Ano ang ibig sabihin ng paghahanap ng solusyon sa isang nonlinear equation. Paglutas ng mga nonlinear na equation sa pamamagitan ng paraan ng simpleng pag-ulit - abstract

Mga pamamaraan para sa numerical na solusyon ng mga nonlinear equation

Ang matematika bilang isang agham ay lumitaw na may kaugnayan sa pangangailangan na malutas ang mga praktikal na problema: mga sukat sa lupa, nabigasyon, atbp. Bilang resulta, ang matematika ay numerical mathematics at ang layunin nito ay makakuha ng solusyon sa anyo ng isang numero. Ang numerical na solusyon ng mga inilapat na problema ay palaging interesado sa mga mathematician. Ang pinakamalaking kinatawan ng nakaraan ay pinagsama sa kanilang pag-aaral ang pag-aaral ng mga natural na phenomena, pagkuha ng kanilang paglalarawan sa matematika, i.e. kanyang modelo ng matematika at ang kanyang pananaliksik. Ang pagsusuri ng mga kumplikadong modelo ay nangangailangan ng paglikha ng mga espesyal, kadalasang mga pamamaraang numero para sa paglutas ng mga problema. Ang mga pangalan ng ilan sa mga pamamaraang ito ay nagpapahiwatig na ang mga ito ay binuo ng mga pinakamalaking siyentipiko sa kanilang panahon. Ito ang mga pamamaraan ng Newton, Euler, Lobachevsky, Gauss, Chebyshev, Hermite.

Ang kasalukuyang panahon ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang matalim na pagpapalawak ng mga aplikasyon ng matematika, na higit na nauugnay sa paglikha at pag-unlad ng teknolohiya ng computer. Bilang resulta ng paglitaw ng mga computer sa mas mababa sa 40 taon, ang bilis ng mga operasyon ay tumaas mula sa 0.1 mga operasyon bawat segundo na may manu-manong pagbibilang sa 10 mga operasyon bawat segundo sa mga modernong computer.

Ang malawak na opinyon tungkol sa omnipotence ng mga modernong computer ay nagbibigay ng impresyon na ang mga mathematician ay inalis ang lahat ng mga kaguluhan na nauugnay sa numerical na solusyon ng mga problema, at ang pagbuo ng mga bagong pamamaraan para sa paglutas ng mga ito ay hindi na napakahalaga. Sa katotohanan, iba ang sitwasyon, dahil ang mga pangangailangan ng ebolusyon, bilang panuntunan, ay itinakda bago ang mga gawain sa agham na nasa bingit ng mga kakayahan nito. Ang pagpapalawak ng aplikasyon ng matematika ay humantong sa mathematization ng iba't ibang sangay ng agham: kimika, ekonomiya, biology, geology, heograpiya, sikolohiya, medisina, teknolohiya, atbp.

Mayroong dalawang mga pangyayari na sa una ay humantong sa pagnanais para sa mathematization ng mga agham:

una, tanging ang paggamit ng mga pamamaraang pangmatematika ang ginagawang posible na magbigay ng isang quantitative character sa pag-aaral ng isa o ibang phenomenon ng materyal na mundo;

pangalawa, at ito ang pangunahing bagay, tanging ang matematikal na paraan ng pag-iisip ang gumagawa ng isang bagay. Ang pamamaraang ito ng pananaliksik ay tinatawag na computational experiment - ang pag-aaral ay ganap na layunin.

Kamakailan lamang, lumitaw ang isa pang salik na may malakas na epekto sa mga proseso ng mathematization ng kaalaman. Ito ang mabilis na pag-unlad ng teknolohiya ng kompyuter. Ang paggamit ng mga computer para sa paglutas ng mga problemang pang-agham, inhinyero, at inilapat sa pangkalahatan ay ganap na nakabatay sa kanilang mathematization.

mga modelo ng matematika.

Ang modernong teknolohiya para sa pag-aaral ng mga kumplikadong problema ay batay sa pagbuo at pagsusuri, kadalasan sa tulong ng isang computer, ng mga modelo ng matematika ng problemang pinag-aaralan. Karaniwan, ang isang eksperimento sa computational, tulad ng nakita na natin, ay binubuo ng isang bilang ng mga yugto: pagtatakda ng isang problema, pagbuo ng isang modelo ng matematika (matematika na pagbabalangkas ng problema), pagbuo ng isang numerical na pamamaraan, pagbuo ng isang algorithm para sa pagpapatupad ng isang numerical na pamamaraan, pagbuo isang programa, pag-debug ng isang programa, pagsasagawa ng mga kalkulasyon, pagsusuri ng mga resulta.

Kaya, ang paggamit ng mga computer para sa paglutas ng anumang problemang pang-agham o inhinyero ay hindi maiiwasang nauugnay sa paglipat mula sa isang tunay na proseso o kababalaghan patungo sa modelong matematikal nito. Kaya, ang aplikasyon ng mga modelo sa siyentipikong pananaliksik at kasanayan sa engineering ay ang sining ng pagmomolde ng matematika.

Ang isang modelo ay karaniwang tinatawag na isang kinakatawan o materyal na natanto na sistema na nagpaparami ng mga pangunahing pinaka makabuluhang katangian ng isang partikular na kababalaghan.

Ang mga pangunahing kinakailangan para sa modelo ng matematika ay ang kasapatan ng hindi pangkaraniwang bagay na isinasaalang-alang, i.e. ito ay dapat sapat na sumasalamin sa mga katangiang katangian ng hindi pangkaraniwang bagay. Kasabay nito, dapat itong magkaroon ng comparative na pagiging simple at accessibility ng pananaliksik.

Ang modelo ng matematika ay sumasalamin sa pag-asa sa pagitan ng mga kondisyon para sa paglitaw ng hindi pangkaraniwang bagay na pinag-aaralan at ang mga resulta nito sa ilang mga konstruksyon ng matematika. Kadalasan, ang mga sumusunod na konsepto ng matematika ay ginagamit bilang tulad ng mga konstruksyon: function, functional, operator, numerical equation, ordinary differential equation, partial differential equation.

Ang mga modelo ng matematika ay maaaring uriin ayon sa iba't ibang pamantayan: static at dynamic, puro at distributed; deterministic at probabilistiko.

Isaalang-alang ang problema sa paghahanap ng mga ugat ng nonlinear equation

Ang mga ugat ng equation (1) ay ang mga halaga ng x na, kapag pinapalitan, ginagawa itong isang pagkakakilanlan. Para lamang sa pinakasimpleng mga equation posible na makahanap ng solusyon sa anyo ng mga formula, i.e. analitikal na anyo. Mas madalas na kinakailangan upang malutas ang mga equation sa pamamagitan ng tinatayang mga pamamaraan, ang pinaka-kalat na kalat sa kung saan, na may kaugnayan sa pagdating ng mga computer, ay mga numerical na pamamaraan.

Ang algorithm para sa paghahanap ng mga ugat sa pamamagitan ng tinatayang mga pamamaraan ay maaaring nahahati sa dalawang yugto. Sa una, ang lokasyon ng mga ugat ay pinag-aralan at ang kanilang paghihiwalay ay isinasagawa. Mayroong isang lugar kung saan mayroong isang ugat ng equation o isang paunang approximation sa root x 0 . Ang pinakasimpleng paraan upang malutas ang problemang ito ay pag-aralan ang graph ng function na f(x) . Sa pangkalahatang kaso, upang malutas ito, kinakailangan na isama ang lahat ng paraan ng pagsusuri sa matematika.

Ang pagkakaroon sa nahanap na pagitan ng hindi bababa sa isang ugat ng equation (1) ay sumusunod sa kondisyon ng Bolzano:

f(a)*f(b)<0 (2)

Ipinapalagay din na ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa ibinigay na pagitan. Gayunpaman, hindi sinasagot ng kundisyong ito ang tanong tungkol sa bilang ng mga ugat ng equation sa isang naibigay na pagitan. Kung ang pangangailangan ng pagpapatuloy ng function ay pupunan ng pangangailangan ng monotonicity nito, at ito ay sumusunod mula sa sign-constancy ng unang derivative, maaari nating igiit ang pagkakaroon ng isang natatanging ugat sa isang partikular na segment.

Kapag naglo-localize ng mga ugat, mahalagang malaman din ang mga pangunahing katangian ng ganitong uri ng equation. Halimbawa, alalahanin ang ilang katangian ng mga algebraic equation:

nasaan ang mga tunay na coefficient.

a) Ang isang equation ng degree n ay may n mga ugat, kung saan maaaring mayroong parehong tunay at kumplikado. Ang mga kumplikadong ugat ay bumubuo ng mga kumplikadong pares ng conjugate at, samakatuwid, ang equation ay may pantay na bilang ng mga naturang ugat. Para sa isang kakaibang halaga ng n, mayroong hindi bababa sa isang tunay na ugat.
b) Ang bilang ng mga positibong tunay na ugat ay mas mababa sa o katumbas ng bilang ng mga variable na palatandaan sa pagkakasunud-sunod ng mga coefficient. Ang pagpapalit ng x ng -x sa equation (3) ay nagbibigay-daan sa iyong matantya ang bilang ng mga negatibong ugat sa parehong paraan.

