Ako ay magiging maikli. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon. Kaya, kung namamahala ka upang mahanap ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon a \u003d (x 1; y 1; z 1) at b \u003d (x 2; y 2; z 2), maaari mong mahanap ang anggulo. Mas tiyak, ang cosine ng anggulo ayon sa formula:

Tingnan natin kung paano gumagana ang formula na ito sa mga partikular na halimbawa:

Isang gawain. Ang mga puntos E at F ay minarkahan sa kubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AE at BF.

Dahil hindi tinukoy ang gilid ng kubo, itinakda namin ang AB = 1. Ipinakilala namin ang isang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay nasa punto A, at ang mga x, y, z axes ay nakadirekta sa AB, AD, at AA 1, ayon sa pagkakabanggit . Ang segment ng yunit ay katumbas ng AB = 1. Ngayon, hanapin natin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon para sa ating mga linya.

Hanapin ang mga coordinate ng vector AE. Upang gawin ito, kailangan namin ng mga puntos A = (0; 0; 0) at E = (0.5; 0; 1). Dahil ang puntong E ay ang gitna ng segment A 1 B 1 , ang mga coordinate nito ay katumbas ng arithmetic mean ng mga coordinate ng mga dulo. Tandaan na ang pinagmulan ng vector AE ay tumutugma sa pinagmulan, kaya AE = (0.5; 0; 1).

Ngayon ay haharapin natin ang BF vector. Katulad nito, sinusuri namin ang mga puntos na B = (1; 0; 0) at F = (1; 0.5; 1), dahil F - ang gitna ng segment B 1 C 1 . Meron kami:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

Kaya, handa na ang mga vector ng direksyon. Ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga linya ay ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon, kaya mayroon tayong:

Isang gawain. Sa isang regular na trihedral prism ABCA 1 B 1 C 1 , ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga puntos na D at E ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AD at BE.

Ipinakilala namin ang isang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay nasa punto A, ang x-axis ay nakadirekta sa kahabaan ng AB, z - kasama ang AA 1 . Idinidirekta namin ang y axis upang ang OXY plane ay tumutugma sa ABC plane. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1. Hanapin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon para sa mga gustong linya.

Una, hanapin natin ang mga coordinate ng AD vector. Isaalang-alang ang mga puntos: A = (0; 0; 0) at D = (0.5; 0; 1), dahil D - ang gitna ng segment A 1 B 1 . Dahil ang simula ng vector AD ay tumutugma sa pinagmulan, nakukuha natin ang AD = (0.5; 0; 1).

Ngayon hanapin natin ang mga coordinate ng vector BE. Point B = (1; 0; 0) ay madaling kalkulahin. Sa punto E - ang gitna ng segment C 1 B 1 - medyo mas mahirap. Meron kami:

Ito ay nananatiling mahanap ang cosine ng anggulo:

Isang gawain. Sa isang regular na hexagonal prism ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga puntos na K at L ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AK at BL.

Ipinakilala namin ang isang karaniwang sistema ng coordinate para sa isang prisma: inilalagay namin ang pinagmulan ng mga coordinate sa gitna ng ibabang base, idirekta ang x-axis sa kahabaan ng FC, ang y-axis sa pamamagitan ng mga midpoint ng mga segment na AB at DE, at ang z-axis patayo pataas. Ang segment ng unit ay muling katumbas ng AB = 1. Isulat natin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa atin:

Ang mga puntong K at L ay ang mga midpoint ng mga segment na A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit, kaya ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan sa pamamagitan ng arithmetic mean. Ang pag-alam sa mga punto, nakita namin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon na AK at BL:

Ngayon hanapin natin ang cosine ng anggulo:

Isang gawain. Sa isang regular na quadrangular pyramid SABCD, ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga puntos na E at F ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid ng SB at SC, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AE at BF.

Ipinakilala namin ang isang karaniwang coordinate system: ang pinagmulan ay nasa punto A, ang x at y axes ay nakadirekta sa kahabaan ng AB at AD, ayon sa pagkakabanggit, at ang z axis ay nakadirekta patayo pataas. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1.

