Mga fraction na nakasulat sa anyong 0.8; 0.13; 2.856; 5.2; 0.04 ay tinatawag na decimal. Sa katunayan, ang mga decimal fraction ay isang pinasimpleng representasyon ng mga ordinaryong fraction. Maginhawang gamitin ang notasyong ito para sa lahat ng mga fraction na ang mga denominator ay 10, 100, 1000, at iba pa.

Isaalang-alang ang mga halimbawa (0.5 ay binabasa bilang, zero point five);

(0.15 ay binabasa bilang, zero point fifteenths);

(Ang 5.3 ay binabasa bilang, limang puntong tatlo).

Tandaan na sa notasyon ng isang decimal fraction, pinaghihiwalay ng kuwit ang integer na bahagi ng numero mula sa fractional, ang integer na bahagi ng tamang fraction ay 0. Ang notasyon ng fractional na bahagi ng decimal na fraction ay naglalaman ng kasing dami ng bilang doon ay mga zero sa denominator ng kaukulang ordinaryong fraction.

Isaalang-alang ang isang halimbawa, , , .

Sa ilang mga kaso, maaaring kailanganing isaalang-alang ang isang natural na numero bilang isang decimal fraction, kung saan ang fractional na bahagi ay katumbas ng zero. Nakaugalian na isulat iyon, 5 = 5.0; 245 = 245.0 at iba pa. Tandaan na sa decimal notation ng isang natural na numero, ang unit ng hindi gaanong makabuluhang digit ay 10 beses na mas mababa kaysa sa unit ng kalapit na pinakamahalagang digit. Ang mga desimal na fraction ay may parehong katangian. Samakatuwid, kaagad pagkatapos ng decimal point ay dumating ang ikasampung lugar, pagkatapos ay ang ika-daang lugar, pagkatapos ay ang ika-libong lugar, at iba pa. Nasa ibaba ang mga pangalan ng mga digit ng numero 31.85431, ang unang dalawang column ay ang integer na bahagi, ang natitirang mga column ay ang fractional na bahagi.

Ang fraction na ito ay binabasa bilang tatlumpu't isang punto walumpu't limang libo apat na raan tatlumpu't isang daang libo.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga decimal

Ang unang paraan ay ang pag-convert ng mga decimal sa commons at idagdag ang mga ito.

Tulad ng makikita mo mula sa halimbawa, ang pamamaraang ito ay napaka-inconvenient at mas mainam na gamitin ang pangalawang paraan, na mas tama, nang hindi na-convert ang mga decimal fraction sa mga ordinaryong. Upang magdagdag ng dalawang decimal:

• ipantay ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa mga termino;
• isulat ang mga termino sa ilalim ng bawat isa upang ang bawat digit ng ikalawang termino ay nasa ilalim ng katumbas na digit ng unang termino;
• idagdag ang mga resultang numero sa parehong paraan tulad ng pagdaragdag ng mga natural na numero;
• maglagay ng kuwit sa ilalim ng mga kuwit sa mga termino sa resultang halaga.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

• equalize sa binawasan at bawas ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point;
• isulat ang subtrahend sa ilalim ng minuend upang ang bawat bit ng subtrahend ay nasa ilalim ng katumbas na bit ng minuend;
• ibawas sa parehong paraan tulad ng natural na mga numero ay ibawas;
• maglagay ng kuwit sa ilalim ng mga kuwit sa minuend at subtrahend sa resultang pagkakaiba.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

Sa mga halimbawang tinalakay sa itaas, makikita na ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga decimal fraction ay ginanap nang paunti-unti, iyon ay, sa parehong paraan tulad ng ginawa namin ng mga katulad na operasyon na may natural na mga numero. Ito ang pangunahing bentahe ng decimal notation para sa mga fraction.

Decimal multiplication

Upang i-multiply ang isang decimal na fraction sa 10, 100, 1000, at iba pa, kinakailangang ilipat ang kuwit sa kanan sa fraction na ito, ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng 1, 2, 3, at iba pa, ang mga numero. Samakatuwid, kung ang kuwit ay inilipat sa kanan ng 1, 2, 3, at iba pa, ang mga numero, kung gayon ang fraction ay tataas, ayon sa pagkakabanggit, ng 10, 100, 1000, at iba pa. Upang magparami ng dalawang decimal:

• i-multiply ang mga ito bilang natural na mga numero, hindi pinapansin ang mga kuwit;
• sa nagreresultang produkto, paghiwalayin ng kuwit sa kanan ang kasing dami ng mga numero pagkatapos ng mga kuwit sa magkabilang salik.

May mga kaso kapag ang produkto ay naglalaman ng mas kaunting mga digit kaysa sa kinakailangan upang paghiwalayin gamit ang isang kuwit, ang kinakailangang bilang ng mga zero ay idinaragdag sa kaliwa bago ang produktong ito, at pagkatapos ay ang kuwit ay inilipat sa kaliwa ng kinakailangang bilang ng mga digit.

Isaalang-alang ang mga halimbawa: 2 * 4 = 8, pagkatapos ay 0.2 * 0.4 = 0.08; 23 * 35 = 805, pagkatapos ay 0.023 * 0.35 = 0.00805.

May mga kaso kapag ang isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng 0.1; 0.01; 0.001 at iba pa, mas maginhawang gamitin ang sumusunod na panuntunan.

• Upang i-multiply ang isang decimal sa 0.1; 0.01; 0.001 at iba pa, kinakailangang ilipat ang kuwit sa kaliwa sa decimal fraction na ito, ayon sa pagkakabanggit, ng 1, 2, 3 at iba pa na mga digit.

Isaalang-alang ang mga halimbawa: 2.65 * 0.1 = 0.265; 457.6 * 0.01 = 4.576.

Ang mga katangian ng multiplikasyon ng mga natural na numero ay mayroon din para sa mga decimal fraction.

• ab=ba- commutative property ng multiplikasyon;
• (ab)c = a(bc)- nag-uugnay na pag-aari ng pagpaparami;
• a (b + c) = ab + ac ay ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan.

Disimal na dibisyon

Ito ay kilala na kung hahatiin natin ang isang natural na numero a sa isang natural na numero b ay nangangahulugan ng paghahanap ng ganoong natural na numero c, na, kapag pinarami ng b nagbibigay ng numero a. Nananatiling totoo ang panuntunang ito kung isa man lang sa mga numero a, b, c ay isang decimal.

Isaalang-alang ang isang halimbawa, gusto mong hatiin ang 43.52 sa 17 na sulok, na hindi pinapansin ang kuwit. Sa kasong ito, ang kuwit sa pribado ay dapat ilagay kaagad bago ang unang digit pagkatapos gamitin ang decimal point sa dibidendo.

May mga kaso kapag ang dibidendo ay mas mababa sa divisor, kung gayon ang integer na bahagi ng quotient ay katumbas ng zero. Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Tingnan natin ang isa pang kawili-wiling halimbawa.

Ang proseso ng paghahati ay huminto dahil ang mga numero ng dibidendo ay tapos na, at ang natitira ay hindi nakatanggap ng zero. Ito ay kilala na ang isang decimal fraction ay hindi magbabago kung anumang bilang ng mga zero ay nakatalaga dito sa kanan. Pagkatapos ay nagiging malinaw na ang mga bilang ng dibidendo ay hindi maaaring magtapos.

Upang hatiin ang isang decimal na fraction sa 10, 100, 1000, at iba pa, kinakailangang ilipat ang kuwit sa kaliwa sa fraction na ito ng 1, 2, 3, at iba pa, ang mga digit. Isaalang-alang ang isang halimbawa: 5.14: 10 = 0.514; 2: 100 = 0.02; 37.51: 1000 = 0.03751.

Kung ang dibidendo at ang divisor ay sabay na tumaas ng 10, 100, 1000 at iba pa, kung gayon ang quotient ay hindi magbabago.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa: 39.44: 1.6 = 24.65 dagdagan ang dibidendo at ang divisor ng 10 beses 394.4: 16 = 24.65 Makatarungang tandaan na mas madaling hatiin ang isang decimal fraction sa natural na numero sa pangalawang halimbawa.

Upang hatiin ang isang decimal sa isang decimal, kailangan mong:

• ilipat ang mga kuwit sa dibidendo at sa divisor sa kanan ng kasing dami ng mga digit na nilalaman ng mga ito pagkatapos ng decimal point sa divisor;
• hatiin sa natural na numero.

Isaalang-alang ang isang halimbawa: 23.6: 0.02 tandaan na ang divisor ay may dalawang decimal na lugar, kaya i-multiply ang parehong mga numero sa 100 makakakuha tayo ng 2360: 2 = 1180 hatiin ang resulta sa 100 at makuha ang sagot na 11.80 o 23.6: 0, 02 = 11.8.

Paghahambing ng Decimal

Mayroong dalawang paraan upang ihambing ang mga decimal. Paraan ng isa, kailangan mong ihambing ang dalawang decimal fraction 4.321 at 4.32, i-equalize ang bilang ng mga decimal na lugar at simulan ang paghahambing ng unti-unti, tenths na may tenths, hundredths na may hundredths, at iba pa, bilang isang resulta, nakakakuha kami ng 4.321\u003e 4.320.

Ang pangalawang paraan upang ihambing ang mga fraction ng decimal ay ginagawa gamit ang multiplikasyon, i-multiply ang halimbawa sa itaas ng 1000 at ihambing ang 4321\u003e 4320. Aling paraan ang mas maginhawa, pinipili ng lahat para sa kanyang sarili.

Mga Fraction

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Ang mga fraction sa high school ay hindi masyadong nakakainis. Pansamantala. Hanggang sa makatagpo ka ng mga exponent na may mga rational exponents at logarithms. At doon…. Pinindot mo, pinindot mo ang calculator, at ipinapakita nito ang lahat ng buong scoreboard ng ilang numero. Kailangan mong mag-isip gamit ang iyong ulo, tulad ng sa ikatlong baitang.

Harapin natin ang mga fraction, sa wakas! Well, gaano ka maaaring malito sa kanila!? Bukod dito, ang lahat ay simple at lohikal. Kaya, ano ang mga fraction?

Mga uri ng fraction. Mga pagbabago.

Ang mga fraction ay may tatlong uri.

1. Mga karaniwang fraction , Halimbawa:

Minsan, sa halip na pahalang na linya, naglalagay sila ng slash: 1/2, 3/4, 19/5, well, at iba pa. Dito natin madalas gamitin ang spelling na ito. Tinatawag ang nangungunang numero tagabilang, mas mababa - denominador. Kung palagi mong nalilito ang mga pangalang ito (nangyayari ito ...), sabihin sa iyong sarili ang parirala na may expression: " Zzzzz Tandaan! Zzzzz denominator - labas zzzz u!" Tingnan mo, lahat ay maaalala.)

Ang gitling, na pahalang, na pahilig, ay nangangahulugang dibisyon numero sa itaas (numerator) hanggang sa ibabang numero (denominator). At ayun na nga! Sa halip na isang gitling, medyo posible na maglagay ng isang tanda ng dibisyon - dalawang tuldok.

Kapag ang paghahati ay posible nang buo, dapat itong gawin. Kaya, sa halip na ang fraction na "32/8" ay mas kaaya-aya na isulat ang numerong "4". Yung. Ang 32 ay hinati lamang ng 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Hindi ko pinag-uusapan ang fraction na "4/1". Na "4" lang din. At kung hindi ito ganap na nahahati, iiwan natin ito bilang isang fraction. Minsan kailangan mong gawin ang kabaligtaran. Gumawa ng isang fraction mula sa isang buong bilang. Ngunit higit pa sa na mamaya.

2. Mga desimal , Halimbawa:

Nasa form na ito na kakailanganing isulat ang mga sagot sa mga gawain na "B".

