறிய, நீங்கள் வளைவின் சமன்பாட்டில் மாறி y ஐ மாற்ற வேண்டும்.

OX மற்றும் OY அச்சுகளைச் சுற்றியுள்ள புரட்சியின் மேற்பரப்புகளுக்கான சமன்பாடுகள் இதே வழியில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளன.

விரிவுரை 2. முதல் வரிசையின் மேற்பரப்பாக விமானம். விமான சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் ஆய்வு. விண்வெளியில் ஒரு நேர் கோடு, விண்வெளியில் நேர் கோடுகளின் ஒப்பீட்டு நிலை, ஒரு விமானம் மற்றும் விண்வெளியில் ஒரு நேர் கோடு. ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோடு, ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடுகள், ஒரு விமானத்தில் ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு நேர் கோட்டிற்கான தூரம். இரண்டாவது வரிசை வளைவுகள்; நியமன சமன்பாடுகளின் வழித்தோன்றல், சமன்பாடுகளின் ஆய்வு மற்றும் வளைவுகளின் கட்டுமானம். இரண்டாவது வரிசையின் மேற்பரப்புகள், மேற்பரப்புகளின் நியமன சமன்பாடுகளின் ஆய்வு. பிரிவு முறை. 1

பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் கூறுகள் § 1. விமானம். எங்களிடம் OXYZ மற்றும் சில மேற்பரப்பு S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y வரையறை 1: மூன்று மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு விண்வெளியில் உள்ள மேற்பரப்பு S இன் சமன்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது புள்ளி மேற்பரப்பில் கிடக்கிறது மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளால் திருப்தி அடையவில்லை, அதன் மீது ஒரு புள்ளி கூட இல்லை. 2

உதாரணமாக. சமன்பாடு (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) புள்ளி C(a, b, c) மற்றும் R. M M ஆரம் கொண்ட ஒரு கோளத்தை வரையறுக்கிறோம் (x , y, z) – மாறி புள்ளி M ϵ (S) |CM| = ஆர் சி 3

வரையறை 2: சில கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் nth டிகிரி F(x, y, z) = 0 (1) எடுத்துக்காட்டில் (S) இயற்கணித சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்டால், மேற்பரப்பு S n வது வரிசையின் மேற்பரப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. - ஒரு வட்டம், இரண்டாவது வரிசையின் மேற்பரப்பு. S என்பது n வது வரிசையின் மேற்பரப்பாக இருந்தால், F(x, y, z) என்பது n வது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும் (x, y, z) 1 வது வரிசையின் ஒரே மேற்பரப்பைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் - ஒரு விமானம். ஒரு சாதாரண திசையன் 4 உடன், புள்ளி M (x, y, z) வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்.

M(x, y, z) விமானத்தின் தன்னிச்சையான (தற்போதைய) புள்ளியாக இருக்கட்டும். M M 0 O α அல்லது ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில்: (2) சமன்பாடு (2) என்பது கொடுக்கப்பட்ட சாதாரண திசையன் மூலம் புள்ளி M வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு ஆகும். 5

D (*) (3) - விமானத்தின் முழுமையான சமன்பாடு விமானத்தின் முழுமையற்ற சமன்பாடு. சமன்பாட்டில் (3) பல குணகங்கள் (ஆனால் ஒரே நேரத்தில் A, B, C அல்ல) = 0 என்றால், சமன்பாடு முழுமையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் விமானம் α அதன் இருப்பிடத்தில் அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, D = 0 என்றால், α தோற்றம் வழியாக செல்கிறது. 6

புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானம் α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 புள்ளி M 0 K 7 க்கு பயன்படுத்தப்படும்

- புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானம் α விமானத்தின் சமன்பாடு "பிரிவுகளில்" விமானத்தின் சமன்பாடு C(0, 0, c) மதிப்புகள் a, b, உடன் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் பூஜ்ஜியமற்ற பிரிவுகளை வெட்டும் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம். c. B(0, b, 0)ஐ மதிப்பாக எடுத்துக்கொள்வோம், A (a, 0, 0) 8 உடன் புள்ளி Aக்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்

