logarithm ng isang naibigay na numero ay tinatawag na exponent kung saan dapat itaas ang isa pang numero, na tinatawag batayan logarithm upang makuha ang ibinigay na numero. Halimbawa, ang logarithm ng numerong 100 hanggang base 10 ay 2. Sa madaling salita, 10 ay dapat na kuwadrado upang makuha ang numerong 100 (10 2 = 100). Kung ang n- isang ibinigay na numero, b- base at l ay ang logarithm, kung gayon bl = n. Numero n tinatawag ding base antilogarithm b numero l. Halimbawa, ang antilogarithm ng 2 hanggang base 10 ay 100. Maaari itong isulat bilang log b n = l at antilog b l = n.

Ang mga pangunahing katangian ng logarithms:

Anumang positibong numero maliban sa isa ay maaaring maging batayan ng logarithms, ngunit sa kasamaang-palad ay lumalabas na kung b at n ay mga rational na numero, kung gayon sa mga bihirang kaso mayroong ganoong rational na numero l, Ano bl = n. Gayunpaman, maaaring tukuyin ng isa ang isang hindi makatwiran na numero l, halimbawa, tulad ng 10 l= 2; ito ay isang hindi makatwirang numero l maaaring matantya ng mga rational na numero na may anumang kinakailangang katumpakan. Lumalabas na sa halimbawang ito l ay humigit-kumulang 0.3010, at itong tinatayang base na 10 logarithm ng 2 ay matatagpuan sa apat na digit na talahanayan ng decimal logarithm. Ang base 10 logarithms (o decimal logarithms) ay madalas na ginagamit sa mga kalkulasyon na tinatawag silang karaniwan logarithms at isinulat bilang log2 = 0.3010 o log2 = 0.3010, inaalis ang tahasang indikasyon ng base ng logarithm. base logarithms e, isang transendental na numero na tinatayang katumbas ng 2.71828, ay tinatawag natural logarithms. Ang mga ito ay higit sa lahat ay matatagpuan sa mga gawa sa mathematical analysis at mga aplikasyon nito sa iba't ibang agham. Ang mga natural na logarithm ay isinusulat din nang hindi malinaw na ipinapahiwatig ang base, ngunit ginagamit ang espesyal na notasyon ln: halimbawa, ln2 = 0.6931, dahil e 0,6931 = 2.

Paggamit ng mga talahanayan ng ordinaryong logarithms.

Ang ordinaryong logarithm ng isang numero ay ang exponent kung saan kailangan mong itaas ang 10 upang makuha ang ibinigay na numero. Dahil 10 0 = 1, 10 1 = 10 at 10 2 = 100, agad nating makukuha ang log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, at iba pa. para sa pagtaas ng mga kapangyarihan ng integer na 10. Katulad nito, 10 -1 = 0.1, 10 -2 = 0.01 at kaya log0.1 = -1, log0.01 = -2, at iba pa. para sa lahat ng negatibong integer na kapangyarihan ng 10. Ang karaniwang logarithms ng natitirang mga numero ay nakapaloob sa pagitan ng logarithms ng pinakamalapit na integer na kapangyarihan ng 10; Ang log2 ay dapat nasa pagitan ng 0 at 1, ang log20 sa pagitan ng 1 at 2, at ang log0.2 sa pagitan ng -1 at 0. Kaya, ang logarithm ay may dalawang bahagi, isang integer at isang decimal sa pagitan ng 0 at 1. Ang integer na bahagi ay tinatawag na katangian logarithm at tinutukoy ng numero mismo, ang fractional na bahagi ay tinatawag mantissa at makikita mula sa mga talahanayan. Gayundin, log20 = log(2'10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Ang logarithm ng 2 ay 0.3010, kaya log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010. Katulad nito, log0.2 = log(2ё10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0.3010 - 1. Sa pamamagitan ng pagbabawas, makakakuha tayo ng log0.2 = -0.6990. Gayunpaman, ito ay mas maginhawa upang kumatawan sa log0.2 bilang 0.3010 - 1 o bilang 9.3010 - 10; ang isang pangkalahatang tuntunin ay maaari ding buuin: lahat ng mga numerong nakuha mula sa isang naibigay na numero sa pamamagitan ng pag-multiply sa isang kapangyarihan ng 10 ay may parehong mantissa na katumbas ng mantissa ng isang ibinigay na numero. Sa karamihan ng mga talahanayan, ang mantissas ng mga numero mula 1 hanggang 10 ay ibinibigay, dahil ang mantissas ng lahat ng iba pang mga numero ay maaaring makuha mula sa mga ibinigay sa talahanayan.

Karamihan sa mga talahanayan ay nagbibigay ng mga logarithm na may apat o limang decimal na lugar, bagama't mayroong pitong-digit na mga talahanayan at mga talahanayan na may higit pang mga decimal na lugar. Ang pag-aaral kung paano gamitin ang mga naturang talahanayan ay pinakamadali sa mga halimbawa. Upang mahanap ang log3.59, una sa lahat, tandaan namin na ang numero 3.59 ay nasa pagitan ng 10 0 at 10 1, kaya ang katangian nito ay 0. Hinahanap namin ang numero 35 (sa kaliwa) sa talahanayan at lumipat kasama ang hilera patungo sa column na may numero 9 sa itaas ; ang intersection ng column na ito at row 35 ay 5551, kaya log3.59 = 0.5551. Upang mahanap ang mantissa ng isang numero na may apat na makabuluhang digit, kailangan mong gumamit ng interpolation. Sa ilang mga talahanayan, ang interpolation ay pinadali ng mga proporsyonal na bahagi na ibinigay sa huling siyam na hanay sa kanang bahagi ng bawat pahina ng talahanayan. Hanapin ngayon log736.4; ang bilang na 736.4 ay nasa pagitan ng 10 2 at 10 3, kaya ang katangian ng logarithm nito ay 2. Sa talahanayan makikita natin ang hilera sa kaliwa kung saan ay 73 at column 6. Sa intersection ng row na ito at column na ito ay ang numero 8669. Kabilang sa mga linear na bahagi ay makikita natin ang column 4 Sa intersection ng row 73 at column 4 ay ang numero 2. Ang pagdaragdag ng 2 hanggang 8669, nakuha natin ang mantissa - ito ay katumbas ng 8671. Kaya, log736.4 = 2.8671.

natural logarithms.

