Sa pagpapatunay ng mga katangian ng limitasyon ng isang function, tiniyak namin na wala talagang kailangan mula sa mga butas na kapitbahayan kung saan tinukoy ang aming mga function at lumitaw sa kurso ng mga patunay, maliban sa mga katangiang ipinahiwatig sa panimula sa nakaraang talata 2. Ang pangyayaring ito ay nagsisilbing katwiran para sa pag-iisa sa sumusunod na bagay sa matematika.

a. Base; kahulugan at mga pangunahing halimbawa

Depinisyon 11. Ang isang set B ng mga subset ng isang set X ay tatawaging base sa isang set X kung ang dalawang kundisyon ay natutugunan:

Sa madaling salita, ang mga elemento ng koleksyon B ay mga non-empty set, at ang intersection ng alinman sa dalawa ay naglalaman ng ilang elemento mula sa parehong koleksyon.

Ipahiwatig natin ang ilan sa mga pinakakaraniwang ginagamit na base sa pagsusuri.

Kung pagkatapos ay sumulat sila at sasabihin na ang x ay may posibilidad na a mula sa kanan o mula sa gilid ng malalaking halaga (ayon sa pagkakabanggit, mula sa kaliwa o mula sa gilid ng mas maliliit na halaga). Kapag ang isang maikling tala ay tinanggap sa halip na

Ang tala ay gagamitin sa halip na Nangangahulugan ito na a; tends over the set E to a, nananatiling mas malaki (mas mababa) kaysa sa a.

pagkatapos ay sa halip ay sumulat sila at sinasabi na ang x ay may posibilidad na plus infinity (ayon sa pagkakabanggit, sa minus infinity).

Ang notasyon ang gagamitin sa halip

Kapag sa halip na tayo (kung hindi ito hahantong sa hindi pagkakaunawaan) tayo ay magsusulat, gaya ng nakaugalian sa teorya ng limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod,

Tandaan na ang lahat ng nakalistang base ay may tampok na ang intersection ng alinmang dalawang elemento ng base ay mismong elemento ng base na ito, at hindi lamang naglalaman ng ilang elemento ng base. Makikipagkita kami sa iba pang mga base kapag nag-aaral ng mga function na hindi ibinigay sa totoong axis.

Napansin din namin na ang terminong "base" na ginamit dito ay isang maikling pagtatalaga ng tinatawag na "filter basis" sa matematika, at ang batayang limitasyon na ipinakilala sa ibaba ay ang pinakamahalagang bahagi para sa pagsusuri ng konsepto ng filter na limitasyon na nilikha ng modernong Pranses. matematiko A. Cartan

b. Batayang limitasyon ng pag-andar

Depinisyon 12. Hayaan ay isang function sa set X; Ang B ay isang base sa X. Ang isang numero ay tinatawag na limitasyon ng isang function na may kinalaman sa base B kung para sa alinmang kapitbahayan ng punto A ay mayroong elemento ng base na ang imahe ay nakapaloob sa kapitbahayan

Kung ang A ay ang limitasyon ng function na may paggalang sa base B, pagkatapos ay isusulat namin

Ulitin natin ang kahulugan ng limitasyon sa pamamagitan ng base sa lohikal na simbolismo:

Dahil isinasaalang-alang natin ngayon ang mga function na may mga numerong halaga, kapaki-pakinabang na tandaan ang sumusunod na anyo ng pangunahing kahulugang ito:

Sa pormulasyon na ito, sa halip na isang di-makatwirang kapitbahayan V(A), kumuha kami ng isang kapitbahayan na simetriko (na may paggalang sa punto A) (e-kapitbahayan). Ang pagkakapantay-pantay ng mga kahulugang ito para sa mga function na talagang pinahahalagahan ay sumusunod sa katotohanan na, gaya ng nabanggit na, ang anumang kapitbahayan ng isang punto ay naglalaman ng ilang simetriko na kapitbahayan ng parehong punto (isagawa ang patunay nang buo!).