விமானத்தின் சமன்பாடு α "பிரிவுகளில்" - புள்ளி A வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு, சாதாரண திசையன் 9 க்கு செங்குத்தாக

§ 2. ஒரு நேர் கோட்டின் பொது சமன்பாடு. விண்வெளியில் ஒரு நேர்க்கோட்டை 2 விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு மூலம் வரையறுக்கலாம். (1) ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு A 1, B 1, C 1 குணகங்கள் ஒரே நேரத்தில் A 2, B 2, C 2. 10 க்கு விகிதாசாரமாக இருந்தால், வகை (1) அமைப்பு, விண்வெளியில் ஒரு நேர் கோட்டை வரையறுக்கிறது.

ஒரு நேர் கோட்டின் அளவுரு மற்றும் நியதிச் சமன்பாடுகள் - ஒரு நேர் கோட்டின் தன்னிச்சையான புள்ளி M M 0 அளவுரு சமன்பாடு t - அளவுரு 11

t ஐ நீக்கி, நாம் பெறுவது: - கேனானிகல் சமன்பாடு அமைப்பு (3) திசையன் திசையில் வேகத்துடன் ஆரம்ப நிலை M 0 (x 0, y 0, z 0) இலிருந்து ஒரு பொருள் புள்ளி, நேர்கோட்டு மற்றும் சீரான இயக்கத்தை தீர்மானிக்கிறது. 12

விண்வெளியில் நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம். இணை மற்றும் செங்குத்தாக நிலைகள். இரண்டு கோடுகள் L 1, L 2 அவற்றின் நியமன சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட இடத்தில் இருக்கட்டும்: பின்னர் இந்த கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை தீர்மானிக்கும் பணி கோணத்தை தீர்மானிக்க குறைக்கப்படுகிறது.

அவற்றின் திசை திசையன்கள்: அளவிடல் உற்பத்தியின் வரையறை மற்றும் குறிப்பிட்ட அளவிடல் உற்பத்தியின் ஆயத்தொலைவுகளில் உள்ள வெளிப்பாடு மற்றும் திசையன்களின் நீளம் q 1 மற்றும் q 2 ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி, நாம் கண்டுபிடிக்கப் பெறுகிறோம்: 15

l 1 மற்றும் l 2 நேர்கோடுகளின் இணையான நிலை q 1 மற்றும் q 2 இன் கோலினரிட்டிக்கு ஒத்திருக்கிறது, இந்த திசையன்களின் ஒருங்கிணைப்புகளின் விகிதாச்சாரத்தில் உள்ளது, அதாவது, இது வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: செங்குத்து நிலை வரையறையின் வரையறையிலிருந்து பின்வருமாறு. ஸ்கேலர் தயாரிப்பு மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு அதன் சமத்துவம் (cos = 0 இல்) மற்றும் வடிவம் கொண்டது: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் ஒரு விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணம்: ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் இணை மற்றும் செங்குத்தாக உள்ள நிலைமைகள் பொதுவான சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட விமானம் P ஐக் கவனியுங்கள்: Ax + By + Cz + D = 0, மற்றும் L என்ற நேர்கோடு வரையறுக்கப்படுகிறது. நியமனச் சமன்பாடு: 17

நேர் கோட்டின் L மற்றும் விமானம் P க்கு இடையே உள்ள கோணம் q = (l, m, n) என்ற நேர்கோட்டின் இயக்கும் திசையன் மற்றும் n = (A, B, C) விமானத்தின் சாதாரண திசையன் ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணத்திற்கு துணையாக இருப்பதால். , பின்னர் அளவிடுதல் தயாரிப்பு q n = q n cos மற்றும் சமத்துவ cos = பாவம் (= 90 -) ஆகியவற்றின் வரையறையிலிருந்து, நாம் பெறுகிறோம்: 18

