Ang graph ng function (2.33) ay ipinapakita sa Figure 2.5. Bilis,na tumutugma sa maximum ng Maxwell curve ay tinatawagmalamang sa. Maaari itong matukoy gamit ang pinakamataas na kondisyon ng function:

o

Ang average na bilis ng isang molekula (mathematical expectation) ay matatagpuan sa pangkalahatang tuntunin [tingnan. (2.20)]. Dahil ang average na halaga ng bilis ay tinutukoy, ang mga limitasyon ng pagsasama ay kinuha mula 0 hanggang  (inaalis ang mga detalye ng matematika):

saan M=t 0 N Ang A ay ang molar mass ng gas, R = k N A ay ang unibersal na gas constant, N A ang numero ni Avogadro.

Habang tumataas ang temperatura, ang maximum ng Maxwell curve ay lumilipat patungo sa mas mataas na bilis at ang pamamahagi ng mga molekula kasama  ay binago (Larawan 2.6; T 1 < Т 2 ). Ang pamamahagi ng Maxwell ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang bilang ng mga molekula na ang mga bilis ay nasa isang tiyak na pagitan . Nakukuha namin ang kaukulang formula.

Dahil ang kabuuang bilang N Ang mga molekula sa isang gas ay kadalasang malaki, pagkatapos ay ang posibilidad d P maaaring ipahayag bilang ratio ng bilang d N mga molekula na ang mga tulin ay nakapaloob sa isang tiyak na pagitan d , sa kabuuang bilang N mga molekula:

Mula sa (2.34) at (2.37) sinusundan iyon

Binibigyang-daan ka ng formula (2.38) na matukoy ang bilang ng mga molekula na ang mga bilis ay nasa hanay mula sa i: hanggang i> 2. Upang gawin ito, kailangan nating isama ang (2.38):

o graphical na kalkulahin ang lugar ng isang curvilinear trapezoid mula sa  1 dati  2 (Larawan 2.7).

Kung ang pagitan ng bilis d ay sapat na maliit, kung gayon ang bilang ng mga molekula na ang mga bilis ay tumutugma sa pagitan na ito ay maaaring kalkulahin nang humigit-kumulang gamit ang formula (2.38) o graphical bilang ang lugar ng isang parihaba na may base d .

Sa tanong kung gaano karaming mga molekula ang may bilis na katumbas ng anumang partikular na halaga, isang kakaiba, sa unang tingin, ang sagot ay sumusunod: kung ang bilis ay ganap na eksaktong ibinigay, kung gayon ang pagitan ng bilis ay zero (d = 0) at mula sa (2.38) nakakakuha tayo ng zero, ibig sabihin, walang isang molekula ang may bilis na eksaktong katumbas ng paunang natukoy. Ito ay tumutugma sa isa sa mga probisyon ng teorya ng posibilidad: para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, na kung saan ay ang bilis, imposibleng "hulaan" nang eksakto ang halaga nito, na may hindi bababa sa isang molekula sa gas.

Ang bilis ng pamamahagi ng mga molekula ay nakumpirma ng iba't ibang mga eksperimento.

Ang pamamahagi ng Maxwell ay maaaring isaalang-alang bilang pamamahagi ng mga molekula hindi lamang sa mga tuntunin ng bilis, kundi pati na rin sa mga tuntunin ng kinetic energies (dahil ang mga konseptong ito ay magkakaugnay).

Pamamahagi ng Boltzmann. Kung ang mga molekula ay nasa ilang panlabas na patlang ng puwersa, halimbawa, ang gravitational field ng Earth, posible na mahanap ang pamamahagi ng kanilang mga potensyal na enerhiya, ibig sabihin, upang maitaguyod ang konsentrasyon ng mga particle na may ilang tiyak na halaga ng potensyal na enerhiya.

Pamamahagi ng mga particle sa mga potensyal na enerhiya sa simga pangingisda-gravitational, electrical, atbp.-ay tinatawag na pamamahagi ng Boltzmann.

Tulad ng inilapat sa larangan ng gravitational, ang pamamahagi na ito ay maaaring isulat bilang isang pagdepende sa konsentrasyon P mga molekula mula sa taas h sa itaas ng antas ng lupa o mula sa potensyal na enerhiya ng molekula mgh:

Ang expression (2.40) ay may bisa para sa mga ideal na gas particle. Sa graphically, ang exponential dependence na ito ay ipinapakita sa fig. 2.8.

Ang ganitong pamamahagi ng mga molekula sa gravitational field ng Earth ay maaaring qualitatively, sa loob ng framework ng molecular-kinetic concepts, na ipinaliwanag ng katotohanan na ang mga molekula ay naiimpluwensyahan ng dalawang magkasalungat na mga kadahilanan: ang gravitational field, sa ilalim ng impluwensya kung saan ang lahat ng mga molekula ay naaakit sa ang Earth, at molecular-chaotic motion, na may posibilidad na magkalat ng pantay-pantay ang mga molekula sa buong lawak na posible.

Sa konklusyon, kapaki-pakinabang na tandaan ang ilang pagkakatulad sa pagitan ng mga exponential na termino sa mga pamamahagi ng Maxwell at Boltzmann:

Sa unang pamamahagi, sa exponent, ang ratio ng kinetic energy ng molecule sa kT, sa pangalawa - ang ratio ng potensyal na enerhiya sa kT.

