அறுவை சிகிச்சைக்குப் பிறகு நான் சொற்பொழிவு செய்ய முடிந்தவுடன், மாணவர்கள் கேட்ட முதல் கேள்வி:

4 பரிமாண கனசதுரத்தை எப்போது வரைவீர்கள்? இலியாஸ் அப்துல்கேவிச் எங்களுக்கு உறுதியளித்தார்!

எனது அன்பான நண்பர்கள் சில சமயங்களில் கணித கல்வி நடவடிக்கைகளின் ஒரு தருணத்தை விரும்புவதை நான் நினைவில் கொள்கிறேன். எனவே, கணிதவியலாளர்களுக்கான எனது விரிவுரையின் ஒரு பகுதியை இங்கு எழுதுகிறேன். மேலும் சலிப்படையாமல் முயற்சிப்பேன். சில இடங்களில் நான் விரிவுரையை மிகவும் கண்டிப்புடன் படித்தேன்.

முதலில் ஒத்துக் கொள்வோம். 4-பரிமாண, மேலும் 5-6-7- மற்றும் பொதுவாக கே-பரிமாண இடைவெளி உணர்வு உணர்வுகளில் நமக்கு வழங்கப்படவில்லை.
4 பரிமாண கனசதுரம் என்றால் என்ன என்று எனக்கு முதலில் கூறிய எனது ஞாயிறு பள்ளி ஆசிரியர் கூறியது போல், "நாங்கள் முப்பரிமாணமாக இருப்பதால் நாங்கள் பரிதாபமாக இருக்கிறோம்." ஞாயிறு பள்ளி, இயற்கையாகவே, மிகவும் மத - கணிதம். அப்போது நாங்கள் ஹைப்பர் க்யூப்ஸ் படித்துக் கொண்டிருந்தோம். இதற்கு ஒரு வாரத்திற்கு முன்பு, கணிதத் தூண்டல், அதற்கு ஒரு வாரம் கழித்து, வரைபடங்களில் ஹாமில்டோனியன் சுழற்சிகள் - அதன்படி, இது 7 ஆம் வகுப்பு.

4 பரிமாண கனசதுரத்தை நம்மால் தொடவோ, மணக்கவோ, கேட்கவோ அல்லது பார்க்கவோ முடியாது. அதை வைத்து நாம் என்ன செய்ய முடியும்? நாம் அதை கற்பனை செய்யலாம்! ஏனெனில் நமது கண்கள் மற்றும் கைகளை விட நமது மூளை மிகவும் சிக்கலானது.

எனவே, 4-பரிமாண கன சதுரம் என்றால் என்ன என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, முதலில் நமக்கு என்ன கிடைக்கிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வோம். முப்பரிமாண கன சதுரம் என்றால் என்ன?

சரி சரி! நான் உங்களிடம் தெளிவான கணித வரையறையைக் கேட்கவில்லை. எளிமையான மற்றும் மிகவும் சாதாரண முப்பரிமாண கனசதுரத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள். அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது?

நன்றாக.
3-பரிமாண கனசதுரத்தை 4-பரிமாண இடைவெளியில் எவ்வாறு பொதுமைப்படுத்துவது என்பதைப் புரிந்துகொள்வதற்கு, 2-பரிமாண கனசதுரம் என்றால் என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இது மிகவும் எளிது - இது ஒரு சதுரம்!

ஒரு சதுரம் 2 ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது. கனசதுரத்தில் மூன்று உள்ளது. சதுரப் புள்ளிகள் இரண்டு ஆயங்களைக் கொண்ட புள்ளிகள். முதலாவது 0 முதல் 1 வரை. இரண்டாவது 0 முதல் 1 வரை. கனசதுரத்தின் புள்ளிகள் மூன்று ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளன. மேலும் ஒவ்வொன்றும் 0 முதல் 1 வரையிலான எந்த எண்ணாகவும் இருக்கும்.

4-பரிமாண கனசதுரமானது 4 ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட ஒரு பொருள் மற்றும் அனைத்தும் 0 முதல் 1 வரை இருக்கும் என்று கற்பனை செய்வது தர்க்கரீதியானது.

/* 1-பரிமாண கனசதுரத்தை கற்பனை செய்வது உடனடியாக தர்க்கரீதியானது, இது 0 முதல் 1 வரையிலான எளிய பிரிவைத் தவிர வேறில்லை. */

எனவே, காத்திருங்கள், 4-பரிமாண கனசதுரத்தை எப்படி வரைவது? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு விமானத்தில் 4-பரிமாண இடத்தை நாம் வரைய முடியாது!
ஆனால் நாம் ஒரு விமானத்தில் 3 பரிமாண இடத்தை வரையவில்லை, அதை வரைகிறோம் கணிப்பு 2 பரிமாண வரைதல் விமானத்தில். மூன்றாவது ஒருங்கிணைப்பை (z) ஒரு கோணத்தில் வைக்கிறோம், வரைதல் விமானத்திலிருந்து அச்சு "நம்மை நோக்கி" செல்கிறது என்று கற்பனை செய்கிறோம்.

4-பரிமாண கனசதுரத்தை எப்படி வரைய வேண்டும் என்பது இப்போது முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது. மூன்றாவது அச்சை ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தில் நிலைநிறுத்தியதைப் போலவே, நான்காவது அச்சை எடுத்து ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தில் நிலைநிறுத்துவோம்.
மற்றும் - voila! -- ஒரு விமானத்தின் மீது 4-பரிமாண கனசதுரத்தின் கணிப்பு.

என்ன? எப்படியும் இது என்ன? நான் எப்போதும் பின் மேசைகளில் இருந்து கிசுகிசுப்பதைக் கேட்கிறேன். இந்த வரிகளின் குழப்பம் என்ன என்பதை இன்னும் விரிவாக விளக்குகிறேன்.
முப்பரிமாண கனசதுரத்தை முதலில் பாருங்கள். நாம் என்ன செய்தோம்? நாங்கள் சதுரத்தை எடுத்து மூன்றாவது அச்சில் (z) இழுத்தோம். இது ஒரு அடுக்கில் ஒன்றாக ஒட்டப்பட்ட பல, பல காகித சதுரங்கள் போன்றது.
4-பரிமாண கனசதுரத்திலும் இதுவே உள்ளது. நான்காவது அச்சை, வசதிக்காகவும் அறிவியல் புனைகதைக்காகவும், "நேர அச்சு" என்று அழைப்போம். நாம் ஒரு சாதாரண முப்பரிமாண கனசதுரத்தை எடுத்து "இப்போது" என்ற நேரத்திலிருந்து "ஒரு மணி நேரத்தில்" நேரத்திற்கு இழுக்க வேண்டும்.

எங்களிடம் "இப்போது" கன சதுரம் உள்ளது. படத்தில் அது இளஞ்சிவப்பு.

இப்போது நாம் அதை நான்காவது அச்சில் இழுக்கிறோம் - நேர அச்சில் (நான் அதை பச்சை நிறத்தில் காட்டினேன்). எதிர்கால கனசதுரத்தைப் பெறுகிறோம் - நீலம்.

"இப்போது கனசதுரத்தின்" ஒவ்வொரு உச்சியும் காலத்தின் ஒரு தடயத்தை விட்டுச்செல்கிறது - ஒரு பிரிவு. அவளுடைய நிகழ்காலத்தை அவளுடைய எதிர்காலத்துடன் இணைக்கிறது.

சுருக்கமாக, எந்த பாடல் வரிகளும் இல்லாமல்: நாங்கள் இரண்டு ஒரே மாதிரியான 3-பரிமாண கனசதுரங்களை வரைந்தோம் மற்றும் தொடர்புடைய செங்குத்துகளை இணைத்தோம்.
3-பரிமாண கனசதுரத்துடன் அவர்கள் செய்ததைப் போலவே (2 ஒத்த 2-பரிமாண கனசதுரங்களை வரைந்து, செங்குத்துகளை இணைக்கவும்).

5-பரிமாண கனசதுரத்தை வரைய, நீங்கள் 4-பரிமாண கனசதுரத்தின் இரண்டு நகல்களை வரைய வேண்டும் (ஐந்தாவது ஒருங்கிணைப்பு 0 உடன் 4-பரிமாண கன சதுரம் மற்றும் ஐந்தாவது ஒருங்கிணைப்பு 1 உடன் 4-பரிமாண கனசதுரம்) மற்றும் விளிம்புகளுடன் தொடர்புடைய செங்குத்துகளை இணைக்க வேண்டும். உண்மை, விமானத்தில் விளிம்புகளின் குழப்பம் இருக்கும், எதையும் புரிந்துகொள்வது கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்றது.

