Antiderivative function at hindi tiyak na integral

Katotohanan 1. Ang pagsasama ay ang kabaligtaran ng pagkita ng kaibhan, ibig sabihin, ang pagpapanumbalik ng isang function mula sa kilalang derivative ng function na ito. Na-restore ang function sa ganitong paraan F(x) ay tinatawag na primitive para sa function f(x).

Kahulugan 1. Function F(x f(x) sa ilang pagitan X, kung para sa lahat ng mga halaga x mula sa pagitan na ito ang pagkakapantay-pantay F "(x)=f(x), iyon ay, ang function na ito f(x) ay ang derivative ng antiderivative function F(x). .

Halimbawa, ang function F(x) = kasalanan x ay ang antiderivative para sa function f(x) = cos x sa buong linya ng numero, dahil para sa anumang halaga ng x (kasalanan x)" = (cos x) .

Kahulugan 2. Indefinite integral ng isang function f(x) ay ang koleksyon ng lahat ng antiderivatives nito. Ito ay gumagamit ng notasyon

∫

f(x)dx

,

nasaan ang tanda ∫ ay tinatawag na integral sign, ang function f(x) ay isang integrand, at f(x)dx ay ang integrand.

Kaya, kung F(x) ay ilang antiderivative para sa f(x), pagkatapos

∫

f(x)dx = F(x) +C

saan C - di-makatwirang pare-pareho (pare-pareho).

Upang maunawaan ang kahulugan ng hanay ng mga antiderivatives ng isang function bilang isang hindi tiyak na integral, angkop ang sumusunod na pagkakatulad. Hayaang magkaroon ng isang pinto (isang tradisyonal na kahoy na pinto). Ang tungkulin nito ay "maging isang pinto". Ano ang gawa sa pinto? Mula sa isang puno. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga antiderivatives ng integrand "na maging isang pinto", iyon ay, ang hindi tiyak na integral, ay ang function na "na maging isang puno + C", kung saan ang C ay isang pare-pareho, na sa kontekstong ito ay maaaring magpahiwatig, para sa halimbawa, isang species ng puno. Kung paanong ang isang pinto ay gawa sa kahoy na may ilang kasangkapan, ang derivative ng isang function ay "ginawa" ng antiderivative function na may formula na natutunan natin sa pamamagitan ng pag-aaral ng derivative .

Pagkatapos ang talahanayan ng mga pag-andar ng mga karaniwang bagay at ang kanilang kaukulang primitives ("maging isang pinto" - "maging isang puno", "maging isang kutsara" - "maging isang metal", atbp.) ay katulad ng talahanayan ng mga pangunahing di-tiyak na integral, na ibibigay sa ibaba. Ang talahanayan ng mga indefinite integral ay naglilista ng mga karaniwang function, na nagpapahiwatig ng mga antiderivatives kung saan "ginawa" ang mga function na ito. Bilang bahagi ng mga gawain para sa paghahanap ng hindi tiyak na integral, ang mga naturang integrand ay ibinibigay na maaaring direktang isama nang walang mga espesyal na pagsisikap, iyon ay, ayon sa talahanayan ng mga hindi tiyak na integral. Sa mas kumplikadong mga problema, kailangan munang baguhin ang integrand upang magamit ang mga integral na tabular.

Katotohanan 2. Ang pagpapanumbalik ng isang function bilang isang antiderivative, dapat nating isaalang-alang ang isang arbitrary na pare-pareho (constant) C, at upang hindi magsulat ng isang listahan ng mga antiderivative na may iba't ibang mga constant mula 1 hanggang infinity, kailangan mong isulat ang isang hanay ng mga antiderivative na may arbitrary na pare-pareho C, ganito: 5 x³+C. Kaya, ang isang arbitrary na pare-pareho (constant) ay kasama sa pagpapahayag ng antiderivative, dahil ang antiderivative ay maaaring maging isang function, halimbawa, 5 x³+4 o 5 x³+3 at kapag naglalaho ang pagkakaiba ng 4 o 3 o anumang iba pang pare-pareho.

Itinakda namin ang problema sa pagsasama: para sa isang naibigay na function f(x) hanapin ang gayong function F(x), kaninong hinango ay katumbas ng f(x).

