Pangkalahatang pamamaraan ng linearization
Sa karamihan ng mga kaso, posibleng i-linearize ang mga non-linear na dependencies gamit ang paraan ng maliliit na deviations o variation. Upang isaalang-alang ang ᴇᴦο, buksan natin ang ilang link sa awtomatikong control system (Larawan 2.2). Ang mga dami ng input at output ay tinutukoy ng X1 at X2, at ang panlabas na perturbation ay tinutukoy ng F(t).
Ipagpalagay natin na ang link ay inilalarawan ng ilang non-linear differential equation ng form
Upang i-compile ang naturang equation, kailangan mong gamitin ang naaangkop na sangay ng mga teknikal na agham (halimbawa, electrical engineering, mechanics, hydraulics, atbp.) na nag-aaral sa partikular na uri ng device na ito.
Ang batayan para sa linearization ay ang pagpapalagay na ang mga deviations ng lahat ng mga variable na kasama sa link dynamics equation ay sapat na maliit, dahil ito ay tiyak sa isang sapat na maliit na seksyon na ang curvilinear na katangian ay maaaring mapalitan ng isang tuwid na linya ng segment. Ang mga paglihis ng mga variable ay sinusukat sa kasong ito mula sa kanilang mga halaga sa tuluy-tuloy na proseso o sa isang tiyak na estado ng balanse ng system. Hayaan, halimbawa, ang tuluy-tuloy na proseso ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang pare-parehong halaga ng variable na X1, na tinutukoy namin bilang X10. Sa proseso ng regulasyon (Larawan 2.3), ang variable X1 ay magkakaroon ng mga halaga kung saan nagsasaad ng paglihis ng variable X 1 mula sa steady na halaga X10.
Ang mga katulad na relasyon ay ipinakilala para sa iba pang mga variable. Para sa kaso na isinasaalang-alang, mayroon kaming ˸ at gayundin .
Ang lahat ng mga paglihis ay ipinapalagay na sapat na maliit. Ang matematikal na pagpapalagay na ito ay hindi sumasalungat sa pisikal na kahulugan ng problema, dahil ang mismong ideya ng awtomatikong kontrol ay nangangailangan na ang lahat ng mga paglihis ng kinokontrol na variable sa panahon ng proseso ng kontrol ay sapat na maliit.
Ang matatag na estado ng link ay tinutukoy ng mga halaga ng X10, X20 at F0. Pagkatapos ay dapat isulat ang equation (2.1) para sa steady state sa form
Palawakin natin ang kaliwang bahagi ng equation (2.1) sa serye ng Taylor
kung saan ang D ay mas mataas na pagkakasunud-sunod ng mga termino. Ang index 0 para sa mga partial derivatives ay nangangahulugan na pagkatapos kunin ang derivative, ang steady value ng lahat ng variable ay dapat mapalitan sa expression nito.
Ang mga termino ng mas mataas na pagkakasunud-sunod sa formula (2.3) ay kinabibilangan ng mas matataas na partial derivative na pinarami ng mga parisukat, cube at mas mataas na antas ng mga deviation, pati na rin ang mga produkto ng deviations. Sila ay magiging maliit sa isang mas mataas na pagkakasunud-sunod kumpara sa mga paglihis mismo, na maliit sa unang pagkakasunud-sunod.
Ang equation (2.3) ay isang link dynamics equation, tulad ng (2.1), ngunit nakasulat sa ibang anyo. Itapon natin ang mas mataas na ayos na maliliit sa equation na ito, pagkatapos ay ibawas natin ang steady-state equation (2.2) mula sa Eq. (2.3). Bilang resulta, nakukuha namin ang sumusunod na tinatayang equation ng link dynamics sa maliliit na deviations˸
Sa equation na ito, ang lahat ng mga variable at ang kanilang mga derivatives ay pumapasok nang linearly, iyon ay, sa unang antas. Ang lahat ng partial derivatives ay ilang constant coefficient kung sakaling sinisiyasat ang isang system na may pare-parehong parameter. Kung ang system ay may variable na mga parameter, ang equation (2.4) ay magkakaroon ng variable coefficients. Isaalang-alang lamang natin ang kaso ng mga pare-parehong coefficient.
Pangkalahatang pamamaraan ng linearization - konsepto at mga uri. Pag-uuri at mga tampok ng kategoryang "Pangkalahatang pamamaraan ng linearization" 2015, 2017-2018.