4-பரிமாண கனசதுரத்தை நாம் கற்பனை செய்து அதை வரைய முடிந்தவுடன், அதை வெவ்வேறு வழிகளில் ஆராயலாம். அதை உங்கள் மனதில் இருந்தும் படத்திலிருந்தும் ஆராய நினைவில் கொள்ளுங்கள்.
உதாரணத்திற்கு. ஒரு 2-பரிமாண கனசதுரம் 4 பக்கங்களிலும் 1-பரிமாண கனசதுரங்களால் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது. இது தர்க்கரீதியானது: 2 ஆயங்களில் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு ஆரம்பம் மற்றும் முடிவு இரண்டையும் கொண்டுள்ளது.
ஒரு 3-பரிமாண கனசதுரமானது 6 பக்கங்களிலும் 2-பரிமாண கனசதுரங்களால் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது. மூன்று ஆயங்களில் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு தொடக்கமும் முடிவும் உள்ளது.
இதன் பொருள் 4-பரிமாண கனசதுரமானது எட்டு 3-பரிமாண கனசதுரங்களால் வரையறுக்கப்பட வேண்டும். 4 ஆயங்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் - இருபுறமும். மேலே உள்ள படத்தில், "நேரம்" ஒருங்கிணைப்புடன் அதைக் கட்டுப்படுத்தும் 2 முகங்களை நாம் தெளிவாகக் காண்கிறோம்.

இங்கே இரண்டு கனசதுரங்கள் உள்ளன (அவை சற்று சாய்வாக உள்ளன, ஏனெனில் அவை ஒரு கோணத்தில் விமானத்தின் மீது 2 பரிமாணங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன), இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் நமது ஹைப்பர்கியூபைக் கட்டுப்படுத்துகிறது.

"மேல்" மற்றும் "கீழ்" என்பதைக் கவனிப்பதும் எளிதானது.

"முன்" மற்றும் "பின்புறம்" எங்கே என்பதை பார்வைக்கு புரிந்துகொள்வது மிகவும் கடினமான விஷயம். முன்பக்கமானது "இப்போது கனசதுரத்தின்" முன் விளிம்பிலிருந்து தொடங்குகிறது மற்றும் "எதிர்கால கனசதுரத்தின்" முன் விளிம்பில் இருந்து தொடங்குகிறது - இது சிவப்பு. பின்புறம் ஊதா.

மற்ற கனசதுரங்கள் காலடியில் சிக்கியிருப்பதால், அவற்றைக் கவனிப்பது மிகவும் கடினம், இது ஹைப்பர்கியூபை வேறு திட்ட ஆயத்தில் கட்டுப்படுத்துகிறது. ஆனால் க்யூப்ஸ் இன்னும் வித்தியாசமாக இருப்பதை நினைவில் கொள்க! "இப்போது கன சதுரம்" மற்றும் "எதிர்கால கனசதுரம்" ஆகியவை ஹைலைட் செய்யப்பட்டுள்ள படம் மீண்டும் இங்கே உள்ளது.

நிச்சயமாக, 4-பரிமாண கனசதுரத்தை 3-பரிமாண இடைவெளியில் திட்டமிட முடியும்.
முதல் சாத்தியமான இடஞ்சார்ந்த மாதிரி அது எப்படி இருக்கும் என்பது தெளிவாக உள்ளது: நீங்கள் 2 கனசதுர பிரேம்களை எடுத்து அவற்றுடன் தொடர்புடைய செங்குத்துகளை புதிய விளிம்புடன் இணைக்க வேண்டும்.
என்னிடம் இப்போது இந்த மாடல் கையிருப்பில் இல்லை. விரிவுரையில், நான் மாணவர்களுக்கு 4-பரிமாண கனசதுரத்தின் சற்று வித்தியாசமான 3-பரிமாண மாதிரியைக் காட்டுகிறேன்.

ஒரு கனசதுரம் ஒரு விமானத்தின் மீது எவ்வாறு திட்டமிடப்படுகிறது என்பது உங்களுக்குத் தெரியும்.
நாம் மேலே இருந்து ஒரு கனசதுரத்தைப் பார்ப்பது போன்றது.

அருகிலுள்ள விளிம்பு, நிச்சயமாக, பெரியது. மற்றும் தொலைதூர விளிம்பு சிறியதாகத் தெரிகிறது, அதை அருகில் உள்ள ஒரு வழியாகப் பார்க்கிறோம்.

இப்படித்தான் 4-பரிமாண கனசதுரத்தை நீங்கள் திட்டமிடலாம். கனசதுரம் இப்போது பெரியதாக உள்ளது, எதிர்காலத்தின் கனசதுரத்தை தூரத்தில் பார்க்கிறோம், எனவே அது சிறியதாகத் தெரிகிறது.

மறுபுறம். மேல் பக்கத்திலிருந்து.

விளிம்பின் பக்கத்திலிருந்து நேரடியாக:

விலா பக்கத்திலிருந்து:

மற்றும் கடைசி கோணம், சமச்சீரற்ற. "நான் அவருடைய விலா எலும்புகளுக்கு இடையில் பார்த்தேன் என்று சொல்லுங்கள்" என்ற பிரிவில் இருந்து.

சரி, நீங்கள் எதையும் கொண்டு வரலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு விமானத்தில் 3-பரிமாண கனசதுரத்தின் வளர்ச்சி இருப்பதைப் போலவே (இது ஒரு தாளை வெட்டுவது போன்றது, அதனால் நீங்கள் மடிக்கும் போது ஒரு கனசதுரத்தைப் பெறுவீர்கள்), இது 4-பரிமாண கனசதுரத்தை உருவாக்கும்போதும் நிகழ்கிறது. விண்வெளி. இது ஒரு மரத் துண்டை வெட்டுவது போன்றது, அதை 4-பரிமாண இடத்தில் மடிப்பதன் மூலம் ஒரு டெஸராக்ட் கிடைக்கும்.

நீங்கள் 4-பரிமாண கனசதுரத்தை மட்டுமல்ல, பொதுவாக n-பரிமாண கனசதுரங்களையும் படிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு n-பரிமாண கனசதுரத்தை சுற்றியிருக்கும் கோளத்தின் ஆரம் இந்த கனசதுரத்தின் விளிம்பின் நீளத்தை விட குறைவாக உள்ளது என்பது உண்மையா? அல்லது இங்கே ஒரு எளிய கேள்வி: n-பரிமாண கனசதுரத்தில் எத்தனை செங்குத்துகள் உள்ளன? எத்தனை விளிம்புகள் (1 பரிமாண முகங்கள்)?

நான்கு பரிமாண வெளி என்றால் என்ன என்பதை விளக்கி ஆரம்பிக்கலாம்.

இது ஒரு பரிமாண வெளி, அதாவது OX அச்சு. அதில் உள்ள எந்த புள்ளியும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது.

இப்போது OY அச்சை OX அச்சுக்கு செங்குத்தாக வரைவோம். எனவே நாம் இரு பரிமாண இடத்தைப் பெறுகிறோம், அதாவது XOY விமானம். அதில் உள்ள எந்த புள்ளியும் இரண்டு ஆயங்களால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது - அப்சிசா மற்றும் ஆர்டினேட்.

OX மற்றும் OY அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக OZ அச்சை வரைவோம். இதன் விளைவாக ஒரு முப்பரிமாண இடைவெளி உள்ளது, இதில் எந்தப் புள்ளியும் ஒரு abscissa, ordinate மற்றும் பொருந்தும்.

நான்காவது அச்சு, OQ, ஒரே நேரத்தில் OX, OY மற்றும் OZ அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும் என்பது தர்க்கரீதியானது. ஆனால் அத்தகைய அச்சை நம்மால் துல்லியமாக உருவாக்க முடியாது, எனவே அதை கற்பனை செய்ய மட்டுமே முயற்சி செய்யலாம். நான்கு பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் நான்கு ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது: x, y, z மற்றும் q.

இப்போது நான்கு பரிமாண கன சதுரம் எவ்வாறு தோன்றியது என்று பார்ப்போம்.

படம் ஒரு பரிமாண இடத்தில் ஒரு உருவத்தைக் காட்டுகிறது - ஒரு கோடு.

நீங்கள் OY அச்சில் இந்த வரியின் இணையான மொழிபெயர்ப்பைச் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் இரண்டு கோடுகளின் தொடர்புடைய முனைகளை இணைத்தால், நீங்கள் ஒரு சதுரத்தைப் பெறுவீர்கள்.

இதேபோல், நீங்கள் OZ அச்சில் சதுரத்தின் இணையான மொழிபெயர்ப்பைச் செய்து, தொடர்புடைய முனைகளை இணைத்தால், நீங்கள் ஒரு கனசதுரத்தைப் பெறுவீர்கள்.

நாம் OQ அச்சில் கனசதுரத்தின் இணையான மொழிபெயர்ப்பைச் செய்து, இந்த இரண்டு கனசதுரங்களின் முனைகளையும் இணைத்தால், நாம் நான்கு பரிமாண கனசதுரத்தைப் பெறுவோம். மூலம், அது அழைக்கப்படுகிறது டெசராக்ட்.

ஒரு விமானத்தில் ஒரு கனசதுரத்தை வரைய, உங்களுக்கு அது தேவை திட்டம். பார்வைக்கு இது போல் தெரிகிறது:

அது மேற்பரப்பிற்கு மேலே காற்றில் தொங்குகிறது என்று கற்பனை செய்யலாம் வயர்ஃப்ரேம் மாதிரிகன சதுரம், அதாவது, "கம்பியால் ஆனது", அதற்கு மேல் ஒரு ஒளி விளக்கு உள்ளது. நீங்கள் ஒளி விளக்கை இயக்கினால், கனசதுரத்தின் நிழலை ஒரு பென்சிலால் கண்டுபிடித்து, பின்னர் ஒளி விளக்கை அணைத்தால், கனசதுரத்தின் ஒரு திட்டமானது மேற்பரப்பில் சித்தரிக்கப்படும்.

இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலான விஷயத்திற்கு செல்லலாம். ஒளி விளக்குடன் வரைபடத்தை மீண்டும் பாருங்கள்: நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அனைத்து கதிர்களும் ஒரு கட்டத்தில் ஒன்றிணைகின்றன. அது அழைக்கபடுகிறது மறைந்து போகும் புள்ளிமற்றும் கட்டப் பயன்படுகிறது முன்னோக்கு திட்டம்(மேலும், எல்லாக் கதிர்களும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இருக்கும் போது, ​​அது இணையாகவும் இருக்கலாம். இதன் விளைவாக, கன அளவு உணர்தல் உருவாக்கப்படாமல், இலகுவாக இருக்கும், மேலும், மறைந்து போகும் புள்ளி திட்டமிடப்பட்ட பொருளிலிருந்து வெகு தொலைவில் இருந்தால் , இந்த இரண்டு கணிப்புகளுக்கும் இடையே உள்ள வித்தியாசம் கொஞ்சம் கவனிக்கத்தக்கது). மறைந்து போகும் புள்ளியைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் மீது கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியைத் திட்டமிட, நீங்கள் மறைந்து போகும் புள்ளி மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி வழியாக ஒரு நேர் கோட்டை வரைய வேண்டும், பின்னர் அதன் விளைவாக வரும் நேர் கோடு மற்றும் விமானத்தின் வெட்டுப் புள்ளியைக் கண்டறியவும். மேலும் ஒரு சிக்கலான உருவத்தை, ஒரு கனசதுரத்தை முன்னிறுத்துவதற்கு, நீங்கள் அதன் ஒவ்வொரு முனைகளையும் திட்டமிட வேண்டும், பின்னர் தொடர்புடைய புள்ளிகளை இணைக்க வேண்டும். என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் துணைவெளியில் இடத்தைத் திட்டமிடுவதற்கான அல்காரிதம் 3D->2D மட்டுமல்ல, 4D->3D வழக்கிற்குப் பொதுமைப்படுத்தலாம்.

நான் சொன்னது போல், டெசராக்ட் போலவே OQ அச்சு எப்படி இருக்கும் என்பதை நம்மால் கற்பனை செய்து பார்க்க முடியாது. ஆனால், அதை ஒரு வால்யூமில் ப்ரொஜெக்ட் செய்து கணினித் திரையில் வரைந்தால், அதைப் பற்றிய ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட யோசனையைப் பெறலாம்!

இப்போது டெசராக்ட் ப்ரொஜெக்ஷன் பற்றி பேசலாம்.

இடதுபுறத்தில் விமானத்தின் மீது கனசதுரத்தின் ப்ரொஜெக்ஷன் உள்ளது, மற்றும் வலதுபுறத்தில் வால்யூம் மீது டெசராக்ட் உள்ளது. அவை மிகவும் ஒத்தவை: ஒரு கனசதுரத்தின் ப்ரொஜெக்ஷன் இரண்டு சதுரங்கள் போல் தெரிகிறது, சிறிய மற்றும் பெரிய, ஒன்று உள்ளே மற்றொன்று, மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய செங்குத்துகள் கோடுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. மேலும் டெஸராக்ட்டின் ப்ரொஜெக்ஷன் சிறிய மற்றும் பெரிய இரண்டு கனசதுரங்கள் போல் தெரிகிறது, ஒன்று உள்ளே மற்றொன்று, அதனுடன் தொடர்புடைய செங்குத்துகள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. ஆனால் நாம் அனைவரும் கனசதுரத்தைப் பார்த்திருக்கிறோம், மேலும் சிறிய சதுரம் மற்றும் பெரியது மற்றும் சிறிய சதுரத்தின் மேலே, கீழே, வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் உள்ள நான்கு ட்ரேப்சாய்டுகளும் உண்மையில் சதுரங்கள், அவை சமமானவை என்று நம்பிக்கையுடன் சொல்லலாம். . மற்றும் டெசராக்ட் அதையே கொண்டுள்ளது. மற்றும் ஒரு பெரிய கன சதுரம், மற்றும் ஒரு சிறிய கன சதுரம், மற்றும் ஒரு சிறிய கனசதுரத்தின் பக்கங்களில் ஆறு துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடுகள் - இவை அனைத்தும் க்யூப்ஸ், மற்றும் அவை சமமானவை.

எனது நிரல் ஒரு டெசராக்டின் முன்கணிப்பை ஒரு தொகுதியில் வரைய முடியாது, ஆனால் அதை சுழற்றவும் முடியும். இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்.

முதலில், அது என்னவென்று நான் உங்களுக்குச் சொல்கிறேன் விமானத்திற்கு இணையான சுழற்சி.

கன சதுரம் OZ அச்சில் சுழல்கிறது என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். அதன் ஒவ்வொரு முனையும் OZ அச்சைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்கிறது.

வட்டம் என்பது ஒரு தட்டையான உருவம். இந்த ஒவ்வொரு வட்டத்தின் விமானங்களும் ஒன்றோடொன்று இணையாக இருக்கும், மேலும் இந்த விஷயத்தில் XOY விமானத்திற்கு இணையாக இருக்கும். அதாவது, OZ அச்சில் சுழற்சியைப் பற்றி மட்டுமல்ல, XOY விமானத்திற்கு இணையான சுழற்சியைப் பற்றியும் பேசலாம், XOY அச்சுக்கு இணையாகச் சுழலும் புள்ளிகளுக்கு, அப்சிஸ்ஸா மற்றும் ஆர்டினேட் மாற்றம் மட்டுமே இருக்கும். மேலும், உண்மையில், நாம் முப்பரிமாண இடத்தைக் கையாளும் போது மட்டுமே ஒரு நேர்கோட்டில் சுழற்சியைப் பற்றி பேச முடியும். இரு பரிமாண இடத்தில் எல்லாம் ஒரு புள்ளியைச் சுற்றி சுழல்கிறது, நான்கு பரிமாண இடத்தில் எல்லாம் ஒரு விமானத்தைச் சுற்றி சுழல்கிறது, ஐந்து பரிமாண இடத்தில் ஒரு தொகுதியைச் சுற்றி சுழற்சியைப் பற்றி பேசுகிறோம். மேலும் ஒரு புள்ளியைச் சுற்றி சுழற்சியை நாம் கற்பனை செய்து பார்க்க முடிந்தால், ஒரு விமானம் மற்றும் தொகுதியைச் சுற்றி சுழற்றுவது என்பது நினைத்துப் பார்க்க முடியாத ஒன்று. விமானத்திற்கு இணையான சுழற்சியைப் பற்றி நாம் பேசினால், எந்த n- பரிமாண இடத்திலும் ஒரு புள்ளி விமானத்திற்கு இணையாக சுழலும்.

உங்களில் பலர் சுழற்சி மேட்ரிக்ஸ் பற்றி கேள்விப்பட்டிருக்கலாம். புள்ளியைப் பெருக்குவதன் மூலம், ஒரு கோண ஃபை மூலம் விமானத்திற்கு இணையாகச் சுழலும் ஒரு புள்ளியைப் பெறுகிறோம். இரு பரிமாண இடத்திற்கு இது போல் தெரிகிறது:

எப்படி பெருக்குவது: ஒரு புள்ளியின் x ஒரு கோணத்தால் சுழலும் phi = கோணத்தின் phi*ix கோணத்தின் கோசைன், அசல் புள்ளியின் phi*ig கோணத்தின் சைன் கழித்தல்;
ஒரு கோணத்தில் சுழலும் ஒரு புள்ளியின் ig = கோணத்தின் phi * ix அசல் புள்ளியின் ix மற்றும் கோணத்தின் கோசைன் phi * ig அசல் புள்ளியின் கோசைன்.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, Xa மற்றும் Ya ஆகியவை சுழற்ற வேண்டிய புள்ளியின் abscissa மற்றும் ordinate ஆகும், Xa` மற்றும் Ya` ஆகியவை ஏற்கனவே சுழற்றப்பட்ட புள்ளியின் abscissa மற்றும் ordinate ஆகும்.

முப்பரிமாண இடத்திற்கு, இந்த அணி பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது:

XOY விமானத்திற்கு இணையான சுழற்சி. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, Z ஒருங்கிணைப்பு மாறாது, ஆனால் X மற்றும் Y மட்டுமே மாறுகிறது
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (அடிப்படையில், Za`=Za)

XOZ விமானத்திற்கு இணையான சுழற்சி. எதுவும் புதிதல்ல,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (அடிப்படையில், Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

மற்றும் மூன்றாவது அணி.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (அடிப்படையில், Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

நான்காவது பரிமாணத்திற்கு அவை இப்படி இருக்கும்:


எதைப் பெருக்குவது என்பது உங்களுக்கு ஏற்கனவே புரிந்திருக்கும் என்று நினைக்கிறேன், எனவே நான் மீண்டும் விவரங்களுக்குச் செல்லமாட்டேன். ஆனால் முப்பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு விமானத்திற்கு இணையான சுழற்சிக்கான மேட்ரிக்ஸை இது செய்கிறது என்பதை நான் கவனிக்கிறேன்! இவை இரண்டும் ஆர்டினேட் மற்றும் அப்ளிகேட் ஆகியவற்றை மட்டுமே மாற்றுகின்றன, மற்ற ஆயங்களைத் தொடாதே, எனவே முப்பரிமாண வழக்கில் இதைப் பயன்படுத்தலாம், நான்காவது ஒருங்கிணைப்பில் கவனம் செலுத்துவதில்லை.

