Aralin at presentasyon sa mga paksa: "Arxine. Arcsine table. Formula y=arcsin(x)"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga manual at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 10 mula sa 1C
Software environment "1C: Mathematical constructor 6.1"
Malulutas namin ang mga problema sa geometry. Mga interactive na gawain para sa pagbuo sa espasyo

Ano ang ating pag-aaralan:
1. Ano ang arcsine?
2. Pagtatalaga ng arcsine.
3. Kaunting kasaysayan.
4. Kahulugan.

6. Mga halimbawa.

Ano ang arcsine?

Guys, natutunan na natin kung paano i-solve ang mga equation para sa cosine, ngayon alamin natin kung paano i-solve ang mga katulad na equation para sa sine. Isaalang-alang ang sin(x)= √3/2. Upang malutas ang equation na ito, kailangan mong bumuo ng isang tuwid na linya y= √3/2 at tingnan kung anong mga punto ang nagsa-intersect sa bilog ng numero. Makikita na ang linya ay nag-intersect sa bilog sa dalawang punto F at G. Ang mga puntong ito ang magiging solusyon sa ating equation. Palitan ang pangalan ng F bilang x1 at G bilang x2. Natagpuan na namin ang solusyon sa equation na ito at nakuha: x1= π/3 + 2πk,
at x2= 2π/3 + 2πk.

Ang paglutas ng equation na ito ay medyo simple, ngunit kung paano lutasin, halimbawa, ang equation
sin(x)=5/6. Malinaw, ang equation na ito ay magkakaroon din ng dalawang ugat, ngunit anong mga halaga ang tumutugma sa solusyon sa bilog ng numero? Tingnan natin ang ating sin(x)=5/6 equation.
Ang solusyon sa aming equation ay magiging dalawang puntos: F= x1 + 2πk at G= x2 ​​​​+ 2πk,
kung saan ang x1 ay ang haba ng arc AF, ang x2 ay ang haba ng arc AG.
Tandaan: x2= π - x1, dahil AF= AC - FC, ngunit FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Ngunit ano ang mga tuldok na ito?

Nahaharap sa isang katulad na sitwasyon, ang mga mathematician ay nakabuo ng isang bagong simbolo - arcsin (x). Ito ay nagbabasa tulad ng isang arcsine.

Pagkatapos ang solusyon ng ating equation ay isusulat tulad ng sumusunod: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

At ang pangkalahatang solusyon: x= arcsin(5/6) + 2πk at x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Ang arcsine ay ang anggulo (haba ng arko AF, AG) sine, na katumbas ng 5/6.

Isang kaunting kasaysayan ng arcsine

Ang kasaysayan ng pinagmulan ng ating simbolo ay eksaktong kapareho ng sa arccos. Sa unang pagkakataon, lumilitaw ang simbolo ng arcsin sa mga gawa ng mathematician na si Scherfer at ng sikat na French scientist na si J.L. Lagrange. Medyo mas maaga, ang konsepto ng arcsine ay isinasaalang-alang ni D. Bernoulli, kahit na isinulat niya ito kasama ng iba pang mga simbolo.

Ang mga simbolo na ito ay naging pangkalahatang tinanggap lamang sa pagtatapos ng ika-18 siglo. Ang prefix na "arc" ay nagmula sa Latin na "arcus" (bow, arc). Ito ay medyo pare-pareho sa kahulugan ng konsepto: ang arcsin x ay isang anggulo (o maaari mong sabihin na isang arko), ang sine kung saan ay katumbas ng x.

Kahulugan ng arcsine

Kung |а|≤ 1, ang arcsin(a) ay isang numero mula sa pagitan [- π/2; π/2], na ang sine ay a.