Ang mga talahanayan at katangian ng natural na logarithms ay katulad ng mga talahanayan at katangian ng ordinaryong logarithms. Ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng dalawa ay ang integer na bahagi ng natural na logarithm ay hindi makabuluhan sa pagtukoy ng posisyon ng decimal point, at samakatuwid ang pagkakaiba sa pagitan ng mantissa at ang katangian ay hindi gumaganap ng isang espesyal na papel. Natural logarithms ng mga numero 5.432; 54.32 at 543.2 ay, ayon sa pagkakabanggit, 1.6923; 3.9949 at 6.2975. Ang kaugnayan sa pagitan ng mga logarithms na ito ay magiging maliwanag kung isasaalang-alang natin ang mga pagkakaiba sa pagitan ng mga ito: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; ang huling numero ay walang iba kundi ang natural na logarithm ng numero 10 (nakasulat na ganito: ln10); log543.2 - log5.432 = 4.6052; ang huling numero ay 2ln10. Ngunit 543.2 \u003d 10ґ54.32 \u003d 10 2 ґ5.432. Kaya, sa pamamagitan ng natural na logarithm ng isang naibigay na numero a mahahanap mo ang natural na logarithms ng mga numero, katumbas ng mga produkto ng numero a sa anumang antas n bilang 10 kung k ln a magdagdag ng ln10 na pinarami ng n, ibig sabihin. ln( aґ10n) = log a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Halimbawa, ln0.005432 = ln(5.432´10 -3) = ln5.432 - 3ln10 = 1.6923 - (3´2.3026) = - 5.2155. Samakatuwid, ang mga talahanayan ng natural na logarithms, tulad ng mga talahanayan ng ordinaryong logarithms, ay karaniwang naglalaman lamang ng mga logarithms ng mga numero mula 1 hanggang 10. Sa sistema ng natural na logarithms, ang isang tao ay maaaring magsalita ng mga antilogarithms, ngunit mas madalas ang isa ay nagsasalita ng isang exponential function o isang exponential . Kung ang x=ln y, pagkatapos y = ex, at y tinatawag na exponent x(para sa kaginhawahan ng typographical typesetting, madalas silang sumulat y=exp x). Ang exponent ay gumaganap ng papel ng antilogarithm ng numero x.

Sa tulong ng mga talahanayan ng decimal at natural na logarithms, maaari kang lumikha ng mga talahanayan ng logarithms sa anumang base maliban sa 10 at e. Kung mag-log b a = x, pagkatapos b x = a, at samakatuwid ay mag-log c b x= log c a o x log c b= log c a, o x= log c a/log c b= log b a. Samakatuwid, gamit ang inversion formula na ito mula sa talahanayan ng logarithms hanggang sa base c maaari kang bumuo ng mga talahanayan ng logarithms sa anumang iba pang base b. Multiplier 1/log c b tinawag module ng paglipat mula sa lupa c sa base b. Walang pumipigil, halimbawa, gamit ang inversion formula, o ang paglipat mula sa isang sistema ng logarithms patungo sa isa pa, upang mahanap ang natural na logarithms mula sa talahanayan ng mga ordinaryong logarithms o gawin ang reverse transition. Halimbawa, log105,432 = log e 5.432/log e 10 \u003d 1.6923 / 2.3026 \u003d 1.6923'0.4343 \u003d 0.7350. Ang bilang na 0.4343, kung saan ang natural na logarithm ng isang naibigay na numero ay dapat na i-multiply upang makuha ang ordinaryong logarithm, ay ang modulus ng paglipat sa sistema ng mga ordinaryong logarithm.

Mga espesyal na mesa.

Ang logarithms ay orihinal na naimbento upang magamit ang kanilang log ng mga katangian ab= log a+log b at mag-log a/b= log a–log b, gawing mga kabuuan ang mga produkto, at ang mga quotient sa mga pagkakaiba. Sa madaling salita, kung mag-log a at mag-log b ay kilala, pagkatapos ay sa tulong ng karagdagan at pagbabawas madali nating mahanap ang logarithm ng produkto at ang quotient. Sa astronomiya, gayunpaman, madalas para sa mga ibinigay na halaga ng log a at mag-log b kailangan maghanap ng log( a + b) o log( a – b). Siyempre, mahahanap muna ng isa mula sa mga talahanayan ng logarithms a at b, pagkatapos ay isagawa ang tinukoy na karagdagan o pagbabawas at, muling tinutukoy ang mga talahanayan, hanapin ang mga kinakailangang logarithms, ngunit ang ganitong pamamaraan ay mangangailangan ng tatlong biyahe sa mga talahanayan. Inilathala ni Z. Leonelli noong 1802 ang mga talahanayan ng tinatawag na. Gaussian logarithms- logarithms ng pagdaragdag ng mga kabuuan at pagkakaiba - na naging posible upang paghigpitan ang isang access sa mga talahanayan.

Noong 1624, iminungkahi ni I. Kepler ang mga talahanayan ng proporsyonal na logarithms, i.e. logarithms ng mga numero a/x, saan a ay ilang positibong pare-pareho. Ang mga talahanayan na ito ay pangunahing ginagamit ng mga astronomo at navigator.

Mga proporsyonal na logarithms sa a= 1 ang tinatawag logarithms at ginagamit sa mga kalkulasyon kapag kailangang harapin ang mga produkto at quotient. Ang logarithm ng isang numero n katumbas ng logarithm ng reciprocal; mga. colog n= log1/ n= - log n. Kung ang log2 = 0.3010, kung gayon ang colog2 = - 0.3010 = 0.6990 - 1. Ang bentahe ng paggamit ng logarithms ay kapag kinakalkula ang halaga ng logarithm ng mga expression ng form pq/r triple sum ng positive decimals log p+log q+ colog r ay mas madaling mahanap kaysa sa pinaghalong kabuuan at pagkakaiba ng log p+log q–log r.

Kwento.