Mga pamamahagi ng Maxwell at Boltzmann. Ilipat ang mga phenomena

Plano ng lecture:

Batas ni Maxwell sa pamamahagi ng mga molekula sa mga bilis. Mga katangian ng bilis ng mga molekula.

Pamamahagi ng Boltzmann.

Ang ibig sabihin ng libreng landas ng mga molekula.

Paglipat ng mga kababalaghan:

a) pagsasabog;

b) panloob na alitan (lagkit);

c) thermal conductivity.

Batas ni Maxwell sa pamamahagi ng mga molekula sa mga bilis. Mga katangian ng bilis ng mga molekula.

Ang mga molekula ng gas ay random na gumagalaw at, bilang resulta ng mga banggaan, ang kanilang mga tulin ay nagbabago sa magnitude at direksyon Sa isang gas, may mga molekula na may parehong napakataas at napakababang bilis. Maaaring itaas ng isa ang tanong ng bilang ng mga molekula na ang mga bilis ay nasa hanay ng at para sa isang gas sa isang estado ng thermodynamic equilibrium sa kawalan ng mga panlabas na patlang ng puwersa. Sa kasong ito, ang ilang nakatigil na pamamahagi ng bilis ng mga molekula ay hindi nagbabago sa paglipas ng panahon, na sumusunod sa istatistikal na batas na theoretically na hinango ni Maxwell.

Kung mas malaki ang kabuuang bilang ng mga molekula N, mas malaki ang bilang ng mga molekula N ay magkakaroon ng mga tulin sa hanay mula sa at; mas malaki ang pagitan ng mga tulin, mas malaki ang bilang ng mga molekula na magkakaroon ng halaga ng mga tulin sa tinukoy na pagitan.

Ipinakilala namin ang koepisyent ng proporsyonalidad f( .

, 

kung saan ang f( ay tinatawag na distribution function, na nakasalalay sa bilis ng mga molekula at nagpapakilala sa pamamahagi ng mga molekula sa mga bilis.

Kung ang anyo ng pag-andar ay kilala, makikita ng isa ang bilang ng mga molekula na ang mga bilis ay nasa pagitan mula sa hanggang.

Gamit ang mga pamamaraan ng probability theory at ang mga batas ng istatistika, Maxwell noong 1860. theoretically nakakuha ng isang formula na tumutukoy sa bilang ng mga molekula na may mga bilis sa hanay mula hanggang.

, (2)

- Ipinapakita ng pamamahagi ng Maxwell kung anong proporsyon ng kabuuang bilang ng mga molekula ng isang partikular na gas ang may mga tulin sa hanay mula hanggang.

Mula sa mga equation na  at  ay sumusunod sa anyo ng function na 

- (3)

velocity distribution function ng ideal gas molecules.

Mula sa (3) makikita na ang tiyak na anyo ng pag-andar ay nakasalalay sa uri ng gas (sa masa ng molekula m 0 ) at temperatura.

Kadalasan, ang batas ng pamamahagi ng mga molekula sa pamamagitan ng mga bilis ay nakasulat sa anyo:

Ang graph ng function ay asymmetric (Fig. 1). Ang posisyon ng maximum ay nagpapakilala sa pinakamadalas na nagaganap na bilis, na tinatawag na pinaka-malamang. Mga bilis na sobra sa  sa, ay mas karaniwan kaysa sa mas mababang bilis.

ay ang bahagi ng kabuuang bilang ng mga molekula na may mga bilis sa pagitan na ito.

S kabuuan = 1.

Sa pagtaas ng temperatura, ang maximum ng pamamahagi ay lumilipat patungo sa mas mataas na bilis, at ang kurba ay nagiging patag, ngunit ang lugar sa ilalim ng kurba ay hindi nagbabago, dahil S kabuuan = 1 .

Ang pinaka-malamang na bilis ay ang malapit sa kung saan ang mga bilis ng karamihan sa mga molekula ng isang ibinigay na gas ay nagiging.

Para matukoy ito, nag-explore kami hanggang sa maximum.

4,

Dati pinapakita yan

, ,

 .

Sa MKT, ginagamit din ang konsepto ng arithmetic mean velocity ng translational motion ng mga molekula ng isang ideal na gas.

- ay katumbas ng ratio ng kabuuan ng moduli ng mga bilis ng lahat ng mga molekula sa

ang bilang ng mga molekula.

.

Makikita sa paghahambing (Larawan 2) na ang pinakamaliit ay  sa .

Pamamahagi ng Boltzmann.

Dalawang kadahilanan - ang thermal motion ng mga molekula at ang presensya ng gravitational field ng Earth ay nagdadala ng gas sa isang estado kung saan ang konsentrasyon at presyon nito ay bumababa sa taas.

Kung walang thermal motion ng mga molekula ng hangin sa atmospera, kung gayon ang lahat ng mga ito ay puro sa ibabaw ng Earth. Kung walang gravity, kung gayon ang mga particle ng atmospera ay makakalat sa buong uniberso. Hanapin natin ang batas ng pagbabago ng presyon sa taas.

Ang presyon ng haligi ng gas ay tinutukoy ng formula.