3. magkahalong numero , Halimbawa:

Ang mga mixed number ay halos hindi ginagamit sa high school. Upang gumana sa kanila, dapat silang i-convert sa mga ordinaryong fraction. Ngunit tiyak na kailangan mong malaman kung paano ito gawin! At pagkatapos ay ang gayong numero ay makikita sa palaisipan at mag-hang ... Mula sa simula. Ngunit naaalala namin ang pamamaraang ito! Medyo mababa.

Pinaka maraming nalalaman mga karaniwang fraction. Magsimula tayo sa kanila. Sa pamamagitan ng paraan, kung mayroong lahat ng mga uri ng logarithms, sines at iba pang mga titik sa fraction, hindi ito nagbabago ng anuman. In the sense na lahat Ang mga aksyon na may mga fractional na expression ay hindi naiiba sa mga aksyon na may mga ordinaryong fraction!

Pangunahing katangian ng isang fraction.

Kaya tara na! Una sa lahat, sorpresahin kita. Ang buong iba't ibang pagbabago ng fraction ay ibinibigay ng isang pag-aari! Yan ang tawag dun pangunahing katangian ng isang fraction. Tandaan: Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami (hinati) sa parehong numero, ang fraction ay hindi magbabago. Yaong:

Malinaw na maaari kang sumulat nang higit pa, hanggang sa ikaw ay asul sa mukha. Huwag hayaang malito ka ng mga sine at logarithms, haharapin pa namin ang mga ito. Ang pangunahing bagay na dapat maunawaan ay ang lahat ng iba't ibang mga expression na ito ay ang parehong fraction . 2/3.

At kailangan natin ito, lahat ng pagbabagong ito? At kung paano! Ngayon ay makikita mo para sa iyong sarili. Una, gamitin natin ang pangunahing katangian ng isang fraction para sa mga pagdadaglat ng fraction. Mukhang elementary ang bagay. Hinahati namin ang numerator at denominator sa parehong numero at iyon na! Imposibleng magkamali! Ngunit... ang tao ay isang malikhaing nilalang. Maaari kang magkamali kahit saan! Lalo na kung kailangan mong bawasan hindi isang fraction tulad ng 5/10, ngunit isang fractional expression na may lahat ng uri ng mga titik.

Kung paano bawasan ang mga fraction nang tama at mabilis nang hindi gumagawa ng hindi kinakailangang gawain ay makikita sa espesyal na Seksyon 555.

Ang isang normal na estudyante ay hindi nag-abala sa paghahati ng numerator at denominator sa parehong numero (o expression)! Tinatawid lang niya ang lahat ng pareho mula sa itaas at sa ibaba! Dito nagkukubli ang isang karaniwang pagkakamali, isang pagkakamali, kung gusto mo.

Halimbawa, kailangan mong gawing simple ang expression:

Walang dapat isipin, e-cross out natin ang letrang "a" sa itaas at ang deuce sa ibaba! Nakukuha namin:

Lahat ay tama. Pero nagshare ka talaga ang kabuuan numerator at ang kabuuan denominador "a". Kung nakasanayan mong e-cross out lang, tapos, sa pagmamadali, pwede mong i-cross out ang "a" sa expression

at makuha muli

Na kung saan ay tiyak na mali. Dahil dito ang kabuuan numerator sa "a" na hindi ibinahagi! Ang fraction na ito ay hindi maaaring bawasan. Sa pamamagitan ng paraan, ang naturang pagdadaglat ay, um ... isang seryosong hamon sa guro. Hindi ito pinatawad! Tandaan? Kapag binabawasan, ito ay kinakailangan upang hatiin ang kabuuan numerator at ang kabuuan denominador!

Ang pagbabawas ng mga fraction ay ginagawang mas madali ang buhay. Makakakuha ka ng fraction sa isang lugar, halimbawa 375/1000. At paano makipagtulungan sa kanya ngayon? Nang walang calculator? Paramihin, sabihin, idagdag, parisukat!? At kung hindi ka masyadong tamad, ngunit maingat na bawasan ng lima, at kahit na lima, at kahit na ... habang ito ay binabawasan, sa madaling salita. Nakakuha tayo ng 3/8! Mas maganda, tama?

Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay nagbibigay-daan sa iyo na i-convert ang mga ordinaryong fraction sa mga decimal at vice versa walang calculator! Mahalaga ito para sa pagsusulit, tama ba?

Paano i-convert ang mga fraction mula sa isang anyo patungo sa isa pa.

Madali lang sa mga decimal. Tulad ng narinig, gayon din ang nakasulat! Sabihin nating 0.25. Ito ay zero point, dalawampu't limang daan. Kaya sumulat kami: 25/100. Binabawasan natin (hatiin ang numerator at denominator sa 25), nakukuha natin ang karaniwang fraction: 1/4. Lahat. Nangyayari ito, at walang nabawasan. Tulad ng 0.3. Ito ay tatlong ikasampu, i.e. 3/10.

Paano kung ang mga integer ay hindi zero? ayos lang. Isulat ang buong bahagi nang walang anumang kuwit sa numerator, at sa denominator - kung ano ang narinig. Halimbawa: 3.17. Ito ay tatlong buo, labing pitong daan. Sinusulat namin ang 317 sa numerator, at 100 sa denominator. Nakukuha namin ang 317/100. Walang nababawasan, that means everything. Ito ang sagot. Elementary Watson! Mula sa lahat ng nasa itaas, isang kapaki-pakinabang na konklusyon: anumang decimal fraction ay maaaring ma-convert sa isang common fraction .

Ngunit ang reverse conversion, ordinaryo hanggang decimal, ang ilan ay hindi magagawa nang walang calculator. Ngunit kailangan mo! Paano mo isusulat ang sagot sa pagsusulit!? Maingat naming binabasa at pinagkadalubhasaan ang prosesong ito.

Ano ang decimal fraction? Siya ay nasa denominator palagi ay nagkakahalaga ng 10 o 100 o 1000 o 10000 at iba pa. Kung ang iyong karaniwang fraction ay may ganoong denominator, walang problema. Halimbawa, 4/10 = 0.4. O 7/100 = 0.07. O 12/10 = 1.2. At kung sa sagot sa gawain ng seksyon "B" ito ay naging 1/2? Ano ang isusulat natin bilang tugon? Kinakailangan ang mga desimal...

Naaalala namin pangunahing katangian ng isang fraction ! Pinahihintulutan ka ng matematika na i-multiply ang numerator at denominator sa parehong numero. Para kahit kanino, nga pala! Maliban sa zero, siyempre. Gamitin natin ang feature na ito sa ating kalamangan! Ano ang maaaring i-multiply ng denominator, i.e. 2 upang ito ay maging 10, o 100, o 1000 (mas maliit ay mas mahusay, siyempre ...)? 5, malinaw naman. Huwag mag-atubiling i-multiply ang denominator (ito ay tayo kinakailangan) sa pamamagitan ng 5. Ngunit, kung gayon ang numerator ay dapat ding i-multiply sa 5. Ito ay matematika hinihingi! Nakukuha namin ang 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5. Iyon lang.

Gayunpaman, ang lahat ng uri ng mga denominador ay nakikita. Halimbawa, babagsak ang fraction na 3/16. Subukan ito, alamin kung ano ang i-multiply ng 16 para makakuha ng 100, o 1000... Hindi gumagana? Pagkatapos ay maaari mo lamang hatiin ang 3 sa 16. Sa kawalan ng calculator, kakailanganin mong hatiin sa isang sulok, sa isang piraso ng papel, tulad ng itinuro nila sa elementarya. Nakukuha namin ang 0.1875.

At may ilang napakasamang denominator. Halimbawa, ang fraction na 1/3 ay hindi maaaring gawing magandang decimal. Parehong sa isang calculator at sa isang piraso ng papel, nakakakuha tayo ng 0.3333333 ... Nangangahulugan ito na 1/3 sa isang eksaktong decimal fraction hindi nagsasalin. Parang 1/7, 5/6 at iba pa. Marami sa kanila ay hindi maisasalin. Kaya isa pang kapaki-pakinabang na konklusyon. Hindi lahat ng karaniwang fraction ay nagko-convert sa isang decimal. !

Sa pamamagitan ng paraan, ito ay kapaki-pakinabang na impormasyon para sa pagsusuri sa sarili. Sa seksyong "B" bilang tugon, kailangan mong isulat ang isang decimal fraction. At nakakuha ka, halimbawa, 4/3. Ang fraction na ito ay hindi na-convert sa decimal. Nangangahulugan ito na sa isang lugar sa daan ay nagkamali ka! Bumalik ka, suriin ang solusyon.

Kaya, na may mga ordinaryong at decimal na fraction na pinagsunod-sunod. Ito ay nananatiling humarap sa magkahalong numero. Upang gumana sa kanila, lahat sila ay kailangang ma-convert sa mga ordinaryong fraction. Paano ito gagawin? Maaari mong mahuli ang isang ika-anim na baitang at tanungin siya. Ngunit hindi palaging isang ikaanim na baitang ang nasa kamay ... Kakailanganin nating gawin ito sa ating sarili. Hindi ito mahirap. I-multiply ang denominator ng fractional na bahagi ng integer na bahagi at idagdag ang numerator ng fractional na bahagi. Ito ang magiging numerator ng isang karaniwang fraction. Paano ang denominator? Ang denominator ay mananatiling pareho. Mukhang kumplikado, ngunit ito ay talagang simple. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Ipasok ang problemang nakita mo sa horror ang numero:

Kalmado, nang walang gulat, naiintindihan namin. Ang buong bahagi ay 1. Isa. Ang fractional na bahagi ay 3/7. Samakatuwid, ang denominator ng fractional na bahagi ay 7. Ang denominator na ito ang magiging denominator ng ordinaryong fraction. Binibilang namin ang numerator. I-multiply namin ang 7 sa 1 (ang integer na bahagi) at idinagdag ang 3 (ang numerator ng fractional na bahagi). Makakakuha tayo ng 10. Ito ang magiging numerator ng isang ordinaryong fraction. Iyon lang. Mukhang mas simple ito sa mathematical notation:

Malinaw? Pagkatapos ay i-secure ang iyong tagumpay! I-convert sa mga karaniwang fraction. Dapat kang makakuha ng 10/7, 7/2, 23/10 at 21/4.

Ang reverse operation - ang pag-convert ng hindi tamang fraction sa isang mixed number - ay bihirang kailanganin sa high school. Well, kung... At kung ikaw - wala sa high school - maaari mong tingnan ang espesyal na Seksyon 555. Sa parehong lugar, sa pamamagitan ng paraan, matututunan mo ang tungkol sa mga hindi wastong fraction.

Well, halos lahat. Naalala mo ang mga uri ng fraction at naunawaan mo paano i-convert ang mga ito mula sa isang uri patungo sa isa pa. Ang tanong ay nananatili: bakit gawin mo? Saan at kailan ilalapat ang malalim na kaalamang ito?

Sinagot ko. Ang anumang halimbawa mismo ay nagmumungkahi ng mga kinakailangang aksyon. Kung sa halimbawa ang mga ordinaryong fraction, decimal, at kahit na pinaghalong mga numero ay pinaghalo sa isang bungkos, isinasalin namin ang lahat sa ordinaryong mga fraction. Maaari itong palaging gawin. Well, kung ang isang bagay na tulad ng 0.8 + 0.3 ay nakasulat, pagkatapos ay sa tingin namin ito, nang walang anumang pagsasalin. Bakit kailangan natin ng karagdagang trabaho? Pinipili namin ang solusyon na maginhawa tayo !

Kung ang gawain ay puno ng mga decimal fraction, ngunit um ... ilang uri ng masasama, pumunta sa mga ordinaryong, subukan ito! Tingnan mo, magiging maayos din ang lahat. Halimbawa, kailangan mong i-square ang numerong 0.125. Hindi ganoon kadali kung hindi mo nawala ang ugali ng calculator! Hindi lamang kailangan mong i-multiply ang mga numero sa isang column, ngunit isipin din kung saan ilalagay ang kuwit! Tiyak na hindi ito gumagana sa aking isipan! At kung pupunta ka sa isang ordinaryong fraction?

