சமன்பாடு என்றால் என்ன?

இயற்கணிதத்தில் தங்கள் முதல் படிகளை எடுப்பவர்களுக்கு, நிச்சயமாக, பொருளின் மிகவும் ஆர்டர் செய்யப்பட்ட விளக்கக்காட்சி தேவைப்படுகிறது. எனவே, சமன்பாடு என்றால் என்ன என்பது பற்றிய எங்கள் கட்டுரையில், நாங்கள் ஒரு வரையறையை வழங்குவது மட்டுமல்லாமல், சமன்பாடுகளின் பல்வேறு வகைப்பாடுகளையும் எடுத்துக்காட்டுகளுடன் தருவோம்.

சமன்பாடு என்றால் என்ன: பொதுவான கருத்துக்கள்

எனவே, ஒரு சமன்பாடு என்பது அறியப்படாத சமத்துவத்தின் ஒரு வகை, இது லத்தீன் எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், சரியான சமத்துவத்தைப் பெற அனுமதிக்கும் இந்த கடிதத்தின் எண் மதிப்பு, சமன்பாட்டின் வேர் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதைப் பற்றி நீங்கள் எங்கள் கட்டுரையில் மேலும் படிக்கலாம், ஆனால் சமன்பாடுகளைப் பற்றி நாங்கள் தொடர்ந்து பேசுவோம். ஒரு சமன்பாட்டின் (அல்லது மாறிகள்) வாதங்கள் தெரியவில்லை, மேலும் ஒரு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு அதன் அனைத்து வேர்களையும் அல்லது வேர்கள் இல்லாததையும் கண்டுபிடிப்பதாகும்.

சமன்பாடுகளின் வகைகள்

சமன்பாடுகள் இரண்டு பெரிய குழுக்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன: இயற்கணிதம் மற்றும் ஆழ்நிலை.

• இயற்கணிதம் என்பது ஒரு சமன்பாடு ஆகும், இதில் சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறிய இயற்கணித செயல்பாடுகள் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகின்றன - 4 எண்கணிதங்கள், அத்துடன் இயற்கையான வேரின் விரிவாக்கம் மற்றும் பிரித்தெடுத்தல்.
• ஆழ்நிலை சமன்பாடு என்பது ஒரு சமன்பாடு ஆகும், இதில் இயற்கணிதம் அல்லாத செயல்பாடுகள் மூலத்தைக் கண்டறியப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: எடுத்துக்காட்டாக, முக்கோணவியல், மடக்கை மற்றும் பிற.

இயற்கணித சமன்பாடுகளில் இவையும் உள்ளன:

• முழு எண்கள் - தெரியாதவற்றுடன் தொடர்புடைய முழு இயற்கணித வெளிப்பாடுகளைக் கொண்ட இரண்டு பகுதிகளுடன்;
• பின்னம் - எண் மற்றும் வகுப்பில் முழு எண் இயற்கணித வெளிப்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது;
• பகுத்தறிவற்ற - இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் இங்கே மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ளன.

பின்னம் மற்றும் பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகள் முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதற்கு குறைக்கப்படலாம் என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ளவும்.

ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன:

• அதிவேக சமன்பாடுகள் என்பது ஒரு மாறியை அடுக்குகளாகக் கொண்டிருக்கும் சமன்பாடுகள். ஒற்றை அடிப்படை அல்லது அடுக்குக்கு நகர்த்துவதன் மூலம் அவை தீர்க்கப்படுகின்றன, அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்து, காரணியாக்கம் மற்றும் வேறு சில முறைகள்;
• மடக்கை - மடக்கைகளுடன் கூடிய சமன்பாடுகள், அதாவது, அறியப்படாதவை மடக்கைகளுக்குள் இருக்கும் சமன்பாடுகள். அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது மிகவும் கடினம் (பெரும்பாலான இயற்கணிதத்தைப் போலல்லாமல்), இதற்கு திடமான கணிதப் பயிற்சி தேவைப்படுகிறது. இங்கு மிக முக்கியமான விஷயம், மடக்கைகளுடன் கூடிய சமன்பாட்டிலிருந்து அவை இல்லாத சமன்பாட்டிற்கு நகர்த்துவது, அதாவது சமன்பாட்டை எளிதாக்குவது (மடக்கைகளை அகற்றும் இந்த முறை பொடென்சியேஷன் என்று அழைக்கப்படுகிறது). நிச்சயமாக, ஒரு மடக்கை சமன்பாட்டை ஒரே மாதிரியான எண் அடிப்படைகள் மற்றும் குணகங்கள் இல்லாதிருந்தால் மட்டுமே அதை ஆற்ற முடியும்;
• முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் முக்கோணவியல் சார்புகளின் அறிகுறிகளின் கீழ் மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகள் ஆகும். அவற்றின் தீர்வுக்கு முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் ஆரம்ப தேர்ச்சி தேவை;
• கலப்பு என்பது வெவ்வேறு வகைகளைச் சேர்ந்த பகுதிகளுடன் வேறுபடுத்தப்பட்ட சமன்பாடுகள் (உதாரணமாக, பரவளைய மற்றும் நீள்வட்ட பாகங்கள் அல்லது நீள்வட்ட மற்றும் ஹைபர்போலிக் போன்றவை).

தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையால் வகைப்படுத்தப்படுவதைப் பொறுத்தவரை, எல்லாம் எளிது: ஒன்று, இரண்டு, மூன்று மற்றும் தெரியாதவற்றுடன் சமன்பாடுகள் வேறுபடுகின்றன. மற்றொரு வகைப்பாடு உள்ளது, இது பல்லுறுப்புக்கோவையின் இடது பக்கத்தில் இருக்கும் பட்டத்தின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது. இதன் அடிப்படையில், நேரியல், இருபடி மற்றும் கன சமன்பாடுகள் வேறுபடுகின்றன. நேரியல் சமன்பாடுகளை 1 வது பட்டத்தின் சமன்பாடுகள் என்றும், இருபடி - 2 வது மற்றும் கன சதுரம் முறையே, 3 வது என்றும் அழைக்கலாம். சரி, இப்போது ஒரு குழு அல்லது மற்றொரு குழுவின் சமன்பாடுகளின் உதாரணங்களைக் கொடுப்போம்.

வெவ்வேறு வகையான சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

இயற்கணித சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

• கோடாரி + b= 0
• ax 3 + bx 2 + cx+ d= 0
• ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a= 0
  (a என்பது 0க்கு சமமாக இல்லை)

ஆழ்நிலை சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

• cos x = x பதிவு x = x−5 2 x = logx+x 5 +40

முழு சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

• (2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4

பின்ன சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டு:

• 15 x + — = 5x - 17 x

பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டு:

• √2kf(x)=g(x)

நேரியல் சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 2x+7=0 x - 3 = 2 - 4x 2x+3=5x+5 - 3x - 2

இருபடி சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

• x 2 +5x−7= 0 3x 2 +5x−7= 0 11x 2 -7x+3 = 0

கன சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

• x 3 -9x 2 -46x+120=0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0

அதிவேக சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 5 x+2 = 125 3 x 2 x = 8 x+3 3 2x +4 3 x -5 = 0

மடக்கை சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

• பதிவு 2 x= 3 பதிவு 3 x= -1

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) sinx + cos 2 x + tan 3 x = ctg 4 x

கலப்பு சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

• பதிவு x (பதிவு 9 (4⋅3 x −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13

பல்வேறு வகையான சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க பல்வேறு முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைச் சேர்க்க வேண்டும். சரி, ஏறக்குறைய எந்த சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க, உங்களுக்கு இயற்கணிதம் மட்டுமல்ல, முக்கோணவியல் பற்றிய அறிவும், பெரும்பாலும் மிக ஆழமான அறிவும் தேவைப்படும்.

மீண்டும் முன்னோக்கி

கவனம்! ஸ்லைடு மாதிரிக்காட்சிகள் தகவல் நோக்கங்களுக்காக மட்டுமே மற்றும் விளக்கக்காட்சியின் அனைத்து அம்சங்களையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தாது. இந்த வேலையில் நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், முழு பதிப்பையும் பதிவிறக்கவும்.

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

கல்வி:

• அனைத்து வகையான சமன்பாடுகள் பற்றிய அறிவை சுருக்கவும், சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படும் அனைத்து முறைகளின் முக்கியத்துவத்தை வலியுறுத்தவும்.
• பாடத்தில் பல்வேறு நுட்பங்கள் மூலம் மாணவர்களின் வேலையை தீவிரப்படுத்துதல்.
• சமன்பாடுகளை தீர்ப்பதில் தத்துவார்த்த மற்றும் நடைமுறை திறன்களை சோதிக்கவும்.
• ஒரு சமன்பாட்டை பல வழிகளில் தீர்க்க முடியும் என்பதில் கவனம் செலுத்துங்கள்

கல்வி:

• ICT ஐப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பாடத்தில் மாணவர்களின் ஆர்வத்தை அதிகரிக்கவும்.
• தலைப்பில் வரலாற்று விஷயங்களை மாணவர்களுக்கு அறிமுகப்படுத்துங்கள்.
• சமன்பாட்டின் வகை மற்றும் அதைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைத் தீர்மானிப்பதில் மன செயல்பாடுகளின் வளர்ச்சி.

கல்வி:

• வகுப்பறையில் ஒழுக்கத்தை வளர்க்கவும்.
• தன்னிலும், மற்றொரு நபரிடமும், நம்மைச் சுற்றியுள்ள உலகிலும் அழகை உணரும் திறனை வளர்ப்பது.

பாடம் வகை:

• அறிவை பொதுமைப்படுத்துதல் மற்றும் முறைப்படுத்துதல் பற்றிய பாடம்.

பாடம் வகை:

• இணைந்தது.

பொருள் மற்றும் தொழில்நுட்ப உபகரணங்கள்:

• கணினி
• திரை
• புரொஜெக்டர்
• தலைப்பின் விளக்கக்காட்சியுடன் வட்டு

முறைகள் மற்றும் நுட்பங்கள்:

• விளக்கக்காட்சியைப் பயன்படுத்துதல்
• முன் உரையாடல்
• வாய்வழி வேலை
• விளையாட்டு தருணங்கள்
• ஜோடிகளாக வேலை செய்யுங்கள்
• போர்டில் வேலை
• குறிப்பேடுகளில் வேலை செய்யுங்கள்

பாட திட்டம்:

1. நிறுவன தருணம் (1 நிமிடம்)
2. பாடத்தின் தலைப்பை டிகோடிங் செய்தல் (3 நிமிடங்கள்)
3. பாடத்தின் தலைப்பு மற்றும் நோக்கம் பற்றிய அறிக்கை (1 நிமிடம்)
4. கோட்பாட்டு வார்ம் அப் (3 நிமிடங்கள்)
5. வரலாற்று உல்லாசப் பயணம் (3 நிமிடங்கள்)
6. விளையாட்டு "அதிகப்படியானவற்றை அகற்று" (2 நிமிடங்கள்)
7. ஆக்கப்பூர்வமான வேலை (2 நிமிடங்கள்)
8. "பிழையைக் கண்டுபிடி" (2 நிமிடங்கள்)
9. ஒரு சமன்பாட்டை பல வழிகளில் தீர்ப்பது (ஸ்லைடில்) (3 நிமிடங்கள்)
10. ஒரு சமன்பாட்டை பல வழிகளில் தீர்க்கும் (போர்டில்) (24 நிமிடங்கள்)
11. ஜோடிகளில் சுயாதீனமான வேலை விளக்கத்தைத் தொடர்ந்து (5 நிமிடங்கள்)
12. தனிப்பட்ட வீட்டுப்பாடம் (1 நிமிடம்)
13. பாடத்தின் சுருக்கம் பிரதிபலிப்பு (1 நிமிடம்)

பாடம் கல்வெட்டு:

"நீங்கள் அறிவை ஜீரணிக்க, நீங்கள் அதை பசியுடன் உறிஞ்ச வேண்டும்."
ஏ.பிரான்ஸ்

பாடத்தின் சுருக்கம்

நிறுவன பகுதி

நான் பாடத்திற்கான மாணவர்களின் தயார்நிலையை சரிபார்த்து, பாடத்தில் இல்லாதவர்களைக் குறிக்கிறேன். நண்பர்களே, 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிரெஞ்சு எழுத்தாளர் ஏ. பிரான்ஸ் ஒருமுறை குறிப்பிட்டார், "நீங்கள் அறிவை ஜீரணிக்க, நீங்கள் அதை பசியுடன் உள்வாங்க வேண்டும்." எனவே நம் பாடத்தில் எழுத்தாளரின் அறிவுரைகளைப் பின்பற்றி, அறிவை மிகுந்த பசியுடன் ஜீரணிப்போம், ஏனென்றால் அது நம் வாழ்வில் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