Kung |a|≤ 1, ang equation na sin(x)= a ay may solusyon: x= arcsin(a) + 2πk at
x= π - arcsin(a) + 2πk

Muli nating isulat:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Guys, tingnan mong mabuti ang aming dalawang solusyon. Ano sa palagay mo: maaari ba silang isulat sa isang pangkalahatang pormula? Tandaan na kung mayroong plus sign bago ang arcsine, ang π ay i-multiply sa isang even na numero na 2πk, at kung ang sign ay minus, kung gayon ang multiplier ay odd 2k+1.
Sa pag-iisip na ito, isinusulat namin ang pangkalahatang formula ng solusyon para sa equation na sin(x)=a:

Mayroong tatlong mga kaso kung saan mas gustong magsulat ng mga solusyon sa mas simpleng paraan:

sin(x)=0, pagkatapos x= πk,

sin(x)=1, pagkatapos x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, pagkatapos x= -π/2 + 2πk.

Para sa anumang -1 ≤ a ≤ 1, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay taglay: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Sumulat tayo ng isang talahanayan ng mga halaga ng cosine sa kabaligtaran at kumuha ng isang talahanayan para sa arcsine.

Mga halimbawa

1. Kalkulahin: arcsin(√3/2).
Solusyon: Hayaan ang arcsin(√3/2)= x, pagkatapos ay sin(x)= √3/2. Ayon sa kahulugan: - π/2 ≤x≤ π/2. Tingnan natin ang mga halaga ng sine sa talahanayan: x= π/3, dahil sin(π/3)= √3/2 at –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Sagot: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Kalkulahin: arcsin(-1/2).
Solusyon: Hayaan ang arcsin(-1/2)= x, pagkatapos ay sin(x)= -1/2. Ayon sa kahulugan: - π/2 ≤x≤ π/2. Tingnan natin ang mga halaga ng sine sa talahanayan: x= -π/6, dahil sin(-π/6)= -1/2 at -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Sagot: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Kalkulahin: arcsin(0).
Solusyon: Hayaan ang arcsin(0)= x, pagkatapos ay sin(x)= 0. Sa pamamagitan ng kahulugan: - π/2 ≤x≤ π/2. Tingnan natin ang mga halaga ng sine sa talahanayan: nangangahulugan ito ng x = 0, dahil sin(0)= 0 at - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Sagot: arcsin(0)=0.

4. Lutasin ang equation: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk at x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Tingnan natin ang halaga sa talahanayan: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Sagot: x= -π/4 + 2πk at x= 5π/4 + 2πk.

5. Lutasin ang equation: sin(x) = 0.
Solusyon: Gamitin natin ang kahulugan, pagkatapos ay isusulat ang solusyon sa form:
x= arcsin(0) + 2πk at x= π - arcsin(0) + 2πk. Tingnan natin ang halaga sa talahanayan: arcsin(0)= 0.
Sagot: x= 2πk at x= π + 2πk

6. Lutasin ang equation: sin(x) = 3/5.
Solusyon: Gamitin natin ang kahulugan, pagkatapos ay isusulat ang solusyon sa form:
x= arcsin(3/5) + 2πk at x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Sagot: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na sin(x) Solusyon: Ang sine ay ang ordinate ng punto ng numerical na bilog. Kaya: kailangan nating hanapin ang mga naturang punto, ang ordinate nito ay mas mababa sa 0.7. Gumuhit tayo ng tuwid na linya y=0.7. Bina-intersect nito ang bilog na numero sa dalawang punto. Hindi pagkakapantay-pantay y Kung gayon ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay magiging: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Mga problema sa arcsine para sa independiyenteng solusyon

1) Kalkulahin: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0.8).
2) Lutasin ang equation: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0.25,
e) sin(x) = -1.2.
3) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: a) sin (x)> 0.6, b) sin (x) ≤ 1/2.

Ang isang paraan para sa pagkuha ng mga formula para sa kabaligtaran na mga function ng trigonometriko ay ipinakita. Nakukuha ang mga formula para sa mga negatibong argumento, mga expression na nauugnay sa arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent. Ang isang paraan para sa pagkuha ng mga formula para sa kabuuan ng mga arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent ay ipinahiwatig.