Ang prinsipyong pinagbabatayan ng anumang sistema ng logarithms ay kilala sa napakatagal na panahon at maaaring masubaybayan pabalik sa sinaunang Babylonian mathematics (circa 2000 BC). Noong mga araw na iyon, ginamit ang interpolation sa pagitan ng mga tabular value ng positive integer powers upang kalkulahin ang compound interest. Di-nagtagal, ginamit ni Archimedes (287–212 BC) ang kapangyarihan ng 10 8 upang mahanap ang pinakamataas na limitasyon sa bilang ng mga butil ng buhangin na kailangan upang ganap na mapuno ang uniberso na kilala noong panahong iyon. Binigyang-pansin ni Archimedes ang pag-aari ng mga exponent na sumasailalim sa bisa ng logarithms: ang produkto ng mga kapangyarihan ay tumutugma sa kabuuan ng mga exponent. Sa pagtatapos ng Middle Ages at simula ng New Age, ang mga mathematician ay lalong nagsimulang sumangguni sa ugnayan sa pagitan ng geometric at arithmetic progressions. M. Stiefel sa kanyang sanaysay Integer arithmetic(1544) ay nagbigay ng talahanayan ng positibo at negatibong kapangyarihan ng numero 2:

Napansin ni Stiefel na ang kabuuan ng dalawang numero sa unang hilera (ang hilera ng mga exponent) ay katumbas ng exponent ng dalawa, na tumutugma sa produkto ng dalawang katumbas na numero sa ibabang hilera (ang hilera ng mga exponent). Kaugnay ng talahanayang ito, bumuo si Stiefel ng apat na panuntunan na katumbas ng apat na modernong panuntunan para sa mga operasyon sa mga exponents o apat na panuntunan para sa mga operasyon sa logarithms: ang kabuuan sa itaas na hilera ay tumutugma sa produkto sa ilalim na hilera; ang pagbabawas sa itaas na hilera ay tumutugma sa dibisyon sa ibabang hilera; ang multiplikasyon sa itaas na hilera ay tumutugma sa exponentiation sa ibabang hilera; ang dibisyon sa itaas na hilera ay tumutugma sa root extraction sa ibabang hilera.

Tila, ang mga alituntuning katulad ng mga tuntunin ni Stiefel ay humantong kay J. Naper sa pormal na pagpapakilala ng unang sistema ng logarithms sa sanaysay. Paglalarawan ng kamangha-manghang logarithm table, na inilathala noong 1614. Ngunit ang mga pag-iisip ni Napier ay abala sa problema ng pag-convert ng mga produkto sa mga kabuuan dahil higit sa sampung taon bago ang paglalathala ng kanyang trabaho, nakatanggap si Napier ng balita mula sa Denmark na ang kanyang mga katulong sa obserbatoryo ni Tycho Brahe ay may pamamaraan para sa pag-convert ng mga gawa sa kabuuan. Ang pamamaraang binanggit sa komunikasyon ni Napier ay batay sa paggamit ng mga trigonometrikong pormula ng uri

samakatuwid, ang mga talahanayan ng Napier ay pangunahing binubuo ng mga logarithms ng trigonometriko function. Kahit na ang konsepto ng base ay hindi tahasang kasama sa kahulugan na iminungkahi ni Napier, ang papel na katumbas ng base ng sistema ng logarithms sa kanyang sistema ay nilalaro ng numero (1 - 10 -7)ґ10 7, humigit-kumulang katumbas ng 1/ e.

Independyente ng Neuper at halos kasabay niya, isang sistema ng logarithms, medyo malapit sa uri, ay naimbento at inilathala ni J. Bürgi sa Prague, na inilathala noong 1620 Arithmetic at geometric progression tables. Ito ay mga talahanayan ng antilogarithms sa base (1 + 10 –4) ґ10 4 , isang medyo magandang pagtatantya ng numero e.

Sa sistema ng Napier, ang logarithm ng numero 10 7 ay kinuha bilang zero, at habang bumababa ang mga numero, tumaas ang logarithms. Nang bumisita si G. Briggs (1561-1631) sa Napier, parehong sumang-ayon na magiging mas maginhawang gamitin ang numerong 10 bilang batayan at isaalang-alang ang logarithm ng isang katumbas ng zero. Pagkatapos, habang tumataas ang mga numero, tataas ang kanilang logarithms. Kaya, nakuha namin ang modernong sistema ng decimal logarithms, ang talahanayan kung saan inilathala ni Briggs sa kanyang sanaysay Logarithmic arithmetic(1620). base logarithms e, bagama't hindi ang mga ipinakilala ni Napier, ay madalas na tinutukoy bilang Napier's. Ang mga terminong "characteristic" at "mantissa" ay iminungkahi ni Briggs.

Ang unang logarithms, para sa makasaysayang mga kadahilanan, ay gumamit ng mga pagtatantya sa mga numero 1/ e at e. Maya-maya, ang ideya ng natural na logarithms ay nagsimulang maiugnay sa pag-aaral ng mga lugar sa ilalim ng hyperbola xy= 1 (Larawan 1). Noong ika-17 siglo ipinakita na ang lugar na napapaligiran ng kurba na ito, ang axis x at ordinates x= 1 at x = a(sa Fig. 1 ang lugar na ito ay natatakpan ng mas makapal at mas bihirang mga tuldok) tumataas ang pag-unlad ng aritmetika kapag a tumataas nang husto. Ang pag-asa na ito ay lumitaw sa mga patakaran para sa mga aksyon sa mga exponents at logarithms. Nagbigay ito ng mga batayan upang tawagan ang Napier logarithms na "hyperbolic logarithms".

Logarithmic function.

May panahon na ang logarithms ay itinuturing na isang paraan lamang ng pagkalkula, ngunit noong ika-18 siglo, higit sa lahat dahil sa gawain ni Euler, nabuo ang konsepto ng isang logarithmic function. Ang graph ng naturang function y=ln x, na ang mga ordinate ay tumaas sa pag-unlad ng aritmetika, habang ang pagtaas ng abscissas sa geometric na pag-unlad, ay ipinapakita sa Fig. 2, a. Graph ng inverse, o exponential (exponential) function y = e x, na ang mga ordinate ay tumaas nang exponentially, at ang abscissas ay nagdaragdag ng arithmetic, ay ipinakita, ayon sa pagkakabanggit, sa Fig. 2, b. (Mga kurba y= log x at y = 10x katulad ng hugis sa mga kurba y=ln x at y = ex.) Ang mga alternatibong kahulugan ng logarithmic function ay iminungkahi din, halimbawa,

kpi ; at, gayundin, ang mga natural na logarithms ng -1 ay mga kumplikadong numero ng anyo (2 k + 1)pi, saan k ay isang integer. Ang mga katulad na pahayag ay totoo rin para sa pangkalahatang logarithms o iba pang mga sistema ng logarithms. Bilang karagdagan, ang kahulugan ng logarithms ay maaaring gawing pangkalahatan gamit ang mga pagkakakilanlan ng Euler upang isama ang kumplikadong logarithms ng mga kumplikadong numero.