0.125 = 125/1000. Bawasan namin ng 5 (ito ay para sa mga nagsisimula). Kumuha kami ng 25/200. Muli sa 5. Nakukuha namin ang 5/40. Ay, lumiliit na! Bumalik sa 5! Nakakuha kami ng 1/8. Madaling parisukat (sa iyong isip!) at makakuha ng 1/64. Lahat!

Ibuod natin ang araling ito.

1. May tatlong uri ng fraction. Ordinaryo, decimal at halo-halong mga numero.

2. Mga desimal at pinaghalong numero palagi maaaring i-convert sa mga karaniwang fraction. Baliktad na Pagsasalin hindi laging magagamit.

3. Ang pagpili ng uri ng mga fraction para sa pagtatrabaho sa gawain ay nakasalalay sa mismong gawaing ito. Kung mayroong iba't ibang uri ng mga fraction sa isang gawain, ang pinaka-maaasahang bagay ay ang lumipat sa mga ordinaryong fraction.

Ngayon ay maaari kang magsanay. Una, i-convert ang mga decimal fraction na ito sa mga ordinaryo:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Dapat kang makakuha ng mga sagot na tulad nito (sa gulo!):

Dito tayo magtatapos. Sa araling ito, pinag-aralan natin ang mga pangunahing punto sa mga fraction. Nangyayari, gayunpaman, na walang espesyal na ire-refresh ...) Kung ang isang tao ay ganap na nakalimutan, o hindi pa nakakabisado ... Ang mga iyon ay maaaring pumunta sa isang espesyal na Seksyon 555. Ang lahat ng mga pangunahing kaalaman ay detalyado doon. Marami bigla intindihin ang lahat ay nagsisimula. At nalulutas nila ang mga fraction sa mabilisang).

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Sa tutorial na ito, titingnan natin ang bawat isa sa mga operasyong ito nang paisa-isa.

Nilalaman ng aralin

Pagdaragdag ng mga decimal

Tulad ng alam natin, ang isang decimal ay may integer na bahagi at isang fractional na bahagi. Kapag nagdadagdag ng mga decimal, ang integer at fractional na bahagi ay idinaragdag nang magkahiwalay.

Halimbawa, idagdag natin ang mga decimal na 3.2 at 5.3. Mas madaling magdagdag ng mga decimal fraction sa isang column.

Una, isinusulat namin ang dalawang fraction na ito sa isang column, habang ang mga bahagi ng integer ay dapat nasa ilalim ng mga bahagi ng integer, at ang mga fractional sa ilalim ng mga bahaging fractional. Sa paaralan, ang pangangailangang ito ay tinatawag "kuwit sa ilalim ng kuwit".

Isulat natin ang mga fraction sa isang hanay upang ang kuwit ay nasa ilalim ng kuwit:

Nagsisimula kaming magdagdag ng mga fractional na bahagi: 2 + 3 \u003d 5. Isinulat namin ang lima sa fractional na bahagi ng aming sagot:

Ngayon ay idinaragdag namin ang mga bahagi ng integer: 3 + 5 = 8. Isinulat namin ang walo sa integer na bahagi ng aming sagot:

Ngayon ay pinaghihiwalay namin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang isang kuwit. Upang gawin ito, muli naming sinusunod ang panuntunan "kuwit sa ilalim ng kuwit":

Nakuha ang sagot 8.5. Kaya ang expression na 3.2 + 5.3 ay katumbas ng 8.5

Sa katunayan, hindi lahat ay kasing simple ng tila sa unang tingin. Dito rin, may mga pitfalls, na pag-uusapan natin ngayon.

Mga lugar sa mga decimal

Ang mga desimal, tulad ng mga ordinaryong numero, ay may sariling mga digit. Ito ang ikasampung lugar, ika-daang lugar, ika-libong lugar. Sa kasong ito, magsisimula ang mga digit pagkatapos ng decimal point.

Ang unang digit pagkatapos ng decimal point ay responsable para sa tenths place, ang pangalawang digit pagkatapos ng decimal point para sa hundredths place, ang ikatlong digit pagkatapos ng decimal point para sa thousandths place.

Ang mga desimal na digit ay nag-iimbak ng ilang kapaki-pakinabang na impormasyon. Sa partikular, iniuulat nila kung gaano karaming tenths, hundredths, at thousandths ang nasa isang decimal.

Halimbawa, isaalang-alang ang decimal 0.345

Ang posisyon kung saan matatagpuan ang triple ay tinatawag ikasampung pwesto

Ang posisyon kung saan matatagpuan ang apat ay tinatawag sandaang lugar

Ang posisyon kung saan matatagpuan ang lima ay tinatawag ikalibo

Tingnan natin ang figure na ito. Nakikita natin na sa kategorya ng mga ikasampu ay mayroong tatlo. Iminumungkahi nito na mayroong tatlong ikasampu sa decimal fraction na 0.345.

Kung idaragdag natin ang mga fraction, at pagkatapos ay makukuha natin ang orihinal na decimal fraction na 0.345

Makikita na noong una ay nakuha namin ang sagot, ngunit na-convert ito sa isang decimal fraction at nakakuha ng 0.345.

Kapag nagdaragdag ng mga decimal fraction, ang mga prinsipyo at panuntunan ay sinusunod tulad ng kapag nagdaragdag ng mga ordinaryong numero. Ang pagdaragdag ng mga decimal fraction ay nangyayari sa pamamagitan ng mga digit: idinaragdag ang tenths sa tenths, hundredths to hundredths, thousandths to thousandths.

Samakatuwid, kapag nagdaragdag ng mga decimal fraction, kinakailangang sundin ang panuntunan "kuwit sa ilalim ng kuwit". Ang kuwit sa ilalim ng kuwit ay nagbibigay ng parehong pagkakasunud-sunod kung saan ang mga ikasampu ay idinaragdag sa mga ikasampu, mga daanan hanggang daan-daang, mga ikasampu hanggang ika-100.

Halimbawa 1 Hanapin ang halaga ng expression na 1.5 + 3.4

Una sa lahat, idinagdag namin ang mga fractional na bahagi 5 + 4 = 9. Isinulat namin ang siyam sa fractional na bahagi ng aming sagot:

Ngayon ay idinaragdag namin ang integer na bahagi 1 + 3 = 4. Isinulat namin ang apat sa integer na bahagi ng aming sagot:

Ngayon ay pinaghihiwalay namin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang isang kuwit. Upang gawin ito, muli naming sinusunod ang panuntunang "kuwit sa ilalim ng kuwit":

Nakuha ang sagot 4.9. Kaya ang halaga ng expression na 1.5 + 3.4 ay 4.9

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng expression: 3.51 + 1.22

Isinulat namin ang expression na ito sa isang column, na sinusunod ang panuntunang "comma under a comma"

Una sa lahat, idagdag ang fractional na bahagi, katulad ng hundredths 1+2=3. Isinulat namin ang triple sa ika-daang bahagi ng aming sagot:

Ngayon magdagdag ng mga ikasampu ng 5+2=7. Isinulat namin ang pito sa ikasampung bahagi ng aming sagot:

Ngayon idagdag ang buong bahagi 3+1=4. Isinulat namin ang apat sa buong bahagi ng aming sagot:

Pinaghihiwalay namin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang kuwit, na sinusunod ang panuntunang "kuwit sa ilalim ng kuwit":

Nakuha ang sagot 4.73. Kaya ang halaga ng expression na 3.51 + 1.22 ay 4.73

3,51 + 1,22 = 4,73

Tulad ng mga ordinaryong numero, kapag nagdaragdag ng mga decimal fraction, . Sa kasong ito, isang digit ang nakasulat sa sagot, at ang iba ay ililipat sa susunod na digit.

Halimbawa 3 Hanapin ang halaga ng expression na 2.65 + 3.27

Isinulat namin ang expression na ito sa isang column:

Magdagdag ng daan-daang 5+7=12. Ang bilang na 12 ay hindi magkakasya sa ika-daang bahagi ng aming sagot. Samakatuwid, sa daang bahagi, isinulat namin ang numero 2, at inilipat ang yunit sa susunod na bit:

Ngayon ay idinagdag namin ang mga ikasampu ng 6+2=8 kasama ang yunit na nakuha namin mula sa nakaraang operasyon, nakakakuha kami ng 9. Isinulat namin ang numero 9 sa ikasampu ng aming sagot:

Ngayon idagdag ang buong bahagi 2+3=5. Isinulat namin ang numero 5 sa integer na bahagi ng aming sagot:

Nakuha ang sagot 5.92. Kaya ang halaga ng expression na 2.65 + 3.27 ay 5.92

2,65 + 3,27 = 5,92

Halimbawa 4 Hanapin ang halaga ng expression na 9.5 + 2.8

Isulat ang expression na ito sa isang column

Idinagdag namin ang mga fractional na bahagi 5 + 8 = 13. Ang numero 13 ay hindi magkasya sa fractional na bahagi ng aming sagot, kaya isulat muna namin ang numero 3, at ilipat ang yunit sa susunod na digit, o sa halip ay ilipat ito sa integer bahagi:

Ngayon idagdag namin ang mga bahagi ng integer 9+2=11 kasama ang yunit na nakuha namin mula sa nakaraang operasyon, nakakakuha kami ng 12. Isinulat namin ang numero 12 sa integer na bahagi ng aming sagot:

Paghiwalayin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang isang kuwit:

Nakuha ang sagot 12.3. Kaya ang halaga ng expression na 9.5 + 2.8 ay 12.3

9,5 + 2,8 = 12,3

Kapag nagdaragdag ng mga decimal fraction, dapat na pareho ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa parehong fraction. Kung walang sapat na mga digit, ang mga lugar na ito sa fractional na bahagi ay puno ng mga zero.

Halimbawa 5. Hanapin ang halaga ng expression: 12.725 + 1.7

Bago isulat ang expression na ito sa isang column, gawin nating pareho ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa parehong fraction. Ang decimal fraction 12.725 ay may tatlong digit pagkatapos ng decimal point, habang ang fraction 1.7 ay may isa lamang. Kaya sa fraction 1.7 sa dulo kailangan mong magdagdag ng dalawang zero. Pagkatapos ay nakukuha natin ang fraction na 1,700. Ngayon ay maaari mong isulat ang expression na ito sa isang hanay at simulan ang pagkalkula:

Magdagdag ng ikalibo ng 5+0=5. Isinulat namin ang numero 5 sa ika-libong bahagi ng aming sagot:

Magdagdag ng daan-daang 2+0=2. Isinulat namin ang numero 2 sa ika-daang bahagi ng aming sagot:

Magdagdag ng ikasampu ng 7+7=14. Ang numero 14 ay hindi magkakasya sa ikasampu ng aming sagot. Samakatuwid, isulat muna namin ang numero 4, at ilipat ang yunit sa susunod na bit:

Ngayon idagdag namin ang mga bahagi ng integer 12+1=13 kasama ang yunit na nakuha namin mula sa nakaraang operasyon, nakakakuha kami ng 14. Isinulat namin ang numero 14 sa integer na bahagi ng aming sagot:

Paghiwalayin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang isang kuwit:

Nakuha ang sagot 14,425. Kaya ang halaga ng expression na 12.725+1.700 ay 14.425

12,725+ 1,700 = 14,425

Pagbabawas ng mga decimal

Kapag binabawasan ang mga decimal fraction, dapat mong sundin ang parehong mga patakaran tulad ng kapag nagdaragdag ng: "isang kuwit sa ilalim ng kuwit" at "isang pantay na bilang ng mga digit pagkatapos ng isang decimal point".

