Ang bawat operasyon ng aritmetika kung minsan ay nagiging napakahirap upang itala at sinusubukan nilang gawing simple ito. Ito ay dati ay pareho sa operasyon ng karagdagan. Kinakailangan para sa mga tao na magsagawa ng paulit-ulit na pagdaragdag ng parehong uri, halimbawa, upang kalkulahin ang halaga ng isang daang Persian carpet, ang halaga nito ay 3 gintong barya para sa bawat isa. 3+3+3+…+3 = 300. Dahil sa pagiging mahirap, naimbento ito upang bawasan ang notasyon sa 3 * 100 = 300. Sa katunayan, ang notasyong “tatlong beses isang daan” ay nangangahulugan na kailangan mong kumuha ng isang daan triplets at idagdag ang mga ito nang sama-sama. Nag-ugat ang multiplikasyon, nakakuha ng pangkalahatang katanyagan. Ngunit ang mundo ay hindi tumitigil, at sa Middle Ages ito ay naging kinakailangan upang isagawa ang paulit-ulit na pagpaparami ng parehong uri. Naaalala ko ang isang matandang bugtong na Indian tungkol sa isang matalinong tao na humingi ng mga butil ng trigo sa sumusunod na dami bilang gantimpala para sa gawaing nagawa: para sa unang cell ng chessboard humingi siya ng isang butil, para sa pangalawa - dalawa, pangatlo - apat. , ang ikalima - walo, at iba pa. Ito ay kung paano lumitaw ang unang pagpaparami ng mga kapangyarihan, dahil ang bilang ng mga butil ay katumbas ng dalawa sa kapangyarihan ng numero ng cell. Halimbawa, sa huling cell ay magkakaroon ng 2*2*2*…*2 = 2^63 grains, na katumbas ng isang numerong 18 character ang haba, na, sa katunayan, ay ang kahulugan ng bugtong.

Ang pagpapatakbo ng pagtaas sa isang kapangyarihan ay nag-ugat nang napakabilis, at mabilis din itong naging kinakailangan upang magsagawa ng karagdagan, pagbabawas, paghahati at pagpaparami ng mga degree. Ang huli ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang nang mas detalyado. Ang mga formula para sa pagdaragdag ng mga kapangyarihan ay simple at madaling matandaan. Bilang karagdagan, napakadaling maunawaan kung saan sila nanggaling kung ang pagpapatakbo ng kuryente ay papalitan ng multiplikasyon. Ngunit kailangan mo munang maunawaan ang elementarya na terminolohiya. Ang expression na a ^ b (basahin ang "a hanggang sa kapangyarihan ng b") ay nangangahulugan na ang bilang a ay dapat na i-multiply sa sarili nitong b beses, at ang "a" ay tinatawag na base ng degree, at ang "b" ay ang exponent. Kung ang mga batayan ng mga kapangyarihan ay pareho, kung gayon ang mga formula ay hinango nang simple. Tukoy na halimbawa: hanapin ang halaga ng expression na 2^3 * 2^4. Upang malaman kung ano ang dapat mangyari, dapat mong malaman ang sagot sa computer bago simulan ang solusyon. Ang pagpasok ng expression na ito sa anumang online na calculator, search engine, pag-type ng "multiplication of powers na may iba't ibang base at pareho" o isang mathematical package, ang output ay magiging 128. Ngayon, isulat natin ang expression na ito: 2^3 = 2*2*2, at 2^4 = 2 *2*2*2. Lumalabas na 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Lumalabas na ang produkto ng mga kapangyarihan na may parehong base ay katumbas ng base na itinaas sa isang kapangyarihan na katumbas ng kabuuan ng nakaraang dalawang kapangyarihan.

Maaari mong isipin na ito ay isang aksidente, ngunit hindi: ang anumang iba pang halimbawa ay maaari lamang kumpirmahin ang panuntunang ito. Kaya, sa pangkalahatan, ang formula ay ganito: a^n * a^m = a^(n+m) . Mayroon ding panuntunan na ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa. Dito dapat nating tandaan ang tuntunin ng mga negatibong kapangyarihan: a^(-n) = 1 / a^n. Iyon ay, kung 2^3 = 8, pagkatapos ay 2^(-3) = 1/8. Gamit ang panuntunang ito, mapapatunayan natin ang pagkakapantay-pantay a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) ay maaaring bawasan at mananatiling isa. Mula dito, hinango ang panuntunan na ang quotient ng mga kapangyarihan na may parehong base ay katumbas ng base na ito sa isang antas na katumbas ng quotient ng dividend at divisor: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) . Halimbawa: Pasimplehin ang expression na 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Ang multiplication ay isang commutative operation, kaya dapat munang idagdag ang multiplication exponents: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Susunod, dapat mong harapin ang dibisyon sa isang negatibong antas. Kinakailangang ibawas ang divisor exponent mula sa dividend exponent: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Ito lumalabas na ang operasyon ng paghahati sa isang negatibong antas ay magkapareho sa pagpapatakbo ng pagpaparami ng isang katulad na positibong exponent. Kaya ang huling sagot ay 8.