Mga Pangunahing Formula

Ang derivation ng mga formula para sa inverse trigonometriko function ay simple, ngunit nangangailangan ng kontrol sa mga halaga ng mga argumento ng mga direktang function. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga trigonometric function ay pana-panahon at, samakatuwid, ang kanilang mga inverse function ay multivalued. Maliban kung iba ang nakasaad, ang inverse trigonometriko function ay nangangahulugan ng kanilang mga pangunahing halaga. Upang matukoy ang pangunahing halaga, ang domain ng kahulugan ng trigonometric function ay pinaliit sa pagitan kung saan ito ay monotonic at tuloy-tuloy. Ang derivation ng mga formula para sa inverse trigonometriko function ay batay sa mga formula ng trigonometriko function at ang mga katangian ng inverse function bilang tulad. Ang mga katangian ng inverse function ay maaaring nahahati sa dalawang grupo.

Kasama sa unang pangkat ang mga formula na may bisa sa buong domain ng mga inverse function:
kasalanan(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )
ctg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )

Kasama sa pangalawang pangkat ang mga formula na may bisa lamang sa hanay ng mga halaga ng mga kabaligtaran na pag-andar.
arcsin(sin x) = x sa
arccos(cos x) = x sa
arctg(tg x) = x sa
arcctg(ctg x) = x sa

Kung ang variable na x ay hindi nahuhulog sa agwat sa itaas, dapat itong bawasan dito gamit ang mga formula ng trigonometriko function (simula dito n ay isang integer):
sinx = kasalanan(-x-π); sinx = kasalanan(π-x); sinx = sin(x+2πn);
cos x = cos(-x); cosx = cos(2π-x); cosx = cos(x+2πn);
tgx = tg(x+πn); ctgx = ctg(x+πn)

Halimbawa, kung ito ay kilala na
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π - x )) = π - x .

Madaling makita na para sa π - x ay nasa loob ng kinakailangang pagitan. Upang gawin ito, i-multiply sa -1: at idagdag ang π: o Lahat ay tama.

Baliktad na Mga Pag-andar ng Negatibong Argumento

Ang paglalapat ng mga formula sa itaas at mga katangian ng trigonometriko function, nakakakuha kami ng mga formula para sa mga inverse function ng isang negatibong argumento.

arcsin(-x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Simula noon ang pagpaparami ng -1 , mayroon tayong: o
Ang argument ng sine ay nasa loob ng pinapayagang hanay ng hanay ng arcsine. Kaya tama ang formula.

Katulad din para sa iba pang mga function.
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x

arctan(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctg x

arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x

Pagpapahayag ng arcsine sa mga tuntunin ng arccosine at ang arctangent sa mga tuntunin ng arccotangent

Ipinapahayag namin ang arcsine sa mga tuntunin ng arccosine.

Ang pormula ay may bisa para sa mga hindi pagkakapantay-pantay na ito dahil

Upang mapatunayan ito, pinarami namin ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa -1 : at idagdag ang π/2 : o Lahat ay tama.

Katulad nito, ipinapahayag namin ang arctangent sa pamamagitan ng arccotangent.

Pagpapahayag ng arcsine sa pamamagitan ng arctangent, ang arccosine sa pamamagitan ng arccotangent at vice versa

Nagpapatuloy kami sa katulad na paraan.

Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba

Sa katulad na paraan, nakukuha natin ang formula para sa kabuuan ng mga arcsine.

Itatag natin ang mga limitasyon ng pagkakalapat ng formula. Upang hindi makitungo sa masalimuot na mga expression, ipinakilala namin ang notasyon: X = arcsin x, Y = arcsin y. Ang formula ay naaangkop kapag
. Dagdag pa, tandaan namin na, dahil arcsin(- x) = - arcsin x, arcsin(- y) = - arcsin y, pagkatapos para sa iba't ibang mga palatandaan, ang x at y, ang X at Y ay mayroon ding magkakaibang mga palatandaan, at samakatuwid ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili. Ang kondisyon ng iba't ibang mga palatandaan para sa x at y ay maaaring isulat na may isang hindi pagkakapantay-pantay: . Ibig sabihin, kapag valid ang formula.