Halimbawa 1 Hanapin ang halaga ng expression na 2.5 − 2.2

Isinulat namin ang expression na ito sa isang column, na sinusunod ang panuntunang "comma under comma":

Kinakalkula namin ang fractional na bahagi 5−2=3. Isinulat namin ang numero 3 sa ikasampung bahagi ng aming sagot:

Kalkulahin ang integer na bahagi 2−2=0. Sumulat kami ng zero sa integer na bahagi ng aming sagot:

Paghiwalayin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang isang kuwit:

Nakuha namin ang sagot 0.3. Kaya ang halaga ng expression na 2.5 − 2.2 ay katumbas ng 0.3

2,5 − 2,2 = 0,3

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng expression na 7.353 - 3.1

Ang expression na ito ay may ibang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point. Sa fraction 7.353 mayroong tatlong digit pagkatapos ng decimal point, at sa fraction 3.1 ay isa lamang. Nangangahulugan ito na sa fraction 3.1, dalawang zero ang dapat idagdag sa dulo upang maging pareho ang bilang ng mga digit sa parehong fraction. Tapos nakakakuha tayo ng 3,100.

Ngayon ay maaari mong isulat ang expression na ito sa isang hanay at kalkulahin ito:

Nakuha ang sagot 4,253. Kaya ang halaga ng expression na 7.353 − 3.1 ay 4.253

7,353 — 3,1 = 4,253

Tulad ng mga ordinaryong numero, minsan kailangan mong humiram ng isa mula sa katabing bit kung naging imposible ang pagbabawas.

Halimbawa 3 Hanapin ang halaga ng expression na 3.46 − 2.39

Ibawas ang daan-daang 6−9. Mula sa numero 6 huwag ibawas ang numero 9. Samakatuwid, kailangan mong kumuha ng isang yunit mula sa katabing digit. Nang humiram ng isa mula sa kalapit na digit, ang numero 6 ay nagiging numerong 16. Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang daan-daang 16−9=7. Isinulat namin ang pito sa ika-daang bahagi ng aming sagot:

Ngayon ibawas ang tenths. Dahil kinuha namin ang isang yunit sa kategorya ng mga ikasampu, ang figure na matatagpuan doon ay nabawasan ng isang yunit. Sa madaling salita, ang ikasampung lugar ay hindi na ngayon ang numero 4, ngunit ang numero 3. Kalkulahin natin ang mga ikasampu ng 3−3=0. Sumulat kami ng zero sa ikasampung bahagi ng aming sagot:

Ngayon ibawas ang mga bahagi ng integer 3−2=1. Isinulat namin ang yunit sa integer na bahagi ng aming sagot:

Paghiwalayin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang isang kuwit:

Nakuha ang sagot 1.07. Kaya ang halaga ng expression na 3.46−2.39 ay katumbas ng 1.07

3,46−2,39=1,07

Halimbawa 4. Hanapin ang halaga ng expression na 3−1.2

Ibinabawas ng halimbawang ito ang isang decimal mula sa isang integer. Isulat natin ang expression na ito sa isang column upang ang integer na bahagi ng decimal fraction 1.23 ay nasa ilalim ng numero 3

Ngayon gawin nating pareho ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point. Upang gawin ito, pagkatapos ng numero 3, maglagay ng kuwit at magdagdag ng isang zero:

Ngayon ibawas ang mga ikasampu: 0−2. Huwag ibawas ang numero 2 mula sa zero. Samakatuwid, kailangan mong kumuha ng isang yunit mula sa katabing digit. Sa pamamagitan ng paghiram ng isa mula sa katabing digit, ang 0 ay nagiging numerong 10. Ngayon ay maaari mong kalkulahin ang mga ikasampu ng 10−2=8. Isinulat namin ang walo sa ikasampung bahagi ng aming sagot:

Ngayon ibawas ang buong bahagi. Noong nakaraan, ang numero 3 ay matatagpuan sa integer, ngunit humiram kami ng isang yunit mula dito. Bilang resulta, ito ay naging numero 2. Samakatuwid, ibawas natin ang 1 sa 2. 2−1=1. Isinulat namin ang yunit sa integer na bahagi ng aming sagot:

Paghiwalayin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang isang kuwit:

Nakuha ang sagot 1.8. Kaya ang halaga ng expression na 3−1.2 ay 1.8

Decimal multiplication

Ang pagpaparami ng mga decimal ay madali at masaya pa. Upang i-multiply ang mga decimal, kailangan mong i-multiply ang mga ito tulad ng mga regular na numero, hindi pinapansin ang mga kuwit.

Ang pagkakaroon ng natanggap na sagot, ito ay kinakailangan upang paghiwalayin ang integer bahagi mula sa fractional bahagi na may isang kuwit. Upang gawin ito, kailangan mong bilangin ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa parehong mga fraction, pagkatapos ay bilangin ang parehong bilang ng mga digit sa kanan sa sagot at maglagay ng kuwit.

Halimbawa 1 Hanapin ang halaga ng expression na 2.5 × 1.5

Pina-multiply namin ang mga decimal fraction na ito bilang mga ordinaryong numero, hindi pinapansin ang mga kuwit. Upang huwag pansinin ang mga kuwit, maaari mong pansamantalang isipin na ang mga ito ay ganap na wala:

Nakakuha kami ng 375. Sa numerong ito, kinakailangang paghiwalayin ang buong bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang kuwit. Upang gawin ito, kailangan mong bilangin ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa mga fraction ng 2.5 at 1.5. Sa unang fraction mayroong isang digit pagkatapos ng decimal point, sa pangalawang fraction mayroon ding isa. Isang kabuuan ng dalawang numero.

Bumalik kami sa numerong 375 at nagsimulang lumipat mula kanan pakaliwa. Kailangan nating magbilang ng dalawang digit mula sa kanan at maglagay ng kuwit:

Nakuha ang sagot 3.75. Kaya ang halaga ng expression na 2.5 × 1.5 ay 3.75

2.5 x 1.5 = 3.75

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng expression na 12.85 × 2.7

I-multiply natin ang mga decimal na ito, hindi pinapansin ang mga kuwit:

Nakakuha kami ng 34695. Sa numerong ito, kailangan mong paghiwalayin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang kuwit. Upang gawin ito, kailangan mong kalkulahin ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa mga fraction ng 12.85 at 2.7. Sa fraction 12.85 mayroong dalawang digit pagkatapos ng decimal point, sa fraction 2.7 mayroong isang digit - isang kabuuang tatlong digit.

Bumalik tayo sa numerong 34695 at nagsimulang lumipat mula kanan pakaliwa. Kailangan nating magbilang ng tatlong digit mula sa kanan at maglagay ng kuwit:

Nakuha ang sagot 34,695. Kaya ang halaga ng expression na 12.85 × 2.7 ay 34.695

12.85 x 2.7 = 34.695

Pagpaparami ng decimal sa isang regular na numero

Minsan may mga sitwasyon kung kailan kailangan mong i-multiply ang isang decimal fraction sa isang regular na numero.

Upang i-multiply ang isang decimal at isang ordinaryong numero, kailangan mong i-multiply ang mga ito, anuman ang kuwit sa decimal. Ang pagkakaroon ng natanggap na sagot, ito ay kinakailangan upang paghiwalayin ang integer bahagi mula sa fractional bahagi na may isang kuwit. Upang gawin ito, kailangan mong bilangin ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa decimal fraction, pagkatapos ay sa sagot, bilangin ang parehong bilang ng mga digit sa kanan at maglagay ng kuwit.

Halimbawa, i-multiply ang 2.54 sa 2

I-multiply namin ang decimal fraction 2.54 sa karaniwang numero 2, hindi pinapansin ang kuwit:

Nakuha namin ang numerong 508. Sa numerong ito, kailangan mong paghiwalayin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang kuwit. Upang gawin ito, kailangan mong bilangin ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa fraction na 2.54. Ang fraction 2.54 ay may dalawang digit pagkatapos ng decimal point.

Bumalik kami sa numerong 508 at nagsimulang lumipat mula kanan pakaliwa. Kailangan nating magbilang ng dalawang digit mula sa kanan at maglagay ng kuwit:

Nakuha ang sagot 5.08. Kaya ang halaga ng expression na 2.54 × 2 ay 5.08

2.54 x 2 = 5.08

Pagpaparami ng mga decimal sa 10, 100, 1000

Ang pag-multiply ng mga decimal sa 10, 100, o 1000 ay ginagawa sa parehong paraan tulad ng pag-multiply ng mga decimal sa mga regular na numero. Kinakailangang isagawa ang multiplikasyon, hindi pinapansin ang kuwit sa decimal fraction, pagkatapos ay sa sagot, paghiwalayin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi, pagbibilang ng parehong bilang ng mga digit sa kanan tulad ng may mga digit pagkatapos ng decimal point sa decimal. maliit na bahagi.

Halimbawa, i-multiply ang 2.88 sa 10

I-multiply natin ang decimal fraction na 2.88 sa 10, hindi pinapansin ang kuwit sa decimal fraction:

Nakakuha kami ng 2880. Sa numerong ito, kailangan mong paghiwalayin ang buong bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang kuwit. Upang gawin ito, kailangan mong bilangin ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa fraction na 2.88. Nakita natin na sa fraction 2.88 mayroong dalawang digit pagkatapos ng decimal point.

Bumalik tayo sa numerong 2880 at nagsimulang lumipat mula kanan pakaliwa. Kailangan nating magbilang ng dalawang digit mula sa kanan at maglagay ng kuwit:

Nakuha ang sagot 28.80. Itapon namin ang huling zero - nakakakuha kami ng 28.8. Kaya ang halaga ng expression na 2.88 × 10 ay 28.8

2.88 x 10 = 28.8

Mayroong pangalawang paraan upang i-multiply ang mga decimal fraction sa 10, 100, 1000. Ang pamamaraang ito ay mas simple at mas maginhawa. Binubuo ito sa katotohanan na ang kuwit sa decimal fraction ay gumagalaw sa kanan ng kasing dami ng mga digit na may mga zero sa multiplier.

Halimbawa, lutasin natin ang nakaraang halimbawa 2.88×10 sa ganitong paraan. Nang walang pagbibigay ng anumang mga kalkulasyon, agad naming tinitingnan ang kadahilanan 10. Interesado kami sa kung gaano karaming mga zero ang nasa loob nito. Nakita namin na mayroon itong isang zero. Ngayon sa fraction 2.88 inililipat namin ang decimal point sa kanan ng isang digit, nakakakuha kami ng 28.8.

2.88 x 10 = 28.8

Subukan nating i-multiply ang 2.88 sa 100. Agad nating tinitingnan ang factor 100. Interesado tayo kung gaano karaming mga zero ang nasa loob nito. Nakita namin na mayroon itong dalawang zero. Ngayon sa fraction 2.88 inililipat namin ang decimal point sa kanan sa pamamagitan ng dalawang digit, nakakakuha kami ng 288

2.88 x 100 = 288

Subukan nating i-multiply ang 2.88 sa 1000. Agad nating tinitingnan ang factor 1000. Interesado tayo sa kung gaano karaming mga zero ang nasa loob nito. Nakita namin na mayroon itong tatlong zero. Ngayon sa fraction 2.88 inililipat namin ang decimal point sa kanan ng tatlong digit. Ang ikatlong digit ay wala doon, kaya nagdagdag kami ng isa pang zero. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng 2880.

2.88 x 1000 = 2880

Pagpaparami ng mga decimal sa 0.1 0.01 at 0.001

Ang pagpaparami ng mga decimal sa pamamagitan ng 0.1, 0.01, at 0.001 ay gumagana sa parehong paraan tulad ng pag-multiply ng decimal sa isang decimal. Kinakailangang i-multiply ang mga fraction tulad ng mga ordinaryong numero, at maglagay ng kuwit sa sagot, pagbibilang ng maraming digit sa kanan dahil may mga digit pagkatapos ng decimal point sa parehong fraction.