May mga halimbawa kung saan nagaganap ang non-canonical multiplication of powers. Ang pagpaparami ng mga kapangyarihan na may iba't ibang mga base ay kadalasang mas mahirap, at kung minsan ay imposible pa. Maraming mga halimbawa ng iba't ibang posibleng mga diskarte ang dapat ibigay. Halimbawa: pasimplehin ang expression na 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Malinaw, mayroong multiplikasyon ng mga kapangyarihan na may iba't ibang base. Ngunit, dapat tandaan na ang lahat ng mga base ay magkakaibang kapangyarihan ng isang triple. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. Gamit ang panuntunan (a^n) ^m = a^(n*m) , dapat mong muling isulat ang expression sa isang mas maginhawang anyo: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Sagot: 3^11. Sa mga kaso kung saan may iba't ibang base, gumagana ang panuntunan a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n para sa pantay na mga indicator. Halimbawa, 3^3 * 7^3 = 21^3. Kung hindi, kapag mayroong iba't ibang mga base at tagapagpahiwatig, imposibleng gumawa ng isang buong multiplikasyon. Minsan maaari mong bahagyang pasimplehin o gamitin sa tulong ng teknolohiya ng computer.

Ang konsepto ng isang degree sa matematika ay ipinakilala noong ika-7 baitang sa isang aralin sa algebra. At sa hinaharap, sa buong kurso ng pag-aaral ng matematika, ang konseptong ito ay aktibong ginagamit sa iba't ibang anyo nito. Ang mga degree ay isang medyo mahirap na paksa, na nangangailangan ng pagsasaulo ng mga halaga at ang kakayahang magbilang nang tama at mabilis. Para sa mas mabilis at mas mahusay na trabaho sa mga degree sa matematika, nakabuo sila ng mga katangian ng isang degree. Tumutulong sila na bawasan ang malalaking kalkulasyon, upang i-convert ang isang malaking halimbawa sa isang solong numero sa ilang lawak. Walang napakaraming mga katangian, at lahat ng mga ito ay madaling matandaan at ilapat sa pagsasanay. Samakatuwid, tinatalakay ng artikulo ang mga pangunahing katangian ng degree, pati na rin kung saan inilalapat ang mga ito.

mga katangian ng degree

Isasaalang-alang namin ang 12 mga katangian ng isang degree, kabilang ang mga katangian ng mga kapangyarihan na may parehong base, at magbibigay ng isang halimbawa para sa bawat ari-arian. Ang bawat isa sa mga pag-aari na ito ay makakatulong sa iyo na malutas ang mga problema sa mga degree na mas mabilis, pati na rin i-save ka mula sa maraming mga error sa pagkalkula.

1st property.

Maraming mga tao ang madalas na nakakalimutan ang tungkol sa ari-arian na ito, nagkakamali, na kumakatawan sa isang numero sa zero degree bilang zero.

2nd property.

3rd property.

Dapat tandaan na ang ari-arian na ito ay magagamit lamang kapag nagpaparami ng mga numero, hindi ito gumagana sa kabuuan! At hindi natin dapat kalimutan na ito at ang mga sumusunod na katangian ay nalalapat lamang sa mga kapangyarihan na may parehong base.

ika-4 na ari-arian.

Kung ang numero sa denominator ay itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, pagkatapos ay kapag binabawasan, ang antas ng denominator ay kinuha sa mga bracket upang palitan ng tama ang sign sa karagdagang mga kalkulasyon.

Gumagana lang ang property kapag naghahati, hindi kapag nagbabawas!

5th property.

ika-6 na ari-arian.

Ang property na ito ay maaari ding ilapat nang baligtad. Ang isang yunit na hinati sa isang numero sa ilang antas ay ang numerong iyon sa isang negatibong kapangyarihan.

ika-7 ari-arian.

Hindi maaaring ilapat ang property na ito sa kabuuan at pagkakaiba! Kapag nagtataas ng kabuuan o pagkakaiba sa isang kapangyarihan, mga pinaikling formula ng pagpaparami ang ginagamit, hindi ang mga katangian ng kapangyarihan.

ika-8 ari-arian.

ika-9 na ari-arian.

Gumagana ang property na ito para sa anumang fractional degree na may numerator na katumbas ng isa, magiging pareho ang formula, tanging ang degree ng root ang magbabago depende sa denominator ng degree.

Gayundin, ang property na ito ay kadalasang ginagamit sa reverse order. Ang ugat ng anumang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring katawanin bilang numerong iyon sa kapangyarihan ng isa na hinati sa kapangyarihan ng ugat. Ang pag-aari na ito ay lubhang kapaki-pakinabang sa mga kaso kung saan ang ugat ng numero ay hindi nakuha.

ika-10 ari-arian.

Gumagana ang property na ito hindi lamang sa square root at sa pangalawang degree. Kung ang antas ng ugat at ang antas kung saan ang ugat na ito ay nakataas ay pareho, kung gayon ang sagot ay magiging isang radikal na pagpapahayag.

ika-11 ari-arian.

Kailangan mong makita ang ari-arian na ito sa oras kapag nilulutas ito upang mailigtas ang iyong sarili mula sa malalaking kalkulasyon.

ika-12 ari-arian.

Ang bawat isa sa mga katangiang ito ay makakatagpo sa iyo ng higit sa isang beses sa mga gawain, maaari itong ibigay sa dalisay nitong anyo, o maaaring mangailangan ito ng ilang pagbabago at paggamit ng iba pang mga formula. Samakatuwid, para sa tamang solusyon, hindi sapat na malaman lamang ang mga katangian, kailangan mong magsanay at ikonekta ang natitirang kaalaman sa matematika.