Ang mga puntong E at F ay ang mga midpoint ng mga segment na SB at SC, ayon sa pagkakabanggit, kaya ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan bilang arithmetic mean ng mga dulo. Isinulat namin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa amin:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Ang pag-alam sa mga punto, nakita namin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon na AE at BF:

Ang mga coordinate ng vector AE ay tumutugma sa mga coordinate ng point E, dahil ang point A ay ang pinagmulan. Ito ay nananatiling mahanap ang cosine ng anggulo:

Gamit ang coordinate method kapag kinakalkula ang isang anggulo

sa pagitan ng mga eroplano

Ang pinaka-pangkalahatang paraan para sa paghahanap ng isang anggulosa pagitan ng mga eroplano - ang paraan ng mga coordinate (kung minsan - na may paglahok ng mga vectors). Maaari itong magamit kapag nasubukan na ang lahat ng iba pa. Ngunit may mga sitwasyon kung saan makatuwirang ilapat kaagad ang paraan ng coordinate, ibig sabihin, kapag ang sistema ng coordinate ay natural na nauugnay sa polyhedron na tinukoy sa pahayag ng problema, i.e. tatlong pairwise perpendicular na linya ay malinaw na nakikita, kung saan maaaring itakda ang mga coordinate axes. Ang nasabing polyhedra ay isang rectangular parallelepiped at isang regular na quadrangular pyramid. Sa unang kaso, ang coordinate system ay maaaring itakda sa pamamagitan ng mga gilid na lumalabas mula sa isang vertex (Larawan 1), sa pangalawa - sa pamamagitan ng taas at diagonal ng base (Larawan 2)

Ang aplikasyon ng coordinate method ay ang mga sumusunod.

Ang isang rectangular coordinate system ay ipinakilala sa espasyo. Ito ay kanais-nais na ipakilala ito sa isang "natural" na paraan - "ilakip" ito sa isang trio ng pairwise perpendicular na mga linya na may isang karaniwang punto.

Para sa bawat isa sa mga eroplano, ang anggulo sa pagitan ng kung saan ay hinahangad, isang equation ay iginuhit up. Ang pinakamadaling paraan upang magsulat ng gayong equation ay ang pag-alam sa mga coordinate ng tatlong puntos sa eroplano na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya.

Ang equation ng eroplano sa pangkalahatang anyo ay may anyo Ax + By + Cz + D = 0.

Coefficients A, B, Ang C sa equation na ito ay ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano (ang vector na patayo sa eroplano). Pagkatapos ay tinutukoy namin ang mga haba at ang scalar na produkto ng mga normal na vector sa mga eroplano, ang anggulo sa pagitan kung saan hinahanap. Kung ang mga coordinate ng mga vectors na ito(A 1, B 1; C 1) at (A 2; B 2; C 2 ), pagkatapos ay ang nais na anggulokinakalkula ng formula

Magkomento. Dapat tandaan na ang anggulo sa pagitan ng mga vectors (kumpara sa anggulo sa pagitan ng mga eroplano) ay maaaring maging mahina, at upang maiwasan ang posibleng kawalan ng katiyakan, ang modulus ay nasa numerator ng kanang bahagi ng formula.

Lutasin ang sumusunod na problema gamit ang coordinate method.

Suliranin 1. Isang kubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ang ibinigay. Ang point K ay ang midpoint ng gilid AD, ang point L ay ang midpoint ng gilid CD. Ano ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano A 1 KL at A 1 AD?

Solusyon . Hayaang ang pinagmulan ng sistema ng coordinate ay nasa punto PERO, at ang mga coordinate axes ay sumasabay sa mga sinag AD, AB, AA 1 (Larawan 3). Kinukuha namin ang gilid ng kubo na katumbas ng 2 (ito ay maginhawa upang hatiin sa kalahati). Pagkatapos ay ang mga coordinate ng mga puntos Ang A 1 , K, L ay: A 1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

kanin. 3

Isinulat namin ang equation ng eroplano Isang 1 K L sa pangkalahatan. Pagkatapos ay pinapalitan namin ang mga coordinate ng mga napiling punto ng eroplanong ito dito. Kumuha kami ng isang sistema ng tatlong equation na may apat na hindi alam:

Ipinapahayag namin ang mga coefficient A, B, C hanggang D at dumating sa equation

Hinahati ang dalawang bahagi sa D (bakit D= 0?) at pagkatapos ay i-multiply sa -2, makuha natin ang equation ng eroplano A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Kung gayon ang normal na vector sa eroplanong ito ay may mga coordinate (2: -2; 1) . Equation ng eroplano Ang 1 AD ay: y=0, at ang mga coordinate ng normal na vector dito, halimbawa, (0; 2: 0) . Ayon sa formula sa itaas para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga eroplano, nakukuha natin:

Ang artikulong ito ay tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga eroplano at kung paano ito mahahanap. Una, ang kahulugan ng anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano ay ibinigay at isang graphic na paglalarawan ay ibinigay. Pagkatapos nito, ang prinsipyo ng paghahanap ng anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na eroplano sa pamamagitan ng coordinate method ay nasuri, isang formula ay nakuha na nagpapahintulot sa pagkalkula ng anggulo sa pagitan ng intersecting planes gamit ang mga kilalang coordinate ng normal na vectors ng mga eroplanong ito. Sa konklusyon, ang mga detalyadong solusyon ng mga karaniwang problema ay ipinapakita.

