Mga Seksyon: Math

Target: Matutong magsagawa ng mga operasyon ng multiplikasyon at paghahati ng mga algebraic fraction.

Form ng aralin: aralin sa pagkatuto ng bagong materyal.

Paraan ng Pagtuturo: may problema, na may independiyenteng paghahanap ng solusyon.

Kagamitan: Computer, projector, handout para sa aralin, talahanayan.

Sa panahon ng mga klase

Isinasagawa ang aralin gamit ang computer presentation. (Kalakip 1)

ako. Organisasyon ng aralin.

1. Paghahanda ng teknikal na bahagi.

2. Mga card para sa trabaho nang magkapares at malayang trabaho.

ako. Pag-update ng mga pangunahing kaalaman upang mapaghandaan ang pag-aaral ng isang bagong paksa.

pasalita:

(Ang mga sagot ay ipinapakita gamit ang isang computer.)

1. Multiply:

2. Bawasan ang fraction:

3. Multiply fractions:

Ano ang tawag sa mga numerong ito? (Mga katumbas na numero)

Hanapin ang reciprocal ng isang numero

Anong dalawang numero ang tinatawag na reciprocals? (Dalawang numero ay tinatawag na reciprocals kung ang kanilang produkto ay 1.)

Hanapin ang kapalit:

Hatiin ang mga fraction:

Binibigkas namin ang mga patakaran para sa pagpaparami at paghahati ng mga ordinaryong fraction. Ang isang poster na may mga patakaran ay naka-post sa pisara.

AKO. Bagong paksa

Sa pagtukoy sa poster, sinabi ng guro: a, b, c, d- sa kasong ito mga numero. At kung ito ay mga algebraic expression, ano ang tawag sa mga fraction? (Algebraic fractions)

Ang mga patakaran para sa kanilang pagpaparami at paghahati ay nananatiling pareho.

Magpatakbo ng mga aksyon:

Ang una at pangalawang halimbawa sa kanilang sarili, na sinusundan ng mga mag-aaral na nagsusulat ng solusyon sa pisara. Ipinakita ng guro ang solusyon ng ikatlong halimbawa sa pisara.

ΙV. Angkla

1) Gawin ang libro ng problema: No. 5.2 (b, c), No. 5.11 (a, b). Pahina 32

2) Magtrabaho nang magkapares sa mga card:

(Ang mga desisyon at sagot ay makikita sa pamamagitan ng projector.)

V. Buod ng aralin

Pansariling gawain.

Magsagawa ng multiplikasyon o paghahati:

Pagpipilian ko		Variant

Ibinibigay ng mga mag-aaral ang kanilang mga workbook.

VI. Takdang aralin

Hindi. 5.8; Hindi. 5.10; No. 5.13(a, b).

Halimbawa.

Hanapin ang produkto ng algebraic fractions at.

Solusyon.

Bago isagawa ang pagpaparami ng mga fraction, isinasali namin ang polynomial sa numerator ng unang fraction at ang denominator ng pangalawa. Ang katumbas na pinaikling mga formula ng multiplikasyon ay makakatulong sa atin dito: x 2 +2 x+1=(x+1) 2 at x 2 −1=(x−1) (x+1) . Sa ganitong paraan, .

Malinaw, ang resultang fraction ay maaaring mabawasan (tinalakay namin ang prosesong ito sa artikulo sa pagbabawas ng mga algebraic fraction).

Nananatili lamang na isulat ang resulta sa anyo ng isang algebraic fraction, kung saan kailangan mong i-multiply ang monomial ng polynomial sa denominator: .

Karaniwan, ang solusyon ay nakasulat nang walang paliwanag bilang isang pagkakasunud-sunod ng mga pagkakapantay-pantay:

Sagot:

.

Minsan sa mga algebraic fraction na kailangang i-multiply o hatiin, ang ilang pagbabago ay dapat gawin upang gawing mas madali at mas mabilis ang pagpapatupad ng mga operasyong ito.

Halimbawa.

Hatiin ang isang algebraic fraction sa isang fraction.

Solusyon.

Pasimplehin natin ang anyo ng isang algebraic fraction sa pamamagitan ng pag-alis ng fractional coefficient. Upang gawin ito, i-multiply namin ang numerator at denominator nito sa 7, na nagpapahintulot sa amin na gawin ang pangunahing pag-aari ng isang algebraic fraction, mayroon kaming .