Application ng mga degree at ang kanilang mga katangian

Ang mga ito ay aktibong ginagamit sa algebra at geometry. Ang mga degree sa matematika ay may hiwalay, mahalagang lugar. Sa kanilang tulong, ang mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas, gayundin ang mga kapangyarihan ay kadalasang nagpapalubha sa mga equation at mga halimbawa na nauugnay sa ibang mga seksyon ng matematika. Tumutulong ang mga exponent upang maiwasan ang malaki at mahabang kalkulasyon, mas madaling bawasan at kalkulahin ang mga exponent. Ngunit upang gumana sa malalaking kapangyarihan, o sa mga kapangyarihan ng malalaking numero, kailangan mong malaman hindi lamang ang mga katangian ng antas, ngunit mahusay din na magtrabaho kasama ang mga base, magagawang mabulok ang mga ito upang gawing mas madali ang iyong gawain. Para sa kaginhawahan, dapat mo ring malaman ang kahulugan ng mga numero na nakataas sa isang kapangyarihan. Bawasan nito ang iyong oras sa paglutas sa pamamagitan ng pag-aalis ng pangangailangan para sa mahabang kalkulasyon.

Ang konsepto ng degree ay gumaganap ng isang espesyal na papel sa logarithms. Dahil ang logarithm, sa esensya, ay ang kapangyarihan ng isang numero.

Ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami ay isa pang halimbawa ng paggamit ng mga kapangyarihan. Hindi nila maaaring gamitin ang mga katangian ng mga degree, sila ay nabubulok ayon sa mga espesyal na patakaran, ngunit sa bawat pinaikling formula ng multiplikasyon ay may palaging mga degree.

Aktibong ginagamit din ang mga degree sa physics at computer science. Ang lahat ng mga pagsasalin sa sistema ng SI ay ginawa gamit ang mga degree, at sa hinaharap, kapag nilutas ang mga problema, ang mga katangian ng degree ay inilalapat. Sa computer science, ang mga kapangyarihan ng dalawa ay aktibong ginagamit, para sa kaginhawahan ng pagbibilang at pagpapasimple ng pang-unawa ng mga numero. Ang mga karagdagang kalkulasyon sa mga conversion ng mga yunit ng pagsukat o pagkalkula ng mga problema, tulad ng sa pisika, ay nagaganap gamit ang mga katangian ng antas.

Ang mga degree ay napaka-kapaki-pakinabang din sa astronomy, kung saan bihira mong mahanap ang paggamit ng mga katangian ng isang degree, ngunit ang mga degree mismo ay aktibong ginagamit upang paikliin ang pag-record ng iba't ibang dami at distansya.

Ginagamit din ang mga degree sa pang-araw-araw na buhay, kapag kinakalkula ang mga lugar, volume, distansya.

Sa tulong ng mga degree, napakalaki at napakaliit na mga halaga ay nakasulat sa anumang larangan ng agham.

exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay

Ang mga katangian ng degree ay sumasakop sa isang espesyal na lugar nang tumpak sa mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga gawaing ito ay karaniwan, kapwa sa kurso sa paaralan at sa mga pagsusulit. Ang lahat ng mga ito ay malulutas sa pamamagitan ng paglalapat ng mga katangian ng antas. Ang hindi alam ay palaging nasa antas mismo, samakatuwid, alam ang lahat ng mga katangian, hindi magiging mahirap na lutasin ang gayong equation o hindi pagkakapantay-pantay.

Paano magparami ng kapangyarihan? Aling mga kapangyarihan ang maaaring paramihin at alin ang hindi? Paano mo i-multiply ang isang numero sa isang kapangyarihan?

Sa algebra, mahahanap mo ang produkto ng mga kapangyarihan sa dalawang kaso:

1) kung ang mga degree ay may parehong batayan;

2) kung ang mga degree ay may parehong mga tagapagpahiwatig.

Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay dapat manatiling pareho, at ang mga exponent ay dapat idagdag:

Kapag nagpaparami ng mga degree na may parehong mga tagapagpahiwatig, ang kabuuang tagapagpahiwatig ay maaaring alisin sa mga bracket:

Isaalang-alang kung paano paramihin ang mga kapangyarihan, na may mga partikular na halimbawa.

Ang yunit sa exponent ay hindi nakasulat, ngunit kapag pinarami ang mga degree, isinasaalang-alang nila:

Kapag nagpaparami, ang bilang ng mga degree ay maaaring anuman. Dapat tandaan na hindi mo maaaring isulat ang multiplication sign bago ang titik:

Sa mga expression, ang exponentiation ay unang ginagawa.

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa pamamagitan ng isang kapangyarihan, kailangan mo munang magsagawa ng exponentiation, at pagkatapos lamang - multiplikasyon:

www.algebraclass.ru

Pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati ng mga kapangyarihan

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga kapangyarihan

Malinaw, ang mga numero na may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang mga dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kanila ng isa-isa kasama ng kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2 .
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds ang parehong mga kapangyarihan ng parehong mga variable maaaring idagdag o ibawas.

Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay 5a 2 .

Malinaw din na kung kukuha tayo ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.

Ngunit degree iba't ibang variable at iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat idagdag sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito sa kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3 .

Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi dalawang beses ang parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.

Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng subtrahend ay dapat baguhin nang naaayon.

O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Pagpaparami ng kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring i-multiply tulad ng iba pang mga dami sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o wala ang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.

Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng isang 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.

O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga variable.
Ang expression ay magkakaroon ng anyong: a 5 b 5 y 3 .

Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng sum antas ng mga termino.

Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.

Kaya, a n .a m = a m+n .

Para sa a n , ang a ay kinukuha bilang salik na kasing dami ng kapangyarihan ng n;

At ang a m , ay kinukuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;

kaya lang, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring i-multiply sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponent.

Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay − negatibo.

1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin

Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.

Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay nakataas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degree.

Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Dibisyon ng mga kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng ibang mga numero sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa divisor, o sa pamamagitan ng paglalagay sa kanila sa anyo ng isang fraction.

Kaya ang a 3 b 2 na hinati sa b 2 ay isang 3 .

Ang pagsulat ng 5 na hinati ng 3 ay parang $\frac $. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.

Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..

Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ibig sabihin, $\frac = y$.

At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac = a^n$.

O kaya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Ang panuntunan ay may bisa din para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2 .
Gayundin, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Ito ay kinakailangan upang makabisado ang multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan

1. Bawasan ang mga exponents sa $\frac $ Sagot: $\frac $.

2. Bawasan ang mga exponent sa $\frac$. Sagot: $\frac $ o 2x.

3. Bawasan ang mga exponent na a 2 / a 3 at a -3 / a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay isang -2 unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .

4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 / 5a 7 at 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 at 5/5a 2.

5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .

8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.

mga katangian ng degree

Ipinapaalala namin sa iyo na sa araling ito ay naiintindihan namin mga katangian ng degree na may mga natural na tagapagpahiwatig at zero. Tatalakayin sa mga aralin para sa ika-8 baitang ang mga degree na may mga rational indicator at ang kanilang mga katangian.

Ang isang exponent na may natural na exponent ay may ilang mahahalagang katangian na nagbibigay-daan sa iyong pasimplehin ang mga kalkulasyon sa mga halimbawa ng exponent.

Ari-arian #1
Produkto ng mga kapangyarihan

Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ay idinagdag.

a m a n \u003d a m + n, kung saan ang "a" ay anumang numero, at ang "m", "n" ay anumang natural na mga numero.

Ang pag-aari na ito ng mga kapangyarihan ay nakakaapekto rin sa produkto ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan.

Pasimplehin ang expression.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Ipakita bilang isang degree.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Ipakita bilang isang degree.
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Pakitandaan na sa ipinahiwatig na ari-arian ito ay tungkol lamang sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base.. Hindi ito naaangkop sa kanilang karagdagan.

Hindi mo maaaring palitan ang kabuuan (3 3 + 3 2) ng 3 5 . Ito ay maliwanag kung
kalkulahin ang (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 at 3 5 = 243

Ari-arian #2
Mga pribadong degree

Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo.

Isulat ang quotient bilang isang kapangyarihan
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Kalkulahin.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Halimbawa. Lutasin ang equation. Ginagamit namin ang pag-aari ng mga bahagyang degree.
3 8: t = 3 4

Sagot: t = 3 4 = 81

Gamit ang mga katangian No. 1 at No. 2, madali mong gawing simple ang mga expression at magsagawa ng mga kalkulasyon.

Halimbawa. Pasimplehin ang expression.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Halimbawa. Hanapin ang halaga ng isang expression gamit ang mga katangian ng degree.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Pakitandaan na ang property 2 ay nakipag-ugnayan lamang sa dibisyon ng mga kapangyarihan na may parehong mga base.

Hindi mo maaaring palitan ang pagkakaiba (4 3 −4 2) ng 4 1 . Maiintindihan ito kung kalkulahin mo ang (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, at 4 1 = 4

Ari-arian #3
Exponentiation

Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ng kapangyarihan ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ay dumarami.

(a n) m \u003d a n m, kung saan ang "a" ay anumang numero, at "m", "n" ay anumang natural na mga numero.

Pakitandaan na ang property No. 4, tulad ng iba pang property ng degrees, ay inilalapat din sa reverse order.

(a n b n)= (a b) n

Iyon ay, upang i-multiply ang mga degree na may parehong mga exponent, maaari mong i-multiply ang mga base, at iwanan ang exponent na hindi nagbabago.

Halimbawa. Kalkulahin.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000

Halimbawa. Kalkulahin.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

Sa mas kumplikadong mga halimbawa, maaaring may mga kaso kapag ang multiplikasyon at paghahati ay dapat gawin sa mga kapangyarihan na may iba't ibang base at iba't ibang exponent. Sa kasong ito, ipinapayo namin sa iyo na gawin ang sumusunod.

Halimbawa, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Halimbawa ng exponentiation ng isang decimal fraction.

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = apat

Mga Katangian 5
Kapangyarihan ng quotient (mga fraction)

Upang itaas ang isang quotient sa isang kapangyarihan, maaari mong itaas ang dibidendo at divisor nang hiwalay sa kapangyarihang ito, at hatiin ang unang resulta sa pangalawa.

(a: b) n \u003d a n: b n, kung saan ang "a", "b" ay anumang mga rational na numero, b ≠ 0, n ay anumang natural na numero.

Halimbawa. Ipahayag ang ekspresyon bilang partial powers.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Ipinapaalala namin sa iyo na ang isang quotient ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Samakatuwid, tatalakayin natin ang paksa ng pagtataas ng isang fraction sa isang kapangyarihan nang mas detalyado sa susunod na pahina.

Degrees at Roots

Mga operasyong may kapangyarihan at ugat. Degree na may negatibo ,

zero at fractional tagapagpahiwatig. Tungkol sa mga ekspresyong walang katuturan.