Ang paraan ng harmonic linearization (harmonic balance) ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang mga kondisyon para sa pagkakaroon at mga parameter ng posibleng self-oscillations sa mga non-linear na awtomatikong control system. Ang mga self-oscillations ay natutukoy sa pamamagitan ng limit cycles sa phase space ng mga system. Limitahan ang mga siklo na naghahati sa espasyo (karaniwan ay - multidimensional) sa mga domain ng damped at divergent na proseso. Bilang isang resulta ng pagkalkula ng mga parameter ng self-oscillations, maaari isa tapusin na sila ay tinatanggap para sa isang naibigay na sistema o na ito ay kinakailangan upang baguhin ang mga parameter ng system.
Pinapayagan ng pamamaraan ang:
Tukuyin ang mga kondisyon para sa katatagan ng isang nonlinear system;
Hanapin ang dalas at amplitude ng mga libreng oscillations ng system;
I-synthesize ang mga corrective circuit upang matiyak ang mga kinakailangang parameter ng self-oscillations;
Siyasatin ang sapilitang mga oscillation at suriin ang kalidad ng mga lumilipas na proseso sa mga non-linear na awtomatikong control system.
Mga kundisyon para sa applicability ng harmonic linearization method.
1) Kapag ginagamit ang pamamaraan, ipinapalagay na linear bahagi ng sistema ay matatag o neutral.
2) Ang signal sa input ng non-linear na link ay malapit sa hugis sa harmonic signal. Ang probisyong ito ay nangangailangan ng ilang paliwanag.
Ipinapakita ng Figure 1 ang mga block diagram ng non-linear ACS. Ang circuit ay binubuo ng mga series-connected links: isang non-linear link y=F(x) at isang linear
ika, na inilalarawan ng differential equation
Para sa y = F(g - x) = g - x makuha natin ang equation ng paggalaw ng isang linear system.
Isaalang-alang ang malayang paggalaw, i.e. para sa g(t) º 0. Pagkatapos,
Sa kaso kapag may mga self-oscillations sa system, ang libreng paggalaw ng system ay pana-panahon. Ang non-periodic na paggalaw sa paglipas ng panahon ay nagtatapos sa paghinto ng system sa ilang huling posisyon (karaniwan, sa isang espesyal na ibinigay na limiter).
Sa anumang anyo ng isang periodic signal sa input ng isang non-linear na elemento, ang signal sa output nito ay maglalaman, bilang karagdagan sa pangunahing frequency, mas mataas na harmonics. Ang pagpapalagay na ang signal sa input ng nonlinear na bahagi ng system ay maaaring ituring na harmonic, ibig sabihin, na
x(t)@a×sin(wt),
kung saan ang w=1/T, T ay ang panahon ng mga libreng oscillations ng system, ay katumbas ng pag-aakalang epektibo ang linear na bahagi ng system. mga filter mas mataas na harmonics ng signal y(t) = F(x (t)).
Sa pangkalahatang kaso, kapag ang isang nonlinear na elemento ng isang harmonic signal x(t) ay kumikilos sa input, ang output signal ay maaaring Fourier transformed:
Fourier series coefficients
Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, itinakda namin ang C 0 =0, ibig sabihin, na ang function na F(x) ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan. Ang ganitong limitasyon ay hindi kinakailangan at ginagawa sa pamamagitan ng pagsusuri. Ang hitsura ng mga coefficient C k ¹ 0 ay nangangahulugan na, sa pangkalahatang kaso, ang nonlinear na pagbabago ng signal ay sinamahan ng mga phase shift ng na-convert na signal. Sa partikular, ito ay nagaganap sa mga nonlinearity na may mga hindi tiyak na katangian (na may iba't ibang uri ng hysteresis loops), parehong pagkaantala at, sa ilang mga kaso, phase advance.
Ang pagpapalagay ng epektibong pag-filter ay nangangahulugan na ang mga amplitude ng mas mataas na harmonic sa output ng linear na bahagi ng system ay maliit, iyon ay,
Ang katuparan ng kundisyong ito ay pinadali ng katotohanan na sa maraming mga kaso ang mga amplitude ng mga harmonic na direkta na sa output ng nonlinearity ay nagiging makabuluhang mas mababa kaysa sa amplitude ng unang harmonic. Halimbawa, sa output ng isang perpektong relay na may harmonic signal sa input
y(t)=F(с×sin(wt))=a×sign(sin(wt))
walang kahit harmonics, at ang amplitude ng ikatlong harmonic in tatlong beses mas mababa kaysa sa amplitude ng unang harmonic
Ating gawin pagtatasa ng antas ng pagsupil mas mataas na harmonics ng signal sa linear na bahagi ng ACS. Upang gawin ito, gumawa kami ng ilang mga pagpapalagay.