Sa ikalawang yugto ng paglutas ng equation (1), gamit ang nakuhang paunang pagtatantya, ang isang umuulit na proseso ay binuo na ginagawang posible upang pinuhin ang halaga ng ugat na may ilang paunang natukoy na katumpakan. Ang umuulit na proseso ay binubuo sa sunud-sunod na pagpipino ng paunang pagtatantya. Ang bawat hakbang na ito ay tinatawag na isang pag-ulit. Bilang resulta ng proseso ng pag-ulit, isang pagkakasunud-sunod ng tinatayang mga halaga ng mga ugat ng equation ay natagpuan. Kung ang sequence na ito ay lumalapit sa tunay na halaga ng root x habang lumalaki ang n, pagkatapos ay ang umuulit na proseso ay nagtatagpo. Ang isang umuulit na proseso ay sinasabing nagtatagpo sa hindi bababa sa order m kung ang sumusunod na kondisyon ay nasiyahan:

kung saan ang С>0 ay medyo pare-pareho. Kung m=1 , kung gayon ang isa ay nagsasalita ng first-order convergence; m=2 - tungkol sa quadratic, m=3 - tungkol sa cubic convergence.

Nagtatapos ang mga umuulit na cycle kung, para sa isang pinahihintulutang error, ang pamantayan para sa ganap o kamag-anak na mga paglihis ay natugunan:

o ang liit ng nalalabi:

Ang gawaing ito ay nakatuon sa pag-aaral ng isang algorithm para sa paglutas ng mga nonlinear na equation gamit ang pamamaraan ni Newton.

Mayroong maraming iba't ibang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na equation, ang ilan sa mga ito ay ipinakita sa ibaba:

1)Paraan ng pag-ulit. Kapag nilulutas ang isang di-linear na equation sa pamamagitan ng pag-ulit, ginagamit namin ang equation sa anyong x=f(x). Nakatakda ang paunang halaga ng argumento x 0 at ang katumpakan e. Ang unang pagtatantya ng solusyon x 1 ay matatagpuan mula sa expression na x 1 \u003d f (x 0), ang pangalawa - x 2 \u003d f (x 1) , atbp. Sa pangkalahatang kaso, ang i+1 approximation ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula xi+1 =f(xi). Uulitin namin ang pamamaraang ito hanggang |f(xi)|>e. Ang kundisyon para sa convergence ng paraan ng pag-ulit |f"(x)|
2)Pamamaraan ni Newton. Kapag nilulutas ang isang nonlinear equation sa pamamagitan ng Newton method, ang inisyal na halaga ng argument x 0 at ang katumpakan e ay itinakda. Pagkatapos, sa punto (x 0, F (x 0)) gumuhit tayo ng tangent sa graph F (x). ) at tukuyin ang intersection point ng tangent na may abscissa axis x 1. Sa punto (x 1, F (x 1)) muli kaming bumuo ng isang tangent, hanapin ang susunod na pagtatantya ng nais na solusyon x 2, atbp. Uulitin namin ang pamamaraang ito hanggang |F(xi)| > e. Upang matukoy ang punto ng intersection (i + 1) ng tangent na may abscissa axis, ginagamit namin ang sumusunod na formula

x i+1 \u003d x i -F (x i) F "(x i).

Kondisyon ng convergence para sa tangent na paraan F(x 0) F""(x)>0, atbp.

3). pamamaraan ng dichotomy. Ang pamamaraan ng solusyon ay binabawasan sa unti-unting paghahati ng paunang agwat ng kawalan ng katiyakan sa kalahati ayon sa formula

C to \u003d a to + in to / 2.

Upang mapili ang kinakailangang isa mula sa dalawang nagresultang mga segment, kinakailangan upang mahanap ang halaga ng function sa mga dulo ng mga nagresultang mga segment at isaalang-alang ang isa kung saan babaguhin ng function ang sign nito, iyon ay, ang kondisyon f ( a k) * f (sa k)<0.

Ang proseso ng paghahati ng segment ay isinasagawa hanggang sa ang haba ng kasalukuyang agwat ng kawalan ng katiyakan ay mas mababa kaysa sa tinukoy na katumpakan, iyon ay, sa k - a k< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). paraan ng chord. Ang ideya ng pamamaraan ay ang isang chord ay itinayo sa segment na kinokontrata ang mga dulo ng arc ng graph ng function na y=f(x), at ang point c, ang intersection ng chord na may abscissa axis , ay itinuturing na isang tinatayang halaga ng ugat

c = a - (f(a) x (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c \u003d b - (f (b) × (a-b)) / (f (a) - f (b)).

Ang susunod na pagtatantya ay hinahangad sa pagitan o depende sa mga palatandaan ng mga halaga ng pag-andar sa mga punto a,b,c

x* O kung f(c) H f(a) > 0 ;

x* O kung f(c) x f(b)< 0 .

Kung ang f "(x) ay hindi nagbabago ng sign sa , pagkatapos ay tinutukoy ang c \u003d x 1 at isinasaalang-alang ang a o b bilang paunang pagtatantya, nakukuha namin ang mga umuulit na formula ng paraan ng chord na may nakapirming kanan o kaliwang punto.

x 0 \u003d a, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (b-x i) / (f (b) -f (x i), na may f "(x) H f "(x)\u003e 0;

x 0 \u003d b, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (x i -a) / (f (x i) -f (a), na may f "(x) H f "(x)< 0 .

Ang convergence ng paraan ng chord ay linear

Algebraic at transendental equation. Mga pamamaraan ng lokalisasyon ng ugat.

Ang pinaka-pangkalahatang anyo ng nonlinear equation:

f(x)=0 (2.1)

saan ang function f(x) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang may hangganan o walang katapusan na pagitan [a, b].

Kahulugan 2.1. Anumang numero na nagbabaligtad ng isang function f(x) sa zero ay tinatawag na ugat ng equation (2.1).

Kahulugan 2.2. Ang isang numero ay tinatawag na ugat ng k-th multiplicity, kung kasama ang function f(x) ang mga derivative nito hanggang sa (k-1)-th order inclusive ay katumbas ng zero:

Kahulugan 2.3. Ang isang ugat ay tinatawag na isang simpleng ugat.

Ang mga nonlinear na equation na may isang variable ay nahahati sa algebraic at transendental.

Kahulugan 2.4 . Ang equation (2.1) ay tinatawag na algebraic kung ang function na F(x) ay algebraic.

Sa pamamagitan ng algebraic transformations, mula sa anumang algebraic equation, makakakuha ang isa ng equation sa canonical form:

kung saan ang mga tunay na coefficient ng equation, x ay ang hindi alam.

Ito ay kilala mula sa algebra na ang bawat algebraic equation ay may hindi bababa sa isang tunay o dalawang kumplikadong conjugate roots.

Kahulugan 2.5. Ang equation (2.1) ay tinatawag na transendental kung ang function na F(x) ay hindi algebraic.

Ang paglutas ng equation (2.1) ay nangangahulugang:

1. Tukuyin kung ang equation ay may mga ugat.
2. Tukuyin ang bilang ng mga ugat ng equation.
3. Hanapin ang mga halaga ng mga ugat ng equation na may ibinigay na katumpakan.

Ang mga equation na nakatagpo sa pagsasanay ay madalas na hindi malulutas ng mga analytical na pamamaraan. Ang mga numerical na pamamaraan ay ginagamit upang malutas ang mga naturang equation.

Ang algorithm para sa paghahanap ng ugat ng isang equation gamit ang isang numerical na pamamaraan ay binubuo ng dalawang yugto:

1) departamento o lokalisasyon ugat, i.e. pagtatakda ng pagitan na naglalaman ng isang ugat:
2) paglilinaw mga halaga ng ugat sa pamamagitan ng paraan ng sunud-sunod na pagtatantya.

Mga pamamaraan ng lokalisasyon ng ugat. Ang teoretikal na batayan ng algorithm ng paghihiwalay ng ugat ay ang Cauchy theorem sa mga intermediate na halaga ng isang tuluy-tuloy na pag-andar.

Teorama 2.1. Kung ang function na y \u003d f (x) ay tuloy-tuloy sa segment [a, b] at f (a) \u003d A, f (b) \u003d B, kung gayon para sa anumang punto C na nasa pagitan ng A at B, mayroong isang punto na.

Bunga. Kung ang function na y \u003d f (x) ay tuloy-tuloy sa segment [a, b] at kumukuha ng mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan sa mga dulo nito, kung gayon sa segment na ito mayroong hindi bababa sa isang ugat ng equation f (x) \u003d 0.

Hayaang ang domain ng kahulugan at pagpapatuloy ng isang function ay isang may hangganang segment [a,b]. Hatiin ang segment sa n bahagi: ,

Ang sunud-sunod na pagkalkula ng mga halaga ng function sa mga punto, nakita namin ang mga naturang segment kung saan nasiyahan ang kundisyon:

mga. , o, . Ang mga segment na ito ay naglalaman ng hindi bababa sa isang ugat.

Teorama 2.2. Kung ang function na y \u003d f (x) ay tuloy-tuloy sa segment [a; b), f (a) f (b)<0 и f`(х) на интервале (а;b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а;b] существует единственный корень уравнения f(х) = 0.

Upang paghiwalayin ang mga ugat, maaari mo ring gamitin ang graph ng function sa= f (X). Ang mga ugat ng equation (2.1) ay ang mga halagang iyon X, kung saan ang graph ng function na y=f(x) ay tumatawid sa x-axis. Ang pagbuo ng isang graph ng isang function, kahit na may mababang katumpakan, ay karaniwang nagbibigay ng ideya ng lokasyon ng mga ugat ng equation (2.1). Kung ang pag-plot ng function na y \u003d f (x) ay nagdudulot ng kahirapan, kung gayon ang orihinal na equation (2.1) ay dapat i-convert sa form c1(x)= c2(x) upang ang mga graph ng mga function sa= c1(x) at sa= c2(x) ay medyo simple. Ang mga abscissas ng mga intersection point ng mga graph na ito ay magiging mga ugat ng equation (2.1).

Halimbawa 1 Paghiwalayin ang mga ugat ng equation x 2 -2cosx=0.