Halimbawa 1 Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng isang function

Solusyon. Para sa function na ito, ang antiderivative ay ang function

Function F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa function f(x) kung ang hinalaw F(x) ay katumbas ng f(x), o, na ang parehong bagay, ang pagkakaiba F(x) ay katumbas ng f(x) dx, ibig sabihin.

(2)

Samakatuwid, ang function ay antiderivative para sa function . Gayunpaman, hindi lamang ito ang antiderivative para sa . Mga function din sila

saan MULA SA ay isang arbitrary na pare-pareho. Maaari itong ma-verify sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan.

Kaya, kung mayroong isang antiderivative para sa isang function, kung gayon para dito mayroong isang walang katapusang hanay ng mga antiderivative na naiiba sa pamamagitan ng isang pare-parehong summand. Ang lahat ng antiderivatives para sa isang function ay nakasulat sa form sa itaas. Ito ay sumusunod mula sa sumusunod na teorama.

Theorem (pormal na pahayag ng katotohanan 2). Kung ang F(x) ay ang antiderivative para sa function f(x) sa ilang pagitan X, pagkatapos ay anumang iba pang antiderivative para sa f(x) sa parehong pagitan ay maaaring kinakatawan bilang F(x) + C, saan MULA SA ay isang arbitrary na pare-pareho.

Sa sumusunod na halimbawa, bumaling na tayo sa talahanayan ng mga integral, na ibibigay sa talata 3, pagkatapos ng mga katangian ng hindi tiyak na integral. Ginagawa namin ito bago maging pamilyar sa buong talahanayan, upang ang kakanyahan ng nasa itaas ay malinaw. At pagkatapos ng talahanayan at mga pag-aari, gagamitin namin ang mga ito nang buo kapag nagsasama.

Halimbawa 2 Maghanap ng mga hanay ng mga antiderivatives:

Solusyon. Nakahanap kami ng mga hanay ng mga antiderivative na function kung saan "ginawa" ang mga function na ito. Kapag binanggit ang mga pormula mula sa talahanayan ng mga integral, sa ngayon, tanggapin lamang na may mga ganoong pormula, at pag-aaralan natin nang kaunti pa ang talahanayan ng mga hindi tiyak na integral.

1) Paglalapat ng formula (7) mula sa talahanayan ng mga integral para sa n= 3, nakukuha namin

2) Gamit ang formula (10) mula sa talahanayan ng mga integral para sa n= 1/3, mayroon kami

3) Mula noon

pagkatapos ay ayon sa formula (7) sa n= -1/4 mahanap

Sa ilalim ng integral sign, hindi nila isinusulat ang function mismo f, at ang produkto nito sa pamamagitan ng differential dx. Ginagawa ito lalo na upang ipahiwatig kung aling variable ang hinahanap ng antiderivative. Halimbawa,

, ;

dito sa parehong mga kaso ang integrand ay katumbas ng , ngunit ang mga hindi tiyak na integral nito sa mga isinasaalang-alang na mga kaso ay naging iba. Sa unang kaso, ang function na ito ay itinuturing bilang isang function ng isang variable x, at sa pangalawa - bilang isang function ng z .

Ang proseso ng paghahanap ng hindi tiyak na integral ng isang function ay tinatawag na pagsasama ng function na iyon.

Ang geometriko na kahulugan ng hindi tiyak na integral

Hayaang kailanganin upang makahanap ng isang kurba y=F(x) at alam na natin na ang padaplis ng slope ng tangent sa bawat punto nito ay isang ibinigay na function f(x) abscissa ng puntong ito.

Ayon sa geometric na kahulugan ng derivative, ang tangent ng slope ng tangent sa isang naibigay na punto sa curve y=F(x) katumbas ng halaga ng derivative F"(x). Kaya, kailangan nating hanapin ang gayong function F(x), para sa F"(x)=f(x). Kinakailangang function sa gawain F(x) ay nagmula sa f(x). Ang kondisyon ng problema ay nasiyahan hindi sa pamamagitan ng isang kurba, ngunit sa pamamagitan ng isang pamilya ng mga kurba. y=F(x)- isa sa mga kurba na ito, at anumang iba pang kurba ay maaaring makuha mula dito sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin sa kahabaan ng axis Oy.

