Upang malutas ang mga halimbawa na may mga fraction, kailangan mong mahanap ang pinakamaliit na common denominator. Nasa ibaba ang isang detalyadong tagubilin.

Paano mahahanap ang pinakamababang karaniwang denominador - konsepto

Ang least common denominator (LCD) sa simpleng salita ay ang pinakamababang bilang na nahahati ng mga denominator ng lahat ng fraction ng isang ibinigay na halimbawa. Sa madaling salita, ito ay tinatawag na Least Common Multiple (LCM). Ginagamit lang ang NOZ kung magkaiba ang mga denominador ng mga fraction.

Paano mahanap ang pinakamababang karaniwang denominator - mga halimbawa

Isaalang-alang natin ang mga halimbawa ng paghahanap ng NOZ.

Kalkulahin: 3/5 + 2/15.

Solusyon (Pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

• Tinitingnan namin ang mga denominator ng mga fraction, siguraduhin na ang mga ito ay naiiba at ang mga expression ay nabawasan hangga't maaari.
• Nahanap namin ang pinakamaliit na numero na nahahati sa parehong 5 at 15. Ang bilang na ito ay magiging 15. Kaya, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Nalaman namin ang denominator. Ano ang magiging sa numerator? Ang karagdagang multiplier ay makakatulong sa amin na malaman ito. Ang isang karagdagang kadahilanan ay ang bilang na nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng NOZ sa denominator ng isang partikular na fraction. Para sa 3/5, ang karagdagang salik ay 3, dahil 15/5 = 3. Para sa pangalawang bahagi, ang karagdagang salik ay 1, dahil 15/15 = 1.
• Nang malaman ang karagdagang kadahilanan, pinarami namin ito ng mga numerator ng mga fraction at idagdag ang mga resultang halaga. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Sagot: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Kung sa halimbawa ay hindi 2, ngunit 3 o higit pang mga praksyon ang idinagdag o ibinabawas, kung gayon ang NOZ ay dapat hanapin ng kasing dami ng ibinigay.

Kalkulahin: 1/2 - 5/12 + 3/6

Solusyon (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

• Paghahanap ng lowest common denominator. Ang pinakamababang bilang na nahahati sa 2, 12 at 6 ay 12.
• Nakukuha namin ang: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Naghahanap kami ng mga karagdagang multiplier. Para sa 1/2 - 6; para sa 5/12 - 1; para sa 3/6 - 2.
• Nag-multiply kami ng mga numerator at nagtalaga ng kaukulang mga palatandaan: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Sagot: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator, ang mga fraction ay unang humahantong sa karaniwang denominador. Nangangahulugan ito na nakahanap sila ng isang solong denominator, na hinati sa orihinal na denominator ng bawat algebraic fraction na bahagi ng expression na ito.

Tulad ng alam mo, kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami (o hinati) sa parehong numero maliban sa zero, kung gayon ang halaga ng fraction ay hindi magbabago. Ito ang pangunahing katangian ng isang fraction. Samakatuwid, kapag ang mga fraction ay humahantong sa isang karaniwang denominator, sa katunayan, ang orihinal na denominator ng bawat fraction ay pinarami ng nawawalang salik sa isang karaniwang denamineytor. Sa kasong ito, kinakailangan upang i-multiply sa pamamagitan ng kadahilanang ito at ang numerator ng fraction (ito ay naiiba para sa bawat fraction).

Halimbawa, ibinigay ang sumusunod na kabuuan ng mga algebraic fraction:

Kinakailangang gawing simple ang expression, ibig sabihin, magdagdag ng dalawang algebraic fraction. Upang gawin ito, una sa lahat, ito ay kinakailangan upang bawasan ang mga termino-fractions sa isang karaniwang denominator. Ang unang hakbang ay ang paghahanap ng monomial na nahahati sa parehong 3x at 2y. Sa kasong ito, kanais-nais na ito ang pinakamaliit, ibig sabihin, hanapin ang least common multiple (LCM) para sa 3x at 2y.

Para sa mga numerical coefficient at variable, ang LCM ay hinanap nang hiwalay. LCM(3, 2) = 6 at LCM(x, y) = xy. Dagdag pa, ang mga nahanap na halaga ay pinarami: 6xy.

Ngayon kailangan nating tukuyin kung anong salik ang kailangan nating i-multiply ng 3x upang makakuha ng 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Nangangahulugan ito na kapag binabawasan ang unang algebraic fraction sa isang common denominator, ang numerator nito ay dapat i-multiply sa 2y (na-multiply na ang denominator kapag binawasan sa isang common denominator). Ang kadahilanan para sa numerator ng pangalawang fraction ay katulad na hinahanap. Ito ay magiging katumbas ng 3x.

