Ito ang anggulo na nabuo ng dalawa chords na nagmumula sa isang punto sa bilog. May inscribed angle daw umaasa sa isang arko na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid nito.
Nakasulat na anggulo katumbas ng kalahati ng arko kung saan ito nakapatong.
Sa ibang salita, nakasulat na anggulo may kasamang kasing dami ng degree, minuto at segundo arc degrees, minuto at segundo ay nakapaloob sa kalahati ng arko kung saan ito umaasa. Para sa pagbibigay-katwiran, sinusuri namin ang tatlong kaso:
Unang kaso:
Ang Center O ay matatagpuan sa gilid nakasulat na anggulo ABS. Ang pagguhit ng radius AO, nakukuha natin ang ΔABO, kung saan ang OA = OB (bilang radii) at, nang naaayon, ∠ABO = ∠BAO. Kaugnay nito tatsulok, ang anggulong AOC ay panlabas. At kaya, ito ay katumbas ng kabuuan ng mga anggulong ABO at BAO, o katumbas ng dobleng anggulo na ABO. Kaya ang ∠ABO ay kalahati gitnang sulok AOC. Ngunit ang anggulong ito ay sinusukat ng arc AC. Iyon ay, ang inscribed angle ABC ay sinusukat ng kalahati ng arc AC.
Pangalawang kaso:
Ang sentro O ay matatagpuan sa pagitan ng mga gilid nakasulat na anggulo ABC. Ang pagkakaroon ng iginuhit na diameter BD, hinahati namin ang anggulo ng ABC sa dalawang anggulo, kung saan, ayon sa itinatag sa unang kaso, ang isa ay sinusukat ng kalahati mga arko AD, at ang iba pang kalahati ng arc CD. At naaayon, ang anggulo ABC ay sinusukat ng (AD + DC) / 2, i.e. 1/2 AC.
Pangatlong kaso:
Matatagpuan ang Center O sa labas nakasulat na anggulo ABS. Ang pagguhit ng diameter BD, magkakaroon tayo ng: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Ngunit ang mga anggulo ng ABD at CBD ay sinusukat, batay sa dati nang napatunayang halves mga arko AD at CD. At dahil ang ∠ABС ay sinusukat ng (AD-CD)/2, iyon ay, kalahati ng AC arc.
Bunga 1. Anumang , batay sa parehong arko ay pareho, iyon ay, sila ay pantay-pantay sa bawat isa. Dahil ang bawat isa sa kanila ay sinusukat ng kalahati ng pareho mga arko .
Bunga 2. Nakasulat na anggulo, batay sa diameter - tamang anggulo. Dahil ang bawat naturang anggulo ay sinusukat ng kalahating kalahating bilog at, nang naaayon, ay naglalaman ng 90 °.
Nakasulat na anggulo, teorya ng problema. Kaibigan! Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga gawain, para sa solusyon kung saan kinakailangan upang malaman ang mga katangian ng isang naka-inscribe na anggulo. Ito ay isang buong pangkat ng mga gawain, kasama sila sa pagsusulit. Karamihan sa kanila ay nalutas nang napakasimple, sa isang hakbang.
Mayroong mas mahirap na mga gawain, ngunit hindi sila magpapakita ng labis na kahirapan para sa iyo, kailangan mong malaman ang mga katangian ng naka-inscribe na anggulo. Unti-unti, susuriin namin ang lahat ng mga prototype ng mga gawain, inaanyayahan kita sa blog!
Ngayon ang kinakailangang teorya. Alalahanin kung ano ang isang sentral at nakasulat na anggulo, chord, arc, kung saan umaasa ang mga anggulong ito:
Ang gitnang anggulo sa isang bilog ay tinatawag na flat angle na maysumikat sa gitna nito.
Ang bahagi ng bilog na nasa loob ng patag na suloktinatawag na arko ng bilog.
Ang sukat ng antas ng isang arko ng isang bilog ay ang sukat ng antaskaukulang gitnang anggulo.
Ang isang anggulo ay tinatawag na inscribed sa isang bilog kung ang vertex ng anggulo ay namamalagisa isang bilog, at ang mga gilid ng anggulo ay nagsalubong sa bilog na ito.
Ang isang segment ng linya na nag-uugnay sa dalawang punto sa isang bilog ay tinatawagchord. Ang pinakamahabang chord ay dumadaan sa gitna ng bilog at tinatawagdiameter.
Upang malutas ang mga problema para sa mga anggulo na nakasulat sa isang bilog,kailangan mong malaman ang mga sumusunod na katangian:
1. Ang naka-inscribe na anggulo ay katumbas ng kalahati ng gitnang anggulo batay sa parehong arko.
2. Ang lahat ng inscribed na anggulo batay sa parehong arko ay pantay.
3. Ang lahat ng mga naka-inscribe na anggulo batay sa parehong chord, ang mga vertices na nasa magkabilang panig ng chord na ito, ay pantay.
4. Anumang pares ng mga anggulo na nakabatay sa parehong chord, ang mga vertices na nasa magkabilang gilid ng chord, ay nagdaragdag ng hanggang 180°.