Tawagan natin ang graph ng antiderivative function ng f(x) integral curve. Kung ang F"(x)=f(x), pagkatapos ay ang graph ng function y=F(x) ay isang integral curve.

Katotohanan 3. Ang hindi tiyak na integral ay geometriko na kinakatawan ng pamilya ng lahat ng integral na kurba tulad ng nasa larawan sa ibaba. Ang distansya ng bawat kurba mula sa pinanggalingan ay tinutukoy ng isang arbitraryong pare-pareho (constant) ng pagsasama C.

Mga katangian ng hindi tiyak na integral

Fact 4. Theorem 1. Ang derivative ng isang indefinite integral ay katumbas ng integrand, at ang differential nito ay katumbas ng integrand.

Fact 5. Theorem 2. Ang hindi tiyak na integral ng differential ng isang function f(x) ay katumbas ng function f(x) hanggang sa isang pare-parehong termino , ibig sabihin.

(3)

Ang theorems 1 at 2 ay nagpapakita na ang pagkita ng kaibhan at pagsasama ay magkabaligtaran na mga operasyon.

Fact 6. Theorem 3. Ang constant factor sa integrand ay maaaring alisin sa sign ng indefinite integral , ibig sabihin.

Sa differential calculus, nalutas ang problema: sa ilalim ng ibinigay na function ƒ(x) hanapin ang derivative nito(o kaugalian). Ang integral calculus ay malulutas ang kabaligtaran na problema: upang mahanap ang function na F (x), alam ang derivative nito F "(x) \u003d ƒ (x) (o differential). Ang nais na function na F (x) ay tinatawag na antiderivative ng function ƒ (x).

Ang function na F(x) ay tinatawag primitive function na ƒ(x) sa pagitan (a; b), kung para sa alinmang x є (a; b) ang pagkakapantay-pantay

F " (x)=ƒ(x) (o dF(x)=ƒ(x)dx).

Halimbawa, ang antiderivative function na y \u003d x 2, x є R, ay isang function, dahil

Malinaw, ang mga antiderivative ay magiging anumang mga function

kung saan ang C ay isang pare-pareho, dahil

Theorem 29. 1. Kung ang function na F(x) ay ang antiderivative ng function na ƒ(x) sa (a;b), kung gayon ang set ng lahat ng antiderivatives para sa ƒ(x) ay ibinibigay ng formula na F(x)+ C, kung saan ang C ay isang pare-parehong numero.

▲ Ang function na F(x)+C ay ang antiderivative ng ƒ(x).

Sa katunayan, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

Hayaan ang F(x) na iba, iba sa F(x), antiderivative ng function na ƒ(x), ibig sabihin, Ф "(x)=ƒ(x). Pagkatapos ay para sa anumang x є (a; b) mayroon tayo

At nangangahulugan ito (tingnan ang Corollary 25.1) na

kung saan ang C ay isang pare-parehong numero. Samakatuwid, Ф(х)=F(x)+С.▼

Ang set ng lahat ng primitive function na F(x)+C para sa ƒ(x) ay tinatawag hindi tiyak na integral ng function ƒ(x) at ipinapahiwatig ng simbolong ∫ ƒ(x) dx.

Kaya ayon sa kahulugan

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Dito ay tinatawag na ƒ(x). integrand, ƒ(x)dx — integrand, X - variable ng pagsasama, ∫ -hindi tiyak na integral sign.

Ang operasyon ng paghahanap ng hindi tiyak na integral ng isang function ay tinatawag na integration ng function na ito.

Ang geometrically indefinite integral ay isang pamilya ng "parallel" curves y \u003d F (x) + C (bawat numerical value ng C ay tumutugma sa isang tiyak na curve ng pamilya) (tingnan ang Fig. 166). Tinatawag ang graph ng bawat antiderivative (curve). integral curve.

Ang bawat function ba ay may hindi tiyak na integral?

Mayroong isang teorama na nagsasaad na "bawat function na tuloy-tuloy sa (a; b) ay may isang antiderivative sa pagitan na ito", at, dahil dito, isang hindi tiyak na integral.

Napansin namin ang ilang mga katangian ng hindi tiyak na integral na sumusunod mula sa kahulugan nito.

1. Ang differential ng di-tiyak na integral ay katumbas ng integrand, at ang derivative ng di-tiyak na integral ay katumbas ng integrand:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).