பாடத்தின் தலைப்பை டிகோடிங் செய்தல்

மிகவும் சிக்கலான பணிக்குச் செல்ல, எளிமையான பணிகளுடன் நம் மூளையை நீட்டுவோம். எங்கள் பாடத்தின் தலைப்பு குறியாக்கம் செய்யப்பட்டுள்ளது; விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 3

பாடத்தின் தலைப்பு மற்றும் நோக்கத்தைத் தொடர்புகொள்வது

இன்று பாடத்தின் தலைப்புக்கு நீங்களே பெயரிட்டீர்கள்

"சமன்பாடுகளின் வகைகள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்."விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 4

நோக்கம்: அனைத்து வகையான சமன்பாடுகளையும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளையும் நினைவுபடுத்தி பொதுமைப்படுத்தவும். அனைத்து முறைகளையும் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 5 ஐன்ஸ்டீனின் அறிக்கையைப் படியுங்கள் விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 5

தத்துவார்த்த சூடு-அப்

கேள்விகள் விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 7

பதில்கள்

1. ஒரு கடிதத்தால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மாறியைக் கொண்ட சமத்துவம்.
2. இதன் பொருள் அதன் அனைத்து வேர்களையும் கண்டுபிடிப்பது அல்லது வேர்கள் இல்லை என்பதை நிரூபிப்பது.
3. சமன்பாடு உண்மையாக மாறும் மாறியின் மதிப்பு.
4. இந்த வரையறைக்குப் பிறகு, சமன்பாடு பற்றிய ஒரு கவிதையைப் படியுங்கள் விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 12,13,14

கடைசி 2 கேள்விகளுக்கான பதில்கள் விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 9,10,11

வரலாற்று உல்லாசப் பயணம்

"சமன்பாட்டை யார் கண்டுபிடித்தார்கள், எப்போது" பற்றிய வரலாற்றுத் தகவல் விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 15

ஒரு பழமையான தாய் பெயரிடப்பட்டதாக கற்பனை செய்து கொள்வோம் ... இருப்பினும், அவளுக்கு ஒரு பெயர் கூட இல்லை, ஒரு மரத்தில் இருந்து 12 ஆப்பிள்களைப் பறித்து தனது 4 குழந்தைகளுக்குக் கொடுத்தார். அவளுக்கு 12க்கு மட்டுமல்ல, நான்கிற்கும் எண்ணுவது எப்படி என்று தெரியவில்லை, நிச்சயமாக 12 ஐ 4 ஆல் வகுக்கத் தெரியாது. மேலும் அவள் ஆப்பிள்களை இப்படிப் பிரித்திருக்கலாம்: முதலில் அவள் ஒவ்வொரு குழந்தைக்கும் ஒரு ஆப்பிளைக் கொடுத்தாள், பின்னர் மற்றொரு ஆப்பிளைக் கொடுத்தாள். , பின்னர் தனியாக மற்றொரு மற்றும் நான் ஆப்பிள் இல்லை என்று பார்த்தேன் மற்றும் குழந்தைகள் மகிழ்ச்சியாக இருந்தது. இந்த செயல்களை நவீன கணித மொழியில் எழுதினால், நமக்கு x4=12 கிடைக்கும், அதாவது சமன்பாட்டை உருவாக்கும் சிக்கலை என் அம்மா தீர்த்தார். வெளிப்படையாக, மேலே கேட்கப்பட்ட கேள்விக்கு பதிலளிக்க இயலாது. சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு வழிவகுக்கும் சிக்கல்கள் மனிதர்களாக மாறிய காலத்திலிருந்து பொது அறிவைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகின்றன. கிமு 3-4 ஆயிரம் ஆண்டுகள் கூட, எகிப்தியர்களும் பாபிலோனியர்களும் எளிமையான சமன்பாடுகளை தீர்க்க முடிந்தது, அதன் வடிவம் மற்றும் தீர்வு முறைகள் நவீன முறைகளுக்கு ஒத்ததாக இல்லை. கிரேக்கர்கள் எகிப்தியர்களின் அறிவைப் பெற்று முன்னேறினர். சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சியில் மிகப்பெரிய வெற்றியை கிரேக்க விஞ்ஞானி டியோபாண்டஸ் (III நூற்றாண்டு) அடைந்தார், அவரைப் பற்றி அவர்கள் எழுதினார்கள்:

அவர் நிறைய பிரச்சனைகளை தீர்த்தார்.
அவர் வாசனையையும் மழையையும் கணித்தார்.
உண்மையாகவே அவருடைய அறிவு வியக்கத்தக்கது.

மத்திய ஆசிய கணிதவியலாளர் முஹம்மது அல் கோரெஸ்மி (9 ஆம் நூற்றாண்டு) சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் பெரும் பங்களிப்பைச் செய்தார். அவரது புகழ்பெற்ற புத்தகம் அல்-குவாரிஸ்மி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு அர்ப்பணித்தது. இது "கிதாப் அல்-ஜபர் வால்-முகபாலா", அதாவது "நிறைவு மற்றும் எதிர்ப்பின் புத்தகம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த புத்தகம் ஐரோப்பியர்களுக்குத் தெரிந்தது, மேலும் அதன் தலைப்பிலிருந்து "அல்-ஜப்ர்" என்ற வார்த்தையிலிருந்து "இயற்கணிதம்" என்ற வார்த்தை வந்தது - இது கணிதத்தின் முக்கிய பகுதிகளில் ஒன்றின் பெயர். பின்னர், பல கணிதவியலாளர்கள் சமன்பாடுகளின் சிக்கல்களில் வேலை செய்தனர். x2+in=0 வடிவத்தில் குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான விதி 15 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஸ்டீஃபெல் என்பவரால் உருவாக்கப்பட்டது. டச்சு கணிதவியலாளர் ஜிரார்ட் (16 ஆம் நூற்றாண்டு) மற்றும் டெஸ்கார்ட்ஸ் மற்றும் நியூட்டனின் படைப்புகளுக்குப் பிறகு, தீர்வு முறை ஒரு நவீன வடிவத்தை எடுத்தது. ஒரு சமன்பாட்டின் வேர்களை அதன் குணகங்களின் மீது சார்ந்திருப்பதை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரங்கள் Vieth ஆல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. ஃபிராங்கோயிஸ் வியட் 16 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்தவர். கணிதம் மற்றும் வானியல் ஆகியவற்றில் உள்ள பல்வேறு சிக்கல்களைப் படிப்பதில் அவர் பெரும் பங்களிப்புகளைச் செய்தார்; குறிப்பாக, அவர் சமன்பாட்டின் குணகங்களுக்கான எழுத்து பெயர்களை அறிமுகப்படுத்தினார். இப்போது அவரது வாழ்க்கையிலிருந்து ஒரு சுவாரஸ்யமான அத்தியாயத்தைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். ஃபிராங்கோ-ஸ்பானிஷ் போரின் போது மூன்றாம் ஹென்றி மன்னரின் கீழ் வியட் பெரும் புகழ் பெற்றது. ஸ்பானிய விசாரணையாளர்கள் மிகவும் சிக்கலான ரகசிய எழுத்தை கண்டுபிடித்தனர், இதற்கு நன்றி ஸ்பெயினியர்கள் ஹென்றி III இன் எதிரிகளுடன் பிரான்சில் கூட தொடர்பு கொண்டனர்.

வீண் பிரஞ்சு குறியீட்டின் திறவுகோலைக் கண்டுபிடிக்க முயன்றது, பின்னர் ராஜா வியட்டா பக்கம் திரும்பினார். வியட் இரண்டு வார தொடர்ச்சியான வேலையில் குறியீட்டின் திறவுகோலைக் கண்டுபிடித்ததாக அவர்கள் கூறுகிறார்கள், அதன் பிறகு, எதிர்பாராத விதமாக ஸ்பெயினுக்கு, பிரான்ஸ் ஒன்றன் பின் ஒன்றாக வெற்றிபெறத் தொடங்கியது. குறியீட்டை புரிந்து கொள்ள முடியாது என்ற நம்பிக்கையில், ஸ்பானியர்கள் வியட் பிசாசுடன் தொடர்பு வைத்திருப்பதாக குற்றம் சாட்டி, அவரை எரிக்க தண்டனை விதித்தனர். அதிர்ஷ்டவசமாக, அவர் விசாரணைக்கு ஒப்படைக்கப்படவில்லை மற்றும் ஒரு சிறந்த கணிதவியலாளராக வரலாற்றில் இறங்கினார்.

விளையாட்டு "அதிகப்படியானவற்றை அகற்று"

விளையாட்டின் நோக்கம்சமன்பாடுகளின் வகைகளில் நோக்குநிலை.

எங்களுக்கு மூன்று நெடுவரிசை சமன்பாடுகள் வழங்கப்பட்டுள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றிலும், சமன்பாடுகள் சில அளவுகோல்களின்படி வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன, ஆனால் அவற்றில் ஒன்று உங்கள் பணியை கண்டுபிடித்து வகைப்படுத்துவது. விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 16

ஆக்கப்பூர்வமான வேலை

இந்தப் பணியின் நோக்கம்: கணிதப் பேச்சைக் கேட்டல், சமன்பாடுகளின் வகைகளில் குழந்தைகளை நோக்குநிலைப்படுத்துதல்.

திரையில் நீங்கள் 9 சமன்பாடுகளைக் காணலாம். ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் அதன் சொந்த எண் உள்ளது, இந்த சமன்பாட்டின் வகையை நான் பெயரிடுவேன், இந்த வகையின் சமன்பாட்டை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், மேலும் அது தோன்றும் எண்ணை மட்டும் வைக்க வேண்டும், இதன் விளைவாக நீங்கள் 9 இலக்க எண் விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 17 ஐப் பெறுவீர்கள்.

1. குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு.
2. பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடு
3. கன சமன்பாடு
4. மடக்கை சமன்பாடு
5. நேரியல் சமன்பாடு
6. முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு
7. அதிவேக சமன்பாடு
8. பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடு
9. முக்கோணவியல் சமன்பாடு

பணி "பிழையைக் கண்டுபிடி"

ஒரு மாணவர் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தார், ஆனால் முழு வகுப்பும் சிரித்தது, அவர் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் தவறு செய்தார், உங்கள் பணி அதைக் கண்டுபிடித்து சரிசெய்வதாகும். விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 18

ஒரு சமன்பாட்டை பல வழிகளில் தீர்ப்பது

இப்போது வகுப்பில் நேரத்தைச் சேமிக்க, திரையில் ஒரு சமன்பாட்டைச் சேமிக்க, சாத்தியமான எல்லா வழிகளிலும் ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம். இப்போது நீங்கள் இந்த சமன்பாட்டின் வகையை பெயரிடுவீர்கள், மேலும் இந்த சமன்பாடு 19-27 ஸ்லைடுகளை தீர்க்க என்ன முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை விளக்குங்கள்

ஒரு சமன்பாட்டை பல வழிகளில் தீர்ப்பது (பலகையில்)

நாங்கள் எடுத்துக்காட்டைப் பார்த்தோம், இப்போது போர்டில் உள்ள சமன்பாட்டை சாத்தியமான எல்லா வழிகளிலும் தீர்ப்போம்.

X-2 - பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடு

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் சதுரமாக்குவோம்.

X 2 +2x+4x-1-4=0

இந்த சமன்பாட்டை பலகையில் 9 வழிகளில் தீர்க்கிறோம்.

குழுவில் விளக்கத்தைத் தொடர்ந்து ஜோடிகளாக சுயாதீனமான வேலை

இப்போது நீங்கள் ஜோடிகளாக வேலை செய்வீர்கள், நான் உங்கள் மேசைக்கு ஒரு சமன்பாட்டை தருகிறேன், உங்கள் பணி சமன்பாட்டின் வகையை தீர்மானிப்பது, இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அனைத்து வழிகளையும் பட்டியலிடுங்கள், உங்களுக்காக மிகவும் பகுத்தறிவு வழிகளில் 1-2 ஐ தீர்க்கவும். (2 நிமிடங்கள்)

ஜோடிகளாக வேலை செய்வதற்கான பணிகள்

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

ஜோடிகளாக சுயாதீனமாக வேலை செய்த பிறகு, ஒரு பிரதிநிதி குழுவிற்குச் சென்று, தனது சமன்பாட்டை முன்வைத்து, ஒரு வழியில் தீர்க்கிறார்

தனிப்பட்ட வீட்டுப்பாடம்(வேறுபடுத்தக்கூடியது)

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

(சமன்பாட்டின் வகையை தீர்மானிக்கவும், ஒரு தனி தாளில் அனைத்து வழிகளிலும் தீர்க்கவும்)

பிரதிபலிப்பு பாடத்தின் சுருக்கம்.