Nagbigay kami ng pangkalahatang kahulugan ng limitasyon ng isang function na may paggalang sa base. Sa itaas ay itinuturing na mga halimbawa ng mga pinakakaraniwang batayan sa pagsusuri. Sa isang partikular na problema kung saan lumilitaw ang isa o isa pa sa mga baseng ito, kinakailangan na ma-decipher ang pangkalahatang kahulugan at isulat ito para sa isang partikular na base.

Isinasaalang-alang ang mga halimbawa ng mga base, kami, sa partikular, ay nagpasimula ng konsepto ng isang kapitbahayan ng infinity. Kung gagamitin natin ang konseptong ito, alinsunod sa pangkalahatang kahulugan ng limitasyon, makatwirang gamitin ang mga sumusunod na kombensiyon:

o, na pareho,

Karaniwan, sa pamamagitan ng isang maliit na halaga. Sa mga kahulugan sa itaas, siyempre, hindi ito ang kaso. Alinsunod sa mga tinatanggap na kombensiyon, halimbawa, maaari tayong sumulat

Upang maituring na napatunayan sa pangkalahatang kaso ng isang limitasyon sa isang arbitrary na base, lahat ng mga theorems sa mga limitasyon na pinatunayan namin sa Seksyon 2 para sa isang espesyal na batayan , ito ay kinakailangan upang magbigay ng naaangkop na mga kahulugan: sa wakas ay pare-pareho, sa wakas ay may hangganan, at walang hanggan maliit para sa isang naibigay na base ng mga function.

Depinisyon 13. Ang isang function ay tinatawag na sa wakas ay pare-pareho sa base B kung mayroong isang numero at tulad ng isang elemento ng base, sa anumang punto kung saan

Sa ngayon, ang pangunahing pakinabang ng obserbasyon na ginawa at ang konsepto ng isang base na ipinakilala kaugnay nito ay ang pagliligtas sa amin mula sa mga pagsusuri at pormal na patunay ng limitasyon ng mga theorems para sa bawat tiyak na uri ng pagpasa sa limitasyon o, sa aming kasalukuyang terminolohiya. , para sa bawat partikular na base ng uri

Upang sa wakas ay masanay sa konsepto ng isang limitasyon sa isang arbitrary na base, patunayan namin ang karagdagang mga katangian ng limitasyon ng isang function sa isang pangkalahatang anyo.

pare-parehong numero a tinawag limitasyon mga pagkakasunod-sunod(x n ) kung para sa anumang arbitraryong maliit na positibong numeroε > 0 mayroong isang numero N tulad na ang lahat ng mga halaga x n, kung saan ang n>N, ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay

|x n - a|< ε. (6.1)

Isulat ito bilang sumusunod: o x n → a.

Ang hindi pagkakapantay-pantay (6.1) ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

na nangangahulugan na ang mga puntos x n, simula sa ilang numero n>N, nasa loob ng pagitan (a-ε, a + ε ), ibig sabihin. mahulog sa anumang maliitε -kapitbahayan ng punto a.

Ang pagkakasunod-sunod na may limitasyon ay tinatawag nagtatagpo, kung hindi - divergent.

Ang konsepto ng limitasyon ng isang function ay isang generalization ng konsepto ng limitasyon ng isang sequence, dahil ang limitasyon ng isang sequence ay maaaring ituring bilang limitasyon ng function x n = f(n) ng isang integer argument n.

Hayaang maibigay ang isang function na f(x) at hayaan a - limitasyon ng punto ang domain ng kahulugan ng function na ito D(f), i.e. tulad ng isang punto, anumang kapitbahayan kung saan naglalaman ng mga punto ng set D(f) naiiba mula sa a. Dot a maaari o hindi kabilang sa set D(f).

Kahulugan 1.Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon mga function f(x) sa x→a, kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (x n ) ng mga halaga ng argumento a, ang mga kaukulang sequence (f(x n)) ay may parehong limitasyon A.

Ang kahulugang ito ay tinatawag pagtukoy sa limitasyon ng isang function ayon kay Heine, o" sa wika ng mga pagkakasunod-sunod”.