Sa katunayan, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Salamat sa pag-aari na ito, ang kawastuhan ng pagsasama ay na-verify sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan. Halimbawa, pagkakapantay-pantay

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

totoo, dahil (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. Ang hindi tiyak na integral ng differential ng ilang function ay katumbas ng kabuuan ng function na ito at isang arbitrary na pare-pareho:

∫dF(x)=F(x)+C.

Talaga,

3. Ang pare-parehong salik ay maaaring alisin sa integral sign:

Ang α ≠ 0 ay isang pare-pareho.

Talaga,

(ilagay ang C 1 / a \u003d C.)

4. Ang indefinite integral ng algebraic sum ng isang finite number of continuous functions ay katumbas ng algebraic sum ng integrals ng terms ng mga function:

Hayaan ang F"(x)=ƒ(x) at G"(x)=g(x). Pagkatapos

kung saan C 1 ±C 2 \u003d C.

5. (Invariance ng integration formula).

Kung ang , kung saan ang u=φ(x) ay isang arbitrary na function na may tuluy-tuloy na derivative.

▲ Hayaang ang x ay isang independent variable, ƒ(x) isang tuluy-tuloy na function at F(x) ang antiderivative nito. Pagkatapos

Itakda natin ngayon ang u=φ(x), kung saan ang φ(x) ay isang function na patuloy na naiba-iba. Isaalang-alang ang isang kumplikadong function F(u)=F(φ(x)). Dahil sa pagkakaiba-iba ng anyo ng unang kaugalian ng function (tingnan ang p. 160), mayroon tayong

Mula dito▼

Kaya, ang formula para sa indefinite integral ay nananatiling wasto kahit na ang integration variable ay isang independent variable o anumang function nito na may tuluy-tuloy na derivative.

Kaya, mula sa formula sa pamamagitan ng pagpapalit ng x ng u (u=φ(x)) nakukuha natin

Sa partikular,

Halimbawa 29.1. Hanapin ang integral

kung saan ang C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

Halimbawa 29.2. Maghanap ng integral na Solusyon:

• 29.3. Talaan ng mga pangunahing di-tiyak na integral

Sinasamantala ang katotohanan na ang pagsasama ay ang kabaligtaran ng pagkita ng kaibhan, ang isa ay maaaring makakuha ng isang talahanayan ng mga pangunahing integral sa pamamagitan ng pagbaligtad ng kaukulang mga pormula ng differential calculus (talahanayan ng mga pagkakaiba) at paggamit ng mga katangian ng hindi tiyak na integral.

Halimbawa, dahil

d(sin u)=cos u . du,

Ang derivation ng isang bilang ng mga formula ng talahanayan ay ibibigay kapag isinasaalang-alang ang mga pangunahing paraan ng pagsasama.

Ang mga integral sa talahanayan sa ibaba ay tinatawag na mga integral na tabular. Dapat silang kilala sa puso. Sa integral calculus walang simple at unibersal na mga panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivatives mula sa elementarya na mga function, tulad ng sa differential calculus. Ang mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga antiderivatives (i.e., pagsasama ng isang function) ay binabawasan sa mga pamamaraang nagpapahiwatig na nagdadala ng isang ibinigay (nanais) integral sa isang tabular. Samakatuwid, kinakailangang malaman ang mga integral na tabular at makilala ang mga ito.

Tandaan na sa talahanayan ng mga pangunahing integral, ang variable ng integration at maaaring tukuyin ang parehong independiyenteng variable at isang function ng isang independiyenteng variable (ayon sa invariance property ng integration formula).

Ang validity ng mga formula sa ibaba ay maaaring ma-verify sa pamamagitan ng pagkuha ng differential sa kanang bahagi, na magiging katumbas ng integrand sa kaliwang bahagi ng formula.

Patunayan natin, halimbawa, ang bisa ng formula 2. Ang function na 1/u ay tinukoy at tuloy-tuloy para sa lahat ng hindi zero na halaga ng u.

Kung u > 0, kung gayon ln|u|=lnu, kung gayon kaya lang

Kung ikaw<0, то ln|u|=ln(-u). Ноibig sabihin

Kaya tama ang formula 2. Katulad nito, suriin natin ang formula 15:

Talaan ng mga pangunahing integral

Kaibigan! Inaanyayahan ka naming pag-usapan. Kung mayroon kang opinyon, sumulat sa amin sa mga komento.