Ngayon ay naging malinaw na ang denominator ng resultang fraction at ang denominator ng fraction kung saan kailangan nating hatiin ay magkasalungat na mga expression. Baguhin ang mga palatandaan ng numerator at denominator ng fraction , mayroon tayo .

Sa artikulong ito, ipinagpatuloy namin ang aming pag-aaral ng mga pangunahing operasyon na maaaring gawin gamit ang mga algebraic fraction. Dito ay isasaalang-alang natin ang pagpaparami at paghahati: una nating nakukuha ang mga kinakailangang patakaran, at pagkatapos ay ilarawan natin ang mga ito sa mga solusyon sa problema.

Paano hatiin at i-multiply nang tama ang mga algebraic fraction

Upang maisagawa ang multiplikasyon ng mga algebraic fraction, o upang hatiin ang isang fraction sa isa pa, kailangan nating gumamit ng parehong mga panuntunan tulad ng para sa mga ordinaryong fraction. Tingnan natin ang kanilang mga salita.

Kapag kailangan nating i-multiply ang isang ordinaryong fraction sa isa pa, ginagawa natin ang multiplikasyon ng mga numerator at denominator nang hiwalay, pagkatapos nito ay isusulat natin ang huling fraction, inilalagay ang mga kaukulang produkto sa kanilang mga lugar. Isang halimbawa ng naturang pagkalkula:

2 3 4 7 = 2 4 3 7 = 8 21

At kapag kailangan nating hatiin ang mga ordinaryong fraction, ginagawa natin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng katumbas ng divisor, halimbawa:

2 3: 7 11 = 2 3 11 7 = 22 7 = 1 1 21

Ang multiplikasyon at paghahati ng mga algebraic fraction ay sumusunod sa parehong mga prinsipyo. Bumuo tayo ng panuntunan:

Kahulugan 1

Upang magparami ng dalawa o higit pang algebraic fraction, kailangan mong i-multiply nang hiwalay ang mga numerator at denominator. Ang resulta ay isang fraction, na ang numerator ay magiging produkto ng mga numerator, at ang denominator ay magiging produkto ng mga denominator.

Sa literal na anyo, ang tuntunin ay maaaring isulat bilang a b · c d = a · c b · d. Narito ang a , b , c at d ay magiging ilang polynomial, at b at d hindi maaaring null.

Kahulugan 2

Upang hatiin ang isang algebraic fraction sa isa pa, kailangan mong i-multiply ang unang fraction sa reciprocal ng pangalawa.

Ang panuntunang ito ay maaari ding isulat bilang a b: c d = a b d c = a d b c . Mga titik a , b , c at d dito ay tumutukoy sa mga polynomial, kung saan ang a , b , c at d hindi maaaring null.

Isaalang-alang natin kung ano ang inverse algebraic fraction. Ito ay isang fraction na, kapag pinarami ng orihinal, ay nagbibigay ng isang yunit bilang resulta. Iyon ay, ang mga nasabing fraction ay magiging katulad ng magkabilang katumbas na mga numero. Kung hindi man, maaari nating sabihin na ang inverse algebraic fraction ay binubuo ng parehong mga halaga tulad ng orihinal, ngunit ang numerator at denominator ay baligtad. Kaya, kaugnay ng fraction a b + 1 a 3, ang fraction a 3 a b + 1 ay magiging kabaligtaran.

Paglutas ng mga problema sa multiplikasyon at paghahati ng mga algebraic fraction

Sa talatang ito, makikita natin kung paano ilapat nang tama ang mga panuntunan sa itaas sa pagsasanay. Magsimula tayo sa isang simple at mapaglarawang halimbawa.

Halimbawa 1

Kundisyon: multiply ang fraction 1 x + y sa 3 x y x 2 + 5, at pagkatapos ay hatiin ang isang fraction sa isa pa.