Solusyon. Isaalang-alang natin ang dalawang paraan ng paghihiwalay ng mga ugat.

a) Paraang grapiko. Isulat muli natin ang equation sa anyong x 2 =2cosx at bumuo ng graph ng mga function na y=x 2 at y=2cosx sa parehong coordinate system (Figure 5). dahil ang mga graph na ito ay nagsalubong sa dalawang punto, ang equation ay may dalawang ugat na matatagpuan simetriko tungkol sa pinagmulan sa mga pagitan (-/2; 0) at (0; /2).
b) Paraan ng pagsusuri. Hayaan f(x)= x 2 -2cosx. kasi f(x) ay isang pantay na pag-andar, sapat na upang isaalang-alang lamang ang mga di-negatibong halaga ng x. Dahil sa hindi pagkakapantay-pantay 2cosx2

Derivative f"(x)=2(x+sinx). Sa pagitan (0; /2) f"(x)>0 , samakatuwid, f(x) dito monotonically tumataas at ang graph nito ay maaaring tumawid sa axis X hindi hihigit sa isang punto. pansinin mo yan f(0)=- 2<0, аf(/2)=(/2) 2>0. Nangangahulugan ito na ang equation ay may isang positibong ugat na nakahiga sa pagitan (0; /2). Dahil ang function ay pantay, ang equation ay mayroon ding isang negatibong ugat, simetriko sa positibo. Ngayon ay lumipat tayo sa pagpipino ng ugat. Upang mailapat ang pinagsamang paraan ng pagpipino ng ugat, kailangan mong tiyakin iyon f ""(x) sa (0; /2) pinapanatili ang tanda, at piliin ang paunang pagtatantya ng ugat para sa paglalapat ng padaplis na paraan. Dapat itong matugunan ang kundisyon: f(x)f ""(x)>0. kasi f ""(x) Ang =2(1+cosx) ay positibo sa , pagkatapos ay maaaring kunin ang /2 bilang paunang pagtatantya ng ugat sa paraan ng tangent. Samakatuwid, maaaring ilagay ng isa x=/21,570796, x 1 =0 (tingnan ang algorithm diagram). Sa aming kaso, ang paraan ng chord ay magbibigay ng tinatayang halaga ng ugat na may kawalan, at ang padaplis na paraan - na may labis.

Isaalang-alang ang isang umuulit na hakbang ng pagpipino ng ugat. Kalkulahin ang mga halaga f(0), f(/2), f"(/2). Mga bagong halaga x 1 at x hanapin, ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng mga formula:

|x-x 1 |=0.387680.4>10 -4 =.

Ang tinukoy na katumpakan ay hindi nakakamit, at ang mga kalkulasyon ay dapat ipagpatuloy.

Samakatuwid, ang tinatayang halaga ng ugat na may kinakailangang katumpakan ay natagpuan bilang isang resulta ng tatlong pag-ulit at tinatayang katumbas ng 1.0217.

Dahil sa simetrya ng graph ng function f(x) ang halaga ng pangalawang ugat ay humigit-kumulang katumbas ng -1.0217.

Paglilinaw ng ugat.

Pagbubuo ng problema . Ipagpalagay natin na ang nais na ugat ng equation (2.1) ay pinaghihiwalay, i.e. segment [a; b], na may isa at isang ugat lamang ng equation. Anumang punto ng segment na ito ay maaaring kunin bilang isang tinatayang halaga ng ugat. Ang error ng approximation na ito ay hindi lalampas sa haba [a; b]. Dahil dito, ang problema sa paghahanap ng tinatayang halaga ng ugat na may ibinigay na katumpakan ay nabawasan sa paghahanap ng segment [a; b] (b - a<), содержащего только один корень уравнения (2.1). Эту задачу обычно называют задачей mga pagpipino ng ugat.

Paglalarawan ng mga numerical na pamamaraan. Ginagawang posible ng mga numerical na pamamaraan na makahanap ng mga solusyon sa ilang mga problema, alam nang maaga na ang mga resulta na nakuha ay kakalkulahin na may isang tiyak na error, samakatuwid, para sa maraming mga numerical na pamamaraan, kinakailangang malaman nang maaga ang "antas ng katumpakan" na nagreresulta solusyon ay tumutugma sa.

Kaugnay nito, ang problema sa paghahanap ng mga ugat ng isang polynomial ng anyo (3.1)

ay partikular na interes, dahil ang mga formula para sa paghahanap ng mga ugat ng kahit na isang cubic equation ay medyo kumplikado. Kung kinakailangan upang mahanap ang mga ugat ng isang polynomial na ang degree ay, halimbawa, 5, kung gayon ang isa ay hindi magagawa nang walang tulong ng mga pamamaraang numero, lalo na dahil ang posibilidad ng naturang polynomial ay may natural (o integer, o eksaktong mga ugat na may isang Ang "maikling" fractional na bahagi) ay medyo maliit, at walang mga formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang equation na mas mataas sa 4. De facto, lahat ng karagdagang operasyon ay mababawasan sa paglilinaw ng mga ugat, na ang mga pagitan ay tinatayang kilala nang maaga. Ang pinakamadaling paraan upang mahanap ang "tinatayang" mga ugat na ito ay ang paggamit ng mga graphical na pamamaraan.

Upang mahanap ang mga ugat ng isang polynomial, mayroong ilang mga numerical na pamamaraan: ang paraan ng pag-ulit, ang paraan ng mga chord at tangent, ang kalahating dibisyon na paraan, ang secant na paraan.

Paraan ng paghahati-hati(kilala rin bilang "paraan ng paghahati ng isang segment sa kalahati") ay recursive din, i.e. nagbibigay para sa pag-uulit, isinasaalang-alang ang mga resulta na nakuha.

Ang kakanyahan ng paraan ng kalahating paghahati ay ang mga sumusunod:

- ang function na F(x) ay ibinigay;
- ang pinahihintulutang error Q ay tinutukoy;
- ang ilang pagitan [ a , b ] ay tinukoy, na eksaktong naglalaman ng solusyon ng equation.

1) Kinakalkula namin ang halaga ng coordinate E, na kumukuha sa gitna ng segment, i.e.

E \u003d (a + b) / 2 (3.2)

2) Kalkulahin ang mga halaga ng F(a), F(b), F(E), at gawin ang sumusunod na pagsusuri: Kung F(E)>Q, kung gayon ang ugat ay matatagpuan sa tinukoy na katumpakan. Kung F(E)
3) Pumunta sa punto 1.

Paraan ng mga simpleng pag-ulit (paraan ng sunud-sunod na pagtatantya). Pinapalitan namin ang equation (2.1) ng katumbas na equation

x=(x) (3.3)

maaaring gawin sa iba't ibang paraan, halimbawa

x=x+cf(x), c0. (3.4)

Ipagpalagay natin na ang ilang paunang pagtatantya ng ugat ng equation (3.3) ay napili. Tinutukoy namin ang isang numerical sequence sa pamamagitan ng mga formula

X n+1 =(x n ), n=0,1,2,… (3.5)

Ang ganitong pagkakasunod-sunod ay tinatawag na iterative.

Kung sa segment na naglalaman ng x 0 at lahat ng kasunod na pagtatantya x n , nN, ang function (x) ay may tuluy-tuloy na derivative na "(x) at |"(x)|q<1, то итерационная последовательность (3.5) сходится к единственному на корню уравнения (3.3). Скорость сходимости определяется неравенством

Mula sa hindi pagkakapantay-pantay na ito, sa partikular, sumusunod na ang rate ng convergence ng paraan ng simpleng pag-ulit ay nakasalalay sa halaga ng q: mas maliit ang q, mas mabilis ang convergence.

Samakatuwid, sa pagsasagawa, kapag hinahanap ang mga ugat sa pamamagitan ng paraan ng simpleng pag-ulit, ito ay kanais-nais na katawanin ang equation (2.1) sa anyo (3.3) sa paraang ang derivative na "(x) sa kapitbahayan ng ugat ay posibleng. mas maliit sa absolute value. Para dito, minsan ginagamit ang parameter c mula sa formula (3.4).

Paraan ni Newton (paraan ng tangent). Kung ang isang sapat na magandang paunang pagtatantya ay kilala kung saan ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:

pagkatapos ay maaari mong kalkulahin ang tanging ugat ng equation gamit ang formula ng Newton

Bilang paunang pagtatantya, maaari mong gamitin ang mga hangganan ng pagitan, at:

Kung sa.

Sa bawat pag-ulit ng pamamaraang ito, ang halaga ng mga kalkulasyon ay mas malaki kaysa sa mga pamamaraan ng paghahati-hati at pag-ulit, dahil kinakailangan upang mahanap hindi lamang ang halaga ng pag-andar, kundi pati na rin ang hinango nito. Gayunpaman, ang rate ng convergence ng pamamaraan ni Newton ay mas mataas.

Teorama. Hayaan ang ugat ng equation, i.e. , at tuloy-tuloy. Pagkatapos ay mayroong isang kapitbahayan ng ugat na kung ang paunang pagtatantya ay kabilang sa kapitbahayan na ito, kung gayon para sa pamamaraan ni Newton ang pagkakasunud-sunod ng mga halaga ay nagtatagpo sa sa. Ang pagkakamali ng ika-approximation ng ugat ay maaaring matantya ng formula:

kung saan ang pinakamalaking halaga ng modulus ng pangalawang derivative sa segment, ay ang pinakamaliit na halaga ng modulus ng unang derivative sa segment.

