Ang mga logarithm, tulad ng anumang numero, ay maaaring idagdag, ibawas at i-convert sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.
Dapat malaman ang mga patakarang ito - walang seryosong problema sa logarithmic ang malulutas kung wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - lahat ay maaaring matutunan sa isang araw. Kaya simulan na natin.
Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms
Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: log a x at mag-log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:
- log a x+log a y= log a (x · y);
- log a x−log a y= log a (x : y).
Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay ang logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay - parehong batayan. Kung ang mga base ay naiiba, ang mga patakarang ito ay hindi gagana!
Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin ang logarithmic expression kahit na hindi isinasaalang-alang ang mga indibidwal na bahagi nito (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:
log 6 4 + log 6 9.
Dahil ang mga base ng logarithms ay pareho, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.
Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.
Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Tulad ng nakikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi isinasaalang-alang nang hiwalay. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, medyo normal na mga numero ang lumabas. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang kontrol - mga katulad na expression sa lahat ng kabigatan (minsan - na halos walang pagbabago) ay inaalok sa pagsusulit.
Pag-alis ng exponent mula sa logarithm
Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung may degree sa base o argumento ng logarithm? Pagkatapos ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin mula sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:
Madaling makita na ang huling panuntunan ay sumusunod sa kanilang unang dalawa. Ngunit ito ay mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ito ay makabuluhang bawasan ang halaga ng mga kalkulasyon.
Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x> 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. maaari mong ipasok ang mga numero bago ang sign ng logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.
Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .
Tanggalin natin ang antas sa argumento ayon sa unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression:
[caption ng figure]
Tandaan na ang denominator ay isang logarithm na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Meron kami:
[caption ng figure] Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali, nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap nila ang base at ang argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga degree at kinuha ang mga tagapagpahiwatig - nakakuha sila ng isang "tatlong-kuwento" na bahagi.
Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay may parehong numero: log 2 7. Dahil log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga patakaran ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.
Paglipat sa isang bagong pundasyon
Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga base? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?
Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ay sumagip. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng isang teorama:
Hayaang mag-log ang logarithm a x. Pagkatapos ay para sa anumang numero c ganyan c> 0 at c≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
[caption ng figure]
Sa partikular, kung ilalagay natin c = x, nakukuha natin ang:
[caption ng figure]
Ito ay sumusunod mula sa pangalawang pormula na posible na palitan ang base at ang argumento ng logarithm, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. ang logarithm ay nasa denominator.
Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito:
Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.
Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay eksaktong exponents. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Ngayon, i-flip natin ang pangalawang logarithm:
[caption ng figure]Dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa permutation ng mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay naisip ang mga logarithms.
Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.
Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:
[caption ng figure]Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:
[caption ng figure]Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
Kadalasan sa proseso ng paglutas ay kinakailangan na kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga formula ay makakatulong sa amin:
Sa unang kaso, ang numero n nagiging exponent ng argumento. Numero n maaaring maging ganap na anuman, dahil ito ay ang halaga lamang ng logarithm.
Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Ito ay tinatawag na pangunahing logarithmic identity.
Sa katunayan, kung ano ang mangyayari kung ang numero b itaas sa kapangyarihan upang b sa lawak na ito ay nagbibigay ng isang numero a? Tama: ito ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang "nakabitin" dito.
Tulad ng mga bagong base conversion formula, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.
Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression:
[caption ng figure]
Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at ang argumento ng logarithm. Dahil sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha natin ang:
[caption ng figure]Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na gawain mula sa pagsusulit :)
Logarithmic unit at logarithmic zero
Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na mahirap tawagan ang mga katangian - sa halip, ito ay mga kahihinatnan mula sa kahulugan ng logarithm. Ang mga ito ay patuloy na matatagpuan sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.
- log a a Ang = 1 ay ang logarithmic unit. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a mula sa base na ito mismo ay katumbas ng isa.
- log a 1 = 0 ay logarithmic zero. Base a maaaring maging anuman, ngunit kung ang argumento ay isa, ang logarithm ay zero! kasi a Ang 0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.
Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito at lutasin ang mga problema.
Katanggap-tanggap na saklaw (ODZ) ng logarithm
Ngayon pag-usapan natin ang tungkol sa mga paghihigpit (ODZ - ang lugar ng mga tinatanggap na halaga ng mga variable).
