По мере развития общества, усложнения производства развивалась и математика. Движение от простого к сложному. От обычного учёта методом сложения и вычитания, при их многократном повторении, пришли к понятию умножения и деления. Сокращение многократно повторяемой операции умножения стало понятием возведения в степень. Первые таблицы зависимости чисел от основания и числа возведения в степень были составлены ещё в VIII веке индийским математиком Варасена. С них и можно отсчитывать время возникновения логарифмов.

Исторический очерк

Возрождение Европы в XVI веке стимулировало и развитие механики. Требовался большой объем вычисления , связанных с умножением и делением многозначных чисел. Древние таблицы оказали большую услугу. Они позволяли заменять сложные операции на более простые – сложение и вычитание. Большим шагом вперёд стала работа математика Михаэля Штифеля, опубликованная в 1544 году, в которой он реализовал идею многих математиков. Что позволило использовать таблицы не только для степеней в виде простых чисел, но и для произвольных рациональных.

В 1614 году шотландец Джон Непер, развивая эти идеи, впервые ввёл новый термин «логарифм числа». Были составлены новые сложные таблицы для расчёта логарифмов синусов и косинусов, а также тангенсов. Это сильно сократило труд астрономов.

Стали появляться новые таблицы, которые успешно использовались учёными на протяжении трёх веков. Прошло немало времени, прежде чем новая операция в алгебре приобрела свой законченный вид. Было дано определение логарифма, и его свойства были изучены.

Только в XX веке с появлением калькулятора и компьютера человечество отказалось от древних таблиц, успешно работавших на протяжении XIII веков.

Сегодня мы называем логарифмом b по основанию a число x, которое является степенью числа а, чтобы получилось число b. В виде формулы это записывается: x = log a(b).

Например, log 3(9) будет равен 2. Это очевидно, если следовать определению. Если 3 возвести в степень 2, то получим 9.

Так, сформулированное определение ставит только одно ограничение, числа a и b должны быть вещественными.

Разновидности логарифмов

Классическое определение носит название вещественный логарифм и фактически является решением уравнения a x = b. Вариант a = 1 является пограничным и не представляет интереса. Внимание: 1 в любой степени равно 1.

Вещественное значение логарифма определено только при основании и аргументе больше 0, при этом основание не должно равняться 1.

Особое место в области математики играют логарифмы, которые будут называться в зависимости от величины их основания:

Правила и ограничения

Основополагающим свойством логарифмов является правило: логарифм произведения равен логарифмической сумме. log abp = lоg a(b) + log a(p).

Как вариант этого утверждения будет: log с(b/p) = lоg с(b) — log с(p), функция частного равна разности функций.

Из предыдущих двух правил легко видно, что: lоg a(b p) = p * log a(b).

Среди других свойств можно выделить:

Замечание. Не надо делать распространённую ошибку - логарифм суммы не равен сумме логарифмов.

Многие века операция поиска логарифма была довольно трудоёмкой задачей. Математики пользовались известной формулой логарифмической теории разложения на многочлен:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*((x^n)/n), где n - натуральное число больше 1, определяющее точность вычисления.

Логарифмы с другими основаниями вычислялись, используя теорему о переходе от одного основания к другому и свойстве логарифма произведения.

Так как этот способ очень трудоёмкий и при решении практических задач трудноосуществим, то использовали заранее составленные таблицы логарифмов, что значительно ускоряло всю работу.

В некоторых случаях использовали специально составленные графики логарифмов, что давало меньшую точность, но значительно ускоряло поиск нужного значения. Кривая функции y = log a(x), построенная по нескольким точкам, позволяет с помощью обычной линейки находить значения функции в любой другой точке. Инженеры длительное время для этих целей использовали так называемую миллиметровую бумагу.

В XVII веке появились первые вспомогательные аналоговые вычислительные условия, которые к XIX веку приобрели законченный вид. Наиболее удачное устройство получило название логарифмическая линейка. При всей простоте устройства, её появление значительно ускорило процесс всех инженерных расчётов, и это переоценить трудно. В настоящее время уже мало кто знаком с этим устройством.

Появление калькуляторов и компьютеров сделало бессмысленным использование любых других устройств.

Уравнения и неравенства

Для решения различных уравнений и неравенств с использованием логарифмов применяются следующие формулы:

• Переход от одного основания к другому: lоg a(b) = log c(b) / log c(a);
• Как следствие предыдущего варианта: lоg a(b) = 1 / log b(a).

Для решения неравенств полезно знать:

• Значение логарифма будет положительным только в том случае, когда основание и аргумент одновременно больше или меньше единицы; если хотя бы одно условие нарушено, значение логарифма будет отрицательным.
• Если функция логарифма применяется к правой и левой части неравенства, и основание логарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется; в противном случае он меняется.