Pag-navigate sa pahina.

Anggulo sa pagitan ng mga eroplano - kahulugan.

Magbigay tayo ng mga argumento na magbibigay-daan sa atin na unti-unting lumapit sa kahulugan ng anggulo sa pagitan ng dalawang magkasalubong na eroplano.

Bigyan tayo ng dalawang magkasalubong na eroplano at . Ang mga eroplanong ito ay bumalandra sa isang tuwid na linya, na tinutukoy namin ng titik c. Bumuo tayo ng isang eroplano na dumadaan sa punto M ng linya c at patayo sa linya c. Sa kasong ito, magsa-intersect ang eroplano sa mga eroplano at . Tukuyin ang linya kung saan bumalandra ang mga eroplano at bilang a, at ang linya kung saan nag-intersect ang mga eroplano at bilang b. Malinaw, ang mga linya a at b ay nagsalubong sa puntong M.

Madaling ipakita na ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya a at b ay hindi nakasalalay sa lokasyon ng puntong M sa linya c kung saan dumaraan ang eroplano.

Bumuo tayo ng isang eroplanong patayo sa linya c at iba sa eroplano. Ang eroplano ay intersected ng mga eroplano at kasama ang mga tuwid na linya, na tinutukoy namin ng isang 1 at b 1, ayon sa pagkakabanggit.

Mula sa paraan ng paggawa ng mga eroplano at sumusunod na ang mga linya a at b ay patayo sa linya c, at ang mga linya a 1 at b 1 ay patayo sa linya c. Dahil ang mga linya a at a 1 ay nasa parehong eroplano at patayo sa linya c, sila ay parallel. Katulad nito, ang mga linya b at b 1 ay nasa parehong eroplano at patayo sa linya c, kaya't sila ay parallel. Kaya, posible na magsagawa ng parallel na paglipat ng eroplano sa eroplano, kung saan ang linya a 1 ay tumutugma sa linya a, at ang linya b sa linya b 1. Samakatuwid, ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na linya a 1 at b 1 ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng intersecting na linya a at b .

Ito ay nagpapatunay na ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya a at b na nakahiga sa intersecting na mga eroplano at hindi nakadepende sa pagpili ng puntong M kung saan dumaraan ang eroplano. Samakatuwid, lohikal na kunin ang anggulong ito bilang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na eroplano.

Ngayon ay maaari mong boses ang kahulugan ng anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na eroplano at .

Kahulugan.

Ang anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano na nagsasalubong sa isang tuwid na linya at ay ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na linya a at b, kung saan ang mga eroplano at bumalandra sa eroplano na patayo sa linya c.

Ang kahulugan ng anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano ay maaaring ibigay nang medyo naiiba. Kung sa linya c, kung saan nagsalubong ang mga eroplano, markahan ang punto M at gumuhit ng mga linya sa pamamagitan nito a at b, patayo sa linya c at nakahiga sa mga eroplano at, ayon sa pagkakabanggit, ang anggulo sa pagitan ng mga linya a at b ay ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano at. Karaniwan, sa pagsasagawa, ang mga naturang konstruksiyon ay ginagawa upang makuha ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano.

Dahil ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya ay hindi lalampas, ito ay sumusunod mula sa tininigan na kahulugan na ang antas ng sukat ng anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na eroplano ay ipinahayag ng isang tunay na numero mula sa pagitan. Sa kasong ito, ang mga intersecting na eroplano ay tinatawag patayo kung ang anggulo sa pagitan nila ay siyamnapung digri. Ang anggulo sa pagitan ng magkatulad na mga eroplano ay alinman sa hindi natukoy, o ito ay itinuturing na katumbas ng zero.

Paghahanap ng anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na eroplano.