Naaalala namin na, halimbawa, ang square root ay hindi maaaring kunin mula sa mga negatibong numero; o kung mayroon tayong fraction, ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng zero. May mga katulad na paghihigpit para sa logarithms:
Iyon ay, parehong ang argumento at ang base ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, at ang base ay hindi maaaring pantay.
Bakit ganon?
Magsimula tayo sa simple: sabihin natin iyan. Pagkatapos, halimbawa, ang numero ay hindi umiiral, dahil kahit na anong antas ang itinaas natin, ito ay palaging lumalabas. Bukod dito, hindi ito umiiral para sa sinuman. Ngunit sa parehong oras maaari itong maging katumbas ng anumang bagay (para sa parehong dahilan - ito ay katumbas ng anumang antas). Samakatuwid, ang bagay ay walang interes, at ito ay itinapon lamang sa matematika.
Mayroon kaming katulad na problema sa kaso: sa anumang positibong antas - ito, ngunit hindi ito maaaring itaas sa negatibong kapangyarihan, dahil ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay magreresulta (pinaaalala ko sa iyo iyon).
Kapag tayo ay nahaharap sa problema ng pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan (na kinakatawan bilang isang ugat:. Halimbawa, (iyon ay), ngunit hindi umiiral.
Samakatuwid, ang mga negatibong dahilan ay mas madaling itapon kaysa sa gulo sa kanila.
Buweno, dahil ang base a ay positibo lamang para sa atin, kung gayon kahit na anong antas ang itaas natin, palagi tayong makakakuha ng isang mahigpit na positibong numero. Kaya dapat positibo ang argumento. Halimbawa, hindi ito umiiral, dahil hindi ito magiging negatibong numero sa anumang lawak (at kahit na zero, samakatuwid ay hindi rin ito umiiral).
Sa mga problema sa logarithms, ang unang hakbang ay isulat ang ODZ. Magbibigay ako ng isang halimbawa:
Lutasin natin ang equation.
Alalahanin ang kahulugan: ang logarithm ay ang kapangyarihan kung saan ang batayan ay dapat na itaas upang makakuha ng isang argumento. At ayon sa kondisyon, ang antas na ito ay katumbas ng: .
Nakukuha namin ang karaniwang quadratic equation: . Malutas namin ito gamit ang Vieta theorem: ang kabuuan ng mga ugat ay pantay, at ang produkto. Madaling kunin, ito ay mga numero at.
Ngunit kung agad mong kukunin at isulat ang parehong mga numerong ito sa sagot, maaari kang makakuha ng 0 puntos para sa gawain. Bakit? Isipin natin kung ano ang mangyayari kung papalitan natin ang mga ugat na ito sa paunang equation?
Ito ay malinaw na mali, dahil ang base ay hindi maaaring negatibo, iyon ay, ang ugat ay "third-party".
Upang maiwasan ang mga hindi kasiya-siyang trick, kailangan mong isulat ang ODZ bago pa man simulan ang paglutas ng equation:
Pagkatapos, nang matanggap ang mga ugat at, agad naming itinapon ang ugat, at isulat ang tamang sagot.
Halimbawa 1(subukan mong lutasin ito sa iyong sarili) :
Hanapin ang ugat ng equation. Kung maraming ugat, ipahiwatig ang mas maliit sa iyong sagot.
Solusyon:
Una sa lahat, isulat natin ang ODZ:
Ngayon naaalala natin kung ano ang logarithm: sa anong kapangyarihan kailangan mong itaas ang base upang makakuha ng argumento? Sa pangalawa. Yan ay:
Tila ang mas maliit na ugat ay pantay. Ngunit hindi ito ganoon: ayon sa ODZ, ang ugat ay third-party, iyon ay, hindi ito ang ugat ng equation na ito. Kaya, ang equation ay may isang ugat lamang: .
Sagot: .
Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
Alalahanin ang kahulugan ng logarithm sa mga pangkalahatang termino:
Palitan ang pangalawang pagkakapantay-pantay sa halip na ang logarithm:
Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan. Bagama't sa esensya ang pagkakapantay-pantay na ito ay iba lamang ang pagkakasulat kahulugan ng logarithm:
Ito ang kapangyarihan kung saan kailangan mong itaas upang makuha.
Halimbawa:
Lutasin ang mga sumusunod na halimbawa:
Halimbawa 2
Hanapin ang halaga ng expression.
Solusyon:
Alalahanin ang panuntunan mula sa seksyon:, iyon ay, kapag ang pagtaas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang mga tagapagpahiwatig ay pinarami. Ilapat natin ito:
Halimbawa 3
Patunayan mo yan.
