Ang isang quadratic function ay isang function ng form:
y=a*(x^2)+b*x+c,
kung saan ang a ay ang koepisyent sa pinakamataas na antas ng hindi kilalang x,
b - koepisyent sa hindi kilalang x,
at c ay isang libreng miyembro.
Ang graph ng isang quadratic function ay isang curve na tinatawag na parabola. Ang pangkalahatang view ng parabola ay ipinapakita sa figure sa ibaba.
Fig.1 Pangkalahatang view ng parabola.
Mayroong ilang iba't ibang paraan upang mag-graph ng isang quadratic function. Isasaalang-alang namin ang pangunahing at pinaka-pangkalahatan sa kanila.
Algorithm para sa pag-plot ng graph ng isang quadratic function y=a*(x^2)+b*x+c
1. Bumuo ng coordinate system, markahan ang isang segment at lagyan ng label ang coordinate axes.
2. Tukuyin ang direksyon ng mga sanga ng parabola (pataas o pababa).
Upang gawin ito, kailangan mong tingnan ang tanda ng koepisyent a. Kung plus - kung gayon ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, kung minus - kung gayon ang mga sanga ay nakadirekta pababa.
3. Tukuyin ang x-coordinate ng tuktok ng parabola.
Upang gawin ito, kailangan mong gamitin ang formula Tops = -b / 2 * a.
4. Tukuyin ang coordinate sa tuktok ng parabola.
Upang gawin ito, palitan ang halaga ng Nangungunang na natagpuan sa nakaraang hakbang sa equation ng Nangungunang = a * (x ^ 2) + b * x + c sa halip na x.
5. Ilagay ang resultang punto sa graph at gumuhit ng isang axis ng simetriya sa pamamagitan nito, parallel sa coordinate axis Oy.
6. Hanapin ang mga punto ng intersection ng graph sa x-axis.
Ito ay nangangailangan ng paglutas ng quadratic equation a*(x^2)+b*x+c = 0 gamit ang isa sa mga kilalang pamamaraan. Kung ang equation ay walang tunay na ugat, kung gayon ang graph ng function ay hindi bumalandra sa x-axis.
7. Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng graph na may Oy axis.
Upang gawin ito, pinapalitan namin ang halaga ng x = 0 sa equation at kalkulahin ang halaga ng y. Minarkahan namin ito at ang punto ay simetriko dito sa graph.
8. Hanapin ang mga coordinate ng isang arbitrary point A (x, y)
Upang gawin ito, pumili kami ng isang di-makatwirang halaga ng x coordinate, at pinapalitan ito sa aming equation. Nakukuha namin ang halaga ng y sa puntong ito. Maglagay ng punto sa graph. At markahan din ang isang punto sa graph na simetriko sa puntong A (x, y).
9. Ikonekta ang mga nakuhang puntos sa graph gamit ang isang makinis na linya at ipagpatuloy ang graph na lampas sa mga extreme point, hanggang sa dulo ng coordinate axis. Lagdaan ang graph alinman sa callout, o, kung pinahihintulutan ng espasyo, kasama ang mismong graph.
Isang halimbawa ng paglalagay ng graph
Bilang halimbawa, mag-plot tayo ng quadratic function na ibinigay ng equation na y=x^2+4*x-1
1. Gumuhit ng coordinate axes, lagdaan ang mga ito at markahan ang isang segment.
2. Ang mga halaga ng mga coefficient a=1, b=4, c= -1. Dahil ang isang \u003d 1, na mas malaki kaysa sa zero, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pataas.
3. Tukuyin ang X coordinate ng tuktok ng parabola Tops = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Tukuyin ang coordinate Sa tuktok ng parabola
Mga tuktok = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Markahan ang vertex at gumuhit ng axis ng symmetry.
6. Nahanap namin ang mga punto ng intersection ng graph ng isang quadratic function na may Ox axis. Lutasin namin ang quadratic equation x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Minarkahan namin ang nakuha na mga halaga sa graph.
7. Hanapin ang mga punto ng intersection ng graph sa Oy axis.
x=0; y=-1
8. Pumili ng arbitrary point B. Hayaan itong magkaroon ng coordinate x=1.
Pagkatapos ay y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Ikinonekta namin ang mga natanggap na puntos at nilagdaan ang tsart.
Function ng form , kung saan ay tinatawag na quadratic function.
Graph ng quadratic function − parabola.