Ngayon isaalang-alang ang kaso x > 0 at y > 0 , o X > 0 at Y > 0 . Pagkatapos ang kondisyon para sa applicability ng formula ay ang katuparan ng hindi pagkakapantay-pantay: . Dahil ang cosine ay monotonically bumababa para sa mga halaga ng argument sa pagitan mula sa 0 , sa π, pagkatapos ay kukunin natin ang cosine ng kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito at ibahin ang anyo ng expression:
;
;
;
.
Simula at ; tapos ang mga cosine na kasama dito ay hindi negative. Ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay positibo. Namin parisukat ang mga ito at i-convert ang mga cosine sa pamamagitan ng mga sine:
;
.
Kapalit sin X = sin arc sin x = x:
;
;
;
.

Kaya, ang resultang formula ay wasto para sa o .

Ngayon isaalang-alang ang case x > 0, y > 0 at x 2 + y 2 > 1 . Dito kinukuha ng argumento ng sine ang mga halaga: . Kailangan itong bawasan sa pagitan ng lugar ng halaga ng arcsine:

Kaya,

sa i.

Ang pagpapalit ng x at y ng - x at - y , mayroon kami

sa i.
Nagsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo:

sa i.
O kaya

sa i.

Kaya, nakuha namin ang mga sumusunod na expression para sa kabuuan ng mga arcsine:

sa o ;

para sa at ;

sa at .

Ano ang arcsine, arccosine? Ano ang arc tangent, arc tangent?

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Sa mga konsepto arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent ang populasyon ng mga mag-aaral ay maingat. Hindi niya naiintindihan ang mga katagang ito at, samakatuwid, ay hindi nagtitiwala sa maluwalhating pamilyang ito.) Ngunit walang kabuluhan. Ito ay napakasimpleng mga konsepto. Na kung saan, ginagawang mas madali ang buhay para sa isang taong may kaalaman kapag nilulutas ang mga trigonometric equation!

Nalilito tungkol sa pagiging simple? Walang kabuluhan.) Dito at ngayon ay makukumbinsi ka nito.

Siyempre, para sa pag-unawa, ito ay magandang malaman kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent. Oo, ang kanilang mga halaga ng talahanayan para sa ilang mga anggulo ... Hindi bababa sa mga pinaka-pangkalahatang termino. Pagkatapos ay wala ring magiging problema dito.

Kaya, nagulat kami, ngunit tandaan: arcsine, arccosine, arctangent at arctangent ay ilang mga anggulo lamang. Wala na, walang kulang. May anggulo, sabihin 30°. At may anggulo arcsin0.4. O kaya arctg(-1.3). Mayroong lahat ng uri ng mga anggulo.) Maaari mong isulat lamang ang mga anggulo sa iba't ibang paraan. Maaari mong isulat ang anggulo sa mga degree o radian. O kaya mo - sa pamamagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent nito ...

Ano ang ibig sabihin ng ekspresyon

arcsin 0.4?

Ito ang anggulo na ang sine ay 0.4! Oo Oo. Ito ang kahulugan ng arcsine. Partikular kong inuulit: ang arcsin 0.4 ay isang anggulo na ang sine ay 0.4.

At ayun na nga.

Upang mapanatili ang simpleng pag-iisip na ito sa aking isipan sa mahabang panahon, bibigyan ko pa nga ng isang breakdown ang kakila-kilabot na terminong ito - ang arcsine:

arko kasalanan 0,4
sulok, kaninong sine katumbas ng 0.4

Gaya ng nasusulat, gayon din ang naririnig.) Halos. Console arko ibig sabihin arko(salita arko alam?), kasi Ang mga sinaunang tao ay gumamit ng mga arko sa halip na mga sulok, ngunit hindi nito binabago ang kakanyahan ng bagay. Tandaan itong elementary decoding ng isang mathematical term! Bukod dito, para sa arc cosine, arc tangent at arc tangent, ang pag-decode ay naiiba lamang sa pangalan ng function.