நேர் கோடு L மற்றும் விமானம் П (L ஆனது П க்கு சொந்தமானது என்பது உட்பட) இணையான நிலை, q மற்றும் n ஆகிய திசையன்களின் செங்குத்தாக இருக்கும் நிலைக்கு சமம் மற்றும் இந்த வெக்டார்களின் = 0 அளவிடல் பெருக்கத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. நேர் கோட்டின் L மற்றும் விமானம் P ஆகியவற்றின் செங்குத்தாக இருக்கும் நிலை, n மற்றும் q ஆகிய திசையன்களின் இணையான நிலைக்குச் சமம் மற்றும் இந்த திசையன்களின் ஆயங்களின் விகிதாச்சாரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது: 19

எல் 1 மற்றும் எல் 2 இல் இரண்டு கோடுகள் ஒரே விமானத்திற்குச் சொந்தமானவை: 1) வெட்டும். 2) இணையாக இருங்கள்; 3) இனக்கலப்பு. முதல் இரண்டு நிகழ்வுகளில், L 1 மற்றும் L 2 கோடுகள் ஒரே விமானத்தில் உள்ளன. நியதிச் சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்க்கோடுகள் ஒரே விமானத்தைச் சேர்ந்தவையாக இருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனையை நிறுவுவோம்: 20

வெளிப்படையாக, இரண்டு சுட்டிக்காட்டப்பட்ட கோடுகள் ஒரே விமானத்தைச் சேர்ந்ததாக இருப்பதற்கு, மூன்று திசையன்கள் = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1) என்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது; q 1 = (l 1, m 1, n 1) மற்றும் q 2 = (l 2, m 2, n 2), கோப்லனர் ஆகும், இதையொட்டி, இந்த மூன்று திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு அவசியம் மற்றும் போதுமானது = 0. 21

சுட்டிக்காட்டப்பட்ட திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்புகளை ஆயத்தொகுப்புகளில் எழுதுவதன் மூலம், L 1 மற்றும் L 2 ஆகிய இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு ஒரே விமானத்திற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனையைப் பெறுகிறோம்: 22

ஒரு நேர் கோடு ஒரு விமானத்திற்குச் சொந்தமானதாக இருக்க வேண்டும். Cn = 0, இதில் முதலாவது கோடு கடக்கும் புள்ளி M 1(x1, y1, z 1) விமானத்திற்கு சொந்தமானது, மற்றும் இரண்டாவது கோடு மற்றும் விமானத்தின் இணையான நிலை. 23

இரண்டாவது வரிசை வளைவுகள். § 1. ஒரு விமானத்தில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாட்டின் கருத்து. f (x, y) = 0 என்ற சமன்பாடு, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஆய அமைப்பில் உள்ள வரி L இன் சமன்பாடு எனப்படும், அது கோட்டில் இருக்கும் எந்தப் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளால் திருப்தியடைந்து, அதில் பொய்யில்லாத எந்தப் புள்ளியின் ஆயங்களால் திருப்தி அடையவில்லை என்றால். 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="எடுத்துக்காட்டு: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

சில கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் x மற்றும் y ஐப் பொறுத்து n வது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்டால், L கோடு n வது வரிசையின் வரி என்று அழைக்கப்படுகிறது. 1 வது வரிசையின் ஒரே வரி எங்களுக்குத் தெரியும் - ஒரு நேர் கோடு: Ax + By + D = 0 2 வது வரிசையின் வளைவுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்: நீள்வட்டம், ஹைபர்போலா, பரவளையம். 2வது வரிசைக் கோடுகளின் பொதுவான சமன்பாடு: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

நீள்வட்டம் (இ) வரையறை. நீள்வட்டம் என்பது விமானத்தின் அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், விமானம் F 1 மற்றும் F 2 இன் இரண்டு நிலையான புள்ளிகளுக்கான தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை, foci என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு நிலையான மதிப்பு மற்றும் foci இடையே ஒரு பெரிய தூரம் ஆகும். மாறிலியை 2 a ஆகவும், foci க்கு இடையே உள்ள தூரம் 2 c ஆகவும், X அச்சை foci வழியாக வரையவும், (a > c, a > 0, c > 0). குவிய நீளத்தின் நடுவில் Y அச்சு. M ஆனது நீள்வட்டத்தின் தன்னிச்சையான புள்ளியாக இருக்கட்டும், t M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), இங்கு r 1, r 2 என்பது E இன் குவிய 27 ஆரங்கள்.