Примеры задач

Рассмотрим несколько вариантов применения логарифмов и их свойства. Примеры с решением уравнений:

Рассмотрим вариант размещения логарифма в степени:

• Задача 3. Вычислить 25^log 5(3). Решение: в условиях задачи запись аналогична следующей (5^2)^log5(3) или 5^(2 * log 5(3)). Запишем по-другому: 5^log 5(3*2), или квадрат числа в качестве аргумента функции можно записать как квадрат самой функции (5^log 5(3))^2. Используя свойства логарифмов, это выражение равно 3^2. Ответ: в результате вычисления получаем 9.

Практическое применение

Являясь исключительно математическим инструментом, кажется далёким от реальной жизни, что логарифм неожиданно приобрёл большое значение для описания объектов реального мира. Трудно найти науку, где его не применяют. Это в полной мере относится не только к естественным, но и гуманитарным областям знаний.

Логарифмические зависимости

Приведём несколько примеров числовых зависимостей:

Механика и физика

Исторически механика и физика всегда развивались с использованием математических методов исследования и одновременно служили стимулом для развития математики, в том числе логарифмов. Теория большинства законов физики написана языком математики. Приведём только два примера описания физических законов с использованием логарифма.

Решать задачу расчёта такой сложной величины как скорость ракеты можно, применяя формулу Циолковского, которая положила начало теории освоения космоса:

V = I * ln (M1/M2), где

• V – конечная скорость летательного аппарата.
• I – удельный импульс двигателя.
• M 1 – начальная масса ракеты.
• M 2 – конечная масса.

Другой важный пример - это использование в формуле другого великого учёного Макса Планка, которая служит для оценки равновесного состояния в термодинамике.

S = k * ln (Ω), где

• S – термодинамическое свойство.
• k – постоянная Больцмана.
• Ω – статистический вес разных состояний.

Химия

Менее очевидным будет использования формул в химии, содержащих отношение логарифмов. Приведём тоже только два примера:

• Уравнение Нернста, условие окислительно-восстановительного потенциала среды по отношению к активности веществ и константой равновесия.
• Расчёт таких констант, как показатель автопролиза и кислотность раствора тоже не обходятся без нашей функции.

Психология и биология

И уж совсем непонятно при чём здесь психология. Оказывается, сила ощущения хорошо описывается этой функцией как обратное отношение значения интенсивности раздражителя к нижнему значению интенсивности.

После вышеприведённых примеров уже не удивляет, что и в биологии широко используется тема логарифмов. Про биологические формы, соответствующие логарифмическим спиралям, можно писать целые тома.

Другие области

Кажется, невозможно существование мира без связи с этой функцией, и она правит всеми законами. Особенно, когда законы природы связаны с геометрической прогрессией. Стоит обратиться к сайту МатПрофи, и таких примеров найдётся множество в следующих сферах деятельности:

Список может быть бесконечным. Освоив основные закономерности этой функции, можно окунуться в мир бесконечной мудрости.

Степенная или логарифмическая зависимость?

Сравнение коэффициентов корреляции

Еще в XIX в. немецкий философ, один из основоположников научной психологии Г.-Т. Фехнер выдвинул психофизический закон, описывающий зависимость ощущений от величины физической стимуляции. Этот закон, получивший название закона Вебера – Фехнера, предполагал логарифмическую зависимость между энергией стимула, воздействующего на орган чувств, и величиной ощущения, которое этот стимул вызывает. В XX в. американский психофизик С. С. Стивенс подверг критике методологию Фехнера, не предполагавшую возможности непосредственной оценки ощущения. Результатом этой критики стала разработка С. С. Стивенсом ряда методических процедур, которые получили название методов прямой оценки ощущений. На основе получаемых в эксперименте данных стало возможным оценивать связь между величиной стимула и величиной ощущения не только в теории, но и на практике. В результате Стивенс сделал вывод о том, что психофизическая зависимость должна описываться но логарифмической, а степенной функцией.

Посмотрим, каким образом методология Стивенса и простейшие процедуры корреляционного анализа позволяют сравнить данные на предмет их соответствия логарифмическому и степенному психофизическому закону.

Для этого воспользуемся результатами, полученными в одном психофизическом эксперименте (Т. Engen ). В этом эксперименте для оценки концентраций запаха амилацетата (банана), разведенного в диэтилфталате, использовался метод оценки величины с заданным модулем. Каждый из 12 испытуемых дважды проводил оценку семи различных концентраций запаха. В качестве модуля использовалась концентрация 12,5%. Значение модуля задавалось равным 10. В табл. 7.10 представлены усредненные шкальные значения для каждого стимула.