Corollary: Ang magkasalungat na mga anggulo ng quadrilateral na nakasulat sa isang bilog ay nagdaragdag ng hanggang 180 degrees.
5. Ang lahat ng mga nakasulat na anggulo batay sa diameter ay tuwid.
Sa pangkalahatan, ang ari-arian na ito ay bunga ng ari-arian (1), ito ang espesyal na kaso nito. Tumingin - ang gitnang anggulo ay katumbas ng 180 degrees (at ang nabuong anggulo na ito ay hindi hihigit sa isang diameter), na nangangahulugang ayon sa unang pag-aari, ang nakasulat na anggulo C ay katumbas ng kalahati nito, iyon ay, 90 degrees.
Ang kaalaman sa ari-arian na ito ay nakakatulong sa paglutas ng maraming problema at kadalasan ay nagpapahintulot sa iyo na maiwasan ang mga hindi kinakailangang kalkulasyon. Ang pagkakaroon ng mahusay na mastered ito, maaari mong malutas ang higit sa kalahati ng ganitong uri ng mga problema sa bibig. Dalawang kahihinatnan na maaaring gawin:
Corollary 1: kung ang isang tatsulok ay nakasulat sa isang bilog at ang isa sa mga gilid nito ay tumutugma sa diameter ng bilog na ito, kung gayon ang tatsulok ay right-angled (ang vertex ng tamang anggulo ay nasa bilog).
Corollary 2: Ang gitna ng bilog na nakapaligid sa isang kanang tatsulok ay tumutugma sa midpoint ng hypotenuse nito.
Maraming mga prototype ng mga stereometric na problema ang nalulutas din sa pamamagitan ng paggamit ng property na ito at mga corollaries na ito. Tandaan ang katotohanan mismo: kung ang diameter ng isang bilog ay isang gilid ng isang nakasulat na tatsulok, kung gayon ang tatsulok na ito ay right-angled (ang anggulo sa tapat ng diameter ay 90 degrees). Maaari mong iguhit ang lahat ng iba pang mga konklusyon at kahihinatnan sa iyong sarili, hindi mo kailangang turuan ang mga ito.
Bilang isang patakaran, kalahati ng mga problema para sa isang inscribed na anggulo ay ibinibigay sa isang sketch, ngunit walang notasyon. Upang maunawaan ang proseso ng pangangatwiran kapag nilulutas ang mga problema (sa ibaba ng artikulo), ipinakilala ang mga pagtatalaga ng mga vertice (sulok). Sa pagsusulit, hindi mo ito magagawa.Isaalang-alang ang mga gawain:
Ano ang isang acute inscribed angle na humaharang sa isang chord na katumbas ng radius ng bilog? Ibigay ang iyong sagot sa antas.
Bumuo tayo ng isang gitnang anggulo para sa isang naibigay na anggulo na nakasulat, tukuyin ang mga vertice:
Ayon sa pag-aari ng isang anggulo na nakasulat sa isang bilog:
Ang anggulong AOB ay katumbas ng 60 0, dahil ang tatsulok na AOB ay equilateral, at sa isang equilateral triangle lahat ng mga anggulo ay katumbas ng 60 0 . Ang mga gilid ng tatsulok ay pantay, dahil ang kondisyon ay nagsasabi na ang chord ay katumbas ng radius.
Kaya, ang inscribed na anggulo DIA ay 30 0 .
Sagot: 30
Hanapin ang chord kung saan nakasalalay ang anggulo 30 0, na nakasulat sa isang bilog na radius 3.
Ito ay mahalagang kabaligtaran na problema (ng nauna). Bumuo tayo ng gitnang sulok.
Ito ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa nakasulat, iyon ay, ang anggulo AOB ay 60 0 . Mula dito maaari nating tapusin na ang tatsulok na AOB ay equilateral. Kaya, ang chord ay katumbas ng radius, iyon ay, tatlo.
Sagot: 3
Ang radius ng bilog ay 1. Hanapin ang halaga ng isang obtuse inscribed angle batay sa isang chord na katumbas ng ugat ng dalawa. Ibigay ang iyong sagot sa antas.
Buuin natin ang gitnang anggulo:
Alam ang radius at chord, mahahanap natin ang gitnang anggulo DIA. Magagawa ito gamit ang batas ng cosine. Alam ang gitnang anggulo, madali nating mahahanap ang naka-inscribe na anggulo na ACB.
Cosine theorem: ang parisukat ng alinmang panig ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig, nang hindi dinodoble ang produkto ng mga panig na iyon sa pag-uulit ng cosine ng anggulo sa pagitan nila.
Samakatuwid, ang pangalawang gitnang anggulo ay 360 0 – 90 0 = 270 0 .
Ayon sa pag-aari ng isang inscribed na anggulo, ang anggulo ng DIA ay katumbas ng kalahati nito, iyon ay, 135 degrees.
Sagot: 135
Hanapin ang chord kung saan ang anggulo ng 120 degrees, ang ugat ng tatlo, ay nakasulat sa isang bilog ng radius.