Ang pangunahing gawain ng differential calculus ay upang mahanap ang derivative f'(x) o kaugalian df=f'(x)dx mga function f(x). Sa integral calculus, nalulutas ang inverse na problema. Ayon sa ibinigay na function f(x) ito ay kinakailangan upang mahanap ang tulad ng isang function F(x), Ano F'(x)=f(x) o dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Sa ganitong paraan, pangunahing gawain ng integral calculus ay isang function ng pagbawi F(x) sa pamamagitan ng kilalang derivative (differential) ng function na ito. Ang integral calculus ay maraming aplikasyon sa geometry, mechanics, physics at teknolohiya. Nagbibigay ito ng pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng mga lugar, volume, sentro ng grabidad, atbp.

Kahulugan. FunctionF(x), , ay tinatawag na antiderivative para sa functionf(x) sa set X kung ito ay differentiable para sa alinman atF'(x)=f(x) odF(x)=f(x)dx.

Teorama. Anumang tuloy-tuloy sa pagitan [a;b] functionf(x) ay may antiderivative sa segment na itoF(x).

Teorama. Kung angF 1 (x) atF 2 (x) ay dalawang magkaibang antiderivatives ng parehong functionf(x) sa set x, pagkatapos ay naiiba sila sa bawat isa sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino, i.e.F 2 (x)=F1x)+C, kung saan ang C ay isang pare-pareho.

Indefinite integral, ang mga katangian nito.

Kahulugan. Pinagsama-samaF(x)+C ng lahat ng antiderivativesf(x) sa set X ay tinatawag na isang hindi tiyak na integral at ipinapahiwatig:

- (1)

Sa formula (1) f(x)dx tinawag integrand,f(x) ay ang integrand, x ay ang integration variable, a Ang C ay ang pare-pareho ng pagsasama.

Isaalang-alang ang mga katangian ng hindi tiyak na integral na sumusunod mula sa kahulugan nito.

1. Ang derivative ng indefinite integral ay katumbas ng integrand, ang differential ng indefinite integral ay katumbas ng integrand:

at .

2. Ang indefinite integral ng differential ng ilang function ay katumbas ng kabuuan ng function na ito at isang arbitrary constant:

3. Ang pare-parehong salik a (a≠0) ay maaaring alisin sa tanda ng hindi tiyak na integral:

4. Ang indefinite integral ng algebraic sum ng isang finite number of functions ay katumbas ng algebraic sum ng integrals ng mga function na ito:

5. Kung angF(x) ay ang antiderivative ng functionf(x), pagkatapos:

6 (invariance ng integration formula). Nananatili ang anyo ng anumang formula ng integration kung ang variable ng integration ay papalitan ng anumang function na naiba-iba ng variable na ito:

saanu ay isang function na naiba-iba.

Talaan ng mga hindi tiyak na integral.

Dalhin natin pangunahing mga patakaran para sa pagsasama ng mga function.

Dalhin natin talahanayan ng mga pangunahing di-tiyak na integral.(Tandaan na dito, tulad ng sa differential calculus, ang titik u ay maaaring tukuyin bilang isang malayang variable (u=x), at isang function ng independent variable (u=ikaw(x)).)

(n≠-1). (a>0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Ang mga integral 1 - 17 ay tinatawag tabular.

Ang ilan sa mga formula sa itaas ng talahanayan ng mga integral, na walang analogue sa talahanayan ng mga derivatives, ay na-verify sa pamamagitan ng pag-iiba ng kanilang mga kanang bahagi.

Pagbabago ng variable at pagsasama ng mga bahagi sa hindi tiyak na integral.

Pagsasama sa pamamagitan ng pagpapalit (pagbabago ng variable). Hayaang kailanganin upang kalkulahin ang integral

, na hindi tabular. Ang kakanyahan ng paraan ng pagpapalit ay nasa integral ang variable X palitan ang variable t ayon sa pormula x=φ(t), saan dx=φ'(t)dt.