Karaniwan, kapag hinahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na eroplano, kailangan mo munang magsagawa ng mga karagdagang konstruksyon upang makita ang mga intersecting na linya, ang anggulo sa pagitan ng kung saan ay katumbas ng nais na anggulo, at pagkatapos ay ikonekta ang anggulong ito sa orihinal na data gamit ang pantay na mga palatandaan, mga palatandaan ng pagkakatulad, ang cosine theorem o ang mga kahulugan ng sine, cosine at ang padaplis ng anggulo. Sa kursong geometry ng mataas na paaralan, may mga katulad na problema.

Halimbawa, bigyan natin ng solusyon ang problema C2 mula sa Unified State Examination sa matematika para sa 2012 (ang kondisyon ay sadyang binago, ngunit hindi ito nakakaapekto sa prinsipyo ng solusyon). Sa loob nito, kailangan lang hanapin ang anggulo sa pagitan ng dalawang magkasalubong na eroplano.

Halimbawa.

Solusyon.

Una, gumawa tayo ng pagguhit.

Magsagawa tayo ng mga karagdagang konstruksyon upang "makita" ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano.

Una, tukuyin natin ang isang tuwid na linya kung saan nag-intersect ang mga eroplanong ABC at BED 1. Point B ay isa sa kanilang mga karaniwang punto. Hanapin ang pangalawang karaniwang punto ng mga eroplanong ito. Ang mga linyang DA at D 1 E ay namamalagi sa parehong eroplano ADD 1, at hindi sila magkatulad, at, samakatuwid, ay nagsalubong. Sa kabilang banda, ang linyang DA ay nasa eroplanong ABC, at ang linyang D 1 E ay nasa eroplanong BED 1, samakatuwid, ang intersection point ng mga linyang DA at D 1 E ay magiging isang karaniwang punto ng mga eroplanong ABC at BED 1. Kaya, ipinagpapatuloy namin ang mga linyang DA at D 1 E hanggang sa mag-intersect sila, tinutukoy namin ang punto ng kanilang intersection sa titik F. Pagkatapos ay ang BF ay ang tuwid na linya kung saan ang mga eroplanong ABC at BED 1 ay nagsalubong.

Nananatili itong bumuo ng dalawang linya na nakahiga sa mga eroplanong ABC at BED 1, ayon sa pagkakabanggit, na dumadaan sa isang punto sa linyang BF at patayo sa linyang BF - ang anggulo sa pagitan ng mga linyang ito, sa pamamagitan ng kahulugan, ay magiging katumbas ng nais na anggulo sa pagitan ng eroplanong ABC at BED 1 . Gawin natin.

Dot Ang A ay ang projection ng point E papunta sa eroplanong ABC. Gumuhit ng isang linya na nagsalubong sa tamang anggulo sa linyang BF sa puntong M. Pagkatapos ang linyang AM ay ang projection ng linyang EM papunta sa eroplanong ABC, at sa pamamagitan ng tatlong perpendiculars theorem.

Kaya, ang nais na anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ABC at BED 1 ay .

Matutukoy natin ang sine, cosine o tangent ng anggulong ito (at samakatuwid ang anggulo mismo) mula sa isang tamang tatsulok AEM kung alam natin ang haba ng dalawang panig nito. Mula sa kondisyon ay madaling mahanap ang haba ng AE: dahil ang punto E ay naghahati sa gilid AA 1 na may kaugnayan sa 4 hanggang 3, pagbibilang mula sa punto A, at ang haba ng gilid AA 1 ay 7, pagkatapos ay AE \u003d 4. Hanapin natin ang haba ng AM.

Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang tamang tatsulok na ABF na may tamang anggulo A, kung saan ang AM ay ang taas. Sa pamamagitan ng kondisyon AB=2. Mahahanap natin ang haba ng gilid na AF mula sa pagkakapareho ng mga tamang tatsulok na DD 1 F at AEF :

Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, mula sa tatsulok na ABF ay makikita natin . Nahanap namin ang haba ng AM sa pamamagitan ng lugar ng tatsulok ABF: sa isang gilid, ang lugar ng tatsulok ABF ay katumbas ng , sa kabilang kamay , saan .

Kaya, mula sa kanang tatsulok na AEM mayroon kami .

Kung gayon ang nais na anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ABC at BED 1 ay (tandaan na ).

Sagot:

Sa ilang mga kaso, upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na eroplano, ito ay maginhawa upang tukuyin ang Oxyz at gamitin ang coordinate method. Itigil na natin ito.

Itakda natin ang gawain: upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na eroplano at . Tukuyin natin ang nais na anggulo bilang .