Dahil bumababa ang presyon sa pagtaas ng altitude,

saan  density ng gas sa altitude h.

Hanapin natin p mula sa Mendeleev-Clapeyron equation

o.

Isagawa natin ang pagkalkula para sa isang isothermal na kapaligiran, sa pag-aakalang iyon T=const(hindi nakadepende sa taas).

.

sa h=0 , , ,

, , ,

Tinutukoy ng barometric formula ang presyon ng gas sa anumang altitude.

Nakukuha namin ang isang expression para sa konsentrasyon ng mga molekula sa anumang taas.

nasaan ang potensyal na enerhiya ng molekula sa taas h.

Pamamahagi ng Boltzmann sa isang panlabas na potensyal na larangan.

Dahil dito, ang pamamahagi ng mga molekula sa taas ay ang kanilang pamamahagi sa enerhiya. Pinatunayan ni Boltzmann na ang distribusyon na ito ay wasto hindi lamang sa kaso ng potensyal na larangan ng terrestrial gravitational forces, kundi pati na rin sa anumang potensyal na larangan ng pwersa para sa isang koleksyon ng anumang magkaparehong particle sa isang estado ng magulong thermal motion.

Ito ay sumusunod mula sa pamamahagi ng Boltzmann na ang mga molekula ay matatagpuan na may mas mataas na konsentrasyon kung saan ang kanilang potensyal na enerhiya ay mas mababa.

Pamamahagi ng Boltzmann - pamamahagi ng mga particle sa isang potensyal na field ng puwersa.

Ang ibig sabihin ng libreng landas ng mga molekula.

Dahil sa magulong thermal motion ng mga molekula ng gas na patuloy na nagbabanggaan sa isa't isa, dumaan sa isang kumplikadong zigzag na landas. Sa pagitan ng 2 banggaan, ang mga molekula ay gumagalaw nang pantay sa isang tuwid na linya.

M Ang pinakamababang distansya kung saan ang mga sentro ng 2 molekula ay lumalapit sa isa't isa sa panahon ng isang banggaan ay tinatawag na epektibong diameter ng molekula. d(Larawan 4).

Ang dami ay tinatawag na epektibong cross section ng molekula.

Hanapin natin ang average na bilang ng mga banggaan ng isang homogenous na molekula ng gas bawat yunit ng oras. Ang isang banggaan ay magaganap kung ang mga sentro ng mga molekula ay lalapit sa layo na mas mababa sa o katumbas ng d. Ipinapalagay namin na ang molekula ay gumagalaw nang may bilis , at ang natitirang bahagi ng mga molekula ay nakapahinga. Pagkatapos ang bilang ng mga banggaan ay tinutukoy ng bilang ng mga molekula na ang mga sentro ay matatagpuan sa isang volume, na isang silindro na may base at taas na katumbas ng landas na nilakbay ng molekula sa 1s, i.e. .

AT Sa katotohanan, ang lahat ng mga molekula ay gumagalaw, at ang posibilidad ng isang banggaan ng 2 mga molekula ay tumutukoy sa kanilang kamag-anak na bilis. Maipapakita na kung ang pamamahagi ng Maxwell ay pinagtibay para sa mga bilis ng mga molekula, .

.

Para sa karamihan ng mga gas sa ilalim ng normal na mga kondisyon

.

Average na libreng landas ay ang average na distansya na nilakbay ng isang molekula sa pagitan ng dalawang magkasunod na banggaan. Ito ay katumbas ng ratio ng oras na lumipas  t daan sa bilang ng mga banggaan sa panahong ito.

Mga pamamahagi ng Maxwell at Boltzmann. Ilipat ang mga phenomena

Plano ng lecture:

1. Batas ni Maxwell sa pamamahagi ng mga molekula sa mga bilis. Mga katangian ng bilis ng mga molekula.

2. Pamamahagi ng Boltzmann.

3. Ang ibig sabihin ng libreng landas ng mga molekula.

4. Paglipat ng mga kababalaghan:

a) pagsasabog;

b) panloob na alitan (lagkit);

c) thermal conductivity.

1. Batas ni Maxwell sa pamamahagi ng mga molekula sa mga bilis. Mga katangian ng bilis ng mga molekula.

Ang mga molekula ng gas ay gumagalaw nang sapalaran at bilang resulta ng mga banggaan ay nagbabago ang kanilang bilis sa magnitude at direksyon; sa isang gas may mga molekula na may parehong napakataas at napakababang tulin. Maaaring itaas ng isa ang tanong ng bilang ng mga molekula na ang mga bilis ay nasa hanay ng at para sa isang gas sa isang estado ng thermodynamic equilibrium sa kawalan ng mga panlabas na patlang ng puwersa. Sa kasong ito, ang ilang nakatigil na pamamahagi ng bilis ng mga molekula ay hindi nagbabago sa paglipas ng panahon, na sumusunod sa istatistikal na batas na theoretically na hinango ni Maxwell.

Kung mas malaki ang kabuuang bilang ng mga molekula N, mas malaki ang bilang ng mga molekula DN ay magkakaroon ng mga tulin sa pagitan o at; kung mas malaki ang pagitan ng mga tulin, mas malaki ang bilang ng mga molekula na magkakaroon ng mga tulin sa ipinahiwatig na pagitan.