ஆனால் திட்ட சூத்திரத்துடன், எல்லாம் அவ்வளவு எளிதல்ல. நான் எத்தனை மன்றங்களைப் படித்தாலும், எந்த திட்ட முறைகளும் எனக்கு வேலை செய்யவில்லை. ப்ரொஜெக்ஷன் முப்பரிமாணமாகத் தெரியவில்லை என்பதால், இணையான ஒன்று எனக்குப் பொருந்தாது. சில ப்ரொஜெக்ஷன் ஃபார்முலாக்களில், ஒரு புள்ளியைக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க வேண்டும் (அவற்றைத் தீர்க்க கணினியை எவ்வாறு கற்பிப்பது என்று எனக்குத் தெரியவில்லை), மற்றவை எனக்குப் புரியவில்லை... பொதுவாக, நான் முடிவு செய்தேன். என் சொந்த வழியில் வா. இந்த நோக்கத்திற்காக, 2D->1D ப்ரொஜெக்ஷனைக் கவனியுங்கள்.

pov என்றால் "பாயின்ட் ஆஃப் வியூ", ptp என்றால் "பாயின்ட் டு ப்ராஜெக்ட்" (திட்டமிட வேண்டிய புள்ளி) மற்றும் ptp` என்பது OX அச்சில் விரும்பிய புள்ளி.

கோணங்கள் povptpB மற்றும் ptpptp`A ஆகியவை சமமாக இருக்கும் (புள்ளியிடப்பட்ட கோடு OX அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது, நேர் கோடு povptp ஒரு நொடி).
ptp` என்ற புள்ளியின் x ஆனது, ptp`A பிரிவின் நீளத்தைக் கழித்து ptp புள்ளியின் x க்கு சமம். ptpptp`A என்ற முக்கோணத்திலிருந்து இந்தப் பகுதியைக் காணலாம்: ptp`A = ptpA/tangent of ptpptp`A. povptpB என்ற முக்கோணத்திலிருந்து இந்தத் தொடுகோட்டைக் காணலாம்: தொடுகோடு ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
பதில்: Xptp`=Xptp-Yptp/கோணத்தின் டேன்ஜென்ட் ptpptp`A.

இந்த வழிமுறையை நான் இங்கு விரிவாக விவரிக்கவில்லை, ஏனெனில் சூத்திரம் ஓரளவு மாறும் போது நிறைய சிறப்பு வழக்குகள் உள்ளன. யாராவது ஆர்வமாக இருந்தால், நிரலின் மூலக் குறியீட்டைப் பாருங்கள், எல்லாம் கருத்துகளில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது.

முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு புள்ளியை ஒரு விமானத்தில் முன்வைக்க, XOZ மற்றும் YOZ என்ற இரண்டு விமானங்களை நாங்கள் கருத்தில் கொள்கிறோம், மேலும் அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் இந்த சிக்கலை தீர்க்கிறோம். நான்கு பரிமாண இடைவெளியில், மூன்று விமானங்களைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்: XOQ, YOQ மற்றும் ZOQ.

இறுதியாக, நிரல் பற்றி. இது இவ்வாறு செயல்படுகிறது: டெசராக்டின் பதினாறு முனைகளை துவக்கவும் -> பயனர் உள்ளிட்ட கட்டளைகளைப் பொறுத்து, அதைச் சுழற்றவும் -> அதை தொகுதியில் திட்டமிடவும் -> பயனர் உள்ளிட்ட கட்டளைகளைப் பொறுத்து, அதன் ப்ரொஜெக்ஷனைச் சுழற்று -> திட்டம் விமானம் -> வரைதல்.

கணிப்புகளையும் சுழற்சிகளையும் நானே எழுதினேன். நான் விவரித்த சூத்திரங்களின்படி அவை செயல்படுகின்றன. OpenGL நூலகம் கோடுகளை வரைகிறது மற்றும் வண்ண கலவையையும் கையாளுகிறது. டெசராக்ட் செங்குத்துகளின் ஆயத்தொலைவுகள் இந்த வழியில் கணக்கிடப்படுகின்றன:

தோற்றம் மற்றும் நீளம் 2 - (1) மற்றும் (-1) ஆகியவற்றை மையமாகக் கொண்ட ஒரு கோட்டின் முனைகளின் ஒருங்கிணைப்புகள்;
- " - " - சதுரம் - " - " - மற்றும் நீளம் 2 விளிம்பு:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) மற்றும் (-1; -1);
- " - " - கன - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சதுரம் என்பது OY அச்சுக்கு மேலே ஒரு கோடு மற்றும் OY அச்சுக்கு கீழே ஒரு கோடு; ஒரு கன சதுரம் என்பது XOY விமானத்தின் முன் ஒரு சதுரம், அதன் பின் ஒன்று; டெசராக்ட் என்பது XOYZ தொகுதியின் மறுபுறத்தில் ஒரு கனசதுரமாகவும், இந்தப் பக்கத்தில் ஒன்று. ஆனால் ஒரு நெடுவரிசையில் எழுதப்பட்டால் ஒன்று மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றின் இந்த மாற்றத்தை உணர மிகவும் எளிதானது.

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

முதல் நெடுவரிசையில் ஒன்று மற்றும் கழித்தல் ஒன்று மாறி மாறி வரும். இரண்டாவது நெடுவரிசையில், முதலில் இரண்டு பிளஸ்கள் உள்ளன, பின்னர் இரண்டு கழித்தல்கள் உள்ளன. மூன்றாவது - நான்கு கூட்டல் ஒன்று, பின்னர் நான்கு கழித்தல் ஒன்று. இவை கனசதுரத்தின் உச்சிகளாக இருந்தன. டெசராக்ட் அவற்றில் இரண்டு மடங்கு அதிகமாக உள்ளது, எனவே அவற்றை அறிவிக்க ஒரு வளையத்தை எழுத வேண்டியது அவசியம், இல்லையெனில் குழப்பமடைவது மிகவும் எளிதானது.

எனது நிரல் அனாக்லிஃப் வரையவும் முடியும். 3D கண்ணாடிகளின் மகிழ்ச்சியான உரிமையாளர்கள் ஒரு ஸ்டீரியோஸ்கோபிக் படத்தைக் காணலாம். ஒரு படத்தை வரைவதில் தந்திரமான எதுவும் இல்லை, வலது மற்றும் இடது கண்களுக்கு விமானத்தில் இரண்டு கணிப்புகளை வரையலாம். ஆனால் நிரல் மிகவும் காட்சியாகவும் சுவாரஸ்யமாகவும் மாறும், மிக முக்கியமாக, இது நான்கு பரிமாண உலகத்தைப் பற்றிய சிறந்த யோசனையை அளிக்கிறது.

குறைவான குறிப்பிடத்தக்க செயல்பாடுகள் சிவப்பு நிறத்தில் உள்ள விளிம்புகளில் ஒன்றின் வெளிச்சம் ஆகும், இதனால் திருப்பங்களை சிறப்பாகக் காணலாம், அதே போல் சிறிய வசதிகள் - "கண்" புள்ளிகளின் ஆயங்களை ஒழுங்குபடுத்துதல், திருப்புதல் வேகத்தை அதிகரிப்பது மற்றும் குறைத்தல்.

நிரல், மூலக் குறியீடு மற்றும் பயன்பாட்டிற்கான வழிமுறைகளுடன் காப்பகப்படுத்தவும்.

உங்களுக்கு ஒரு அசாதாரண சம்பவம் நடந்தால், நீங்கள் ஒரு விசித்திரமான உயிரினத்தை அல்லது புரிந்துகொள்ள முடியாத நிகழ்வைக் கண்டால், உங்கள் கதையை எங்களுக்கு அனுப்பலாம், அது எங்கள் இணையதளத்தில் வெளியிடப்படும் ===> .

பல பரிமாண இடைவெளிகளின் கோட்பாடு 19 ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில் தோன்றத் தொடங்கியது. நான்கு பரிமாண விண்வெளி பற்றிய யோசனை விஞ்ஞானிகளிடமிருந்து அறிவியல் புனைகதை எழுத்தாளர்களால் கடன் வாங்கப்பட்டது. நான்காவது பரிமாணத்தின் அற்புதமான அதிசயங்களைப் பற்றி அவர்கள் தங்கள் படைப்புகளில் உலகிற்குச் சொன்னார்கள்.

அவர்களின் படைப்புகளின் ஹீரோக்கள், நான்கு பரிமாண இடத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, முட்டையின் உள்ளடக்கங்களை ஷெல் சேதப்படுத்தாமல் சாப்பிடலாம், மேலும் பாட்டில் மூடியைத் திறக்காமல் ஒரு பானம் குடிக்கலாம். திருடர்கள் நான்காவது பரிமாணத்தின் வழியாக புதையலை பெட்டகத்திலிருந்து அகற்றினர். நோயாளியின் உடல் திசுக்களை வெட்டாமல் உள் உறுப்புகளில் அறுவை சிகிச்சை செய்தார்கள்.