நான் பாடத்தை சுருக்கமாகச் சொல்கிறேன், ஒரு சமன்பாட்டை பல வழிகளில் தீர்க்க முடியும் என்பதில் கவனத்தை ஈர்க்கிறேன், மதிப்பெண்களைக் கொடுக்கிறேன், யார் சுறுசுறுப்பாக இருந்தார், யார் அதிக சுறுசுறுப்பாக இருக்க வேண்டும் என்பதைப் பற்றி ஒரு முடிவுக்கு வருகிறேன். கலினின் அறிக்கை விளக்கக்காட்சி ஸ்லைடு 28 ஐப் படித்தேன்

இன்றைய பாடத்திற்கு நாங்கள் நிர்ணயித்த இலக்குகளை கவனமாக பாருங்கள்:

• நாங்கள் என்ன செய்ய முடிந்தது என்று நினைக்கிறீர்கள்?
• எது நன்றாக வேலை செய்யவில்லை?
• நீங்கள் குறிப்பாக எதை விரும்பினீர்கள் மற்றும் நினைவில் வைத்தீர்கள்?
• இன்று புதிதாக ஒன்றை கற்றுக்கொண்டேன்...
• பாடத்தின் போது எனது அறிவு பயனுள்ளதாக இருந்தது...
• எனக்கு கஷ்டமாக இருந்தது...
• பாடம் பிடித்திருந்தது...

இலக்கியம்.

1. டோரோஃபீவ் ஜி.வி. "ஒரு உயர்நிலைப் பள்ளி பாடத்திற்கான கணிதத்தில் எழுதப்பட்ட தேர்வை நடத்துவதற்கான பணிகளின் சேகரிப்பு" - எம்.: பஸ்டர்ட், 2006.
2. கார்னர் மார்ட்டின். கணித புதிர்கள் மற்றும் பொழுதுபோக்கு.
3. இவ்லேவ் பி.எம்., சஹாக்யன் எஸ்.எம். இயற்கணிதம் மற்றும் 10 ஆம் வகுப்பு, 11 ஆம் வகுப்புக்கான பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம் பற்றிய டிடாக்டிக் பொருட்கள். எம்.: அறிவொளி. 2002.

ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பொது மற்றும் தொழில்முறை கல்வி அமைச்சகம்

நகராட்சி கல்வி நிறுவனம்

ஜிம்னாசியம் எண். 12

கலவை

தலைப்பில்: சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

முடித்தவர்: 10 ஆம் வகுப்பு "ஏ" மாணவர்

க்ருட்கோ எவ்ஜெனி

சரிபார்க்கப்பட்டது: கணித ஆசிரியர் இஸ்ககோவா குல்சும் அக்ரமோவ்னா

டியூமன் 2001

திட்டம்........................................... .................................................. ...................................... 1

அறிமுகம்........................................... ....................................................... ............................................. 2

முக்கிய பாகம்................................................ .................................................. ...... ............... 3

முடிவுரை................................................. .................................................. ...... ............... 25

விண்ணப்பம்................................................. .................................................. ...... ................ 26

பயன்படுத்திய இலக்கியங்களின் பட்டியல்........................................... .......... ................................ 29

திட்டம்.

அறிமுகம்.

வரலாற்றுக் குறிப்பு.

சமன்பாடுகள். இயற்கணித சமன்பாடுகள்.

a) அடிப்படை வரையறைகள்.

b) நேரியல் சமன்பாடு மற்றும் அதைத் தீர்ப்பதற்கான முறை.

c) இருபடி சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்.

ஈ) பைனோமியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது.

இ) க்யூபிக் சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்.

f) இருபடி சமன்பாடு மற்றும் அதைத் தீர்ப்பதற்கான முறை.

g) நான்காவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்.

g) உயர் பட்டங்களின் சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்.

h) பகுத்தறிவு இயற்கணித சமன்பாடு மற்றும் அதன் முறை

i) பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்.

j) அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத சமன்பாடுகள்.

முழுமையான மதிப்பு மற்றும் அதைத் தீர்ப்பதற்கான முறை.

ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள்.

அ) அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது.

ஆ) மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்.

அறிமுகம்

ஒரு விரிவான பள்ளியில் பெறப்பட்ட கணிதக் கல்வி பொதுக் கல்வி மற்றும் நவீன மனிதனின் பொது கலாச்சாரத்தின் இன்றியமையாத அங்கமாகும். நவீன மனிதனைச் சுற்றியுள்ள அனைத்தும் எப்படியாவது கணிதத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. இயற்பியல், பொறியியல் மற்றும் தகவல் தொழில்நுட்பத்தில் சமீபத்திய முன்னேற்றங்கள் எதிர்காலத்தில் விவகாரங்களின் நிலை அப்படியே இருக்கும் என்பதில் சந்தேகமில்லை. எனவே, பல நடைமுறைச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது பல்வேறு வகையான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்குக் கீழே வருகிறது, அதை எவ்வாறு தீர்க்க வேண்டும் என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும்.

இந்த வேலை மேலே உள்ள தலைப்பில் ஆய்வு செய்யப்பட்ட விஷயங்களை சுருக்கமாகவும் முறைப்படுத்தவும் ஒரு முயற்சியாகும். எளிமையானதில் தொடங்கி, சிரமத்தின் வரிசையில் நான் பொருளை ஏற்பாடு செய்துள்ளேன். பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்திலிருந்து நமக்குத் தெரிந்த இரண்டு வகையான சமன்பாடுகள் மற்றும் கூடுதல் பொருள் ஆகியவை இதில் அடங்கும். அதே நேரத்தில், பள்ளிப் படிப்பில் படிக்காத சமன்பாடுகளின் வகைகளைக் காட்ட முயற்சித்தேன், ஆனால் உயர் கல்வி நிறுவனத்தில் நுழையும்போது அறிவு தேவைப்படலாம். எனது வேலையில், சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​நான் உண்மையான தீர்வுக்கு மட்டும் என்னை மட்டுப்படுத்தவில்லை, ஆனால் சிக்கலான ஒன்றையும் சுட்டிக்காட்டினேன், இல்லையெனில் சமன்பாடு வெறுமனே தீர்க்கப்படாது என்று நான் நம்புகிறேன். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்றால், அதற்கு தீர்வுகள் இல்லை என்று அர்த்தமல்ல. துரதிர்ஷ்டவசமாக, நேரமின்மையால், என்னிடம் உள்ள அனைத்து விஷயங்களையும் என்னால் முன்வைக்க முடியவில்லை, ஆனால் இங்கே வழங்கப்பட்ட உள்ளடக்கத்துடன் கூட, பல கேள்விகள் எழலாம். பெரும்பாலான கேள்விகளுக்கு பதிலளிக்க எனது அறிவு போதுமானது என்று நம்புகிறேன். எனவே, நான் பொருளை வழங்கத் தொடங்குகிறேன்.

கணிதம்... ஒழுங்கை வெளிப்படுத்துகிறது,

சமச்சீர் மற்றும் உறுதி,

மேலும் இவை அழகுக்கான மிக முக்கியமான வகைகள்.

அரிஸ்டாட்டில்.

வரலாற்றுக் குறிப்பு

அந்த தொலைதூர காலங்களில், முனிவர்கள் முதன்முதலில் அறியப்படாத அளவுகளைக் கொண்ட சமத்துவங்களைப் பற்றி சிந்திக்கத் தொடங்கியபோது, ​​நாணயங்கள் அல்லது பணப்பைகள் இல்லை. ஆனால் குவியல்கள், அத்துடன் பானைகள் மற்றும் கூடைகள் இருந்தன, அவை தெரியாத எண்ணிக்கையிலான பொருட்களை வைத்திருக்கக்கூடிய சேமிப்பக கேச்களின் பாத்திரத்திற்கு ஏற்றவை. "நாங்கள் ஒரு குவியலைத் தேடுகிறோம், அது மூன்றில் இரண்டு பங்கு, ஒரு பாதி மற்றும் ஏழில் ஒரு பங்கு 37 ஆகும்...", கிமு 2 ஆம் மில்லினியத்தில் எகிப்திய எழுத்தாளரான அஹ்மஸுக்கு கற்பித்தார். மெசபடோமியா, இந்தியா, சீனா, கிரீஸ் ஆகியவற்றின் பண்டைய கணித சிக்கல்களில், அறியப்படாத அளவுகள் தோட்டத்தில் உள்ள மயில்களின் எண்ணிக்கை, மந்தையில் உள்ள காளைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் சொத்தைப் பிரிக்கும்போது கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட பொருட்களின் மொத்தத்தை வெளிப்படுத்தின. எழுத்தர்கள், அதிகாரிகள் மற்றும் பாதிரியார்கள் இரகசிய அறிவைத் தொடங்கினார்கள், கணக்கு அறிவியலில் நன்கு பயிற்சி பெற்றவர்கள், அத்தகைய பணிகளை மிகவும் வெற்றிகரமாக சமாளித்தனர்.

அறியப்படாத அளவுகளில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு பண்டைய விஞ்ஞானிகள் சில பொதுவான நுட்பங்களைக் கொண்டிருந்தனர் என்று எங்களுக்கு கிடைத்த ஆதாரங்கள் சுட்டிக்காட்டுகின்றன. இருப்பினும், ஒரு பாப்பிரஸ் அல்லது களிமண் மாத்திரை கூட இந்த நுட்பங்களைப் பற்றிய விளக்கத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை. ஆசிரியர்கள் எப்போதாவது தங்கள் எண் கணக்கீடுகளை "பார்!", "இதைச் செய்!", "சரியானதைக் கண்டுபிடித்துவிட்டீர்கள்" போன்ற குறைவான கருத்துகளுடன் மட்டுமே வழங்கினர். இந்த அர்த்தத்தில், விதிவிலக்கு என்பது கிரேக்க கணிதவியலாளர் டியோபாண்டஸ் ஆஃப் அலெக்ஸாண்ட்ரியாவின் (III நூற்றாண்டு) “எண்கணிதம்” - சமன்பாடுகளை அவற்றின் தீர்வுகளின் முறையான விளக்கக்காட்சியுடன் உருவாக்குவதற்கான சிக்கல்களின் தொகுப்பு.

இருப்பினும், பரவலாக அறியப்பட்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான முதல் கையேடு 9 ஆம் நூற்றாண்டின் பாக்தாத் விஞ்ஞானியின் பணியாகும். முஹம்மது பின் மூசா அல்-குவாரிஸ்மி. இந்த கட்டுரையின் அரபுப் பெயரிலிருந்து "அல்-ஜப்ர்" என்ற வார்த்தை - "கிதாப் அல்-ஜாபர் வால்-முகபாலா" ("மறுசீரமைப்பு மற்றும் எதிர்ப்பின் புத்தகம்") - காலப்போக்கில் "இயற்கணிதம்" மற்றும் வேலை நன்கு அறியப்பட்ட வார்த்தையாக மாறியது. சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் அறிவியலின் வளர்ச்சியில் அல்-குவாரிஸ்மியே தொடக்கப் புள்ளியாக பணியாற்றினார்.

சமன்பாடுகள் இயற்கணித சமன்பாடுகள்

அடிப்படை வரையறைகள்

இயற்கணிதத்தில், இரண்டு வகையான சமத்துவங்கள் கருதப்படுகின்றன - அடையாளங்கள் மற்றும் சமன்பாடுகள்.

அடையாளம்இதில் உள்ள எழுத்துக்களின் அனைத்து (ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய) மதிப்புகளுக்கும் சமத்துவம் உள்ளது). அடையாளத்தை பதிவு செய்ய, அடையாளத்துடன், அடையாளமும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சமன்பாடுஇதில் உள்ள எழுத்துக்களின் சில மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே சமத்துவம் உள்ளது. சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள எழுத்துக்கள், சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, சமமற்றதாக இருக்கலாம்: சிலர் அவற்றின் அனுமதிக்கப்பட்ட அனைத்து மதிப்புகளையும் எடுத்துக் கொள்ளலாம் (அவை அழைக்கப்படுகின்றன அளவுருக்கள்அல்லது குணகங்கள்சமன்பாடுகள் மற்றும் பொதுவாக லத்தீன் எழுத்துக்களின் முதல் எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன:, , ... - அல்லது குறியீடுகளுடன் வழங்கப்பட்ட அதே எழுத்துக்கள்: , , ... அல்லது , , ...); மதிப்புகளைக் கண்டறிய வேண்டிய மற்றவர்கள் அழைக்கப்படுகிறார்கள் தெரியவில்லை(அவை பொதுவாக லத்தீன் எழுத்துக்களின் கடைசி எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன: , , , ... - அல்லது குறியீடுகளுடன் அதே எழுத்துக்கள்: , , ... அல்லது , , ...).

பொதுவாக, சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

அறியப்படாதவர்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து, சமன்பாடு ஒன்று, இரண்டு, முதலிய தெரியாதவற்றுடன் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சமன்பாட்டை அடையாளமாக மாற்றும் தெரியாதவற்றின் மதிப்பு, தீர்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றனசமன்பாடுகள்

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது என்பது அதன் பல தீர்வுகளைக் கண்டறிவது அல்லது தீர்வுகள் இல்லை என்பதை நிரூபிப்பது. சமன்பாட்டின் வகையைப் பொறுத்து, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு எல்லையற்றதாகவோ, வரையறுக்கப்பட்டதாகவோ அல்லது காலியாகவோ இருக்கலாம்.