Ipinakilala namin ang koepisyent ng proporsyonalidad f(u).

, (1)

kung saan ang f(u) ay tinatawag na distribution function, na nakasalalay sa bilis ng mga molekula at nagpapakilala sa pamamahagi ng mga molekula sa mga bilis.

Kung ang anyo ng pag-andar ay kilala, makikita ng isa ang bilang ng mga molekula na ang mga bilis ay nasa pagitan mula sa hanggang.

Gamit ang mga pamamaraan ng probability theory at ang mga batas ng istatistika, Maxwell noong 1860. theoretically nakakuha ng isang formula na tumutukoy sa bilang ng mga molekula na may mga bilis sa hanay mula hanggang.

, (2)

- Ipinapakita ng pamamahagi ng Maxwell kung anong proporsyon ng kabuuang bilang ng mga molekula ng isang partikular na gas ang may mga tulin sa hanay mula hanggang.

Ang mga equation (1) at (2) ay nagpapahiwatig ng anyo ng function :

- (3)

velocity distribution function ng ideal gas molecules.

Mula sa (3) makikita na ang tiyak na anyo ng pag-andar ay nakasalalay sa uri ng gas (sa masa ng molekula m0) at temperatura.

Kadalasan, ang batas ng pamamahagi ng mga molekula ayon sa ang mga bilis ay nakasulat bilang:

Ang graph ng function ay asymmetric (Fig. 1). Ang posisyon ng maximum ay nagpapakilala sa pinakamadalas na nagaganap na bilis, na tinatawag na pinaka-malamang. Mga bilis na sobra sa pasok ka, ay mas karaniwan kaysa sa mas mababang bilis.

ay ang bahagi ng kabuuang bilang ng mga molekula na may mga bilis sa pagitan na ito.

S kabuuan = 1.

Sa pagtaas ng temperatura, ang maximum ng pamamahagi ay lumilipat patungo sa mas mataas na bilis, at ang kurba ay nagiging patag, ngunit ang lugar sa ilalim ng kurba ay hindi nagbabago, dahil S kabuuan = 1.

Ang pinaka-malamang na bilis ay ang malapit sa kung saan ang mga bilis ng karamihan sa mga molekula ng isang ibinigay na gas ay nagiging.

Para matukoy ito, nag-explore kami hanggang sa maximum.

4 ,

, .

Dati pinapakita yan

, ,

=> .

Sa MKT, ginagamit din ang konsepto ng arithmetic mean velocity ng translational motion ng mga molekula ng isang ideal na gas.

- ay katumbas ng ratio ng kabuuan ng moduli ng mga bilis ng lahat ng mga molekula sa

ang bilang ng mga molekula.

.

Makikita sa paghahambing (Larawan 2) na ang pinakamaliit ay pasok ka.

2. Pamamahagi ng Boltzmann.

Dalawang kadahilanan - ang thermal motion ng mga molekula at ang presensya ng gravitational field ng Earth ay nagdadala ng gas sa isang estado kung saan ang konsentrasyon at presyon nito ay bumababa sa taas.

Kung walang thermal motion ng mga molekula ng hangin sa atmospera, kung gayon ang lahat ng mga ito ay puro sa ibabaw ng Earth. Kung walang gravity, kung gayon ang mga particle ng atmospera ay makakalat sa buong uniberso. Hanapin natin ang batas ng pagbabago ng presyon sa taas.

Ang presyon ng haligi ng gas ay tinutukoy ng formula.

Dahil bumababa ang presyon sa pagtaas ng altitude,

saan r density ng gas sa altitude h.

Hanapin natin p mula sa Mendeleev-Clapeyron equation

o.

Isagawa natin ang pagkalkula para sa isang isothermal na kapaligiran, sa pag-aakalang iyon T=const(hindi nakadepende sa taas).

.

sa h=0 , , ,

, , ,

Tinutukoy ng barometric formula ang presyon ng gas sa anumang altitude.

Nakukuha namin ang isang expression para sa konsentrasyon ng mga molekula sa anumang taas.

nasaan ang potensyal na enerhiya ng molekula sa taas h.

Pamamahagi ng Boltzmann sa isang panlabas na potensyal na larangan.

Dahil dito, ang pamamahagi ng mga molekula sa taas ay ang kanilang pamamahagi sa enerhiya. Pinatunayan ni Boltzmann na ang distribusyon na ito ay wasto hindi lamang sa kaso ng potensyal na larangan ng terrestrial gravitational forces, kundi pati na rin sa anumang potensyal na larangan ng pwersa para sa isang koleksyon ng anumang magkaparehong particle sa isang estado ng magulong thermal motion.

Ito ay sumusunod mula sa pamamahagi ng Boltzmann na ang mga molekula ay matatagpuan na may mas mataas na konsentrasyon kung saan ang kanilang potensyal na enerhiya ay mas mababa.

Pamamahagi ng Boltzmann - pamamahagi ng mga particle sa isang potensyal na field ng puwersa.

3. Ang ibig sabihin ng libreng landas ng mga molekula.

Dahil sa magulong thermal motion ng mga molekula ng gas na patuloy na nagbabanggaan sa isa't isa, dumaan sa isang kumplikadong zigzag na landas. Sa pagitan ng 2 banggaan, ang mga molekula ay gumagalaw nang pantay sa isang tuwid na linya.