Isaalang-alang ang mga kaso:
CASE I, CLASSICAL PARABOLA
Yan ay , ,
Upang bumuo, punan ang talahanayan sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halaga ng x sa formula:
Markahan ang mga puntos (0;0); (1;1); (-1;1) atbp. sa coordinate plane (mas maliit ang hakbang na gagawin natin x na mga halaga (sa kasong ito, hakbang 1), at mas maraming x value ang kinukuha natin, mas makinis ang curve), nakakakuha tayo ng parabola:
Madaling makita na kung kukunin natin ang kaso , , , ibig sabihin, makakakuha tayo ng simetriko ng parabola tungkol sa axis (ox). Madaling i-verify ito sa pamamagitan ng pagpuno ng katulad na talahanayan:
II KASO, "a" IBA SA ISA
Ano ang mangyayari kung kukuha tayo , , ? Paano magbabago ang pag-uugali ng parabola? With title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Ang unang larawan (tingnan sa itaas) ay malinaw na nagpapakita na ang mga puntos mula sa talahanayan para sa parabola (1;1), (-1;1) ay binago sa mga puntos (1;4), (1;-4), iyon ay, na may parehong mga halaga, ang ordinate ng bawat punto ay pinarami ng 4. Ito ay mangyayari sa lahat ng mga pangunahing punto ng orihinal na talahanayan. Pareho kaming nagtatalo sa mga kaso ng mga larawan 2 at 3.
At kapag ang parabola ay "naging mas malawak" na parabola:
Recap natin:
1)Ang tanda ng koepisyent ay responsable para sa direksyon ng mga sanga. With title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Ganap na halaga koepisyent (modulus) ay responsable para sa "pagpapalawak", "compression" ng parabola. Kung mas malaki , mas makitid ang parabola, mas maliit |a|, mas malawak ang parabola.
CASE III, "C" ang lalabas
Ngayon ay ilagay natin sa laro (iyon ay, isinasaalang-alang natin ang kaso kapag ), isasaalang-alang natin ang mga parabola ng form . Madaling hulaan (maaari kang palaging sumangguni sa talahanayan) na ang parabola ay lilipat pataas o pababa sa kahabaan ng axis, depende sa palatandaan:
IV CASE, "B" ANG LUMITAW
Kailan "mapunit" ang parabola mula sa axis at sa wakas ay "lalakad" kasama ang buong coordinate plane? Kapag ito ay tumigil sa pagiging pantay-pantay.
Dito, para makabuo ng parabola, kailangan natin formula para sa pagkalkula ng vertex: , .
Kaya sa puntong ito (tulad ng sa punto (0; 0) ng bagong coordinate system) gagawa tayo ng parabola, na nasa loob na ng ating kapangyarihan. Kung tayo ay nakikitungo sa kaso , pagkatapos ay mula sa itaas ay magtabi tayo ng isang bahagi ng yunit sa kanan, isa pataas, - ang resultang punto ay atin (katulad nito, isang hakbang sa kaliwa, isang hakbang pataas ang ating punto); kung tayo ay nakikitungo, halimbawa, pagkatapos ay mula sa itaas ay nagtabi tayo ng isang solong segment sa kanan, dalawa - pataas, atbp.
Halimbawa, ang vertex ng isang parabola:
Ngayon ang pangunahing bagay na dapat maunawaan ay na sa vertex na ito ay bubuo kami ng isang parabola ayon sa template ng parabola, dahil sa aming kaso.
Kapag gumagawa ng parabola pagkatapos mahanap ang mga coordinate ng vertex ay napakaMaginhawang isaalang-alang ang mga sumusunod na punto:
1) parabola dapat dumaan sa punto . Sa katunayan, ang pagpapalit ng x=0 sa formula, nakukuha natin iyon. Iyon ay, ang ordinate ng punto ng intersection ng parabola na may axis (oy), ito ay. Sa aming halimbawa (sa itaas), ang parabola ay nag-intersect sa y-axis sa , dahil .
2) axis ng simetrya mga parabola ay isang tuwid na linya, kaya ang lahat ng mga punto ng parabola ay magiging simetriko tungkol dito. Sa aming halimbawa, agad naming kinuha ang punto (0; -2) at bumuo ng isang parabola na simetriko tungkol sa axis ng symmetry, nakuha namin ang punto (4; -2), kung saan dadaan ang parabola.