Ano ang arccos 0.8?
Ito ay isang anggulo na ang cosine ay 0.8.

Ano ang arctan(-1,3) ?
Ito ay isang anggulo na ang padaplis ay -1.3.

Ano ang arcctg 12?
Ito ay isang anggulo na ang cotangent ay 12.

Ang ganitong elementary decoding ay nagbibigay-daan, sa pamamagitan ng paraan, upang maiwasan ang epic blunders.) Halimbawa, ang expression na arccos1,8 ay mukhang medyo solid. Magsimula tayo sa pag-decode: Ang arccos1,8 ay isang anggulo na ang cosine ay katumbas ng 1.8... Hop-hop!? 1.8!? Ang cosine ay hindi maaaring higit sa isa!

Tama. Ang expression na arccos1,8 ay walang katuturan. At ang pagsulat ng ganoong expression sa ilang sagot ay lubos na magpapasaya sa verifier.)

Elementarya, gaya ng nakikita mo.) Ang bawat anggulo ay may sariling personal na sine at cosine. At halos lahat ay may sariling tangent at cotangent. Samakatuwid, alam ang trigonometric function, maaari mong isulat ang anggulo mismo. Para dito, ang mga arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent ay inilaan. Dagdag pa, tatawagin kong maliit ang buong pamilyang ito - mga arko. para mas kaunti ang pag-type.)

Pansin! Elementarya verbal at malay Ang pag-decipher sa mga arko ay nagbibigay-daan sa iyo na mahinahon at may kumpiyansa na malutas ang iba't ibang mga gawain. At sa hindi karaniwan mga gawain lang ang iniligtas niya.

Posible bang lumipat mula sa mga arko patungo sa mga ordinaryong degree o radian?- Nakarinig ako ng maingat na tanong.)

Bakit hindi!? Madali. Maaari kang pumunta doon at bumalik. Bukod dito, kung minsan ay kinakailangan na gawin ito. Ang mga arko ay isang simpleng bagay, ngunit kung wala ang mga ito ay mas kalmado ito, tama?)

Halimbawa: ano ang arcsin 0.5?

Tingnan natin ang decryption: Ang arcsin 0.5 ay ang anggulo na ang sine ay 0.5. Ngayon i-on ang iyong ulo (o Google)) at tandaan kung aling anggulo ang may sine na 0.5? Ang sine ay 0.5 y anggulo ng 30 degrees. Iyon lang ang nariyan: Ang arcsin 0.5 ay isang 30° anggulo. Maaari mong ligtas na magsulat:

arcsin 0.5 = 30°

O, mas matatag, sa mga tuntunin ng mga radian:

Iyon lang, maaari mong kalimutan ang tungkol sa arcsine at magtrabaho sa karaniwang mga degree o radian.

Kung napagtanto mo ano ang arcsine, arccosine ... Ano ang arctangent, arccotangent ... Pagkatapos ay madali mong haharapin, halimbawa, ang gayong halimaw.)

Ang isang mangmang na tao ay uurong sa kakila-kilabot, oo ...) At isang may kaalaman tandaan ang decryption: ang arcsine ay ang anggulo na ang sine ay ... Well, at iba pa. Kung alam din ng isang taong may kaalaman ang talahanayan ng mga sine ... Ang talahanayan ng mga cosine. Isang talahanayan ng mga tangent at cotangent, kung gayon walang mga problema sa lahat!

Ito ay sapat na upang isaalang-alang na:

I will decipher, i.e. isalin ang formula sa mga salita: anggulo na ang padaplis ay 1 (arctg1) ay isang 45° anggulo. O, na pareho, Pi/4. Katulad nito:

at iyon lang... Pinapalitan namin ang lahat ng mga arko ng mga halaga sa radians, lahat ay nabawasan, nananatili itong kalkulahin kung magkano ang magiging 1 + 1. Ito ay magiging 2.) Alin ang tamang sagot.

Ito ay kung paano mo (at dapat) lumipat mula sa mga arcsine, arccosine, arctangent at arctangent hanggang sa mga ordinaryong degree at radian. Lubos nitong pinapasimple ang mga nakakatakot na halimbawa!