M Ang pinakamababang distansya kung saan ang mga sentro ng 2 molekula ay lumalapit sa isa't isa sa panahon ng isang banggaan ay tinatawag na epektibong diameter ng molekula. d(Larawan 4).

Ang dami ay tinatawag na epektibong cross section ng molekula.

Hanapin natin ang average na bilang ng mga banggaan ng isang homogenous na molekula ng gas bawat yunit ng oras. Ang isang banggaan ay magaganap kung ang mga sentro ng mga molekula ay lalapit sa layo na mas mababa sa o katumbas ng d. Ipinapalagay namin na ang molekula ay gumagalaw nang may bilis , at ang natitirang bahagi ng mga molekula ay nakapahinga. Pagkatapos ang bilang ng mga banggaan ay tinutukoy ng bilang ng mga molekula na ang mga sentro ay matatagpuan sa isang volume, na isang silindro na may base at taas na katumbas ng landas na nilakbay ng molekula sa 1s, i.e. .

Sa pamamaraang istatistika, upang matukoy ang pangunahing katangian (ang X ay ang hanay ng mga coordinate at momenta ng lahat ng mga particle ng system), ginagamit ang isa o ibang modelo ng istraktura ng katawan na isinasaalang-alang.

Ito ay lumiliko na posible na makahanap ng mga pangkalahatang katangian ng mga pangkalahatang istatistikal na pattern na hindi nakasalalay sa istraktura ng bagay at unibersal. Ang pagkakakilanlan ng naturang mga regularidad ay ang pangunahing gawain ng thermodynamic na pamamaraan para sa paglalarawan ng mga thermal na proseso. Ang lahat ng mga pangunahing konsepto at batas ng thermodynamics ay maaaring ibunyag sa batayan ng istatistikal na teorya.

Para sa isang nakahiwalay (sarado) na sistema o isang sistema sa isang pare-parehong panlabas na larangan, ang estado ay tinatawag na istatistikal na equilibrium kung ang distribution function ay hindi nakadepende sa oras.

Ang tiyak na anyo ng pag-andar ng pamamahagi ng system na isinasaalang-alang ay nakasalalay pareho sa kabuuan ng mga panlabas na parameter at sa likas na katangian ng pakikipag-ugnayan sa mga nakapalibot na katawan. Sa ilalim ng mga panlabas na parameter sa kasong ito ay mauunawaan natin ang mga dami na tinutukoy ng posisyon ng mga katawan na hindi kasama sa sistemang isinasaalang-alang. Ito ay, halimbawa, ang dami ng system V, ang intensity ng force field, atbp. Isaalang-alang natin ang dalawang pinakamahalagang kaso:

1) Ang sistemang isinasaalang-alang ay masiglang nakahiwalay. Ang kabuuang enerhiya ng mga particle E ay pare-pareho. Kung saan. Maaaring isama ang E sa a, ngunit ang pag-highlight dito ay binibigyang-diin ang espesyal na papel ng E. Ang kundisyon para sa paghihiwalay ng system para sa mga ibinigay na panlabas na parameter ay maaaring ipahayag ng pagkakapantay-pantay:

2) Hindi sarado ang sistema - posible ang pagpapalitan ng enerhiya. Sa kasong ito, hindi ito mahahanap, depende ito sa pangkalahatang mga coordinate at momenta ng mga particle ng mga nakapalibot na katawan. Posible ito kung ang enerhiya ng pakikipag-ugnayan ng system ay isinasaalang-alang sa mga nakapalibot na katawan.

Sa ilalim ng kondisyong ito, ang distribution function ng microstates ay depende sa average na intensity ng thermal motion ng mga nakapalibot na katawan, na kung saan ay nailalarawan sa pamamagitan ng temperatura T ng mga nakapalibot na katawan: .

Ang temperatura ay gumaganap din ng isang espesyal na papel. Wala itong (hindi katulad ng) analogue sa mechanics: (hindi nakasalalay sa T).

Sa isang estado ng statistical equilibrium ay hindi nakasalalay sa oras, at lahat ng mga panloob na parameter ay hindi nagbabago. Sa thermodynamics, ang estado na ito ay tinatawag na estado ng thermodynamic equilibrium. Ang mga konsepto ng istatistikal at thermodynamic equilibrium ay katumbas.

Pag-andar ng pamamahagi ng isang microscopic na nakahiwalay na sistema - Gibbs microcanonical distribution

Ang kaso ng isang energetically isolated system. Hanapin natin ang anyo ng distribution function para sa kasong ito.

Ang isang mahalagang papel sa paghahanap ng function ng pamamahagi ay nilalaro lamang ng mga integral ng paggalaw - enerhiya, - momentum ng system at - angular momentum. Sila lang ang kinokontrol.

Ang Hamiltonian ay gumaganap ng isang espesyal na papel sa mekanika, dahil ito ay ang Hamiltonian function na tumutukoy sa anyo ng particle motion equation. Ang konserbasyon ng kabuuang momentum at angular na momentum ng system sa kasong ito ay bunga ng mga equation ng paggalaw.

Samakatuwid, ito ay tiyak na mga solusyon ng Liouville equation na ibinubukod kapag ang pagtitiwala ay nagpapakita lamang ng sarili sa pamamagitan ng Hamiltonian:

Dahil, .