சமன்பாட்டிற்கான அனைத்து தீர்வுகளும் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் என்றால், அவர்கள் சமன்பாட்டின் விளைவு என்று கூறி, எழுதுங்கள்.

இரண்டு சமன்பாடுகள்

அழைக்கப்பட்டது இணையான, அவை ஒவ்வொன்றும் மற்றொன்றின் விளைவாக இருந்தால், எழுதவும்

எனவே, இந்த சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளின் தொகுப்பு இணைந்தால் இரண்டு சமன்பாடுகள் சமமானதாகக் கருதப்படுகின்றன.

ஒரு சமன்பாடு இரண்டு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) சமன்பாடுகளுக்கு சமமானதாகக் கருதப்படுகிறது, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்புகளுடன் இணைந்தால், .

சில சமமான சமன்பாடுகள்:

சமன்பாடு அசல் சமன்பாட்டின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பில் கருதப்படும் சமன்பாட்டிற்கு சமம்.

இரண்டு சமன்பாடுகளுக்கு சமம் மற்றும் .

சமன்பாடு சமன்பாட்டிற்கு சமமானது.

ஒற்றைப்படை nக்கான சமன்பாடு சமன்பாட்டிற்குச் சமமானது, மேலும் n க்கு இது இரண்டு சமன்பாடுகளுக்குச் சமம் மற்றும்.

இயற்கணித சமன்பாடுவடிவத்தின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது

ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளில் nth டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவை எங்கே.

தெரியாத ஒன்றுடன் இயற்கணித சமன்பாடுவடிவத்தின் சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கும் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது

இதில் n என்பது எதிர்மில்லாத முழு எண்; பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் , , , ..., , என்று அழைக்கப்படுகின்றன குணகங்கள்(அல்லது அளவுருக்கள்) சமன்பாடுகள் மற்றும் கொடுக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது; x அழைக்கப்படுகிறது தெரியவில்லைமற்றும் நாம் தேடுவது. எண் n அழைக்கப்படுகிறது பட்டம்சமன்பாடுகள்

இயற்கணித சமன்பாட்டை அடையாளமாக மாற்றும் அறியப்படாத x இன் மதிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன வேர்கள்(குறைவாக அடிக்கடி முடிவுகள்) இயற்கணித சமன்பாடு.

ஆயத்த சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கக்கூடிய பல வகையான சமன்பாடுகள் உள்ளன. இவை நேரியல் மற்றும் இருபடிச் சமன்பாடுகள், அத்துடன் F(x) வடிவத்தின் சமன்பாடுகள், இங்கு F என்பது நிலையான செயல்பாடுகளில் ஒன்றாகும் (சக்தி அல்லது அதிவேக செயல்பாடு, மடக்கை, சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் அல்லது கோடேன்ஜென்ட்). இத்தகைய சமன்பாடுகள் எளிமையானதாகக் கருதப்படுகின்றன. கன சமன்பாட்டிற்கான சூத்திரங்களும் உள்ளன, ஆனால் இது எளிமையானதாக கருதப்படவில்லை.

எனவே, எந்தவொரு சமன்பாட்டையும் தீர்க்கும்போது முக்கிய பணி அதை எளிமையானதாகக் குறைப்பதாகும்.

கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள அனைத்து சமன்பாடுகளும் அவற்றின் சொந்த வரைகலை தீர்வைக் கொண்டுள்ளன, இது சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை அறியாத இரண்டு ஒத்த செயல்பாடுகளாக வழங்குவதைக் கொண்டுள்ளது. பின்னர் ஒரு வரைபடம் கட்டமைக்கப்படுகிறது, முதலில் ஒரு செயல்பாட்டின், பின்னர் மற்றொன்று, மற்றும் இரண்டு வரைபடங்களின் வெட்டும் புள்ளி(கள்) அசல் சமன்பாட்டின் தீர்வைக் கொடுக்கும். அனைத்து சமன்பாடுகளின் வரைகலை தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்னிணைப்பில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

நேரியல் சமன்பாடு

நேரியல் சமன்பாடுமுதல் நிலை சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இதில் a மற்றும் b சில உண்மையான எண்கள்.

ஒரு நேரியல் சமன்பாடு எப்பொழுதும் ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது பின்வருமாறு காணப்படுகிறது.

சமன்பாட்டின் (1) இரு பக்கங்களிலும் எண்ணைச் சேர்த்தால், சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

சமன்பாட்டிற்கு சமமான (1). சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் (2) மதிப்பால் வகுத்தால், சமன்பாட்டின் (1) மூலத்தைப் பெறுகிறோம்:

இருபடி சமன்பாடு

இரண்டாம் பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாடு.

, (3)

எங்கே, , சில உண்மையான எண்கள், அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாடு. என்றால், இருபடிச் சமன்பாடு (3) அழைக்கப்படுகிறது கொடுக்கப்பட்டது .

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன

,

வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பாரபட்சமானஇருபடி சமன்பாடு.

இதில்:

என்றால், சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது;

என்றால், சமன்பாடு பெருக்கல் 2 இன் ஒரு உண்மையான மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது;

என்றால், சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை, ஆனால் இரண்டு சிக்கலான இணைந்த வேர்கள் உள்ளன:

, ,

இருபடிச் சமன்பாட்டின் குறிப்பிட்ட வகைகள் (3)

1) குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு (என்றால்), இது பொதுவாக வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது

.

கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன

. (4)

இந்த சூத்திரம் வியட்டாவின் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, 16 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் பெயரிடப்பட்டது, அவர் இயற்கணித குறியீட்டின் வளர்ச்சிக்கு குறிப்பிடத்தக்க பங்களிப்பை வழங்கினார்.

2) இரண்டாம் குணகம் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாடு, இது பொதுவாக இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது

( - முழு).

இந்த இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுவது வசதியானது

. (5)

சூத்திரங்கள் (4) மற்றும் (5) ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சிறப்பு வகை சூத்திரங்கள்.

குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள்

வியட்டா ஃபார்முலாக்கள் மூலம் அதன் குணகங்களுடன் தொடர்புடையவை

,

.

கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், வியட்டாவின் சூத்திரங்கள் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் அடையாளங்கள் மற்றும் ஒப்பீட்டு அளவு இரண்டையும் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கின்றன, அதாவது:

என்றால், இரண்டு வேர்களும் எதிர்மறையானவை;

என்றால், இரண்டு வேர்களும் நேர்மறை;

என்றால் , , சமன்பாடு வெவ்வேறு அறிகுறிகளின் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் எதிர்மறை வேர் நேர்மறையை விட முழுமையான மதிப்பில் அதிகமாக இருக்கும்;

என்றால், , சமன்பாடு வெவ்வேறு அறிகுறிகளின் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் எதிர்மறை மூலமானது முழுமையான மதிப்பில் நேர்மறை மூலத்தை விட குறைவாக உள்ளது.

இருபடி சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்

(6)

மற்றும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் (6) வேர்களை அதன் குணகங்கள் மற்றும் இலவச காலத்தின் மூலம் பெறுவதற்கான மற்றொரு வழியைக் காண்பிப்போம். என்றால்

பின்னர் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன

,

, .

அசல் சமன்பாட்டின் பின்வரும் மாற்றங்களின் விளைவாகவும், சூத்திரத்தை (7) கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதன் விளைவாகவும் பெறலாம்.

,

எனவே கவனிக்கவும்

,

.

,

ஆனால், சூத்திரத்திலிருந்து (7) ஆக இறுதியாக

நாம் + என்று வைத்தால், பிறகு

,

எனவே கவனிக்கவும்

,

,

ஆனால் எனவே இறுதியாக

.

இருபக்க சமன்பாடுகள்

படிவத்தின் n வது பட்டத்தின் சமன்பாடுகள்

அழைக்கப்பட்டது ஈருறுப்புச் சமன்பாடு. உடன் மற்றும் மாற்று)

மூலத்தின் எண்கணித மதிப்பு எங்கே, சமன்பாடு (8) சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது

ஒற்றைப்படை nக்கான இருசொல் சமன்பாடு ஒரு உண்மையான மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. சிக்கலான எண்களின் தொகுப்பில், இந்த சமன்பாடு n வேர்களைக் கொண்டுள்ளது (அதில் ஒன்று உண்மையானது மற்றும் சிக்கலானது):

( 0, 1, 2, ..., ). (9)

நிஜ எண்களின் தொகுப்பில் கூட nக்கான இருசொல் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது , மற்றும் சிக்கலான எண்களின் தொகுப்பில் n வேர்கள் உள்ளன, அவை சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகின்றன (9).

கூட n க்கான இருசொல் சமன்பாடு ஒரு உண்மையான மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் வேர்களின் சிக்கலான எண்களின் தொகுப்பில், சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது.

( 0, 1, 2, ..., ). (10)

கூட n க்கான இருசொல் சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை. சிக்கலான எண்களின் தொகுப்பில், சமன்பாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது (10).

n இன் சில குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்கான இருசொல் சமன்பாட்டின் வேர்களின் தொகுப்பின் சுருக்கமான சுருக்கத்தை வழங்குவோம்.

சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

.

சமன்பாட்டில் இரண்டு உண்மையான வேர்கள் மற்றும் இரண்டு சிக்கலான வேர்கள் உள்ளன.

சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை. சிக்கலான வேர்கள்: .

சமன்பாடு ஒரு உண்மையான வேர் மற்றும் இரண்டு சிக்கலான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது

.

சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை. சிக்கலான வேர்கள்:

, .

கன சமன்பாடுகள்

பாபிலோனியா மற்றும் பண்டைய இந்தியாவின் கணிதவியலாளர்கள் இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க முடிந்தால், கனசதுர சமன்பாடுகள், அதாவது. வடிவத்தின் சமன்பாடுகள்

வெடிப்பதற்கு கடினமான கொட்டையாக மாறியது. 15 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில். ரோம் மற்றும் மிலன் பல்கலைக்கழகங்களின் கணிதப் பேராசிரியர் லூகா பாசியோலி தனது புகழ்பெற்ற பாடப்புத்தகமான "எண்கணிதம், வடிவியல், உறவுகள் மற்றும் விகிதாசாரம் பற்றிய அறிவின் கூட்டுத்தொகை" இல் சதுர சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான முறையைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கலை முன்வைத்தார். வட்டம். இன்னும், இத்தாலிய இயற்கணிதவாதிகளின் முயற்சியால், அத்தகைய முறை விரைவில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

எளிமைப்படுத்துதலுடன் ஆரம்பிக்கலாம்

பொது வடிவத்தின் கன சமன்பாடு என்றால்

ஆல் வகுக்கப்படும், பின்னர் உள்ள குணகம் 1 க்கு சமமாகிறது. எனவே, எதிர்காலத்தில் நாம் சமன்பாட்டிலிருந்து தொடருவோம்

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு, கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கத்திற்கான சூத்திரத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது போல, ஒரு கன சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு, கூட்டுத்தொகையின் கனசதுரத்திற்கான சூத்திரத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது:

குணகங்களில் குழப்பமடையாமல் இருக்க, விதிமுறைகளை இங்கே மாற்றி, மறுசீரமைப்போம்:

சரியாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், அதாவது எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், இந்த சூத்திரத்தின் வலது பக்கம் சமன்பாட்டின் (11) இடது பக்கத்திலிருந்து குணகம் மற்றும் இலவச காலத்தில் மட்டுமே வேறுபடுவதை உறுதிசெய்ய முடியும். சமன்பாடுகளை (11) மற்றும் (12) கூட்டி, ஒத்தவற்றைக் கொடுப்போம்:

நாம் இங்கே மாற்றீடு செய்தால், c என்ற சொல் இல்லாமல் ஒரு கன சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

.

எனவே, கனசதுரச் சமன்பாட்டில் (11) பொருத்தமான மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி, தெரியாதவற்றின் சதுரத்தைக் கொண்ட சொல்லிலிருந்து விடுபடலாம் என்பதைக் காட்டியுள்ளோம். எனவே, இப்போது படிவத்தின் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்

. (13)

கார்டானோ சூத்திரம்

சம் க்யூப் சூத்திரத்தை மீண்டும் பார்ப்போம், ஆனால் அதை வேறு விதமாக எழுதுங்கள்:

இந்த பதிவை சமன்பாடு (13) உடன் ஒப்பிட்டு அவற்றுக்கிடையே ஒரு தொடர்பை ஏற்படுத்த முயற்சிக்கவும். ஒரு குறிப்புடன் கூட அது எளிதானது அல்ல. அகரவரிசைக் குறியீடுகள் தெரியாமல் கன சமன்பாட்டைத் தீர்த்த மறுமலர்ச்சிக் காலக் கணிதவியலாளர்களுக்கு நாம் அஞ்சலி செலுத்த வேண்டும். எங்கள் சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம்:

இப்போது தெளிவாக உள்ளது: சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டுபிடிக்க (13), சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது போதுமானது.