Kaya, nakukuha namin ang:

Dagdag pa, posible nang kumilos bilang sa mga fraction na may parehong denominator: ang mga numerator ay idinagdag, at isang karaniwan ay nakasulat sa denominator:

Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, isang pinasimple na expression ang nakuha, na isang algebraic fraction, na siyang kabuuan ng dalawang orihinal:

Ang mga algebraic fraction sa orihinal na expression ay maaaring maglaman ng mga denominator na mga polynomial sa halip na mga monomial (tulad ng sa halimbawa sa itaas). Sa kasong ito, bago humanap ng common denominator, i-factor ang mga denominator (kung maaari). Dagdag pa, ang karaniwang denominator ay kinokolekta mula sa iba't ibang mga kadahilanan. Kung ang salik ay nasa ilang mga paunang denominador, ito ay kinuha nang isang beses. Kung ang kadahilanan ay may iba't ibang antas sa orihinal na mga denominador, kung gayon ito ay kinuha gamit ang isang mas malaki. Halimbawa:

Dito ang polynomial a 2 - b 2 ay maaaring katawanin bilang isang produkto (a - b)(a + b). Ang salik 2a – 2b ay pinalawak bilang 2(a – b). Kaya, ang karaniwang denominator ay magiging katumbas ng 2(a - b)(a + b).

Upang dalhin ang mga fraction sa pinakamababang common denominator, kailangan mong: 1) hanapin ang least common multiple ng mga denominator ng mga fraction na ito, ito ang magiging least common denominator. 2) maghanap ng karagdagang salik para sa bawat isa sa mga fraction, kung saan hinahati natin ang bagong denominator sa denominator ng bawat fraction. 3) paramihin ang numerator at denominator ng bawat fraction sa karagdagang salik nito.

Mga halimbawa. Bawasan ang mga sumusunod na fraction sa pinakamababang common denominator.

Nahanap namin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator: LCM(5; 4) = 20, dahil ang 20 ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa parehong 5 at 4. Nakikita namin para sa 1st fraction ang karagdagang salik 4 (20). : 5=4). Para sa 2nd fraction, ang karagdagang multiplier ay 5 (20 : 4=5). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 1st fraction sa 4, at ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 5. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 20 ).

Ang pinakamababang common denominator ng mga fraction na ito ay 8, dahil ang 8 ay nahahati sa 4 at mismo. Walang karagdagang multiplier sa 1st fraction (o masasabi nating katumbas ito ng isa), sa 2nd fraction ang karagdagang multiplier ay 2 (8 : 4=2). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 2. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 8 ).

Ang mga fraction na ito ay hindi mababawasan.

Binabawasan namin ng 4 ang 1st fraction, at binabawasan namin ng 2 ang 2nd fraction. ( tingnan ang mga halimbawa sa pagbabawas ng mga ordinaryong fraction: Sitemap → 5.4.2. Mga halimbawa ng pagbabawas ng mga ordinaryong fraction). Hanapin ang LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Ang karagdagang multiplier para sa 1st fraction ay 5 (80 : 16=5). Ang karagdagang multiplier para sa 2nd fraction ay 4 (80 : 20=4). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 1st fraction sa 5, at ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 4. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 80 ).

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang denominator ng NOC(5 ; 6 at 15) = LCM(5 ; 6 at 15)=30. Ang karagdagang multiplier sa 1st fraction ay 6 (30 : 5=6), ang karagdagang multiplier sa 2nd fraction ay 5 (30 : 6=5), ang karagdagang multiplier sa 3rd fraction ay 2 (30 : 15=2). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 1st fraction sa 6, ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 5, ang numerator at denominator ng 3rd fraction sa 2. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 30 ).

Pahina 1 ng 1 1

Ang denominator ng isang arithmetic fraction a / b ay ang bilang b, na nagpapakita ng laki ng mga fraction ng isang yunit na bumubuo sa fraction. Ang denominator ng isang algebraic fraction na A / B ay isang algebraic na expression B. Upang maisagawa ang mga pagpapatakbo ng arithmetic na may mga fraction, dapat silang bawasan sa pinakamaliit na common denominator.

Kakailanganin mong

• Upang gumana sa mga algebraic fraction kapag naghahanap ng hindi bababa sa karaniwang denominator, kailangan mong malaman ang mga paraan ng factoring polynomials.