3) Equating to , nalaman natin ang mga punto ng intersection ng parabola na may axis (ox). Upang gawin ito, lutasin namin ang equation. Depende sa discriminant, makakakuha tayo ng isa (, ), dalawa ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Sa nakaraang halimbawa, mayroon tayong ugat mula sa discriminant - hindi isang integer, kapag binuo ito, hindi gaanong kabuluhan para sa atin na hanapin ang mga ugat, ngunit malinaw nating makikita na magkakaroon tayo ng dalawang punto ng intersection sa (oh) axis (since title = "(!LANG: Na-render ng QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Kaya mag work out tayo
Algorithm para sa pagbuo ng isang parabola kung ito ay ibinigay sa form
1) matukoy ang direksyon ng mga sanga (a>0 - pataas, a<0 – вниз)
2) hanapin ang mga coordinate ng vertex ng parabola sa pamamagitan ng formula , .
3) nahanap namin ang punto ng intersection ng parabola na may axis (oy) sa pamamagitan ng libreng term, bumuo kami ng isang puntong simetriko sa ibinigay na isa na may paggalang sa axis ng simetrya ng parabola (dapat tandaan na nangyayari na ito ay hindi kapaki-pakinabang na markahan ang puntong ito, halimbawa, dahil malaki ang halaga ... nilalaktawan namin ang puntong ito ...)
4) Sa nahanap na punto - ang tuktok ng parabola (tulad ng sa punto (0; 0) ng bagong coordinate system), bumuo kami ng isang parabola. If title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Natagpuan namin ang mga punto ng intersection ng parabola na may axis (oy) (kung sila mismo ay hindi pa "lumalabas"), paglutas ng equation
Halimbawa 1
Halimbawa 2
Puna 1. Kung ang parabola ay unang ibinigay sa amin sa anyo , kung saan ang ilang mga numero (halimbawa, ), kung gayon mas magiging madali itong buuin, dahil nabigyan na kami ng mga coordinate ng vertex . Bakit?
Kumuha tayo ng isang parisukat na trinomial at pumili ng isang buong parisukat dito: Tingnan, narito nakuha natin iyon , . Tinatawag namin dati ang tuktok ng parabola, iyon ay, ngayon,.
Halimbawa, . Minarkahan namin ang tuktok ng parabola sa eroplano, naiintindihan namin na ang mga sanga ay nakadirekta pababa, ang parabola ay pinalawak (medyo). Ibig sabihin, ginagawa namin ang mga hakbang 1; 3; apat; 5 mula sa algorithm para sa pagbuo ng isang parabola (tingnan sa itaas).
Puna 2. Kung ang parabola ay ibinigay sa isang form na katulad nito (iyon ay, kinakatawan bilang isang produkto ng dalawang linear na mga kadahilanan), pagkatapos ay makikita natin kaagad ang mga punto ng intersection ng parabola na may (x) axis. Sa kasong ito - (0;0) at (4;0). Para sa iba, kumikilos kami ayon sa algorithm, binubuksan ang mga bracket.
Ang araling ito sa algebra ay isinasagawa bilang isang paglalagom-paglalahat bilang paghahanda para sa GIA sa ika-9 na baitang. Ito ay isang aral sa kumplikadong aplikasyon ng kaalaman. Ang aralin ay dapat bumuo ng mga pangunahing konsepto ng isang quadratic function, mga katangian nito, graph. Dapat malaman ng mga mag-aaral ang kahulugan ng isang quadratic function, makapag-plot ng isang quadratic function, ibahin ito, at mailapat ang kaalamang ito sa paglutas ng mga quadratic inequalities
I-download:
Preview:
MOU "Secondary School No. 3 ng Ershov, Saratov Region"
Baitang 9
Paksa: "Quadratic function, ang graph at mga katangian nito"
Ang motto ng aralin: "Mahirap gawing madali, madaling nakagawian, nakaugalian na kaaya-aya"
Guro: E.I. Kormilina
2010 - 2011 akademikong taon.
Quadratic function, mga katangian at graph nito.
Uri ng aralin: Aralin ng kumplikadong aplikasyon ng kaalaman.
Layunin ng Aralin:
- Upang ipakita ang antas ng pagbuo ng konsepto ng isang quadratic function sa mga mag-aaral, ang mga katangian nito para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang mga tampok ng graph nito.
- Lumikha ng mga kondisyon para sa pagbuo ng kakayahang pag-aralan, paghambingin, pag-uri-uriin ang mga graph ng mga quadratic function.