Sa lahat ng posibleng mga halaga ng X (ang hanay ng mga coordinate at momenta ng lahat ng mga particle ng system), ang mga katugma sa kondisyon ay pinili. Ang pare-parehong C ay matatagpuan mula sa kondisyon ng normalisasyon:

kung saan ang lugar ng hypersurface sa puwang ng phase, na nakikilala sa pamamagitan ng kondisyon ng patuloy na enerhiya.

Yung. ay ang microcanonical Gibbs distribution.

Sa quantum theory ng equilibrium state, mayroon ding microcanonical Gibbs distribution. Ipakilala natin ang notasyon: - isang kumpletong hanay ng mga quantum number na nagpapakilala sa microstate ng isang sistema ng mga particle, - ang kaukulang mga halaga ng enerhiya na tinatanggap. Matatagpuan ang mga ito sa pamamagitan ng paglutas ng nakatigil na equation para sa wave function ng system na isinasaalang-alang.

Ang distribution function ng microstates sa kasong ito ay ang posibilidad na ang system ay nasa isang tiyak na estado: .

Ang quantum microcanonical Gibbs distribution ay maaaring isulat bilang:

nasaan ang simbolo ng Kronecker, - mula sa normalisasyon: ay ang bilang ng mga microstate na may ibinigay na halaga ng enerhiya (pati na rin). Ito ay tinatawag na statistical weight.

Mula sa kahulugan, lahat ng mga estado na nakakatugon sa kondisyon ay may parehong posibilidad, pantay. Kaya, ang pamamahagi ng quantum microcanonical Gibbs ay batay sa prinsipyo ng pantay na mga probabilidad ng priori.

Ang distribution function ng microstates ng system sa thermostat ay ang canonical Gibbs distribution.

Isaalang-alang ngayon ang isang sistema na nakikipagpalitan ng enerhiya sa mga nakapalibot na katawan. Mula sa isang thermodynamic point of view, ang diskarte na ito ay tumutugma sa isang system na napapalibutan ng isang napakalaking termostat na may temperaturang T. Para sa isang malaking system (aming system + thermostat), maaaring gamitin ang microcanonical distribution, dahil ang ganitong sistema ay maaaring ituring na nakahiwalay. Ipagpalagay namin na ang system na isinasaalang-alang ay isang maliit ngunit macroscopic na bahagi ng isang mas malaking sistema na may temperatura T at ang bilang ng mga particle sa loob nito. Ibig sabihin, ang pagkakapantay-pantay (>>) ay nasisiyahan.

Ipapahiwatig namin ang mga variable ng aming system sa pamamagitan ng X, at ang mga variable ng thermostat sa pamamagitan ng X1.

Pagkatapos ay isusulat namin ang microcanonical distribution para sa buong system:

Magiging interesado kami sa posibilidad ng estado ng isang sistema ng mga N particle para sa anumang posibleng estado ng termostat. Ang posibilidad na ito ay mahahanap sa pamamagitan ng pagsasama ng equation na ito sa mga estado ng thermostat

Ang Hamilton function ng system at thermostat ay maaaring katawanin bilang

Papabayaan natin ang enerhiya ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng system at ng thermostat kung ihahambing sa parehong enerhiya ng system at enerhiya ng thermostat. Magagawa ito dahil ang enerhiya ng pakikipag-ugnayan para sa isang macrosystem ay proporsyonal sa ibabaw nito, habang ang enerhiya ng isang sistema ay proporsyonal sa dami nito. Gayunpaman, ang pagpapabaya sa enerhiya ng pakikipag-ugnayan kumpara sa enerhiya ng system ay hindi nangangahulugan na ito ay katumbas ng zero, kung hindi man ang pagbabalangkas ng problema ay nawawala ang kahulugan nito.

Kaya, ang pamamahagi ng probabilidad para sa sistemang isinasaalang-alang ay maaaring katawanin bilang

Bumaling tayo sa pagsasama sa enerhiya ng termostat

Samakatuwid, gamit ang -function na pag-aari

Sa kung ano ang mga sumusunod, ipapasa namin sa nililimitahan ang kaso kapag ang thermostat ay napakalaki. Isaalang-alang natin ang isang espesyal na kaso kapag ang thermostat ay isang perpektong gas na may mga N1 particle na may mass m bawat isa.

Hanapin natin ang halaga na kumakatawan sa halaga

kung saan ang volume ng phase space na nakapaloob sa loob ng hypersurface. Pagkatapos ay ang dami ng hyperspheric layer (ihambing sa expression para sa tatlong-dimensional na espasyo

Para sa isang perpektong gas, ang rehiyon ng pagsasama ay ibinibigay ng kundisyon

Bilang resulta ng pagsasama sa loob ng tinukoy na mga hangganan, nakuha namin ang volume ng isang 3N1-dimensional na bola na may radius na magiging katumbas ng. Kaya, mayroon kami

Saan tayo kukuha

Kaya, para sa pamamahagi ng posibilidad na mayroon kami

Ipasa natin ngayon ang limitasyon ng N1, gayunpaman, sa pag-aakalang ang ratio ay nananatiling pare-pareho (ang tinatawag na thermodynamic limit). Pagkatapos makuha namin

Isinasaalang-alang iyon

Pagkatapos ang function ng pamamahagi ng system sa termostat ay maaaring isulat bilang

kung saan matatagpuan ang C mula sa kondisyon ng normalisasyon:

Ang function ay tinatawag na classical statistical integral. Kaya, ang function ng pamamahagi ng system sa thermostat ay maaaring katawanin bilang:

Ito ang canonical Gibbs distribution (1901).