Solusyon

Gawin muna natin ang multiplication. Ayon sa panuntunan, kailangan mong hiwalay na i-multiply ang mga numerator at denominator:

1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 1 3 x y (x + y) (x 2 + 5)

Nakatanggap kami ng bagong polynomial, na dapat dalhin sa karaniwang anyo. Tinatapos namin ang mga kalkulasyon:

1 3 x y (x + y) (x 2 + 5) = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y

Ngayon tingnan natin kung paano wastong hatiin ang isang fraction sa isa pa. Ayon sa panuntunan, kailangan nating palitan ang pagkilos na ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng reciprocal x 2 + 5 3 x y:

1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = 1 x + y x 2 + 5 3 x y

Dinadala namin ang nagresultang bahagi sa karaniwang anyo:

1 x + y x 2 + 5 3 x y = 1 x 2 + 5 (x + y) 3 x y = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2

Sagot: 1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y ; 1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2 .

Kadalasan, sa proseso ng paghahati at pagpaparami ng mga ordinaryong fraction, ang mga resulta ay nakuha na maaaring mabawasan, halimbawa, 2 9 3 8 \u003d 6 72 \u003d 1 12. Kapag ginawa namin ang mga operasyong ito sa mga algebraic fraction, maaari din kaming makakuha ng mga reducible na resulta. Upang gawin ito, kapaki-pakinabang na unang i-decompose ang numerator at denominator ng orihinal na polynomial sa magkahiwalay na mga kadahilanan. Kung kinakailangan, muling basahin ang artikulo kung paano ito gagawin nang tama. Tingnan natin ang isang halimbawa ng isang problema kung saan kakailanganing gawin ang pagbabawas ng mga fraction.

Halimbawa 2

Kundisyon: i-multiply ang mga fraction x 2 + 2 x + 1 18 x 3 at 6 x x 2 - 1.

Solusyon

Bago kalkulahin ang produkto, nabubulok namin ang numerator ng unang paunang bahagi at ang denominator ng pangalawa sa magkahiwalay na mga salik. Upang gawin ito, kailangan namin ng mga formula para sa pinaikling multiplikasyon. Kinakalkula namin:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1

Mayroon kaming isang fraction na maaaring bawasan:

x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = x + 1 3 x 2 (x - 1)

Isinulat namin ang tungkol sa kung paano ito ginagawa sa isang artikulo sa pagbabawas ng mga algebraic fraction.

Ang pagpaparami ng monomial at polynomial sa denominator, makuha namin ang resulta na kailangan namin:

x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

Narito ang isang transcript ng buong solusyon nang walang paliwanag:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = = x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

Sagot: x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 3 x 3 - 3 x 2 .

Sa ilang mga kaso, ito ay maginhawa upang baguhin ang orihinal na mga fraction bago i-multiply o hatiin upang ang karagdagang mga kalkulasyon ay maging mas mabilis at mas madali.

Halimbawa 3

Kundisyon: hatiin ang 2 1 7 x - 1 sa 12 x 7 - x .

Solusyon: Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagpapasimple ng algebraic fraction 2 1 7 · x - 1 upang maalis ang fractional coefficient. Upang gawin ito, pinarami namin ang parehong bahagi ng fraction sa pito (posible ang pagkilos na ito dahil sa pangunahing katangian ng algebraic fraction). Bilang resulta, makukuha natin ang sumusunod:

2 1 7 x - 1 = 7 2 7 1 7 x - 1 = 14 x - 7

Nakita natin na ang denominator ng fraction 12 x 7 - x, kung saan kailangan nating hatiin ang unang fraction, at ang denominator ng resultang fraction ay mga expression na kabaligtaran sa bawat isa. Sa pamamagitan ng pagbabago ng mga palatandaan ng numerator at denominator 12 x 7 - x, nakakakuha tayo ng 12 x 7 - x \u003d - 12 x x - 7.

Matapos ang lahat ng mga pagbabago, maaari na tayong direktang pumunta sa dibisyon ng mga algebraic fraction:

2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = 14 x - 7: - 12 x x - 7 = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = = 14 - 12 x = 2 7 - 2 2 3 x = 7 - 6 x = - 7 6 x

Sagot: 2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = - 7 6 x .

Paano i-multiply o hatiin ang isang algebraic fraction sa isang polynomial

Upang maisagawa ang ganoong pagkilos, maaari naming gamitin ang parehong mga panuntunan na ibinigay namin sa itaas. Una kailangan mong kumatawan sa polynomial bilang isang algebraic fraction na may isang yunit sa denominator. Ang pagkilos na ito ay katulad ng pag-convert ng natural na numero sa isang ordinaryong fraction. Halimbawa, maaaring palitan ng isa ang polynomial x 2 + x − 4 sa x 2 + x − 4 1. Magiging magkapareho ang mga resultang expression.