Ipagpalagay namin na sa isang ibinigay na rectangular coordinate system Oxyz alam namin ang mga coordinate ng mga normal na vector ng mga intersecting na eroplano at o posible na mahanap ang mga ito. Hayaan ay ang normal na vector ng eroplano, at ay ang normal na vector ng eroplano. Ipakita natin kung paano hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na eroplano at sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga normal na vector ng mga eroplanong ito.

Tukuyin natin ang linya kung saan nag-intersect ang mga eroplano at bilang c . Sa pamamagitan ng point M sa linya c gumuhit kami ng isang eroplano na patayo sa linya c. Ang eroplano ay nag-intersect sa mga eroplano at kasama ang mga linya a at b, ayon sa pagkakabanggit, ang mga linya a at b ay bumalandra sa punto M. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na eroplano at ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya a at b.

Itabi natin mula sa puntong M sa eroplano ang mga normal na vector at ng mga eroplano at . Sa kasong ito, ang vector ay namamalagi sa isang linya na patayo sa linya a, at ang vector ay namamalagi sa isang linya na patayo sa linya b. Kaya, sa eroplano, ang vector ay ang normal na vector ng linya a, ay ang normal na vector ng linya b.

Sa artikulong Paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya, nakakuha kami ng formula na nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya gamit ang mga coordinate ng normal na mga vector. Kaya, ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga linyang a at b, at, dahil dito, at cosine ng anggulo sa pagitan ng mga intersecting na eroplano at matatagpuan sa pamamagitan ng formula , kung saan at ay ang mga normal na vector ng mga eroplano at, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos ito ay kinakalkula bilang .

Lutasin natin ang nakaraang halimbawa gamit ang coordinate method.

Halimbawa.

Ang isang parihabang parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ay ibinigay, kung saan ang AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 at point E ay naghahati sa gilid AA 1 sa isang ratio na 4 hanggang 3, na binibilang mula sa punto A . Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ABC at BED 1.

Solusyon.

Dahil ang mga gilid ng isang rectangular parallelepiped sa isang vertex ay pairwise perpendicular, ito ay maginhawa upang ipakilala ang isang rectangular coordinate system Oxyz tulad ng sumusunod: ang simula ay nakahanay sa vertex C, at ang coordinate axes Ox, Oy at Oz ay nakadirekta sa mga gilid CD, CB at CC 1, ayon sa pagkakabanggit.

Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ABC at BED 1 ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga normal na vector ng mga eroplanong ito gamit ang formula , kung saan at ang mga normal na vector ng mga eroplanong ABC at BED 1, ayon sa pagkakabanggit. Alamin natin ang mga coordinate ng mga normal na vector.

Problema 1. Ang base ng isang tuwid na quadrangular prism ABCDА 1 В 1 С 1 D 1 ay isang rectangle ABCD, kung saan AB \u003d 5, AD \u003d 11. Hanapin ang tangent ng anggulo sa pagitan ng eroplano ng base ng prism at ang eroplanong dumadaan sa gitna ng gilid AD patayo sa linyang BD 1, kung ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya AC at B 1 D 1 ay 12. Solusyon. Ipinakilala namin ang isang coordinate system. В(0;0;0), А(5;0;0), С(0;11;0), D 1 (5;11;12) Coordinates ng normal sa section plane: Coordinates ng normal sa ang base plane: – acute angle, then D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 x y z N Angle between planes Sagot: 0.5. Nenasheva N.G. guro ng matematika GBOU sekondaryang paaralan 985

Problema 2. Sa base ng triangular pyramid SABC ay namamalagi ang isang right triangle ABC. Angle A ay tuwid. AC \u003d 8, BC \u003d 219. Ang taas ng pyramid SA ay 6. Ang isang punto M ay kinuha sa gilid AC upang ang AM \u003d 2. Ang isang eroplanong α ay iginuhit sa pamamagitan ng puntong M, ang vertex B at ang punto N - sa gitna ng gilid SC. Hanapin ang dihedral angle na nabuo ng plane α at ang plane ng base ng pyramid. A S x B C M N y z Solusyon. Ipinakilala namin ang isang coordinate system. Pagkatapos ay A (0;0;0), C (0;8;0), M (0;2;0), N (0;4;3), S (0;0;6), Normal sa eroplano ( ABC) vector Normal to plane (BMN) Anggulo sa pagitan ng mga eroplano Sagot: 60°. Equation ng eroplano (ВМN): N.G. Nenasheva guro ng matematika GBOU sekondaryang paaralan 985

