y (x) = e x, na ang derivative ay katumbas ng function mismo.

Ang exponent ay tinutukoy bilang , o .

e numero

Ang base ng antas ng exponent ay e numero. Ito ay isang hindi makatwirang numero. Ito ay tinatayang katumbas
e ≈ 2,718281828459045...

Ang numero e ay tinutukoy sa pamamagitan ng limitasyon ng pagkakasunod-sunod. Ito ang tinatawag na pangalawang kahanga-hangang limitasyon:
.

Gayundin, ang numero e ay maaaring katawanin bilang isang serye:
.

Tsart ng exhibitor

Exponent plot, y = e x .

Ipinapakita ng graph ang exponent, e hanggang sa X.
y (x) = e x
Ipinapakita ng graph na monotonically tumataas ang exponent.

Mga formula

Ang mga pangunahing formula ay kapareho ng para sa exponential function na may base ng degree e.

;
;
;

Pagpapahayag ng exponential function na may arbitrary na base ng degree a sa pamamagitan ng exponent:
.

Mga pribadong halaga

Hayaan ang y (x) = e x. Pagkatapos
.

Mga Katangian ng Exponent

Ang exponent ay may mga katangian ng isang exponential function na may base ng degree e > 1 .

Domain ng kahulugan, hanay ng mga halaga

Exponent y (x) = e x tinukoy para sa lahat ng x .
Ang saklaw nito ay:
- ∞ < x + ∞ .
Ang hanay ng mga kahulugan nito:
0 < y < + ∞ .

Extremes, pagtaas, pagbaba

Ang exponent ay isang monotonically increase na function, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian nito ay ipinakita sa talahanayan.

Baliktad na pag-andar

Ang reciprocal ng exponent ay ang natural na logarithm.
;
.

Derivative ng exponent

Derivative e hanggang sa X ay katumbas ng e hanggang sa X :
.
Derivative ng ika-na order:
.
Pinagmulan ng mga formula > > >

integral

Mga kumplikadong numero

Ang mga operasyon na may kumplikadong mga numero ay isinasagawa gamit Mga formula ng Euler:
,
nasaan ang imaginary unit:
.

Mga expression sa mga tuntunin ng hyperbolic function

; ;
.

Mga expression sa mga tuntunin ng trigonometriko function

; ;
;
.

Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Ano "square inequality"? Hindi tanong!) Kung kukuha ka anuman quadratic equation at baguhin ang sign sa loob nito "=" (katumbas) sa anumang icon ng hindi pagkakapantay-pantay ( > ≥ < ≤ ≠ ), nakakakuha tayo ng quadratic inequality. Halimbawa:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Well, nakuha mo ang ideya ...)

Sadya kong iniugnay ang mga equation at inequalities dito. Ang katotohanan ay ang unang hakbang sa paglutas anuman parisukat na hindi pagkakapantay-pantay - lutasin ang equation kung saan ginawa ang hindi pagkakapantay-pantay na ito. Para sa kadahilanang ito - ang kawalan ng kakayahan upang malutas ang mga quadratic equation ay awtomatikong humahantong sa isang kumpletong kabiguan sa hindi pagkakapantay-pantay. Malinaw ba ang pahiwatig?) Kung mayroon man, tingnan kung paano lutasin ang anumang mga quadratic equation. Detalyadong lahat doon. At sa araling ito ay haharapin natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na handa para sa solusyon ay may anyo: kaliwa - square trinomial palakol 2 +bx+c, sa kanan - zero. Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring maging anumang bagay. Narito ang unang dalawang halimbawa ay handa sa isang desisyon. Ang ikatlong halimbawa ay kailangan pa ring ihanda.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Kinakailangan na ihambing ang mga halaga at dami sa paglutas ng mga praktikal na problema mula noong sinaunang panahon. Kasabay nito, ang mga salitang tulad ng parami at mas kaunti, mas mataas at mas mababa, mas magaan at mas mabigat, mas tahimik at mas malakas, mas mura at mas mahal, atbp., na nagsasaad ng mga resulta ng paghahambing ng mga homogenous na dami.

Ang mga konsepto ng higit pa at mas kaunti ay lumitaw na may kaugnayan sa pagbibilang ng mga bagay, ang pagsukat at paghahambing ng mga dami. Halimbawa, alam ng mga mathematician ng sinaunang Greece na ang gilid ng anumang tatsulok ay mas mababa kaysa sa kabuuan ng iba pang dalawang panig at ang mas malaking bahagi ng tatsulok ay nasa tapat ng mas malaking anggulo. Si Archimedes, habang kinakalkula ang circumference ng isang bilog, ay natagpuan na ang perimeter ng anumang bilog ay katumbas ng tatlong beses ang diameter na may labis na mas mababa sa isang ikapitong ng diameter, ngunit higit sa sampung pitumpu't-una ng diameter.

Simbolikong isulat ang mga ugnayan sa pagitan ng mga numero at dami gamit ang > at b na mga palatandaan. Mga entry kung saan ang dalawang numero ay konektado sa pamamagitan ng isa sa mga palatandaan: > (mas malaki kaysa), Nakatagpo ka rin ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero sa mga elementarya. Alam mo na ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring totoo o hindi. Halimbawa, ang \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) ay isang wastong numerical inequality, 0.23 > 0.235 ay isang di-wastong numerical inequality.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na kinabibilangan ng mga hindi alam ay maaaring totoo para sa ilang mga halaga ng mga hindi alam at mali para sa iba. Halimbawa, ang hindi pagkakapantay-pantay na 2x+1>5 ay totoo para sa x = 3, ngunit mali para sa x = -3. Para sa hindi pagkakapantay-pantay sa isang hindi alam, maaari mong itakda ang gawain: lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga problema sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pagsasanay ay inilalahad at nalutas nang mas madalas kaysa sa mga problema sa paglutas ng mga equation. Halimbawa, maraming problemang pang-ekonomiya ang nabawasan sa pag-aaral at solusyon ng mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay. Sa maraming sangay ng matematika, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay mas karaniwan kaysa sa mga equation.

Ang ilang mga hindi pagkakapantay-pantay ay nagsisilbing tanging pantulong na paraan upang patunayan o pabulaanan ang pagkakaroon ng isang tiyak na bagay, halimbawa, ang ugat ng isang equation.

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero

Maaari mong ihambing ang mga integer at decimal. Alamin ang mga tuntunin sa paghahambing ng mga ordinaryong fraction na may parehong denominator ngunit magkaibang numerator; na may parehong numerator ngunit magkaibang denominador. Dito matututunan mo kung paano ihambing ang alinmang dalawang numero sa pamamagitan ng paghahanap ng tanda ng kanilang pagkakaiba.