Ikonekta ang mga punto A at B sa gitna ng bilog. Tawagin natin itong O:
Alam natin ang radius at inscribed angle DIA. Mahahanap natin ang gitnang anggulo AOB (higit sa 180 degrees), pagkatapos ay hanapin ang anggulo AOB sa tatsulok na AOB. At pagkatapos, gamit ang cosine theorem, kalkulahin ang AB.
Sa pamamagitan ng pag-aari ng isang naka-inscribe na anggulo, ang gitnang anggulo na AOB (na higit sa 180 degrees) ay magiging katumbas ng dalawang beses sa naka-inscribe na anggulo, iyon ay, 240 degrees. Nangangahulugan ito na ang anggulong AOB sa tatsulok na AOB ay 360 0 - 240 0 = 120 0 .
Ayon sa batas ng mga cosine:
Sagot:3
Hanapin ang naka-inscribe na anggulo batay sa arko na 20% ng bilog. Ibigay ang iyong sagot sa antas.
Sa pamamagitan ng pag-aari ng isang inscribed na anggulo, ito ay kalahati ng laki ng gitnang anggulo batay sa parehong arko, sa kasong ito ay pinag-uusapan natin ang arko AB.
Sinasabi na ang arko AB ay 20 porsiyento ng circumference. Nangangahulugan ito na ang gitnang anggulo AOB ay 20 porsyento din ng 360 0 .* Ang isang bilog ay isang 360 degree na anggulo. Ibig sabihin,
Kaya, ang inscribed na anggulo ACB ay 36 degrees.
Sagot: 36
arko ng isang bilog AC, hindi naglalaman ng mga puntos B, ay 200 degrees. At ang arko ng bilog na BC, na hindi naglalaman ng mga puntos A, ay 80 degrees. Hanapin ang nakasulat na anggulo ACB. Ibigay ang iyong sagot sa antas.
Ipahiwatig natin para sa kalinawan ang mga arko na ang mga angular na sukat ay ibinigay. Ang arko na katumbas ng 200 degrees ay asul, ang arko na katumbas ng 80 degrees ay pula, ang natitirang bahagi ng bilog ay dilaw.
Kaya, ang sukat ng antas ng arko AB (dilaw), at samakatuwid ang gitnang anggulo AOB ay: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
Ang inscribed na anggulo DAB ay kalahati ng gitnang anggulo AOB, iyon ay, katumbas ng 40 degrees.
Sagot: 40
Ano ang nakasulat na anggulo batay sa diameter ng bilog? Ibigay ang iyong sagot sa antas.
Ngayon ay titingnan natin ang isa pang uri ng mga problema 6 - sa pagkakataong ito ay may isang bilog. Maraming mga estudyante ang ayaw sa kanila at nahihirapan sila. At ito ay ganap na walang kabuluhan, dahil ang mga naturang gawain ay nalutas elementarya kung alam mo ang ilang theorems. O hindi sila mangahas, kung hindi sila kilala.
Bago pag-usapan ang mga pangunahing katangian, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang kahulugan:
Ang naka-inscribe na anggulo ay isa na ang vertex ay nasa mismong bilog, at ang mga gilid ay pumutol ng chord sa bilog na ito.
Ang gitnang anggulo ay anumang anggulo na may vertex sa gitna ng bilog. Ang mga gilid nito ay nagsalubong din sa bilog na ito at nag-ukit ng kuwerdas dito.
Kaya, ang mga konsepto ng isang inscribed at central angle ay inextricably naka-link sa isang bilog at chord sa loob nito. Ngayon para sa pangunahing pahayag:
Teorama. Ang gitnang anggulo ay palaging dalawang beses ang naka-inscribe na anggulo batay sa parehong arko.
Sa kabila ng pagiging simple ng pahayag, mayroong isang buong klase ng mga problema 6 na nalutas sa tulong nito - at wala nang iba pa.
Isang gawain. Maghanap ng isang matinding inscribed na anggulo batay sa isang chord na katumbas ng radius ng bilog.
Hayaang AB ang chord na isinasaalang-alang, O ang sentro ng bilog. Karagdagang konstruksyon: Ang OA at OB ay bilog na radii. Nakukuha namin:
Isaalang-alang ang tatsulok na ABO. Sa loob nito AB = OA = OB - lahat ng panig ay katumbas ng radius ng bilog. Samakatuwid ang tatsulok na ABO ay equilateral, at ang lahat ng mga anggulo dito ay 60°.
Hayaang M ang vertex ng inscribed na anggulo. Dahil ang mga anggulo O at M ay nakabatay sa parehong arko AB , ang inscribed na anggulo M ay 2 beses na mas mababa kaysa sa gitnang anggulo O . Meron kami:
M=O:2=60:2=30
Isang gawain. Ang gitnang anggulo ay 36° na mas malaki kaysa sa naka-inscribe na anggulo batay sa parehong pabilog na arko. Hanapin ang naka-inscribe na anggulo.