1) Dalas ng libreng oscillations ng ACS humigit-kumulang katumbas ng cutoff frequency linear na bahagi nito. Tandaan na ang dalas ng mga libreng oscillations ng isang nonlinear na awtomatikong control system ay maaaring mag-iba nang malaki mula sa dalas ng mga libreng oscillations ng isang linear system, upang ang palagay na ito ay hindi palaging tama.
2) Kinukuha namin ang ACS oscillation index na katumbas ng M=1.1.
3) Ang LAH sa paligid ng cutoff frequency (w s) ay may slope na -20 dB/dec. Ang mga hangganan ng seksyong ito ng LAH ay nauugnay sa index ng oscillation ng mga relasyon
4) Ang dalas ng w max ay nakakabit sa seksyon ng LPH, upang kapag w > w max ang LAH slope ay hindi bababa sa minus 40 dB/dec.
5) Non-linearity - isang perpektong relay na may katangian na y = sgn(x) upang ang mga kakaibang harmonics lang ang makikita sa non-linearity na output nito.
Ang mga frequency ng ikatlong harmonic w 3 \u003d 3w c, ang ikalimang w 5 \u003d 5w c,
lgw 3 = 0.48+lgw c ,
lgw 5 = 0.7+lgw c .
Frequency w max = 1.91w s, lgw max = 0.28+lgw s. Ang dalas ng sulok ay 0.28 dekada ang layo mula sa dalas ng cutoff.
Ang pagbaba sa mga amplitudes ng mas mataas na harmonics ng signal habang dumadaan sila sa linear na bahagi ng system ay para sa ikatlong harmonic
L 3 \u003d -0.28 × 20-(0.48-0.28) × 40 \u003d -13.6 dB, iyon ay, 4.8 beses,
para sa ikalimang - L 5 \u003d -0.28 × 20-(0.7-0.28) × 40 \u003d -22.4 dB, iyon ay, 13 beses.
Dahil dito, ang signal sa output ng linear na bahagi ay magiging malapit sa harmonic
Ito ay katumbas ng pag-aakalang ang system ay isang low pass filter.
Tungkol sa function Z \u003d cp (X, X 2, ..., XJ, nonlinear na may paggalang sa sistema ng mga argumento nito, ang solusyon ng problema sa pormulasyon na binalangkas sa itaas ay maaari, bilang panuntunan, ay makuha lamang ng humigit-kumulang sa batayan ng paraan ng linearization. Ang kakanyahan ng pamamaraan ng linearization ay ang isang non-linear na function ay pinalitan ng ilang linear at pagkatapos, ayon sa mga kilalang alituntunin, ang mga numerical na katangian ng linear function na ito ay matatagpuan, kung isasaalang-alang ang mga ito na humigit-kumulang katumbas ng mga numerical na katangian ng non- linear function.
Isaalang-alang natin ang kakanyahan ng pamamaraang ito gamit ang halimbawa ng isang function ng isang random na argumento.
Kung ang random variable Z ay isang ibinigay na function
random argument X, pagkatapos ay ang mga posibleng halaga nito z nauugnay sa mga posibleng halaga ng argumento X isang function ng parehong uri, i.e.
(halimbawa, kung Z = kasalanan X, kung gayon z= sinX).
Pinalawak namin ang function (3.20) sa isang serye ng Taylor sa isang lugar ng punto X= m , nililimitahan lamang ang ating sarili sa unang dalawang termino ng pagpapalawak, at ipagpalagay natin iyon 
Ang halaga ng derivative ng function (3.20) na may paggalang sa argumento X sa X = t x.
Ang pagpapalagay na ito ay katumbas ng pagpapalit ng ibinigay na function (3.19) ng linear function
Sa batayan ng mga teorema sa mga inaasahan at pagkakaiba-iba ng matematika, nakakakuha kami ng mga pormula ng pagkalkula para sa pagtukoy ng mga katangiang numero. mz ako sa porma
Tandaan na sa kasong isinasaalang-alang, ang karaniwang paglihis a r ay dapat kalkulahin ng formula
(Ang modulus ng derivative ay kinuha dito dahil ito
maaaring negatibo.)