Kadalasan, sa ganitong mga halimbawa, sa loob ng mga arko ay negatibo mga halaga. Tulad ng, arctg(-1.3), o, halimbawa, arccos(-0.8)... Hindi iyon problema. Narito ang ilang simpleng formula para sa pagpunta mula sa negatibo patungo sa positibo:

Kailangan mo, sabihin, upang matukoy ang halaga ng isang expression:

Maaari mong lutasin ito gamit ang isang trigonometric na bilog, ngunit hindi mo nais na iguhit ito. Well, okay. galing sa negatibo mga halaga sa loob ng arc cosine sa positibo ayon sa pangalawang formula:

Sa loob ng arccosine sa kanan na positibo ibig sabihin. Ano

kailangan mo lang malaman. Ito ay nananatiling palitan ang mga radian sa halip na ang arc cosine at kalkulahin ang sagot:

Iyon lang.

Mga paghihigpit sa arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent.

Mayroon bang problema sa mga halimbawa 7 - 9? Well, oo, mayroong ilang trick doon.)

Ang lahat ng mga halimbawang ito, mula ika-1 hanggang ika-9, ay maingat na inayos sa mga istante sa Seksyon 555. Ano, paano at bakit. Sa lahat ng mga lihim na traps at trick. Plus mga paraan upang kapansin-pansing pasimplehin ang solusyon. Sa pamamagitan ng paraan, ang seksyon na ito ay naglalaman ng maraming kapaki-pakinabang na impormasyon at praktikal na mga tip sa trigonometry sa pangkalahatan. At hindi lamang sa trigonometrya. Malaki ang naitutulong.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ang mga kahulugan ng inverse trigonometric function at ang kanilang mga graph ay ibinigay. Pati na rin ang mga formula na may kaugnayan sa kabaligtaran na trigonometric function, mga formula para sa mga kabuuan at pagkakaiba.

Kahulugan ng inverse trigonometriko function

Dahil ang mga trigonometriko function ay panaka-nakang, ang mga function na kabaligtaran sa kanila ay hindi single-valued. Kaya, ang equation y = kasalanan x, para sa ibinigay na , ay may walang katapusang maraming mga ugat. Sa katunayan, dahil sa periodicity ng sine, kung ang x ay ganoong ugat, kung gayon x + 2n(kung saan ang n ay isang integer) ay magiging ugat din ng equation. Sa ganitong paraan, Ang mga inverse trigonometriko function ay multivalued. Upang gawing mas madali ang pakikipagtulungan sa kanila, ipinakilala ang konsepto ng kanilang mga pangunahing halaga. Isaalang-alang, halimbawa, ang sine: y = kasalanan x. Kung nililimitahan natin ang argumento x sa pagitan , pagkatapos ay dito ang function na y = kasalanan x tumataas monotonically. Samakatuwid, mayroon itong single-valued inverse function, na tinatawag na arcsine: x = arcsin y.

Maliban kung iba ang sinabi, ang inverse trigonometriko function ay nangangahulugan ng kanilang mga pangunahing halaga, na tinutukoy ng mga sumusunod na kahulugan.

Arcsine ( y= arcsin x) ay ang kabaligtaran na pag-andar ng sine ( x= siny

Arc cosine ( y= arccos x) ay ang inverse function ng cosine ( x= dahil y) na mayroong isang domain ng kahulugan at isang hanay ng mga halaga.

Arctangent ( y= arctg x) ay ang inverse function ng tangent ( x= tg y) na mayroong isang domain ng kahulugan at isang hanay ng mga halaga.

Arc tangent ( y= arcctg x) ay ang kabaligtaran na pag-andar ng cotangent ( x= ctg y) na mayroong isang domain ng kahulugan at isang hanay ng mga halaga.