Ipakilala natin ang notasyon:
- Ang AB ay ang chord ng bilog;
- Ang punto O ay ang sentro ng bilog, kaya ang anggulo AOB ay gitna;
- Point C ay ang vertex ng inscribed anggulo ACB.
Dahil hinahanap natin ang naka-inscribe na anggulo ACB , tukuyin natin ito ACB = x . Kung gayon ang gitnang anggulo AOB ay x + 36. Sa kabilang banda, ang gitnang anggulo ay dalawang beses ang naka-inscribe na anggulo. Meron kami:
AOB = 2 ACB ;
x + 36 = 2 x;
x=36.
Kaya natagpuan namin ang inscribed na anggulo AOB - ito ay katumbas ng 36 °.
Ang isang bilog ay isang 360° anggulo
Pagkatapos basahin ang subtitle, malamang na sasabihin ngayon ng mga maalam na mambabasa: "Fu!" Sa katunayan, hindi ganap na tama na ihambing ang isang bilog sa isang anggulo. Upang maunawaan kung ano ang pinag-uusapan natin, tingnan ang klasikong trigonometriko na bilog:
Bakit ang larawang ito? At sa katotohanan na ang isang buong pag-ikot ay isang anggulo ng 360 degrees. At kung hahatiin mo ito sa, sabihin nating, 20 pantay na bahagi, kung gayon ang laki ng bawat isa sa kanila ay magiging 360: 20 = 18 degrees. Ito ay eksakto kung ano ang kinakailangan upang malutas ang problema B8.
Ang mga puntong A, B at C ay nakahiga sa isang bilog at hatiin ito sa tatlong arko, ang mga sukat ng antas na nauugnay bilang 1: 3: 5. Hanapin ang pinakamalaking anggulo ng tatsulok na ABC.
Una, hanapin natin ang sukat ng antas ng bawat arko. Hayaang ang mas maliit sa kanila ay katumbas ng x . Ang arko na ito ay may label na AB sa figure. Pagkatapos ang natitirang mga arko - BC at AC - ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng AB: ang arko BC = 3x; AC=5x. Ang mga arko na ito ay nagdaragdag ng hanggang 360 degrees:
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x=360;
x=40.
Ngayon isaalang-alang ang isang malaking arko AC na hindi naglalaman ng punto B. Ang arko na ito, tulad ng kaukulang gitnang anggulo AOC , ay 5x = 5 40 = 200 degrees.
Ang anggulong ABC ay ang pinakamalaki sa lahat ng anggulo sa isang tatsulok. Ito ay isang naka-inscribe na anggulo batay sa parehong arko ng gitnang anggulo na AOC. Kaya ang anggulong ABC ay 2 beses na mas maliit kaysa sa AOC. Meron kami:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
Ito ang magiging sukatan ng antas ng pinakamalaking anggulo sa tatsulok na ABC.
Bilog na nakapaligid sa isang kanang tatsulok
Maraming tao ang nakakalimutan ang teorama na ito. Ngunit walang kabuluhan, dahil ang ilang mga gawain sa B8 ay hindi malulutas nang wala ito. Mas tiyak, nalutas ang mga ito, ngunit sa dami ng mga kalkulasyon na mas gugustuhin mong matulog kaysa maabot ang sagot.
Teorama. Ang gitna ng isang bilog na nakapaligid sa isang kanang tatsulok ay nasa gitna ng hypotenuse.
Ano ang sumusunod mula sa teorama na ito?
- Ang midpoint ng hypotenuse ay equidistant mula sa lahat ng vertices ng triangle. Ito ay isang direktang kinahinatnan ng teorama;
- Ang median na iginuhit sa hypotenuse ay naghahati sa orihinal na tatsulok sa dalawang isosceles na tatsulok. Ito ay eksakto kung ano ang kinakailangan upang malutas ang Problema B8.
Ang median na CD ay iginuhit sa tatsulok na ABC. Ang anggulo C ay 90° at ang anggulo B ay 60°. Maghanap ng anggulo ACD.
Dahil ang anggulo C ay 90°, ang triangle ABC ay isang right triangle. Lumalabas na ang CD ay ang median na iginuhit sa hypotenuse. Kaya ang mga tatsulok na ADC at BDC ay isosceles.
Sa partikular, isaalang-alang ang tatsulok na ADC . Sa loob nito AD = CD . Ngunit sa isang isosceles triangle, ang mga anggulo sa base ay pantay - tingnan ang "Problema B8: mga segment at anggulo sa mga tatsulok". Samakatuwid, ang nais na anggulo ACD = A.
Kaya, nananatili itong malaman kung ano ang katumbas ng anggulo A. Upang gawin ito, muli tayong bumaling sa orihinal na tatsulok na ABC. Tukuyin ang anggulo A = x . Dahil ang kabuuan ng mga anggulo sa anumang tatsulok ay 180°, mayroon tayong:
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x=30.
Siyempre, ang huling problema ay maaaring malutas sa ibang paraan. Halimbawa, madaling patunayan na ang tatsulok na BCD ay hindi lamang isosceles, ngunit equilateral. Kaya ang angle BCD ay 60 degrees. Kaya ang anggulong ACD ay 90 − 60 = 30 degrees. Tulad ng nakikita mo, maaari kang gumamit ng iba't ibang isosceles triangles, ngunit ang sagot ay palaging pareho.