Ang isang alternatibong kahulugan ng logarithmic function ay ibinibigay ng functional analysis. Kung ang f(x) ay isang tuluy-tuloy na function ng isang tunay na numero x, na may sumusunod na tatlong katangian: f (1) = 0, f (b) = 1, f (UV) = f (u) + f (v), pagkatapos f(x) ay tinukoy bilang ang logarithm ng numero x sa pamamagitan ng dahilan b. Ang kahulugan na ito ay may ilang mga pakinabang kaysa sa kahulugan na ibinigay sa simula ng artikulong ito.

Mga aplikasyon.

Ang mga logarithm ay orihinal na ginamit lamang upang pasimplehin ang mga kalkulasyon, at ang application na ito ay isa pa rin sa kanilang pinakamahalaga. Ang pagkalkula ng mga produkto, quotient, kapangyarihan at mga ugat ay pinadali hindi lamang sa pamamagitan ng malawak na kakayahang magamit ng mga nai-publish na mga talahanayan ng logarithms, kundi pati na rin sa pamamagitan ng paggamit ng tinatawag na. slide rule - isang computing tool, ang prinsipyo nito ay batay sa mga katangian ng logarithms. Ang ruler ay nilagyan ng logarithmic scales, i.e. distansya mula sa numero 1 hanggang sa anumang numero x pinili katumbas ng log x; sa pamamagitan ng paglilipat ng isang sukat na may kaugnayan sa isa pa, posible na i-plot ang mga kabuuan o pagkakaiba ng logarithms, na ginagawang posible na basahin ang mga produkto o mga partial ng mga kaukulang numero nang direkta mula sa sukat. Upang samantalahin ang pagtatanghal ng mga numero sa isang logarithmic form ay nagbibigay-daan sa tinatawag na. logarithmic na papel para sa pag-plot (papel na may mga logarithmic na kaliskis na naka-print dito kasama ang parehong coordinate axes). Kung ang pag-andar ay nakakatugon sa isang batas ng kapangyarihan ng form y = kx n, kung gayon ang logarithmic graph nito ay mukhang isang tuwid na linya, dahil log y= log k + n log x ay isang equation linear na may kinalaman sa log y at mag-log x. Sa kabaligtaran, kung ang logarithmic graph ng ilang functional dependence ay may anyo ng isang tuwid na linya, kung gayon ang dependence na ito ay isang batas ng kapangyarihan. Ang semi-log na papel (kung saan ang y-axis ay nasa logarithmic scale at ang abscissa ay nasa pare-parehong sukat) ay kapaki-pakinabang kapag kailangang matukoy ang mga exponential function. Mga equation ng form y = kb rx nangyayari kapag ang isang dami, gaya ng populasyon, radioactive material, o balanse sa bangko, ay bumababa o tumataas sa bilis na proporsyonal sa kasalukuyang populasyon, radioactive na materyal, o pera. Kung ang gayong pag-asa ay inilapat sa semi-logarithmic na papel, ang graph ay magmumukhang isang tuwid na linya.

Ang logarithmic function ay lumitaw na may kaugnayan sa iba't ibang mga natural na anyo. Ang mga bulaklak sa sunflower inflorescences ay nakahanay sa logarithmic spirals, ang mga mollusk shell ay twist Nautilus, mga sungay ng tupa sa bundok at mga tuka ng loro. Ang lahat ng mga likas na hugis na ito ay mga halimbawa ng kurba na kilala bilang logarithmic spiral, dahil sa polar coordinates ang equation nito ay r = ae bq, o ln r=ln a + bq. Ang nasabing kurba ay inilalarawan ng isang gumagalaw na punto, ang distansya mula sa poste na kung saan ay lumalaki nang malaki, at ang anggulo na inilarawan ng radius vector nito ay lumalaki sa aritmetika. Ang ubiquity ng naturang curve, at dahil dito ng logarithmic function, ay mahusay na inilarawan sa pamamagitan ng katotohanan na ito ay nangyayari sa mga rehiyon na malayo at medyo naiiba tulad ng contour ng isang sira-sira cam at ang tilapon ng ilang mga insekto na lumilipad patungo sa liwanag.

madalas kumuha ng numero e = 2,718281828 . Ang mga logarithms sa base na ito ay tinatawag natural. Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon na may natural na logarithms, karaniwan nang gumana gamit ang sign ln, ngunit hindi log; habang ang numero 2,718281828 , pagtukoy sa base, huwag ipahiwatig.

Sa madaling salita, ang mga salita ay magiging ganito: natural na logarithm numero X ay ang exponent kung saan itataas ang numero e, Upang makuha x.

Kaya, ln(7,389...)= 2 kasi e 2 =7,389... . Ang natural na logarithm ng numero mismo e= 1 kasi e 1 =e, at ang natural na logarithm ng pagkakaisa ay katumbas ng zero, dahil e 0 = 1.

Ang numero mismo e tumutukoy sa limitasyon ng isang monotone bounded sequence

kalkulado iyon e = 2,7182818284... .

Kadalasan, upang ayusin ang isang numero sa memorya, ang mga digit ng kinakailangang numero ay nauugnay sa ilang natitirang petsa. Ang bilis ng pag-alala sa unang siyam na digit ng isang numero e pagkatapos ng decimal point ay tataas kung mapapansin mo na ang 1828 ay ang taon ng kapanganakan ni Leo Tolstoy!

Sa ngayon, may mga medyo kumpletong talahanayan ng natural logarithms.

natural na log graph(mga function y=sa x) ay isang kinahinatnan ng plot ng exponent bilang isang mirror na imahe na may paggalang sa tuwid na linya y = x at mukhang:

Ang natural na logarithm ay matatagpuan para sa bawat positibong tunay na numero a bilang lugar sa ilalim ng kurba y = 1/x mula sa 1 dati a.

Ang elementarya na katangian ng pagbabalangkas na ito, na akma sa maraming iba pang mga pormula kung saan ang natural na logarithm ay kasangkot, ang dahilan ng pagbuo ng pangalang "natural".

Kung susuriin natin natural na logarithm, bilang isang tunay na pag-andar ng isang tunay na variable, pagkatapos ay kumikilos ito baligtad na pag-andar sa isang exponential function, na bumababa sa mga pagkakakilanlan:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa lahat ng logarithms, ang natural na logarithm ay nagko-convert ng multiplikasyon sa karagdagan, paghahati sa pagbabawas:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Ang logarithm ay matatagpuan para sa bawat positibong base na hindi katumbas ng isa, hindi lamang para sa e, ngunit ang mga logarithm para sa iba pang mga base ay naiiba sa natural na logarithm sa pamamagitan lamang ng isang pare-parehong salik, at kadalasang tinutukoy sa mga tuntunin ng natural na logarithm.