Itigil ang panuntunan:

Paraan ng chord at tangents (pinagsama). Ang pamamaraang ito ay batay sa pagbuo ng isang eskematiko graph ng isang function, pagtukoy sa mga pagitan ng intersection nito sa abscissa axis, at pagkatapos ay "pag-compress" sa pagitan na ito gamit ang mga constructed chords at tangents sa graph ng function na ito.

Dapat pansinin na mayroon ding magkahiwalay na paraan ng mga chord (nagbibigay ng halaga ng ugat na may kakulangan) at ang paraan ng tangents (na may labis). Gayunpaman, ang bentahe ng pinagsamang pamamaraan ay nasa "two-sided compression" ng isinasaalang-alang na segment.

Isaalang-alang ang sumusunod na kaso:

- ang function na F(x) ay ibinigay at ang graph nito ay binuo;
- ang pinahihintulutang error Q ay tinutukoy
- sa batayan ng graph, ang isang segment ay tinukoy kung saan ang graph ng function ay nag-intersect sa abscissa axis, samakatuwid, sa segment na ito mayroong isang ugat ng polynomial na isinasaalang-alang (tinutukoy namin ito ng A)

Ang karagdagang algorithm ay nabawasan sa mga sumusunod na aksyon:

1) bumuo tayo ng tangent sa graph ng function sa puntong F(b)
2) kinakalkula namin ang x-coordinate ng intersection ng tangent na may abscissa axis ayon sa formula (3.9) at ipahiwatig ito ng b "
3) bumuo kami ng chord sa graph ng function na dumadaan sa mga puntos na F(a) at F(b).
4) Kinakalkula namin ang punto ng intersection ng chord na may abscissa axis ayon sa formula (2) at ipahiwatig ito ng a".

Kaya, nakakakuha kami ng isang bagong segment , na (ayon sa mga kahulugan ng isang chord at isang tangent) ay naglalaman pa rin ng solusyon ng equation A.

Ngayon ay ginagawa namin ang segment bilang isang bagong segment at ulitin ang mga hakbang 1-4 hanggang ang pagkakaiba F(b)-F(a) ay maging mas kaunti kaysa sa unang naka-embed na error na Q. Tandaan din namin na pagkatapos nito ay inirerekomenda na kunin ang arithmetic mean F bilang ang gustong solusyon (a) at F(b).

Kaya, kung ang chord (tangent) ay nagbibigay ng halaga ng ugat na may labis, kung gayon ang ugat na ito ay kinuha bilang bagong kanang hangganan, at kung may kakulangan, pagkatapos ay ang kaliwa. Sa parehong mga kaso, ang eksaktong ugat ay nasa pagitan ng mga punto ng intersection ng chord at ang tangent na may abscissa axis.

Mga puna sa paraan ng chord at tangents. Dahil ang solusyon ng problema ay nangangailangan ng paghahanap ng derivative ng function na F(x), ang paraan ng chords at tangents ay medyo mahirap ipatupad sa antas ng programa, dahil ang mga patakaran para sa pagkalkula ng mga derivative sa isang pangkalahatang anyo ay medyo mahirap para sa "pag-unawa" ng isang computer; kapag direktang tinukoy ang derivative para sa bawat antas ng polynomial, ang memorya ng computer ay seryosong na-load, na lubhang nagpapabagal sa trabaho, at ang pagtatakda ng function at, nang naaayon, ang derivative nito nang direkta sa program code ay hindi katanggap-tanggap. Gayunpaman, gamit ang pamamaraang ito, ang convergence ng agwat sa ugat ay nangyayari nang pinakamabilis, lalo na kung ang paraan ng chords at tangents ay pinagsama sa paraan ng bisection, dahil ang gitna ng bagong segment ay kadalasang nagbibigay ng ganap na kasiya-siyang solusyon.

Ang paraan ng secant. Ang secant method ay maaaring makuha mula sa Newton's method sa pamamagitan ng pagpapalit ng derivative ng isang tinatayang expression - ang difference formula:

Ginagamit ng Formula (3.8) ang dalawang naunang pagtatantya u. Samakatuwid, para sa isang naibigay na paunang halaga, kinakailangan upang kalkulahin ang susunod na pagtatantya, halimbawa, sa pamamagitan ng pamamaraan ng Newton na may tinatayang pagpapalit ng hinalaw sa pamamagitan ng formula.

Algorithm ng secant method:

1) ang paunang halaga at error ay ibinigay. Compute

2) para sa n= 1,2, ….. habang ang kundisyon ay nasiyahan, kinakalkula namin sa pamamagitan ng formula (3.8).

Pagbubuo ng problema

Paghihiwalay ng ugat

Pagpino ng ugat

1.2.3.2. Paraan ng pag-ulit

1.2.3.4. paraan ng chord

Pagbubuo ng problema

Algebraic equation

( 1.2.1-1)

transendental equation

(1.2.1-2)

Paulit-ulit na pagpipino ng mga ugat.

Sa yugto ng paghihiwalay ng mga ugat, ang problema sa paghahanap ng pinakamakitid na posibleng mga segment , na naglalaman ng isa at isang ugat lamang ng equation, ay malulutas.

Ang hakbang sa pagpipino ng ugat ay naglalayong kalkulahin ang tinatayang halaga ng ugat na may ibinigay na katumpakan. Sa kasong ito, ang mga umuulit na pamamaraan para sa pagkalkula ng sunud-sunod na pagtatantya sa ugat ay ginagamit: x 0 , x 1 , ..., x n , ..., kung saan ang bawat kasunod na approximation x n+1 ay kinakalkula batay sa nakaraang x n . Ang bawat hakbang ay tinatawag na isang pag-ulit. Kung ang sequence x 0 , x 1 , ..., x n , … bilang n ® ¥ ay may limitasyon na katumbas ng halaga ng ugat , kung gayon ang umuulit na proseso ay sinasabing nagtatagpo.

Mayroong iba't ibang mga paraan upang paghiwalayin at pinuhin ang mga ugat, na tatalakayin natin sa ibaba.

Paghihiwalay ng ugat

Ang ugat ng equation na f(x)=0 ay itinuturing na hiwalay (localized) sa segment kung ang equation na ito ay walang ibang mga ugat sa segment na ito. Upang paghiwalayin ang mga ugat ng equation, kinakailangan na hatiin ang hanay ng mga tinatanggap na halaga ng function na f(x) sa medyo makitid na mga segment, na ang bawat isa ay naglalaman lamang ng isang ugat. Umiiral graphic at analitikal paraan ng paghihiwalay ng ugat.

Pagpino ng ugat

Ang gawain ng pagpino sa ugat ng equation na may katumpakan na pinaghihiwalay ng segment ay upang mahanap ang isang tinatayang halaga ng ugat kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay . Kung ang equation ay walang isa, ngunit maraming mga ugat, kung gayon ang yugto ng pagpipino ay isinasagawa para sa bawat pinaghiwalay na ugat.

Paraan ng kalahating paghahati

Hayaang paghiwalayin ang ugat ng equation na f(x)=0 sa segment , iyon ay, mayroong isang ugat sa segment na ito, at ang function sa segment na ito ay tuluy-tuloy.

Binibigyang-daan ka ng paraan ng paghahati-hati na makakuha ng pagkakasunud-sunod ng mga nested na mga segment , , …,,..., para sa f(a i).f(b i)< 0 , kung saan ang i=1,2,…,n, at ang haba ng bawat kasunod na segment ay kalahati ng haba ng nauna:

Ang sunud-sunod na pagpapaliit ng segment sa paligid ng hindi kilalang halaga ng ugat ay nagsisiguro ng pagpapatupad sa ilang hakbang n hindi pagkakapantay-pantay |b n - a n |< e. Поскольку при этом для любого хÎ будет выполняться неравенство | - х| <, то с точностью любое

Maaaring kunin bilang isang tinatayang halaga ng ugat, halimbawa, ang midpoint nito

Sa paraan ng bisection, mula sa pag-ulit hanggang sa pag-ulit, ang haba ng paunang segment ay patuloy na binabawasan ng kalahati (Larawan 1.2.3-1). Samakatuwid, sa ika-na hakbang, ang sumusunod na pagtatantya ng error ng resulta ay wasto:

( 1.2.3-1)

kung saan ang eksaktong halaga ng ugat, x n н ay ang tinatayang halaga ng ugat sa nth step.

Paghahambing ng nagresultang pagtatantya ng error sa ibinigay na katumpakan , maaari naming tantyahin ang kinakailangang bilang ng mga hakbang:

(1.2.3-2)

Makikita sa formula na ang pagbaba sa halaga e(pagtaas sa katumpakan) ay humahantong sa isang makabuluhang pagtaas sa dami ng mga kalkulasyon, samakatuwid, sa pagsasagawa, ang pamamaraan ng kalahating dibisyon ay ginagamit para sa isang medyo magaspang na paghahanap ng ugat, at ang karagdagang pagpipino nito ay isinasagawa gamit ang iba, mas mahusay na mga pamamaraan. .

kanin. 1.2.3-2. Scheme ng algorithm ng bisection method

Ang scheme ng bisection algorithm ay ipinapakita sa fig. 1.2.3-2. Ipinapalagay ng algorithm sa itaas na ang kaliwang bahagi ng equation na f(x) ay idinisenyo bilang isang software module.

Halimbawa 1.2.3-1. Tukuyin ang ugat ng equation x 3 +x-1=0 na may katumpakan na =0.1, na naka-localize sa segment .

Ang mga resulta ay maginhawang ipinakita gamit ang Talahanayan 1.2.3-3.