Ang paghahambing ng mga numero ay malawakang ginagamit sa pagsasanay. Halimbawa, inihahambing ng isang ekonomista ang mga nakaplanong tagapagpahiwatig sa mga aktwal, ikinukumpara ng isang doktor ang temperatura ng isang pasyente sa normal, inihahambing ng isang turner ang mga sukat ng isang bahagi na may makina sa isang pamantayan. Sa lahat ng mga ganitong kaso, ang ilang mga numero ay inihambing. Bilang resulta ng paghahambing ng mga numero, lumitaw ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero.

Kahulugan. Ang bilang a ay mas malaki kaysa sa bilang b kung ang pagkakaiba a-b ay positibo. Ang bilang a ay mas mababa sa bilang b kung ang pagkakaiba a-b ay negatibo.

Kung ang a ay mas malaki kaysa sa b, isusulat nila ang: a > b; kung ang a ay mas mababa sa b, pagkatapos ay isusulat nila: a Kaya, ang hindi pagkakapantay-pantay na a > b ay nangangahulugan na ang pagkakaiba a - b ay positibo, i.e. a - b > 0. Hindi pagkakapantay-pantay a Para sa alinmang dalawang numero a at b mula sa sumusunod na tatlong ugnayan a > b, a = b, a Teorama. Kung a > b at b > c, a > c.

Teorama. Kung ang parehong numero ay idinagdag sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.
Bunga. Anumang termino ay maaaring ilipat mula sa isang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isa pa sa pamamagitan ng pagbabago ng tanda ng terminong ito sa kabaligtaran.

Teorama. Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng parehong positibong numero, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago. Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng parehong negatibong numero, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran.
Bunga. Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay nahahati sa parehong positibong numero, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago. Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay nahahati sa parehong negatibong numero, kung gayon ang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran.

Alam mo na ang mga numerical equalities ay maaaring idagdag at i-multiply ang termino sa term. Susunod, matututunan mo kung paano magsagawa ng mga katulad na aksyon na may mga hindi pagkakapantay-pantay. Ang kakayahang magdagdag at magparami ng mga hindi pagkakapantay-pantay na termino sa pamamagitan ng termino ay kadalasang ginagamit sa pagsasanay. Tinutulungan ka ng mga pagkilos na ito na malutas ang mga problema sa pagsusuri at paghahambing ng mga halaga ng expression.

Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema, kadalasan ay kinakailangan na idagdag o i-multiply ang termino sa pamamagitan ng termino ang kaliwa at kanang bahagi ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Minsan sinasabi na ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay idinagdag o pinarami. Halimbawa, kung ang isang turista ay lumakad ng higit sa 20 km sa unang araw, at higit sa 25 km sa ikalawang araw, maaari itong mapagtatalunan na sa loob ng dalawang araw ay lumakad siya ng higit sa 45 km. Katulad nito, kung ang haba ng isang rektanggulo ay mas mababa sa 13 cm at ang lapad ay mas mababa sa 5 cm, kung gayon maaari itong pagtalunan na ang lugar ng parihaba na ito ay mas mababa sa 65 cm2.

Sa pagsasaalang-alang sa mga halimbawang ito, ang mga sumusunod theorems sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga hindi pagkakapantay-pantay:

Teorama. Kapag nagdaragdag ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong tanda, nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng parehong tanda: kung a > b at c > d, pagkatapos ay a + c > b + d.

Teorama. Kapag nagpaparami ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong tanda, kung saan ang kaliwa at kanang bahagi ay positibo, ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong tanda ay nakuha: kung ang a > b, c > d at a, b, c, d ay mga positibong numero, pagkatapos ay ac > bd.

Mga hindi pagkakapantay-pantay na may sign > (mas malaki kaysa) at 1/2, 3/4 b, c Kasama ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay > at Sa parehong paraan, ang hindi pagkakapantay-pantay \(a \geq b \) ay nangangahulugan na ang bilang a ay mas malaki kaysa o katumbas ng b, ibig sabihin, at hindi bababa sa b.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng sign \(\geq \) o ang sign \(\leq \) ay tinatawag na hindi mahigpit. Halimbawa, ang \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) ay hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay.

Ang lahat ng mga katangian ng mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay may bisa din para sa hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Bukod dito, kung para sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ang mga palatandaan > ay itinuturing na kabaligtaran, at alam mo na upang malutas ang isang bilang ng mga inilapat na problema, kailangan mong gumuhit ng isang modelo ng matematika sa anyo ng isang equation o isang sistema ng mga equation. Dagdag pa, matututunan mo na ang mga modelo ng matematika para sa paglutas ng maraming problema ay hindi pagkakapantay-pantay sa mga hindi alam. Ipapakilala namin ang konsepto ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay at ipapakita kung paano suriin kung ang isang ibinigay na numero ay isang solusyon sa isang partikular na hindi pagkakapantay-pantay.

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
\(ax > b, \quad ax kung saan ang a at b ay binibigyan ng mga numero at x ay hindi kilala, ay tinatawag linear inequalities na may isang hindi alam.

Kahulugan. Ang solusyon ng isang hindi pagkakapantay-pantay sa isang hindi alam ay ang halaga ng hindi alam kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagiging isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng numero. Upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na hanapin ang lahat ng mga solusyon nito o itatag na wala.

Nalutas mo ang mga equation sa pamamagitan ng pagbabawas sa mga ito sa pinakasimpleng equation. Katulad nito, kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, ang isa ay may posibilidad na bawasan ang mga ito sa tulong ng mga ari-arian sa anyo ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay.

Solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng ikalawang antas na may isang variable

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
\(ax^2+bx+c >0 \) at \(ax^2+bx+c kung saan ang x ay isang variable, a, b at c ay ilang mga numero at \(a \neq 0 \) ay tinatawag hindi pagkakapantay-pantay ng pangalawang antas na may isang variable.

Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay
Ang \(ax^2+bx+c >0 \) o \(ax^2+bx+c \) ay maaaring ituring na paghahanap ng mga puwang kung saan ang function na \(y= ax^2+bx+c \) ay nagiging positibo o mga negatibong halaga Upang gawin ito, sapat na upang pag-aralan kung paano ang graph ng function \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) ay matatagpuan sa coordinate plane: kung saan ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta - pataas o pababa , kung ang parabola ay nag-intersect sa x axis at kung ito ay, pagkatapos ay sa anong mga punto.

Algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng pangalawang antas na may isang variable:
1) hanapin ang discriminant ng square trinomial \(ax^2+bx+c\) at alamin kung ang trinomial ay may mga ugat;
2) kung ang trinomial ay may mga ugat, pagkatapos ay markahan ang mga ito sa x axis at schematically gumuhit ng isang parabola sa pamamagitan ng mga minarkahang punto, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas sa isang > 0 o pababa sa isang 0 o sa ibaba sa isang 3) find gaps sa x axis kung saan ang mga point parabola ay matatagpuan sa itaas ng x-axis (kung malulutas nila ang hindi pagkakapantay-pantay \(ax^2+bx+c >0 \)) o sa ibaba ng x-axis (kung malulutas nila ang hindi pagkakapantay-pantay
\(ax^2+bx+c Solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng mga pagitan

Isaalang-alang ang function
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Ang domain ng function na ito ay ang set ng lahat ng numero. Ang mga zero ng function ay ang mga numero -2, 3, 5. Hinahati nila ang domain ng function sa mga pagitan \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) at \( (5; +\infty)\)

Alamin natin kung ano ang mga palatandaan ng function na ito sa bawat isa sa mga ipinahiwatig na pagitan.

Ang expression (x + 2)(x - 3)(x - 5) ay produkto ng tatlong salik. Ang tanda ng bawat isa sa mga salik na ito sa isinasaalang-alang na mga pagitan ay ipinahiwatig sa talahanayan:

Sa pangkalahatan, hayaan ang function na ibigay ng formula
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
kung saan ang x ay isang variable, at x 1 , x 2 , ..., x n ay hindi pantay na mga numero. Ang mga numerong x 1 , x 2 , ..., x n ay ang mga zero ng function. Sa bawat isa sa mga agwat kung saan ang domain ng kahulugan ay nahahati sa mga zero ng function, ang sign ng function ay napanatili, at kapag dumadaan sa zero, nagbabago ang sign nito.

Ang ari-arian na ito ay ginagamit upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kung saan ang x 1 , x 2 , ..., x n ay hindi pantay na mga numero

Isinasaalang-alang na pamamaraan ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na paraan ng mga pagitan.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\(x(0.5-x)(x+4) Malinaw, ang mga zero ng function na f(x) = x(0.5-x)(x+4) ay ang mga puntos \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

I-plot namin ang mga zero ng function sa totoong axis at kalkulahin ang sign sa bawat pagitan:

Pinipili namin ang mga pagitan kung saan ang function ay mas mababa sa o katumbas ng zero at isulat ang sagot.

Sagot:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Sa madaling salita, ito ay mga gulay na niluto sa tubig ayon sa isang espesyal na recipe. Isasaalang-alang ko ang dalawang paunang bahagi (salad ng gulay at tubig) at ang natapos na resulta - borscht. Geometrically, ito ay maaaring kinakatawan bilang isang rektanggulo kung saan ang isang gilid ay nagpapahiwatig ng lettuce, ang kabilang panig ay nagpapahiwatig ng tubig. Ang kabuuan ng dalawang panig na ito ay magsasaad ng borscht. Ang dayagonal at lugar ng naturang "borscht" na parihaba ay puro matematikal na konsepto at hindi kailanman ginagamit sa mga recipe ng borscht.

Paano nagiging borscht ang lettuce at tubig sa mga tuntunin ng matematika? Paano magiging trigonometry ang kabuuan ng dalawang segment? Upang maunawaan ito, kailangan namin ng mga function ng linear na anggulo.

Hindi ka makakahanap ng anuman tungkol sa mga linear na anggulo na pag-andar sa mga aklat-aralin sa matematika. Ngunit kung wala sila ay walang matematika. Ang mga batas ng matematika, tulad ng mga batas ng kalikasan, ay gumagana kahit alam natin na mayroon sila o hindi.

Ang mga linear na angular function ay ang mga batas ng karagdagan. Tingnan kung paano nagiging geometry ang algebra at nagiging trigonometry ang geometry.

Posible bang gawin nang walang mga linear na angular function? Kaya mo, dahil namamahala pa rin ang mga mathematician nang wala sila. Ang lansihin ng mga mathematician ay nasa katotohanan na palagi nilang sinasabi sa amin ang tungkol sa mga problemang iyon na sila mismo ang malulutas, at hindi kailanman sinasabi sa amin ang tungkol sa mga problemang iyon na hindi nila kayang lutasin. Tingnan mo. Kung alam namin ang resulta ng karagdagan at isang termino, ginagamit namin ang pagbabawas upang mahanap ang iba pang termino. Lahat. Hindi namin alam ang iba pang mga problema at hindi namin kayang lutasin ang mga ito. Ano ang gagawin kung alam lang natin ang resulta ng karagdagan at hindi natin alam ang parehong termino? Sa kasong ito, ang resulta ng karagdagan ay dapat na mabulok sa dalawang termino gamit ang mga linear na angular function. Dagdag pa, kami mismo ang pumili kung ano ang maaaring maging isang termino, at ang mga linear na angular na function ay nagpapakita kung ano ang dapat na pangalawang termino upang ang resulta ng karagdagan ay eksaktong kung ano ang kailangan namin. Maaaring mayroong walang katapusang bilang ng mga naturang pares ng termino. Sa pang-araw-araw na buhay, napakahusay nating ginagawa nang hindi nabubulok ang kabuuan; sapat na para sa atin ang pagbabawas. Ngunit sa mga siyentipikong pag-aaral ng mga batas ng kalikasan, ang pagpapalawak ng kabuuan sa mga termino ay maaaring maging lubhang kapaki-pakinabang.

Ang isa pang batas ng karagdagan na hindi gustong pag-usapan ng mga mathematician (isa pang lansihin nila) ay nangangailangan ng mga tuntunin na magkaroon ng parehong yunit ng sukat. Para sa lettuce, tubig, at borscht, ang mga ito ay maaaring mga yunit ng timbang, dami, gastos, o yunit ng sukat.

Ang figure ay nagpapakita ng dalawang antas ng pagkakaiba para sa matematika. Ang unang antas ay ang mga pagkakaiba sa larangan ng mga numero, na ipinahiwatig a, b, c. Ito ang ginagawa ng mga mathematician. Ang pangalawang antas ay ang mga pagkakaiba sa lugar ng mga yunit ng pagsukat, na ipinapakita sa mga square bracket at ipinahiwatig ng titik U. Ito ang ginagawa ng mga physicist. Maiintindihan natin ang ikatlong antas - ang mga pagkakaiba sa saklaw ng mga bagay na inilarawan. Ang iba't ibang mga bagay ay maaaring magkaroon ng parehong bilang ng parehong mga yunit ng sukat. Kung gaano ito kahalaga, makikita natin sa halimbawa ng borscht trigonometry. Kung magdaragdag kami ng mga subscript sa parehong notasyon para sa mga yunit ng pagsukat ng iba't ibang mga bagay, masasabi namin nang eksakto kung ano ang mathematical quantity na naglalarawan sa isang partikular na bagay at kung paano ito nagbabago sa paglipas ng panahon o kaugnay ng aming mga aksyon. sulat W Markahan ko ng sulat ang tubig S Markahan ko ang salad ng sulat B- borsch. Narito kung ano ang magiging hitsura ng linear angle function para sa borscht.