Solusyon:
Mga katangian ng logarithms
Sa kasamaang palad, ang mga gawain ay hindi palaging napakasimple - madalas na kailangan mo munang pasimplehin ang expression, dalhin ito sa karaniwang anyo, at pagkatapos ay posible na kalkulahin ang halaga. Ito ay pinakamadaling gawin ito sa pag-alam mga katangian ng logarithms. Kaya't alamin natin ang mga pangunahing katangian ng logarithms. Patunayan ko ang bawat isa sa kanila, dahil ang anumang tuntunin ay mas madaling tandaan kung alam mo kung saan ito nanggaling.
Ang lahat ng mga katangiang ito ay dapat tandaan; kung wala ang mga ito, karamihan sa mga problema sa logarithms ay hindi malulutas.
At ngayon tungkol sa lahat ng mga katangian ng logarithms nang mas detalyado.
Ari-arian 1:
Patunay:
Hayaan, kung gayon.
Mayroon kaming: , h.t.d.
Property 2: Sum ng logarithms
Ang kabuuan ng logarithms na may parehong base ay katumbas ng logarithm ng produkto: .
Patunay:
Hayaan, kung gayon. Hayaan, kung gayon.
Halimbawa: Hanapin ang halaga ng expression: .
Solusyon: .
Ang formula na iyong natutunan ay nakakatulong upang pasimplehin ang kabuuan ng mga logarithms, hindi ang pagkakaiba, upang ang mga logarithms na ito ay hindi maaaring pagsamahin kaagad. Ngunit maaari mong gawin ang kabaligtaran - "hatiin" ang unang logarithm sa dalawa: At narito ang ipinangakong pagpapasimple:
.
Bakit kailangan ito? Well, halimbawa: ano ang mahalaga?
Ngayon ay halata na.
Ngayon gawing madali para sa iyong sarili:
Mga gawain:
Mga sagot:
Property 3: Pagkakaiba ng logarithms:
Patunay:
Ang lahat ay eksaktong kapareho ng sa talata 2:
Hayaan, kung gayon.
Hayaan, kung gayon. Meron kami:
Ang halimbawa mula sa huling punto ay mas simple na ngayon:
Mas kumplikadong halimbawa: . Hulaan ang iyong sarili kung paano magpasya?
Dito dapat tandaan na wala tayong iisang formula tungkol sa logarithms squared. Ito ay isang bagay na katulad ng isang expression - hindi ito maaaring pasimplehin kaagad.
Samakatuwid, lumihis tayo sa mga formula tungkol sa logarithms, at isipin kung anong mga formula ang kadalasang ginagamit natin sa matematika? Mula pa noong ika-7 baitang!
Ito -. Kailangan mong masanay sa katotohanan na sila ay nasa lahat ng dako! At sa exponential, at sa trigonometriko, at sa hindi makatwiran na mga problema, matatagpuan ang mga ito. Samakatuwid, dapat silang tandaan.
Kung titingnan mong mabuti ang unang dalawang termino, magiging malinaw na ito nga pagkakaiba ng mga parisukat:
Sagot upang suriin:
Pasimplehin ang iyong sarili.
Mga halimbawa
Mga sagot.
Property 4: Derivation ng exponent mula sa argumento ng logarithm:
Patunay: At dito ginagamit din natin ang kahulugan ng logarithm: hayaan, pagkatapos. Mayroon kaming: , h.t.d.
Maaari mong maunawaan ang panuntunang ito tulad nito:
Iyon ay, ang antas ng argumento ay dinadala sa unahan ng logarithm, bilang isang koepisyent.
Halimbawa: Hanapin ang halaga ng expression.
Solusyon: .
Magpasya para sa iyong sarili:
Mga halimbawa:
Mga sagot:
Property 5: Derivation ng exponent mula sa base ng logarithm:
Patunay: Hayaan, kung gayon.
Mayroon kaming: , h.t.d.
Tandaan: mula sa bakuran degree ay nai-render bilang reverse numero, hindi tulad ng nakaraang kaso!
Property 6: Derivation ng exponent mula sa base at ang argumento ng logarithm:
O kung ang mga degree ay pareho: .
Property 7: Paglipat sa bagong base:
Patunay: Hayaan, kung gayon.
Mayroon kaming: , h.t.d.