Kahulugan 2. Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon mga function f(x) sa x→a kung, bibigyan ng isang arbitrary na arbitraryong maliit na positibong numero ε, mahahanap ng isa ang gayong δ>0 (depende sa ε), na para sa lahat x nakahiga saε-mga kapitbahayan ng isang numero a, ibig sabihin. para sa x nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay
0 < x-a< ε , ang mga halaga ng function na f(x) ay makikitaε-kapitbahayan ng bilang A, i.e.|f(x)-A|< ε.

Ang kahulugang ito ay tinatawag pagtukoy sa limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy, o “sa wikang ε - δ “.

Ang mga kahulugan 1 at 2 ay katumbas. Kung ang function na f(x) bilang x →a ay may limitasyon katumbas ng A, ito ay nakasulat bilang

. (6.3)

Kung sakaling ang sequence (f(x n)) ay tumaas (o bumaba) nang walang katiyakan para sa anumang paraan ng approximation x sa iyong limitasyon a, pagkatapos ay sasabihin natin na mayroon ang function na f(x). walang katapusang limitasyon, at isulat ito bilang:

Ang isang variable (i.e. isang sequence o function) na ang limitasyon ay zero ay tinatawag walang katapusang maliit.

Ang isang variable na ang limitasyon ay katumbas ng infinity ay tinatawag walang hanggan malaki.

Upang mahanap ang limitasyon sa pagsasanay, gamitin ang mga sumusunod na theorems.

Teorama 1 . Kung ang bawat limitasyon ay umiiral

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Magkomento. Mga expression tulad ng 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - ay hindi tiyak, halimbawa, ang ratio ng dalawang infinitesimal o infinitely large quantities, at ang paghahanap ng limitasyon ng ganitong uri ay tinatawag na "uncertainty disclosure".

Teorama 2. (6.7)

mga. posibleng pumasa sa limitasyon sa base ng degree sa isang pare-parehong exponent, sa partikular, ;

(6.8)

(6.9)

Teorama 3.

(6.10)

(6.11)

saan e » Ang 2.7 ay ang batayan ng natural na logarithm. Ang mga formula (6.10) at (6.11) ay tinatawag na una kahanga-hangang limitasyon at ang pangalawang kapansin-pansing limitasyon.

Ang mga corollaries ng formula (6.11) ay ginagamit din sa pagsasanay:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

sa partikular ang limitasyon

Kung x → a at sa parehong oras x > a, pagkatapos ay isulat ang x→a + 0. Kung, sa partikular, a = 0, sa halip na ang simbolo na 0+0 ay nagsusulat ng +0. Katulad nito, kung x→a at sa parehong oras x a-0. Numero at pinangalanan nang naaayon. tamang limitasyon at kaliwang limitasyon mga function f(x) sa punto a. Para umiral ang limitasyon ng function na f(x) bilang x→a ay kailangan at sapat para sa . Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa punto x 0 kung limitasyon

. (6.15)

Ang kundisyon (6.15) ay maaaring muling isulat bilang:

,

iyon ay, ang pagpasa sa limitasyon sa ilalim ng tanda ng isang function ay posible kung ito ay tuloy-tuloy sa isang naibigay na punto.

Kung ang pagkakapantay-pantay (6.15) ay nilabag, kung gayon sasabihin namin iyon sa x = xo function f(x) Mayroon itong gap. Isaalang-alang ang function na y = 1/x. Ang domain ng function na ito ay ang set R, maliban sa x = 0. Ang point x = 0 ay isang limit point ng set D(f), dahil sa alinman sa mga kapitbahayan nito, i.e., anumang bukas na pagitan na naglalaman ng punto 0 ay naglalaman ng mga puntos mula sa D(f), ngunit hindi ito kabilang sa set na ito. Ang value na f(x o)= f(0) ay hindi tinukoy, kaya ang function ay may discontinuity sa puntong x o = 0.

Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa kanan sa isang punto x o kung limitasyon

,

at tuloy-tuloy sa kaliwa sa isang punto x o kung limitasyon

.

Pagpapatuloy ng isang function sa isang punto x o ay katumbas ng pagpapatuloy nito sa puntong ito sa kanan at kaliwa.