டெசராக்ட்

வடிவவியலில், ஹைபர்கியூப் என்பது ஒரு சதுரம் (n = 2) மற்றும் ஒரு கன சதுரம் (n = 3) ஆகியவற்றின் n-பரிமாண ஒப்புமை ஆகும். எங்கள் வழக்கமான 3-பரிமாண கனசதுரத்தின் நான்கு பரிமாண அனலாக் டெஸராக்ட் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சதுரத்திற்கு கன சதுரம் இருப்பது போல டெஸராக்ட் கனசதுரத்திற்கு உள்ளது. இன்னும் முறையாக, ஒரு டெஸராக்ட் ஒரு வழக்கமான குவிந்த நான்கு பரிமாண பாலிஹெட்ரான் என விவரிக்கப்படலாம், அதன் எல்லை எட்டு கன செல்களைக் கொண்டுள்ளது.

இணை அல்லாத 3D முகங்களின் ஒவ்வொரு ஜோடியும் 2D முகங்களை (சதுரங்கள்) உருவாக்குவதற்கு வெட்டுகின்றன. இறுதியாக, டெசராக்ட் 8 3D முகங்கள், 24 2D முகங்கள், 32 விளிம்புகள் மற்றும் 16 செங்குத்துகளைக் கொண்டுள்ளது.
ஆக்ஸ்போர்டு அகராதியின்படி, டெஸராக்ட் என்ற சொல் 1888 இல் சார்லஸ் ஹோவர்ட் ஹிண்டனால் (1853-1907) அவரது புத்தகமான எ நியூ ஏஜ் ஆஃப் திஹாட் இல் உருவாக்கப்பட்டது மற்றும் பயன்படுத்தப்பட்டது. பின்னர், சிலர் அதே உருவத்தை டெட்ராக்யூப் (கிரேக்க டெட்ரா - நான்கு) - நான்கு பரிமாண கன சதுரம் என்று அழைத்தனர்.

கட்டுமானம் மற்றும் விளக்கம்

முப்பரிமாண இடத்தை விட்டு வெளியேறாமல் ஒரு ஹைப்பர் கியூப் எப்படி இருக்கும் என்று கற்பனை செய்ய முயற்சிப்போம்.
ஒரு பரிமாண “வெளியில்” - ஒரு வரியில் - L இன் நீளம் கொண்ட AB பிரிவைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். AB இலிருந்து L தொலைவில் உள்ள இரு பரிமாண விமானத்தில், அதற்கு இணையாக DC என்ற பிரிவை வரைந்து அவற்றின் முனைகளை இணைக்கிறோம். இதன் விளைவாக ஒரு சதுர CDBA ஆகும். இந்தச் செயல்பாட்டை விமானத்துடன் மீண்டும் செய்வதன் மூலம், ஒரு முப்பரிமாண கன சதுரம் CDBAGHFE ஐப் பெறுகிறோம். மேலும் கனசதுரத்தை நான்காவது பரிமாணத்தில் (முதல் மூன்றிற்கு செங்குத்தாக) L தூரத்தால் மாற்றுவதன் மூலம், CDBAGHFEKLJIOPNM என்ற ஹைப்பர்க்யூப் கிடைக்கும்.

இதேபோல், அதிக எண்ணிக்கையிலான பரிமாணங்களின் ஹைபர்க்யூப்களுக்கான நமது தர்க்கத்தை நாம் தொடரலாம், ஆனால் முப்பரிமாண இடத்தில் வசிப்பவர்களான நமக்கு நான்கு பரிமாண ஹைப்பர்கியூப் எப்படி இருக்கும் என்பதைப் பார்ப்பது மிகவும் சுவாரஸ்யமானது.

கம்பி கனசதுர ABCDHEFG ஐ எடுத்து விளிம்பின் பக்கத்திலிருந்து ஒரு கண்ணால் பார்ப்போம். நாம் பார்ப்போம் மற்றும் விமானத்தில் இரண்டு சதுரங்களை வரையலாம் (அதன் அருகில் மற்றும் தூர விளிம்புகள்), நான்கு கோடுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது - பக்க விளிம்புகள். இதேபோல், முப்பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள நான்கு பரிமாண ஹைபர்கியூப் இரண்டு கன "பெட்டிகள்" ஒன்றோடொன்று செருகப்பட்டு எட்டு விளிம்புகளால் இணைக்கப்பட்டதைப் போல இருக்கும். இந்த வழக்கில், "பெட்டிகள்" - முப்பரிமாண முகங்கள் - "எங்கள்" இடத்தில் திட்டமிடப்படும், மேலும் அவற்றை இணைக்கும் கோடுகள் நான்காவது அச்சின் திசையில் நீட்டிக்கப்படும். கனசதுரத்தை ப்ரொஜெக்ஷனில் அல்ல, இடஞ்சார்ந்த படத்தில் கற்பனை செய்து பார்க்கவும் முயற்சி செய்யலாம்.

ஒரு முப்பரிமாண கனசதுரமானது அதன் முகத்தின் நீளத்தால் மாற்றப்பட்ட ஒரு சதுரத்தால் உருவாக்கப்படுவது போல, நான்காவது பரிமாணத்திற்கு மாற்றப்பட்ட ஒரு கனசதுரம் ஒரு ஹைப்பர்கியூப் உருவாகும். இது எட்டு க்யூப்ஸால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, இது கண்ணோட்டத்தில் சில சிக்கலான உருவம் போல் இருக்கும். முப்பரிமாண கனசதுரத்தை எண்ணற்ற தட்டையான சதுரங்களாக "வெட்டி" செய்வது போல், நான்கு பரிமாண ஹைபர்கியூப் தன்னை எண்ணற்ற கனசதுரங்களாக பிரிக்கலாம்.

முப்பரிமாண கனசதுரத்தின் ஆறு முகங்களை வெட்டுவதன் மூலம், நீங்கள் அதை ஒரு தட்டையான உருவமாக சிதைக்கலாம் - ஒரு வளர்ச்சி. இது அசல் முகத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் ஒரு சதுரம் மற்றும் இன்னும் ஒன்று இருக்கும் - அதற்கு எதிர் முகம். மேலும் நான்கு பரிமாண ஹைபர்க்யூப்பின் முப்பரிமாண வளர்ச்சியானது அசல் கனசதுரத்தையும், அதிலிருந்து "வளரும்" ஆறு கனசதுரங்களையும், மேலும் ஒன்று - இறுதி "ஹைபர்ஃபேஸ்" கொண்டிருக்கும்.

கலையில் ஹைபர்க்யூப்

டெஸராக்ட் ஒரு சுவாரஸ்யமான உருவம், இது எழுத்தாளர்கள் மற்றும் திரைப்பட தயாரிப்பாளர்களின் கவனத்தை மீண்டும் மீண்டும் ஈர்த்தது.
ராபர்ட் இ. ஹெய்ன்லைன் பலமுறை ஹைப்பர் க்யூப்ஸைக் குறிப்பிட்டுள்ளார். தி ஹவுஸ் தட் டீல் பில்ட் (1940) இல், அவர் கட்டப்பட்ட ஒரு வீட்டை அவிழ்க்கப்படாத டெசராக்ட் என்று விவரித்தார், பின்னர், நிலநடுக்கம் காரணமாக, நான்காவது பரிமாணத்தில் "மடிக்கப்பட்டு" "உண்மையான" டெசராக்ட் ஆனது. ஹெய்ன்லீனின் குளோரி ரோடு என்ற நாவல், வெளிப்புறத்தை விட உட்புறத்தில் பெரியதாக இருக்கும் ஒரு அதி-அளவிலான பெட்டியை விவரிக்கிறது.

ஹென்றி குட்னரின் கதை "ஆல் தெனாலி போரோகோவ்" தொலைதூர எதிர்காலத்தில் இருந்து குழந்தைகளுக்கான கல்வி பொம்மையை விவரிக்கிறது, இது ஒரு டெசராக்ட் போன்ற கட்டமைப்பில் உள்ளது.

கியூப் 2 இன் சதி: ஹைபர்கியூப் "ஹைபர்க்யூப்" அல்லது இணைக்கப்பட்ட க்யூப்களின் நெட்வொர்க்கில் சிக்கிய எட்டு அந்நியர்களை மையமாகக் கொண்டுள்ளது.

ஒரு இணையான உலகம்

கணித சுருக்கங்கள் இணையான உலகங்கள் இருப்பதைப் பற்றிய யோசனைக்கு வழிவகுத்தன. இவை நம்முடன் ஒரே நேரத்தில் இருக்கும் உண்மைகளாக புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன, ஆனால் அதிலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளன. ஒரு இணையான உலகம் வெவ்வேறு அளவுகளைக் கொண்டிருக்கலாம்: ஒரு சிறிய புவியியல் பகுதியிலிருந்து முழு பிரபஞ்சம் வரை. ஒரு இணையான உலகில், நிகழ்வுகள் அவற்றின் சொந்த வழியில் நிகழ்கின்றன, இது தனிப்பட்ட விவரங்கள் மற்றும் கிட்டத்தட்ட எல்லாவற்றிலும் வேறுபடலாம். மேலும், இணையான உலகின் இயற்பியல் விதிகள் நமது பிரபஞ்சத்தின் விதிகளை ஒத்திருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

இந்த தலைப்பு அறிவியல் புனைகதை எழுத்தாளர்களுக்கு வளமான நிலம்.