Teorama. Hayaan ang functionx=φ(t) ay tinukoy at naiba sa ilang hanay ng T at hayaang ang X ang hanay ng mga halaga ng pagpapaandar na ito kung saan tinukoy ang pagpapaandarf(x). Pagkatapos kung sa set X ang functionf(

Ang artikulong ito ay nagsasalita nang detalyado tungkol sa mga pangunahing katangian ng isang tiyak na integral. Ang mga ito ay pinatunayan gamit ang konsepto ng Riemann at Darboux integral. Ang pagkalkula ng isang tiyak na integral pass, salamat sa 5 mga katangian. Ang natitira sa kanila ay ginagamit upang suriin ang iba't ibang mga expression.

Bago ipasa ang mga pangunahing katangian ng tiyak na integral, kailangang tiyakin na ang a ay hindi lalampas sa b .

Mga pangunahing katangian ng isang tiyak na integral

Kahulugan 1

Ang function na y \u003d f (x) , na tinukoy para sa x \u003d a, ay katulad ng patas na pagkakapantay-pantay ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Patunay 1

Mula dito makikita natin na ang halaga ng integral na may magkakatulad na mga limitasyon ay katumbas ng zero. Isa itong kinahinatnan ng integral ng Riemann, dahil ang bawat integral sum σ para sa anumang partition sa pagitan [ a ; a ] at anumang pagpipilian ng mga puntos na ζ i ay katumbas ng zero, dahil x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , upang makuha namin na ang limitasyon ng mga integral function ay zero.

Kahulugan 2

Para sa isang function na maisasama sa pagitan [ a ; b ] , ang kundisyon ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x ay nasiyahan.

Patunay 2

Sa madaling salita, kung babaguhin mo ang itaas at mas mababang mga limitasyon ng pagsasama sa mga lugar, ang halaga ng integral ay babaguhin ang halaga sa kabaligtaran. Ang ari-arian na ito ay kinuha mula sa Riemann integral. Gayunpaman, ang pagnunumero ng dibisyon ng segment ay nagsisimula sa puntong x = b.

Kahulugan 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x ay ginagamit para sa integrable functions ng uri y = f (x) at y = g (x) na tinukoy sa segment [ a ; b] .

Patunay 3

Isulat ang integral sum ng function na y = f (x) ± g (x) para sa paghahati sa mga segment na may ibinigay na pagpipilian ng mga puntos ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

kung saan ang σ f at σ g ay ang integral sums ng mga function na y = f (x) at y = g (x) para sa paghahati ng segment. Pagkatapos pumasa sa limitasyon sa λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 makuha natin ang lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Mula sa kahulugan ni Riemann, ang ekspresyong ito ay katumbas.

Kahulugan 4

Pag-alis ng pare-parehong salik sa tanda ng isang tiyak na integral. Isang integrable function mula sa interval [ a ; b ] na may arbitrary na halaga ng k ay may wastong hindi pagkakapantay-pantay ng anyo ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Patunay 4

Ang patunay ng pag-aari ng isang tiyak na integral ay katulad ng nauna:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Kahulugan 5

Kung ang isang function ng anyong y = f (x) ay maisasama sa pagitan ng x na may ∈ x , b ∈ x , nakukuha natin ang ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Patunay 5

Ang ari-arian ay itinuturing na wasto para sa c ∈ a ; b , para sa c ≤ a at c ≥ b . Ang patunay ay isinasagawa nang katulad sa mga naunang katangian.

Kahulugan 6

Kapag ang isang function ay may kakayahang maging integrable mula sa segment [ a ; b ] , kung gayon ito ay magagawa para sa anumang panloob na segment c ; d ∈ a; b.

Patunay 6

Ang patunay ay batay sa Darboux property: kung ang mga puntos ay idinagdag sa isang umiiral na partition ng isang segment, ang mas mababang Darboux sum ay hindi bababa, at ang itaas ay hindi tataas.

Kahulugan 7

Kapag ang isang function ay integrable sa [ a ; b ] mula sa f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 para sa anumang halaga ng x ∈ a ; b , pagkatapos ay makuha natin na ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Mapapatunayan ang property gamit ang kahulugan ng integral ng Riemann: anumang integral sum para sa anumang pagpipilian ng partition point ng segment at mga puntos ζ i na may kondisyon na ang f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 ay hindi negatibo.