Para sa isang function na maging tuluy-tuloy sa isang punto x o, halimbawa, sa kanan, kinakailangan, una, na may hangganang limitasyon , at pangalawa, na ang limitasyong ito ay katumbas ng f(x o). Samakatuwid, kung hindi bababa sa isa sa dalawang kundisyong ito ang hindi matugunan, magkakaroon ng gap ang function.

1. Kung ang limitasyon ay umiiral at hindi katumbas ng f(x o), pagkatapos ay sinasabi nila iyon function f(x) sa punto mayroon si xo break ng unang uri, o tumalon.

2. Kung ang limitasyon ay+∞ o -∞ o wala, pagkatapos ay sasabihin namin iyon sa punto x o may pahinga ang function pangalawang uri.

Halimbawa, ang function na y = ctg x sa x→ Ang +0 ay may limitasyon na katumbas ng +∞, samakatuwid, sa puntong x=0 ito ay may discontinuity ng pangalawang uri. Function y = E(x) (integer na bahagi ng x) sa mga puntong may integer abscissas ay may mga discontinuities ng unang uri, o mga jump.

Ang isang function na tuluy-tuloy sa bawat punto ng pagitan ay tinatawag tuloy-tuloy sa . Ang isang tuluy-tuloy na function ay kinakatawan ng isang solid curve.

Maraming mga problema na nauugnay sa patuloy na paglaki ng ilang dami ang humahantong sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Ang mga naturang gawain, halimbawa, ay kinabibilangan ng: ang paglaki ng kontribusyon ayon sa batas ng tambalang interes, ang paglaki ng populasyon ng bansa, ang pagkabulok ng isang radioactive substance, ang pagdami ng bacteria, atbp.

Isipin mo halimbawa ng Ya. I. Perelman, na nagbibigay ng interpretasyon ng numero e sa problema ng tambalang interes. Numero e may hangganan . Sa mga savings bank, ang pera ng interes ay idinaragdag sa nakapirming kapital taun-taon. Kung ang koneksyon ay ginawa nang mas madalas, kung gayon ang kapital ay lumalaki nang mas mabilis, dahil ang isang malaking halaga ay kasangkot sa pagbuo ng interes. Kumuha tayo ng isang purong teoretikal, lubos na pinasimpleng halimbawa. Hayaang maglagay ang bangko ng 100 den. mga yunit sa rate na 100% kada taon. Kung ang pera na may interes ay idinagdag sa nakapirming kapital pagkatapos lamang ng isang taon, pagkatapos ay sa oras na ito ay 100 den. mga yunit magiging 200 den. Ngayon tingnan natin kung ano ang magiging 100 den. mga yunit, kung ang pera ng interes ay idaragdag sa nakapirming kapital kada anim na buwan. Pagkatapos ng kalahating taon 100 den. mga yunit lumaki hanggang 100× 1.5 \u003d 150, at pagkatapos ng isa pang anim na buwan - sa 150× 1.5 \u003d 225 (den. unit). Kung ang pag-akyat ay ginagawa tuwing 1/3 ng taon, pagkatapos ng isang taon 100 den. mga yunit maging 100× (1 +1/3) 3 » 237 (den. units). Dadagdagan namin ang timeframe para sa pagdaragdag ng pera ng interes sa 0.1 taon, 0.01 taon, 0.001 taon, at iba pa. Tapos sa 100 den. mga yunit makalipas ang isang taon:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. units),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. units),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. units).

Sa isang walang limitasyong pagbawas sa mga tuntunin ng pagsali sa interes, ang naipon na kapital ay hindi lumalaki nang walang katiyakan, ngunit lumalapit sa isang tiyak na limitasyon na katumbas ng humigit-kumulang 271. Ang kapital na inilagay sa 100% bawat taon ay hindi maaaring tumaas ng higit sa 2.71 beses, kahit na ang naipon na interes ay idinagdag sa kapital bawat segundo dahil ang limitasyon

Halimbawa 3.1.Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod ng numero, patunayan na ang pagkakasunod-sunod na x n =(n-1)/n ay may limitasyon na katumbas ng 1.