- Ipagpatuloy ang pagbuo ng kultura ng paglalagay ng isang quadratic function.
- Linangin ang isang pakiramdam ng pakikipagkaibigan, delicacy at disiplina.
Logic ng aralin:
- Pag-update ng kaalaman
- Pag-uulit
- Pagpapakita ng halimbawang aplikasyon ng isang set ng kaalaman
- Malayang aplikasyon ng kaalaman
- Kontrol, pagpipigil sa sarili
- Pagwawasto
Istraktura ng aralin:
- Pang-organisasyon
- Update
- Paglalapat ng kaalaman, kasanayan at kakayahan
4. Kontrol, pagpipigil sa sarili
5. Pagwawasto
6. Impormasyon tungkol sa takdang-aralin
7. Pagbubuod
8. Pagninilay
Mga slide caption:
Quadratic function, graph nito at mga katangian Ang aming motto ay: "Gawing madali ang mahirap, ang madaling pamilyar, ang pamilyar na kaaya-aya!"
y x 0 Graph ng function na y = a x , 2 para sa a=1 para sa a= -1 1 2 3 4 5 6 Х -3 -2 -1 0 1 2 3 y - 9 - 4 - 1 0 - 1 - 4 - 9 - 6 -5-4-3-2-1 1 4 9 -9 -4
Pagbabago ng Graph ng Quadratic Function
Pag-plot ng mga function y=x 2 at y=x 2 + m.
0 m X Y m 1 1 y \u003d x 2 + m, m>0
0 X Y m 1 1 m y \u003d x 2 + m, m
Mga function sa pag-plot y \u003d x 2 at y \u003d (x + l) 2.
0 l l X Y 1 1 y \u003d (x + l) 2, l\u003e 0
0 l l X Y 1 1 y \u003d (x + l) 2, l
I-plot ang mga function graph sa isang coordinate plane:
Hanapin ang mga coordinate ng vertex ng parabola: Y=2(x-4)² +5 Y=-6(x-1)² Y=-x²+12 Y= x²+4 Y= (x+7)² - 9 Y=6 x² (4;5) (1;0) (0;12) (0;4) (-7;-9) (0;0)
Graph ng isang quadratic function, ang mga katangian nito
Ang quadratic function ay isang function na maaaring tukuyin ng isang formula ng form na y=ax² + bx+c, kung saan ang x ay isang independent variable, ang a, b at c ay ilang mga numero (bukod dito, a ≠ 0). Halimbawa: y \u003d 5x ² + 6x + 3, y \u003d -7x ² + 8x-2, y \u003d 0.8x ² +5, y \u003d ¾ x ² -8x, y \u003d -12x ² quadratic function
Ang graph ng isang quadratic function ay isang parabola na ang mga sanga ay nakadirekta pataas (kung a > 0) o pababa (kung a 0). y \u003d -7 x ² -x + 3 - ang graph ay isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta pababa (dahil isang \u003d -7, at
Tukuyin ang coordinate ng parabola vertex gamit ang mga formula: Markahan ang puntong ito sa coordinate plane. Iguhit ang axis ng symmetry ng parabola sa pamamagitan ng vertex ng parabola Hanapin ang mga zero ng function at markahan ang mga ito sa linya ng numero. Algorithm ng solusyon
Bumuo ng isang graph ng function na y \u003d 2x ² + 4x-6, ilarawan ang mga katangian nito
X Y 1 1 -2 2 3 -1 1. D(y) = R 2. y=0 kung x= 1; -3 3. y > 0 kung x 4. y ↓ kung x y kung x 5. y naim = -8 kung x= -1 y naib ay wala. 6. E (y): Suriin ang iyong sarili: y
Paglutas ng Quadratic Inequality Gamit ang Graph ng Quadratic Function
Kahulugan: Ang isang hindi pagkakapantay-pantay, ang kaliwang bahagi nito ay isang polynomial ng ikalawang antas, at ang kanang bahagi ay zero, ay tinatawag na isang hindi pagkakapantay-pantay ng ikalawang antas. Ang lahat ng quadratic inequalities ay maaaring bawasan sa isa sa mga sumusunod na anyo: 1) ax 2 + bx + c >0; 2) palakol 2 + bx + c
Alin sa mga hindi pagkakapantay-pantay ang tatawagin mong hindi pagkakapantay-pantay ng ikalawang antas: 1) 6x 2 -13x>0; 2) x 2 -3 x -14>0; 3) (5+ x)(x -4)>7; apat); 5) 6) 8 x 2 >0; 7) (x -5) 2 -25>0;
Aling mga numero ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay? 1 -3 0 -1 5 -4 -2 0.5 ? ? ? ? ? ? ? ?