Average na antas
Bilog at may nakasulat na anggulo. Gabay sa Biswal (2019)
Pangunahing termino.
Gaano mo kahusay natatandaan ang lahat ng mga pangalan na nauugnay sa bilog? Kung sakali, naaalala namin - tingnan ang mga larawan - i-refresh ang iyong kaalaman.
Una- Ang gitna ng isang bilog ay isang punto kung saan ang lahat ng mga punto sa bilog ay pareho ang distansya.
Pangalawa - radius - isang segment ng linya na nag-uugnay sa gitna at isang punto sa bilog.
Mayroong maraming mga radii (kasing dami ng mga puntos sa isang bilog), ngunit lahat ng radii ay may parehong haba.
Minsan for short radius tawag nila dito haba ng segment"ang sentro ay isang punto sa bilog", at hindi ang segment mismo.
At narito ang mangyayari kung ikinonekta mo ang dalawang punto sa isang bilog? Isang hiwa din?
Kaya, ang segment na ito ay tinatawag "chord".
Tulad ng sa kaso ng radius, ang diameter ay madalas na tinatawag na haba ng isang segment na nagkokonekta sa dalawang punto sa isang bilog at dumadaan sa gitna. Sa pamamagitan ng paraan, paano nauugnay ang diameter at radius? Tingnan mong mabuti. Syempre, ang radius ay kalahati ng diameter.
Bilang karagdagan sa mga chord, mayroon ding secant.
Naaalala mo ba ang pinakasimple?
Ang gitnang anggulo ay ang anggulo sa pagitan ng dalawang radii.
At ngayon ang inscribed na anggulo
Ang naka-inscribe na anggulo ay ang anggulo sa pagitan ng dalawang chord na nagsalubong sa isang punto sa isang bilog.
Sa kasong ito, sinasabi nila na ang naka-inscribe na anggulo ay umaasa sa isang arko (o sa isang chord).
Tingnan ang larawan:
Pagsukat ng mga arko at anggulo.
Circumference. Ang mga arko at anggulo ay sinusukat sa mga degree at radian. Una, tungkol sa mga degree. Walang mga problema para sa mga anggulo - kailangan mong matutunan kung paano sukatin ang arko sa mga degree.
Ang sukat ng degree (halaga ng arko) ay ang halaga (sa mga degree) ng kaukulang gitnang anggulo
Ano ang ibig sabihin ng salitang "katugma" dito? Tingnan nating mabuti:
Tingnan ang dalawang arko at ang dalawang gitnang anggulo? Well, ang isang mas malaking arko ay tumutugma sa isang mas malaking anggulo (at okay lang na ito ay mas malaki), at ang isang mas maliit na arko ay tumutugma sa isang mas maliit na anggulo.
Kaya, sumang-ayon kami: ang arko ay naglalaman ng parehong bilang ng mga degree bilang kaukulang gitnang anggulo.
At ngayon tungkol sa kakila-kilabot - tungkol sa mga radian!
Anong uri ng hayop itong "radian"?
Isipin ito: radians ay isang paraan ng pagsukat ng anggulo... sa radii!
Ang radian na anggulo ay isang gitnang anggulo na ang haba ng arko ay katumbas ng radius ng bilog.
Pagkatapos ay lumitaw ang tanong - gaano karaming mga radian ang nasa isang tuwid na anggulo?
Sa madaling salita: ilang radii ang "magkasya" sa kalahating bilog? O sa ibang paraan: gaano karaming beses ang haba ng kalahating bilog ay mas malaki kaysa sa radius?
Ang tanong na ito ay tinanong ng mga siyentipiko sa sinaunang Greece.
At kaya, pagkatapos ng mahabang paghahanap, nalaman nila na ang ratio ng circumference sa radius ay hindi nais na ipahayag sa mga numero ng "tao", tulad ng, atbp.
At hindi rin posible na ipahayag ang saloobing ito sa pamamagitan ng mga ugat. Iyon ay, lumalabas na hindi masasabi ng isa na ang kalahati ng bilog ay dalawang beses o beses ang radius! Naiisip mo ba kung gaano kamangha-mangha ang pagtuklas ng mga tao sa unang pagkakataon?! Para sa ratio ng haba ng kalahating bilog sa radius, sapat na ang mga "normal" na numero. Kailangan kong magpasok ng isang sulat.
Kaya, ay isang numero na nagpapahayag ng ratio ng haba ng kalahating bilog sa radius.
Ngayon ay masasagot na natin ang tanong: ilang radian ang nasa isang tuwid na anggulo? Mayroon itong radian. Tiyak na dahil ang kalahati ng bilog ay dalawang beses ang radius.