அல்லது

மற்றும் தொகையாக எடுத்துக் கொள்ளவும். மாற்றுவதன் மூலம், இந்த அமைப்பு மிகவும் எளிமையான வடிவத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது:

நீங்கள் வெவ்வேறு வழிகளில் செயல்படலாம், ஆனால் அனைத்து "சாலைகளும்" ஒரே இருபடி சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் கூடிய குணகத்திற்குச் சமம், மேலும் தயாரிப்பு இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம். அது பின்வருமாறு மற்றும் சமன்பாட்டின் வேர்கள்

.

இந்த வேர்களை எழுதுவோம்:

மாறிகள் மற்றும் மற்றும் கன வேர்களுக்குச் சமம், மற்றும் கன சமன்பாட்டிற்கு (13) தேவையான தீர்வு இந்த வேர்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்:

.

இந்த சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது கார்டானோ சூத்திரம் .

முக்கோணவியல் தீர்வு

, , . (14)

"முழுமையற்ற" கன சமன்பாட்டின் (14) வேர்கள் சமம்

, ,

, ,

.

"முழுமையற்ற" கன சமன்பாடு (14) செல்லுபடியாகும்.

a) என்றால் ("குறைக்க முடியாத" வழக்கு), பின்னர்

,

,

.

(b) என்றால் , , பின்னர்

, ,

, .

(c) என்றால் , , பின்னர்

, ,

, .

எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும், கியூப் ரூட்டின் உண்மையான மதிப்பு எடுக்கப்படுகிறது.

இருகோடி சமன்பாடு

நான்காவது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாடு.

,

இதில் a, b, c ஆகியவை சில உண்மையான எண்கள், அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாடு. மாற்றீடு மூலம் சமன்பாடு இருபடி சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது அதைத் தொடர்ந்து இரண்டு பைனோமியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது மற்றும் (மற்றும் தொடர்புடைய இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் ஆகும்).

என்றால் மற்றும் , இருகோடி சமன்பாடு நான்கு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:

, .

என்றால் , ), பின்னர் இருபடி சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்கள் மற்றும் கற்பனை இணை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:

.

என்றால் மற்றும் , இருகோடி சமன்பாடு நான்கு முற்றிலும் கற்பனை ஜோடிவரிசை இணை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:

, .

நான்காம் நிலை சமன்பாடுகள்

நான்காம் நிலை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறை 16 ஆம் நூற்றாண்டில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. லுடோவிகோ ஃபெராரி, ஜெரோலாமோ கார்டானோவின் மாணவர். அதைத்தான் - முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஃபெராரி .

கன மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது போல், நான்காம் நிலை சமன்பாட்டில்

பதிலீடு செய்வதன் மூலம் நீங்கள் சொல்லிலிருந்து விடுபடலாம். எனவே, தெரியாத கனசதுரத்தின் குணகம் பூஜ்ஜியம் என்று கருதுவோம்:

ஃபெராரியின் யோசனையானது வடிவத்தில் சமன்பாட்டை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதாகும், அங்கு இடது பக்கம் வெளிப்பாட்டின் சதுரம், மற்றும் வலது பக்கம் என்பது ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டின் சதுரம் ஆகும், அதன் குணகங்கள் . இதற்குப் பிறகு, இரண்டு இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இது உள்ளது: மற்றும் . நிச்சயமாக, அத்தகைய பிரதிநிதித்துவம் அளவுருவின் சிறப்பு தேர்வு மூலம் மட்டுமே சாத்தியமாகும். அதை வடிவத்தில் எடுத்துக்கொள்வது வசதியானது, பின்னர் சமன்பாடு பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படும்:

. (15)

இந்த சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் இருபடி முக்கோணமாகும். அதன் பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது அது ஒரு முழுமையான சதுரமாக இருக்கும், அதாவது.

, அல்லது

இந்த சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது கரைப்பான்(அதாவது "அனுமதி"). இது ஒப்பீட்டளவில் கனசதுரமானது, மேலும் கார்டானோவின் சூத்திரம் அதன் சில வேர்களைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது. சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் (15) வடிவம் எடுக்கும்போது

,

மற்றும் சமன்பாடு இரண்டு இருபடிக்கு குறைக்கப்படுகிறது:

.

அவற்றின் வேர்கள் அசல் சமன்பாட்டிற்கான அனைத்து தீர்வுகளையும் தருகின்றன.

உதாரணமாக, சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்

இங்கே ஆயத்த சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியாக இருக்கும், ஆனால் தீர்வின் யோசனை. சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்

மற்றும் வெளிப்பாட்டை இரு பக்கங்களிலும் சேர்க்கவும், இதனால் இடது பக்கத்தில் ஒரு முழுமையான சதுரம் உருவாகிறது:

இப்போது சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தின் பாகுபாட்டை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்:

அல்லது, எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பிறகு,

விளைந்த சமன்பாட்டின் வேர்களில் ஒன்றை, கட்டற்ற காலத்தின் வகுப்பிகளை வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் யூகிக்க முடியும்: . இந்த மதிப்பை மாற்றிய பின் நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

எங்கே . இதன் விளைவாக வரும் இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்கள் மற்றும் . நிச்சயமாக, பொதுவான வழக்கில் சிக்கலான வேர்களையும் பெறலாம்.

டெஸ்கார்ட்ஸ்-ஆய்லர் தீர்வு

மாற்றீடு மூலம் அது ஒரு "முழுமையற்ற" வடிவத்தில் குறைக்கப்படுகிறது

. (16)

நான்காவது பட்டத்தின் (16) "முழுமையற்ற" சமன்பாட்டின் வேர்கள் , , , வெளிப்பாடுகளில் ஒன்றிற்கு சமம்

இதில் அறிகுறிகளின் சேர்க்கைகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன, இதனால் நிபந்தனை திருப்தி அடைகிறது

எங்கே , மற்றும் கன சமன்பாட்டின் வேர்கள்

.

உயர் நிலை சமன்பாடுகள்

தீவிரவாதிகளில் தீர்வு

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம் பழங்காலத்திலிருந்தே அறியப்படுகிறது, மேலும் 16 ஆம் நூற்றாண்டில். இத்தாலிய இயற்கணிதவாதிகள் மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது டிகிரிகளின் சமன்பாடுகளை தீவிரவாதிகளில் தீர்த்தனர். எனவே, நான்காவது டிகிரிக்கு மிகாமல் இருக்கும் எந்த சமன்பாட்டின் வேர்களும் சமன்பாட்டின் குணகங்கள் மூலம் நான்கு எண்கணித செயல்பாடுகள் (கூடுதல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல்) மற்றும் ஒரு பட்டத்தின் வேர்களைப் பிரித்தெடுத்தல் ஆகியவற்றை மட்டுமே பயன்படுத்தும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன என்பது நிறுவப்பட்டது. சமன்பாட்டின் அளவை விட அதிகமாக இல்லை. மேலும், கொடுக்கப்பட்ட பட்டத்தின் அனைத்து சமன்பாடுகளும் () ஒரு பொதுவான சூத்திரத்தால் "சேவை" செய்யப்படலாம். சமன்பாட்டின் குணகங்களை அதில் மாற்றுவதன் மூலம், உண்மையான மற்றும் சிக்கலான அனைத்து வேர்களையும் பெறுகிறோம்.

இதற்குப் பிறகு, கேள்வி இயற்கையாகவே எழுந்தது: ஐந்தாவது பட்டம் மற்றும் அதற்கு மேற்பட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு ஒத்த பொதுவான சூத்திரங்கள் உள்ளதா? இதற்கான விடையை 19 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் நோர்வே கணிதவியலாளர் நீல்ஸ் ஹென்ரிக் ஏபெல் கண்டுபிடித்தார். சற்று முன்னதாக, இந்த முடிவு இத்தாலிய பாவ்லோ ருஃபினியால் சுட்டிக்காட்டப்பட்டது, ஆனால் போதுமான அளவு நிரூபிக்கப்படவில்லை. ஏபெல்-ருஃபினி தேற்றம் பின்வருமாறு:

மணிக்கு சக்தியின் பொதுவான சமன்பாடு தீவிரவாதிகளில் தீர்க்க முடியாதது.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட பட்டத்தின் அனைத்து சமன்பாடுகளுக்கும் பொருந்தக்கூடிய பொதுவான சூத்திரம் இல்லை. இருப்பினும், தீவிரவாதிகளில் உயர் டிகிரிகளின் சில குறிப்பிட்ட வகை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது சாத்தியமில்லை என்று இது அர்த்தப்படுத்துவதில்லை. ஏபெலியன் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படும் - தன்னிச்சையாக உயர் பட்டத்தின் பரந்த வகுப்பு சமன்பாடுகளுக்கு ஏபெல் தானே அத்தகைய தீர்வைக் கண்டுபிடித்தார். ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட இயற்கணித சமன்பாட்டின் வேர்களையும் அதன் குணகங்களின் மூலம் எண்கணித செயல்பாடுகள் மற்றும் தீவிரவாதிகளின் அறிகுறிகளைப் பயன்படுத்தி எழுத முடியும் என்ற உண்மையை கூட ஏபெல்-ருஃபினி தேற்றம் விலக்கவில்லை, குறிப்பாக, எந்த இயற்கணித எண், அதாவது. வடிவத்தின் சமன்பாட்டின் வேர்

முழு எண் குணகங்களுடன், பகுத்தறிவு எண்கள் மூலம் ரேடிக்கல்களில் வெளிப்படுத்தலாம். உண்மையில், அத்தகைய வெளிப்பாடு எப்போதும் இல்லை. இது இயற்கணித சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுத் தேற்றத்திலிருந்து, சிறந்த பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் எவரிஸ்டே கலோயிஸ் தனது "தீவிரநிலைகளில் சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கான நிலைமைகள் பற்றிய நினைவுக் குறிப்பு" (1832; 1846 இல் வெளியிடப்பட்டது) இல் கட்டமைக்கப்பட்டது.

பயன்பாட்டு சிக்கல்களில், சமன்பாட்டின் வேர்களின் தோராயமான மதிப்புகளில் மட்டுமே நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம் என்பதை நாங்கள் வலியுறுத்துகிறோம். எனவே, தீவிரவாதிகளில் அதன் தீர்வு பொதுவாக இங்கு ஒரு பாத்திரத்தை வகிக்காது. ஆயத்த சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகள் வழங்கியதை விடக் குறைவாக, முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் எந்தவொரு சமன்பாட்டின் வேர்களையும் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும் சிறப்பு கணக்கீட்டு முறைகள் உள்ளன.

தீர்க்கப்படும் சமன்பாடுகள்

உயர் பட்டங்களின் சமன்பாடுகள் பொதுவாக ரேடிகல்களில் தீர்க்க முடியாதவை என்றாலும், மூன்றாம் மற்றும் நான்காம் பட்டங்களின் சமன்பாடுகளுக்கான கார்டானோ மற்றும் ஃபெராரியின் சூத்திரங்கள் இயற்கணித பாடப்புத்தகங்களிலும் கல்லூரி நுழைவுத் தேர்வுகளிலும் சில சமயங்களில் சமன்பாடுகளை விட அதிகமான சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க வேண்டிய சிக்கல்கள் உள்ளன இரண்டாம் பட்டம். வழக்கமாக அவை சிறப்பாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன, இதனால் சமன்பாடுகளின் வேர்கள் சில அடிப்படை நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி கண்டறிய முடியும்.

இந்த நுட்பங்களில் ஒன்று பல்லுறுப்புக்கோவையின் பகுத்தறிவு வேர்களின் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது:

ஒரு குறைக்க முடியாத பின்னம் முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாக இருந்தால், அதன் எண் கட்டற்ற காலத்தின் வகுப்பான், மற்றும் வகுத்தல் என்பது முன்னணி குணகத்தின் வகுப்பான்.

அதை நிரூபிக்க, அதை சமன்பாட்டில் மாற்றவும், சமன்பாட்டை ஆல் பெருக்கவும். நாம் பெறுகிறோம்

இடதுபுறத்தில் உள்ள அனைத்து சொற்களும், கடைசி ஒன்றைத் தவிர, ஆல் வகுபடும், எனவே இது வகுக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒப்பீட்டளவில் பகா எண்களாக இருப்பதால், இது ஒரு வகுக்கும். என்பதற்கான ஆதாரம் ஒத்ததாகும்.