Property 8: Pagpapalit ng base at argumento ng logarithm:
Patunay: Ito ay isang espesyal na kaso ng formula 7: kung papalitan natin, makakakuha tayo ng: , p.t.d.
Tingnan natin ang ilan pang halimbawa.
Halimbawa 4
Hanapin ang halaga ng expression.
Ginagamit namin ang pag-aari ng logarithms No. 2 - ang kabuuan ng logarithms na may parehong base ay katumbas ng logarithm ng produkto:
Halimbawa 5
Hanapin ang halaga ng expression.
Solusyon:
Ginagamit namin ang pag-aari ng logarithms No. 3 at No. 4:
Halimbawa 6
Hanapin ang halaga ng expression.
Solusyon:
Gamit ang property number 7 - pumunta sa base 2:
Halimbawa 7
Hanapin ang halaga ng expression.
Solusyon:
Paano mo gusto ang artikulo?
Kung binabasa mo ang mga linyang ito, nabasa mo na ang buong artikulo.
At ito ay astig!
Ngayon sabihin sa amin kung paano mo gusto ang artikulo?
Natuto ka na bang mag-solve ng logarithms? Kung hindi, ano ang problema?
Sumulat sa amin sa mga komento sa ibaba.
At oo, good luck sa iyong mga pagsusulit.
Sa Unified State Exam at OGE at sa pangkalahatan sa buhay
(mula sa Greek λόγος - "salita", "relasyon" at ἀριθμός - "numero") na mga numero b sa pamamagitan ng dahilan a(log α b) ay tinatawag na ganoong numero c, at b= isang c, ibig sabihin, log α b=c at b=ac ay katumbas. Makatuwiran ang logarithm kung a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Sa ibang salita logarithm numero b sa pamamagitan ng dahilan a binabalangkas bilang isang exponent kung saan dapat itaas ang isang numero a para makuha ang numero b(ang logarithm ay umiiral lamang para sa mga positibong numero).
Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x= log α b, ay katumbas ng paglutas ng equation a x =b.
Halimbawa:
log 2 8 = 3 dahil 8=2 3 .
Tandaan namin na ang ipinahiwatig na pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible upang agad na matukoy halaga ng logarithm kapag ang numero sa ilalim ng sign ng logarithm ay isang tiyak na kapangyarihan ng base. Sa katunayan, ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible upang bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan a katumbas Sa. Malinaw din na ang paksa ng logarithm ay malapit na nauugnay sa paksa antas ng bilang.
Ang pagkalkula ng logarithm ay tinutukoy logarithm. Ang Logarithm ay ang matematikal na operasyon ng pagkuha ng logarithm. Kapag kumukuha ng logarithm, ang mga produkto ng mga kadahilanan ay binago sa kabuuan ng mga termino.
Potentiation ay ang mathematical operation na kabaligtaran sa logarithm. Kapag potentiating, ang ibinigay na base ay itataas sa kapangyarihan ng expression kung saan ang potentiation ay ginanap. Sa kasong ito, ang mga kabuuan ng mga termino ay binago sa produkto ng mga kadahilanan.
Kadalasan, ang mga totoong logarithm na may mga base 2 (binary), e Euler number e ≈ 2.718 (natural logarithm) at 10 (decimal) ay ginagamit.
Sa yugtong ito, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang mga sample ng logarithms log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
At ang mga entry lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ay hindi makatwiran, dahil sa una sa kanila isang negatibong numero ang inilalagay sa ilalim ng tanda ng logarithm, sa pangalawa - isang negatibong numero sa ang base, at sa pangatlo - at isang negatibong numero sa ilalim ng tanda ng logarithm at unit sa base.
Mga kondisyon para sa pagtukoy ng logarithm.
Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang nang hiwalay sa mga kondisyon a > 0, a ≠ 1, b > 0. kahulugan ng logarithm. Isaalang-alang natin kung bakit kinukuha ang mga paghihigpit na ito. Makakatulong ito sa amin sa pagkakapantay-pantay ng form na x = log α b, na tinatawag na pangunahing logarithmic identity, na direktang sumusunod sa kahulugan ng logarithm na ibinigay sa itaas.
Kunin ang kundisyon a≠1. Dahil ang isa ay katumbas ng isa sa anumang kapangyarihan, kung gayon ang pagkakapantay-pantay x=log α b maaari lamang umiral kapag b=1, ngunit ang log 1 1 ay magiging anumang tunay na numero. Upang maalis ang kalabuan na ito, kukunin namin a≠1.