Mga operasyon na may mga degree.

1. Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay idinaragdag:

isang m · a n = a m + n .

2. Kapag naghahati ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ibinawas .

3. Ang antas ng produkto ng dalawa o higit pang mga salik ay katumbas ng produkto ng mga antas ng mga salik na ito.

4. Ang antas ng ratio (fraction) ay katumbas ng ratio ng mga degree ng dibidendo (numerator) at divisor (denominator):

(a/b) n = a n / b n .

5. Kapag nagtataas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay pinarami:

Ang lahat ng mga formula sa itaas ay binabasa at isinasagawa sa parehong direksyon mula kaliwa hanggang kanan at vice versa.

HALIMBAWA (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Mga operasyon na may mga ugat. Sa lahat ng mga formula sa ibaba, ang ibig sabihin ng simbolo ugat ng aritmetika(positibo ang radikal na ekspresyon).

1. Ang ugat ng produkto ng ilang salik ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng mga salik na ito:

2. Ang ugat ng ratio ay katumbas ng ratio ng mga ugat ng dibidendo at divisor:

3. Kapag itinaas ang isang ugat sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas sa kapangyarihang ito numero ng ugat:

4. Kung tinaasan mo ang antas ng ugat ng m beses at sabay na itataas ang numero ng ugat sa m -th degree, hindi magbabago ang halaga ng ugat:

5. Kung bawasan mo ang antas ng ugat ng m beses at sabay na i-extract ang ugat ng m-th degree mula sa radikal na numero, hindi magbabago ang halaga ng ugat:

Pagpapalawig ng konsepto ng degree. Sa ngayon, isinasaalang-alang lamang namin ang mga degree na may natural na tagapagpahiwatig; ngunit ang mga operasyong may kapangyarihan at ugat ay maaari ding humantong sa negatibo, sero at fractional mga tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga exponent na ito ay nangangailangan ng karagdagang kahulugan.

Degree na may negatibong exponent. Ang antas ng isang tiyak na numero na may negatibong (integer) na exponent ay tinukoy bilang isa na hinati sa antas ng parehong numero na may isang exponent na katumbas ng ganap na halaga ng negatibong exponent:

Ngayon ang formula isang m : isang n = isang m-n maaaring gamitin hindi lamang para sa m, higit sa n, ngunit din sa m, mas mababa sa n .

HALIMBAWA a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Kung gusto natin ang formula isang m : isang n = isang m — n ay patas sa m = n, kailangan natin ng kahulugan ng zero degree.

Degree na may zero exponent. Ang antas ng anumang hindi-zero na numero na may zero exponent ay 1.

MGA HALIMBAWA. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Isang degree na may fractional exponent. Upang itaas ang isang tunay na numero a sa kapangyarihan m / n, kailangan mong kunin ang ugat ng ika-n degree mula sa mth kapangyarihan ng numerong ito a:

Tungkol sa mga ekspresyong walang katuturan. Mayroong ilang mga ganoong expression.

saan a ≠ 0 , ay wala.

Sa katunayan, kung ipagpalagay natin iyon x ay isang tiyak na numero, kung gayon, alinsunod sa kahulugan ng operasyon ng paghahati, mayroon kaming: a = 0· x, ibig sabihin. a= 0, na sumasalungat sa kundisyon: a ≠ 0

— kahit anong numero.

Sa katunayan, kung ipagpalagay natin na ang expression na ito ay katumbas ng ilang numero x, pagkatapos ay ayon sa kahulugan ng operasyon ng paghahati na mayroon tayo: 0 = 0 x. Ngunit ang pagkakapantay-pantay na ito ay pinanghahawakan anumang numero x, na dapat patunayan.

0 0 — kahit anong numero.

Solusyon. Isaalang-alang ang tatlong pangunahing kaso:

1) x = 0 – hindi natutugunan ng halagang ito ang equation na ito

2) kailan x> 0 nakukuha namin: x / x= 1, ibig sabihin. 1 = 1, kung saan sumusunod,

Ano x- kahit anong numero; ngunit isinasaalang-alang iyon

ang kaso natin x> 0 , ang sagot ay x > 0 ;

Mga panuntunan para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may iba't ibang base

DEGREE NA MAY RASYONAL NA INDICATOR,

POWER FUNCTION IV

§ 69. Pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan

Teorama 1. Upang i-multiply ang mga kapangyarihan na may parehong mga base, sapat na upang idagdag ang mga exponents, at iwanan ang base na pareho, iyon ay

Patunay. Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Isinaalang-alang namin ang produkto ng dalawang kapangyarihan. Sa katunayan, ang napatunayang ari-arian ay totoo para sa anumang bilang ng mga kapangyarihan na may parehong mga base.

Teorama 2. Upang hatiin ang mga kapangyarihan na may parehong mga base, kapag ang tagapagpahiwatig ng dibidendo ay mas malaki kaysa sa tagapagpahiwatig ng divisor, sapat na upang ibawas ang tagapagpahiwatig ng divisor mula sa tagapagpahiwatig ng dibidendo, at iwanan ang base na pareho, iyon ay sa t > n

(a =/= 0)

Patunay. Alalahanin na ang quotient ng paghahati ng isang numero sa isa pa ay ang bilang na, kapag pinarami ng isang divisor, ay nagbibigay ng dibidendo. Samakatuwid, patunayan ang formula , kung saan a =/= 0, parang pagpapatunay ng formula

Kung ang t > n , pagkatapos ay ang numero t - p magiging natural; samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1

Ang Theorem 2 ay napatunayan.