(1) ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் எழுதுவோம்: (2) இது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஆய அமைப்பில் உள்ள நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு ஆகும். எளிதாக்குவது (2) நாம் பெறுகிறோம்: b 2 = a 2 - c 2 (3) - நீள்வட்டத்தின் நியதிச் சமன்பாடு. (2) மற்றும் (3) சமமானவை என்று காட்டலாம்: 28

நியதிச் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி நீள்வட்டத்தின் வடிவத்தைப் பற்றிய ஆய்வு 1) நீள்வட்டம் என்பது 2வது வரிசையின் வளைவு 2) நீள்வட்டத்தின் சமச்சீர். x மற்றும் y ஆகியவை சம சக்திகளில் மட்டுமே (3) சேர்க்கப்பட்டுள்ளதால், நீள்வட்டம் 2 அச்சுகள் மற்றும் 1 சமச்சீர் மையத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் மற்றும் புள்ளி O. 29 உடன் ஒத்துப்போகிறது.

3) நீள்வட்டத்தின் இருப்பிடம் அதாவது, முழு E யும் ஒரு செவ்வகத்திற்குள் அமைந்துள்ளது, அதன் பக்கங்கள் x = ± a மற்றும் y = ± b ஆகும். 4) அச்சுகளுடன் வெட்டும். A 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: நீள்வட்டத்தின் முனைகள் C OU: B 1(0; b); B 2(0; -b); நீள்வட்டத்தின் சமச்சீர் காரணமாக, அதன் நடத்தையை (↓) முதல் காலாண்டில் மட்டுமே கருதுவோம். முப்பது

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" தீர்வு (3) ஐப் பொறுத்து நாம் பெறுகிறோம்: முதல் காலாண்டில் x > 0 மற்றும் நீள்வட்டத்தில் குறைகிறது."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

ஹைபர்போலா (Г) வரையறை: Г என்பது விமானத்தின் அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், F 1, F 2 விமானத்தின் 2 நிலையான புள்ளிகளுக்கு தூரத்தில் உள்ள வேறுபாட்டின் மாடுலஸ் ஒரு நிலையான மதிப்பு மற்றும்

எளிமையாக்குதல் (1): (2) என்பது G. (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றின் நியதிச் சமன்பாடு ஆகும். நியதிச் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஹைப்பர்போலாவின் ஆய்வு 1) Г என்பது 2 வது வரிசையின் ஒரு கோடு 2) Г இரண்டு அச்சுகள் மற்றும் ஒரு சமச்சீர் மையத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது எங்கள் விஷயத்தில் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் மற்றும் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. 3) ஹைபர்போலாவின் இடம். 34

ஹைப்பர்போலானது x = a, x = -a என்ற கோடுகளுக்கு இடையில் பட்டைக்கு வெளியே அமைந்துள்ளது. 4) அச்சுகளுடன் வெட்டும் புள்ளிகள். OX: OY: தீர்வுகள் இல்லை A 1(-a; 0); A 2(a; 0) - உண்மையான முனைகள் Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – கற்பனை முனைகள் Г 2 a – உண்மையான அச்சு Г 2 b – கற்பனை அச்சு Г 35

5) ஹைபர்போலாவின் அறிகுறிகள். Г இன் சமச்சீர் காரணமாக, முதல் காலாண்டில் அதன் பகுதியை நாங்கள் கருதுகிறோம். y தொடர்பாக (2) தீர்க்கப்பட்ட பிறகு, நாம் பெறுகிறோம்: முதல் காலாண்டில் Г சமன்பாடு x ≥ 0 நேர்கோட்டைக் கவனியுங்கள்: முதல் காலாண்டில் x>0, அதாவது முதல் காலாண்டில் அதே அப்சிஸ்ஸாவுடன், ஆர்டினேட் கோட்டின் > தொடர்புடைய புள்ளி Г ஐ ஒழுங்கமைக்கவும், அதாவது முதல் காலாண்டில் Г இந்த நேர்கோட்டிற்கு கீழே உள்ளது. முழு G பக்கமும் 36 உடன் செங்குத்து கோணத்தில் உள்ளது