Patunayan natin ang pangangailangan ng kondisyon a>0. Sa a=0 ayon sa pagbabalangkas ng logarithm, maaari lamang umiral kapag b=0. At pagkatapos ay naaayon log 0 0 maaaring maging anumang di-zero na tunay na numero, dahil ang zero sa anumang di-zero na kapangyarihan ay zero. Upang maalis ang kalabuan na ito, ang kondisyon a≠0. At kailan a<0 kailangan nating tanggihan ang pagsusuri ng makatwiran at hindi makatwiran na mga halaga ng logarithm, dahil ang exponent na may rational at irrational exponent ay tinukoy lamang para sa mga hindi negatibong base. Ito ay para sa kadahilanang ito na ang kondisyon a>0.
At ang huling kondisyon b>0 sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay a>0, dahil x=log α b, at ang halaga ng degree na may positibong base a laging positibo.
Mga tampok ng logarithms.
Logarithms nailalarawan sa pamamagitan ng katangi-tangi mga tampok, na humantong sa kanilang malawakang paggamit upang lubos na mapadali ang maingat na pagkalkula. Sa paglipat "sa mundo ng logarithms", ang multiplikasyon ay binago sa isang mas madaling karagdagan, paghahati sa pagbabawas, at pagtaas sa isang kapangyarihan at pagkuha ng isang ugat ay binago sa multiplikasyon at paghahati ng isang exponent, ayon sa pagkakabanggit.
Ang pagbabalangkas ng mga logarithms at isang talahanayan ng kanilang mga halaga (para sa mga function ng trigonometriko) ay unang nai-publish noong 1614 ng Scottish mathematician na si John Napier. Ang mga logarithmic table, na pinalaki at idinetalye ng ibang mga siyentipiko, ay malawakang ginagamit sa mga kalkulasyon ng siyentipiko at inhinyero, at nanatiling may kaugnayan hanggang sa magsimulang gumamit ng mga electronic calculator at computer.
"Mga formula ng pinaikling multiplication" - Kapag nagpaparami ng dalawang polynomial, ang bawat termino ng unang polynomial ay i-multiply sa bawat termino ng pangalawang polynomial at idinaragdag ang mga produkto. Mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga polynomial, ginagamit ang mga patakaran para sa pagbubukas ng mga bracket. Ang mga monomial ay mga produkto ng mga numero, variable at natural na kapangyarihan ng mga ito.
"Solusyon ng sistema ng mga equation" - Graphical na pamamaraan (algorithm). Ang equation ay isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isa o higit pang mga variable. Equation at mga katangian nito. Paraan ng mga determinant (algorithm). Sistema ng mga equation at solusyon nito. Solusyon ng system sa pamamagitan ng paraan ng paghahambing. Linear equation na may dalawang variable. Solusyon ng system sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.
"Ang solusyon ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay" - Mga agwat. Pagdidikta sa matematika. Ang mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay isinasaalang-alang. Solusyon ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Upang malutas ang isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, sapat na upang malutas ang bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay na kasama dito at hanapin ang intersection ng mga hanay ng kanilang mga solusyon. Isulat ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ang mga hanay ng solusyon ay mga pagitan.
"Indicative inequalities" - Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay. Solusyon sa pinakasimpleng exponential inequalities. Solusyon ng exponential inequalities. Ano ang dapat isaalang-alang kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng exponential? Solusyon sa pinakasimpleng exponential inequalities. Ang hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi alam sa exponent ay tinatawag na exponential inequality.
"Relations of numbers" - Ano ang proporsyon? Ano ang mga pangalan ng mga numerong m at n sa proporsyon a: m = n: c? Ang quotient ng dalawang numero ay tinatawag na ratio ng dalawang numero. Marketing lan. Sa tamang proporsyon, ang produkto ng mga extreme terms ay katumbas ng produkto ng middle terms at vice versa. Ano ang isang saloobin? Mga proporsyon. Ang ratio ay maaaring ipahayag bilang isang porsyento.
"Ang discriminant ng isang quadratic equation" - Vieta's theorem. Quadratic equation. Nakakadiskrimina. Anong mga equation ang tinatawag na incomplete quadratic equation? Ilang ugat mayroon ang isang equation kung ang discriminant nito ay zero? Solusyon ng hindi kumpletong quadratic equation. Ilang ugat mayroon ang isang equation kung ang discriminant nito ay negatibong numero?
Sa kabuuan mayroong 14 na presentasyon sa paksa