Tandaan na ang formula

pinatunayan lamang namin sa ilalim ng pag-aakalang iyon t > n . Samakatuwid, mula sa napatunayan, hindi pa posible na gumuhit, halimbawa, ang mga sumusunod na konklusyon:

Bilang karagdagan, hindi pa namin isinasaalang-alang ang mga degree na may mga negatibong exponents, at hindi pa namin alam kung anong kahulugan ang maaaring ibigay sa expression 3 - 2 .

Teorama 3. Upang itaas ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, sapat na upang i-multiply ang mga exponent, na iniiwan ang base ng exponent na pareho., yan ay

Patunay. Gamit ang kahulugan ng degree at Theorem 1 ng seksyong ito, nakukuha natin ang:

Q.E.D.

Halimbawa, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Oral.) Tukuyin X mula sa mga equation:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Inayos) Pasimplehin:

520. (Isinaayos) Pasimplehin:

521. Ipakita ang mga expression na ito bilang mga degree na may parehong mga base:

1) 32 at 64; 3) 85 at 163; 5) 4 100 at 32 50;

2) -1000 at 100; 4) -27 at -243; 6) 81 75 8 200 at 3 600 4 150.

Unang antas

Degree at mga katangian nito. Comprehensive Guide (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan mo sila kailangan? Bakit kailangan mong maglaan ng oras sa pag-aaral ng mga ito?

Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman sa pang-araw-araw na buhay, basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang pag-alam sa mga degree ay magdadala sa iyo na mas malapit sa matagumpay na pagpasa sa OGE o Unified State Examination at pagpasok sa unibersidad na iyong mga pangarap.

Tara na... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung sa halip na mga formula ang nakikita mong kalokohan, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay ang parehong mathematical operation bilang karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon o paghahati.

Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao gamit ang napakasimpleng mga halimbawa. Mag-ingat ka. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng isang paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakaisip sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa sa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

At anong iba pang nakakalito na trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sasabihin ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong ito sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Naaalala ng mga mathematician na dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay. At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang isip - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Upang gawin ito, kailangan mo lamang tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag parisukat mga numero, at ang pangatlo kubo? Ano ang ibig sabihin nito? Isang napakagandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa sa totoong buhay #1

Magsimula tayo sa isang parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na metro bawat metro. Ang pool ay nasa iyong likod-bahay. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Ngunit ... isang pool na walang ilalim! Kinakailangan na takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang lugar ng ilalim ng pool.

Maaari mo lamang bilangin sa pamamagitan ng pagsundot ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng mga cube metro bawat metro. Kung ang iyong mga tile ay metro bawat metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Pero saan ka nakakita ng ganyang tile? Ang tile ay mas magiging cm sa cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri". Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool, magkakasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, din, mga tile. Kapag nagpaparami, makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na pinarami namin ang parehong numero nang mag-isa upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil ang parehong numero ay pinarami, maaari naming gamitin ang exponentiation technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa ring i-multiply o itaas sa power. Pero kung marami ka, mas madali ang pagtaas sa power at mas kaunti rin ang error sa kalkulasyon. Para sa pagsusulit, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang ikalawang antas ay magiging (). O maaari mong sabihin na tatlumpung squared ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo, bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang nasa chessboard gamit ang parisukat ng numero ... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang panig din. Upang mabilang ang kanilang bilang, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo, o ... kung mapapansin mo na ang isang chessboard ay isang parisukat na may gilid, maaari mong kuwadrado ang walo. Kumuha ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa sa totoong buhay #3

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa paraan, ay sinusukat sa cubic meters. Hindi inaasahan, tama ba?) Gumuhit ng pool: isang ilalim na isang metro ang laki at isang metro ang lalim at subukang kalkulahin kung ilang metro bawat metrong cube ang papasok sa iyong pool.

Ituro lamang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo... Magkano ang naging resulta? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Ang mga ito ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube ... Mas madali, di ba?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung gagawin nilang napakadali. Binawasan ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami sa sarili nito ... At ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong gamitin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang isang daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlo sa isang cube ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito:

Nananatili lamang kabisaduhin ang talahanayan ng mga degree. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari mong patuloy na magbilang gamit ang iyong daliri.

Buweno, upang sa wakas ay makumbinsi ka na ang mga degree ay naimbento ng mga loafers at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa sa totoong buhay #4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, kumikita ka ng isa pang milyon para sa bawat milyon. Ibig sabihin, doble ang bawat isa sa iyong milyon sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri", kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at .. tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - dalawang beses dalawa ... sa ikalawang taon - kung ano ang nangyari, sa pamamagitan ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay pinarami ng sarili nitong isang beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang isang kumpetisyon at ang isa na mas mabilis na nagkalkula ay makakakuha ng mga milyon-milyong ito ... Ito ba ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga antas ng mga numero, ano sa palagay mo?

Halimbawa sa totoong buhay #5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, kikita ka pa ng dalawa sa bawat milyon. Ang galing diba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - multiply sa pamamagitan ng, pagkatapos ay ang resulta sa pamamagitan ng isa pa ... Ito ay nakababagot, dahil naiintindihan mo na ang lahat: tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang pang-apat na kapangyarihan ay isang milyon. Kailangan mo lang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan, gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Mga tuntunin at konsepto ... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan ...