Halimbawa 4

Kundisyon: hatiin ang algebraic fraction sa polynomial x + 4 5 x x y: x 2 - 16 .

Solusyon

x + 4 5 x y: x 2 - 16 = x + 4 5 x y: x 2 - 16 1 = x + 4 5 x y 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 x y 1 (x - 4) x + 4 = (x + 4) 1 5 x y (x - 4) (x + 4) = 1 5 x y x - 4 = = 1 5 x 2 y - 20 x y

Sagot: x + 4 5 x y: x 2 - 16 = 1 5 x 2 y - 20 x y .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Video lesson “Pagpaparami at paghahati ng mga algebraic fraction. Ang pagpapataas ng isang algebraic fraction sa isang kapangyarihan ”ay isang pantulong na tool para sa pagtuturo ng isang aralin sa matematika sa paksang ito. Sa tulong ng isang video lesson, mas madaling mabuo ng guro ang kakayahan ng mga mag-aaral na magsagawa ng multiplication at division ng algebraic fractions. Ang visual aid ay naglalaman ng isang detalyado, naiintindihan na paglalarawan ng mga halimbawa kung saan ang mga operasyon ng multiplikasyon at paghahati ay ginaganap. Ang materyal ay maaaring ipakita sa panahon ng pagpapaliwanag ng guro o maging isang hiwalay na bahagi ng aralin.

Upang mabuo ang kakayahang malutas ang mga gawain para sa pagpaparami at paghahati ng mga algebraic fraction, ang mahahalagang komento ay ibinibigay sa panahon ng paglalarawan ng solusyon, ang mga sandali na nangangailangan ng pagsasaulo at malalim na pag-unawa ay na-highlight gamit ang kulay, bold type, at mga pointer. Sa tulong ng isang aralin sa video, madaragdagan ng guro ang pagiging epektibo ng aralin. Ang visual aid na ito ay makakatulong sa iyo nang mabilis at epektibong makamit ang iyong mga layunin sa pag-aaral.

Ang video tutorial ay nagsisimula sa pamamagitan ng pagpapakilala ng paksa. Pagkatapos nito, ipinapahiwatig na ang mga pagpapatakbo ng multiplikasyon at paghahati na may mga algebraic na praksiyon ay ginaganap nang katulad ng mga pagpapatakbo na may mga ordinaryong praksiyon. Ipinapakita ng screen ang mga panuntunan para sa multiplikasyon, paghahati at pagpaparami ng mga fraction. Ang pagpaparami ng mga fraction ay ipinapakita gamit ang literal na mga parameter. Napansin na kapag nagpaparami ng mga fraction, ang mga numerator, pati na rin ang mga denominador, ay pinarami. Ito ay kung paano nakuha ang resultang fraction a/b c/d=ac/bd. Ang paghahati ng mga fraction ay ipinapakita gamit ang expression na a/b:c/d bilang isang halimbawa. Ipinapahiwatig na upang maisagawa ang operasyon ng paghahati, kinakailangang isulat ang produkto ng numerator ng dibidendo at ang denominator ng divisor sa numerator. Ang denominator ng quotient ay ang produkto ng denominator ng dibidendo at ang numerator ng divisor. Kaya, ang operasyon ng dibisyon ay nagiging operasyon ng pagpaparami ng bahagi ng dibidendo at ang kapalit na bahagi ng divisor. Ang pagtaas sa kapangyarihan ng isang fraction ay katumbas ng isang fraction kung saan ang numerator at denominator ay itinaas sa itinalagang kapangyarihan.

Ang sumusunod ay isang halimbawang solusyon. Sa halimbawa 1, kailangan mong isagawa ang mga aksyon (5x-5y) / (x-y) (x 2 -y 2) / 10x. Upang malutas ang halimbawang ito, ang numerator ng pangalawang bahagi na kasama sa produkto ay nabubulok sa mga salik. Gamit ang mga formula ng pinaikling multiplikasyon, ang isang pagbabagong-anyo ay ginawa x 2 -y 2 \u003d (x + y) (x-y). Pagkatapos ang mga numerator ng mga fraction at ang mga denominator ay pinarami. Matapos isagawa ang mga operasyon, malinaw na may mga salik sa numerator at denominator na maaaring bawasan gamit ang pangunahing katangian ng fraction. Bilang resulta ng mga pagbabago, isang fraction (x + y) 2 / 2x ang nakuha. Isinasaalang-alang din nito ang pagpapatupad ng mga aksyon 7a 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5 . Ang lahat ng mga numerator at denominator ay isinasaalang-alang para sa posibilidad ng factorization, paglalaan ng mga karaniwang kadahilanan. Pagkatapos ang mga numerator at denominator ay pinarami. Pagkatapos ng multiplikasyon, ang mga pagbawas ay ginawa. Ang resulta ng pagbabago ay ang fraction 2(a-b)/7a.