Nasuri natural na log graph, nakuha namin na ito ay umiiral para sa mga positibong halaga ng variable x. Ito ay monotonically tumataas sa kanyang domain ng kahulugan.

Sa x → 0 ang limitasyon ng natural na logarithm ay minus infinity ( -∞ ).Sa x → +∞ ang limitasyon ng natural logarithm ay plus infinity ( + ∞ ). Sa kabuuan x medyo mabagal ang pagtaas ng logarithm. Anumang power function x a na may positibong exponent a mas mabilis na tumataas kaysa sa logarithm. Ang natural na logarithm ay isang monotonically increase na function, kaya wala itong extrema.

Paggamit natural logarithms napaka makatwiran sa pagpasa ng mas mataas na matematika. Kaya, ang paggamit ng logarithm ay maginhawa para sa paghahanap ng sagot sa mga equation kung saan lumilitaw ang mga hindi alam bilang isang exponent. Ang paggamit ng natural na logarithms sa mga kalkulasyon ay ginagawang posible upang lubos na mapadali ang isang malaking bilang ng mga mathematical formula. base logarithms e ay naroroon sa paglutas ng malaking bilang ng mga pisikal na problema at natural na kasama sa matematikal na paglalarawan ng indibidwal na kemikal, biyolohikal at iba pang mga proseso. Kaya, ang logarithms ay ginagamit upang kalkulahin ang decay constant para sa isang kilalang kalahating buhay, o upang kalkulahin ang oras ng pagkabulok sa paglutas ng mga problema ng radioactivity. Sila ay gumaganap ng isang nangungunang papel sa maraming mga seksyon ng matematika at praktikal na agham, sila ay ginamit sa larangan ng pananalapi upang malutas ang isang malaking bilang ng mga problema, kabilang ang pagkalkula ng tambalang interes.

natural na logarithm

Graph ng natural na logarithm function. Ang function ay dahan-dahang lumalapit sa positibong infinity bilang x at mabilis na lumalapit sa negatibong kawalang-hanggan kapag x may posibilidad na 0 (“mabagal” at “mabilis” kumpara sa anumang power function ng x).

natural na logarithm ay ang batayang logarithm , saan e ay isang hindi makatwiran na pare-pareho na katumbas ng humigit-kumulang 2.718281 828 . Ang natural na logarithm ay karaniwang tinutukoy bilang ln( x), log e (x) o minsan mag log( x) kung ang batayan e ipinahiwatig.

Natural logarithm ng isang numero x(isinulat bilang log(x)) ay ang exponent kung saan mo gustong itaas ang numero e, Upang makuha x. Halimbawa, ln(7,389...) katumbas ng 2 dahil e 2 =7,389... . Ang natural na logarithm ng numero mismo e (ln(e)) ay katumbas ng 1 dahil e 1 = e, at ang natural na logarithm 1 ( log(1)) ay 0 dahil e 0 = 1.

Ang natural na logarithm ay maaaring tukuyin para sa anumang positibong tunay na numero a bilang lugar sa ilalim ng kurba y = 1/x mula 1 hanggang a. Ang pagiging simple ng kahulugan na ito, na naaayon sa maraming iba pang mga formula na gumagamit ng natural na logarithm, ay humantong sa pangalang "natural". Ang kahulugan na ito ay maaaring pahabain sa mga kumplikadong numero, na tatalakayin sa ibaba.

Kung isasaalang-alang natin ang natural na logarithm bilang isang tunay na pag-andar ng isang tunay na variable, kung gayon ito ay ang kabaligtaran na pag-andar ng exponential function, na humahantong sa mga pagkakakilanlan:

Tulad ng lahat ng logarithms, ang natural na logarithm ay nagmamapa ng multiplikasyon sa karagdagan:

Kaya, ang logarithmic function ay isang isomorphism ng pangkat ng mga positibong tunay na numero na may paggalang sa multiplikasyon ng pangkat ng mga tunay na numero sa pamamagitan ng karagdagan, na maaaring kinakatawan bilang isang function:

Ang logarithm ay maaaring tukuyin para sa anumang positibong base maliban sa 1, hindi lamang e, ngunit ang mga logarithm para sa iba pang mga base ay naiiba sa natural na logarithm sa pamamagitan lamang ng isang pare-parehong salik, at kadalasang tinutukoy sa mga tuntunin ng natural na logarithm. Ang logarithms ay kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga equation kung saan ang mga hindi alam ay naroroon bilang isang exponent. Halimbawa, ang logarithms ay ginagamit upang mahanap ang decay constant para sa isang kilalang kalahating buhay, o upang mahanap ang oras ng pagkabulok sa paglutas ng mga problema ng radioactivity. Sila ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa maraming mga lugar ng matematika at inilapat na agham, ay ginagamit sa larangan ng pananalapi upang malutas ang maraming mga problema, kabilang ang paghahanap ng tambalang interes.

Kwento

Ang unang pagbanggit ng natural logarithm ay ginawa ni Nicholas Mercator sa kanyang trabaho Logarithmotechnia, na inilathala noong 1668, bagama't ang guro ng matematika na si John Spydell ay nag-compile ng isang talahanayan ng natural logarithms noong 1619. Noong nakaraan, tinawag itong hyperbolic logarithm dahil tumutugma ito sa lugar sa ilalim ng hyperbola. Minsan ito ay tinatawag na Napier logarithm, bagaman ang orihinal na kahulugan ng terminong ito ay medyo naiiba.

Mga kumbensyon ng notasyon

Ang natural na logarithm ay karaniwang tinutukoy ng "ln( x)", base 10 logarithm sa pamamagitan ng "lg( x)", at kaugalian na ipahiwatig ang iba pang mga batayan nang tahasang may simbolong "log".

Sa maraming papel sa discrete mathematics, cybernetics, computer science, ginagamit ng mga may-akda ang notasyong “log( x)" para sa mga logarithms sa base 2, ngunit ang kumbensyong ito ay hindi tinatanggap sa pangkalahatan at nangangailangan ng paglilinaw, alinman sa isang listahan ng notasyong ginamit o (kung walang ganoong listahan) sa pamamagitan ng footnote o komento sa unang paggamit.