இந்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான "வேட்பாளர்களை" சோதிப்பதன் மூலம் முழு எண் குணகங்களுடன் கூடிய சமன்பாட்டின் அனைத்து பகுத்தறிவு வேர்களையும் நீங்கள் காணலாம். உதாரணமாக, சமன்பாட்டிற்கு

அதன் முன்னணி குணகம் 1, "வேட்பாளர்கள்" என்பது எண் -2 இன் வகுப்பிகளாக இருக்கும். அவற்றில் நான்கு மட்டுமே உள்ளன: 1, -1, 2 மற்றும் –2. இந்த எண்களில் ஒன்று மட்டுமே ரூட்:

ஒரு ரூட் கண்டுபிடிக்கப்பட்டால், நீங்கள் சமன்பாட்டின் அளவைக் குறைக்கலாம். பெசவுட்டின் தேற்றத்தின்படி,

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை பிரிப்பதன் மீதி சமமாக இருக்கும், அதாவது.

இது கோட்பாட்டிலிருந்து நேரடியாகப் பின்தொடர்கிறது

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் எனில், பல்லுறுப்புக்கோவையானது வகுக்கப்படும், அதாவது, பட்டம் 1ஐ விடக் குறைவாக உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை எங்கே.

எங்கள் உதாரணத்தைத் தொடர்வது, பல்லுறுப்புக்கோவையிலிருந்து எடுத்துக்கொள்வோம்

காரணி . அளவைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் ஒரு மூலையில் பிரிவைச் செய்யலாம்:

ஆனால் எளிதான வழி உள்ளது. எடுத்துக்காட்டில் இருந்து இது தெளிவாகிறது:

இப்போது எஞ்சியிருப்பது இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதுதான் . அதன் வேர்கள்:

.

நிச்சயமற்ற குணக முறை

முழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு பகுத்தறிவு வேர்கள் இல்லை என்றால், நீங்கள் அதை முழு எண் குணகங்களுடன் குறைந்த அளவு காரணிகளாக சிதைக்க முயற்சி செய்யலாம். உதாரணமாக, சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

அறியப்படாத (வரையறுக்கப்படாத) குணகங்களைக் கொண்ட இரண்டு சதுர முக்கோணங்களின் விளைபொருளாக இடது பக்கத்தை கற்பனை செய்வோம்:

வலது பக்கத்தில் உள்ள அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, ஒத்தவற்றைக் கொடுப்போம்:

இப்போது, ​​இரண்டு பகுதிகளிலும் ஒரே சக்திகளில் குணகங்களை சமன் செய்தால், நாம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்.

இந்த அமைப்பை ஒரு பொதுவான வடிவத்தில் தீர்க்கும் முயற்சியானது அசல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு நம்மை மீண்டும் அழைத்துச் செல்லும். ஆனால் முழு வேர்கள், அவை இருந்தால், தேர்வு மூலம் கண்டுபிடிக்க கடினமாக இல்லை. பொதுத்தன்மையை இழக்காமல், கடைசி சமன்பாடு இரண்டு விருப்பங்களை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் என்பதைக் காட்டுகிறது: , மற்றும் . இந்த ஜோடி மதிப்புகளை மீதமுள்ள சமன்பாடுகளில் மாற்றுவதன் மூலம், அவற்றில் முதலாவது விரும்பிய விரிவாக்கத்தை அளிக்கிறது என்று நாங்கள் நம்புகிறோம்: இந்த தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களின் முறை .

சமன்பாடு வடிவம் , எங்கே மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருந்தால், மாற்றீடு அதன் தீர்வை குறைந்த டிகிரிகளின் இரண்டு சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கு குறைக்கிறது: மற்றும் .

பரஸ்பர சமன்பாடுகள்

ஒரு பரஸ்பர இயற்கணித சமன்பாடு என்பது படிவத்தின் சம அளவின் சமன்பாடு ஆகும்

இதில் குணகங்கள், முனைகளிலிருந்து சமமாக இடைவெளியில், சமமாக இருக்கும்: , முதலியன. அத்தகைய சமன்பாடு பாதி அளவு சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்பட்டு பின்னர் மாற்றுவதன் மூலம் வகுக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக, சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

அதை வகுத்தால் (இது சட்டபூர்வமானது, இது ஒரு ரூட் அல்ல), நாம் பெறுகிறோம்

.

அதை கவனி

.

எனவே, அளவு இருபடி சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கிறது

,

சமன்பாட்டிலிருந்து கண்டுபிடிக்கக்கூடிய தீர்வு .

உயர் டிகிரிகளின் பரஸ்பர சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​எந்தவொரு வெளிப்பாட்டையும் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் குறிப்பிடலாம் என்ற உண்மையை அவை வழக்கமாகப் பயன்படுத்துகின்றன.

பகுத்தறிவு இயற்கணித சமன்பாடுகள்

பகுத்தறிவுஇயற்கணித சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்

பகுத்தறிவு இயற்கணித சமன்பாட்டின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பு (17)

நிபந்தனையால் வழங்கப்படுகிறது, அதாவது, , , ..., எங்கே , , ..., பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள்.

சமன்பாட்டை (17) தீர்க்கும் முறை பின்வருமாறு. சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

யாருடைய வேர்களை நாம் குறிக்கிறோம்

.

நாம் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேர்களின் தொகுப்புகளை ஒப்பிடுகிறோம் மற்றும் . ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் எந்த வேரும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் அல்ல என்றால், பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து வேர்களும் சமன்பாட்டின் வேர்கள் (17). ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் எந்த மூலமும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாக இருந்தால், பெருக்கத்தில் இருந்து ஒப்பிடுவது அவசியம்: பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலத்தின் பெருக்கம் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலத்தின் பெருக்கத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், இந்த வேர் ஒரு வேர் ஆகும். (17) ஈவுத்தொகை மற்றும் வகுப்பியின் வேர்களின் பெருக்கல்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாட்டிற்கு சமமான பெருக்கத்துடன்; இல்லையெனில், பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமானது பகுத்தறிவுச் சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல (17).

உதாரணமாக சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்

எங்கே , .

பல்லுறுப்புக்கோவை இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது (இரண்டும் எளிமையானது):

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு ஒரு எளிய வேர் உள்ளது. எனவே, சமன்பாட்டிற்கு ஒரு உண்மையான வேர் உள்ளது.

சிக்கலான எண்களின் தொகுப்பில் அதே சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், சமன்பாடு சுட்டிக்காட்டப்பட்ட உண்மையான ரூட்டுடன் கூடுதலாக இரண்டு சிக்கலான கூட்டு வேர்களைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம்:

பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகள்

தீவிர அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத (அல்லது அறியப்படாத ஒரு பகுத்தறிவு இயற்கணித வெளிப்பாடு) கொண்ட ஒரு சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடு. தொடக்கக் கணிதத்தில், பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகள் உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில் காணப்படுகின்றன.

எந்தவொரு பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டையும் அடிப்படை இயற்கணித செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு பகுத்தறிவு இயற்கணித சமன்பாட்டிற்குக் குறைக்கலாம் (பெருக்கல், வகுத்தல், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு முழு எண்ணாக உயர்த்துதல்). இதன் விளைவாக வரும் பகுத்தறிவு இயற்கணித சமன்பாடு அசல் பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டிற்கு சமமானதாக மாறக்கூடும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், அதாவது அசல் பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டின் வேர்களாக இல்லாத "கூடுதல்" வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம். எனவே, பகுத்தறிவு இயற்கணித சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிந்த பிறகு, பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களும் பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்குமா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டும்.

பொது வழக்கில், எந்தவொரு பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டையும் தீர்ப்பதற்கான எந்தவொரு உலகளாவிய முறையைக் குறிப்பிடுவது கடினம், ஏனெனில் அசல் பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டின் மாற்றங்களின் விளைவாக, அதன் வேர்கள் மத்தியில் சில பகுத்தறிவு இயற்கணித சமன்பாடு மட்டுமல்ல. கொடுக்கப்பட்ட பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டின் வேர்கள் இருக்கும், ஆனால் ஒரு பகுத்தறிவு இயற்கணித சமன்பாடு சாத்தியமான மிகச்சிறிய அளவிலான பல்லுறுப்புக்கோவைகளிலிருந்து உருவாகிறது. பகுத்தறிவு இயற்கணித சமன்பாட்டை முடிந்தவரை சிறிய அளவிலான பல்லுறுப்புக்கோவைகளிலிருந்து உருவாகும் அந்த பகுத்தறிவு இயற்கணித சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்கான விருப்பம் மிகவும் இயற்கையானது, ஏனெனில் ஒரு பகுத்தறிவு இயற்கணித சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் கடினமான பணியாக மாறும், அதை நாம் முழுமையாக தீர்க்க முடியும். மிகக் குறைந்த எண்ணிக்கையிலான வழக்குகளில்.

பகுத்தறிவற்ற இயற்கணித சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சில நிலையான, அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் முறைகளை முன்வைப்போம்.

1) பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய முறைகளில் ஒன்று, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பொருத்தமான இயற்கை சக்திக்கு அடுத்தடுத்து உயர்த்துவதன் மூலம் தீவிரவாதிகளை அகற்றும் முறையாகும். சமன்பாட்டின் இருபுறமும் ஒற்றைப்படை சக்தியாக உயர்த்தப்படும்போது, ​​அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு அசல் ஒன்றிற்குச் சமமாக இருக்கும் என்பதையும், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் சம சக்தியாக உயர்த்தப்படும்போது, ​​விளையும் சமன்பாடு பொதுவாக இருக்கும் என்பதையும் மனதில் கொள்ள வேண்டும். பேசுவது, அசல் சமன்பாட்டிற்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் உயர்த்துவதன் மூலம் இதை எளிதாக சரிபார்க்கலாம்

எந்த அளவிற்கும். இந்த செயல்பாட்டின் விளைவாக சமன்பாடு உள்ளது

யாருடைய தீர்வு தொகுப்பு என்பது தீர்வு தொகுப்புகளின் ஒன்றியம்:

மற்றும் .

இருப்பினும், இந்த குறைபாடு இருந்தபோதிலும், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் சில (பெரும்பாலும் கூட) சக்திக்கு உயர்த்தும் செயல்முறை இது ஒரு பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டை ஒரு பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டைக் குறைப்பதற்கான மிகவும் பொதுவான செயல்முறையாகும்.

எங்கே , , சில பல்லுறுப்புக்கோவைகள்.

உண்மையான எண்களின் தொகுப்பில் ஒரு மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கும் செயல்பாட்டின் வரையறையின் காரணமாக, தெரியாதவற்றின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் நிபந்தனைகளால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் (18) வகுப்பதன் மூலம், நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

மீண்டும் ஸ்கொயர் செய்த பிறகு, சமன்பாடு ஒரு இயற்கணித சமன்பாடாக மாறும்

சமன்பாட்டின் (18) இரு பக்கங்களும் சதுரமாக இருப்பதால், சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களும் (19) அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளாக இருக்காது என்று மாறிவிடும்.

2) பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு, புதிய அறியப்படாதவற்றை அறிமுகப்படுத்தும் முறையாகும், இது ஒரு எளிய பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடு அல்லது ஒரு பகுத்தறிவு சமன்பாடு பெறப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2. பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

.

இந்த சமன்பாட்டிற்கான செல்லுபடியாகும் மதிப்புகளின் தொகுப்பு:

வைத்து, மாற்றியமைத்த பிறகு நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

அல்லது சமமான சமன்பாடு

பொறுத்து ஒரு இருபடி சமன்பாடு கருதலாம். இந்த சமன்பாட்டை தீர்ப்பது, நாம் பெறுகிறோம்

எனவே, அசல் பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டின் தீர்வுத் தொகுப்பு பின்வரும் இரண்டு சமன்பாடுகளின் தீர்வுத் தொகுப்புகளின் ஒன்றியமாகும்:

, .

இந்த சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு கனசதுரமாக உயர்த்தினால், நாம் இரண்டு பகுத்தறிவு இயற்கணித சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்:

, .

இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம், இந்த பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒற்றை வேர் இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

முடிவில், பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​சமன்பாடுகளின் இரு பக்கங்களையும் இயற்கையான சக்தியாக உயர்த்துவதன் மூலம் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கத் தொடங்கக்கூடாது, பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டின் தீர்வை ஒரு பகுத்தறிவு இயற்கணித சமன்பாட்டின் தீர்வுக்கு குறைக்க முயற்சிக்க வேண்டும். முதலில் நாம் சமன்பாட்டின் சில ஒத்த மாற்றங்களைச் செய்ய முடியுமா என்று பார்க்க வேண்டும், அது அதன் தீர்வை கணிசமாக எளிதாக்குகிறது.

. (20)

இந்த சமன்பாட்டிற்கான ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பு: இந்த சமன்பாட்டின் பின்வரும் மாற்றங்களைச் செய்வோம்:

.