Pagtuturo

Isaalang-alang ang pagbawas sa hindi bababa sa karaniwang denominator ng dalawang arithmetic fraction n/m at s/t, kung saan ang n, m, s, t ay mga integer. Malinaw na ang dalawang fraction na ito ay maaaring bawasan sa anumang denominator na mahahati ng m at t. Ngunit sinusubukan nilang dalhin sa pinakamababang karaniwang denominador. Ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga denominador m at t ng mga ibinigay na fraction. Ang hindi bababa sa maramihang (LCM) ng mga numero ay ang pinakamaliit na nahahati sa lahat ng ibinigay na mga numero nang sabay-sabay. Yung. sa aming kaso, ito ay kinakailangan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero m at t. Tinutukoy bilang LCM (m, t). Dagdag pa, ang mga praksiyon ay pinarami ng mga katumbas na: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Hanapin natin ang least common denominator ng tatlong fraction: 4/5, 7/8, 11/14. Una, pinalawak namin ang mga denominator 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Susunod, kinakalkula namin ang LCM (5, 8, 14), pagpaparami ng lahat ng numerong kasama sa kahit isa sa mga pagpapalawak. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Tandaan na kung ang salik ay nangyayari sa pagpapalawak ng ilang mga numero (factor 2 sa pagpapalawak ng mga denominator 8 at 14), pagkatapos ay kunin natin ang salik sa isang mas mataas na antas (2^3 sa aming kaso).

Kaya, natanggap ang heneral. Ito ay katumbas ng 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Dito natin nakukuha ang mga numero kung saan ang mga fraction na may kaukulang denominator ay dapat i-multiply upang madala ang mga ito sa pinakamababang common denominator. Nakukuha namin ang 4/5 = 56 * (4/5) = 224 / 280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Ang pagbabawas sa pinakamaliit na karaniwang denominator ng mga algebraic fraction ay ginagawa sa pamamagitan ng pagkakatulad sa arithmetic. Para sa kalinawan, isaalang-alang ang problema sa isang halimbawa. Hayaang ibigay ang dalawang fraction (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) at (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). I-factorize natin ang parehong denominator. Tandaan na ang denominator ng unang fraction ay isang perpektong parisukat: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Para sa

Sa araling ito, titingnan natin ang pagbabawas ng mga fraction sa isang common denominator at lutasin ang mga problema sa paksang ito. Bigyan natin ng depinisyon ang konsepto ng common denominator at karagdagang salik, tandaan ang tungkol sa mga numero ng coprime. Tukuyin natin ang konsepto ng least common denominator (LCD) at lutasin ang ilang problema upang mahanap ito.

Paksa: Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Aralin: Pagbawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator

Pag-uulit. Pangunahing katangian ng isang fraction.

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami o hinati sa parehong natural na numero, kung gayon ang isang fraction na katumbas nito ay makukuha.

Halimbawa, ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring hatiin sa 2. Nakukuha namin ang isang fraction. Ang operasyong ito ay tinatawag na fraction reduction. Maaari mo ring isagawa ang reverse transformation sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator ng fraction sa 2. Sa kasong ito, sinasabi namin na binawasan namin ang fraction sa isang bagong denominator. Ang numero 2 ay tinatawag na karagdagang kadahilanan.

Konklusyon. Ang isang fraction ay maaaring bawasan sa anumang denominator na isang multiple ng denominator ng ibinigay na fraction. Upang magdala ng isang fraction sa isang bagong denominator, ang numerator at denominator nito ay pinarami ng karagdagang salik.

1. Dalhin ang fraction sa denominator 35.

Ang bilang na 35 ay isang multiple ng 7, ibig sabihin, ang 35 ay nahahati ng 7 nang walang natitira. Kaya ang pagbabagong ito ay posible. Maghanap tayo ng karagdagang salik. Upang gawin ito, hinati namin ang 35 sa 7. Nakukuha namin ang 5. Pina-multiply namin ang numerator at denominator ng orihinal na fraction sa 5.

2. Dalhin ang fraction sa denominator 18.

Maghanap tayo ng karagdagang salik. Upang gawin ito, hinati namin ang bagong denominator sa orihinal. Nakukuha natin ang 3. I-multiply natin ang numerator at denominator ng fraction na ito sa 3.

3. Dalhin ang fraction sa denominator 60.

Sa pamamagitan ng paghahati ng 60 sa 15, makakakuha tayo ng karagdagang multiplier. Ito ay katumbas ng 4. I-multiply natin ang numerator at denominator sa 4.