Ang mga panaklong sa paligid ng argumento ng logarithms (kung hindi ito humantong sa isang maling pagbabasa ng formula) ay kadalasang tinanggal, at kapag tinataas ang logarithm sa isang kapangyarihan, ang exponent ay direktang iniuugnay sa sign ng logarithm: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Sistemang Anglo-Amerikano

Karaniwang ginagamit ng mga mathematician, statistician at ilang inhinyero ang alinman sa "log( x)", o "ln( x)" , at upang tukuyin ang logarithm sa base 10 - "log 10 ( x)».

Ang ilang mga inhinyero, biologist, at iba pang mga propesyonal ay palaging nagsusulat ng "ln( x)" (o paminsan-minsan ay "log e ( x)") kapag ang ibig nilang sabihin ay ang natural na logarithm, at ang notasyong "log( x)" ay nangangahulugang log 10 ( x).

log e ay ang "natural" na logarithm dahil awtomatiko itong nangyayari at madalas na lumilitaw sa matematika. Halimbawa, isaalang-alang ang problema ng derivative ng isang logarithmic function:

Kung ang basehan b katumbas e, kung gayon ang derivative ay 1/ x, At kailan x= 1 ang derivative na ito ay katumbas ng 1. Isa pang katwiran kung saan ang base e Ang logarithm ay ang pinaka-natural, na ito ay maaaring matukoy nang simple sa mga tuntunin ng isang simpleng integral o serye ng Taylor, na hindi masasabi tungkol sa iba pang logarithms.

Ang mga karagdagang substantiation ng pagiging natural ay hindi konektado sa bilang. Kaya, halimbawa, mayroong ilang mga simpleng serye na may natural na logarithms. Tinawag sila nina Pietro Mengoli at Nicholas Mercator logarithmus naturalis ilang dekada hanggang bumuo ng differential at integral calculus sina Newton at Leibniz.

Kahulugan

Pormal na ln( a) ay maaaring tukuyin bilang ang lugar sa ilalim ng curve ng graph 1/ x mula 1 hanggang a, ibig sabihin, bilang integral:

Talagang ito ay isang logarithm dahil natutugunan nito ang pangunahing katangian ng isang logarithm:

Ito ay maipakikita sa pamamagitan ng pag-aakalang sumusunod:

Numerical na halaga

Upang kalkulahin ang numerical na halaga ng natural na logarithm ng isang numero, maaari mong gamitin ang pagpapalawak nito sa isang serye ng Taylor sa anyo:

Upang makuha ang pinakamahusay na rate ng convergence, maaari mong gamitin ang sumusunod na pagkakakilanlan:

sa kondisyon na y = (x−1)/(x+1) at x > 0.

Para sa ln( x), saan x> 1, mas malapit ang halaga x hanggang 1, mas mabilis ang convergence rate. Ang mga pagkakakilanlan na nauugnay sa logarithm ay maaaring gamitin upang makamit ang layunin:

Ginamit ang mga pamamaraang ito bago pa man dumating ang mga calculator, kung saan ginamit ang mga numerical table at isinagawa ang mga manipulasyon na katulad ng mga inilarawan sa itaas.

Mataas na katumpakan

Para sa pagkalkula ng natural na logarithm na may maraming mga digit ng katumpakan, ang serye ng Taylor ay hindi mahusay dahil ang convergence nito ay mabagal. Ang isang alternatibo ay ang paggamit ng pamamaraan ni Newton upang baligtarin ang isang exponential function, na ang serye ay mas mabilis na nagtatagpo.

Ang isang alternatibo para sa napakataas na katumpakan ng pagkalkula ay ang formula:

saan M nagsasaad ng arithmetic-geometric mean ng 1 at 4/s, at

m pinili kaya na p ang mga marka ng katumpakan ay nakamit. (Sa karamihan ng mga kaso, sapat na ang halagang 8 para sa m.) Sa katunayan, kung gagamitin ang pamamaraang ito, maaaring ilapat ang inversion ni Newton ng natural logarithm upang mahusay na makalkula ang exponential function. (Ang mga constant ln 2 at pi ay maaaring ma-precompute sa nais na katumpakan gamit ang alinman sa kilalang mabilis na convergent na serye.)

Computational complexity

Ang computational complexity ng natural logarithms (gamit ang arithmetic-geometric mean) ay O( M(n)ln n). Dito n ay ang bilang ng mga digit ng katumpakan kung saan susuriin ang natural na logarithm, at M(n) ay ang computational complexity ng pagpaparami ng dalawa n-digit na mga numero.

Patuloy na mga fraction

Bagama't walang mga simpleng patuloy na fraction na kumakatawan sa logarithm, maaaring gamitin ang ilang pangkalahatang patuloy na fraction, kabilang ang:

Mga kumplikadong logarithms

Ang exponential function ay maaaring i-extend sa isang function na nagbibigay ng complex number ng form e x para sa anumang arbitrary complex number x, habang gumagamit ng infinite series na may complex x. Ang exponential function na ito ay maaaring baligtarin upang bumuo ng isang kumplikadong logarithm na magkakaroon ng karamihan sa mga katangian ng ordinaryong logarithms. Gayunpaman, mayroong dalawang kahirapan: wala x, para sa e x= 0, at lumalabas na e 2pi = 1 = e 0 . Dahil ang multiplicativity property ay wasto para sa isang kumplikadong exponential function, kung gayon e z = e z+2npi para sa lahat ng kumplikado z at buo n.

Ang logarithm ay hindi maaaring tukuyin sa buong kumplikadong eroplano, at kahit na ito ay multivalued - anumang kumplikadong logarithm ay maaaring mapalitan ng isang "katumbas" na logarithm sa pamamagitan ng pagdaragdag ng anumang integer multiple ng 2 pi. Ang kumplikadong logarithm ay maaari lamang iisa ang halaga sa isang hiwa ng kumplikadong eroplano. Halimbawa ln i = 1/2 pi o 5/2 pi o −3/2 pi, atbp., at bagaman i 4 = 1.4log i maaaring tukuyin bilang 2 pi, o 10 pi o -6 pi, at iba pa.

Tingnan din

• John Napier - imbentor ng logarithms

Mga Tala

1. Matematika para sa pisikal na kimika. - ika-3. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Extract ng pahina 9
2. J J O "Connor at EF Robertson Ang dami e. Ang MacTutor History of Mathematics archive (Setyembre 2001). naka-archive
3. Cajori Florian Isang Kasaysayan ng Matematika, ika-5 ed. - AMS Bookstore, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Pagtatantya ng Integrals gamit ang Polynomials . Na-archive mula sa orihinal noong Pebrero 12, 2012.