Halimbawa, i-multiply ang 3.25 sa 0.1

Pina-multiply namin ang mga fraction na ito tulad ng mga ordinaryong numero, hindi pinapansin ang mga kuwit:

Nakakuha kami ng 325. Sa numerong ito, kailangan mong paghiwalayin ang buong bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang kuwit. Upang gawin ito, kailangan mong kalkulahin ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa mga fraction ng 3.25 at 0.1. Sa fraction 3.25 mayroong dalawang digit pagkatapos ng decimal point, sa fraction 0.1 mayroong isang digit. Isang kabuuang tatlong numero.

Bumalik kami sa numerong 325 at nagsimulang lumipat mula kanan pakaliwa. Kailangan nating magbilang ng tatlong digit sa kanan at maglagay ng kuwit. Pagkatapos magbilang ng tatlong digit, nakita namin na ang mga numero ay tapos na. Sa kasong ito, kailangan mong magdagdag ng isang zero at maglagay ng kuwit:

Nakuha namin ang sagot na 0.325. Kaya ang halaga ng expression na 3.25 × 0.1 ay 0.325

3.25 x 0.1 = 0.325

Mayroong pangalawang paraan upang i-multiply ang mga decimal sa 0.1, 0.01 at 0.001. Ang pamamaraang ito ay mas madali at mas maginhawa. Binubuo ito sa katotohanan na ang kuwit sa decimal fraction ay gumagalaw sa kaliwa ng kasing dami ng mga digit dahil may mga zero sa multiplier.

Halimbawa, lutasin natin ang nakaraang halimbawa 3.25 × 0.1 sa ganitong paraan. Nang hindi nagbibigay ng anumang mga kalkulasyon, agad naming tinitingnan ang kadahilanan 0.1. Interesado kami sa kung gaano karaming mga zero ang nasa loob nito. Nakita namin na mayroon itong isang zero. Ngayon sa fraction 3.25 inililipat namin ang decimal point sa kaliwa ng isang digit. Ang paglipat ng kuwit ng isang digit sa kaliwa, makikita natin na wala nang mga digit bago ang tatlo. Sa kasong ito, magdagdag ng isang zero at maglagay ng kuwit. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng 0.325

3.25 x 0.1 = 0.325

Subukan nating i-multiply ang 3.25 sa 0.01. Agad na tingnan ang multiplier ng 0.01. Interesado kami sa kung gaano karaming mga zero ang nasa loob nito. Nakita namin na mayroon itong dalawang zero. Ngayon sa fraction 3.25 inililipat namin ang kuwit sa kaliwa ng dalawang digit, nakakakuha kami ng 0.0325

3.25 x 0.01 = 0.0325

Subukan nating i-multiply ang 3.25 sa 0.001. Agad na tingnan ang multiplier ng 0.001. Interesado kami sa kung gaano karaming mga zero ang nasa loob nito. Nakita namin na mayroon itong tatlong zero. Ngayon sa fraction 3.25 inililipat namin ang decimal point sa kaliwa ng tatlong digit, nakakakuha kami ng 0.00325

3.25 × 0.001 = 0.00325

Huwag malito ang pagpaparami ng mga decimal sa pamamagitan ng 0.1, 0.001 at 0.001 sa pagpaparami ng 10, 100, 1000. Isang karaniwang pagkakamali na ginagawa ng karamihan sa mga tao.

Kapag nag-multiply sa 10, 100, 1000, ang kuwit ay inililipat sa kanan ng kasing dami ng bilang na mayroong mga zero sa multiplier.

At kapag nag-multiply sa 0.1, 0.01 at 0.001, ang kuwit ay inililipat sa kaliwa ng kasing dami ng bilang na mayroong mga zero sa multiplier.

Kung sa una ay mahirap matandaan, maaari mong gamitin ang unang paraan, kung saan ang pagpaparami ay ginaganap tulad ng sa mga ordinaryong numero. Sa sagot, kakailanganin mong paghiwalayin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi sa pamamagitan ng pagbibilang ng maraming digit sa kanan dahil may mga digit pagkatapos ng decimal point sa parehong fraction.

Paghahati ng mas maliit na bilang sa mas malaki. Advanced na antas.

Sa isa sa mga nakaraang aralin, sinabi namin na kapag hinahati ang isang mas maliit na numero sa isang mas malaki, isang fraction ang nakuha, sa numerator kung saan ay ang dibidendo, at sa denominator ay ang divisor.

Halimbawa, upang hatiin ang isang mansanas sa dalawa, kailangan mong isulat ang 1 (isang mansanas) sa numerator, at isulat ang 2 (dalawang kaibigan) sa denominator. Ang resulta ay isang fraction. Kaya bawat kaibigan ay makakakuha ng isang mansanas. Sa madaling salita, kalahating mansanas. Ang isang fraction ay ang sagot sa isang problema paano hatiin ang isang mansanas sa dalawa

Lumalabas na mas mareresolba mo pa ang problemang ito kung hahatiin mo ang 1 sa 2. Pagkatapos ng lahat, ang fractional bar sa anumang fraction ay nangangahulugan ng dibisyon, na nangangahulugan na ang dibisyong ito ay pinapayagan din sa isang fraction. Pero paano? Nakasanayan na natin na ang dibidendo ay palaging mas malaki kaysa sa divisor. At dito, sa kabaligtaran, ang dibidendo ay mas mababa kaysa sa divisor.

Magiging malinaw ang lahat kung tatandaan natin na ang isang fraction ay nangangahulugang pagdurog, paghahati, paghahati. Nangangahulugan ito na ang unit ay maaaring hatiin sa maraming bahagi hangga't gusto mo, at hindi lamang sa dalawang bahagi.

Kapag hinahati ang isang mas maliit na numero sa isang mas malaki, isang decimal fraction ang makukuha, kung saan ang integer na bahagi ay magiging 0 (zero). Ang fractional na bahagi ay maaaring maging anuman.

Kaya, hatiin natin ang 1 sa 2. Lutasin natin ang halimbawang ito gamit ang isang sulok:

Ang isa ay hindi maaaring hatiin sa dalawa nang ganoon lang. Kung magtatanong ka "ilang dalawa ang nasa isa" , kung gayon ang sagot ay magiging 0. Samakatuwid, sa pribado ay nagsusulat kami ng 0 at naglalagay ng kuwit:

Ngayon, gaya ng dati, pinaparami namin ang quotient sa divisor upang makuha ang natitira:

Dumating na ang sandali kung kailan maaaring hatiin ang yunit sa dalawang bahagi. Upang gawin ito, magdagdag ng isa pang zero sa kanan ng natanggap:

Nakakuha kami ng 10. Hinahati namin ang 10 sa 2, nakakuha kami ng 5. Isinulat namin ang lima sa fractional na bahagi ng aming sagot:

Ngayon ay kinuha namin ang huling natitira upang makumpleto ang pagkalkula. I-multiply ang 5 sa 2, makakakuha tayo ng 10

Nakuha namin ang sagot 0.5. Kaya ang fraction ay 0.5

Ang kalahating mansanas ay maaari ding isulat gamit ang decimal fraction na 0.5. Kung idagdag natin ang dalawang halves na ito (0.5 at 0.5), muli nating makukuha ang orihinal na isang buong mansanas:

Ang puntong ito ay mauunawaan din kung akala natin kung paano nahahati ang 1 cm sa dalawang bahagi. Kung hahatiin mo ang 1 sentimetro sa 2 bahagi, makakakuha ka ng 0.5 cm

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng expression 4:5

Ilang lima ang nasa apat? Hindi talaga. Nagsusulat kami sa pribadong 0 at naglalagay ng kuwit:

Nag-multiply kami ng 0 sa 5, nakakakuha kami ng 0. Sumulat kami ng zero sa ilalim ng apat. Agad na ibawas ang zero na ito mula sa dibidendo:

Ngayon simulan nating hatiin (hatiin) ang apat sa 5 bahagi. Upang gawin ito, sa kanan ng 4, idinagdag namin ang zero at hatiin ang 40 sa 5, makakakuha kami ng 8. Isinulat namin ang walo nang pribado.

Kinukumpleto namin ang halimbawa sa pamamagitan ng pagpaparami ng 8 sa 5, at makakuha ng 40:

Nakuha namin ang sagot 0.8. Kaya ang halaga ng expression 4: 5 ay 0.8

Halimbawa 3 Hanapin ang halaga ng expression 5: 125

Ilang numero ang 125 sa lima? Hindi talaga. Nagsusulat kami ng 0 nang pribado at naglalagay ng kuwit:

I-multiply natin ang 0 sa 5, makakakuha tayo ng 0. Sumulat tayo ng 0 sa ilalim ng lima. Ibawas kaagad sa limang 0

Ngayon simulan nating hatiin (hatiin) ang lima sa 125 bahagi. Upang gawin ito, sa kanan ng limang ito, isinusulat namin ang zero:

Hatiin ang 50 sa 125. Ilang numero ang 125 sa 50? Hindi talaga. Kaya't sa quotient muli naming isulat ang 0

I-multiply natin ang 0 sa 125, makakakuha tayo ng 0. Isinulat natin itong zero sa ilalim ng 50. Ibawas kaagad ang 0 sa 50

Ngayon hinati namin ang numero 50 sa 125 na bahagi. Upang gawin ito, sa kanan ng 50, sumulat kami ng isa pang zero:

Hatiin ang 500 sa 125. Ilang numero ang 125 sa bilang na 500. Sa bilang na 500 mayroong apat na numero 125. Isinulat namin ang apat nang pribado:

Kinukumpleto namin ang halimbawa sa pamamagitan ng pagpaparami ng 4 sa 125, at makakuha ng 500

Nakuha namin ang sagot 0.04. Kaya ang halaga ng expression 5: 125 ay 0.04

Dibisyon ng mga numero nang walang natitira

Kaya, maglagay tayo ng kuwit sa quotient pagkatapos ng unit, sa gayon ay nagpapahiwatig na ang paghahati ng mga bahagi ng integer ay tapos na at magpatuloy tayo sa fractional na bahagi:

Magdagdag ng zero sa natitirang 4

Ngayon hinati namin ang 40 sa 5, makakakuha kami ng 8. Isinulat namin ang walo nang pribado:

40−40=0. Nakatanggap ng 0 sa natitira. Kaya ang paghahati ay ganap na nakumpleto. Ang paghahati ng 9 sa 5 ay mga resulta sa isang decimal na 1.8:

9: 5 = 1,8

Halimbawa 2. Hatiin ang 84 sa 5 nang walang natitira

Hinahati muna natin ang 84 sa 5 gaya ng dati sa natitira:

Natanggap sa pribadong 16 at 4 pa sa balanse. Ngayon, hinahati namin ang natitira sa 5. Naglalagay kami ng kuwit sa pribado, at nagdaragdag ng 0 sa natitirang 4

Ngayon hinati namin ang 40 sa 5, nakakuha kami ng 8. Isinulat namin ang walo sa quotient pagkatapos ng decimal point:

at kumpletuhin ang halimbawa sa pamamagitan ng pagsuri kung may natitira pa:

Paghahati ng decimal sa regular na numero

Ang isang decimal fraction, tulad ng alam natin, ay binubuo ng isang integer at isang fractional na bahagi. Kapag hinahati ang isang decimal fraction sa isang regular na numero, una sa lahat kailangan mo:

• hatiin ang integer na bahagi ng decimal fraction sa numerong ito;
• pagkatapos na hatiin ang bahagi ng integer, kailangan mong agad na maglagay ng kuwit sa pribadong bahagi at ipagpatuloy ang pagkalkula, tulad ng sa ordinaryong dibisyon.