Sa pamamahagi na ito, tinutukoy ng T ang average na intensity ng thermal motion - ang ganap na temperatura ng mga particle ng kapaligiran.

Isa pang anyo ng pagsulat ng pamamahagi ng Gibbs

Kapag tinutukoy, ang mga mikroskopikong estado ay itinuturing na naiiba, naiiba lamang sa muling pagsasaayos ng mga indibidwal na mga particle. Nangangahulugan ito na nasusubaybayan natin ang bawat butil. Gayunpaman, ang pagpapalagay na ito ay humahantong sa isang kabalintunaan.

Ang expression para sa quantum canonical na pamamahagi ng Gibbs ay maaaring isulat sa pamamagitan ng pagkakatulad sa klasikal:

Istatistikong kabuuan: .

Ito ay isang walang sukat na analogue ng statistical integral. Kung gayon ang libreng enerhiya ay maaaring katawanin bilang:

Isaalang-alang natin ngayon ang isang sistema na matatagpuan sa isang termostat at may kakayahang makipagpalitan ng enerhiya at mga particle sa kapaligiran. Ang derivation ng Gibbs distribution function para sa kasong ito ay sa maraming paraan katulad ng derivation ng canonical distribution. Para sa quantum case, ang pamamahagi ay may anyo:

Ang pamamahagi na ito ay tinatawag na Gibbs grand canonical distribution. Narito ang m ay ang potensyal na kemikal ng system, na nagpapakilala sa pagbabago sa mga potensyal na thermodynamic kapag ang bilang ng mga particle sa system ay nagbabago ng isa.

Z - mula sa kondisyon ng normalisasyon:

Dito napupunta ang pagsusuma hindi lamang sa mga parisukat na numero, kundi pati na rin sa lahat ng posibleng halaga ng bilang ng mga particle.

Isa pang anyo ng pagsulat: ipinakilala namin ang isang function, ngunit tulad ng dati na nakuha mula sa thermodynamics, kung saan ay isang malaking thermodynamic potensyal. Bilang resulta, nakukuha namin

Narito ang average na halaga ng bilang ng mga particle.

Ang klasikal na pamamahagi ay magkatulad.

Mga pamamahagi ng Maxwell at Boltzmann

Ang canonical Gibbs distribution ay nagtatatag (para sa ibinigay) ang tahasang anyo ng distribution function para sa mga halaga ng lahat ng mga coordinate at momenta ng mga particle (6N-variables). Ngunit ang gayong pag-andar ay napakasalimuot. Kadalasan ang mga mas simpleng pag-andar ay sapat.

Maxwell distribution para sa perpektong monatomic gas. Maaari naming isaalang-alang ang bawat molekula ng gas bilang isang "sistema na isinasaalang-alang", na kabilang sa isang termostat. Samakatuwid, ang posibilidad ng anumang molekula na magkaroon ng mga impulses sa mga ibinigay na pagitan ay ibinibigay ng Gibbs canonical distribution: .

Ang pagpapalit ng momenta ng mga bilis at paggamit ng mga kondisyon ng normalisasyon, nakuha namin

Ang function ng pamamahagi ni Maxwell para sa mga bahagi ng bilis. Madali ring makuha ang distribution modulo.

Sa anumang sistema, ang enerhiya nito ay katumbas ng kabuuan ng mga energies ng mga indibidwal na particle, mayroong isang expression na katulad ng kay Maxwell. Ito ang pamamahagi ng Maxwell-Boltzmann. Muli, ipagpalagay natin na ang "sistema" ay anumang isang particle, habang ang iba ay gumaganap ng papel ng isang termostat. Pagkatapos ang posibilidad ng estado ng napiling particle na ito para sa anumang estado ng iba ay ibinibigay ng canonical distribution: , . Para sa iba pang dami ... isinama

Mga pamamahagi ng Maxwell at Boltzmann

Pamamahagi ng Maxwell (bilis ng pamamahagi ng mga molekula ng gas). Sa isang estado ng balanse, ang mga parameter ng gas (presyon, dami at temperatura) ay nananatiling hindi nagbabago, ngunit ang mga microstate - ang magkaparehong pag-aayos ng mga molekula, ang kanilang mga bilis - ay patuloy na nagbabago. Dahil sa malaking bilang ng mga molekula, halos imposible na matukoy ang mga halaga ng kanilang mga tulin sa anumang sandali, ngunit posible, na isinasaalang-alang ang bilis ng mga molekula bilang isang tuluy-tuloy na random na variable, upang ipahiwatig ang pamamahagi ng mga molekula sa mga tulin.