Mga graph ng inverse trigonometriko function

Ang mga graph ng inverse trigonometriko function ay nakuha mula sa mga graph ng trigonometriko function sa pamamagitan ng mirror reflection na may kinalaman sa tuwid na linya y = x. Tingnan ang mga seksyon Sine, cosine, Tangent, cotangent.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Mga Pangunahing Formula

Dito, dapat bigyan ng espesyal na pansin ang mga agwat kung saan wasto ang mga formula.

arcsin(sin x) = x sa
kasalanan(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x sa
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x sa
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x sa
ctg(arctg x) = x

Mga formula na may kaugnayan sa kabaligtaran na trigonometriko function

Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba

sa o

sa at

sa at

sa o

sa at

sa at

sa

sa

sa

sa

Ang mga function na sin, cos, tg, at ctg ay palaging sinasamahan ng isang arcsine, arccosine, arctangent, at arccotangent. Ang isa ay isang kinahinatnan ng isa pa, at ang mga pares ng mga function ay pantay na mahalaga para sa pagtatrabaho sa mga trigonometrikong expression.

Isaalang-alang ang pagguhit ng isang bilog na yunit, na graphic na nagpapakita ng mga halaga ng mga function ng trigonometriko.

Kung kalkulahin mo ang mga arc OA, arcos OC, arctg DE at arcctg MK, lahat sila ay magiging katumbas ng halaga ng anggulo α. Ang mga formula sa ibaba ay sumasalamin sa ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing trigonometriko na pag-andar at ang kanilang mga katumbas na arko.

Upang maunawaan ang higit pa tungkol sa mga katangian ng arcsine, kinakailangang isaalang-alang ang pag-andar nito. Iskedyul ay may anyo ng isang asymmetric curve na dumadaan sa gitna ng mga coordinate.

Mga katangian ng Arcsine:

Kung ihahambing natin ang mga graph kasalanan at arc kasalanan, dalawang trigonometriko function ang makakahanap ng mga karaniwang pattern.

Arc cosine

Ang Arccos ng numero a ay ang halaga ng anggulo α, ang cosine nito ay katumbas ng a.

Kurba y = arcos x sinasalamin ang plot ng arcsin x, na ang pagkakaiba lamang ay dumadaan ito sa puntong π/2 sa OY axis.

Isaalang-alang ang pag-andar ng arccosine nang mas detalyado:

1. Ang function ay tinukoy sa segment [-1; isa].
2. ODZ para sa arccos - .
3. Ang graph ay ganap na matatagpuan sa I at II quarters, at ang function mismo ay hindi kahit na o kakaiba.
4. Y = 0 para sa x = 1.
5. Bumababa ang curve sa buong haba nito. Ang ilang mga katangian ng arc cosine ay kapareho ng cosine function.

Ang ilang mga katangian ng arc cosine ay kapareho ng cosine function.

Posible na ang gayong "detalyadong" pag-aaral ng "mga arko" ay tila hindi kailangan sa mga mag-aaral. Gayunpaman, kung hindi, ang ilang karaniwang karaniwang USE na gawain ay maaaring humantong sa mga mag-aaral sa isang dead end.

Ehersisyo 1. Tukuyin ang mga function na ipinapakita sa figure.

Sagot: kanin. 1 - 4, fig. 2 - 1.

Sa halimbawang ito, ang diin ay sa maliliit na bagay. Karaniwan, ang mga mag-aaral ay napakawalang-ingat sa pagbuo ng mga graph at ang hitsura ng mga function. Sa katunayan, bakit kabisaduhin ang anyo ng curve, kung maaari itong palaging itayo mula sa mga kalkuladong puntos. Huwag kalimutan na sa mga kondisyon ng pagsubok, ang oras na ginugol sa pagguhit para sa isang simpleng gawain ay kinakailangan upang malutas ang mas kumplikadong mga gawain.

Arctangent

Arctg ang bilang a ay isang halaga ng anggulo α na ang padaplis nito ay katumbas ng a.

Kung isasaalang-alang natin ang balangkas ng arc tangent, maaari nating makilala ang mga sumusunod na katangian:

1. Ang graph ay walang hanggan at tinukoy sa pagitan (- ∞; + ∞).
2. Ang Arctangent ay isang kakaibang function, samakatuwid, arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 para sa x = 0.
4. Ang curve ay tumataas sa buong domain ng kahulugan.