Isinasaalang-alang ang isang halimbawa kung saan kinakailangang gawin ang mga aksyon (x 3 -1) / 8y: (x 2 + x + 1) / 16y 2. Upang malutas ang expression, iminungkahi na i-convert ang numerator ng unang bahagi gamit ang pinaikling formula ng multiplikasyon x 3 -1 \u003d (x-1) (x 2 + x + 1). Ayon sa panuntunan ng paghahati ng mga fraction, ang unang fraction ay pinarami ng katumbas ng pangalawa. Matapos i-multiply ang mga numerator at denominator, isang fraction ang nakuha na naglalaman ng parehong mga kadahilanan sa numerator at denominator. Sila ay lumiliit. Ang resulta ay isang fraction (x-1) 2y. Ang solusyon ng halimbawa (a 4 -b 4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2) ay inilalarawan din dito. Katulad ng naunang halimbawa, ang pinaikling pormula ng pagpaparami ay ginagamit upang i-convert ang numerator. Ang denominator ng fraction ay na-convert din. Pagkatapos ang unang fraction ay pinarami sa kapalit ng pangalawang fraction. Pagkatapos ng multiplikasyon, ang mga pagbabagong-anyo ay ginaganap, ang mga pagbabawas ng numerator at denominator sa pamamagitan ng mga karaniwang salik. Ang resulta ay isang fraction - (a + b) (a 2 + b 2) / (b-3). Ang atensyon ng mga mag-aaral ay naaakit sa kung paano nagbabago ang mga palatandaan ng numerator at denominator sa panahon ng multiplikasyon.

Sa ikatlong halimbawa, kailangan mong magsagawa ng mga operasyon na may mga fraction ((x+2)/(3x 2 -6x)) 3:((x 2 +4x+4)/(x 2 -4x+4)) 2 . Sa paglutas ng halimbawang ito, inilalapat ang panuntunan ng pagtaas ng isang fraction sa isang kapangyarihan. Parehong ang una at pangalawang fraction ay itinaas sa isang kapangyarihan. Ang mga ito ay na-convert sa pamamagitan ng pagtaas ng numerator at denominator sa isang kapangyarihan. Bilang karagdagan, upang i-convert ang mga denominator ng mga fraction, ginagamit ang pinaikling formula ng multiplikasyon, na nagbibigay-diin sa karaniwang kadahilanan. Upang hatiin ang unang bahagi sa pangalawa, kailangan mong i-multiply ang unang bahagi ng katumbas ng pangalawa. Ang numerator at denominator ay bumubuo ng mga expression na maaaring bawasan. Pagkatapos ng conversion, isang fraction (x-2) / 27x 3 (x + 2) ang nakuha.

Video lesson “Pagpaparami at paghahati ng mga algebraic fraction. Ang pagpapataas ng isang algebraic fraction sa isang kapangyarihan ”ay ginagamit upang mapataas ang bisa ng isang tradisyonal na aralin sa matematika. Ang materyal ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa isang guro na nagbibigay ng distance learning. Ang isang detalyadong malinaw na paglalarawan ng solusyon ng mga halimbawa ay makakatulong sa mga mag-aaral na nakapag-iisa na makabisado ang paksa o nangangailangan ng karagdagang mga klase.