Halimbawa, hatiin natin ang 4.8 sa 2

Isulat natin ang halimbawang ito bilang isang sulok:

Ngayon ay hatiin natin ang buong bahagi ng 2. Apat na hinati sa dalawa ay dalawa. Isinulat namin ang deuce nang pribado at agad na naglalagay ng kuwit:

Ngayon pinarami natin ang quotient sa divisor at tingnan kung may natitira pa mula sa dibisyon:

4−4=0. Ang natitira ay zero. Hindi pa kami nagsusulat ng zero, dahil hindi pa nakumpleto ang solusyon. Pagkatapos ay patuloy naming kalkulahin, tulad ng sa ordinaryong dibisyon. Ibaba ang 8 at hatiin ito sa 2

8: 2 = 4. Isinulat namin ang apat sa quotient at agad itong i-multiply sa divisor:

Nakuha ang sagot 2.4. Expression value 4.8: 2 ay katumbas ng 2.4

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng expression na 8.43:3

Hinahati namin ang 8 sa 3, makakakuha kami ng 2. Maglagay kaagad ng kuwit pagkatapos ng dalawa:

Ngayon pinarami namin ang quotient sa divisor 2 × 3 = 6. Isinulat namin ang anim sa ilalim ng walo at hanapin ang natitira:

Hinahati namin ang 24 sa 3, makakakuha kami ng 8. Isinulat namin ang walo nang pribado. Agad naming i-multiply ito sa divisor upang mahanap ang natitira sa dibisyon:

24−24=0. Ang natitira ay zero. Ang zero ay hindi pa naitala. Kunin ang huling tatlong dibidendo at hatiin sa 3, makakakuha tayo ng 1. Agad na i-multiply ang 1 sa 3 upang makumpleto ang halimbawang ito:

Nakuha ang sagot 2.81. Kaya ang halaga ng expression na 8.43: 3 ay katumbas ng 2.81

Paghahati ng decimal sa decimal

Upang hatiin ang isang decimal fraction sa isang decimal fraction, sa dibidendo at sa divisor, ilipat ang kuwit sa kanan ng parehong bilang ng mga digit tulad ng pagkatapos ng decimal point sa divisor, at pagkatapos ay hatiin sa isang regular na numero.

Halimbawa, hatiin ang 5.95 sa 1.7

Isulat natin ang ekspresyong ito bilang isang sulok

Ngayon, sa dibidendo at sa divisor, inililipat namin ang kuwit sa kanan sa parehong bilang ng mga digit tulad ng pagkatapos ng decimal point sa divisor. Ang divisor ay may isang digit pagkatapos ng decimal point. Kaya dapat nating ilipat ang kuwit sa kanan ng isang digit sa dibidendo at sa divisor. Paglilipat:

Pagkatapos ilipat ang decimal point sa kanan ng isang digit, ang decimal fraction na 5.95 ay naging isang fraction na 59.5. At ang decimal fraction na 1.7, pagkatapos ilipat ang decimal point sa kanan ng isang digit, ay naging karaniwang numero 17. At alam na natin kung paano hatiin ang decimal fraction sa karaniwang numero. Ang karagdagang pagkalkula ay hindi mahirap:

Ang kuwit ay inilipat sa kanan upang mapadali ang paghahati. Ito ay pinahihintulutan dahil sa katotohanan na kapag pinarami o hinahati ang dibidendo at ang divisor sa parehong numero, ang quotient ay hindi nagbabago. Ano ang ibig sabihin nito?

Ito ay isa sa mga kagiliw-giliw na tampok ng dibisyon. Ito ay tinatawag na pribadong pag-aari. Isaalang-alang ang expression 9: 3 = 3. Kung sa expression na ito ang dibidendo at ang divisor ay pinarami o hinati sa parehong numero, kung gayon ang quotient 3 ay hindi magbabago.

I-multiply natin ang dibidendo at divisor sa 2 at tingnan kung ano ang mangyayari:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang quotient ay hindi nagbago.

Ang parehong bagay ay nangyayari kapag nagdadala tayo ng kuwit sa dibidendo at sa divisor. Sa nakaraang halimbawa, kung saan hinati namin ang 5.91 sa 1.7, inilipat namin ang kuwit ng isang digit sa kanan sa dibidendo at divisor. Matapos ilipat ang kuwit, ang fraction 5.91 ay na-convert sa fraction 59.1 at ang fraction 1.7 ay na-convert sa karaniwang bilang 17.

Sa katunayan, sa loob ng prosesong ito, naganap ang pagpaparami sa 10. Narito kung ano ang hitsura nito:

5.91 × 10 = 59.1

Samakatuwid, ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa divisor ay depende sa kung ano ang ipaparami ng dibidendo at divisor. Sa madaling salita, ang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point sa divisor ay tutukoy kung gaano karaming mga digit sa dibidendo at sa divisor ang kuwit ay ililipat sa kanan.

Decimal division sa pamamagitan ng 10, 100, 1000

Ang paghahati ng decimal sa 10, 100, o 1000 ay ginagawa sa parehong paraan tulad ng . Halimbawa, hatiin natin ang 2.1 sa 10. Lutasin natin ang halimbawang ito gamit ang isang sulok:

Ngunit mayroon ding pangalawang paraan. Mas magaan. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay ang kuwit sa dibidendo ay inililipat sa kaliwa ng kasing dami ng bilang na mayroong mga zero sa divisor.

Lutasin natin ang nakaraang halimbawa sa ganitong paraan. 2.1: 10. Tinitingnan namin ang divider. Interesado kami sa kung gaano karaming mga zero ang nasa loob nito. Nakikita natin na mayroong isang zero. Kaya sa divisible 2.1, kailangan mong ilipat ang kuwit sa kaliwa ng isang digit. Inilipat namin ang kuwit sa kaliwa sa pamamagitan ng isang digit at makita na wala nang mga digit na natitira. Sa kasong ito, nagdaragdag kami ng isa pang zero bago ang numero. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng 0.21

Subukan nating hatiin ang 2.1 sa 100. Mayroong dalawang zero sa numerong 100. Kaya sa divisible 2.1, kailangan mong ilipat ang kuwit sa kaliwa ng dalawang digit:

2,1: 100 = 0,021

Subukan nating hatiin ang 2.1 sa 1000. May tatlong zero sa bilang na 1000. Kaya sa divisible 2.1, kailangan mong ilipat ang kuwit sa kaliwa ng tatlong digit:

2,1: 1000 = 0,0021

Decimal division sa pamamagitan ng 0.1, 0.01 at 0.001

Ang paghahati ng decimal sa pamamagitan ng 0.1, 0.01, at 0.001 ay ginagawa sa parehong paraan tulad ng . Sa dibidendo at sa divisor, kailangan mong ilipat ang kuwit sa kanan ng kasing dami ng bilang pagkatapos ng decimal point sa divisor.

Halimbawa, hatiin natin ang 6.3 sa 0.1. Una sa lahat, inililipat namin ang mga kuwit sa dibidendo at sa divisor sa kanan sa pamamagitan ng parehong bilang ng mga digit tulad ng pagkatapos ng decimal point sa divisor. Ang divisor ay may isang digit pagkatapos ng decimal point. Kaya inililipat namin ang mga kuwit sa dibidendo at sa divisor sa kanan ng isang digit.

Pagkatapos ilipat ang decimal point sa kanan ng isang digit, ang decimal na fraction 6.3 ay nagiging karaniwang numero 63, at ang decimal na fraction na 0.1, pagkatapos ilipat ang decimal point sa kanan ng isang digit, ay magiging isa. At ang paghahati ng 63 sa 1 ay napakasimple:

Kaya ang halaga ng expression na 6.3: 0.1 ay katumbas ng 63

Ngunit mayroon ding pangalawang paraan. Mas magaan. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay ang kuwit sa dibidendo ay inililipat sa kanan ng kasing dami ng mga numero na may mga zero sa divisor.

Lutasin natin ang nakaraang halimbawa sa ganitong paraan. 6.3:0.1. Tingnan natin ang divider. Interesado kami sa kung gaano karaming mga zero ang nasa loob nito. Nakikita natin na mayroong isang zero. Kaya sa divisible 6.3, kailangan mong ilipat ang kuwit sa kanan ng isang digit. Ililipat namin ang kuwit sa kanan ng isang digit at makakuha ng 63

Subukan nating hatiin ang 6.3 sa 0.01. Ang divisor 0.01 ay may dalawang zero. Kaya sa divisible 6.3, kailangan mong ilipat ang kuwit sa kanan ng dalawang digit. Ngunit sa dibidendo mayroon lamang isang digit pagkatapos ng decimal point. Sa kasong ito, isa pang zero ang dapat idagdag sa dulo. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng 630

Subukan nating hatiin ang 6.3 sa 0.001. Ang divisor ng 0.001 ay may tatlong zero. Kaya sa divisible 6.3, kailangan mong ilipat ang kuwit sa kanan ng tatlong digit:

6,3: 0,001 = 6300

Mga gawain para sa malayang solusyon

Nagustuhan mo ba ang aralin?
Sumali sa aming bagong pangkat ng Vkontakte at magsimulang makatanggap ng mga abiso ng mga bagong aralin

Mga aksyon na may mga fraction. Sa artikulong ito, susuriin namin ang mga halimbawa, ang lahat ay detalyado sa mga paliwanag. Isasaalang-alang namin ang mga ordinaryong fraction. Sa hinaharap, susuriin namin ang mga decimal. Inirerekomenda kong panoorin ang kabuuan at pag-aralan nang sunud-sunod.

1. Kabuuan ng mga praksiyon, pagkakaiba ng mga praksiyon.

Panuntunan: kapag nagdaragdag ng mga fraction na may pantay na denominador, ang resulta ay isang fraction - ang denominator nito ay nananatiling pareho, at ang numerator nito ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga numerator ng mga fraction.

Panuntunan: kapag kinakalkula ang pagkakaiba ng mga fraction na may parehong denominator, nakakakuha tayo ng isang fraction - ang denominator ay nananatiling pareho, at ang numerator ng pangalawa ay ibawas mula sa numerator ng unang fraction.

Pormal na notasyon ng kabuuan at pagkakaiba ng mga fraction na may pantay na denominator:

Mga halimbawa (1):

Ito ay malinaw na kapag ang mga ordinaryong fraction ay ibinigay, kung gayon ang lahat ay simple, ngunit kung sila ay halo-halong? Walang kumplikado...

Pagpipilian 1- maaari mong i-convert ang mga ito sa mga ordinaryong at pagkatapos ay kalkulahin ang mga ito.

Opsyon 2- maaari mong hiwalay na "gumana" sa integer at fractional na mga bahagi.

Mga halimbawa (2):

Pa:

At kung ang pagkakaiba ng dalawang pinaghalong fraction ay ibinigay at ang numerator ng unang fraction ay mas mababa kaysa sa numerator ng pangalawa? Maaari rin itong gawin sa dalawang paraan.

Mga Halimbawa (3):

* Isinalin sa mga ordinaryong fraction, kinakalkula ang pagkakaiba, na-convert ang nagresultang hindi wastong fraction sa isang halo-halong isa.

* Hinati sa integer at fractional na mga bahagi, nakakuha ng tatlo, pagkatapos ay ipinakita ang 3 bilang kabuuan ng 2 at 1, kasama ang unit na ipinakita bilang 11/11, pagkatapos ay natagpuan ang pagkakaiba sa pagitan ng 11/11 at 7/11 at kinakalkula ang resulta. Ang kahulugan ng mga pagbabagong nasa itaas ay kunin (piliin) ang yunit at ipakita ito bilang isang fraction na may denominator na kailangan natin, pagkatapos mula sa fraction na ito ay maaari na nating ibawas ang isa pa.