Sinaunang (at hindi gayon) mga tao sa mga nakaraang panahon (!) sinubukan nilang kalkulahin ang mahiwagang numerong ito nang mas tumpak, upang maipahayag ito nang mas mahusay (hindi bababa sa humigit-kumulang) sa pamamagitan ng "ordinaryong" mga numero. At ngayon kami ay imposibleng tamad - dalawang palatandaan pagkatapos ng abala ay sapat na para sa amin, nakasanayan na namin
Pag-isipan ito, nangangahulugan ito, halimbawa, na ang y ng isang bilog na may radius ng isa ay humigit-kumulang pantay sa haba, at imposibleng isulat ang haba na ito gamit ang isang "tao" na numero - kailangan mo ng isang liham. At pagkatapos ang circumference na ito ay magiging pantay. At siyempre, ang circumference ng radius ay pantay.
Bumalik tayo sa radians.
Nalaman na natin na ang isang tuwid na anggulo ay naglalaman ng isang radian.
Kung anong meron tayo:
Napakasaya, iyon ay masaya. Sa parehong paraan, ang isang plato na may pinakasikat na mga anggulo ay nakuha.
Ang ratio sa pagitan ng mga halaga ng inscribed at gitnang anggulo.
Mayroong isang kamangha-manghang katotohanan:
Ang halaga ng naka-inscribe na anggulo ay kalahati ng katumbas ng gitnang anggulo.
Tingnan kung ano ang hitsura ng pahayag na ito sa larawan. Ang "katugmang" gitnang anggulo ay isa kung saan ang mga dulo ay nag-tutugma sa mga dulo ng naka-inscribe na anggulo, at ang vertex ay nasa gitna. At sa parehong oras, ang "katugmang" gitnang anggulo ay dapat "tumingin" sa parehong chord () bilang ang inscribed na anggulo.
Bakit kaya? Tingnan muna natin ang isang simpleng kaso. Hayaang dumaan ang isa sa mga chord sa gitna. Kung tutuusin, minsan naman nangyayari iyon, di ba?
Anong nangyayari dito? Isipin mo. Ito ay isosceles - pagkatapos ng lahat, at ay radii. Kaya, (tinutukoy sila).
Ngayon tingnan natin. Ito ang sulok sa labas! Naaalala namin na ang isang panlabas na anggulo ay katumbas ng kabuuan ng dalawang panloob na hindi katabi nito, at isulat:
Yan ay! Isang hindi inaasahang epekto. Ngunit mayroon ding sentral na anggulo para sa naka-inscribe.
Kaya, para sa kasong ito, napatunayan namin na ang gitnang anggulo ay dalawang beses ang naka-inscribe na anggulo. Ngunit ito ay isang masakit na espesyal na kaso: totoo ba na ang chord ay hindi palaging dumiretso sa gitna? Ngunit wala, ngayon ang espesyal na kaso ay makakatulong sa amin ng malaki. Tingnan ang: pangalawang kaso: hayaang nakahiga ang gitna sa loob.
Gawin natin ito: gumuhit ng diameter. At pagkatapos ... nakita namin ang dalawang larawan na nasuri na sa unang kaso. Samakatuwid, mayroon na tayo
Kaya (sa pagguhit, a)
Well, ang huling kaso ay nananatili: ang sentro ay nasa labas ng sulok.
Ginagawa namin ang parehong: gumuhit ng diameter sa isang punto. Ang lahat ay pareho, ngunit sa halip na ang kabuuan - ang pagkakaiba.
Iyon lang!
Bumuo tayo ngayon ng dalawang pangunahin at napakahalagang kahihinatnan ng pahayag na ang nakaukit na anggulo ay kalahati ng gitna.
Bunga 1
Ang lahat ng mga naka-inscribe na anggulo na bumabagtas sa parehong arko ay pantay.
Inilalarawan namin:
Mayroong hindi mabilang na mga naka-inscribe na anggulo batay sa parehong arko (mayroon kaming arko na ito), maaari silang magmukhang ganap na naiiba, ngunit lahat sila ay may parehong gitnang anggulo (), na nangangahulugan na ang lahat ng mga naka-inscribe na anggulo ay pantay-pantay sa pagitan nila.
Bunga 2
Ang anggulo batay sa diameter ay isang tamang anggulo.
Tingnan: saang sulok ang sentro?
Syempre, . Ngunit siya ay pantay-pantay! Well, kaya naman (pati na rin ang maraming nakasulat na anggulo batay sa) at katumbas ng.
Anggulo sa pagitan ng dalawang chord at secants
Ngunit paano kung ang anggulo na interesado tayo ay HINDI nakasulat at HINDI sentral, ngunit, halimbawa, tulad nito:
o ganito?
Posible bang ipahayag ito kahit papaano sa pamamagitan ng ilang mga sentral na anggulo? Kaya mo pala. Tingnan mo, interesado kami.
a) (bilang panlabas na sulok para sa). Ngunit - nakasulat, batay sa arko - . - nakasulat, batay sa arko - .
Para sa kagandahan, sinasabi nila:
Ang anggulo sa pagitan ng mga chord ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga angular na halaga ng mga arko na kasama sa anggulong ito.