Kung kukuha tayo ng ilang bahagi ng tubig at ilang bahagi ng salad, magkakasama silang magiging isang serving ng borscht. Narito iminumungkahi kong magpahinga ka ng kaunti mula sa borscht at alalahanin ang iyong malayong pagkabata. Tandaan kung paano tayo tinuruan na pagsamahin ang mga kuneho at itik? Ito ay kinakailangan upang mahanap kung gaano karaming mga hayop ay i-out. Ano noon ang itinuro sa atin na gawin? Tinuruan kaming paghiwalayin ang mga unit mula sa mga numero at magdagdag ng mga numero. Oo, anumang numero ay maaaring idagdag sa anumang iba pang numero. Ito ay isang direktang landas sa autism ng modernong matematika - hindi natin naiintindihan kung ano, hindi malinaw kung bakit, at hindi natin naiintindihan kung paano ito nauugnay sa katotohanan, dahil sa tatlong antas ng pagkakaiba, ang mga mathematician ay nagpapatakbo sa isa lamang. Ito ay magiging mas tama upang matutunan kung paano lumipat mula sa isang yunit ng pagsukat patungo sa isa pa.

At ang mga kuneho, at mga itik, at maliliit na hayop ay mabibilang sa mga piraso. Ang isang karaniwang yunit ng pagsukat para sa iba't ibang mga bagay ay nagbibigay-daan sa amin upang idagdag ang mga ito nang sama-sama. Ito ay isang bersyon ng problema ng mga bata. Tingnan natin ang isang katulad na problema para sa mga matatanda. Ano ang makukuha mo kapag nagdagdag ka ng mga kuneho at pera? Mayroong dalawang posibleng solusyon dito.

Unang pagpipilian. Tinutukoy namin ang market value ng mga bunnies at idinagdag namin ito sa available na cash. Nakuha namin ang kabuuang halaga ng aming kayamanan sa mga tuntunin ng pera.

Pangalawang opsyon. Maaari mong idagdag ang bilang ng mga kuneho sa bilang ng mga banknote na mayroon kami. Kukunin namin ang halaga ng mga movable property sa mga piraso.

Gaya ng nakikita mo, pinapayagan ka ng parehong batas sa karagdagan na makakuha ng iba't ibang resulta. Ang lahat ay nakasalalay sa kung ano ang eksaktong nais nating malaman.

Ngunit bumalik sa aming borscht. Ngayon ay makikita natin kung ano ang mangyayari para sa iba't ibang mga halaga ng anggulo ng mga linear na anggulo na pag-andar.

Ang anggulo ay zero. Mayroon kaming salad ngunit walang tubig. Hindi kami marunong magluto ng borscht. Ang halaga ng borscht ay zero din. Hindi ito nangangahulugan na ang zero borscht ay katumbas ng zero na tubig. Ang zero borsch ay maaari ding nasa zero salad (right angle).

Para sa akin personal, ito ang pangunahing mathematical na patunay ng katotohanan na . Hindi binabago ng Zero ang numero kapag idinagdag. Ito ay dahil ang karagdagan mismo ay imposible kung mayroon lamang isang termino at ang pangalawang termino ay nawawala. Maaari mong iugnay ito hangga't gusto mo, ngunit tandaan - lahat ng mga operasyon sa matematika na may zero ay inimbento ng mga mathematician mismo, kaya itapon ang iyong lohika at hangal na i-cram ang mga kahulugan na naimbento ng mga mathematician: "imposible ang paghahati sa zero", "anumang numero na pinarami ng zero katumbas ng zero" , "behind the point zero" at iba pang kalokohan. Sapat na tandaan minsan na ang zero ay hindi isang numero, at hindi ka magkakaroon ng tanong kung ang zero ay isang natural na numero o hindi, dahil ang tanong na ito ay karaniwang nawawala ang lahat ng kahulugan: paano maituturing ang isang numero na hindi isang numero. . Ito ay tulad ng pagtatanong kung anong kulay ang ipatungkol sa isang hindi nakikitang kulay. Ang pagdaragdag ng zero sa isang numero ay parang pagpipinta na may pintura na wala. Kumaway sila ng tuyong brush at sinabi sa lahat na "nagpinta kami." Pero lumihis ako ng konti.

Ang anggulo ay mas malaki sa zero ngunit mas mababa sa apatnapu't limang degree. Mayroon kaming maraming litsugas, ngunit kakaunti ang tubig. Bilang isang resulta, nakakakuha kami ng isang makapal na borscht.

Ang anggulo ay apatnapu't limang digri. Mayroon kaming pantay na dami ng tubig at lettuce. This is the perfect borscht (nawa'y patawarin ako ng mga nagluluto, math lang ito).

Ang anggulo ay higit sa apatnapu't limang digri ngunit mas mababa sa siyamnapung digri. Mayroon kaming maraming tubig at maliit na litsugas. Kumuha ng likidong borscht.

Tamang anggulo. Mayroon kaming tubig. Mga alaala na lang ang natitira sa lettuce, habang patuloy naming sinusukat ang anggulo mula sa linyang minarkahan minsan sa lettuce. Hindi kami marunong magluto ng borscht. Ang halaga ng borscht ay zero. Kung ganoon, kumapit at uminom ng tubig habang ito ay magagamit)))

Dito. Isang bagay na tulad nito. Maaari akong magkuwento ng iba pang mga kuwento dito na higit na angkop dito.

Ang dalawang magkakaibigan ay nagkaroon ng kani-kanilang mga bahagi sa karaniwang negosyo. Matapos ang pagpatay sa isa sa kanila, ang lahat ay napunta sa isa pa.

Ang paglitaw ng matematika sa ating planeta.

Ang lahat ng mga kuwentong ito ay sinabi sa wika ng matematika gamit ang mga linear na angular function. Sa ibang pagkakataon, ipapakita ko sa iyo ang tunay na lugar ng mga function na ito sa istruktura ng matematika. Samantala, bumalik tayo sa trigonometrya ng borscht at isaalang-alang ang mga projection.

Sabado, Oktubre 26, 2019

Napanood ko ang isang kawili-wiling video tungkol sa hilera ni Grandi One minus one plus one minus one - Numberphile. Nagsisinungaling ang mga mathematician. Hindi sila nagsagawa ng equality test sa kanilang pangangatwiran.

Ito ay sumasalamin sa aking pangangatwiran tungkol sa .

Tingnan natin ang mga palatandaan na dinadaya tayo ng mga mathematician. Sa simula pa lang ng pangangatwiran, sinasabi ng mga mathematician na ang kabuuan ng isang sequence ay DEPENDE kung pantay o hindi ang bilang ng mga elemento dito. Ito ay isang OBJECTIVELY ESTABLISHED FACT. Anong mangyayari sa susunod?