1.1. Pagtukoy sa antas para sa isang integer exponent

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N \u003d X * X * ... * X - N beses

1.2. Zero degree.

Sa pamamagitan ng kahulugan, kaugalian na ipalagay na ang zero na kapangyarihan ng anumang numero ay katumbas ng 1:

1.3. negatibong antas.

X-N = 1/XN

1.4. Fractional exponent, ugat.

X 1/N = N-th root ng X.

Halimbawa: X 1/2 = √X.

1.5. Ang formula para sa pagdaragdag ng mga kapangyarihan.

X (N+M) = X N * X M

1.6 Formula para sa pagbabawas ng mga degree.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Formula ng pagpaparami ng kapangyarihan.

XN*M = (XN)M

1.8. Ang formula para sa pagtaas ng isang fraction sa isang kapangyarihan.

(X/Y)N = XN /YN

2. Bilang e.

Ang halaga ng numero e ay katumbas ng sumusunod na limitasyon:

E = lim(1+1/N), bilang N → ∞.

Sa katumpakan ng 17 digit, ang numerong e ay 2.71828182845904512.

3. Pagkakapantay-pantay ni Euler.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nag-uugnay sa limang numero na gumaganap ng isang espesyal na papel sa matematika: 0, 1, ang numero e, ang numerong pi, ang haka-haka na yunit.

E(i*pi) + 1 = 0

4. Exponential function exp (x)

exp(x) = e x

5. Derivative ng exponential function

Ang isang exponential function ay may kapansin-pansing katangian: ang derivative ng isang function ay katumbas ng exponential function mismo:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logarithm.

6.1. Kahulugan ng logarithm function

Kung x = b y , kung gayon ang logarithm ay ang function

Y = Logb(x).

Ang logarithm ay nagpapakita sa kung anong antas ang kinakailangan upang itaas ang isang numero - ang base ng logarithm (b) upang makakuha ng isang naibigay na numero (X). Ang logarithm function ay tinukoy para sa X na mas malaki sa zero.

Halimbawa: Log 10 (100) = 2.

6.2. Decimal logarithm

Ito ang logarithm sa base 10:

Y = Log 10 (x) .

Tinutukoy na Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Ang isang halimbawa ng paggamit ng decimal logarithm ay decibel.

6.3. Decibel

Ang item ay naka-highlight sa isang hiwalay na pahina ng Decibel

6.4. binary logarithm

Ito ang base 2 logarithm:

Y = Log2(x).

Tinutukoy ng Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. natural na logarithm

Ito ang logarithm na ibabatay e:

Y = loge(x) .

Tinutukoy ng Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Ang natural na logarithm ay ang kabaligtaran ng exponential function na exp(X).

6.6. mga punto ng katangian

Loga(1) = 0
Log a(a) = 1

6.7. Ang formula para sa logarithm ng produkto

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Ang formula para sa logarithm ng quotient

Log a (x/y) = Log a (x) - Log a (y)

6.9. Power logarithm formula

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formula para sa pag-convert sa isang logarithm na may ibang base

Log b (x) = (Log a (x)) / Log a (b)

Halimbawa:

Log 2 (8) = Log 10 (8) / Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Mga formula na kapaki-pakinabang sa buhay

Kadalasan may mga problema sa pag-convert ng volume sa lugar o haba, at ang kabaligtaran na problema ay ang pag-convert ng lugar sa volume. Halimbawa, ang mga board ay ibinebenta sa mga cube (kubiko metro), at kailangan nating kalkulahin kung gaano karaming lugar ng dingding ang maaaring ma-sheath na may mga board na nakapaloob sa isang tiyak na dami, tingnan ang pagkalkula ng mga board, kung gaano karaming mga board ang nasa isang kubo. O, ang mga sukat ng pader ay kilala, ito ay kinakailangan upang kalkulahin ang bilang ng mga brick, tingnan ang pagkalkula ng brick.

Pinapayagan na gamitin ang mga materyal ng site sa kondisyon na ang isang aktibong link sa pinagmulan ay nakatakda.

So, we have powers of two. Kung kukunin mo ang numero mula sa ilalim na linya, madali mong mahahanap ang kapangyarihan kung saan kailangan mong magtaas ng dalawa upang makuha ang numerong ito. Halimbawa, upang makakuha ng 16, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaapat na kapangyarihan. At para makakuha ng 64, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaanim na kapangyarihan. Ito ay makikita mula sa talahanayan.

At ngayon - sa katunayan, ang kahulugan ng logarithm:

Ang logarithm sa base a ng argumentong x ay ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong a upang makuha ang numerong x .

Notasyon: log a x \u003d b, kung saan ang a ay ang base, x ang argumento, ang b ay talagang katumbas ng logarithm.

Halimbawa, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ang base 2 logarithm ng 8 ay tatlo dahil 2 3 = 8). Maaari ring mag-log 2 64 = 6 dahil 2 6 = 64 .

Ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ng isang numero sa isang ibinigay na base ay tinatawag na logarithm. Kaya't magdagdag tayo ng bagong hilera sa ating talahanayan:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Sa kasamaang palad, hindi lahat ng logarithms ay itinuturing na madali. Halimbawa, subukang hanapin ang log 2 5 . Ang numero 5 ay wala sa talahanayan, ngunit ang lohika ay nagdidikta na ang logarithm ay nasa isang lugar sa segment. Dahil 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Ang mga nasabing numero ay tinatawag na hindi makatwiran: ang mga numero pagkatapos ng decimal point ay maaaring isulat nang walang katiyakan, at hindi na mauulit. Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, mas mabuting iwanan ito ng ganito: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Mahalagang maunawaan na ang logarithm ay isang expression na may dalawang variable (base at argumento). Sa una, maraming tao ang nalilito kung saan ang batayan at kung saan ang argumento. Upang maiwasan ang nakakainis na hindi pagkakaunawaan, tingnan lamang ang larawan:

Bago sa amin ay walang iba kundi ang kahulugan ng logarithm. Tandaan: ang logarithm ay ang kapangyarihan, kung saan kailangan mong itaas ang base upang makuha ang argumento. Ito ay ang base na nakataas sa isang kapangyarihan - sa larawan ito ay naka-highlight sa pula. Palaging nasa ibaba ang base! Sinasabi ko ang napakagandang tuntuning ito sa aking mga mag-aaral sa pinakaunang aralin - at walang kalituhan.