Application ng linearization method upang mahanap ang mga numerical na katangian ng isang nonlinear function
ang isang di-makatwirang bilang ng mga random na argumento ay humahantong sa mga pormula ng pagkalkula para sa pagtukoy ng inaasahan sa matematika nito, na may anyo 
x 2, ..., x n) sa pamamagitan ng mga argumento X. at X. ayon sa pagkakabanggit, kinakalkula na isinasaalang-alang ang mga palatandaan sa punto w x, m^, t Xp, ibig sabihin, sa pamamagitan ng pagpapalit sa lahat ng kanilang mga argumento x v x 2, ..., x n kanilang mga inaasahan sa matematika.
Kasama ng formula (3.26) para sa pagtukoy ng dispersion D? maaari mong gamitin ang formula ng pagkalkula ng form
saan g x x - koepisyent ng ugnayan ng mga random na argumento X.
Tulad ng inilapat sa isang hindi linear na function ng independyente (o hindi bababa sa hindi nauugnay) na mga random na argumento, ang mga formula (3.26) at (3.27) ay may anyo
Ang mga formula batay sa linearization ng mga non-linear na function ng mga random na argumento ay ginagawang posible upang matukoy ang kanilang mga numerical na katangian ng humigit-kumulang lamang. Ang katumpakan ng pagkalkula ay mas mababa, mas ang mga ibinigay na function ay naiiba mula sa mga linear at mas malaki ang pagpapakalat ng mga argumento. Hindi laging posible na tantiyahin ang posibleng error sa bawat partikular na kaso.
Upang pinuhin ang mga resulta na nakuha ng pamamaraang ito, ang isang pamamaraan na batay sa pagpapanatili sa pagpapalawak ng isang nonlinear na function ay hindi lamang linear, kundi pati na rin ang ilang mga kasunod na termino ng pagpapalawak (karaniwan ay quadratic) ay maaaring gamitin.
Bilang karagdagan, ang mga numerical na katangian ng isang nonlinear na function ng mga random na argumento ay maaaring matukoy sa batayan ng isang paunang paghahanap para sa batas ng pamamahagi nito para sa isang naibigay na pamamahagi ng sistema ng mga argumento. Gayunpaman, dapat itong isipin na ang analytical na solusyon ng naturang problema ay kadalasang masyadong kumplikado. Samakatuwid, upang mahanap ang mga numerical na katangian ng mga nonlinear na function ng mga random na argumento, ang paraan ng statistical modeling ay malawakang ginagamit.
Ang batayan ng pamamaraan ay ang simulation ng isang serye ng mga pagsubok, kung saan ang bawat isa ay isang tiyak na hanay ng x i, x 2i , ..., xni random na mga halaga ng argumento x v x 2 ,..., x n mula sa set na naaayon sa kanilang pinagsamang pamamahagi. Ang nakuha na mga halaga sa tulong ng ibinigay na kaugnayan (3.24) ay binago sa kaukulang mga halaga z. ng inimbestigahang function Z. Ayon sa mga resulta z v z 2 , ..., z., ..., zk lahat sa tulad ng mga pagsusulit, ang nais na mga katangiang pang-numero ay kinakalkula sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng matematikal na istatistika.
Halimbawa 3.2. Batay sa linearization method, tukuyin ang mathematical expectation at standard deviation ng isang random variable 
1. Sa pamamagitan ng formula (3.20) nakukuha natin
2. Gamit ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya function, nakita namin
at kalkulahin ang halaga ng derivative na ito sa punto 
:
3. Sa pamamagitan ng formula (3.23) nakukuha natin 
Halimbawa 3.3. Batay sa linearization method, tukuyin ang mathematical expectation at standard deviation ng isang random variable
1. Sa pamamagitan ng formula (3.25) nakukuha natin
2. Sumulat tayo ng formula (3.27) para sa function ng dalawang random na argumento 
3. Hanapin ang mga partial derivatives ng Z function na may paggalang sa mga argumento X 1 at X 2:
at kalkulahin ang kanilang mga halaga sa punto (m Xi ,t x2):
4. Ang pagpapalit ng data na nakuha sa formula para sa pagkalkula ng Z variance, nakuha namin Dz= 1. Samakatuwid, u r = 1.
Ang mga differential equation ay maaaring linearized sa pamamagitan ng mga sumusunod na pamamaraan:
1. Ang non-linear na function ng working area ay pinalawak sa isang serye ng Taylor.
2. Ang mga nonlinear na function na ibinigay sa anyo ng mga graph ay linearized sa gumaganang eroplano sa pamamagitan ng mga tuwid na linya.