சால்வடார் டாலியின் "தி க்ரூசிஃபிக்ஷன்" ஓவியம் ஒரு டெசராக்டை சித்தரிக்கிறது. 1954 ஆம் ஆண்டு வரையப்பட்ட ஸ்பானிஷ் கலைஞரான சால்வடார் டாலியின் ஓவியம் "சிலுவை மரணம் அல்லது ஹைபர்க்யூபிக் பாடி" ஆகும். சிலுவையில் அறையப்பட்ட இயேசு கிறிஸ்துவை டெசராக்ட் ஸ்கேன் மூலம் சித்தரிக்கிறது. இந்த ஓவியம் நியூயார்க்கில் உள்ள மெட்ரோபாலிட்டன் மியூசியம் ஆஃப் ஆர்ட்டில் வைக்கப்பட்டுள்ளது

இது அனைத்தும் 1895 இல் தொடங்கியது, ஹெச்.ஜி. வெல்ஸ் தனது கதையான “தி டோர் இன் தி வால்” மூலம் அறிவியல் புனைகதைகளுக்கு இணையான உலகங்கள் இருப்பதைத் திறந்தார். 1923 ஆம் ஆண்டில், வெல்ஸ் இணையான உலகங்கள் பற்றிய யோசனைக்குத் திரும்பினார், அவற்றில் ஒன்றில் மென் லைக் காட்ஸ் நாவலின் கதாபாத்திரங்கள் செல்லும் ஒரு கற்பனாவாத நாட்டை வைத்தார்.

நாவல் கவனிக்கப்படாமல் போகவில்லை. 1926 ஆம் ஆண்டில், ஜி. டென்ட்டின் கதை “நாட்டின் சக்கரவர்த்தி “இருந்தால்”, முதன்முறையாக, உண்மையான நாடுகளின் வரலாற்றில் இருந்து வித்தியாசமாகச் செல்லக்கூடிய நாடுகள் (உலகங்கள்) இருக்கலாம் என்ற எண்ணம் எழுந்தது. நமது உலகில் இவை நம்மை விட குறைவான உண்மையானவை அல்ல.

1944 ஆம் ஆண்டில், ஜார்ஜ் லூயிஸ் போர்ஜஸ் தனது கற்பனைக் கதைகள் புத்தகத்தில் "தி கார்டன் ஆஃப் ஃபோர்க்கிங் பாத்ஸ்" என்ற கதையை வெளியிட்டார். இங்கே நேரத்தைக் கிளைக்கும் யோசனை இறுதியாக மிகுந்த தெளிவுடன் வெளிப்படுத்தப்பட்டது.
மேலே பட்டியலிடப்பட்ட படைப்புகளின் தோற்றம் இருந்தபோதிலும், 20 ஆம் நூற்றாண்டின் நாற்பதுகளின் பிற்பகுதியில் அறிவியல் புனைகதைகளில் பல உலகங்களின் யோசனை தீவிரமாக உருவாகத் தொடங்கியது, தோராயமாக அதே நேரத்தில் இயற்பியலில் இதேபோன்ற யோசனை எழுந்தது.

அறிவியல் புனைகதைகளில் புதிய திசையின் முன்னோடிகளில் ஒருவர் ஜான் பிக்ஸ்பி ஆவார், அவர் "ஒன் வே ஸ்ட்ரீட்" (1954) கதையில் உலகங்களுக்கிடையில் நீங்கள் ஒரு திசையில் மட்டுமே செல்ல முடியும் என்று பரிந்துரைத்தார் - உங்கள் உலகத்திலிருந்து ஒரு இணையான திசைக்குச் சென்றவுடன், நீங்கள் திரும்பி வரமாட்டீர்கள், ஆனால் நீங்கள் ஒரு உலகத்திலிருந்து அடுத்த உலகத்திற்குச் செல்வீர்கள். இருப்பினும், ஒருவரின் சொந்த உலகத்திற்குத் திரும்புவதும் விலக்கப்படவில்லை - இதற்காக உலக அமைப்பு மூடப்பட வேண்டியது அவசியம்.

Clifford Simak இன் நாவல் A Ring Around the Sun (1982) பல கிரகங்கள் பூமியை விவரிக்கிறது, ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த உலகில் உள்ளன, ஆனால் ஒரே சுற்றுப்பாதையில் உள்ளன, மேலும் இந்த உலகங்களும் இந்த கிரகங்களும் ஒரு சிறிய (மைக்ரோசெகண்ட்) நேர மாற்றத்தால் மட்டுமே ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன. நாவலின் ஹீரோ பார்வையிடும் ஏராளமான பூமிகள் உலகங்களின் ஒற்றை அமைப்பை உருவாக்குகின்றன.

ஆல்ஃபிரட் பெஸ்டர் தனது "முகமதுவைக் கொன்ற மனிதன்" (1958) என்ற கதையில் உலகங்களின் கிளைகள் பற்றிய சுவாரஸ்யமான பார்வையை வெளிப்படுத்தினார். "கடந்த காலத்தை மாற்றுவதன் மூலம்," கதையின் ஹீரோ வாதிட்டார், "நீங்கள் அதை உங்களுக்காக மட்டுமே மாற்றுகிறீர்கள்." வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கடந்த கால மாற்றத்திற்குப் பிறகு, வரலாற்றின் ஒரு கிளை எழுகிறது, அதில் மாற்றத்தை ஏற்படுத்திய பாத்திரத்திற்கு மட்டுமே இந்த மாற்றம் உள்ளது.

ஸ்ட்ருகட்ஸ்கி சகோதரர்களின் கதை “திங்கட்கிழமை சனிக்கிழமை தொடங்குகிறது” (1962) அறிவியல் புனைகதை எழுத்தாளர்களால் விவரிக்கப்பட்ட எதிர்காலத்தின் வெவ்வேறு பதிப்புகளுக்கான கதாபாத்திரங்களின் பயணங்களை விவரிக்கிறது - அறிவியல் புனைகதைகளில் ஏற்கனவே இருந்த கடந்த காலத்தின் வெவ்வேறு பதிப்புகளுக்கான பயணங்களுக்கு மாறாக.

இருப்பினும், இணையான உலகங்களின் கருப்பொருளைத் தொடும் அனைத்து படைப்புகளின் எளிய பட்டியல் கூட அதிக நேரம் எடுக்கும். அறிவியல் புனைகதை எழுத்தாளர்கள், ஒரு விதியாக, பல பரிமாணங்களின் அனுமானத்தை அறிவியல் பூர்வமாக உறுதிப்படுத்தவில்லை என்றாலும், அவர்கள் ஒரு விஷயத்தைப் பற்றி சரியானவர்கள் - இது இருப்பதற்கான உரிமையைக் கொண்ட ஒரு கருதுகோள்.
டெசராக்டின் நான்காவது பரிமாணம் இன்னும் நாம் பார்வையிட காத்திருக்கிறது.

விக்டர் சவினோவ்

நீங்கள் அவெஞ்சர்ஸ் திரைப்படங்களின் ரசிகராக இருந்தால், "டெசராக்ட்" என்ற வார்த்தையைக் கேட்டவுடன் முதலில் நினைவுக்கு வருவது எல்லையற்ற ஆற்றலைக் கொண்ட இன்ஃபினிட்டி ஸ்டோனின் வெளிப்படையான கனசதுர வடிவ பாத்திரம்.

மார்வெல் யுனிவர்ஸின் ரசிகர்களுக்கு, டெஸராக்ட் ஒரு ஒளிரும் நீல கனசதுரமாகும், இது பூமியை மட்டுமல்ல, மற்ற கிரகங்களையும் பைத்தியம் பிடிக்கிறது. அதனால்தான் டெசராக்டின் மிகவும் அழிவுகரமான சக்திகளிலிருந்து பூமிக்குரியவர்களை பாதுகாக்க அனைத்து அவெஞ்சர்களும் ஒன்று சேர்ந்தனர்.

இருப்பினும், இதைச் சொல்ல வேண்டும்: டெஸராக்ட் என்பது ஒரு உண்மையான வடிவியல் கருத்து, அல்லது இன்னும் குறிப்பாக, 4D இல் இருக்கும் ஒரு வடிவம். இது அவெஞ்சர்ஸின் நீல கன சதுரம் மட்டுமல்ல... இது ஒரு உண்மையான கருத்து.

டெசராக்ட் என்பது 4 பரிமாணங்களில் உள்ள ஒரு பொருள். ஆனால் அதை விரிவாக விளக்குவதற்கு முன், ஆரம்பத்தில் இருந்து ஆரம்பிக்கலாம்.

"அளவீடு" என்றால் என்ன?

ஒவ்வொரு நபரும் விண்வெளியில் முறையே இரு பரிமாண அல்லது முப்பரிமாண பொருட்களைக் குறிக்கும் 2D மற்றும் 3D என்ற சொற்களைக் கேட்டிருக்கிறார்கள். ஆனால் இந்த அளவீடுகள் என்ன?