Patunay 7

Kung ang mga function na y = f (x) at y = g (x) ay pinagsama-sama sa segment [ a ; b ] , kung gayon ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay itinuturing na wasto:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Salamat sa assertion, alam namin na ang pagsasama ay tinatanggap. Ang corollary na ito ay gagamitin sa patunay ng iba pang mga katangian.

Kahulugan 8

Para sa isang integrable function na y = f (x) mula sa segment [ a ; b ] mayroon tayong wastong hindi pagkakapantay-pantay ng anyo ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Patunay 8

Mayroon kaming na - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Mula sa nakaraang pag-aari, nakuha namin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isama ang termino sa pamamagitan ng termino at ito ay tumutugma sa isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat sa ibang anyo: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Kahulugan 9

Kapag ang mga function na y = f (x) at y = g (x) ay isinama mula sa segment [ a ; b ] para sa g (x) ≥ 0 para sa alinmang x ∈ a ; b , nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng anyong m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , kung saan m = m i n x ∈ a ; b f (x) at M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Patunay 9

Ang patunay ay ginagawa sa katulad na paraan. Ang M at m ay itinuturing na pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na y = f (x) na tinukoy mula sa segment [ a ; b ] , pagkatapos ay m ≤ f (x) ≤ M . Kinakailangang i-multiply ang double inequality sa pamamagitan ng function y = g (x) , na magbibigay ng halaga ng double inequality ng form m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) . Kinakailangang isama ito sa segment [ a ; b ] , pagkatapos ay makuha namin ang assertion na patunayan.

Bunga: Para sa g (x) = 1, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagiging m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

Unang average na formula

Kahulugan 10

Para sa y = f (x) integrable sa pagitan [ a ; b ] na may m = m i n x ∈ a ; b f (x) at M = m a x x ∈ a ; b f (x) mayroong isang numero μ ∈ m ; M , na akma sa ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Bunga: Kapag ang function na y = f (x) ay tuloy-tuloy mula sa segment [ a ; b ] , pagkatapos ay mayroong isang bilang na c ∈ a ; b , na nakakatugon sa pagkakapantay-pantay ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

Ang unang formula ng average na halaga sa isang pangkalahatang anyo

Kahulugan 11

Kapag ang mga function na y = f (x) at y = g (x) ay pinagsama-sama mula sa segment [ a ; b ] na may m = m i n x ∈ a ; b f (x) at M = m a x x ∈ a ; b f (x) , at g (x) > 0 para sa anumang halaga ng x ∈ a ; b. Kaya mayroon kaming na mayroong isang numero μ ∈ m ; M , na nakakatugon sa pagkakapantay-pantay ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Pangalawang mean value formula

Kahulugan 12

Kapag ang function na y = f (x) ay maisasama mula sa segment [ a ; b ] , at y = g (x) ay monotoniko, pagkatapos ay mayroong isang numero na c ∈ a ; b , kung saan nakakakuha tayo ng patas na pagkakapantay-pantay ng anyo ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Sa artikulong ito, inilista namin ang mga pangunahing katangian ng isang tiyak na integral. Karamihan sa mga katangiang ito ay napatunayan batay sa mga konsepto ni Riemann at Darboux ng isang tiyak na integral.

Ang pagkalkula ng tiyak na integral ay madalas na isinasagawa gamit ang unang limang mga katangian, kaya't sasangguni kami sa kanila kung kinakailangan. Ang natitirang mga katangian ng tiyak na integral ay pangunahing ginagamit upang suriin ang iba't ibang mga expression.

Bago lumipat sa pangunahing katangian ng isang tiyak na integral, sumasang-ayon kami na ang a ay hindi lalampas sa b .

Para sa function na y = f(x) , na tinukoy para sa x = a , ang pagkakapantay-pantay ay totoo.

Iyon ay, ang halaga ng tiyak na integral na may parehong mga limitasyon sa pagsasama ay zero. Ang pag-aari na ito ay bunga ng kahulugan ng integral ng Riemann, dahil sa kasong ito ang bawat integral sum para sa anumang partition ng interval at anumang pagpipilian ng mga puntos ay katumbas ng zero, dahil, samakatuwid, ang limitasyon ng integral sums ay zero.

Para sa isang function na maisasama sa isang segment, mayroon kami .