Susunod, ibawas ng mga mathematician ang pagkakasunud-sunod mula sa pagkakaisa. Ano ang humahantong dito? Ito ay humahantong sa isang pagbabago sa bilang ng mga elemento sa pagkakasunud-sunod - isang kahit na numero ay nagbabago sa isang kakaibang numero, isang kakaibang numero ay nagbabago sa isang kahit na numero. Pagkatapos ng lahat, nagdagdag kami ng isang elemento na katumbas ng isa sa sequence. Sa kabila ng lahat ng panlabas na pagkakatulad, ang pagkakasunud-sunod bago ang pagbabagong-anyo ay hindi katumbas ng pagkakasunud-sunod pagkatapos ng pagbabagong-anyo. Kahit na pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang walang katapusang sequence, dapat nating tandaan na ang isang walang katapusang sequence na may kakaibang bilang ng mga elemento ay hindi katumbas ng isang walang katapusan na sequence na may kahit na bilang ng mga elemento.

Sa paglalagay ng pantay na senyales sa pagitan ng dalawang sequence na magkaiba sa bilang ng mga elemento, inaangkin ng mga mathematician na ang kabuuan ng sequence ay HINDI NAKADEDEPENDE sa bilang ng mga elemento sa sequence, na sumasalungat sa isang OBJECTIVELY ESTABLISHED FACT. Ang karagdagang pangangatwiran tungkol sa kabuuan ng isang walang katapusang pagkakasunud-sunod ay mali, dahil ito ay batay sa isang maling pagkakapantay-pantay.

Kung nakikita mo na ang mga mathematician ay naglalagay ng mga bracket sa kurso ng mga patunay, muling ayusin ang mga elemento ng isang mathematical expression, magdagdag o mag-alis ng isang bagay, maging maingat, malamang na sinusubukan nilang linlangin ka. Tulad ng mga card conjurer, inililihis ng mga mathematician ang iyong atensyon sa iba't ibang manipulasyon ng expression upang sa huli ay mabigyan ka ng maling resulta. Kung hindi mo maaaring ulitin ang card trick nang hindi nalalaman ang sikreto ng pagdaraya, kung gayon sa matematika ang lahat ay mas simple: hindi ka naghihinala ng anuman tungkol sa pagdaraya, ngunit ang pag-uulit ng lahat ng mga manipulasyon na may isang mathematical expression ay nagpapahintulot sa iyo na kumbinsihin ang iba sa kawastuhan ng resulta, tulad ng kapag nakumbinsi ka.

Tanong mula sa madla: At ang infinity (bilang ang bilang ng mga elemento sa sequence S), ito ba ay pantay o kakaiba? Paano mo mababago ang parity ng isang bagay na walang parity?

Ang kawalang-hanggan para sa mga mathematician ay tulad ng Kaharian ng Langit para sa mga pari - walang sinuman ang nakapunta doon, ngunit alam ng lahat kung paano gumagana ang lahat doon))) Sumasang-ayon ako, pagkatapos ng kamatayan ikaw ay magiging ganap na walang malasakit kung nabuhay ka ng kahit na o kakaibang bilang ng mga araw , ngunit ... Ang pagdaragdag lamang ng isang araw sa simula ng iyong buhay, makakakuha tayo ng isang ganap na naiibang tao: ang kanyang apelyido, unang pangalan at patronymic ay eksaktong pareho, tanging ang petsa ng kapanganakan ay ganap na naiiba - siya ay ipinanganak ng isa araw bago ka.

At ngayon sa punto))) Ipagpalagay na ang isang may hangganang pagkakasunud-sunod na may parity ay mawawala ang parity na ito kapag papunta sa infinity. Kung gayon ang anumang finite segment ng isang infinite sequence ay dapat ding mawalan ng parity. Hindi namin ito inoobserbahan. Ang katotohanan na hindi natin masasabi kung ang bilang ng mga elemento sa isang walang katapusang pagkakasunud-sunod ay pantay o kakaiba ay hindi nangangahulugan na ang parity ay nawala. Ang parity, kung mayroon man, ay hindi maaaring mawala sa kawalang-hanggan nang walang bakas, tulad ng sa manggas ng isang card sharper. Mayroong napakagandang pagkakatulad para sa kasong ito.

Natanong mo na ba ang kuku na nakaupo sa orasan kung saang direksyon umiikot ang kamay ng orasan? Para sa kanya, ang arrow ay umiikot sa kabaligtaran na direksyon sa tinatawag nating "clockwise". Ito ay maaaring tunog na kabalintunaan, ngunit ang direksyon ng pag-ikot ay nakasalalay lamang sa kung saang panig namin naobserbahan ang pag-ikot. At kaya, mayroon kaming isang gulong na umiikot. Hindi natin masasabi kung saang direksyon nagaganap ang pag-ikot, dahil mapapansin natin ito pareho mula sa isang bahagi ng eroplano ng pag-ikot at mula sa isa pa. Maaari lamang tayong magpatotoo sa katotohanan na mayroong pag-ikot. Kumpletuhin ang pagkakatulad sa parity ng isang walang katapusang pagkakasunod-sunod S.

Ngayon magdagdag tayo ng pangalawang umiikot na gulong, ang eroplano ng pag-ikot na kung saan ay parallel sa eroplano ng pag-ikot ng unang umiikot na gulong. Hindi pa rin namin matukoy nang eksakto kung aling direksyon ang umiikot ang mga gulong na ito, ngunit masasabi namin nang may ganap na katiyakan kung ang parehong mga gulong ay umiikot sa parehong direksyon o sa magkasalungat na direksyon. Paghahambing ng dalawang walang katapusang pagkakasunud-sunod S at 1-S, ipinakita ko sa tulong ng matematika na ang mga sequence na ito ay may iba't ibang parity at ang paglalagay ng pantay na tanda sa pagitan ng mga ito ay isang pagkakamali. Sa personal, naniniwala ako sa matematika, hindi ako nagtitiwala sa mga mathematician))) Sa pamamagitan ng paraan, upang lubos na maunawaan ang geometry ng mga pagbabagong-anyo ng walang katapusang mga pagkakasunud-sunod, kinakailangan na ipakilala ang konsepto "kasabay". Ito ay kailangang iguhit.