Представим эти результаты в виде диаграммы рассеивания (рис. 7.7). Видно, что по мере нарастания концентрации пахучего вещества увеличивается субъективная оценка его ощущения. Эта зависимость носит монотонный, но, по-видимому, нелинейный характер. Тем не менее вычисление коэффициента корреляции между этими двумя рядами данных дает довольно высокое значение – 0,984. Такой коэффициент корреляции дает объяснение 96,8% дисперсии зависимой переменной (критерия), непосредственно ассоциированной со значением независимой переменной (предиктора), хотя и не имеет под собой каких-либо теоретических оснований.

Таблица 7.10

Субъективная шкала запаха амилацетата, разведенного в диатилфталате (Т. Engen )

Рис. 7.7.

Логарифмический закон Вебера – Фехнера предполагает, что линейная зависимость будет наблюдаться между логарифмами концентрации амилацетата и субъективной оценкой ощущения.

Такая зависимость представляется весьма вероятной, если судить по данным, которые представлены на рис. 7.7. Поэтому осуществим трансформацию использовавшихся в эксперименте концентраций в их натуральные логарифмы и снова построим диаграмму рассеивания. На рис. 7.8 отражена зависимость субъективной оценки запаха теперь уже от величины логарифма концентрации амилацетата. Но снова, как кажется, мы не наблюдаем линейной зависимости. На этот раз коэффициент корреляции между логарифмом концентрации пахучего вещества и субъективной оценкой его запаха оказался даже ниже того, что мы отмечали для первоначальных данных, хотя все еще и довольной высокий – 0,948. В этом случае только 89,8% дисперсии критерия непосредственно оказываются связанными с дисперсией предиктора. Таким образом предсказания закона Вебера – Фехнера применительно к нашим данным выглядят не слишком убедительно.

Рис. 7.8.

Степенной психофизический закон Стивенса устанавливает линейную зависимость между логарифмами стимуляции и величины ощущения. Рисунок 7.9 свидетельствует о том, что такое предсказание оказывается довольно точным. Все точки диаграммы рассеивания идеально выстраиваются вдоль одной линии. Коэффициент корреляции между этими рядами данных составляет 0,999. Это значит, что такая регрессионная модель описывает 99,8% дисперсии зависимой переменной, которая может быть связана с дисперсией независимой переменной.

Рис. 7.9.

Таким образом, наглядное сравнение рис. 7.7-7.9, а также вычисленные коэффициенты корреляции, как кажется, однозначно свидетельствуют в пользу степенного закона Стивенса. Тем не менее попытаемся оценить, насколько велика статистическая разница между этими тремя коэффициентами корреляции.

Прежде всего осуществим логарифмическую трансформацию вычисленных нами коэффициентов корреляции, воспользовавшись нелинейным преобразованием Фишера:

Для упрощения расчетов можно воспользоваться соответствующей функцией Microsoft Excel – ФИШЕР. В качестве аргумента она принимает значение соответствующего коэффициента корреляции.

Результаты таких преобразований дают нам следующие значения z":

• 1. Для связи концентраций амилацетата и оценки запахов z" = 2,41.
• 2. Для связи логарифма концентраций и оценки запахов z" = 1,81.
• 3. Для связи логарифма концентраций и логарифма субъективных оценок z" = 3,89.

Теперь мы можем выдвинуть три статистические гипотезы о попарном равенстве этих коэффициентов корреляции в генеральной совокупности. Для оценки статистической надежности этих гипотез необходимо построить три статистики z:

Здесь п и т соответствуют размерам выборок. В нашем случае и то и другое значение равно семи, так как используются одни и тс же данные.

В результате получаем, что статистика z для случая сравнения коэффициента корреляции между первоначальными значениями концентрации пахучего вещества и субъективной оценкой запаха, с одной стороны, и коэффициента корреляции между результатами логарифмического преобразования стимульных значений и их ощущениями – с другой, оказывается равной 0,85, что соответствует закону Вебера – Фехнера. Оценить надежность этой статистики можно с помощью статистических таблиц (см. приложение 1). Оценка показывает, что такое значение ненадежно отличается от нулевого и, следовательно, необходимо сохранить выдвинутую нулевую гипотезу о равенстве этих коэффициентов корреляции.

Сравнение коэффициента корреляции, предполагающего логарифмическую трансформацию обеих переменных – закон Стивенса, с коэффициентами корреляции, предполагающими логарифмическую трансформацию только независимой переменной – закон Вебера – Фехнера и вообще не предполагающими такой трансформации, дает значения z-статистики соответственно 2,94 и 2,10. Оба этих значения свидетельствуют о надежном отличии статистики z от теоретически ожидаемой нулевой величины. Следовательно,

необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве коэффициентов корреляции.

(от греческого λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число») числа b по основанию a (log α b ) называется такое число c , и b = a c , то есть записи log α b =c и b=a c эквивалентны. Логарифм имеет смысл, если a > 0, а ≠ 1, b > 0.