6) முதல் பகுதியில் G அதிகரிக்கிறது என்று காட்டலாம் 7) G கட்டுவதற்கான திட்டம் a) ஒரு செவ்வகத்தை உருவாக்கவும் 2 a, 2 b) அதன் மூலைவிட்டங்களை வரையவும் c) குறி A 1, A 2 - G மற்றும் 38 இன் உண்மையான செங்குத்துகள் இந்த கிளைகள்

பரபோலா (P) விமானத்தில் d (directrix) மற்றும் F (ஃபோகஸ்) ஆகியவற்றைக் கருதுங்கள். வரையறை. П – கோடு d மற்றும் புள்ளி F (ஃபோகஸ்) 39 இலிருந்து சம தொலைவில் உள்ள விமானத்தின் அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பு

d-directrix F-focus XOY புள்ளி М П பிறகு, |MF| = |எம்என்| (1) ஆய அமைப்பில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட P இன் சமன்பாடு (1) நாம் y 2 = 2 px (2) ஐப் பெறுகிறோம் - P. (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றின் நியதிச் சமன்பாடு 40 ஆகும்.

நியதிச் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி P இன் ஆய்வு x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. சிலிண்டர்கள். ஆய அச்சுகளுக்கு இணையான ஜெனரேட்ரைஸ்கள் கொண்ட உருளை மேற்பரப்புகள் வரி L இன் புள்ளி x மூலம் நாம் OZ அச்சுக்கு இணையாக ஒரு நேர் கோட்டை வரைகிறோம். இந்த நேர்கோடுகளால் உருவாகும் மேற்பரப்பு உருளை மேற்பரப்பு அல்லது உருளை (C) என்று அழைக்கப்படுகிறது. OZ அச்சுக்கு இணையான எந்த நேர்கோடும் ஜெனரட்ரிக்ஸ் எனப்படும். l என்பது XOY விமானத்தின் உருளை மேற்பரப்பின் வழிகாட்டியாகும். Z(x, y) = 0 (1) 42

M(x, y, z) ஒரு உருளை மேற்பரப்பின் தன்னிச்சையான புள்ளியாக இருக்கட்டும். அதை L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 இல் திட்டமிடுவோம். , M திருப்திப்படுத்தும் (1) ஆயத்தொகுப்புகள், M C எனில், அது M 0 ϵ L என்ற புள்ளிக்குக் கணிக்கப்படாது என்பதும், M இன் ஆயங்கள் சமன்பாட்டை (1) பூர்த்தி செய்யாது என்பதும் வெளிப்படையானது. விண்வெளியில் OZ அச்சுக்கு. இதேபோல், அதைக் காட்டலாம்: Ф(x, z) = 0 இடத்தில் Г || OY 43 (y, z) = 0 ஆனது C || என்ற இடத்தில் வரையறுக்கிறது OX

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் ஒரு இடஞ்சார்ந்த கோட்டின் ப்ரொஜெக்ஷன் விண்வெளியில் ஒரு கோடு அளவுரு மற்றும் மேற்பரப்புகளின் குறுக்குவெட்டு மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரே வரியை வெவ்வேறு பரப்புகளின் ∩ என வரையறுக்கலாம். α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 சமன்பாடு L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 சமன்பாடு (1) இலிருந்து XOY விமானத்தின் மீது L இன் ப்ராஜெக்ஷனைக் கண்டுபிடித்து Z ஐ விலக்குவோம். நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: Z(x, y) = 0 – விண்வெளியில் இது ஜெனரேட்டருடன் Ε சமன்பாடு || OZ மற்றும் வழிகாட்டி L. 46

ப்ராஜெக்ஷன்: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 இரண்டாம்-வரிசை மேற்பரப்புகள் எலிப்சாய்டு - ஒரு மேற்பரப்பின் நியதிச் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: 1) எலிப்சாய்டு - இரண்டாவது-வரிசை மேற்பரப்பு. 2) X, Y, Z ஆகியவை சமன்பாட்டை சமன்பாடுகளில் உள்ளிடவும் => மேற்பரப்பில் 3 விமானங்கள் மற்றும் 1 சமச்சீர் மையம் உள்ளது, இது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒருங்கிணைப்பு விமானங்கள் மற்றும் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. 47