Ito ay isinulat para sa kaiklian, ngunit siyempre, kapag ginagamit ang formula na ito, kailangan mong tandaan ang mga gitnang anggulo
b) At ngayon - "sa labas"! Paano maging? Oo, halos pareho! Ngayon lamang (muli ilapat ang ari-arian ng panlabas na sulok sa). Iyon ay ngayon.
At ang kahulugan niyan ay . Dalhin natin ang kagandahan at kaiklian sa mga talaan at pormulasyon:
Ang anggulo sa pagitan ng mga secants ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba sa mga anggular na halaga ng mga arko na nakapaloob sa anggulong ito.
Well, ngayon ay armado ka na ng lahat ng pangunahing kaalaman tungkol sa mga anggulo na nauugnay sa isang bilog. Pasulong, sa pag-atake ng mga gawain!
CIRCLE AT INCORDED ANGLE. AVERAGE LEVEL
Ano ang bilog, kahit isang limang taong gulang na bata alam, tama? Ang mga mathematician, gaya ng nakasanayan, ay may hindi maintindihang kahulugan sa paksang ito, ngunit hindi namin ito ibibigay (tingnan), sa halip ay tandaan kung ano ang tawag sa mga punto, linya at anggulo na nauugnay sa isang bilog.
Mahahalagang Tuntunin
una:
| sentro ng bilog- isang punto kung saan ang mga distansya mula sa kung saan sa lahat ng mga punto ng bilog ay pareho. |
Pangalawa:
May isa pang tinatanggap na expression dito: "the chord contracts the arc." Dito, dito sa figure, halimbawa, ang isang chord ay nagkontrata ng isang arko. At kung ang chord ay biglang dumaan sa gitna, kung gayon mayroon itong espesyal na pangalan: "diameter".
Sa pamamagitan ng paraan, paano nauugnay ang diameter at radius? Tingnan mong mabuti. Syempre,
At ngayon - ang mga pangalan para sa mga sulok.
Natural, hindi ba? Ang mga gilid ng sulok ay lumalabas mula sa gitna, na nangangahulugan na ang sulok ay nasa gitna.
Ito ay kung saan ang mga paghihirap minsan lumitaw. Bigyang-pansin - HINDI ANUMANG anggulo sa loob ng isang bilog ang may nakasulat, ngunit isa lamang na ang vertex ay "nakaupo" sa mismong bilog.
Tingnan natin ang pagkakaiba sa mga larawan:
Iba rin ang sinasabi nila:
Mayroong isang nakakalito na punto dito. Ano ang "katugma" o "sariling" gitnang anggulo? Isang anggulo lang na may vertex sa gitna ng bilog at nagtatapos sa mga dulo ng arko? Hindi tiyak sa ganoong paraan. Tingnan ang larawan.
Ang isa sa kanila, gayunpaman, ay hindi kahit na mukhang isang sulok - ito ay mas malaki. Ngunit sa isang tatsulok ay hindi maaaring magkaroon ng higit pang mga anggulo, ngunit sa isang bilog - maaaring maayos ito! Kaya: ang isang mas maliit na arko AB ay tumutugma sa isang mas maliit na anggulo (orange), at isang mas malaki sa isang mas malaki. Parang lang, di ba?
Relasyon sa pagitan ng inscribed at central angles
Tandaan ang isang napakahalagang pahayag:
Sa mga aklat-aralin, gusto nilang isulat ang parehong katotohanan tulad nito:
Totoo, sa gitnang anggulo, ang pagbabalangkas ay mas simple?
Ngunit gayon pa man, hanapin natin ang isang pagsusulatan sa pagitan ng dalawang pormulasyon, at sa parehong oras ay matutunang hanapin sa mga figure ang "katugmang" gitnang anggulo at ang arko kung saan ang naka-inscribe na anggulo ay "nakasandal".
Tingnan, narito ang isang bilog at isang naka-inscribe na anggulo:
Nasaan ang "katugmang" gitnang anggulo nito?
Tingnan natin muli:
Ano ang tuntunin?
Ngunit! Sa kasong ito, mahalaga na ang mga nakasulat at gitnang anggulo ay "tumingin" sa parehong bahagi ng arko. Halimbawa:
Kakatwa, asul! Dahil mahaba ang arko, mas mahaba sa kalahati ng bilog! Kaya huwag na huwag kang malito!
Anong kahihinatnan ang mahihinuha mula sa "kalahati" ng nakasulat na anggulo?
At dito, halimbawa:
Anggulo Batay sa Diameter
Napansin mo na ba na ang mga mathematician ay mahilig magsalita tungkol sa parehong bagay sa iba't ibang salita? Bakit para sa kanila? Nakikita mo, kahit na ang wika ng matematika ay pormal, ito ay buhay, at samakatuwid, tulad ng sa ordinaryong wika, sa bawat oras na nais mong sabihin ito sa paraang mas maginhawa. Buweno, nakita na natin kung ano ang "ang anggulo ay nakasalalay sa arko". At isipin, ang parehong larawan ay tinatawag na "ang anggulo ay nakasalalay sa chord." Sa ano? Oo, siyempre, sa isa na humila sa arko na ito!