Ihiwalay natin ang isang molekula. Ang randomness ng paggalaw ay nagbibigay-daan, halimbawa, para sa projection ng bilis ikaw x ang mga molekula ay kumukuha ng isang normal na batas sa pamamahagi. Sa kasong ito, tulad ng ipinakita ni J.K. Maxwell, ang probability density ay nakasulat tulad ng sumusunod:

katulad para sa iba pang mga axes

Gamit ang (2.28), mula sa (2.31) makuha natin ang:

Tandaan na mula sa (2.32) makukuha ng isa ang Maxwellian probability distribution function ng mga absolute value ng velocity (Pamamahagi ng bilis ng Maxwell):

Ang average na bilis ng isang molekula (mathematical expectation) ay matatagpuan sa pangkalahatang tuntunin [tingnan. (2.20)]. Dahil ang average na halaga ng bilis ay tinutukoy, ang mga limitasyon sa pagsasama ay kinukuha mula 0 hanggang ¥ (inalis ang mga detalye ng matematika):

saan M = t 0 N Ang A ay ang molar mass ng gas, R = k N A - unibersal na pare-pareho ng gas, N A ang numero ni Avogadro.

Habang tumataas ang temperatura, ang maximum ng Maxwell curve ay lumilipat patungo sa mas mataas na bilis at ang pamamahagi ng mga molekula kasama u ay binago (Larawan 2.6; T 1< Т 2 ). Ang pamamahagi ng Maxwell ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang bilang ng mga molekula na ang mga bilis ay nasa isang tiyak na pagitan ng Du. Nakukuha namin ang kaukulang formula.

Dahil ang kabuuang bilang N Ang mga molekula sa isang gas ay kadalasang malaki, pagkatapos ay ang posibilidad d P maaaring ipahayag bilang ratio ng bilang d N mga molekula na ang mga tulin ay nakapaloob sa isang tiyak na pagitan du, sa kabuuang bilang N mga molekula:

o graphical na kalkulahin ang lugar ng isang curvilinear trapezoid mula sa ikaw 1 dati u 2 (Larawan 2.7).

Kung ang pagitan ng bilis du ay sapat na maliit, kung gayon ang bilang ng mga molekula na ang mga bilis ay tumutugma sa pagitan na ito ay maaaring kalkulahin nang humigit-kumulang gamit ang formula (2.38) o graphical bilang ang lugar ng isang parihaba na may base du.

Sa tanong kung gaano karaming mga molekula ang may bilis na katumbas ng anumang partikular na halaga, isang kakaiba, sa unang tingin, ang sagot ay sumusunod: kung ang bilis ay ganap na eksaktong ibinigay, kung gayon ang pagitan ng bilis ay zero (du= 0) at mula sa (2.38) nakakakuha tayo ng zero, ibig sabihin, walang isang molekula ang may bilis na eksaktong katumbas ng paunang natukoy. Ito ay tumutugma sa isa sa mga probisyon ng teorya ng posibilidad: para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, na kung saan ay ang bilis, imposibleng "hulaan" nang eksakto ang halaga nito, na may hindi bababa sa isang molekula sa gas.

Ang bilis ng pamamahagi ng mga molekula ay nakumpirma ng iba't ibang mga eksperimento.

Ang pamamahagi ng Maxwell ay maaaring isaalang-alang bilang pamamahagi ng mga molekula hindi lamang sa mga tuntunin ng bilis, kundi pati na rin sa mga tuntunin ng kinetic energies (dahil ang mga konseptong ito ay magkakaugnay).

Pamamahagi ng Boltzmann. Kung ang mga molekula ay nasa ilang panlabas na patlang ng puwersa, halimbawa, ang gravitational field ng Earth, posible na mahanap ang pamamahagi ng kanilang mga potensyal na enerhiya, ibig sabihin, upang maitaguyod ang konsentrasyon ng mga particle na may ilang tiyak na halaga ng potensyal na enerhiya.

Pamamahagi ng mga particle sa mga potensyal na enerhiya sa mga larangan ng puwersa- gravitational, electrical, atbp.- ay tinatawag na pamamahagi ng Boltzmann.

Tulad ng inilapat sa larangan ng gravitational, ang pamamahagi na ito ay maaaring isulat bilang isang pagdepende sa konsentrasyon P mga molekula mula sa taas h sa itaas ng antas ng lupa o mula sa potensyal na enerhiya ng molekula mgh:

Ang expression (2.40) ay may bisa para sa mga ideal na gas particle. Sa graphically, ang exponential dependence na ito ay ipinapakita sa fig. 2.8.

Ang ganitong pamamahagi ng mga molekula sa gravitational field ng Earth ay maaaring qualitatively, sa loob ng framework ng molecular-kinetic concepts, na ipinaliwanag ng katotohanan na ang mga molekula ay naiimpluwensyahan ng dalawang magkasalungat na mga kadahilanan: ang gravitational field, sa ilalim ng impluwensya kung saan ang lahat ng mga molekula ay naaakit sa ang Earth, at molecular-chaotic motion, na may posibilidad na magkalat ng mga molekula sa kabuuan.

Sa konklusyon, kapaki-pakinabang na tandaan ang ilang pagkakatulad sa pagitan ng mga exponential na termino sa mga pamamahagi ng Maxwell at Boltzmann:

Sa unang pamamahagi, sa exponent, ang ratio ng kinetic energy ng molecule sa kT, sa pangalawa - ang ratio ng potensyal na enerhiya sa kt.