Problema 3. Ang base ng quadrangular pyramid PABCD ay isang parisukat na may gilid na katumbas ng 6, ang gilid na gilid PD ay patayo sa eroplano ng base at katumbas ng 6. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano (BDP) at (BCP). Solusyon. 1. Iguhit ang median DF ng isosceles triangle CDP (BC = PD = 6) Kaya DF PC. At mula sa katotohanan na ang BC (CDP), sumusunod na ang DF BC ay nangangahulugang DF (PCB) A D C B P F 2. Dahil AC DB at AC DP, pagkatapos AC (BDP) 3. Kaya, ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano (BDP) at (BCP ) ay matatagpuan mula sa kondisyon: Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong Nenasheva N.G. guro ng matematika GBOU sekondaryang paaralan 985

Problema 3. Ang base ng quadrangular pyramid PABCD ay isang parisukat na may gilid na katumbas ng 6, ang gilid na gilid PD ay patayo sa eroplano ng base at katumbas ng 6. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano (BDP) at (BCP). Solusyon.4. Pumili tayo ng coordinate system. Ang mga coordinate ng mga puntos: 5. Pagkatapos ang mga vector ay magkakaroon ng mga sumusunod na coordinate: 6. Ang pagkalkula ng mga halaga, nakita namin:, pagkatapos A D C B P F z x y Anggulo sa pagitan ng mga eroplano Sagot: Nenasheva N.G. guro ng matematika GBOU sekondaryang paaralan 985

Gawain 4. Sa unit cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano (AD 1 E) at (D 1 FC), kung saan ang mga punto E at F ay ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Solusyon: 1. Magpasok ng rectangular coordinate system at tukuyin ang mga coordinate ng mga puntos: 2. Bumuo ng equation ng eroplano (AD 1 E): 3. Bumuo ng equation ng eroplano (D 1 FC): - ang normal na vector ng ang eroplano (AD 1 E). - normal na vector ng eroplano (D 1 FС). Anggulo sa pagitan ng mga eroplano x y z Nenasheva N.G. guro ng matematika GBOU sekondaryang paaralan 985

Gawain 4. Sa unit cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano (AD 1 E) at (D 1 FC), kung saan ang mga punto E at F ay ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Solusyon: 4. Hanapin ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga eroplano gamit ang formula Sagot: Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano x y z Nenasheva N.G. guro ng matematika GBOU sekondaryang paaralan 985

Problema 5. Ang segment na nagkokonekta sa gitna ng base ng isang regular na triangular na pyramid na may gitna ng gilid na gilid ay katumbas ng gilid ng base. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng magkatabing bahagi ng mga mukha ng pyramid. Solusyon: x y z 1. Ipakilala natin ang isang rectangular coordinate system at tukuyin ang mga coordinate ng mga puntos A, B, C: K Hayaang ang gilid ng base ay 1. Para sa katiyakan, isaalang-alang ang mga mukha SAC at SBC 2. Hanapin ang mga coordinate ng punto S: E Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano Nenasheva N.G . guro ng matematika GBOU sekondaryang paaralan 985

Problema 5. Ang segment na nagkokonekta sa gitna ng base ng isang regular na triangular na pyramid na may gitna ng gilid na gilid ay katumbas ng gilid ng base. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng magkatabing bahagi ng mga mukha ng pyramid. Solusyon: x y z K E SO nahanap namin mula sa OSB: Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano Nenasheva N.G. guro ng matematika GBOU sekondaryang paaralan 985

Problema 5. Ang segment na nagkokonekta sa gitna ng base ng isang regular na triangular na pyramid na may gitna ng gilid na gilid ay katumbas ng gilid ng base. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng magkatabing bahagi ng mga mukha ng pyramid. Solusyon: x y z K E 3. Equation ng eroplano (SAC): - normal na vector ng eroplano (SAC). 4. Equation ng eroplano (SBC): - normal na vector ng eroplano (SBC). Anggulo sa pagitan ng mga eroplano Nenasheva N.G. guro ng matematika GBOU sekondaryang paaralan 985

Problema 5. Ang segment na nagkokonekta sa gitna ng base ng isang regular na triangular na pyramid na may gitna ng gilid na gilid ay katumbas ng gilid ng base. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng magkatabing bahagi ng mga mukha ng pyramid. Solusyon: x y z K E 5. Hanapin ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga eroplano ayon sa formula Sagot: Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano Nenasheva N.G. guro ng matematika GBOU sekondaryang paaralan 985