Kailan mas maginhawang umasa sa isang chord kaysa sa isang arko?
Well, sa partikular, kapag ang chord na ito ay isang diameter.
Mayroong isang kamangha-manghang simple, maganda at kapaki-pakinabang na pahayag para sa gayong sitwasyon!
Tingnan: narito ang isang bilog, isang diameter, at isang anggulo na nakasalalay dito.
CIRCLE AT INCORDED ANGLE. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING
1. Pangunahing konsepto.
3. Mga sukat ng mga arko at anggulo.
Ang radian na anggulo ay isang gitnang anggulo na ang haba ng arko ay katumbas ng radius ng bilog.
Ito ay isang numero na nagpapahayag ng ratio ng haba ng kalahating bilog sa radius.
Ang circumference ng radius ay katumbas ng.
4. Ang ratio sa pagitan ng mga halaga ng inscribed at gitnang anggulo.
Ang anggulo ABC ay isang inscribed na anggulo. Ito ay nakasalalay sa arc AC, na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid nito (Larawan 330).
Teorama. Ang isang naka-inscribe na anggulo ay sinusukat ng kalahati ng arko na naharang nito.
Ito ay dapat na maunawaan bilang mga sumusunod: ang isang inscribed na anggulo ay naglalaman ng kasing dami ng angular degrees, minuto at segundo gaya ng arc degrees, minuto at segundo ay nakapaloob sa kalahati ng arko kung saan ito nakapatong.
Sa pagpapatunay ng teorama na ito, kailangan nating isaalang-alang ang tatlong kaso.
Unang kaso. Ang gitna ng bilog ay nasa gilid ng naka-inscribe na anggulo (Larawan 331).
Hayaang ang ∠ABC ay isang inscribed na anggulo at ang gitna ng bilog O ay nasa gilid ng BC. Kinakailangang patunayan na ito ay sinusukat ng kalahati ng arko AC.
Ikonekta ang point A sa gitna ng bilog. Nakukuha namin ang isosceles \(\Delta\)AOB, kung saan ang AO = OB, bilang radii ng parehong bilog. Samakatuwid, ∠A = ∠B.
∠AOC ay panlabas sa tatsulok na AOB, kaya ∠AOC = ∠A + ∠B, at dahil ang mga anggulo A at B ay pantay, ∠B ay 1/2 ∠AOC.
Ngunit ang ∠AOC ay sinusukat ng arc AC, samakatuwid ang ∠B ay sinusukat ng kalahati ng arc AC.
Halimbawa, kung ang \(\breve(AC)\) ay naglalaman ng 60°18', ang ∠B ay naglalaman ng 30°9'.
Pangalawang kaso. Ang gitna ng bilog ay nasa pagitan ng mga gilid ng naka-inscribe na anggulo (Larawan 332).
Hayaang ang ∠ABD ay isang inscribed na anggulo. Ang gitna ng bilog O ay nasa pagitan ng mga gilid nito. Kinakailangang patunayan na ang ∠ABD ay sinusukat ng kalahati ng arko AD.
Upang patunayan ito, iguhit natin ang diameter BC. Ang anggulo ng ABD ay nahahati sa dalawang anggulo: ∠1 at ∠2.
Ang ∠1 ay sinusukat ng kalahati ng arc AC, at ang ∠2 ay sinusukat ng kalahati ng arc CD, samakatuwid, ang buong ∠ABD ay sinusukat ng 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), ibig sabihin, kalahati ng arko AD.
Halimbawa, kung ang \(\breve(AD)\) ay naglalaman ng 124°, ang ∠B ay naglalaman ng 62°.
Pangatlong kaso. Ang gitna ng bilog ay nasa labas ng nakasulat na anggulo (Larawan 333).
Hayaang ang ∠MAD ay isang inscribed na anggulo. Ang gitna ng bilog O ay nasa labas ng sulok. Kinakailangang patunayan na ang ∠MAD ay sinusukat ng kalahati ng arc MD.
Upang patunayan ito, iguhit natin ang diameter AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Ngunit ang ∠MAB ay sumusukat ng 1/2 \(\breve(MB)\) at ∠DAB ay sumusukat ng 1/2 \(\breve(DB)\).
Samakatuwid, ang ∠MAD ay sumusukat ng 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), ibig sabihin, 1 / 2 \(\breve(MD)\).
Halimbawa, kung ang \(\breve(MD)\) ay naglalaman ng 48° 38", kung gayon ang ∠MAD ay naglalaman ng 24° 19' 8".
Mga kahihinatnan
1.
Ang lahat ng mga naka-inscribe na anggulo batay sa parehong arko ay pantay-pantay sa isa't isa, dahil ang mga ito ay sinusukat ng kalahati ng parehong arko
(Larawan 334, a).
2. Ang naka-inscribe na anggulo batay sa diameter ay isang tamang anggulo dahil nakabatay ito sa kalahating bilog. Ang kalahati ng bilog ay naglalaman ng 180 arc degrees, na nangangahulugan na ang anggulo batay sa diameter ay naglalaman ng 90 angular degrees (Larawan 334, b).