Magbigay tayo ng maikling paghahambing na pagsusuri ng tg x at arctg x sa anyo ng isang talahanayan.

Arc padaplis

Arcctg ng numerong a - kumukuha ng ganoong halaga ng α mula sa pagitan (0; π) na ang cotangent nito ay katumbas ng a.

Mga katangian ng arc cotangent function:

1. Ang pagitan ng kahulugan ng function ay infinity.
2. Ang hanay ng mga tinatanggap na halaga ay ang pagitan (0; π).
3. Ang F(x) ay hindi kahit na o kakaiba.
4. Sa buong haba nito, bumababa ang graph ng function.

Ang paghahambing ng ctg x at arctg x ay napakasimple, kailangan mo lamang gumuhit ng dalawang guhit at ilarawan ang pag-uugali ng mga kurba.

Gawain 2. Iugnay ang graph at ang anyo ng function.

Logically, ipinapakita ng mga graph na tumataas ang parehong function. Samakatuwid, ang parehong mga numero ay nagpapakita ng ilang arctg function. Ito ay kilala mula sa mga katangian ng arc tangent na y=0 para sa x = 0,

Sagot: kanin. 1 - 1, fig. 2-4.

Trigonometric identity arcsin, arcos, arctg at arcctg

Noong nakaraan, natukoy na natin ang kaugnayan sa pagitan ng mga arko at ang mga pangunahing pag-andar ng trigonometrya. Ang pag-asa na ito ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng isang bilang ng mga formula na nagbibigay-daan sa pagpapahayag, halimbawa, ang sine ng isang argumento sa pamamagitan ng arcsine, arccosine, o vice versa nito. Ang kaalaman sa gayong mga pagkakakilanlan ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa paglutas ng mga partikular na halimbawa.

Mayroon ding mga ratio para sa arctg at arcctg:

Ang isa pang kapaki-pakinabang na pares ng mga formula ay nagtatakda ng halaga para sa kabuuan ng mga halaga ng arcsin at arcos at arcctg at arcctg ng parehong anggulo.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Ang mga gawain sa trigonometrya ay maaaring nahahati sa apat na pangkat: kalkulahin ang numerical na halaga ng isang partikular na expression, i-plot ang isang ibinigay na function, hanapin ang domain ng kahulugan nito o ODZ, at magsagawa ng analytical transformations upang malutas ang halimbawa.

Kapag nilulutas ang unang uri ng mga gawain, kinakailangan na sumunod sa sumusunod na plano ng aksyon:

Kapag nagtatrabaho sa mga graph ng mga function, ang pangunahing bagay ay ang kaalaman sa kanilang mga katangian at ang hitsura ng curve. Ang mga talahanayan ng pagkakakilanlan ay kailangan upang malutas ang mga trigonometrikong equation at hindi pagkakapantay-pantay. Kung mas maraming formula ang natatandaan ng mag-aaral, mas madaling mahanap ang sagot sa gawain.

Ipagpalagay na sa pagsusulit ay kinakailangan upang mahanap ang sagot para sa isang equation ng uri:

Kung tama mong ibahin ang anyo ng expression at dalhin ito sa nais na anyo, kung gayon ang paglutas nito ay napaka-simple at mabilis. Una, ilipat natin ang arcsin x sa kanang bahagi ng equation.

Kung naaalala natin ang formula arcsin (sinα) = α, pagkatapos ay maaari nating bawasan ang paghahanap ng mga sagot sa paglutas ng isang sistema ng dalawang equation:

Ang pagpilit sa modelong x ay lumitaw, muli mula sa mga katangian ng arcsin: ODZ para sa x [-1; isa]. Kapag ang isang ≠ 0, bahagi ng system ay isang quadratic equation na may mga ugat na x1 = 1 at x2 = - 1/a. Sa a = 0, ang x ay magiging katumbas ng 1.