4. Dalhin ang fraction sa denominator 24

Sa mga simpleng kaso, ang pagbabawas sa isang bagong denominator ay ginagawa sa isip. Nakaugalian na magpahiwatig lamang ng karagdagang salik sa likod ng bracket nang kaunti sa kanan at sa itaas ng orihinal na bahagi.

Ang isang fraction ay maaaring gawing denominator na 15 at ang isang fraction ay maaaring gawing denominator ng 15. Ang mga fraction ay may karaniwang denominator na 15.

Ang common denominator ng mga fraction ay maaaring alinmang common multiple ng kanilang denominator. Para sa pagiging simple, ang mga fraction ay binabawasan sa pinakamababang common denominator. Ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang mga denominador ng mga ibinigay na fraction.

Halimbawa. Bawasan sa pinakamaliit na common denominator ng fraction at .

Una, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga fraction na ito. Ang bilang na ito ay 12. Humanap tayo ng karagdagang salik para sa una at pangalawang fraction. Upang gawin ito, hinati namin ang 12 sa 4 at sa 6. Ang tatlo ay isang karagdagang kadahilanan para sa unang bahagi, at dalawa para sa pangalawa. Dinadala namin ang mga fraction sa denominator 12.

Binawasan namin ang mga fraction sa isang common denominator, iyon ay, nakakita kami ng mga fraction na katumbas ng mga ito at may parehong denominator.

Panuntunan. Upang dalhin ang mga fraction sa pinakamababang common denominator,

Una, hanapin ang least common multiple ng mga denominator ng mga fraction na ito, na magiging least common denominator nila;

Pangalawa, hatiin ang hindi bababa sa karaniwang denamineytor sa mga denominador ng mga fraction na ito, iyon ay, maghanap ng karagdagang salik para sa bawat fraction.

Pangatlo, i-multiply ang numerator at denominator ng bawat fraction sa karagdagang salik nito.

a) Bawasan ang mga fraction at sa isang common denominator.

Ang pinakamababang common denominator ay 12. Ang karagdagang factor para sa unang fraction ay 4, para sa pangalawa - 3. Dinadala namin ang mga fraction sa denominator 24.

b) Bawasan ang mga fraction at sa isang common denominator.

Ang pinakamababang common denominator ay 45. Ang paghahati ng 45 sa 9 sa 15, makakakuha tayo ng 5 at 3, ayon sa pagkakabanggit. Dinadala natin ang mga fraction sa denominator na 45.

c) Bawasan ang mga fraction at sa isang common denominator.

Ang karaniwang denominator ay 24. Ang mga karagdagang salik ay 2 at 3, ayon sa pagkakabanggit.

Minsan mahirap mahanap sa salita ang hindi bababa sa karaniwang maramihang para sa mga denominador ng mga ibinigay na fraction. Pagkatapos ay ang karaniwang denominator at karagdagang mga kadahilanan ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagsasaliksik sa mga pangunahing kadahilanan.

Bawasan sa isang karaniwang denominator ng fraction at .

I-decompose natin ang mga numerong 60 at 168 sa prime factors. Isulat natin ang pagpapalawak ng bilang na 60 at idagdag ang nawawalang mga salik 2 at 7 mula sa pangalawang pagpapalawak. I-multiply ang 60 sa 14 at makakuha ng common denominator na 840. Ang karagdagang factor para sa unang fraction ay 14. Ang karagdagang factor para sa pangalawang fraction ay 5. Bawasan natin ang mga fraction sa common denominator na 840.

Bibliograpiya

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. at iba pa. Mathematics 6. - M.: Mnemozina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathematics ika-6 na baitang. - Gymnasium, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Sa likod ng mga pahina ng isang aklat-aralin sa matematika. - Enlightenment, 1989.

4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. Mga gawain para sa kurso ng matematika baitang 5-6. - ZSH MEPHI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Matematika 5-6. Isang manwal para sa mga mag-aaral ng ika-6 na baitang ng MEPhI correspondence school. - ZSH MEPHI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. at iba pa.Mathematics: Isang textbook-interlocutor para sa grade 5-6 ng high school. Library ng guro ng matematika. - Enlightenment, 1989.

Maaari mong i-download ang mga aklat na tinukoy sa sugnay 1.2. ang araling ito.

Takdang aralin

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. at iba pa. Mathematics 6. - M .: Mnemozina, 2012. (tingnan ang link 1.2)

Takdang-Aralin: No. 297, No. 298, No. 300.

Iba pang mga gawain: #270, #290