Talahanayan 1.2.3-3

k	a	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f((a+b)/2)	isang k	b k
			-1		0.5	-0.375	0.5
	0.5		-0.375		0.75	0.172	0.5	0.75
	0.5	0.75	-0.375	0.172	0.625	-0.131	0.625	0.75
	0.625	0.75	-0.131	0.172	0.688	0.0136	0.625	0.688

Pagkatapos ng ikaapat na pag-ulit, ang haba ng segment |b 4 -a 4 | = |0.688-0.625| = 0.063 ay naging mas mababa kaysa sa halaga e, samakatuwid, para sa tinatayang halaga ng ugat, maaari mong kunin ang halaga ng gitna ng segment na ito: x \u003d (a 4 + b 4) / 2 \u003d 0.656 .

Ang halaga ng function na f(x) sa puntong x = 0.656 ay f(0.656) = -0.062 .

Paraan ng pag-ulit

Ang paraan ng pag-ulit ay kinabibilangan ng pagpapalit ng equation f(x)=0 ng katumbas na equation x=j(x). Kung ang ugat ng equation ay pinaghihiwalay sa segment , pagkatapos ay batay sa paunang pagtatantya x 0 н, maaari kang makakuha ng isang pagkakasunud-sunod ng mga pagtatantya sa ugat

x 1 \u003d j (x 0), x 2 \u003d j (x 1), ..., , ( 1.2.3-3)

kung saan ang function na j(x) ay tinatawag na iterating function.

Ang kondisyon ng convergence para sa simpleng paraan ng pag-ulit ay tinutukoy ng sumusunod na theorem.

Hayaan ang ugat X* mga equation x=j(x) nakahiwalay sa isang segmentat nakagawa ng pagkakasunod-sunod ng mga approximation ayon sa tuntunin x n \u003d j (x n -1) . Pagkatapos kung ang lahat ng mga miyembro ng sequence x n =j(x n -1) н at may ganyan q(0 na para sa lahat x О gumanap|j'(x)| = q<1, pagkatapos ang sequence na ito ay convergent at ang limitasyon ng sequence ay ang value ng root x* , ibig sabihin. ang proseso ng pag-ulit ay nagtatagpo sa ugat ng equation anuman ang paunang approximation.

Kaya, kung ang kondisyon ng convergence ng paraan ng pag-ulit ay nasiyahan, kung gayon ang sequence x 0 , x 1 , x 2 , …, x n ,…, nakuha gamit ang formula x n +1 = j(x n ), nagtatagpo sa eksaktong halaga ng ugat:

Ang kundisyong j(x)н para sa xн ay nangangahulugan na ang lahat ng pagtatantya x 1 , x 2 , …, x n ,…, na nakuha ng umuulit na formula, ay dapat na kabilang sa segment kung saan pinaghihiwalay ang ugat.

Upang matantya ang error ng paraan ng pag-ulit, ang kondisyon

bawat numero q maaaring kunin ang pinakamalaking halaga |j"(x)| , at ang proseso ng mga pag-ulit ay dapat ipagpatuloy hanggang sa hindi pagkakapantay-pantay

(1.2.3-5)

Sa pagsasagawa, madalas na ginagamit ang pinasimpleng formula sa pagtatantya ng error. Halimbawa, kung 0

|x n -1 - x n | £ .

Ang paggamit ng iterative formula x n +1 = j(x n) ay nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang halaga ng ugat ng equation f(x)=0 na may anumang antas ng katumpakan .

Geometric na paglalarawan ng paraan ng pag-ulit. Sa eroplanong X0Y, inilalagay namin ang mga graph ng mga function na y=x at y=j(x ). Ang ugat ng equation na x=j(x) ay ang abscissa ng intersection point ng mga graph ng function na y = j(x) ) at direktang y=x. Kumuha tayo ng ilang paunang pagtatantya x 0 н . Sa curve y \u003d j (x) ito ay tumutugma sa punto A 0 \u003d j (x 0). Upang mahanap ang susunod na pagtatantya, gumuhit ng isang tuwid na pahalang na linya sa pamamagitan ng point A 0 sa intersection na may tuwid na linya y \u003d x (point B 1) at ibaba ang patayo sa intersection na may curve (point A 1), iyon ay, x 1 \u003d j (x 0) . Ang pagpapatuloy ng pagtatayo sa katulad na paraan, mayroon kaming putol na linya A 0, B 1, A 1, B 2, A 2 ..., kung saan ang mga karaniwang abscissas ng mga punto ay kumakatawan sa sunud-sunod na pagtatantya x 1, x 2, . .., x n ("hagdan") hanggang sa ugat na X*. Mula sa fig. 1.2.3-3a makikita na ang proseso ay nagtatagpo sa ugat ng equation.

Isaalang-alang ngayon ang isa pang anyo ng curve y = j(x) (Fig. 1.2.6b). Sa kasong ito, ang putol na linya A 0 , B 1 , A 1 , B 2 , A 2 ... ay may anyo ng isang "spiral". Gayunpaman, sa kasong ito, ang convergence ay sinusunod din.

Madaling makita na sa unang kaso ang derivative ay nakakatugon sa kundisyon 0< j’(x)< 1, а во втором случае производная j’(x)<0иj’(x)>-isa. Kaya, malinaw na kung |j'(x)|<1, то процесс итераций сходится к корню.

Ngayon isaalang-alang ang mga kaso kung saan |j'(x) |> 1. Sa fig. Ipinapakita ng 1.2.3-4a ang kaso kapag ang j'(x)>1, at sa fig. 1.2.3-4b - kapag j'(x)< -1. В обоих случаях процесс итерации расходится, то есть, полученное на очередной итерации значение х все дальше удаляется от истинного значения корня.

Mga paraan upang mapabuti ang convergence ng proseso ng pag-ulit. Isaalang-alang ang dalawang opsyon para sa pagkatawan ng function na j(x) sa paglipat mula sa equation na f(x) hanggang x=j(x).

1. Hayaang maging differentiable at monotone ang function na j(x) sa mga kapitbahayan ng ugat, at magkaroon ng numerong k £ |j‘(x)|, kung saan ang k ³ 1 (i.e., nag-iiba ang proseso). Palitan natin ang equation na x=j(x) ng katumbas nitong equation x=Y(x ) , saan Y(x) = 1/j(x)(lumipat tayo sa inverse function). Pagkatapos

na nangangahulugang q=1/k< 1 и процесс будет сходиться.

2. Kinakatawan namin ang function na j(x) bilang j(x) = x - lf(x), kung saan ang l ay ang coefficient , hindi pantay

sero. Para magtagpo ang proseso, kailangan iyon
0<|j¢(x)| = |1 - lf¢(x)| < 1. Возьмем l= 2/(m 1 +M 1 ), kung saan ang m 1 at M 1 ay ang pinakamababa at pinakamataas na halaga ng f'(x) (m 1 =min|f'(x)|, M 1 =max|f'(x)|) para sa хн, i.e. 0£ m 1 £ f¢(x) £ M 1 £1. Pagkatapos

at ang proseso ay magtatagpo, ang recursive formula ay may anyo

Kung f¢(x)< 0, то в рекуррентной формуле f(x) следует умножить на -1 .

Ang parameter λ ay maaari ding matukoy ng panuntunan:

Kung , pagkatapos , at kung , pagkatapos , saan .

Ang scheme ng algorithm ng paraan ng pag-ulit ay ipinapakita sa fig. 1.2.3-5.

Ang orihinal na equation f(x)=0 ay binago sa isang form na maginhawa para sa mga pag-ulit: Ang kaliwang bahagi ng orihinal na equation na f(x) at ang iterating function na fi(x) sa algorithm ay idinisenyo bilang hiwalay na mga module ng software.

kanin. 1.2.3-5. Pamamaraan ng Pag-ulit Algorithm Diagram

Halimbawa 1.2.3-2. Pinuhin ang ugat ng equation na 5x – 8∙ln(x) – 8 =0 na may katumpakan na 0.1, na naka-localize sa segment .

Dinadala namin ang equation sa isang form na maginhawa para sa mga pag-ulit:

Samakatuwid, para sa tinatayang halaga ng ugat ng equation, kinukuha namin ang halaga x 3 =3.6892, na nagbibigay ng kinakailangang katumpakan ng mga kalkulasyon. Sa puntong ito f(x 3)=0.0027.

paraan ng chord

Geometric na interpretasyon ng paraan ng chord ay ang mga sumusunod
(Larawan 1.2.3-8).

Gumuhit tayo ng isang tuwid na bahagi ng linya sa pamamagitan ng mga punto A at B. Ang susunod na pagtatantya ng x 1 ay ang abscissa ng intersection point ng chord na may 0x axis. Buuin natin ang equation ng isang straight line segment:

Ilagay natin ang y = 0 at hanapin ang halaga x = x 1 (isa pang pagtatantya):

Ulitin namin ang proseso ng pagkalkula upang makuha ang susunod na pagtatantya sa ugat - x 2 :

Sa aming kaso (Larawan 1.2.11) at ang formula ng pagkalkula ng paraan ng chord ay magmumukhang

Ang formula na ito ay wasto kapag ang point b ay kinuha bilang isang fixed point, at ang point a ay gumaganap bilang isang paunang approximation.

Isaalang-alang ang isa pang kaso (Larawan 1.2.3-9), kapag .

Ang equation ng tuwid na linya para sa kasong ito ay may anyo

Ang susunod na pagtatantya x 1 sa y = 0

Pagkatapos ang recursive formula para sa paraan ng chords para sa kasong ito ay may anyo

Dapat tandaan na para sa nakapirming punto sa paraan ng mga chord, ang dulo ng segment ay pinili kung saan ang kundisyon f (x) ∙ f¢¢ (x)>0 ay nasiyahan.

Kaya, kung ang punto a ay kinuha bilang isang nakapirming punto , pagkatapos ang x 0 = b ay gumaganap bilang isang paunang pagtatantya, at kabaliktaran.