Isa pang halimbawa:

Konklusyon: mayroong isang unibersal na diskarte - upang makalkula ang kabuuan (pagkakaiba) ng mga halo-halong mga fraction na may pantay na denominator, maaari silang palaging ma-convert sa mga hindi wasto, pagkatapos ay isagawa ang kinakailangang aksyon. Pagkatapos nito, kung bilang resulta ay nakakakuha tayo ng hindi wastong bahagi, isinasalin natin ito sa isang halo-halong bahagi.

Sa itaas, tiningnan namin ang mga halimbawa na may mga fraction na may pantay na denominator. Paano kung magkaiba ang mga denominador? Sa kasong ito, ang mga fraction ay binabawasan sa parehong denominator at ang tinukoy na aksyon ay ginanap. Upang baguhin (ibahin ang anyo) ng isang fraction, ang pangunahing katangian ng fraction ay ginagamit.

Isaalang-alang ang mga simpleng halimbawa:

Sa mga halimbawang ito, makikita natin kaagad kung paano mako-convert ang isa sa mga fraction upang makakuha ng mga pantay na denominator.

Kung magtatalaga tayo ng mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa isang denominator, kung gayon ito ang tatawagin UNANG PARAAN.

Iyon ay, kaagad kapag "pagsusuri" ng bahagi, kailangan mong malaman kung gagana ang gayong diskarte - sinusuri namin kung ang mas malaking denominator ay nahahati sa mas maliit. At kung ito ay nahahati, pagkatapos ay ginagawa namin ang pagbabagong-anyo - pinarami namin ang numerator at denominator upang ang mga denominador ng parehong mga fraction ay maging pantay.

Ngayon tingnan ang mga halimbawang ito:

Ang pamamaraang ito ay hindi naaangkop sa kanila. Mayroong iba pang mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, isaalang-alang ang mga ito.

Pamamaraan PANGALAWA.

I-multiply ang numerator at denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at ang numerator at denominator ng pangalawang fraction sa denominator ng una:

*Sa katunayan, nagdadala tayo ng mga fraction sa anyo kapag naging pantay ang mga denominador. Susunod, ginagamit namin ang panuntunan ng pagdaragdag ng mahiyain na may pantay na denominator.

Halimbawa:

*Maaaring tawaging unibersal ang paraang ito, at palagi itong gumagana. Ang negatibo lang ay pagkatapos ng mga kalkulasyon, maaaring lumabas ang isang fraction na kailangang bawasan pa.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

Makikita na ang numerator at denominator ay nahahati sa 5:

Pamamaraan PANGATLO.

Hanapin ang least common multiple (LCM) ng mga denominator. Ito ang magiging common denominator. Ano ang numerong ito? Ito ang pinakamaliit na natural na numero na nahahati sa bawat isa sa mga numero.

Tingnan, narito ang dalawang numero: 3 at 4, maraming mga numero na nahahati sa kanila - ito ay 12, 24, 36, ... Ang pinakamaliit sa kanila ay 12. O 6 at 15, 30, 60, 90 ay mahahati sa kanila.... Hindi bababa sa 30. Tanong - paano matukoy ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ito?

Mayroong isang malinaw na algorithm, ngunit kadalasan ito ay maaaring gawin kaagad nang walang mga kalkulasyon. Halimbawa, ayon sa mga halimbawa sa itaas (3 at 4, 6 at 15), walang algorithm na kailangan, kumuha kami ng malalaking numero (4 at 15), dinoble ang mga ito at nakita na sila ay nahahati sa pangalawang numero, ngunit mga pares ng mga numero. maaaring iba, gaya ng 51 at 119.

Algorithm. Upang matukoy ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero, dapat mong:

- I-decompose ang bawat isa sa mga numero sa SIMPLE na mga kadahilanan

- isulat ang pagkabulok ng MAS MALAKI sa kanila

- i-multiply ito sa MISSING factor ng iba pang numero

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

50 at 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

sa pagpapalawak ng mas malaking bilang, nawawala ang isa lima

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 at 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

sa pagpapalawak ng mas malaking bilang, dalawa at tatlo ang nawawala

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang prime number ay katumbas ng kanilang produkto

Tanong! At bakit kapaki-pakinabang upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, dahil maaari mong gamitin ang pangalawang paraan at bawasan lamang ang resultang fraction? Oo, maaari mo, ngunit hindi ito palaging maginhawa. Tingnan kung ano ang magiging denamineytor para sa mga numerong 48 at 72 kung paparamihin mo lang ang mga ito 48∙72 = 3456. Sumang-ayon na mas kaaya-aya na magtrabaho sa mas maliliit na numero.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

sa pagpapalawak ng mas malaking bilang, isang triple ang nawawala

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

At ngayon inilalapat namin ang unang paraan:

* Tingnan ang pagkakaiba sa mga kalkulasyon, sa unang kaso mayroong isang minimum ng mga ito, at sa pangalawa kailangan mong magtrabaho nang hiwalay sa isang piraso ng papel, at kahit na ang bahagi na nakuha mo ay kailangang bawasan. Ang paghahanap ng LCM ay lubos na nagpapasimple sa gawain.

Higit pang mga halimbawa:

* Sa pangalawang halimbawa, malinaw na ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa 40 at 60 ay 120.

KABUUAN! PANGKALAHATANG PAGKUKULANG ALGORITHM!

- nagdadala kami ng mga fraction sa mga ordinaryong, kung mayroong isang integer na bahagi.

- dinadala natin ang mga fraction sa isang common denominator (tinitingnan muna natin kung ang isang denominator ay nahahati sa isa pa, kung ito ay nahahati, pagkatapos ay i-multiply natin ang numerator at denominator ng ibang fraction na ito; kung hindi ito mahahati, kumikilos tayo gamit ang iba pang mga pamamaraan na ipinahiwatig sa itaas).

- pagkakaroon ng natanggap na mga fraction na may pantay na denominator, nagsasagawa kami ng mga aksyon (pagdaragdag, pagbabawas).

- kung kinakailangan, binabawasan namin ang resulta.

- kung kinakailangan, piliin ang buong bahagi.

2. Produkto ng mga fraction.

Simple lang ang panuntunan. Kapag nagpaparami ng mga fraction, ang kanilang mga numerator at denominator ay pinaparami:

Mga halimbawa:

Isang gawain. 13 toneladang gulay ang dinala sa base. Ang patatas ay bumubuo ng ¾ ng lahat ng imported na gulay. Ilang kilo ng patatas ang dinala sa base?

Tapusin na natin ang gawain.

*Kanina, nangako ako sa iyo na magbigay ng pormal na paliwanag ng pangunahing katangian ng fraction sa pamamagitan ng produkto, mangyaring:

3. Dibisyon ng mga fraction.

Ang paghahati ng mga fraction ay nabawasan sa kanilang pagpaparami. Mahalagang tandaan dito na ang fraction na isang divisor (ang nahahati sa) ay binaligtad at ang aksyon ay nagbabago sa multiplikasyon:

Ang aksyon na ito ay maaaring isulat bilang isang tinatawag na apat na palapag na fraction, dahil ang dibisyon mismo na ":" ay maaari ding isulat bilang isang fraction:

Mga halimbawa:

Iyon lang! Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh.

Ang artikulong ito ay tungkol sa mga decimal. Dito ay haharapin natin ang decimal notation ng fractional number, ipakilala ang konsepto ng decimal fraction at magbigay ng mga halimbawa ng decimal fraction. Susunod, pag-usapan natin ang mga digit ng mga decimal fraction, ibigay ang mga pangalan ng mga digit. Pagkatapos nito, tututuon tayo sa mga walang katapusang decimal fraction, sabihin na tungkol sa periodic at non-periodic fraction. Susunod, inilista namin ang mga pangunahing aksyon na may mga decimal fraction. Sa konklusyon, itinatatag namin ang posisyon ng mga decimal fraction sa coordinate ray.

Pag-navigate sa pahina.

Decimal notation ng isang fractional number

Pagbabasa ng mga decimal

Sabihin natin ang ilang mga salita tungkol sa mga panuntunan para sa pagbabasa ng mga decimal fraction.

Ang mga desimal na praksiyon, na tumutugma sa tamang ordinaryong mga praksyon, ay binabasa sa parehong paraan tulad ng mga ordinaryong praksyon na ito, tanging "zero buo" lamang ang idinaragdag bago pa man. Halimbawa, ang decimal fraction 0.12 ay tumutugma sa ordinaryong fraction na 12/100 (ito ay nagbabasa ng "labindalawang daan"), samakatuwid, ang 0.12 ay binabasa bilang "zero point twelve hundredths".

Ang mga desimal na praksiyon, na tumutugma sa mga pinaghalong numero, ay binabasa nang eksakto sa parehong paraan tulad ng mga pinaghalong numerong ito. Halimbawa, ang decimal na fraction na 56.002 ay tumutugma sa isang halo-halong numero, samakatuwid, ang decimal na fraction na 56.002 ay binabasa bilang "fifty-six point two thousandths."

Mga lugar sa mga decimal

Sa notasyon ng mga decimal fraction, gayundin sa notasyon ng mga natural na numero, ang halaga ng bawat digit ay nakasalalay sa posisyon nito. Sa katunayan, ang numero 3 sa decimal 0.3 ay nangangahulugang tatlong ikasampu, sa decimal 0.0003 - tatlong sampung libo, at sa decimal 30,000.152 - tatlong sampu-sampung libo. Kaya, maaari nating pag-usapan mga digit sa mga decimal, pati na rin ang tungkol sa mga digit sa natural na mga numero.

Ang mga pangalan ng mga digit sa decimal fraction hanggang sa decimal point ay ganap na tumutugma sa mga pangalan ng mga digit sa natural na mga numero. At ang mga pangalan ng mga digit sa decimal fraction pagkatapos ng decimal point ay makikita mula sa sumusunod na talahanayan.

Halimbawa, sa decimal fraction na 37.051, ang numero 3 ay nasa sampu na lugar, 7 ay nasa units place, 0 ay nasa ikasampung lugar, 5 ay nasa hundredth place, 1 ay nasa thousandth place.

Ang mga digit sa decimal fraction ay magkakaiba din sa seniority. Kung lumipat tayo mula sa digit patungo sa digit mula kaliwa hanggang kanan sa decimal notation, pagkatapos ay lilipat tayo mula sa nakatatanda sa junior ranks. Halimbawa, ang hundreds digit ay mas matanda kaysa sa tenths digit, at ang millionths digit ay mas bata sa hundredths digit. Sa huling bahagi ng decimal na ito, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa pinakamahalaga at hindi gaanong makabuluhang mga digit. Halimbawa, sa decimal 604.9387 nakatatanda (pinakamataas) ang digit ay ang daang digit, at junior (pinakamababa)- sampung libong lugar.

Para sa mga decimal fraction, nagaganap ang pagpapalawak sa mga digit. Ito ay kahalintulad sa pagpapalawak sa mga digit ng mga natural na numero. Halimbawa, ang decimal expansion ng 45.6072 ay: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002 . At ang mga katangian ng karagdagan mula sa pagpapalawak ng isang decimal fraction sa mga digit ay nagbibigay-daan sa iyong pumunta sa iba pang mga representasyon ng decimal fraction na ito, halimbawa, 45.6072=45+0.6072 , o 45.6072=40.6+5.007+0.0002 , o 45.6072= 45.0607= 45.0607 .

Tapusin ang mga decimal

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lang natin ang tungkol sa mga decimal fraction, sa talaan kung saan mayroong isang may hangganang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point. Ang mga nasabing fraction ay tinatawag na final decimal fraction.

Kahulugan.

Tapusin ang mga decimal- Ito ay mga decimal fraction, ang mga talaan ay naglalaman ng isang may hangganang bilang ng mga character (mga digit).

Narito ang ilang halimbawa ng mga huling decimal: 0.317 , 3.5 , 51.1020304958 , 230 032.45 .