பரிமாணம் என்பது நீங்கள் செல்லக்கூடிய ஒரு திசையாகும். உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு காகிதத்தில் ஒரு கோடு வரைந்தால், நீங்கள் இடது/வலது (x-அச்சு) அல்லது மேல்/கீழே (y-axis) செல்லலாம். நீங்கள் இரண்டு திசைகளில் மட்டுமே செல்ல முடியும் என்பதால் காகிதம் இரு பரிமாணமானது என்று நாங்கள் கூறுகிறோம்.

3டியில் ஆழமான உணர்வு இருக்கிறது.

இப்போது, ​​நிஜ உலகில், மேலே குறிப்பிட்டுள்ள இரண்டு திசைகளைத் தவிர (இடது/வலது மற்றும் மேல்/கீழ்), நீங்கள் "இருந்து/இருந்து" என்றும் செல்லலாம். இதன் விளைவாக, ஆழத்தின் உணர்வு 3D இடத்தில் சேர்க்கப்படுகிறது. அதனால்தான் நிஜ வாழ்க்கை 3 பரிமாணமானது என்று சொல்கிறோம்.

ஒரு புள்ளி 0 பரிமாணங்களைக் குறிக்கும் (அது எந்த திசையிலும் நகராது), ஒரு கோடு 1 பரிமாணத்தை (நீளம்), ஒரு சதுரம் 2 பரிமாணங்களைக் (நீளம் மற்றும் அகலம்) குறிக்கிறது, மற்றும் ஒரு கன சதுரம் 3 பரிமாணங்களைக் (நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம்) குறிக்கிறது. )

ஒரு 3D கனசதுரத்தை எடுத்து அதன் ஒவ்வொரு முகத்தையும் (தற்போது சதுரமாக இருக்கும்) ஒரு கனசதுரத்துடன் மாற்றவும். அதனால்! நீங்கள் பெறும் வடிவம் டெசராக்ட் ஆகும்.

டெசராக்ட் என்றால் என்ன?

எளிமையாகச் சொன்னால், டெஸராக்ட் என்பது 4-பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு கனசதுரமாகும். இது ஒரு கனசதுரத்தின் 4D பதிப்பு என்றும் சொல்லலாம். ஒவ்வொரு முகமும் ஒரு கனசதுரமாக இருக்கும் இது 4D வடிவமாகும்.

இரண்டு ஆர்த்தோகனல் விமானங்களைச் சுற்றி இரட்டைச் சுழற்சியைச் செய்யும் டெசராக்டின் 3D ப்ரொஜெக்ஷன்.
படம்: ஜேசன் ஹிஸ்

பரிமாணங்களைக் கருத்தாக்க ஒரு எளிய வழி: ஒரு சதுரம் இரு பரிமாணமானது; எனவே, அதன் ஒவ்வொரு மூலையிலும் 90 டிகிரி கோணத்தில் 2 கோடுகள் உள்ளன. கன சதுரம் 3D, எனவே அதன் ஒவ்வொரு மூலையிலும் 3 கோடுகள் வரும். அதேபோல், டெசராக்ட் ஒரு 4D வடிவமாகும், எனவே ஒவ்வொரு மூலையிலும் 4 கோடுகள் நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளன.

ஒரு டெசராக்டை கற்பனை செய்வது ஏன் கடினம்?

மனிதர்களாகிய நாம் பொருட்களை முப்பரிமாணத்தில் காட்சிப்படுத்துவதற்கு பரிணமித்திருப்பதால், 4D, 5D, 6D, போன்ற கூடுதல் பரிமாணங்களுக்குச் செல்லும் எதுவும் நமக்குப் புரியாது, ஏனென்றால் அவற்றை நாம் அறிமுகப்படுத்தவே முடியாது. நமது மூளை விண்வெளியில் நான்காவது பரிமாணத்தை புரிந்து கொள்ள முடியாது. நாம் அதை பற்றி யோசிக்க முடியாது.

எவ்வாறாயினும், பல பரிமாண இடைவெளிகளின் கருத்தை நம்மால் கற்பனை செய்ய முடியாது என்பதால் அது இருக்க முடியாது என்று அர்த்தமல்ல.

கணித ரீதியாக, டெசராக்ட் ஒரு துல்லியமான வடிவம். அதேபோல், உயர் பரிமாணங்களில் உள்ள அனைத்து வடிவங்களும், அதாவது 5D மற்றும் 6D, கணித ரீதியாக நம்பத்தகுந்தவை.

2டி ஸ்பேஸில் ஒரு கனசதுரத்தை 6 சதுரங்களாக விரிவுபடுத்துவது போல், ஒரு டெஸராக்டை 3டி ஸ்பேஸில் 8 க்யூப்ஸாக விரிவாக்க முடியும்.

ஆச்சரியமாகவும் புரிந்துகொள்ள முடியாததாகவும் இருக்கிறது, இல்லையா?

எனவே டெசராக்ட் என்பது ஒரு "உண்மையான கருத்து" ஆகும், இது முற்றிலும் கணித ரீதியாக நம்பத்தகுந்ததாகும், அவெஞ்சர்ஸ் திரைப்படங்களில் சண்டையிடப்பட்ட பளபளப்பான நீல கன சதுரம் மட்டுமல்ல.

ஹைபர்கியூப் மற்றும் பிளாட்டோனிக் திடப்பொருட்கள்

"வெக்டர்" அமைப்பில் துண்டிக்கப்பட்ட ஐகோசஹெட்ரானை ("கால்பந்து பந்து") மாதிரியாக்குங்கள்
இதில் ஒவ்வொரு ஐங்கோணமும் அறுகோணங்களால் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது

துண்டிக்கப்பட்ட ஐகோசஹெட்ரான்வழக்கமான பென்டகன்களின் வடிவத்தில் முகங்களை உருவாக்க 12 முனைகளை வெட்டுவதன் மூலம் பெறலாம். இந்த நிலையில், புதிய பாலிஹெட்ரானின் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை 5 மடங்கு அதிகரிக்கிறது (12×5=60), 20 முக்கோண முகங்கள் வழக்கமான அறுகோணங்களாக மாறும் (மொத்தம் முகங்கள் 20+12=32 ஆக மாறும்), ஏ விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை 30+12×5=90 ஆக அதிகரிக்கிறது.

திசையன் அமைப்பில் துண்டிக்கப்பட்ட ஐகோசஹெட்ரானை உருவாக்குவதற்கான படிகள்

4-பரிமாண இடத்தில் உள்ள புள்ளிவிவரங்கள்.

--à

--à ?

உதாரணமாக, ஒரு கனசதுரம் மற்றும் ஒரு ஹைப்பர்கியூப் கொடுக்கப்பட்டது. ஒரு ஹைப்பர்க்யூப் 24 முகங்களைக் கொண்டுள்ளது. அதாவது 4-பரிமாண எண்கோணம் 24 முனைகளைக் கொண்டிருக்கும். இல்லாவிட்டாலும், ஒரு ஹைப்பர்க்யூப் க்யூப்ஸின் 8 முகங்களைக் கொண்டுள்ளது - ஒவ்வொன்றும் அதன் உச்சியில் ஒரு மையத்தைக் கொண்டுள்ளது. இதன் பொருள் 4-பரிமாண எண்கோணல் 8 செங்குத்துகளைக் கொண்டிருக்கும், இது இன்னும் இலகுவானது.

4-பரிமாண எண்முகம். இது எட்டு சமபக்க மற்றும் சமமான டெட்ராஹெட்ராவைக் கொண்டுள்ளது,
ஒவ்வொரு உச்சியிலும் நான்கால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது.

அரிசி. உருவகப்படுத்த ஒரு முயற்சி
"வெக்டர்" அமைப்பில் ஹைப்பர்பால்-ஹைப்பர்ஸ்பியர்

முன் - பின் முகங்கள் - சிதைவு இல்லாமல் பந்துகள். மற்றொரு ஆறு பந்துகளை நீள்வட்டங்கள் அல்லது இருபடிப் பரப்புகளில் (ஜெனரேட்டர்களாக 4 விளிம்பு கோடுகள் மூலம்) அல்லது முகங்கள் வழியாக (முதலில் ஜெனரேட்டர்கள் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது) வரையறுக்கலாம்.

ஹைப்பர்ஸ்பியரை "கட்டமைக்க" கூடுதல் நுட்பங்கள்
- 4-பரிமாண இடத்தில் அதே "கால்பந்து"

இணைப்பு 2

குவிந்த பாலிஹெட்ராவிற்கு, அதன் செங்குத்துகள், விளிம்புகள் மற்றும் முகங்களின் எண்ணிக்கையுடன் தொடர்புடைய ஒரு பண்பு உள்ளது, இது 1752 இல் லியோன்ஹார்ட் யூலரால் நிரூபிக்கப்பட்டது, மேலும் யூலரின் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அதை உருவாக்கும் முன், நமக்குத் தெரிந்த பாலிஹெட்ராவைக் கருத்தில் கொண்டு பின்வரும் அட்டவணையை நிரப்பவும், இதில் B என்பது கொடுக்கப்பட்ட பாலிஹெட்ரானின் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை, P - விளிம்புகள் மற்றும் G - முகங்கள்:

பாலிஹெட்ரான் பெயர்
முக்கோண பிரமிடு
நாற்கர பிரமிடு
முக்கோண பட்டகம்
நாற்கர ப்ரிஸம்
n-நிலக்கரி பிரமிடு	n+1	2n	n+1
n-கார்பன் ப்ரிஸம்	2n	3n	n+2
n-நிலக்கரி துண்டிக்கப்பட்டது பிரமிடு	2n	3n	n+2

தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அனைத்து பாலிஹெட்ராவிற்கும் B - P + G = 2 சமத்துவம் உள்ளது என்பது இந்த அட்டவணையில் இருந்து உடனடியாகத் தெளிவாகிறது, இந்த சமத்துவம் இந்த பாலிஹெட்ராவிற்கு மட்டுமல்ல, தன்னிச்சையான குவிந்த பாலிஹெட்ரானுக்கும் செல்லுபடியாகும்.