3. Sa halip na direktang tukuyin ang mga partial derivatives, ang mga variable ay ipinapasok sa orihinal na nonlinear equation.
,
.
(33)
4. Ang pamamaraang ito ay batay sa pagpapasiya ng mga coefficient sa pamamagitan ng pamamaraang least squares.
,
(34)
saan 
- time constant ng pneumatic actuator;
- gear ratio ng pneumatic actuator;
- damping coefficient ng pneumatic actuator.
Ang panloob na istraktura ng mga elemento ng ACS ay pinakasimpleng tinutukoy gamit ang mga block diagram ng mga graph. Hindi tulad ng mga kilalang block diagram sa mga graph, ang mga variable ay ipinahiwatig sa anyo ng oras, at ang mga arc ay tumutukoy sa alinman sa mga parameter o paglipat ng mga function ng mga tipikal na link. Mayroong pantay na relasyon sa pagitan nila.
mm non-linear na mga elemento
Ang mga pamamaraan ng linearization na isinasaalang-alang sa unang kabanata ay naaangkop kapag ang nonlinearity na kasama sa LSA object ay kahit isang beses naiba o tinatantya ng isang tangent na may maliit na error ng ilang kapitbahayan na malapit sa operating point. Mayroong isang buong klase ng mga nonlinearity kung saan ang parehong mga kundisyon ay hindi natutugunan. Kadalasan ang mga ito ay makabuluhang hindi linearity. Kabilang dito ang: step, piecewise linear at multi-valued function na may mga discontinuity point ng unang uri, pati na rin ang power at transtendental function. Ang paggamit ng mga CCM na nagbibigay ng pagpapatupad ng mga lohikal-algebraic na operasyon sa mga system ay humantong sa mga bagong uri ng mga linearity, na kinakatawan sa pamamagitan ng tuluy-tuloy na mga variable gamit ang espesyal na lohika.
Para sa mathematical na paglalarawan ng naturang nonlinearities, ginagamit ang katumbas na transfer function, depende sa linearization coefficients, na nakukuha sa pamamagitan ng pag-minimize ng mean square ng reproduction error ng isang ibinigay na input signal. Ang hugis ng mga input signal na dumarating sa input ng mga nonlinearities ay maaaring maging arbitrary. Sa pagsasagawa, ang mga harmonic at random na uri ng input signal at ang kanilang temporal na kumbinasyon ay pinaka-malawakang ginagamit. Alinsunod dito, ang mga pamamaraan ng linearization ay tinatawag na harmonic at static.
Pangkalahatang pamamaraan para sa paglalarawan ng katumbas na mga function ng paglipat ne
Ang buong klase ng mahahalagang nonlinearity ay nahahati sa dalawang grupo. Kasama sa unang pangkat ang mga hindi linearity na may iisang halaga, kung saan ang koneksyon sa pagitan ng input 
at katapusan ng linggo 
ang mga signal ng vector ay nakasalalay lamang sa anyo ng static na katangian ng nonlinearity 
.
.
Sa kasong ito, na may isang tiyak na anyo ng mga signal ng pag-input:
.
Gamit ang linearization matrix 
mahahanap mo ang tinatayang halaga ng mga signal ng output:
.
Mula sa (42) ito ay sumusunod na ang matrix ng linearization coefficients ng single-valued nonlinearities ay tunay na dami at ang kanilang katumbas na transfer functions:
.
Kasama sa pangalawang grupo ang dalawang-valued (multi-valued) nonlinearities, kung saan ang ugnayan sa pagitan ng input at output signal ay nakadepende hindi lamang sa hugis ng static na katangian, ngunit tinutukoy din ng kasaysayan ng input signal. Sa kasong ito, ang expression (42) ay isusulat bilang:
.
Upang isaalang-alang ang impluwensya ng prehistory ng input periodic signal, isasaalang-alang namin hindi lamang ang signal mismo 
, ngunit din ang rate ng pagbabago nito, ang pagkakaiba 
.
Para sa mga signal ng input:
ang tinatayang halaga ng input signal ay:
saan 
at 
- coefficients ng harmonic linearization ng dalawang-valued nonlinearities;
- panahon ng oscillation sa kanang harmonic;
- maharmonya na pag-andar.
Katumbas na function ng paglipat:
May mga nonlinearity ng isang mas pangkalahatang anyo:
,
,
saan 
at 
- mga coefficient ng harmonic linearization;
ay ang maharmonya na numero.