Sa araling ito, isasaalang-alang natin ang mga panuntunan para sa pagpaparami at paghahati ng mga algebraic fraction, pati na rin ang mga halimbawa para sa paglalapat ng mga panuntunang ito. Ang pagpaparami at paghahati ng mga algebraic na praksiyon ay hindi naiiba sa pagpaparami at paghahati ng mga ordinaryong praksiyon. Gayunpaman, ang pagkakaroon ng mga variable ay humahantong sa medyo mas kumplikadong mga paraan ng pagpapasimple ng mga resultang expression. Sa kabila ng katotohanan na ang pagpaparami at paghahati ng mga fraction ay mas madali kaysa sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga ito, ang pag-aaral ng paksang ito ay dapat na lapitan nang napaka responsable, dahil maraming mga "pitfalls" dito na kadalasang hindi binibigyang pansin. Bilang bahagi ng aralin, hindi lamang natin pag-aaralan ang mga patakaran para sa pagpaparami at paghahati ng mga fraction, ngunit pag-aralan din natin ang mga nuances na maaaring lumitaw kapag inilalapat ang mga ito.

Paksa:Algebraic fractions. Mga operasyong aritmetika sa mga algebraic fraction

Aralin:Pagpaparami at paghahati ng mga algebraic fraction

Ang mga patakaran para sa multiplikasyon at paghahati ng mga algebraic fraction ay ganap na katulad ng mga patakaran para sa multiplikasyon at paghahati ng mga ordinaryong fraction. Alalahanin sila:

Iyon ay, upang i-multiply ang mga fraction, kinakailangan na i-multiply ang kanilang mga numerator (ito ang magiging numerator ng produkto), at i-multiply ang kanilang mga denominator (ito ang magiging denominator ng produkto).

Ang paghahati sa isang fraction ay multiplikasyon sa isang baligtad na fraction, iyon ay, upang hatiin ang dalawang fraction, kinakailangan na i-multiply ang una sa kanila (ang dibidendo) ng baligtad na pangalawa (ang divisor).

Sa kabila ng pagiging simple ng mga patakarang ito, maraming tao ang nagkakamali sa ilang mga espesyal na kaso kapag nilulutas ang mga halimbawa sa paksang ito. Tingnan natin ang mga espesyal na kaso na ito:

Sa lahat ng panuntunang ito, ginamit namin ang sumusunod na katotohanan: .

Lutasin natin ang ilang halimbawa ng multiplikasyon at paghahati ng mga ordinaryong fraction upang matandaan kung paano gamitin ang mga ipinahiwatig na panuntunan.

Halimbawa 1

Tandaan: kapag binabawasan ang mga fraction, ginamit namin ang decomposition ng isang numero sa prime factor. Tandaan mo yan mga pangunahing numero ay mga natural na numero na nahahati lamang sa pamamagitan ng at sa pamamagitan ng kanyang sarili. Ang natitirang mga numero ay tinatawag bumubuo . Ang numero ay hindi prime o composite. Mga halimbawa ng prime number: .

Halimbawa 2

Isaalang-alang natin ngayon ang isa sa mga espesyal na kaso na may mga ordinaryong fraction.

Halimbawa 3

Tulad ng nakikita mo, ang pagpaparami at paghahati ng mga ordinaryong fraction, kung ang mga patakaran ay inilapat nang tama, ay hindi mahirap.

Isaalang-alang ang multiplication at division ng algebraic fractions.

Halimbawa 4

Halimbawa 5

Tandaan na posible at kahit na kinakailangan upang bawasan ang mga praksiyon pagkatapos ng multiplikasyon ayon sa parehong mga patakaran na dati nating isinasaalang-alang sa mga aralin sa pagbabawas ng mga algebraic na praksiyon. Isaalang-alang natin ang ilang simpleng halimbawa para sa mga espesyal na kaso.

Halimbawa 6

Halimbawa 7

Isaalang-alang natin ngayon ang ilang mas kumplikadong mga halimbawa ng multiplikasyon at paghahati ng mga fraction.

Halimbawa 8

Halimbawa 9

Halimbawa 10

Halimbawa 11

Halimbawa 12

Halimbawa 13

Sa ngayon, isinasaalang-alang namin ang mga fraction kung saan ang numerator at denominator ay monomial. Gayunpaman, sa ilang mga kaso kinakailangan na i-multiply o hatiin ang mga fraction na ang mga numerator at denominator ay mga polynomial. Sa kasong ito, ang mga patakaran ay nananatiling pareho, at para sa pagbabawas kinakailangan na gamitin ang mga formula ng pinaikling multiplikasyon at panaklong.

Halimbawa 14

Halimbawa 15

Halimbawa 16

Halimbawa 17

Halimbawa 18