Miyerkules, Agosto 7, 2019

Sa pagtatapos ng pag-uusap tungkol sa , kailangan nating isaalang-alang ang isang walang katapusang hanay. Ibinigay na ang konsepto ng "infinity" ay kumikilos sa mga mathematician, tulad ng isang boa constrictor sa isang kuneho. Ang nanginginig na katakutan ng infinity ay nag-aalis ng mga mathematician ng sentido komun. Narito ang isang halimbawa:

Ang orihinal na pinagmulan ay matatagpuan. Ang Alpha ay nagsasaad ng totoong numero. Ang equal sign sa mga expression sa itaas ay nagpapahiwatig na kung magdagdag ka ng isang numero o infinity sa infinity, walang magbabago, ang resulta ay magiging parehong infinity. Kung kukuha tayo ng isang walang katapusang hanay ng mga natural na numero bilang isang halimbawa, kung gayon ang isinasaalang-alang na mga halimbawa ay maaaring katawanin tulad ng sumusunod:

Upang biswal na patunayan ang kanilang kaso, ang mga mathematician ay gumawa ng maraming iba't ibang pamamaraan. Sa personal, tinitingnan ko ang lahat ng mga pamamaraang ito bilang mga sayaw ng mga shaman na may mga tamburin. Sa esensya, lahat sila ay nauunawaan na ang ilan sa mga silid ay hindi inookupahan at ang mga bagong panauhin ay naninirahan sa kanila, o ang ilan sa mga bisita ay itinapon sa koridor upang magbigay ng puwang para sa mga bisita (napakatao). Iniharap ko ang aking pananaw sa gayong mga desisyon sa anyo ng isang kamangha-manghang kuwento tungkol sa Blonde. Ano ang batayan ng aking pangangatwiran? Ang paglipat ng walang katapusang bilang ng mga bisita ay tumatagal ng walang katapusang dami ng oras. Pagkatapos naming lisanin ang unang silid ng panauhin, ang isa sa mga bisita ay palaging maglalakad sa koridor mula sa kanyang silid patungo sa susunod na silid hanggang sa katapusan ng oras. Siyempre, ang kadahilanan ng oras ay maaaring hindi papansinin, ngunit ito ay mula na sa kategoryang "ang batas ay hindi isinulat para sa mga tanga." Ang lahat ay nakasalalay sa kung ano ang ginagawa natin: pagsasaayos ng katotohanan sa mga teoryang matematika o kabaliktaran.

Ano ang isang "walang katapusan na hotel"? Ang infinity inn ay isang inn na palaging may anumang bilang ng mga bakante, gaano man karaming mga kuwarto ang okupado. Kung ang lahat ng mga silid sa walang katapusang pasilyo "para sa mga bisita" ay inookupahan, mayroong isa pang walang katapusang pasilyo na may mga silid para sa "mga bisita". Magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga naturang koridor. Kasabay nito, ang "infinite hotel" ay may walang katapusang bilang ng mga palapag sa isang walang katapusang bilang ng mga gusali sa isang walang katapusang bilang ng mga planeta sa isang walang katapusang bilang ng mga uniberso na nilikha ng isang walang katapusang bilang ng mga Diyos. Ang mga mathematician, sa kabilang banda, ay hindi nakakalayo sa mga karaniwang problema sa araw-araw: Ang Diyos-Allah-Buddha ay palaging iisa, ang hotel ay iisa, ang koridor ay iisa lamang. Kaya't sinusubukan ng mga mathematician na i-juggle ang mga serial number ng mga kuwarto sa hotel, na kinukumbinsi kami na posible na "itulak ang hindi itinulak".

Ipapakita ko sa iyo ang lohika ng aking pangangatwiran gamit ang halimbawa ng isang walang katapusang hanay ng mga natural na numero. Una kailangan mong sagutin ang isang napaka-simpleng tanong: gaano karaming mga hanay ng mga natural na numero ang umiiral - isa o marami? Walang tamang sagot sa tanong na ito, dahil kami mismo ang nag-imbento ng mga numero, walang mga numero sa Kalikasan. Oo, ang Kalikasan ay mahusay sa pagbibilang, ngunit para dito gumagamit siya ng iba pang mga tool sa matematika na hindi pamilyar sa atin. Gaya ng iniisip ng Kalikasan, sasabihin ko sa iyo sa ibang pagkakataon. Dahil kami ang nag-imbento ng mga numero, kami mismo ang magpapasya kung gaano karaming mga set ng natural na numero ang umiiral. Isaalang-alang ang parehong mga pagpipilian, bilang angkop sa isang tunay na siyentipiko.

Opsyon isa. "Bigyan tayo" ng isang set ng mga natural na numero, na tahimik na nakalagay sa isang istante. Kinukuha namin ang set na ito mula sa istante. Iyon nga lang, wala nang ibang natural na numero ang natitira sa istante at wala nang madadala. Hindi kami makakapagdagdag ng isa sa set na ito, dahil mayroon na kami nito. Paano kung gusto mo talaga? Walang problema. Maaari tayong kumuha ng unit mula sa set na kinuha na natin at ibalik ito sa istante. Pagkatapos nito, maaari tayong kumuha ng unit mula sa istante at idagdag ito sa natitira natin. Bilang resulta, muli tayong nakakakuha ng walang katapusang hanay ng mga natural na numero. Maaari mong isulat ang lahat ng aming mga manipulasyon tulad nito:

Isinulat ko ang mga operasyon sa algebraic notation at set theory notation, na naglilista ng mga elemento ng set nang detalyado. Isinasaad ng subscript na mayroon kaming isa at tanging hanay ng mga natural na numero. Lumalabas na ang hanay ng mga natural na numero ay mananatiling hindi nagbabago lamang kung ang isa ay ibabawas mula dito at ang parehong yunit ay idinagdag.

Opsyon dalawa. Marami kaming iba't ibang infinite set ng natural na numero sa istante. Binibigyang-diin ko - IBA, sa kabila ng katotohanan na sila ay halos hindi makilala. Kinukuha namin ang isa sa mga set na ito. Pagkatapos ay kukuha kami ng isa mula sa isa pang hanay ng mga natural na numero at idagdag ito sa set na nakuha na namin. Maaari pa nga tayong magdagdag ng dalawang set ng natural na numero. Narito ang makukuha natin:

Ang mga subscript na "isa" at "dalawa" ay nagpapahiwatig na ang mga elementong ito ay kabilang sa iba't ibang hanay. Oo, kung magdadagdag ka ng isa sa isang walang katapusan na hanay, ang resulta ay magiging isang walang katapusan na hanay, ngunit hindi ito magiging katulad ng orihinal na hanay. Kung ang isang infinite set ay idinagdag sa isa pang infinite set, ang resulta ay isang bagong infinite set na binubuo ng mga elemento ng unang dalawang set.

Ang hanay ng mga natural na numero ay ginagamit para sa pagbibilang sa parehong paraan bilang isang ruler para sa mga sukat. Ngayon isipin na nagdagdag ka ng isang sentimetro sa ruler. Magiging ibang linya na ito, hindi katumbas ng orihinal.

Maaari mong tanggapin o hindi tanggapin ang aking pangangatwiran - ito ay iyong sariling negosyo. Ngunit kung sakaling magkaroon ka ng mga problema sa matematika, isipin kung ikaw ay nasa landas ng maling pangangatwiran, na tinatahak ng mga henerasyon ng mga mathematician. Pagkatapos ng lahat, ang mga klase sa matematika, una sa lahat, ay bumubuo ng isang matatag na stereotype ng pag-iisip sa atin, at pagkatapos lamang ay nagdaragdag sila ng mga kakayahan sa pag-iisip sa atin (o kabaliktaran, inaalis nila tayo ng malayang pag-iisip).

pozg.ru

Linggo, Agosto 4, 2019

Nagsusulat ako ng postscript sa isang artikulo tungkol sa at nakita ko ang kahanga-hangang tekstong ito sa Wikipedia:

Mababasa natin: "... ang mayamang teoretikal na batayan ng matematika ng Babylon ay walang holistic na katangian at nabawasan sa isang hanay ng mga disparate na pamamaraan, wala ng isang karaniwang sistema at base ng ebidensya."