ஆய்லரின் தேற்றம். எந்த குவிந்த பாலிஹெட்ரானுக்கும் சமத்துவம் உள்ளது

பி - பி + ஜி = 2,

இதில் B என்பது செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை, P என்பது விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் G என்பது கொடுக்கப்பட்ட பாலிஹெட்ரானின் முகங்களின் எண்ணிக்கை.

ஆதாரம்.இந்த சமத்துவத்தை நிரூபிக்க, ஒரு மீள் பொருளால் செய்யப்பட்ட இந்த பாலிஹெட்ரானின் மேற்பரப்பை கற்பனை செய்து பாருங்கள். அதன் முகங்களில் ஒன்றை அகற்றி (வெட்டி) மீதமுள்ள மேற்பரப்பை ஒரு விமானத்தில் நீட்டுவோம். நாம் ஒரு பலகோணத்தைப் பெறுகிறோம் (பாலிஹெட்ரானின் அகற்றப்பட்ட முகத்தின் விளிம்புகளால் உருவாக்கப்பட்டது), சிறிய பலகோணங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது (பாலிஹெட்ரானின் மீதமுள்ள முகங்களால் உருவாக்கப்பட்டது).

பக்கங்களில் இடைவெளிகள் இல்லாத வரை, பலகோணங்கள் அவற்றின் பக்கங்களை சிதைக்கலாம், பெரிதாக்கலாம், குறைக்கலாம் அல்லது வளைக்கலாம். செங்குத்துகள், விளிம்புகள் மற்றும் முகங்களின் எண்ணிக்கை மாறாது.

பலகோணத்தை சிறிய பலகோணங்களாக பிரிப்பது சமத்துவத்தை பூர்த்தி செய்கிறது என்பதை நிரூபிப்போம்

(*)பி - பி + ஜி " = 1,

இதில் B என்பது செங்குத்துகளின் மொத்த எண்ணிக்கை, P என்பது விளிம்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கை மற்றும் Г " என்பது பகிர்வில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள பலகோணங்களின் எண்ணிக்கை. Г " = Г - 1, Г என்பது கொடுக்கப்பட்ட முகங்களின் எண்ணிக்கை என்பது தெளிவாகிறது. பாலிஹெட்ரான்.

கொடுக்கப்பட்ட பகிர்வின் சில பலகோணத்தில் ஒரு மூலைவிட்டம் வரையப்பட்டால் சமத்துவம் (*) மாறாது என்பதை நிரூபிப்போம் (படம் 5, a). உண்மையில், அத்தகைய மூலைவிட்டத்தை வரைந்த பிறகு, புதிய பகிர்வில் B செங்குத்துகள், P+1 விளிம்புகள் இருக்கும் மற்றும் பலகோணங்களின் எண்ணிக்கை ஒன்று அதிகரிக்கும். எனவே, எங்களிடம் உள்ளது

பி - (பி + 1) + (ஜி "+1) = பி - பி + ஜி " .

இந்த சொத்தைப் பயன்படுத்தி, உள்வரும் பலகோணங்களை முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கும் மூலைவிட்டங்களை வரைகிறோம், இதன் விளைவாக பகிர்வுக்கு நாம் சமத்துவத்தின் சாத்தியத்தை (*) காட்டுகிறோம் (படம் 5, b). இதைச் செய்ய, முக்கோணங்களின் எண்ணிக்கையைக் குறைத்து, வெளிப்புற விளிம்புகளை தொடர்ச்சியாக அகற்றுவோம். இந்த வழக்கில், இரண்டு வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

a) ஒரு முக்கோணத்தை அகற்றவும் ஏபிசிஎங்கள் விஷயத்தில், இரண்டு விலா எலும்புகளை அகற்றுவது அவசியம் ஏபிமற்றும் பி.சி.;

b) ஒரு முக்கோணத்தை அகற்றவும்எம்.கே.என்எங்கள் விஷயத்தில், ஒரு விளிம்பை அகற்றுவது அவசியம்எம்.என்.

இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், சமத்துவம் (*) மாறாது. எடுத்துக்காட்டாக, முதல் வழக்கில், முக்கோணத்தை அகற்றிய பிறகு, வரைபடம் B - 1 முனைகள், P - 2 விளிம்புகள் மற்றும் G "- 1 பலகோணம்:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G ".

இரண்டாவது வழக்கை நீங்களே கவனியுங்கள்.

எனவே, ஒரு முக்கோணத்தை அகற்றுவது சமத்துவத்தை (*) மாற்றாது. முக்கோணங்களை அகற்றும் இந்த செயல்முறையைத் தொடர்ந்து, இறுதியில் ஒரு முக்கோணத்தைக் கொண்ட பகிர்வுக்கு வருவோம். அத்தகைய பகிர்வுக்கு, B = 3, P = 3, Г " = 1 மற்றும், எனவே, B – Р + Г " = 1. இதன் பொருள், அசல் பகிர்வுக்கும் சமத்துவம் (*) உள்ளது, அதிலிருந்து நாம் இறுதியாக அதைப் பெறுகிறோம் பலகோண சமத்துவத்தின் இந்த பகிர்வு (*) உண்மை. எனவே, அசல் குவிந்த பாலிஹெட்ரானுக்கு சமம் B - P + G = 2 உண்மை.

ஆய்லரின் தொடர்பு இல்லாத பாலிஹெட்ரானின் உதாரணம்,படம் 6 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது. இந்த பாலிஹெட்ரான் 16 செங்குத்துகள், 32 விளிம்புகள் மற்றும் 16 முகங்களைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, இந்த பாலிஹெட்ரானுக்கு B – P + G = 0 சமத்துவம் உள்ளது.

இணைப்பு 3.

ஃபிலிம் கியூப் 2: ஹைபர்கியூப் என்பது ஒரு அறிவியல் புனைகதை திரைப்படம், இது கியூப் படத்தின் தொடர்ச்சி.

எட்டு அந்நியர்கள் கன சதுரம் வடிவ அறைகளில் எழுந்திருக்கிறார்கள். அறைகள் நான்கு பரிமாண ஹைபர்கியூப் உள்ளே அமைந்துள்ளன. அறைகள் தொடர்ந்து "குவாண்டம் டெலிபோர்ட்டேஷன்" மூலம் நகர்கின்றன, மேலும் நீங்கள் அடுத்த அறைக்கு ஏறினால், முந்தைய அறைக்கு திரும்புவது சாத்தியமில்லை. இணை உலகங்கள் மிகை கனசதுரத்தில் வெட்டுகின்றன, சில அறைகளில் நேரம் வித்தியாசமாக பாய்கிறது, சில அறைகள் கொடிய பொறிகளாகும்.

படத்தின் கதைக்களம் பெரும்பாலும் முதல் பகுதியின் கதையை மீண்டும் மீண்டும் செய்கிறது, இது சில கதாபாத்திரங்களின் படங்களிலும் பிரதிபலிக்கிறது. நோபல் பரிசு பெற்ற ரோசன்ஸ்வீக், ஹைப்பர் க்யூப் அழிக்கப்பட்ட நேரத்தை சரியாகக் கணக்கிட்டார், ஹைப்பர் கியூப்பின் அறைகளில் இறக்கிறார்..

திறனாய்வு

முதல் பகுதியில், ஒரு தளம் சிறையில் அடைக்கப்பட்டவர்கள் ஒருவருக்கொருவர் உதவ முயன்றால், இந்த படத்தில் அது ஒவ்வொரு மனிதனும் தனக்காகத்தான். தேவையற்ற ஸ்பெஷல் எஃபெக்ட்ஸ் (அக்கா ட்ராப்கள்) நிறைய உள்ளன, அவை எந்த வகையிலும் படத்தின் இந்த பகுதியை முந்தைய பகுதியுடன் தர்க்கரீதியாக இணைக்கவில்லை. அதாவது, கியூப் 2 திரைப்படம் எதிர்கால 2020-2030 இன் ஒரு வகையான தளம் என்று மாறிவிடும், ஆனால் 2000 அல்ல. முதல் பகுதியில், அனைத்து வகையான பொறிகளும் கோட்பாட்டளவில் ஒரு நபரால் உருவாக்கப்படலாம். இரண்டாவது பகுதியில், இந்த பொறிகள் சில வகையான கணினி நிரல்களாகும், இது "விர்ச்சுவல் ரியாலிட்டி" என்று அழைக்கப்படுகிறது.