Pana-panahong linearization coefficient matrice 
. Sa pag-iisip na ito, ang transfer function ng dalawang two-valued nonlinearities ay maaaring katawanin ng pagkakatulad sa transfer function
Gamit, tinutukoy namin ang isang pangkalahatang formula para sa pagkalkula ng paglipat ng function ng single-valued at two-valued nonlinearities.
Sa kaso ng single-valued nonlinearity, ang matrix ng linearization coefficients 
, depende sa mga parameter ng vector 
, pipiliin namin sa paraang i-linearize ang mean value ng squared difference sa pagitan ng eksaktong 
at tinatayang 
input signal:
Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, pagpapasimple, trick at pagtaas ng pagbabantay, nakukuha namin ang katumbas na function ng paglipat sa anyo ng isang sistema ng mga matrice: 
,
.
,
sa 
,
.
.
Tukuyin ang linearization coefficient para sa single-valued non-linearity. Kapag ang unang harmonic ng isang sinusoidal signal ay dumating sa input nito:
saan 
.
.
Ang equation (56) ay ang unang harmonic linearization factor para sa single-valued non-linearity, tinutukoy nito ang katumbas na transfer function 
.
Sa hinaharap, isang paghahambing ng pormula para sa pagtukoy ng mga linearization coefficient ng pinakasimpleng nonlinearities kapag ang mga pana-panahong signal ay inilapat sa kanilang input: sinusoidal, triangular, ipapakita namin ang kahusayan ng paggamit ng nagresultang katumbas na mga function ng paglipat.
Natutukoy ang linearization coefficient 
,
.
,
.
Halimbawa. Tukuyin ang linearization coefficient ng isang two-valued nonlinearity kapag ang unang harmonic ng isang sinusoidal signal ay pumasok sa input nito at may isang input. Mula sa sistema ng mga matrice (60), nakukuha natin ang:
,
.
Sa halimbawang ito, isinusulat namin ang input signal bilang:
,
.
Kapag para sa isang nonlinearity na may dalawang halaga ang pangkalahatang katumbas na function ay:
.
.
AT
kanin. 2.2. link ng ATS
Ipagpalagay natin na ang link ay inilalarawan ng ilang non-linear differential equation ng form
Upang i-compile ang naturang equation, kailangan mong gamitin ang naaangkop na sangay ng mga teknikal na agham (halimbawa, electrical engineering, mechanics, hydraulics, atbp.) na nag-aaral sa partikular na uri ng device na ito.
Ang batayan para sa linearization ay ang pagpapalagay na ang mga deviations ng lahat ng mga variable na kasama sa link dynamics equation ay sapat na maliit, dahil ito ay tiyak sa isang sapat na maliit na seksyon na ang curvilinear na katangian ay maaaring mapalitan ng isang tuwid na linya ng segment. Ang mga paglihis ng mga variable ay sinusukat sa kasong ito mula sa kanilang mga halaga sa tuluy-tuloy na proseso o sa isang tiyak na estado ng balanse ng system. Hayaan, halimbawa, ang isang tuluy-tuloy na proseso ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang pare-parehong halaga ng variable X 1 , na tinutukoy namin bilang X 10 . Sa proseso ng regulasyon (Larawan 2.3), ang variable X 1 ay magkakaroon ng mga halaga kung saan 
nagsasaad ng paglihis ng variable X 1 mula sa steady value ng X 10 .
PERO
kanin. 2.3. Proseso ng regulasyon ng link
.
Susunod, maaari kang sumulat: 
;
at 
, dahil 
at 
Ang lahat ng mga paglihis ay ipinapalagay na sapat na maliit. Ang matematikal na pagpapalagay na ito ay hindi sumasalungat sa pisikal na kahulugan ng problema, dahil ang mismong ideya ng awtomatikong kontrol ay nangangailangan na ang lahat ng mga paglihis ng kinokontrol na variable sa panahon ng proseso ng kontrol ay sapat na maliit.
Ang steady state ng link ay tinutukoy ng mga value ng X 10 , X 20 at F 0 . Pagkatapos ay maaaring isulat ang equation (2.1) para sa steady state sa form
Palawakin natin ang kaliwang bahagi ng equation (2.1) sa serye ng Taylor
kung saan ang ay mas mataas na pagkakasunod-sunod ng mga termino. Ang index 0 para sa mga partial derivatives ay nangangahulugan na pagkatapos kunin ang derivative, ang steady value ng lahat ng variable ay dapat ipalit sa expression nito 
.