Wow! Kung gaano tayo katalino at kung gaano natin nakikita ang pagkukulang ng iba. Mahina ba para sa atin na tingnan ang modernong matematika sa parehong konteksto? Bahagyang binabanggit ang teksto sa itaas, personal kong nakuha ang sumusunod:

Ang mayamang teoretikal na batayan ng modernong matematika ay walang holistic na katangian at nababawasan sa isang hanay ng magkakaibang mga seksyon, na wala ng isang karaniwang sistema at base ng ebidensya.

Hindi ako lalayo upang kumpirmahin ang aking mga salita - mayroon itong wika at mga kumbensyon na iba sa wika at mga kumbensyon ng maraming iba pang sangay ng matematika. Ang parehong mga pangalan sa iba't ibang sangay ng matematika ay maaaring magkaroon ng iba't ibang kahulugan. Gusto kong italaga ang isang buong siklo ng mga publikasyon sa mga pinaka-halatang pagkakamali ng modernong matematika. Hanggang sa muli.

Sabado, Agosto 3, 2019

Paano hatiin ang isang set sa mga subset? Upang gawin ito, dapat kang magpasok ng bagong yunit ng sukat, na naroroon sa ilan sa mga elemento ng napiling hanay. Isaalang-alang ang isang halimbawa.

Nawa'y magkaroon tayo ng marami PERO binubuo ng apat na tao. Ang set na ito ay nabuo batay sa "mga tao" Italaga natin ang mga elemento ng set na ito sa pamamagitan ng liham a, ang subscript na may numero ay magsasaad ng ordinal na numero ng bawat tao sa set na ito. Ipakilala natin ang isang bagong yunit ng pagsukat na "katangiang sekswal" at tukuyin ito sa pamamagitan ng titik b. Dahil likas sa lahat ng tao ang mga sekswal na katangian, pinaparami namin ang bawat elemento ng set PERO sa kasarian b. Pansinin na ang aming hanay ng "mga tao" ay naging hanay na ng "mga taong may kasarian." Pagkatapos nito, maaari nating hatiin ang mga sekswal na katangian sa lalaki bm at pambabae bw katangian ng kasarian. Ngayon ay maaari na tayong maglapat ng mathematical na filter: pipili tayo ng isa sa mga sekswal na katangiang ito, hindi mahalaga kung alin ang lalaki o babae. Kung ito ay naroroon sa isang tao, pagkatapos ay i-multiply natin ito ng isa, kung walang ganoong tanda, pinarami natin ito ng zero. At pagkatapos ay inilalapat namin ang karaniwang matematika ng paaralan. Tingnan kung ano ang nangyari.

Pagkatapos ng multiplication, reductions at rearrangements, nakakuha kami ng dalawang subset: ang male subset bm at isang subset ng kababaihan bw. Humigit-kumulang sa parehong paraan na nangangatuwiran ang mga mathematician kapag inilapat nila ang set theory sa pagsasanay. Ngunit hindi nila kami pinapasok sa mga detalye, ngunit binibigyan kami ng natapos na resulta - "maraming tao ang binubuo ng isang subset ng mga lalaki at isang subset ng mga babae." Naturally, maaari kang magkaroon ng isang katanungan, kung paano wastong inilapat ang matematika sa mga pagbabagong nasa itaas? Ako ay nangangahas na tiyakin sa iyo na sa katunayan ang mga pagbabagong-anyo ay ginawa nang tama, ito ay sapat na upang malaman ang matematikal na katwiran ng arithmetic, Boolean algebra at iba pang mga seksyon ng matematika. Ano ito? Sa ibang pagkakataon sasabihin ko sa iyo ang tungkol dito.

Tulad ng para sa mga superset, posibleng pagsamahin ang dalawang set sa isang superset sa pamamagitan ng pagpili ng unit ng pagsukat na nasa mga elemento ng dalawang set na ito.

Tulad ng nakikita mo, ang mga yunit ng pagsukat at karaniwang matematika ay ginagawang isang bagay ng nakaraan ang set theory. Isang palatandaan na ang lahat ay hindi maayos sa set theory ay ang mga mathematician ay nakabuo ng kanilang sariling wika at notasyon para sa set theory. Ginawa ng mga mathematician ang ginawa ng mga shaman. Ang mga shaman lamang ang nakakaalam kung paano "tama" ilapat ang kanilang "kaalaman". Ang "kaalaman" na ito ay itinuturo nila sa atin.

Sa konklusyon, gusto kong ipakita sa iyo kung paano nagmamanipula ang mga mathematician
Sabihin nating tumakbo si Achilles ng sampung beses na mas mabilis kaysa sa pagong at nasa likod nito ng isang libong hakbang. Sa panahon kung saan tumatakbo si Achilles sa distansyang ito, gumagapang ang pagong ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Kapag si Achilles ay nakatakbo ng isang daang hakbang, ang pagong ay gagapang ng isa pang sampung hakbang, at iba pa. Magpapatuloy ang proseso nang walang hanggan, hindi na maaabutan ni Achilles ang pagong.

Ang pangangatwiran na ito ay naging isang lohikal na pagkabigla para sa lahat ng kasunod na henerasyon. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Lahat sila, sa isang paraan o iba pa, ay itinuturing na aporias ni Zeno. Napakalakas ng shock kaya" ... nagpapatuloy ang mga talakayan sa kasalukuyang panahon, ang pamayanang pang-agham ay hindi pa nakarating sa isang karaniwang opinyon tungkol sa kakanyahan ng mga kabalintunaan ... pagsusuri sa matematika, teorya ng hanay, bagong pisikal at pilosopikal na mga diskarte ay kasangkot sa pag-aaral ng isyu ; wala sa kanila ang naging pangkalahatang tinatanggap na solusyon sa problema ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Naiintindihan ng lahat na sila ay niloloko, ngunit walang nakakaintindi kung ano ang panlilinlang.