3) நீள்வட்டத்தின் இருப்பிடம் மேற்பரப்பு ||. இடையே மூடப்பட்டிருக்கும் சமன்பாடுகள் கொண்ட விமானங்கள் x = a, x = -a. இதேபோல், அதாவது முழு மேற்பரப்பும் ஒரு செவ்வக இணையான குழாய்க்குள் உள்ளது. x = ± a, y = ± b, z = ± c. பிரிவுகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி மேற்பரப்பை ஆராய்வோம் - மேற்பரப்பை ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களுடன் வெட்டுவது || ஒருங்கிணைக்க. பிரிவில் நாம் கோடுகளைப் பெறுவோம், அதன் வடிவத்தின் மூலம் மேற்பரப்பின் வடிவத்தை தீர்மானிப்போம். 48

XOY விமானத்துடன் மேற்பரப்பை வெட்டுவோம். பிரிவில் நாம் ஒரு வரியைப் பெறுகிறோம். - நீள்வட்டம் a மற்றும் b – அரை அச்சுகள் YOZ விமானத்தைப் போன்றது - அரை அச்சுகளுடன் கூடிய நீள்வட்டம் b மற்றும் c விமானம் || XOY என்றால் h(0, c), நீள்வட்ட அச்சுகள் a மற்றும் b இலிருந்து 0. 49 ஆக குறையும்

a = b = c - sphere Paraboloids a) Hyperbolic paraboloid - ஒரு நியதிச் சமன்பாடு கொண்ட மேற்பரப்பு: 1) இரண்டாம்-வரிசை மேற்பரப்பு 2) x, y சமன்பாட்டிற்குள் மட்டுமே சமன்பாட்டிற்குள் நுழைவதால், மேற்பரப்பிற்கு சமச்சீர் நிலைகள் உள்ளன. 50 விமானங்கள் XOZ, YOZ உடன் கொடுக்கப்பட்ட ஆயத் தேர்வுகளுக்கு.

3) சேணம் பிரிவு முறையைப் பயன்படுத்தி மேற்பரப்பை ஆராய்வோம். XOZ குறுக்குவெட்டில், பரவளையம் OZ அச்சுக்கு சமச்சீர், ஏறுவரிசையில் உள்ளது. pl. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" பகுதி ||XOY h > 0 ஹைப்பர்போலாக்கள், OX உடன் உண்மையான அரை-அச்சு, h க்கு"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) இரண்டு-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டு 1) இரண்டாம் வரிசையின் மேற்பரப்பு 2) 3 விமானங்கள் மற்றும் 1 சமச்சீர் மையம் 3) மேற்பரப்பு இருப்பிடம் x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a ; (a, b, c > 0) மேற்பரப்பு x = a, x = -a 4 என்ற சமன்பாடுகளுடன் விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள துண்டுக்கு வெளியே அமைந்துள்ள இரண்டு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது) பிரிவுகளின் முறையைப் படிக்கிறோம் (நம் சொந்தமாக!) 57

இரண்டாம்-வரிசை கூம்பு என்பது இரண்டாம்-வரிசை கூம்பு என்பது ஒரு மேற்பரப்பாகும், அதன் நியமன சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: 1) இரண்டாவது-வரிசை மேற்பரப்பு 2) 3 விமானங்கள் மற்றும் 1 சமச்சீர் மையம் 3) சதுரத்தின் பிரிவுகளின் முறையைப் படிக்கிறோம். XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" சதுரம் ||XOY |h| –>∞ 0 முதல் ∞ சதுர YOZ ஜோடி நேர்கோடுகள், வழியாக செல்லும்"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