Sa madaling salita, kapag ang upper at lower limits ng integration ay binaligtad, ang value ng definite integral ay mababaligtad. Ang pag-aari na ito ng isang tiyak na integral ay sumusunod din mula sa konsepto ng Riemann integral, ang pagnunumero lamang ng partition ng isang segment ay dapat magsimula sa puntong x = b.

para sa mga function na y = f(x) at y = g(x) na mapagsasama sa isang pagitan.

Patunay.

Isinulat namin ang integral sum ng function para sa isang partikular na partition ng segment at isang ibinigay na pagpipilian ng mga puntos :

kung saan at ang mga integral sums ng mga function na y = f(x) at y = g(x) para sa isang partikular na partition ng segment, ayon sa pagkakabanggit.

Pagpasa sa limitasyon sa nakuha namin na, sa pamamagitan ng kahulugan ng integral ng Riemann, ay katumbas ng paggigiit ng ari-arian na pinatutunayan.

Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng isang tiyak na integral. Iyon ay, para sa isang function na maisasama sa isang segment na y = f(x) at isang arbitrary na numero k, ang pagkakapantay-pantay .

Ang patunay ng pag-aari na ito ng isang tiyak na integral ay ganap na katulad ng nauna:


Hayaang ang function na y = f(x) ay mapagsasama sa pagitan ng X , at at pagkatapos .

Ang ari-arian na ito ay may bisa para sa pareho at para sa o .

Ang patunay ay maaaring isagawa batay sa mga nakaraang katangian ng tiyak na integral.

Kung ang isang function ay integrable sa isang segment , pagkatapos ito ay din integrable sa anumang panloob na segment .

Ang patunay ay batay sa pag-aari ng Darboux sums: kung ang mga bagong puntos ay idinagdag sa umiiral na partition ng segment, ang mas mababang Darboux sum ay hindi bababa, at ang itaas ay hindi tataas.

Kung ang function na y = f(x) ay maisasama sa pagitan at para sa anumang halaga ng argument , kung gayon .

Ang pag-aari na ito ay napatunayan sa pamamagitan ng kahulugan ng Riemann integral: anumang integral sum para sa anumang pagpipilian ng paghahati ng mga punto ng segment at mga punto sa ay magiging hindi negatibo (hindi positibo).

Bunga.

Para sa mga function na y = f(x) at y = g(x) na maisasama sa isang pagitan, ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:


Ang pahayag na ito ay nangangahulugan na ang pagsasama-sama ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinatanggap. Gagamitin namin ang corollary na ito upang patunayan ang mga sumusunod na katangian.

Hayaang ang function na y = f(x) ay maisasama sa segment , pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay .

Patunay.

Obvious naman yun . Sa nakaraang pag-aari, nalaman namin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isama ang termino sa pamamagitan ng termino, samakatuwid, ito ay totoo . Ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat bilang .

Hayaang ang mga function na y = f(x) at y = g(x) ay mapagsasama sa pagitan at para sa anumang halaga ng argumento , pagkatapos , saan at .

Ang patunay ay isinasagawa sa katulad na paraan. Dahil ang m at M ay ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng function na y = f(x) sa segment , kung gayon . Ang pag-multiply ng double inequality sa non-negative na function na y = g(x) ay magdadala sa atin sa sumusunod na double inequality. Pagsasama nito sa segment , dumating kami sa assertion na patunayan.

Bunga.

Kung kukunin natin ang g(x) = 1 , ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyo .

Ang unang formula para sa average.

Hayaang ang function na y = f(x) ay maisama sa segment , at , pagkatapos ay mayroong isang numero na tulad na .

Bunga.

Kung ang function na y = f(x) ay tuloy-tuloy sa segment , kung gayon mayroong isang numero na ganoon .

Ang unang formula ng average na halaga sa isang pangkalahatang anyo.

Hayaang ang mga function na y = f(x) at y = g(x) ay mapagsasama sa pagitan , at , at g(x) > 0 para sa anumang halaga ng argumento . Pagkatapos ay mayroong isang bilang na ganyan .

Ang pangalawang formula para sa average.

Kung sa isang segment ang function na y = f(x) ay mapagsasama at y = g(x) ay monotone, kung gayon mayroong isang numero na ang pagkakapantay-pantay .