Ang sapat na mga kondisyon na nagsisiguro sa pagkalkula ng ugat ng equation na f(x)=0 gamit ang formula ng mga chord ay magiging kapareho ng para sa tangent na paraan (paraan ng Newton), ngunit sa halip na ang paunang pagtatantya, isang nakapirming punto ang pipiliin. Ang paraan ng chord ay isang pagbabago ng pamamaraan ni Newton. Ang pagkakaiba ay ang susunod na pagtatantya sa pamamaraan ng Newton ay ang punto ng intersection ng tangent na may 0X axis, at sa paraan ng chords - ang punto ng intersection ng chord na may 0X axis - ang mga approximation ay nagtatagpo sa ugat mula magkaibang panig.

Ang pagtatantya ng error ng paraan ng chord ay tinutukoy ng expression

(1.2.3-15)

Kondisyon ng pagwawakas ng proseso ng pag-ulit sa pamamagitan ng paraan ng mga chord

(1.2.3-16)

Kung M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n - x n -1 | £ e.

Halimbawa 1.2.3-4. Tukuyin ang ugat ng equation e x - 3x = 0, na pinaghihiwalay sa isang segment na may katumpakan na 10 -4 .

Suriin natin ang kondisyon ng convergence:

Samakatuwid, ang a=0 ay dapat piliin bilang isang nakapirming punto, at ang x 0 \u003d 1 ay dapat kunin bilang paunang pagtatantya, dahil f (0) \u003d 1> 0 at f (0) * f "(0)> 0 .

Mga resulta ng pagkalkula na nakuha gamit ang formula
1.2.3-14 ay ipinakita sa Talahanayan 1.2.3-4.

Talahanayan 1.2.3-4

kanin. 1.2.3-10. Scheme ng chord method algorithm

Ang non-linear equation ay

1) algebraic o transendental equation

2) algebraic equation

3) trigonometriko equation

4) transendental equation

Paksa 1.2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na equation

Pagbubuo ng problema

Paghihiwalay ng ugat

1.2.2.1. Graphic na paghihiwalay ng mga ugat

1.2.2.2. Analytical Sangay ng Roots

Pagpino ng ugat

1.2.3.1. Paraan ng kalahating paghahati

1.2.3.2. Paraan ng pag-ulit

1.2.3.3. Paraan ni Newton (paraan ng tangent)

1.2.3.4. paraan ng chord

1.2.3.5. Paghahambing ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear na equation

1.2.4. Mga gawain sa pagsubok sa paksang "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nonlinear equation"

Pagbubuo ng problema

Ang isa sa pinakamahalaga at pinakakaraniwang problema ng pagsusuri sa matematika ay ang problema sa pagtukoy sa mga ugat ng isang equation na may isang hindi alam, na maaaring katawanin sa pangkalahatang anyo bilang f(x) = 0. Depende sa anyo ng function na f( x), ang mga algebraic at transendental na equation ay nakikilala. Algebraic equation ay tinatawag na mga equation kung saan ang halaga ng function na f(x) ay isang polynomial ng nth degree:

f (x) \u003d P (x) \u003d a n x n + a 2 x 2 + ... + a 1 x + a 0 \u003d 0. ( 1.2.1-1)

Anumang non-algebraic equation ay tinatawag transendental equation. Ang function na f(x) sa mga naturang equation ay hindi bababa sa isa sa mga sumusunod na function: exponential, logarithmic, trigonometric, o inverse trigonometric.

Ang solusyon ng equation f (x) \u003d 0 ay ang hanay ng mga ugat, iyon ay, ang mga naturang halaga ng independiyenteng variable kung saan ang equation ay nagiging isang pagkakakilanlan. Gayunpaman, ang eksaktong mga halaga ng mga ugat ay matatagpuan lamang sa analytically para sa ilang mga uri ng mga equation. Sa partikular, ang mga formula na nagpapahayag ng solusyon ng isang algebraic equation ay maaari lamang makuha para sa mga equation na hindi mas mataas kaysa sa ikaapat na degree. Mayroong mas kaunting mga pagkakataon para sa pagkuha ng eksaktong solusyon ng transendental equation. Dapat tandaan na ang problema sa paghahanap ng eksaktong mga halaga ng mga ugat ay hindi palaging tama. Kaya, kung ang mga coefficient ng equation ay tinatayang mga numero, ang katumpakan ng mga kinakalkula na halaga ng mga ugat ay tiyak na hindi maaaring lumampas sa katumpakan ng orihinal na data. Pinipilit tayo ng mga pangyayaring ito na isaalang-alang ang posibilidad na mahanap ang mga ugat ng equation na may limitadong katumpakan (tinatayang mga ugat).

Ang problema sa paghahanap ng ugat ng isang equation na may ibinigay na katumpakan (>0) ay itinuturing na lutasin kung ang isang tinatayang halaga ay kinakalkula, na naiiba mula sa eksaktong halaga ng ugat ng hindi hihigit sa halaga e

(1.2.1-2)

Ang proseso ng paghahanap ng tinatayang ugat ng equation ay binubuo ng dalawang yugto:

1) paghihiwalay ng mga ugat (lokalisasyon ng mga ugat);

Ang mga equation na naglalaman ng mga hindi kilalang function na nakataas sa isang kapangyarihan na higit sa isa ay tinatawag na non-linear.
Halimbawa, ang y=ax+b ay isang linear equation, x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 ay non-linear (karaniwang isinusulat bilang F(x)=0).

Ang sistema ng nonlinear equation ay ang sabay-sabay na solusyon ng ilang nonlinear equation na may isa o higit pang variable.

Mayroong maraming mga pamamaraan paglutas ng mga nonlinear equation at mga sistema ng mga nonlinear na equation, na karaniwang inuri sa 3 pangkat: numerical, graphical at analytical. Ginagawang posible ng mga analytical na pamamaraan upang matukoy ang eksaktong mga halaga ng solusyon ng mga equation. Ang mga graphical na pamamaraan ay hindi gaanong tumpak, ngunit pinapayagan sa mga kumplikadong equation na matukoy ang pinakamaraming tinatayang mga halaga, kung saan sa hinaharap maaari kang magsimulang makahanap ng mas tumpak na mga solusyon sa mga equation. Ang numerical na solusyon ng mga non-linear na equation ay nagsasangkot ng pagdaan sa dalawang yugto: ang paghihiwalay ng ugat at ang pagpipino nito sa isang tiyak na tinukoy na katumpakan.
Ang paghihiwalay ng mga ugat ay isinasagawa sa iba't ibang paraan: graphically, gamit ang iba't ibang mga dalubhasang programa sa computer, atbp.

Isaalang-alang natin ang ilang mga pamamaraan para sa pagpino ng mga ugat na may tiyak na katumpakan.

Numero ng pag-ulit

|x- x 1 |

paraan ng kalahating paghahati.

Ang kakanyahan ng paraan ng kalahating paghahati ay upang hatiin ang pagitan sa kalahati (с=(a+b)/2) at itapon ang bahagi ng pagitan kung saan walang ugat, i.e. kundisyon F(a)xF(b)

Fig.1. Gamit ang paraan ng kalahating paghahati sa paglutas ng mga nonlinear equation.

Isaalang-alang ang isang halimbawa.

Hatiin natin ang segment sa 2 bahagi: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0.5.
Kung ang produktong F(a)*F(x)>0, ang simula ng segment a ay ililipat sa x (a=x), kung hindi, ang dulo ng segment b ay ililipat sa puntong x (b=x). ). Hinahati namin ang nagresultang segment sa kalahati muli, atbp. Ang lahat ng mga kalkulasyon ay ipinapakita sa talahanayan sa ibaba.

Fig.2. Talahanayan ng mga resulta ng pagkalkula

Bilang resulta ng mga kalkulasyon, nakuha namin ang halaga, na isinasaalang-alang ang kinakailangang katumpakan, katumbas ng x=-0.946

paraan ng chord.

Kapag ginagamit ang paraan ng chord, tinukoy ang isang segment, kung saan mayroon lamang isang ugat na may tinukoy na katumpakan e. Ang isang linya (chord) ay iginuhit sa pamamagitan ng mga punto sa segment a at b, na may mga coordinate (x(F(a); y(F(b))). Susunod, ang mga punto ng intersection ng linyang ito na may abscissa axis (puntong z) ay tinutukoy.
Kung F(a)xF(z)

Fig.3. Gamit ang paraan ng mga chord sa paglutas ng mga nonlinear equation.

Isaalang-alang ang isang halimbawa. Kinakailangang lutasin ang equation na x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 hanggang sa loob ng e

Sa pangkalahatan, ang equation ay mukhang: F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

Hanapin ang mga halaga ng F(x) sa mga dulo ng segment :

F(-1) = - 0.2>0;

Tukuyin natin ang pangalawang derivative F''(x) = 6x-0.4.

F''(-1)=-6.4
F''(0)=-0.4

Sa mga dulo ng segment, ang kundisyong F(-1)F''(-1)>0 ay sinusunod, samakatuwid, upang matukoy ang ugat ng equation, ginagamit namin ang formula:

Ang lahat ng mga kalkulasyon ay ipinapakita sa talahanayan sa ibaba.

Fig.4. Talahanayan ng mga resulta ng pagkalkula

Bilang resulta ng mga kalkulasyon, nakuha namin ang halaga, na isinasaalang-alang ang kinakailangang katumpakan, katumbas ng x=-0.946

Tangent Method (Newton)

Ang pamamaraang ito ay batay sa pagbuo ng mga tangent sa graph, na iginuhit sa isa sa mga dulo ng pagitan. Sa punto ng intersection sa X-axis (z1), isang bagong tangent ang binuo. Ang pamamaraang ito ay nagpapatuloy hanggang ang nakuhang halaga ay maihambing sa nais na parameter ng katumpakan e (F(zi)

Fig.5. Gamit ang paraan ng tangents (Newton) sa paglutas ng mga nonlinear equation.