,

சமன்பாடு தீர்வுகளை கொண்டிருக்காது;

சமன்பாட்டை எப்போது எழுதலாம்

.

சமன்பாட்டின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பைச் சேர்ந்த எந்தவொரு சமன்பாட்டிற்கும் தீர்வுகள் இல்லாதபோது, ​​சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாடு நேர்மறையாக இருக்கும்.

சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு இருக்கும்போது

.

சமன்பாட்டிற்கான ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய தீர்வுகளின் தொகுப்பு நிபந்தனையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, இறுதியாக நாம் பெறுகிறோம்:

பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது (20) இருக்கும்

.

மற்ற எல்லா மதிப்புகளுக்கும், சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை, அதாவது அதன் தீர்வுகளின் தொகுப்பு வெற்றுத் தொகுப்பாகும்.

முழுமையான மதிப்பு அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத சமன்பாடுகள்

ஒரு முழுமையான மதிப்பு அடையாளத்துடன் அறியப்படாத சமன்பாடுகள் மாடுலஸின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு முழுமையான மதிப்பு அடையாளம் இல்லாமல் சமன்பாடுகளாக குறைக்கப்படலாம். எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

(21)

கூடுதல் நிபந்தனைகளுடன் இரண்டு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு குறைக்கிறது.

1) என்றால், சமன்பாடு (21) படிவத்தில் குறைக்கப்படுகிறது

. (22)

இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள்:, . இருபடிச் சமன்பாட்டின் (22) இரண்டாவது மூலத்தால் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது, மேலும் எண் 3 என்பது சமன்பாட்டின் வேர் (21).

2) என்றால், சமன்பாடு (21) படிவத்தில் குறைக்கப்படுகிறது

.

இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் மற்றும் . முதல் வேர் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யவில்லை, எனவே இந்த சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு இல்லை (21).

எனவே, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் (21) எண்கள் 3 மற்றும் .

முழுமையான மதிப்பு அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத ஒரு சமன்பாட்டின் குணகங்களைத் தேர்ந்தெடுக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் எண் அச்சின் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் அறியப்படாத அனைத்து மதிப்புகளாக இருக்கும். உதாரணமாக, சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்

. (23)

எண் அச்சு ஆக்ஸைப் பார்த்து, அதில் 0 மற்றும் 3 புள்ளிகளைக் குறிக்கவும் (முழுமையான மதிப்பு அடையாளத்தின் கீழ் செயல்பாடுகளின் பூஜ்ஜியங்கள்). இந்த புள்ளிகள் எண் கோட்டை மூன்று இடைவெளிகளாக பிரிக்கும் (படம் 1):

1) சமன்பாடு (23) வடிவத்தில் குறைக்கப்படும் போது

இடைவெளியில், கடைசி சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை.

இதேபோல், சமன்பாடு (23) வடிவத்தில் குறைக்கப்படும் போது

மற்றும் இடைவெளியில் தீர்வுகள் இல்லை.

2) சமன்பாடு (23) வடிவத்தில் குறைக்கப்படும் போது

,

அதாவது அடையாளமாக மாறுகிறது. எனவே, எந்த மதிப்பும் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும் (23).

ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள்

இயற்கணித மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி இயற்கணித சமன்பாட்டிற்குக் குறைக்க முடியாத ஒரு சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது ஆழ்நிலை சமன்பாடு ).

மிக எளிமையான ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள் அதிவேக, மடக்கை மற்றும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் ஆகும்.

அதிவேக சமன்பாடுகள்

அதிவேக சமன்பாடுஒரு சமன்பாடு, இதில் தெரியாதது சில நிலையான தளங்களுக்கான அடுக்குகளில் மட்டுமே தோன்றும்.

எளிமையான அதிவேக சமன்பாடு, இயற்கணித சமன்பாட்டின் தீர்வுக்கு குறைக்கும் தீர்வு, வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்.

சில நேர்மறை எண்கள் எங்கே மற்றும் உள்ளன. அதிவேக சமன்பாடு (24) இயற்கணித சமன்பாட்டிற்கு சமம்

.

எளிமையான வழக்கில், எப்போது , அதிவேக சமன்பாடு (24) ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது

படிவத்தின் அதிவேக சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு

சில பல்லுறுப்புக்கோவை எங்கே, பின்வருமாறு காணப்படுகிறது.

ஒரு புதிய மாறி அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் சமன்பாடு (25) அறியப்படாததைப் பொறுத்து இயற்கணிதமாக தீர்க்கப்படுகிறது. இதற்குப் பிறகு, அசல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது (25) படிவத்தின் (24) எளிய அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதாகக் குறைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுதல்

மற்றும் ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்தி, மாறியைப் பொறுத்து ஒரு கன சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

இந்த கன சமன்பாடு ஒரு பகுத்தறிவு வேர் மற்றும் இரண்டு பகுத்தறிவற்ற வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதைச் சரிபார்க்க எளிதானது: மற்றும் .

எனவே, அசல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது எளிமையான அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு குறைக்கப்படுகிறது:

கடைசியாக பட்டியலிடப்பட்டதில் தீர்வு சமன்பாடுகள் இல்லை. முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு:

சில எளிய காட்டி சமன்பாடுகள்:

1) படிவத்தின் சமன்பாடு

.

2) படிவத்தின் சமன்பாடு

மாற்றீடு ஒரு இருபடி சமன்பாட்டிற்கு குறைகிறது

.

3) படிவத்தின் சமன்பாடு

மாற்றீடு ஒரு இருபடி சமன்பாட்டிற்கு குறைகிறது

.

மடக்கை சமன்பாடுகள்

மடக்கைஒரு சமன்பாடு என்பது ஒரு சமன்பாடு ஆகும், இதில் தெரியாதது ஒரு மடக்கை செயல்பாட்டிற்கு ஒரு வாதமாக தோன்றும்.

எளிமையான மடக்கை சமன்பாடு வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்

, (26)

சில நேர்மறை எண் ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டது, அது உண்மையான எண்ணாகும். மடக்கைச் சமன்பாடு (26) இயற்கணிதச் சமன்பாட்டிற்குச் சமம்

எளிமையான வழக்கில், எப்போது , மடக்கைச் சமன்பாடு (26) ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது

படிவத்தின் மடக்கைச் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு , குறிப்பிட்ட தெரியாதவற்றின் சில பல்லுறுப்புக்கோவை எங்கே, பின்வருமாறு காணப்படுகிறது.

ஒரு புதிய மாறி அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மற்றும் சமன்பாடு (25) க்கான இயற்கணித சமன்பாடு என தீர்க்கப்படுகிறது. இதற்குப் பிறகு, படிவத்தின் (25) எளிமையான மடக்கைச் சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

தெரியாதவற்றுடன் ஒப்பிடுகையில், இந்த சமன்பாடு இருபடி ஆகும்:

.

இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள்: , .

மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

மடக்கைச் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளைப் பெறுகிறோம் (27): , .

சில சந்தர்ப்பங்களில், இயற்கணிதம் மற்றும் எளிய மடக்கை சமன்பாடுகளின் தொடர் தீர்வுக்கு மடக்கை சமன்பாட்டின் தீர்வைக் குறைக்க, முதலில் சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மடக்கைகளின் பொருத்தமான மாற்றங்களைச் செய்வது அவசியம். இத்தகைய மாற்றங்கள் இரண்டு அளவுகளின் மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையை இந்த அளவுகளின் பெருக்கத்தின் மடக்கையாக மாற்றுவது, ஒரு தளத்தைக் கொண்ட மடக்கையிலிருந்து மற்றொரு தளத்துடன் மடக்கைக்கு மாறுவது போன்றவை.

எடுத்துக்காட்டு 2. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

இந்த சமன்பாட்டின் தீர்வை இயற்கணித மற்றும் எளிய மடக்கை சமன்பாடுகளின் வரிசையான தீர்வுக்குக் குறைக்க, முதலில் அனைத்து மடக்கைகளையும் ஒரு தளமாகக் குறைக்க வேண்டும் (இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக, அடிப்படை 2 க்கு). இதைச் செய்ய, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

,

அதன் மூலம் . சமமான மதிப்பை சமன்பாட்டில் (28) மாற்றினால், நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

மாற்று இந்த சமன்பாடு அறியப்படாத ஒரு இருபடி சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கிறது:

.

இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள்: , . நாங்கள் சமன்பாடுகளை தீர்க்கிறோம் மற்றும் :

,

எடுத்துக்காட்டு 3. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

இரண்டு அளவுகளின் மடக்கைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை இந்த அளவுகளின் மடக்கையின் மடக்கையாக மாற்றுதல்:

இந்த சமன்பாட்டை எளிமையான மடக்கை சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கிறோம்

.

முடிவுரை

கணிதம், மற்ற விஞ்ஞானங்களைப் போல, சமூகத்தின் வளர்ச்சியுடன் நின்றுவிடாது, மக்களின் பார்வைகள் மாறுகின்றன, புதிய எண்ணங்கள் மற்றும் யோசனைகள் எழுகின்றன. இந்த அர்த்தத்தில் 20 ஆம் நூற்றாண்டு விதிவிலக்கல்ல. கணினிகளின் வருகை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறைகளில் மாற்றங்களைச் செய்து அவற்றை மிகவும் எளிதாக்கியது. ஆனால் ஒரு கணினி எப்போதும் கையில் இருக்காது (தேர்வு, சோதனை), எனவே சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மிக முக்கியமான வழிகளைப் பற்றிய அறிவு அவசியம். அன்றாட வாழ்வில் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவது அரிது. பொருளாதாரத்தின் பல துறைகளிலும் கிட்டத்தட்ட அனைத்து சமீபத்திய தொழில்நுட்பங்களிலும் அவர்கள் தங்கள் பயன்பாட்டைக் கண்டறிந்துள்ளனர்.

இந்த வேலையில், சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அனைத்து முறைகளும் மற்றும் அவற்றின் அனைத்து வகைகளும் கூட வழங்கப்படவில்லை, ஆனால் மிக அடிப்படையானவை மட்டுமே. சில சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது எனது கட்டுரை ஒரு நல்ல குறிப்புப் பொருளாக இருக்கும் என்று நம்புகிறேன். முடிவில், இந்த கட்டுரையை எழுதும் போது, ​​எல்லா வகையான சமன்பாடுகளையும் காட்ட வேண்டும் என்ற இலக்கை நான் அமைத்துக் கொள்ளாமல், என்னிடம் உள்ள பொருளை மட்டுமே முன்வைத்தேன் என்பதை நான் கவனிக்க விரும்புகிறேன்.

பயன்படுத்திய இலக்கியங்களின் பட்டியல்

தலை. எட். எம்.டி. அக்செனோவா. குழந்தைகளுக்கான கலைக்களஞ்சியம். தொகுதி 11. கணிதம். – எம்.: அவந்தா+, 1998. – 688 பக்.

சிப்கின் ஏ.ஜி. எட். எஸ். ஏ. ஸ்டெபனோவா. மேல்நிலைப் பள்ளிக்கான கணிதக் கையேடு. – எம்.: நௌகா, 1980.- 400 பக்.

ஜி.கார்ன் மற்றும் டி.கார்ன். விஞ்ஞானிகள் மற்றும் பொறியாளர்களுக்கான கணிதத்தின் கையேடு. – எம்.: நௌகா, 1970.- 720 பக்.

) கீழ் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடியதுகடிதங்களின் எண் மதிப்புகள் புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன, அதற்காக சமத்துவத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள எழுத்துக்களில் செய்யப்படும் அனைத்து செயல்பாடுகளும் சாத்தியமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, சமத்துவத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள எழுத்துக்களின் செல்லுபடியாகும் மதிப்புகள்

பின்வருவனவாக இருக்கும்; க்கு ; , க்கான

) a மற்றும் b வெவ்வேறு அடையாளங்களைக் கொண்டிருந்தால், .

) வழக்கு விவாதிக்கப்பட்டதைப் போன்றது.

) கீழ் இயற்கணித மாற்றங்கள்சமன்பாடுகள்

பின்வரும் மாற்றங்களைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள்:

1) சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் ஒரே இயற்கணித வெளிப்பாட்டைச் சேர்த்தல்;

2) சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரே இயற்கணித வெளிப்பாட்டால் பெருக்குதல்;

3) சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு பகுத்தறிவு சக்தியாக உயர்த்துதல்.

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

• நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், மின்னஞ்சல் முகவரி போன்ற பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம்.