Ang mga termino ng mas mataas na pagkakasunud-sunod sa formula (2.3) ay kinabibilangan ng mas matataas na partial derivative na pinarami ng mga parisukat, cube at mas mataas na antas ng mga deviation, pati na rin ang mga produkto ng deviations. Sila ay magiging maliit sa isang mas mataas na pagkakasunud-sunod kumpara sa mga paglihis mismo, na maliit sa unang pagkakasunud-sunod.
Ang equation (2.3) ay isang link dynamics equation, tulad ng (2.1), ngunit nakasulat sa ibang anyo. Itapon natin ang mas mataas na order smalls sa equation na ito, pagkatapos ay ibawas natin ang steady state equation (2.2) mula sa Eq. (2.3). Bilang resulta, nakukuha namin ang sumusunod na tinatayang link dynamics equation sa maliliit na deviations:
Sa equation na ito, ang lahat ng mga variable at ang kanilang mga derivatives ay pumapasok nang linearly, iyon ay, sa unang antas. Ang lahat ng partial derivatives ay ilang constant coefficient kung sakaling sinisiyasat ang isang system na may pare-parehong parameter. Kung ang system ay may variable na mga parameter, ang equation (2.4) ay magkakaroon ng variable coefficients. Isaalang-alang lamang natin ang kaso ng mga pare-parehong coefficient.
Ang pagkuha ng equation (2.4) ay ang layunin ng linearization na ginawa. Sa teorya ng awtomatikong kontrol, kaugalian na isulat ang mga equation ng lahat ng mga link upang ang halaga ng output ay nasa kaliwang bahagi ng equation, at lahat ng iba pang mga termino ay inilipat sa kanang bahagi. Sa kasong ito, ang lahat ng mga tuntunin ng equation ay nahahati sa koepisyent sa halaga ng output. Bilang resulta, ang equation (2.4) ay nasa anyo
kung saan ipinakilala ang sumusunod na notasyon
.
(2.6)
Bilang karagdagan, para sa kaginhawahan, kaugalian na isulat ang lahat ng mga equation ng kaugalian sa form ng operator na may notasyon
Pagkatapos ang differential equation (2.5) ay maaaring isulat sa form
Ang rekord na ito ay tatawaging karaniwang anyo ng link dynamics equation.
Ang mga coefficient T 1 at T 2 ay may sukat ng oras - segundo. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang lahat ng mga termino sa equation (2.8) ay dapat magkaroon ng parehong dimensyon, at halimbawa, ang dimensyon 
(o px 2) ay naiiba mula sa dimensyon ng x 2 bawat segundo hanggang sa minus first power ( 
). Samakatuwid, ang mga coefficient T 1 at T 2 ay tinatawag mga pare-pareho ng oras
.
Ang coefficient k 1 ay may dimensyon ng halaga ng output na hinati sa dimensyon ng input. Ito ay tinatawag na ratio ng paghahatid link. Para sa mga link na ang mga halaga ng output at input ay may parehong dimensyon, ang mga sumusunod na termino ay ginagamit din: gain - para sa isang link na isang amplifier o may isang amplifier sa komposisyon nito; gear ratio - para sa mga gearbox, boltahe divider, scaling device, atbp.
Ang transfer coefficient ay nagpapakilala sa mga static na katangian ng link, dahil nasa steady state 
. Samakatuwid, tinutukoy nito ang steepness ng static na katangian sa maliliit na deviations. Kung ilarawan natin ang buong tunay na static na katangian ng link 
, pagkatapos ay nagbibigay ang linearization 
o 
. Ang transmission coefficient k 1 ang magiging tangent ng slope 
tangent sa puntong iyon C (tingnan ang Fig. 2.3), kung saan sinusukat ang maliliit na deviations x 1 at x 2.
Makikita mula sa figure na ang linearization sa itaas ng equation ay wasto para sa mga proseso ng kontrol na kumukuha ng naturang seksyon ng AB na katangian, kung saan ang tangent ay naiiba nang kaunti mula sa curve mismo.
Bilang karagdagan, ang isa pa, graphical na paraan ng linearization ay sumusunod mula dito. Kung ang static na katangian at punto C ay kilala, na tumutukoy sa steady state sa paligid kung saan nagaganap ang proseso ng regulasyon, kung gayon ang transfer coefficient sa link equation ay tinutukoy nang grapiko mula sa pagguhit ayon sa dependence k 1 = tg 
isinasaalang-alang ang sukat ng pagguhit at mga sukat x 2. Sa maraming pagkakataon paraan ng graphical linearization
lumalabas na mas maginhawa at humahantong sa layunin nang mas mabilis.