§7. முதல் வரிசையின் மேற்பரப்பாக விமானம். விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு. கொடுக்கப்பட்ட வெக்டருக்கு செங்குத்தாக கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு, விண்வெளியில் ஒரு செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம் மற்றும் x, y, z: (7.1) கோடரியின் முதல் பட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.  மூலம்  Cz  D 0, A2  B2  C 2  0 . தேற்றம் 7.1. எந்தவொரு விமானத்தையும் தன்னிச்சையான செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் படிவத்தின் சமன்பாட்டின் மூலம் குறிப்பிடலாம் (7.1). ஒரு விமானத்தில் ஒரு கோட்டின் விஷயத்தில் சரியாக அதே வழியில், தேற்றம் 7.1 இன் நேர்மாறானது செல்லுபடியாகும். தேற்றம் 7.2. படிவத்தின் எந்த சமன்பாடும் (7.1) விண்வெளியில் ஒரு விமானத்தை வரையறுக்கிறது. தேற்றங்கள் 7.1 மற்றும் 7.2 இன் சான்றுகள் 2.1, 2.2 ஆகியவற்றின் சான்றைப் போலவே மேற்கொள்ளப்படலாம். கோட்பாடுகள் 7.1 மற்றும் 7.2 இலிருந்து, விமானம் மற்றும் அது மட்டுமே முதல் வரிசையின் மேற்பரப்பு என்று பின்வருமாறு கூறுகிறது. சமன்பாடு (7.1) பொது விமானச் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன்  குணகங்கள் A, B, C ஆகியவை இந்த சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக திசையன் n இன் ஆயத்தொலைவுகளாக வடிவியல் ரீதியாக விளக்கப்படுகின்றன. இந்த திசையன்  n(A, B, C) கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு சாதாரண திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சமன்பாடு (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 குணகங்களின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் A, B, C ஆனது புள்ளி M 0 வழியாக செல்லும் அனைத்து விமானங்களையும் வரையறுக்கிறது. x0 , y0 , z0) . இது விமானங்களின் கொத்து சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. (7.2) இல் A, B, C இன் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளின் தேர்வு என்பது கொடுக்கப்பட்ட திசையன் n(A, B, C) க்கு செங்குத்தாக M 0 புள்ளி வழியாக செல்லும் இணைப்பிலிருந்து P இன் விமானத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதாகும் (படம் 7.1 ) எடுத்துக்காட்டு 7.1. திசையன்கள் a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1)   A(1, 2, 0) புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதவும்.    தரப்பட்ட திசையன்கள் a மற்றும் b (படம். 7.2),   க்கு சாதாரண திசையன் n முதல் P வரை ஆர்த்தோகனல் ஆகும், எனவே n க்கு அவற்றின் திசையன் n தயாரிப்பை நாம் எடுத்துக் கொள்ளலாம்: A    P i j k    1 2 1 1  2 என் 4k படத்தின் ஆயங்களை மாற்றுவோம். 7.2 எடுத்துக்காட்டாக, 7.1 P M0  புள்ளி M 0 மற்றும் திசையன் n சமன்பாட்டில் (7.2), நாம் படம் பெறுகிறோம். 7.1. விமானங்களின் தொகுப்பின் விமானத்தின் சமன்பாட்டிற்கு P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 அல்லது P: 2x  3y  4z  4  0 என்றால் இரண்டு . சமன்பாட்டின் A, B, C (7.1) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், இது ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களில் ஒன்றிற்கு இணையான ஒரு விமானத்தைக் குறிப்பிடுகிறது. உதாரணமாக, A  B  0, C  0 - விமானம் P1: Cz  D  0 அல்லது P1: z   D / C (படம் 7.3). இது Oxy விமானத்திற்கு இணையாக உள்ளது, ஏனெனில் அதன் சாதாரண திசையன்  n1(0, 0, C) இந்த விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது. A  C  0, B  0 அல்லது B  C  0, A  0, சமன்பாடு (7. 