Ano ang bilang ng mga ugat ng equation a x 2 + b x+ c \u003d 0 at ang sign ng coefficient a kung ang graph ng kaukulang quadratic function ay matatagpuan tulad ng sumusunod: f a b c d e
Pangalanan ang mga pagitan ng sign constancy ng isang function kung ang graph nito ay matatagpuan sa ipinahiwatig na paraan: Ι variant. Option ko. c b a a c b
Pangalanan ang mga pagitan ng constancy ng function kung ang graph nito ay matatagpuan sa ipinahiwatig na paraan: Ι variant f(x)>0 para sa x Є R f(x) 0 para sa x Є (-∞ ;1) U (2.5;+∞ ); f(x)
Pangalanan ang mga pagitan ng constancy ng function kung ang graph nito ay matatagpuan sa ipinahiwatig na paraan: Ι opsyon f(x)>0 para sa x Є (-∞ ;-3) U (-3;+∞) f(x) 0 para sa x Є (-∞ ; 0.5) U (0.5;+∞) f(x)
Pangalanan ang mga pagitan ng constancy ng function kung ang graph nito ay matatagpuan sa ipinahiwatig na paraan Ι opsyon f (x)> 0 para sa x Є (-∞ ;-4) U (3; + ∞); f(x) 0 __________ ; f(x)
Algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng ikalawang antas na may isang variable na 5x 2 +9x-2 0 (a x 2 + b x+ c 0 (y
Algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng ikalawang antas na may isang variable na 5x 2 +9x-2 0 (a x 2 + b x+ c 0 (y 0 (y
Sa talahanayan 1, hanapin ang tamang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 1, sa talahanayan 2 - ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 2: 1. 2. Talahanayan 1 a c c d a b c d Talahanayan 2
Sa talahanayan 1, hanapin ang tamang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 1, sa talahanayan 2, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 2: 1. 2. Talahanayan 1 a c c d a b c d Talahanayan 2
Sa talahanayan 1, hanapin ang tamang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 1, sa talahanayan 2, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 2: 1. 2. Talahanayan 1 a c c d a b c d Talahanayan 2
Buod ng aralin Sa paglutas ng mga gawaing ito, nagawa naming i-systematize ang kaalaman tungkol sa paggamit ng isang quadratic function. Ang matematika ay isang makabuluhan, kapana-panabik at naa-access na larangan ng aktibidad na nagbibigay sa mag-aaral ng masaganang pagkain para sa pag-iisip. Ang mga katangian ng isang quadratic function ay sumasailalim sa solusyon ng quadratic inequalities. Maraming mga pisikal na relasyon ang ipinahayag ng isang parisukat na function; halimbawa, ang isang bato na itinapon paitaas na may bilis na v 0 ay nasa sandaling t sa layo na s (t)=- q \2 t 2+ v 0 t mula sa ibabaw ng lupa (dito ang q ay ang pagbilis ng grabidad); ang halaga ng init Q na inilabas sa panahon ng pagpasa ng kasalukuyang sa isang konduktor na may pagtutol R ay ipinahayag sa mga tuntunin ng kasalukuyang lakas I sa pamamagitan ng formula Q \u003d RI 2. Ang kaalaman sa mga katangian ng isang quadratic function ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang hanay ng paglipad ng isang katawan na itinapon patayo pataas o sa isang tiyak na anggulo. Ginagamit ito sa industriya ng pagtatanggol.
Hindi Tapos na Pangungusap Gawain: Kumpletuhin ang isa sa tatlong pangungusap na pinakaangkop sa iyong kalagayan. "Mahirap para sa akin na kumpletuhin ang mga gawain at lutasin ang mga problema, dahil ..." "Madali para sa akin na kumpletuhin ang mga gawain at lutasin ang mga problema, dahil ..." "Masaya at kawili-wili para sa akin na kumpletuhin ang mga gawain at lutasin ang mga problema. , kasi...”
Takdang-Aralin sa Takdang-Aralin Blg. 142; №190