Well, at the same time, ano tulad ng isang base ng degree? Kahit na mas simple ay ang numero na nasa ibaba, sa base.

Narito ang isang larawan para makasigurado ka.

Buweno, sa mga pangkalahatang tuntunin, upang maging pangkalahatan at matandaan nang mas mahusay ... Ang isang degree na may base na "" at isang indicator "" ay binabasa bilang "sa degree" at nakasulat tulad ng sumusunod:

Kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent

Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, pero ano natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga item: isa, dalawa, tatlo ... Kapag nagbibilang kami ng mga item, hindi namin sinasabi: "minus five", "minus six", "minus seven". Hindi rin namin sinasabing "one third" o "zero point five tenths". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Ano sa palagay mo ang mga numerong ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at isang numero. Madaling maunawaan ang Zero - ito ay kapag wala. At ano ang ibig sabihin ng mga negatibong ("minus") na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang tukuyin ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang lahat ng mga fraction ay mga rational na numero. Paano sila nangyari, sa tingin mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na wala silang sapat na natural na mga numero upang sukatin ang haba, timbang, lawak, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero… Kawili-wili, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, isang infinite decimal fraction. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwiran na numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (iyon ay, integer at positibo).

1. Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
2. Ang pag-square ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nito:
3. Ang pag-cube ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Upang itaas ang isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay ang pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:
.

Mga katangian ng degree

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin kung ano at ?

Sa pamamagitan ng kahulugan:

Ilang multiplier ang kabuuan?

Ito ay napaka-simple: nagdagdag kami ng mga kadahilanan sa mga kadahilanan, at ang resulta ay mga kadahilanan.

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ang antas ng isang numero na may exponent, iyon ay: , na kinakailangang patunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat pareho ang dahilan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon dapat mong isulat iyon.

2. ibig sabihin -ika-kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat?

Pero hindi totoo yun.

Degree na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang namin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging batayan?

Sa mga degree mula sa natural na tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero. Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung anong mga palatandaan (" " o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, natatandaan namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Pero kung paramihin tayo, lumalabas.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo.

Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na napakasimple!

6 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng solusyon 6 na halimbawa

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung sila ay pinagpalit, maaaring ilapat ang panuntunan.

Ngunit paano gawin iyon? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo pinangalanan namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang sign "") at ang numero.

positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, tinatanong natin ang ating sarili: bakit ganito?

Isaalang-alang ang ilang kapangyarihan na may base. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa pamamagitan ng, at nakuha ang parehong bilang ito ay -. Anong numero ang dapat i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito rin doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa sarili, makakakuha ka pa rin ng zero, ito ay malinaw. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero degree, dapat itong pantay. Kaya ano ang katotohanan nito? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero na kapangyarihan. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.

Tayo ay pumunta sa karagdagang. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, kasama sa mga integer ang mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang isang negatibong antas, gawin natin ang katulad ng huling pagkakataon: minu-multiply natin ang ilang normal na numero sa pareho sa isang negatibong antas:

Mula dito madali nang ipahayag ang ninanais:

Ngayon pinalawak namin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, buuin natin ang panuntunan:

Ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras hindi maaaring null ang base:(dahil imposibleng hatiin).

Ibuod natin:

I. Ang pagpapahayag ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, ang mga numero ay nakakatakot, ngunit sa pagsusulit kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang solusyon kung hindi mo ito malutas at matututunan mo kung paano madaling harapin ang mga ito sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang hanay ng mga numerong "angkop" bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng iyon ay maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, bukod dito.

Upang maunawaan kung ano ang "fractional degree" Isaalang-alang natin ang isang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:

Ngayon tandaan ang panuntunan "degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas.

Iyon ay, ang ugat ng ika-degree ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation: .

Lumalabas na. Malinaw, ang espesyal na kaso na ito ay maaaring palawigin: .

Ngayon idagdag ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan ang panuntunan: anumang numero na itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang mga ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero!

At nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay hindi makatwiran.

Paano naman ang expression?

Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.

Ang numero ay maaaring kinakatawan bilang iba, pinababang mga fraction, halimbawa, o.

At ito ay lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, at ang mga ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit sa sandaling isulat namin ang tagapagpahiwatig sa ibang paraan, muli kaming nagkakaproblema: (iyon ay, nakakuha kami ng ganap na kakaibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang tanging positibong base exponent na may fractional exponent.

Kaya kung:

• - natural na numero;
• ay isang integer;

Mga halimbawa:

Ang mga kapangyarihan na may rational exponent ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:

5 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

Well, ngayon - ang pinakamahirap. Ngayon ay susuriin natin degree na may hindi makatwirang exponent.

Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa mga degree na may isang rational exponent, maliban sa

Sa katunayan, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga irrational na numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.

Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...walang kapangyarihan- ito ay, tulad ng, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nagsisimulang dumami, na nangangahulugang ang bilang mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero”, ibig sabihin ay isang numero;

...negatibong integer exponent- para bang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Sa pamamagitan ng paraan, ang agham ay madalas na gumagamit ng isang degree na may isang kumplikadong exponent, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matutunan mo kung paano lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa dati nang panuntunan para sa pagpapataas ng degree sa isang degree:

Ngayon tingnan ang iskor. May naaalala ba siya sa iyo? Naaalala namin ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga parisukat:

Sa kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Dinadala namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong decimal o parehong ordinaryo. Nakukuha namin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Kahulugan ng degree

Ang antas ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

• — base ng degree;
• - exponent.