Говоря другими словами логарифм числа b по основанию а формулируется как показатель степени , в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).

Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= log α b , равнозначно решению уравнения a x =b.

Например:

log 2 8 = 3 потому, что 8=2 3 .

Выделим, что указанная формулировка логарифма дает возможность сразу определить значение логарифма , когда число под знаком логарифма выступает некоторой степенью основания. И в правду, формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .

Вычисление логарифма именуют логарифмированием . Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.

Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов трансформируются в произведение сомножителей.

Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).

На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов log 7 2, ln√ 5, lg0.0001.

А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число , во второй - отрицательное число в основании, а в третьей - и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.

Условия определения логарифма.

Стоит отдельно рассмотреть условия a > 0, a ≠ 1, b > 0.при которых дается определение логарифма . Рассмотрим, почему взяты эти ограничения. В это нам поможет равенство вида x = log α b , называемое основным логарифмическим тождеством , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.

Возьмем условие a≠1 . Поскольку единица в любой степени равна единице, то равенство x=log α b может существовать лишь при b=1 , но при этом log 1 1 будет любым действительным числом . Для исключения этой неоднозначности и берется a≠1 .

Докажем необходимость условия a>0 . При a=0 по формулировке логарифма может существовать только при b=0 . И соответственно тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Исключить эту неоднозначность дает условие a≠0 . А при a<0 нам бы пришлось отвергнуть разбор рациональных и иррациональных значений логарифма, поскольку степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Именно по этой причине и оговорено условие a>0 .

И последнее условие b>0 вытекает из неравенства a>0 , поскольку x=log α b , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.

Особенности логарифмов.

Логарифмы характеризуются отличительными особенностями , которые обусловили их повсеместное употребление для значительного облегчения кропотливых расчетов. При переходе «в мир логарифмов» умножение трансформируется на значительно более легкое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня трансформируются соответствующе в умножение и деление на показатель степени.

Формулировку логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые издал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, увеличенные и детализированные прочими учеными, широко использовались при выполнении научных и инженерных вычислений, и оставались актуальными пока не стали применяться электронные калькуляторы и компьютеры.

логарифмическая зависимость - logaritminė priklausomybė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. logarithmic dependence vok. logarithmische Abhängigkeit, f rus. логарифмическая зависимость, f pranc. dépendance logarithmique, f … Fizikos terminų žodynas

Функция, обратная к показательной функции (См. Показательная функция). Л. ф. обозначается y = lnx; (1) её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным Логарифмом числа х. В силу определения… …

Специальным образом разграфленная бумага; обычно изготовляется типографским способом. Она строится следующим образом (рис. 1): на каждой из осей прямоугольной системы координат откладываются десятичные Логарифмы чисел u (на оси абсцисс) и … Большая советская энциклопедия

Функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается ее значение у, соответствующее значению аргумента х, наз. натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно Так как при любом действительном у, то Л. ф.… … Математическая энциклопедия

График двоичного логарифма Логарифм числа … Википедия

закон Вебера-Фехнера - логарифмическая зависимость силы ощущения Е от физической интенсивности раздражителя Р: Е = к log P + с, где k и с некие постоянные, определяемые данной сенсорной системой. Зависимость была выведена немецким психологом и физиологом Г. Т. Фехнером …

интенсивность ощущения - степень субъективной выраженности ощущения, связанного с некоим раздражителем. Связь интенсивности ощущения с физической интенсивностью раздражителя имеет достаточно сложный вид. Предложены различные модели, описывающие эту связь: так, в… … Большая психологическая энциклопедия

Вебера-Фехнера закон - логарифмическая зависимость силы ощущения (Е) от физической интенсивности раздражителя (Р): Е=k log P+ + c, где k и с нек рые постоянные, определяемые данной сенсорной системой. Эта зависимость была выведена немецким психологом и физиологом Г. Т … Большая психологическая энциклопедия

I. Задача П.; II. законы Вебера и Фехнера; III. Психофизические методы; IV. Результаты опытов; V. Смысл психофизических законов; VI. Литература. I. Задача П. Сравнивая различные ощущения, мы замечаем, что они имеют: 1) разные качества, 2)… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Течение жидкости или газа, характеризующееся беспорядочным, нерегулярным перемещением его объёмов и их интенсивным перемешиванием (см. Турбулентность), но в целом имеющее плавный, регулярный характер. Образование Т. т. связано с неустойчивостью… … Энциклопедия техники

основной психофизический закон - ОСНОВНОЙ ПСИХОФИЗИЧЕСКИЙ ЗАКОН функция зависимости величины ощущения от величины раздражителя. Единой формулы О. п. з. нет, но есть его варианты: логарифмический (Фехнера), степенной (Стивенса), обобщенные (Бэрда, Экмана, Забродина и др.) … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.