Isaalang-alang ang isang halimbawa. Kinakailangang lutasin ang equation na x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 hanggang sa loob ng e

Sa pangkalahatan, ang equation ay mukhang: F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

Tukuyin natin ang una at pangalawang derivatives: F'(x)=3x^2-0.4x+0.5, F''(x)=6x-0.4;

F''(-1)=-6-0.4=-6.4
F''(0)=-0.4
Ang kundisyon F(-1)F''(-1)>0 ay natupad, kaya ang mga kalkulasyon ay ginawa ayon sa formula:

Kung saan ang x0=b, F(a)=F(-1)=-0.2

Ang lahat ng mga kalkulasyon ay ipinapakita sa talahanayan sa ibaba.

Fig.6. Talahanayan ng mga resulta ng pagkalkula

Bilang resulta ng mga kalkulasyon, nakuha namin ang halaga, na isinasaalang-alang ang kinakailangang katumpakan, katumbas ng x=-0.946

Isaalang-alang ang problema sa paghahanap ng mga ugat ng nonlinear equation

Ang pagkakaroon sa nahanap na pagitan ng hindi bababa sa isang ugat ng equation (1) ay sumusunod sa kondisyon ng Bolzano:

f(a)*f(b)<0 (2)

Kapag naglo-localize ng mga ugat, mahalagang malaman din ang mga pangunahing katangian ng ganitong uri ng equation. Halimbawa, alalahanin ang ilang katangian ng mga algebraic equation:

nasaan ang mga tunay na coefficient.

a) Ang isang equation ng degree n ay may n mga ugat, kung saan maaaring mayroong parehong tunay at kumplikado. Ang mga kumplikadong ugat ay bumubuo ng mga kumplikadong pares ng conjugate at, samakatuwid, ang equation ay may pantay na bilang ng mga naturang ugat. Para sa isang kakaibang halaga ng n, mayroong hindi bababa sa isang tunay na ugat.
b) Ang bilang ng mga positibong tunay na ugat ay mas mababa sa o katumbas ng bilang ng mga variable na palatandaan sa pagkakasunud-sunod ng mga coefficient. Ang pagpapalit ng x ng -x sa equation (3) ay nagbibigay-daan sa iyong matantya ang bilang ng mga negatibong ugat sa parehong paraan. pag-ulit newton dichotomy non-linear

kung saan ang С>0 ay medyo pare-pareho. Kung m=1 , kung gayon ang isa ay nagsasalita ng first-order convergence; m=2 - tungkol sa quadratic, m=3 - tungkol sa cubic convergence.

Nagtatapos ang mga umuulit na cycle kung, para sa isang pinahihintulutang error, ang pamantayan para sa ganap o kamag-anak na mga paglihis ay natugunan:

o ang liit ng nalalabi:

Ang gawaing ito ay nakatuon sa pag-aaral ng isang algorithm para sa paglutas ng mga nonlinear na equation gamit ang pamamaraan ni Newton.

Departamento: ASOIiU

Gawain sa laboratoryo

Sa paksa: PAGHAHANAP NG UGAT NG ISANG NONLINEAR EQUATION. MGA PARAAN PARA SA PAGSOLBA NG SISTEMA NG MGA NONLINEAR EQUATION

Moscow, 2008

PAGHAHANAP NG UGAT NG ISANG NONLINEAR EQUATION

1. Paglalahad ng suliranin

Hayaang maibigay ang isang function na tuluy-tuloy kasama ng ilang mga derivatives nito. Kinakailangang hanapin ang lahat o ilang tunay na ugat ng equation

Ang gawaing ito ay nahahati sa ilang mga subtask. Una, kinakailangan upang matukoy ang bilang ng mga ugat, upang siyasatin ang kanilang kalikasan at lokasyon. Pangalawa, hanapin ang tinatayang halaga ng mga ugat. Pangatlo, piliin ang mga ugat ng interes sa amin mula sa kanila at kalkulahin ang mga ito nang may kinakailangang katumpakan e. Ang una at pangalawang gawain ay nalulutas, bilang panuntunan, sa pamamagitan ng analytical o graphical na mga pamamaraan. Sa kaso kung ang mga tunay na ugat lamang ng equation (1) ang hinahanap, kapaki-pakinabang na mag-compile ng isang talahanayan ng mga halaga ng function. Kung ang function ay may iba't ibang mga palatandaan sa dalawang kalapit na mga node ng talahanayan, kung gayon sa pagitan ng mga node na ito ay namamalagi ng isang kakaibang bilang ng mga ugat ng equation (kahit isa). Kung ang mga node na ito ay malapit, malamang na mayroon lamang isang ugat sa pagitan nila.

Ang nahanap na tinatayang mga halaga ng mga ugat ay maaaring pinuhin gamit ang iba't ibang mga pamamaraan ng umuulit. Isaalang-alang natin ang tatlong pamamaraan: 1) ang paraan ng dichotomy (o paghahati ng segment sa kalahati); 2) simpleng paraan ng pag-ulit; at 3) Pamamaraan ni Newton.

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng problema

2.1 Paraan ng paghahati ng segment sa kalahati

Ang pinakasimpleng paraan para sa paghahanap ng ugat ng nonlinear equation (1) ay ang half division method.

Hayaang magbigay ng tuluy-tuloy na function sa segment. Kung ang mga value ng function sa mga dulo ng segment ay may iba't ibang sign, i.e. pagkatapos ay nangangahulugan ito na sa loob ng ibinigay na segment mayroong isang kakaibang bilang ng mga ugat. Hayaan, para sa katiyakan, magkaroon lamang ng isang ugat. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay upang hatiin ang haba ng segment sa bawat pag-ulit. Natagpuan namin ang gitna ng segment (tingnan ang Fig. 1) Kalkulahin ang halaga ng function at piliin ang segment kung saan binabago ng function ang sign nito. Hatiin muli ang bagong segment sa kalahati. At ipinagpatuloy namin ang prosesong ito hanggang sa ang haba ng segment ay katumbas ng paunang natukoy na error sa pagkalkula ng ugat e. Ang pagbuo ng ilang sunud-sunod na pagtatantya ayon sa formula (3) ay ipinapakita sa Figure 1.

Kaya, ang algorithm ng pamamaraan ng dichotomy:

1. Itakda ang distansya at error e.

2. Kung ang f(a) at f(b) ay may parehong mga senyales, maglabas ng mensahe tungkol sa imposibilidad na mahanap ang ugat at huminto.

Fig.1. Ang paraan ng paghahati ng segment sa kalahati para sa paglutas ng equation ng form na f(x)=0.

3. Kung hindi, kalkulahin ang c=(a+b)/2

4. Kung ang f(a) at f(c) ay may magkaibang mga palatandaan, ilagay ang b=c, kung hindi ay a=c.

5. Kung ang haba ng bagong segment ay , pagkatapos ay kalkulahin ang halaga ng root c=(a+b)/2 at huminto, kung hindi, pumunta sa hakbang 3.

Dahil ang haba ng segment ay nababawasan ng 2 N beses sa N hakbang, ang ibinigay na error sa paghahanap ng root e ay maaabot sa mga pag-ulit.

Tulad ng makikita, ang rate ng convergence ay mababa, ngunit ang mga bentahe ng pamamaraan ay kinabibilangan ng pagiging simple at unconditional convergence ng umuulit na proseso. Kung ang segment ay naglalaman ng higit sa isang ugat (ngunit isang kakaibang numero), ang isa ay palaging makikita.

Magkomento. Upang matukoy ang agwat kung saan namamalagi ang ugat, kinakailangan ang karagdagang pagsusuri ng function, batay sa alinman sa analytical na mga pagtatantya o sa paggamit ng isang graphical na paraan ng solusyon. Posible rin na ayusin ang isang paghahanap ng mga halaga ng function sa iba't ibang mga punto hanggang sa matugunan ang kundisyon ng pagbabago ng pag-sign ng function.

2.2 Simpleng paraan ng pag-ulit

Kapag ginagamit ang paraang ito, ang orihinal na nonlinear equation (1) ay dapat na muling isulat sa form

Tukuyin natin ang ugat ng equation na ito bilang C * . Hayaang malaman ang paunang pagtatantya ng ugat. Ang pagpapalit ng halagang ito sa kanang bahagi ng equation (2), makakakuha tayo ng bagong approximation

atbp. Para sa (n+1)-step, makuha namin ang sumusunod na approximation

(3)

Kaya, ayon sa formula (3), nakakakuha kami ng isang sequence С 0 , С 1 ,…,С n +1 , na may posibilidad sa root С * sa n®¥. Hihinto ang proseso ng umuulit kung malapit na ang mga resulta ng dalawang magkasunod na pag-ulit, ibig sabihin, ang kundisyon

(4)

Pag-aralan natin ang kondisyon at rate ng convergence ng numerical sequence (C n ) para sa n®¥. Alalahanin ang kahulugan ng rate ng convergence. Ang isang sequence (C n ) converging sa limit С * ay may rate ng convergence ng order a kung, para sa n®¥, ang kundisyon

Ipagpalagay natin na ito ay may tuluy-tuloy na derivative, kung gayon ang error sa (n+1)-th iteration step e n +1 =C n +1 -C * =g(C n)-g(C *) ay maaaring katawanin bilang isang serye

e n+1 » C n+1 – C * = g¢(C *) (C n -C *) +¼@ g¢(C *) e n +¼

Kaya, nakukuha namin iyon sa ilalim ng kondisyon

çg¢(C *) ç<1(6)

ang sequence (3) ay magsasama sa ugat na may linear na bilis a=1. Ang kondisyon (6) ay isang kondisyon para sa convergence ng simpleng paraan ng pag-ulit. Malinaw, ang tagumpay ng pamamaraan ay nakasalalay sa kung gaano kahusay ang napiling function.