Mula sa pananaw ng matematika, malinaw na ipinakita ni Zeno sa kanyang aporia ang paglipat mula sa halaga hanggang. Ang paglipat na ito ay nagpapahiwatig ng paglalapat sa halip na mga constant. Sa pagkakaintindi ko, ang mathematical apparatus para sa paglalapat ng mga variable na unit ng pagsukat ay hindi pa nabubuo, o hindi pa ito nalalapat sa aporia ni Zeno. Ang paggamit ng aming karaniwang lohika ay humahantong sa amin sa isang bitag. Tayo, sa pamamagitan ng pagkawalang-kilos ng pag-iisip, ay naglalapat ng pare-parehong mga yunit ng oras sa kapalit. Mula sa pisikal na pananaw, ito ay mukhang pagbagal ng oras hanggang sa ganap itong huminto sa sandaling maabutan ni Achilles ang pagong. Kung titigil ang oras, hindi na maabutan ni Achilles ang pagong.

Kung ibabalik natin ang lohika na nakasanayan natin, lahat ay nahuhulog sa lugar. Tumatakbo si Achilles sa patuloy na bilis. Ang bawat kasunod na segment ng landas nito ay sampung beses na mas maikli kaysa sa nauna. Alinsunod dito, ang oras na ginugol sa pagtagumpayan ito ay sampung beses na mas mababa kaysa sa nauna. Kung ilalapat natin ang konsepto ng "infinity" sa sitwasyong ito, tama na sabihing "Mabilis na maaabutan ni Achilles ang pagong."

Paano maiiwasan ang lohikal na bitag na ito? Manatili sa pare-parehong mga yunit ng oras at huwag lumipat sa mga katumbas na halaga. Sa wika ni Zeno, ganito ang hitsura:

Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo ng isang libong hakbang, ang pagong ay gumagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Sa susunod na agwat ng oras, katumbas ng una, tatakbo si Achilles ng isa pang libong hakbang, at ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang. Ngayon si Achilles ay nauuna ng walong daang hakbang kaysa sa pagong.

Ang diskarte na ito ay sapat na naglalarawan sa katotohanan nang walang anumang mga lohikal na kabalintunaan. Ngunit hindi ito kumpletong solusyon sa problema. Ang pahayag ni Einstein tungkol sa hindi masusupil na bilis ng liwanag ay halos kapareho sa aporia ni Zeno na "Achilles at ang pagong". Kailangan pa nating pag-aralan, pag-isipang muli at lutasin ang problemang ito. At ang solusyon ay dapat hanapin hindi sa walang katapusang malalaking numero, ngunit sa mga yunit ng pagsukat.

Ang isa pang kawili-wiling aporia ni Zeno ay nagsasabi tungkol sa isang lumilipad na palaso:

Ang lumilipad na palaso ay hindi gumagalaw, dahil sa bawat sandali ng oras ito ay nakapahinga, at dahil ito ay nakapahinga sa bawat sandali ng oras, ito ay palaging nasa pahinga.

Sa aporia na ito, ang lohikal na kabalintunaan ay napagtagumpayan nang napakasimple - sapat na upang linawin na sa bawat sandali ng oras ang lumilipad na arrow ay nakapahinga sa iba't ibang mga punto sa espasyo, na, sa katunayan, ay paggalaw. May isa pang punto na dapat pansinin dito. Mula sa isang larawan ng isang kotse sa kalsada, imposibleng matukoy ang alinman sa katotohanan ng paggalaw nito o ang distansya dito. Upang matukoy ang katotohanan ng paggalaw ng kotse, dalawang larawan na kinunan mula sa parehong punto sa magkaibang mga punto sa oras ay kinakailangan, ngunit hindi ito magagamit upang matukoy ang distansya. Upang matukoy ang distansya sa kotse, kailangan mo ng dalawang larawan na kinuha mula sa magkakaibang mga punto sa espasyo nang sabay, ngunit hindi mo matukoy ang katotohanan ng paggalaw mula sa kanila (siyempre, kailangan mo pa rin ng karagdagang data para sa mga kalkulasyon, makakatulong sa iyo ang trigonometrya) . Ang gusto kong ituro sa partikular ay ang dalawang punto sa oras at dalawang punto sa kalawakan ay dalawang magkaibang bagay na hindi dapat malito dahil nagbibigay sila ng magkakaibang pagkakataon para sa paggalugad.
Ipapakita ko ang proseso sa isang halimbawa. Pinipili namin ang "pulang solid sa isang tagihawat" - ito ang aming "buo". Kasabay nito, nakikita natin na ang mga bagay na ito ay may busog, at mayroong walang busog. Pagkatapos nito, pumili kami ng isang bahagi ng "buo" at bumubuo ng isang set "na may busog". Ito ay kung paano pinapakain ng mga shaman ang kanilang sarili sa pamamagitan ng pagtali sa kanilang itinakdang teorya sa katotohanan.

Ngayon gawin natin ang isang maliit na lansihin. Kunin natin ang "solid sa isang tagihawat na may busog" at pag-isahin ang mga "buo" na ito sa pamamagitan ng kulay, pagpili ng mga pulang elemento. Nakakuha kami ng maraming "pula". Ngayon isang nakakalito na tanong: ang mga natanggap na hanay ba ay "na may busog" at "pula" sa parehong hanay o dalawang magkaibang hanay? Mga shaman lang ang nakakaalam ng sagot. Mas tiyak, sila mismo ay walang alam, ngunit tulad ng sinasabi nila, maging ito.

Ang simpleng halimbawang ito ay nagpapakita na ang set theory ay ganap na walang silbi pagdating sa realidad. Ano ang sikreto? Bumuo kami ng isang set ng "red solid pimply with a bow". Ang pagbuo ay naganap ayon sa apat na magkakaibang mga yunit ng pagsukat: kulay (pula), lakas (solid), pagkamagaspang (sa isang paga), mga dekorasyon (na may busog). Isang hanay lamang ng mga yunit ng pagsukat ang ginagawang posible na sapat na ilarawan ang mga tunay na bagay sa wika ng matematika. Narito kung ano ang hitsura nito.

Ang titik na "a" na may iba't ibang mga indeks ay nagpapahiwatig ng iba't ibang mga yunit ng pagsukat. Sa mga panaklong, ang mga yunit ng pagsukat ay naka-highlight, ayon sa kung saan ang "buo" ay inilalaan sa paunang yugto. Ang yunit ng pagsukat, ayon sa kung saan nabuo ang hanay, ay kinuha sa labas ng mga bracket. Ang huling linya ay nagpapakita ng huling resulta - isang elemento ng set. Tulad ng nakikita mo, kung gumagamit kami ng mga yunit ng pagsukat upang bumuo ng isang set, kung gayon ang resulta ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng aming mga aksyon. At ito ay matematika, at hindi ang mga sayaw ng mga shaman na may mga tamburin. Ang mga shaman ay maaaring "intuitively" na dumating sa parehong resulta, na pinagtatalunan ito ng "obviousness", dahil ang mga yunit ng pagsukat ay hindi kasama sa kanilang "pang-agham" na arsenal.

Sa tulong ng mga yunit ng pagsukat, napakadaling masira ang isa o pagsamahin ang ilang set sa isang superset. Tingnan natin ang algebra ng prosesong ito.