Ang dimensyon ng coefficient k 2 ay katumbas ng dimensyon ng gain k 1 beses sa oras. Samakatuwid, ang equation (2.8) ay madalas na nakasulat sa anyo
saan 
ay pare-pareho ang oras.
P
kanin. 2.4. Malayang motor ng paggulo
Ang kadahilanan k 3 ay ang pakinabang para sa panlabas na kaguluhan.
Bilang isang halimbawa ng linearization, isaalang-alang ang isang de-koryenteng motor na kinokontrol mula sa gilid ng circuit ng paggulo (Larawan 2.4).
Upang makahanap ng isang kaugalian equation na nauugnay sa pagtaas ng bilis sa pagtaas ng boltahe sa paikot-ikot na paggulo, isinulat namin ang batas ng balanse ng mga puwersa ng electromotive (emf) sa circuit ng paggulo, ang batas ng balanse ng emf sa armature circuit at ang batas ng equilibrium ng mga sandali sa motor shaft:
;
.
Sa pangalawang equation, para sa pagiging simple, ang terminong nauugnay sa self-induction emf sa armature circuit ay tinanggal.
Sa mga formula na ito, ang R B at R I ay ang mga resistensya ng excitation circuit at ang armature circuit; І В at І Я - mga alon sa mga circuit na ito; Ang U V at U I ay ang mga boltahe na inilapat sa mga circuit na ito, V ay ang bilang ng mga pagliko ng paikot-ikot na paggulo; Ф – magnetic flux; Ang Ω ay ang angular na bilis ng pag-ikot ng motor shaft; Ang M ay ang sandali ng paglaban mula sa mga panlabas na puwersa, ang J ay ang pinababang sandali ng pagkawalang-galaw ng makina; C E at C M - coefficients ng proporsyonalidad.
Ipagpalagay natin na bago lumitaw ang isang pagtaas sa boltahe na inilapat sa paikot-ikot na paggulo, mayroong isang matatag na estado, kung saan ang mga equation (2.10) ay isusulat tulad ng sumusunod:
(2.11)
Kung ngayon ang boltahe ng paggulo ay makakatanggap ng isang increment U B = U B0 + ΔU B, kung gayon ang lahat ng mga variable na tumutukoy sa estado ng system ay makakatanggap din ng mga pagtaas. Bilang resulta, magkakaroon tayo ng: І В = І В0 + ΔІ В; Ф = Ф 0 + ΔФ; I I \u003d I I0 + ΔІ I; Ω = Ω0 + ΔΩ.
Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa (2.10), itapon ang mas mataas na pagkakasunud-sunod na maliliit at kunin ang:
(2.12)
Ang pagbabawas ng mga equation (2.11) mula sa mga equation (2.12), nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation para sa mga deviation:
(2.13)
AT
kanin. 2.5. Magnetization curve
tinutukoy mula sa magnetization curve ng electric motor (Larawan 2.5).
Ang pinagsamang solusyon ng system (2.13) ay nagbibigay
nasaan ang transfer coefficient, 
,
;
(2.15)
electromagnetic time constant ng excitation circuit, s,
(2.16)
kung saan ang L B = a B ay ang dynamic na koepisyent ng self-induction ng excitation circuit; electromagnetic time constant ng engine, s,
.
(2.17)
Mula sa mga expression (2.15) - (2.17) makikita na ang system na isinasaalang-alang ay mahalagang non-linear, dahil ang transfer coefficient at oras na "constant" ay, sa katunayan, ay hindi pare-pareho. Maaari silang ituring na pare-pareho lamang ng humigit-kumulang para sa isang tiyak na mode, sa kondisyon na ang mga paglihis ng lahat ng mga variable mula sa mga steady-state na halaga ay maliit.
Ang isang kawili-wili ay ang espesyal na kaso kapag nasa steady state U B0 = 0; I B0 = 0; Ф 0 = 0 at Ω 0 = 0. Pagkatapos ay kinuha ng formula (2.14) ang form
.
(2.18)
Sa kasong ito, ang static na katangian ay mag-uugnay sa pagtaas sa acceleration ng engine 
at pagtaas ng boltahe sa circuit ng paggulo.