Halimbawa, upang kunin ang square root, ibig sabihin, lutasin ang isang equation ng form x \u003d a 2, maaari mong ilagay

x \u003d g 1 (x) \u003d a / x (7a)

x=g 2 (x)=(x+a/x)/2.(7b)

Madaling ipakita iyon

½g 1" (C)½=1,

½g 2" (C)½<1.

Kaya, ang unang proseso (7a) ay hindi nagtatagpo sa lahat, habang ang pangalawa (7b) ay nagtatagpo para sa anumang paunang pagtatantya C 0 >0.

kanin. 2. Graphical na interpretasyon ng paraan ng mga simpleng pag-ulit para sa paglutas ng isang equation ng anyong x=g(x).

Pagbuo ng ilang sunud-sunod na pagtatantya sa pamamagitan ng formula (3)

С 0 , С 1 , …, С n = C *

ipinapakita sa Figure 2.

2.3 Paraan ni Newton

Sa panitikan, ang pamamaraang ito ay madalas na tinatawag na paraan ng padaplis, gayundin ang paraan ng linearization. Pinipili namin ang paunang pagtatantya С 0 . Ipagpalagay natin na ang paglihis С 0 mula sa tunay na halaga ng ugat na С * ay maliit, kung gayon, ang pagpapalawak ng f(C *) sa isang serye ng Taylor sa puntong С 0 , nakuha natin

f(C *) = f(C 0) + f¢(C 0) (C * -C 0) +¼(8)

Kung f¢(C 0) ¹ 0 , sa (8) maaari nating paghigpitan ang ating sarili sa mga terminong linear sa DC =C-C 0 . Isinasaalang-alang na f(C *)=0, mula sa (9) mahahanap natin ang sumusunod na approximation para sa ugat

C 1 \u003d C 0 - f (C 0) / f¢ (C 0)

o para sa (n+1)th approximation

C n+1 = C n – f (C n) / f ¢(C n) (9)

Upang wakasan ang proseso ng umuulit, maaaring gamitin ang isa sa dalawang kundisyon

çC n +1 – C n ç

çf(C n +1) ç

Ang pag-aaral ng convergence ng Newton's method ay isinasagawa katulad ng nakaraang kaso. Malayang makuha iyon sa ilalim ng kondisyon

½f""(C)/2f"(C)½<1.

Ang pamamaraan ni Newton ay may quadratic convergence rate ().

kanin. 3. Grapikong interpretasyon ng pamamaraan ni Newton para sa paglutas ng isang equation ng anyong f(x)=0.

Pagbuo ng ilang sunud-sunod na pagtatantya sa pamamagitan ng formula (9)

С 0 , С 1 , …, С n = C *

ipinapakita sa Figure 3.

1. Para sa isang ibinigay na function f(x)

Tukuyin ang bilang ng mga tunay na ugat ng equation f(x)=0, ang kanilang lokasyon at tinatayang mga halaga (bumuo ng isang graph o mag-print ng isang talahanayan ng mga halaga).

· Kalkulahin ang isa sa mga natagpuang ugat (anuman) na may katumpakan na e=0.5*10 -3 .

Para sa mga kalkulasyon, gamitin ang paraan ng paghahati ng segment sa kalahati (tukuyin ang bilang ng mga pag-ulit), at pagkatapos ay hanapin ang parehong ugat gamit ang pamamaraan ni Newton (tinutukoy din ang bilang ng mga hakbang sa pag-ulit).

Ihambing ang iyong mga resulta.

Mga pagpipilian sa gawain

1.x3 –3x 2 +6x – 5 = 0 2.x3 +sinx –12x-1=0

3. x 3 –3x 2 –14x – 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 =0

5. x 2 +4sin x -1 = 0 6. 4x -ln x = 5

7. x 6 –3x 2 +x – 1 = 0 8. x 3 – 0.1x 2 +0.3x –0.6 = 0

9.10. (x -1) 3 + 0.5e x = 0

11.12.x5 -3x2 + 1 = 0

13. x 3 -4x 2 -10x -10 = 0 14.

15. 16.

19. 20.

23. 24. x 4 - 2.9x 3 +0.1x 2 + 5.8x - 4.2=0

25.x4 +2.83x3 - 4.5x2 -64x-20=0 26.

MGA PARAAN PARA SA PAGSOLBA NG SISTEMA NG MGA NONLINEAR EQUATION

1. Pagbubuo ng problema

Hayaang kailanganin upang malutas ang isang sistema ng n nonlinear equation:

(1)

Walang direktang pamamaraan para sa paglutas ng sistema (1). Sa ilang mga kaso lamang malulutas ang sistemang ito nang direkta. Halimbawa, para sa kaso ng dalawang equation, minsan ay posible na ipahayag ang isang hindi kilalang variable sa mga tuntunin ng isa pa at sa gayon ay bawasan ang problema sa paglutas ng isang nonlinear equation na may kinalaman sa isang hindi alam.

Ang sistema ng mga equation (1) ay maaaring maikli na isulat sa anyong vector:

. (2)

Ang equation (2) ay maaaring magkaroon ng isa o higit pang mga ugat sa domain na D. Kinakailangang itatag ang pagkakaroon ng mga ugat ng equation at hanapin ang tinatayang halaga ng mga ugat na ito. Upang mahanap ang mga ugat, karaniwang ginagamit ang mga umuulit na pamamaraan, kung saan ang pagpili ng paunang pagtatantya ay may pangunahing kahalagahan. Ang paunang pagtatantya ay kung minsan ay kilala mula sa mga pisikal na pagsasaalang-alang. Sa kaso ng dalawang hindi alam, ang unang pagtatantya ay makikita sa graphical na paraan: i-plot ang mga kurba f 1 (x 1 , x 2)=0 at f 2 (x 1 , x 2)=0 sa eroplano (x 1 , x 2 ) at hanapin ang kanilang mga intersection point. Para sa tatlo o higit pang mga variable (pati na rin para sa mga kumplikadong ugat), walang mga kasiya-siyang paraan upang piliin ang paunang pagtatantya.

Isaalang-alang natin ang dalawang pangunahing pamamaraan ng umuulit para sa paglutas ng sistema ng mga equation (1), (2) - ang simpleng paraan ng pag-ulit at pamamaraan ni Newton.

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga nonlinear equation

2.1 Simpleng paraan ng pag-ulit

Katawanin natin ang sistema (1) sa anyo

(3)

o sa vector form:

(4)

Ang algorithm ng simpleng paraan ng pag-ulit ay ang mga sumusunod. Pumili kami ng ilang zero approximation

Ang susunod na pagtatantya ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula:

o sa higit pang detalye:

(5)

Ang proseso ng umuulit (5) ay nagpapatuloy hanggang sa maging maliit ang mga pagbabago sa lahat ng hindi alam sa dalawang magkasunod na pag-ulit, i.e.

Sa pagsasagawa, ang hindi pagkakapantay-pantay ay kadalasang ginagamit sa halip na ang huling kundisyon:

(6)

nasaan ang rms norm ng isang n-dimensional na vector , ibig sabihin.

Kapag ginagamit ang pamamaraang ito, ang tagumpay ay higit na natutukoy sa pamamagitan ng isang mahusay na pagpipilian ng paunang pagtatantya: dapat itong sapat na malapit sa tunay na solusyon. Kung hindi, maaaring hindi magtagpo ang umuulit na proseso. Kung ang proseso ay nagtatagpo, ang rate ng convergence nito ay linear.

2.2. Pamamaraan ni Newton

Sa isinalin na panitikan, mahahanap mo ang pangalang Newton-Raphson method. Ang pamamaraang ito ay nagtatagpo nang mas mabilis kaysa sa simpleng paraan ng pag-ulit.

Hayaang malaman ang ilang approximation sa ugat, upang

Kung gayon ang orihinal na sistema (2) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Ang pagpapalawak ng equation (7) sa isang serye ng Taylor sa paligid ng punto at paghihigpit sa ating sarili sa mga linear na termino sa paglihis , makuha natin ang:

o sa coordinate form:

(8)

Ang System (8) ay maaaring muling isulat bilang:

(9)

Ang resultang sistema (9) ay isang sistema ng mga linear algebraic equation na may kinalaman sa mga increment

Ang halaga ng mga function F 1 , F 2 , …, F n at ang kanilang mga derivatives sa (9) ay kinakalkula sa

Ang determinant ng system (9) ay ang Jacobian J:

(10)

Para sa pagkakaroon ng isang natatanging solusyon sa sistema ng mga equation (9), ito ay dapat na iba sa zero. Ang pagkakaroon ng nalutas na sistema (9), halimbawa, sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss, nakahanap kami ng bagong pagtatantya:

Sinusuri namin ang kondisyon (6). Kung hindi ito nasiyahan, mahahanap din natin ang Jacobian (10) na may bagong pagtatantya at muling lutasin ang (9), kaya, makikita natin ang 2nd approximation, at iba pa.

Huminto ang mga pag-ulit sa sandaling matugunan ang kundisyon (6).

Gamit ang pamamaraan ni Newton, maghanap ng mga solusyon sa isang sistema ng mga nonlinear na equation na may ibinigay na katumpakan. Suriin ang convergence ng umuulit na proseso.

Mga pagpipilian sa gawain

1 2