1) P2 விமானங்களை வரையறுக்கிறது:  D  0 மற்றும் P3 மூலம்: Ax  D  0, Oxz மற்றும் Oyz ஆகிய ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களுக்கு இணையாக,   அவற்றின் இயல்பான திசையன்கள் n2(0, B, 0) மற்றும் n3(A, 0 , 0 ) அவர்களுக்கு செங்குத்தாக உள்ளன (படம் 7.3). சமன்பாட்டின் A, B, C குணகங்களில் ஒன்று மட்டுமே (7.1) பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், அது ஆய அச்சுகளில் ஒன்றிற்கு இணையான ஒரு விமானத்தைக் குறிப்பிடுகிறது (அல்லது D  0 எனில் அதைக் கொண்டுள்ளது). எனவே, விமானம் P: Ax  By  D  0 என்பது Oz அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x படம். 7.4 விமானம் P: Ax  B y  D  0, Oz அச்சுக்கு இணையாக படம். 7.3 அதன் இயல்பான திசையன் n(A, B, 0) Oz அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருப்பதால் விமானங்கள் ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களுக்கு இணையாக உள்ளன. இது L: Ax  மூலம்  D  0 ஆக்சி விமானத்தில் கிடக்கிறது (படம் 7.4) என்ற நேர் கோட்டின் வழியாக செல்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. D  0 க்கு, சமன்பாடு (7.1) தோற்றம் வழியாக செல்லும் விமானத்தைக் குறிப்பிடுகிறது. எடுத்துக்காட்டு 7.2.   சமன்பாடு   (2  2) y  (2   2)z    3  0 வரையிலான ஒரு திட்டத்தை வரையறுக்கும் அளவுருவின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும். ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களின்; b) ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் ஒன்றிற்கு இணையாக; c) ஒருங்கிணைப்புகளின் தோற்றம் வழியாக செல்கிறது. இந்த சமன்பாட்டை x  (  2) y  (  2)( 1) z   3  0 வடிவத்தில் எழுதுவோம். (7.3) எந்த மதிப்புக்கும் , சமன்பாடு (7.3) ஒரு குறிப்பிட்ட விமானத்தை வரையறுக்கிறது, ஏனெனில் x, y, z இன் (7.3) குணகங்கள் ஒரே நேரத்தில் மறைந்துவிடாது. a)   0 க்கு, சமன்பாடு (7.3) Oxy, P: z  3 / 2, P: z  3 / 2 க்கு இணையான ஒரு விமானம் P ஐ வரையறுக்கிறது, மேலும்   2 க்கு Oyz, P க்கு இணையாக P 2 விமானத்தை வரையறுக்கிறது. x  5/ 2.  இன் மதிப்புகள் இல்லாமல், சமன்பாட்டால் (7.3) வரையறுக்கப்பட்ட விமானம் Oxz விமானத்திற்கு இணையாக உள்ளது, ஏனெனில் x, z இன் (7.3) குணகங்கள் ஒரே நேரத்தில் மறைந்துவிடாது. b)   1 க்கு, சமன்பாடு (7.3) Oz அச்சுக்கு இணையான ஒரு விமானம் P ஐ வரையறுக்கிறது, P: x  3y  2  0.  அளவுருவின் பிற மதிப்புகளுக்கு, இது ஆய அச்சுகளில் ஒன்றிற்கு இணையான விமானத்தை வரையறுக்காது. c)   3 க்கு, சமன்பாடு (7.3) தோற்றம் வழியாக செல்லும் P ஐ வரையறுக்கிறது, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ எடுத்துக்காட்டு 7.3. விமானம் P கடந்து செல்லும் சமன்பாட்டை எழுதவும்: a) புள்ளி M (1,  3, 2) விமான அச்சுக்கு இணையான Oxy; b) ஆக்ஸ் அச்சு மற்றும் புள்ளி M (2, – 1, 3).   a) n முதல் P வரையிலான சாதாரண திசையன்களுக்கு, Oz அச்சின் அலகு திசையன் k (0, 0,1) - Oxy விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், வெக்டார் k (0, 0,1) ஐ எடுத்துக் கொள்ளலாம். புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளை  M (1,  3, 2) மற்றும் திசையன் n ஐ சமன்பாட்டிற்கு மாற்றவும் (7.2), நாம் விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் P: z 3  0.   b) சாதாரண திசையன் n க்கு P என்பது திசையன்களான i (1, 0, 0) மற்றும் OM (2,  1, 3) ஆகியவற்றுக்கு ஆர்த்தோகனல் ஆகும்,  எனவே அவற்றின் திசையன் தயாரிப்பை n:    i jk      n OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k. 2 1 3  புள்ளி O மற்றும் வெக்டார் n இன் ஆயங்களை சமன்பாட்டில் (7.2) மாற்றவும், நாம் விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் P:  3(y  0)  (z  0)  0 அல்லது P: 3 y z  0 .◄ 3