Gayunpaman, hindi lahat ng karaniwang fraction ay maaaring katawanin bilang isang finite decimal fraction. Halimbawa, ang fraction na 5/13 ay hindi maaaring palitan ng pantay na fraction na may isa sa mga denominator na 10, 100, ..., samakatuwid, hindi ito mako-convert sa isang final decimal fraction. Pag-uusapan natin ang higit pa tungkol dito sa seksyon ng teorya ng pag-convert ng mga ordinaryong fraction sa decimal fraction.

Infinite decimal: periodic fraction at non-periodic fraction

Sa pagsulat ng decimal fraction pagkatapos ng decimal point, maaari mong payagan ang posibilidad ng isang walang katapusang bilang ng mga digit. Sa kasong ito, dadating tayo sa pagsasaalang-alang ng tinatawag na mga infinite decimal fraction.

Kahulugan.

Walang katapusang mga decimal- Ito ay mga decimal fraction, sa talaan kung saan mayroong walang katapusang bilang ng mga digit.

Malinaw na hindi natin maisusulat nang buo ang mga infinite decimal fraction, samakatuwid, sa kanilang pagtatala ay limitado lamang ang mga ito sa isang tiyak na may hangganang bilang ng mga digit pagkatapos ng decimal point at naglalagay ng ellipsis na nagpapahiwatig ng walang katapusan na patuloy na pagkakasunud-sunod ng mga digit. Narito ang ilang halimbawa ng mga infinite decimal fraction: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Kung titingnan mong mabuti ang huling dalawang walang katapusang decimal fraction, pagkatapos ay sa fraction 2.111111111 ... ang walang katapusang pag-uulit ng numero 1 ay malinaw na nakikita, at sa fraction 69.74152152152 ..., simula sa ikatlong decimal place, ang paulit-ulit na grupo ng mga numero Ang 1, 5 at 2 ay malinaw na nakikita. Ang ganitong mga walang katapusang decimal fraction ay tinatawag na periodic.

Kahulugan.

Pana-panahong mga decimal(o kaya lang periodic fractions) ay mga infinite decimal fraction, sa talaan kung saan, simula sa isang tiyak na decimal place, ilang digit o grupo ng mga digit, na tinatawag na panahon ng fraction.

Halimbawa, ang panahon ng periodic fraction 2.111111111… ay ang numero 1, at ang panahon ng fraction na 69.74152152152… ay isang pangkat ng mga numero tulad ng 152.

Para sa walang katapusang periodic decimal fraction, isang espesyal na notasyon ang pinagtibay. Para sa maikli, napagkasunduan naming isulat ang tuldok nang isang beses, kasama ito sa mga panaklong. Halimbawa, ang periodic fraction 2.111111111… ay isinusulat bilang 2,(1) , at ang periodic fraction na 69.74152152152… ay isinusulat bilang 69.74(152) .

Ito ay nagkakahalaga na tandaan na para sa parehong periodic decimal fraction, maaari mong tukuyin ang iba't ibang mga panahon. Halimbawa, ang periodic decimal 0.73333… ay maaaring ituring bilang isang fraction 0.7(3) na may period na 3, gayundin bilang fraction 0.7(33) na may period na 33, at iba pa 0.7(333), 0.7 (3333). ), ... Maaari mo ring tingnan ang periodic fraction 0.73333 ... tulad nito: 0.733(3), o tulad nito 0.73(333), atbp. Dito, upang maiwasan ang kalabuan at hindi pagkakapare-pareho, sumasang-ayon kaming isaalang-alang bilang panahon ng isang decimal fraction ang pinakamaikli sa lahat ng posibleng pagkakasunud-sunod ng mga umuulit na digit, at simula sa pinakamalapit na posisyon hanggang sa decimal point. Iyon ay, ang panahon ng decimal na fraction 0.73333… ay ituturing na isang sequence ng isang digit 3, at ang frequency ay magsisimula sa pangalawang posisyon pagkatapos ng decimal point, iyon ay, 0.73333…=0.7(3) . Isa pang halimbawa: ang periodic fraction 4.7412121212… ay may periodic na 12, ang periodicity ay nagsisimula sa ikatlong digit pagkatapos ng decimal point, iyon ay, 4.7412121212…=4.74(12) .

Ang mga infinite decimal periodic fraction ay nakukuha sa pamamagitan ng pag-convert sa decimal fraction ng mga ordinaryong fraction na ang mga denominator ay naglalaman ng prime factor maliban sa 2 at 5.

Narito ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit ng mga periodic fraction na may panahon na 9. Narito ang mga halimbawa ng naturang mga fraction: 6.43(9) , 27,(9) . Ang mga fraction na ito ay isa pang notasyon para sa mga periodic fraction na may period 0, at nakaugalian na palitan ang mga ito ng periodic fraction na may period 0. Upang gawin ito, ang panahon 9 ay pinalitan ng panahon 0, at ang halaga ng susunod na pinakamataas na digit ay nadagdagan ng isa. Halimbawa, ang isang fraction na may period 9 ng form 7.24(9) ay pinapalitan ng periodic fraction na may period 0 ng form 7.25(0) o isang katumbas na final decimal fraction na 7.25. Isa pang halimbawa: 4,(9)=5,(0)=5 . Ang pagkakapantay-pantay ng isang fraction na may tuldok na 9 at ang katumbas na fraction nito na may tuldok na 0 ay madaling maitatag pagkatapos palitan ang mga decimal fraction na ito ng magkapantay na ordinaryong fraction.

Panghuli, tingnan natin ang mga walang katapusang decimal, na walang walang katapusang umuulit na pagkakasunud-sunod ng mga digit. Ang mga ito ay tinatawag na non-periodic.

Kahulugan.

Mga hindi umuulit na decimal(o kaya lang non-periodic fractions) ay mga walang katapusang decimal na walang tuldok.

Minsan ang mga non-periodic fraction ay may anyo na katulad ng periodic fraction, halimbawa, 8.02002000200002 ... ay isang non-periodic fraction. Sa mga kasong ito, dapat kang maging maingat lalo na upang mapansin ang pagkakaiba.

Tandaan na ang mga non-periodic fraction ay hindi kino-convert sa ordinaryong mga fraction, infinite non-periodic decimal fraction ay kumakatawan sa mga irrational na numero.

Mga operasyon na may mga decimal

Ang isa sa mga aksyon na may mga decimal ay paghahambing, at apat na pangunahing arithmetic ay tinukoy din mga operasyon na may mga decimal: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati. Isaalang-alang ang bawat isa sa mga aksyon na may mga decimal fraction.

Paghahambing ng Decimal mahalagang batay sa isang paghahambing ng mga ordinaryong fraction na tumutugma sa pinaghambing na decimal fraction. Gayunpaman, ang pag-convert ng mga decimal fraction tungo sa mga ordinaryo ay isang medyo matagal na operasyon, at ang mga infinite non-periodic fraction ay hindi maaaring katawanin bilang isang ordinaryong fraction, kaya maginhawang gumamit ng bitwise na paghahambing ng decimal fraction. Ang bitwise na paghahambing ng mga decimal ay katulad ng paghahambing ng mga natural na numero. Para sa mas detalyadong impormasyon, inirerekumenda namin na pag-aralan mo ang paghahambing ng materyal na artikulo ng mga decimal fraction, panuntunan, halimbawa, solusyon.

Lumipat tayo sa susunod na hakbang - pagpaparami ng mga decimal. Ang pagpaparami ng mga huling decimal na fraction ay isinasagawa nang katulad ng pagbabawas ng mga decimal fraction, mga panuntunan, mga halimbawa, mga solusyon sa multiplikasyon sa pamamagitan ng isang hanay ng mga natural na numero. Sa kaso ng mga periodic fraction, ang multiplikasyon ay maaaring bawasan sa multiplikasyon ng mga ordinaryong fraction. Kaugnay nito, ang multiplikasyon ng walang katapusang non-periodic decimal fraction pagkatapos ng kanilang rounding ay nababawasan sa multiplication ng finite decimal fraction. Inirerekomenda namin ang karagdagang pag-aaral ng materyal ng artikulong multiplikasyon ng mga decimal fraction, panuntunan, halimbawa, solusyon.

Mga desimal sa coordinate beam

Mayroong isa-sa-isang pagsusulatan sa pagitan ng mga tuldok at mga decimal.

Alamin natin kung paano nabuo ang mga puntos sa coordinate ray na tumutugma sa isang binigay na bahagi ng decimal.

Maaari nating palitan ang mga finite decimal fraction at infinite periodic decimal fraction ng ordinaryong fraction na katumbas ng mga ito, at pagkatapos ay buuin ang kaukulang ordinaryong fraction sa coordinate ray. Halimbawa, ang isang decimal na fraction 1.4 ay tumutugma sa isang ordinaryong fraction na 14/10, samakatuwid, ang punto na may coordinate 1.4 ay inalis mula sa pinanggalingan sa positibong direksyon ng 14 na mga segment na katumbas ng ikasampu ng isang segment.

Maaaring markahan ang mga desimal na fraction sa coordinate beam, simula sa pagpapalawak ng decimal fraction na ito sa mga digit. Halimbawa, sabihin nating kailangan nating bumuo ng isang punto na may coordinate na 16.3007 , dahil 16.3007=16+0.3+0.0007 , pagkatapos ay makakarating tayo sa puntong ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na paglalagay ng 16 na mga segment ng yunit mula sa pinagmulan ng mga coordinate, 3 mga segment, ang haba na katumbas ng isang ikasampu ng isang yunit, at 7 mga segment, ang haba nito ay katumbas ng isang ikasampung libo ng isang segment ng yunit.

Ang pamamaraang ito ng pagbuo ng mga decimal na numero sa coordinate beam ay nagbibigay-daan sa iyong makalapit hangga't gusto mo sa puntong tumutugma sa isang walang katapusang decimal fraction.

Minsan posible na tumpak na mag-plot ng isang punto na tumutugma sa isang walang katapusang decimal. Halimbawa, , pagkatapos itong walang katapusang decimal fraction na 1.41421... ay tumutugma sa punto ng coordinate ray, malayo sa pinanggalingan ng haba ng diagonal ng isang parisukat na may gilid ng 1 unit na segment.

Ang baligtad na proseso ng pagkuha ng decimal na bahagi na tumutugma sa isang naibigay na punto sa coordinate beam ay ang tinatawag na decimal na pagsukat ng isang segment. Tingnan natin kung paano ito ginagawa.

Hayaan ang aming gawain ay upang makakuha mula sa pinanggalingan sa isang naibigay na punto sa linya ng coordinate (o walang katapusan na lapitan ito kung imposibleng makarating dito). Sa pamamagitan ng isang decimal na pagsukat ng isang segment, maaari naming sunud-sunod na ipagpaliban ang anumang bilang ng mga segment ng unit mula sa pinanggalingan, pagkatapos ay mga segment na ang haba ay katumbas ng ikasampu ng isang segment, pagkatapos ay mga segment na ang haba ay katumbas ng isang daan ng isang segment, atbp . Sa pamamagitan ng pagsusulat ng bilang ng mga naka-plot na segment ng bawat haba, nakukuha natin ang decimal fraction na tumutugma sa isang naibigay na punto sa coordinate ray.

Halimbawa, upang makarating sa point M sa figure sa itaas, kailangan mong magtabi ng 1 unit segment at 4 na segment, ang haba nito ay katumbas ng ikasampu ng unit. Kaya, ang puntong M ay tumutugma sa decimal na fraction 1.4.

Malinaw na ang mga punto ng coordinate beam, na hindi maabot sa panahon ng pagsukat ng decimal, ay tumutugma sa mga walang katapusang decimal fraction.

Bibliograpiya.

• Math: pag-aaral. para sa 5 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21st ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: may sakit. ISBN 5-346-00699-0.
• Math. Baitang 6: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [N. Oo. Vilenkin at iba pa]. - 22nd ed., Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.