Degree na may natural na exponent (n = 1, 2, 3,...)

Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:

Power na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)

Kung ang exponent ay positibong integer numero:

paninigas sa zero na kapangyarihan:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.

Kung ang exponent ay integer negatibo numero:

(dahil imposibleng hatiin).

Isa pang beses tungkol sa nulls: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Degree na may rational exponent

• - natural na numero;
• ay isang integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng degree

Para mas madaling malutas ang mga problema, subukan nating unawain: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

Sa pamamagitan ng kahulugan:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito, ang sumusunod na produkto ay nakuha:

Ngunit ayon sa kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat magkaroon ng parehong batayan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon ay hindi ko dapat isulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ayusin natin ito tulad nito:

Lumalabas na ang expression ay pinarami ng isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang -th na kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:!

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat? Pero hindi totoo yun.

Power na may negatibong base.

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lang natin kung ano ang dapat index degree. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa mga degree mula sa natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung anong mga palatandaan (" " o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, natatandaan namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Ngunit kung i-multiply natin sa (), makakakuha tayo ng -.

At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami, magbabago ang tanda. Maaari mong balangkasin ang mga simpleng panuntunang ito:

1. kahit degree, - numero positibo.
2. Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
3. Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
4. Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung natatandaan mo iyon, ito ay nagiging malinaw na, na nangangahulugan na ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa bawat isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago pag-aralan ang huling tuntunin, lutasin natin ang ilang halimbawa.

Kalkulahin ang mga halaga ng mga expression:

Mga solusyon :

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat!

Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano ito gagawin? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ay ganito ang hitsura:

Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket. Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras! Hindi ito mapapalitan ng pagbabago lamang ng isang hindi kanais-nais na minus sa amin!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling tuntunin:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin:

Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Gaano karaming mga titik ang magkakaroon? beses sa pamamagitan ng multiplier - ano ang hitsura nito? Ito ay walang iba kundi ang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: total nagkaroon pala ng multipliers. Iyon ay, ito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent:

Halimbawa:

Degree na may hindi makatwirang exponent

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwiran na tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero degree ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang i-multiply, na nangangahulugan na ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero", katulad ng isang numero; isang degree na may negatibong integer - parang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang numero ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwiran na exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Sa halip, ito ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng isang antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, ang agham ay madalas na gumagamit ng isang degree na may isang kumplikadong exponent, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

1)

2)

3)

Mga sagot:

1. Tandaan ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .
2. Dinadala namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal, o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .
3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang mga katangian ng mga degree:

BUOD NG SEKSYON AT BATAYANG FORMULA

Degree ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

Degree na may integer exponent

degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (i.e. integer at positive).

Degree na may rational exponent

degree, ang indicator kung saan ay negatibo at fractional na mga numero.

Degree na may hindi makatwirang exponent

exponent na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.

Mga katangian ng degree

Mga tampok ng degree.

• Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
• Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
• Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
• Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
• Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.

NGAYON MAY SALITA KA NA...

Paano mo gusto ang artikulo? Ipaalam sa akin sa mga komento sa ibaba kung nagustuhan mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa mga katangian ng kapangyarihan.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!

Malinaw, ang mga numero na may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang mga dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kanila ng isa-isa kasama ng kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2 .
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4 .

Odds ang parehong mga kapangyarihan ng parehong mga variable maaaring idagdag o ibawas.

Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay 5a 2 .

Malinaw din na kung kukuha tayo ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.

Ngunit degree iba't ibang variable at iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat idagdag sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito sa kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3 .

Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi dalawang beses ang parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.

Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng subtrahend ay dapat baguhin nang naaayon.

O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Pagpaparami ng kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring i-multiply tulad ng iba pang mga dami sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o wala ang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.

Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng isang 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.

O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga variable.
Ang expression ay magkakaroon ng anyong: a 5 b 5 y 3 .

Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng sum antas ng mga termino.

Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.

Kaya, a n .a m = a m+n .

Para sa a n , ang a ay kinukuha bilang salik na kasing dami ng kapangyarihan ng n;

At ang a m , ay kinukuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;

kaya lang, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring i-multiply sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponent.

Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay - negatibo.

1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin

Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.

Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay nakataas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degree.

Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Dibisyon ng mga kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng ibang mga numero sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa divisor, o sa pamamagitan ng paglalagay sa kanila sa anyo ng isang fraction.

Kaya ang a 3 b 2 na hinati sa b 2 ay isang 3 .

O kaya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Ang pagsulat ng 5 na hinati sa 3 ay mukhang $\frac(a^5)(a^3)$. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.

Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..

Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ibig sabihin, $\frac(yyy)(yy) = y$.

At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

O kaya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Ang panuntunan ay may bisa din para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2 .
Gayundin, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ito ay kinakailangan upang makabisado ang multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan

1. Bawasan ang mga exponents sa $\frac(5a^4)(3a^2)$ Sagot: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Bawasan ang mga exponent sa $\frac(6x^6)(3x^5)$. Sagot: $\frac(2x)(1)$ o 2x.

3. Bawasan ang mga exponent na a 2 / a 3 at a -3 / a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay isang -2 unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .

4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 / 5a 7 at 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 at 5/5a 2.

5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .

8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.

9. Hatiin ang (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.