Nalaman namin ang kahulugan - nananatili itong matutunan kung paano magbilang ng mga logarithms, i.e. tanggalin ang "log" sign. Upang magsimula, tandaan namin na ang dalawang mahahalagang katotohanan ay sumusunod mula sa kahulugan:

1. Ang argument at base ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng antas ng isang rational exponent, kung saan ang kahulugan ng logarithm ay nabawasan.
2. Ang base ay dapat na naiiba sa pagkakaisa, dahil ang isang yunit sa anumang kapangyarihan ay isang yunit pa rin. Dahil dito, ang tanong na "sa anong kapangyarihan dapat itaas ang isa upang makakuha ng dalawa" ay walang kahulugan. Walang ganoong degree!

Ang ganitong mga paghihigpit ay tinatawag wastong saklaw(ODZ). Ito ay lumalabas na ang ODZ ng logarithm ay ganito ang hitsura: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Tandaan na walang mga paghihigpit sa numerong b (ang halaga ng logarithm) ay hindi ipinapataw. Halimbawa, maaaring negatibo ang logarithm: log 2 0.5 \u003d -1, dahil 0.5 = 2 −1 .

Gayunpaman, ngayon ay isinasaalang-alang lamang namin ang mga numerical na expression, kung saan hindi kinakailangang malaman ang ODZ ng logarithm. Ang lahat ng mga paghihigpit ay kinuha na sa account ng mga compiler ng mga problema. Ngunit kapag naganap ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay, magiging mandatory ang mga kinakailangan ng DHS. Sa katunayan, sa batayan at argumento ay maaaring mayroong napakalakas na mga konstruksyon na hindi kinakailangang tumutugma sa mga paghihigpit sa itaas.

Ngayon isaalang-alang ang pangkalahatang pamamaraan para sa pagkalkula ng logarithms. Binubuo ito ng tatlong hakbang:

1. Ipahayag ang base a at ang argumentong x bilang isang kapangyarihan na may pinakamaliit na posibleng base na mas malaki sa isa. Kasama ang paraan, ito ay mas mahusay na upang mapupuksa ang decimal fractions;
2. Lutasin ang equation para sa variable b: x = a b ;
3. Ang resultang numero b ang magiging sagot.

Iyon lang! Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, ito ay makikita na sa unang hakbang. Ang pangangailangan na ang base ay mas malaki kaysa sa isa ay napaka-kaugnay: binabawasan nito ang posibilidad ng error at lubos na pinapasimple ang mga kalkulasyon. Katulad din sa mga decimal fraction: kung agad mong iko-convert ang mga ito sa ordinaryo, magkakaroon ng maraming beses na mas kaunting mga error.

Tingnan natin kung paano gumagana ang scheme na ito sa mga partikular na halimbawa:

Isang gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 5 25

1. Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Gawin at lutasin natin ang equation:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Nakatanggap ng sagot: 2.

Isang gawain. Kalkulahin ang logarithm:

Isang gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 4 64

1. Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Gawin at lutasin natin ang equation:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Nakatanggap ng sagot: 3.

Isang gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 16 1

1. Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Gawin at lutasin natin ang equation:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Nakatanggap ng tugon: 0.

Isang gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 7 14

1. Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng pito: 7 = 7 1 ; 14 ay hindi kinakatawan bilang kapangyarihan ng pito, dahil 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Ito ay sumusunod mula sa nakaraang talata na ang logarithm ay hindi isinasaalang-alang;
3. Ang sagot ay walang pagbabago: log 7 14.

Isang maliit na tala sa huling halimbawa. Paano makasigurado na ang isang numero ay hindi eksaktong kapangyarihan ng isa pang numero? Napakasimple - i-decompose lang ito sa prime factors. Kung mayroong hindi bababa sa dalawang natatanging mga kadahilanan sa pagpapalawak, ang numero ay hindi isang eksaktong kapangyarihan.

Isang gawain. Alamin kung ang eksaktong kapangyarihan ng numero ay: 8; 48; 81; 35; labing apat .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ang eksaktong antas, dahil mayroon lamang isang multiplier;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ay hindi eksaktong kapangyarihan dahil may dalawang salik: 3 at 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - eksaktong antas;
35 = 7 5 - muli hindi isang eksaktong antas;
14 \u003d 7 2 - muli hindi isang eksaktong antas;

Tandaan din na ang mga prime number mismo ay palaging eksaktong kapangyarihan ng kanilang mga sarili.

Decimal logarithm

Ang ilang logarithms ay karaniwan na mayroon silang espesyal na pangalan at pagtatalaga.

Ang decimal logarithm ng x argument ay ang base 10 logarithm, i.e. ang kapangyarihan kung saan kailangan mong itaas ang numerong 10 upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: lg x .

Halimbawa, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atbp.

Mula ngayon, kapag may lumabas na pariralang tulad ng “Find lg 0.01” sa textbook, alamin na hindi ito isang typo. Ito ang decimal logarithm. Gayunpaman, kung hindi ka sanay sa gayong pagtatalaga, maaari mo itong muling isulat palagi:
log x = log 10 x

Lahat ng totoo para sa ordinaryong logarithms ay totoo din para sa mga decimal.

natural na logarithm

May isa pang logarithm na may sariling notasyon. Sa isang kahulugan, ito ay mas mahalaga kaysa decimal. Ito ang natural na logarithm.

Ang natural na logarithm ng x ay ang base e logarithm, i.e. ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong e upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: ln x .

Marami ang magtatanong: ano pa ba ang numero e? Ito ay isang hindi makatwirang numero, ang eksaktong halaga nito ay hindi mahanap at maisulat. Narito lamang ang mga unang numero:
e = 2.718281828459...

Hindi natin susuriin kung ano ang numerong ito at kung bakit ito kailangan. Tandaan lamang na ang e ay ang batayan ng natural na logarithm:
ln x = log e x

Kaya ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - atbp. Sa kabilang banda, ang ln 2 ay isang hindi makatwirang numero. Sa pangkalahatan, ang natural na logarithm ng anumang rational na numero ay hindi makatwiran. Maliban, siyempre, pagkakaisa: ln 1 = 0.

Para sa mga natural na logarithms, ang lahat ng mga patakaran na totoo para sa mga ordinaryong logarithms ay may bisa.