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

• நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவல்கள், தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகளுடன் உங்களைத் தொடர்புகொள்ள அனுமதிக்கிறது.
• அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
• நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
• பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

• தேவைப்பட்டால் - சட்டம், நீதித்துறை நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் உள்ள அரசாங்க அதிகாரிகளிடமிருந்து பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
• மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன அளவில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பாக இருப்பதை உறுதிசெய்ய, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

சமத்துவங்கள் என்ற கருத்தை நாம் படித்த பிறகு, அவற்றின் வகைகளில் ஒன்று - எண் சமத்துவங்கள், நாம் மற்றொரு முக்கியமான வகை - சமன்பாடுகளுக்கு செல்லலாம். இந்த பொருளின் கட்டமைப்பிற்குள், ஒரு சமன்பாடு மற்றும் அதன் வேர் என்ன என்பதை விளக்குவோம், அடிப்படை வரையறைகளை உருவாக்கி, சமன்பாடுகளின் பல்வேறு எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம் மற்றும் அவற்றின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.

சமன்பாட்டின் கருத்து

பொதுவாக, சமன்பாட்டின் கருத்து பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்தின் ஆரம்பத்திலேயே கற்பிக்கப்படுகிறது. பின்னர் அது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

வரையறை 1

சமன்பாடுகண்டுபிடிக்க வேண்டிய அறியப்படாத எண்ணுடன் சமத்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சிறிய லத்தீன் எழுத்துக்களில் தெரியாதவற்றைக் குறிப்பிடுவது வழக்கம், எடுத்துக்காட்டாக, t, r, m, முதலியன, ஆனால் x, y, z ஆகியவை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், சமன்பாடு அதன் பதிவின் வடிவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அதாவது, ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்தில் குறைக்கப்படும்போது மட்டுமே சமத்துவம் ஒரு சமன்பாடாக இருக்கும் - அதில் ஒரு கடிதம் இருக்க வேண்டும், கண்டுபிடிக்க வேண்டிய மதிப்பு.

எளிமையான சமன்பாடுகளுக்கு சில உதாரணங்களைத் தருவோம். இவை x = 5, y = 6 போன்ற வடிவங்களின் சமத்துவங்களாக இருக்கலாம், அத்துடன் எண்கணித செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கியவை, எடுத்துக்காட்டாக, x + 7 = 38, z - 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

அடைப்புக்குறிகளின் கருத்து ஆய்வு செய்யப்பட்ட பிறகு, அடைப்புக்குறிகளுடன் சமன்பாடுகளின் கருத்து தோன்றுகிறது. இதில் 7 · (x - 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x - 8)) = 3, போன்றவை அடங்கும். கண்டுபிடிக்க வேண்டிய கடிதம் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை தோன்றும், ஆனால் பல முறை, போன்ற , எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாட்டில் x + 2 + 4 · x - 2 - x = 10 . மேலும், தெரியாதவை இடதுபுறத்தில் மட்டுமல்ல, வலதுபுறத்திலும் அல்லது இரண்டு பகுதிகளிலும் ஒரே நேரத்தில் அமைந்திருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 அல்லது 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

மேலும், முழு எண்கள், நிஜங்கள், பகுத்தறிவுகள், இயற்கை எண்கள், மடக்கைகள், வேர்கள் மற்றும் சக்திகள் போன்ற கருத்துகளை மாணவர்கள் நன்கு அறிந்த பிறகு, இந்த அனைத்து பொருட்களையும் உள்ளடக்கிய புதிய சமன்பாடுகள் தோன்றும். அத்தகைய வெளிப்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு நாங்கள் ஒரு தனி கட்டுரையை அர்ப்பணித்துள்ளோம்.

7 ஆம் வகுப்பு பாடத்திட்டத்தில், மாறிகள் என்ற கருத்து முதல் முறையாக தோன்றுகிறது. இவை வெவ்வேறு அர்த்தங்களைப் பெறக்கூடிய எழுத்துக்கள் (மேலும் விவரங்களுக்கு, எண், எழுத்து மற்றும் மாறி வெளிப்பாடுகள் பற்றிய கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). இந்த கருத்தின் அடிப்படையில், நாம் சமன்பாட்டை மறுவரையறை செய்யலாம்:

வரையறை 2

சமன்பாடுமதிப்பு கணக்கிடப்பட வேண்டிய மாறியை உள்ளடக்கிய சமத்துவமாகும்.

அதாவது, எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாடு x + 3 = 6 x + 7 என்பது மாறி x உடன் ஒரு சமன்பாடு ஆகும், மேலும் 3 y - 1 + y = 0 என்பது மாறி y உடன் ஒரு சமன்பாடு ஆகும்.

ஒரு சமன்பாடு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளைக் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவை. அவை முறையே இரண்டு, மூன்று மாறிகள் போன்ற சமன்பாடுகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. வரையறையை எழுதுவோம்:

வரையறை 3

இரண்டு (மூன்று, நான்கு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகள், அறியப்படாத எண்ணிக்கையை உள்ளடக்கிய சமன்பாடுகள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, 3, 7 x + 0, 6 = 1 என்ற படிவத்தின் சமத்துவம் என்பது ஒரு மாறி x உடன் ஒரு சமன்பாடு ஆகும், மேலும் x - z = 5 என்பது x மற்றும் z ஆகிய இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடு ஆகும். மூன்று மாறிகள் கொண்ட சமன்பாட்டின் உதாரணம் x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 ஆகும்.

சமன்பாட்டின் வேர்

நாம் ஒரு சமன்பாட்டைப் பற்றி பேசும்போது, ​​அதன் மூலத்தின் கருத்தை வரையறுக்க வேண்டிய அவசியம் உடனடியாக எழுகிறது. இதன் பொருள் என்ன என்பதை விளக்க முயற்சிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

ஒரு மாறியை உள்ளடக்கிய ஒரு குறிப்பிட்ட சமன்பாடு நமக்கு வழங்கப்படுகிறது. தெரியாத எழுத்துக்கு ஒரு எண்ணை மாற்றினால், சமன்பாடு ஒரு எண் சமத்துவமாக மாறும் - உண்மை அல்லது பொய். எனவே, a + 1 = 5 என்ற சமன்பாட்டில் எழுத்தை எண் 2 உடன் மாற்றினால், சமத்துவம் தவறானதாக மாறும், மேலும் 4 என்றால், சரியான சமத்துவம் 4 + 1 = 5 ஆக இருக்கும்.

மாறி உண்மையான சமத்துவமாக மாறும் துல்லியமான மதிப்புகளில் நாங்கள் அதிக ஆர்வமாக உள்ளோம். அவை வேர்கள் அல்லது தீர்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. வரையறையை எழுதுவோம்.

வரையறை 4

சமன்பாட்டின் வேர்கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை உண்மையான சமத்துவமாக மாற்றும் மாறியின் மதிப்பை அவர்கள் அழைக்கிறார்கள்.

மூலத்தை ஒரு தீர்வு என்றும் அழைக்கலாம், அல்லது நேர்மாறாகவும் - இந்த இரண்டு கருத்துக்களும் ஒரே பொருளைக் குறிக்கின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 2

இந்த வரையறையை தெளிவுபடுத்த ஒரு உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். மேலே ஒரு + 1 = 5 என்ற சமன்பாட்டைக் கொடுத்தோம். வரையறையின்படி, இந்த வழக்கில் ரூட் 4 ஆக இருக்கும், ஏனென்றால் ஒரு எழுத்துக்கு பதிலாக அது சரியான எண் சமத்துவத்தை அளிக்கிறது, மேலும் இரண்டு ஒரு தீர்வாக இருக்காது, ஏனெனில் இது தவறான சமத்துவம் 2 + 1 = 5 உடன் ஒத்துள்ளது.

ஒரு சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம்? ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் ஒரு ரூட் உள்ளதா? இந்தக் கேள்விகளுக்கு விடை காண்போம்.

ஒற்றை வேர் இல்லாத சமன்பாடுகளும் உள்ளன. ஒரு உதாரணம் 0 x = 5 ஆகும். எண்ணற்ற எண்ணிக்கையிலான வெவ்வேறு எண்களை நாம் அதில் மாற்றலாம், ஆனால் அவை எதுவும் உண்மையான சமத்துவமாக மாற்றாது, ஏனெனில் 0 ஆல் பெருக்குவது எப்போதும் 0 ஐ அளிக்கிறது.

பல வேர்களைக் கொண்ட சமன்பாடுகளும் உள்ளன. அவை வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எண்ணற்ற வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

எனவே, x - 2 = 4 என்ற சமன்பாட்டில் ஒரே ஒரு வேர் மட்டுமே உள்ளது - ஆறு, x 2 = 9 இல் இரண்டு வேர்கள் - மூன்று மற்றும் கழித்தல் மூன்று, x · (x - 1) · (x - 2) = 0 மூன்று வேர்கள் - பூஜ்யம், ஒன்று மற்றும் இரண்டு, x=x சமன்பாட்டில் எண்ணற்ற பல வேர்கள் உள்ளன.

சமன்பாட்டின் வேர்களை எவ்வாறு சரியாக எழுதுவது என்பதை இப்போது விளக்குவோம். எதுவும் இல்லை என்றால், நாம் எழுதுகிறோம்: "சமன்பாடுக்கு வேர்கள் இல்லை." இந்த வழக்கில், நீங்கள் வெற்று தொகுப்பின் அடையாளத்தையும் குறிக்கலாம் ∅. வேர்கள் இருந்தால், அவற்றை காற்புள்ளிகளால் பிரித்து எழுதுகிறோம் அல்லது ஒரு தொகுப்பின் கூறுகளாகக் குறிப்பிடுகிறோம், அவற்றை சுருள் பிரேஸ்களில் இணைக்கிறோம். எனவே, எந்த சமன்பாட்டிற்கும் மூன்று வேர்கள் இருந்தால் - 2, 1 மற்றும் 5, நாம் எழுதுகிறோம் - 2, 1, 5 அல்லது (- 2, 1, 5).

எளிய சமத்துவங்களின் வடிவத்தில் வேர்களை எழுத அனுமதிக்கப்படுகிறது. எனவே, சமன்பாட்டில் தெரியாதது y என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்பட்டால், வேர்கள் 2 மற்றும் 7 ஆக இருந்தால், நாம் y = 2 மற்றும் y = 7 என்று எழுதுகிறோம். சில நேரங்களில் சப்ஸ்கிரிப்டுகள் எழுத்துக்களில் சேர்க்கப்படும், எடுத்துக்காட்டாக, x 1 = 3, x 2 = 5. இந்த வழியில் நாம் வேர்களின் எண்ணிக்கையை சுட்டிக்காட்டுகிறோம். சமன்பாடு எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டிருந்தால், பதிலை ஒரு எண் இடைவெளியாக எழுதுகிறோம் அல்லது பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்: இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு N, முழு எண்கள் - Z, உண்மையான எண்கள் - R எனக் குறிக்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டின் தீர்வு ஏதேனும் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும் என்று எழுத வேண்டுமானால், x ∈ Z என்றும், ஒன்று முதல் ஒன்பது வரை ஏதேனும் உண்மையான எண்ணாக இருந்தால், y ∈ 1, 9 என்றும் எழுதுவோம்.

ஒரு சமன்பாட்டில் இரண்டு, மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வேர்கள் இருந்தால், ஒரு விதியாக, நாம் வேர்களைப் பற்றி அல்ல, ஆனால் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளைப் பற்றி பேசுகிறோம். பல மாறிகள் கொண்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வின் வரையறையை உருவாக்குவோம்.

வரையறை 5

இரண்டு, மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை சரியான எண் சமத்துவமாக மாற்றும் மாறிகளின் இரண்டு, மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மதிப்புகள் ஆகும்.

விளக்கத்தை எடுத்துக்காட்டுகளுடன் விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4

x + y = 7 என்ற வெளிப்பாடு உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், இது இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடு ஆகும். முதல்வருக்குப் பதிலாக ஒன்றையும், இரண்டாவதாக இரண்டையும் மாற்றுவோம். நாம் ஒரு தவறான சமத்துவத்தைப் பெறுவோம், அதாவது இந்த ஜோடி மதிப்புகள் இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாக இருக்காது. நாம் ஜோடி 3 மற்றும் 4 ஐ எடுத்துக் கொண்டால், சமத்துவம் உண்மையாகிறது, அதாவது நாம் ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடித்தோம்.

அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கு வேர்கள் இல்லாமல் இருக்கலாம் அல்லது அவற்றின் எண்ணற்ற எண்ணிக்கையும் இருக்கலாம். நாம் இரண்டு, மூன்று, நான்கு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மதிப்புகளை எழுத வேண்டும் என்றால், அடைப்புக்குறிக்குள் காற்புள்ளிகளால் பிரிக்கப்பட்டதை எழுதுகிறோம். அதாவது, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், பதில் (3, 4) போல் இருக்கும்.

நடைமுறையில், நீங்கள் பெரும்பாலும் ஒரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைக் கையாள வேண்டும். சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட கட்டுரையில் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையை விரிவாகக் கருதுவோம்.

உரையில் பிழையை நீங்கள் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்