Solusyon.Kailangan nating patunayan na anumanε > 0 ang kinukuha namin, para dito mayroong natural na bilang N na para sa lahat n N ang hindi pagkakapantay-pantay|xn-1|< ε.

Kumuha ng anumang e > 0. Since ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, pagkatapos ay upang mahanap ang N sapat na upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay 1/n< e. Kaya n>1/ e at, samakatuwid, ang N ay maaaring kunin bilang integer na bahagi ng 1/ e , N = E(1/e ). Kaya namin pinatunayan na ang limitasyon.

Halimbawa 3.2 . Hanapin ang limitasyon ng isang sequence na ibinigay ng isang karaniwang termino .

Solusyon.Ilapat ang limit sum theorem at hanapin ang limitasyon ng bawat termino. Para sa n→ ∞ ang numerator at denominator ng bawat termino ay may posibilidad na infinity, at hindi natin direktang mailalapat ang quotient limit theorem. Kaya naman, nag-transform muna kami x n, hinahati ang numerator at denominator ng unang termino sa pamamagitan ng n 2, at ang pangalawa n. Pagkatapos, ang paglalapat ng quotient limit theorem at ang sum limit theorem, makikita natin:

.

Halimbawa 3.3. . Hanapin ang .

Solusyon. .

Dito ginamit namin ang degree limit theorem: ang limitasyon ng isang degree ay katumbas ng antas ng limitasyon ng base.

Halimbawa 3.4 . Hanapin ( ).

Solusyon.Imposibleng ilapat ang difference limit theorem, dahil mayroon tayong kawalan ng katiyakan sa form ∞-∞ . Ibahin natin ang formula ng pangkalahatang termino:

.

Halimbawa 3.5 . Given a function f(x)=2 1/x . Patunayan na ang limitasyon ay hindi umiiral.

Solusyon.Ginagamit namin ang kahulugan 1 ng limitasyon ng isang function sa mga tuntunin ng isang sequence. Kumuha ng sequence ( x n ) na nagko-convert sa 0, i.e. Ipakita natin na ang value na f(x n)= ay kumikilos nang iba para sa iba't ibang sequence. Hayaan ang x n = 1/n. Malinaw, pagkatapos ay ang limitasyon Pumili tayo ngayon bilang x n isang sequence na may karaniwang termino x n = -1/n, na may posibilidad din sa zero. Samakatuwid, walang limitasyon.

Halimbawa 3.6 . Patunayan na ang limitasyon ay hindi umiiral.

Solusyon.Hayaang ang x 1 , x 2 ,..., x n ,... ay isang pagkakasunud-sunod kung saan
. Paano gumagana ang sequence (f(x n)) = (sin x n ) para sa iba't ibang x n → ∞

Kung x n \u003d p n, pagkatapos ay kasalanan x n \u003d kasalanan p n = 0 para sa lahat n at limitahan Kung
xn=2 p n+ p /2, pagkatapos sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 para sa lahat n at samakatuwid ang limitasyon. Kaya hindi umiiral.

Widget para sa pagkalkula ng mga limitasyon on-line

Sa itaas na kahon, sa halip na sin(x)/x, ilagay ang function na ang limitasyon ay gusto mong hanapin. Sa ibabang kahon, ipasok ang numerong x at i-click ang Calcular button, makuha ang gustong limitasyon. At kung mag-click ka sa Ipakita ang mga hakbang sa kanang sulok sa itaas sa window ng resulta, makakakuha ka ng isang detalyadong solusyon.

Mga panuntunan sa pag-input ng function: sqrt(x) - square root, cbrt(x) - cube root, exp(x) - exponent, ln(x) - natural logarithm, sin(x) - sine, cos(x) - cosine, tan (x) - tangent, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Mga Palatandaan: * multiplikasyon, / dibisyon, ^ exponentiation, sa halip na kawalang-hanggan Infinity. Halimbawa: ang function ay ipinasok bilang sqrt(tan(x/2)).

Hayaang tukuyin ang function na y=ƒ(x) sa ilang kapitbahayan ng puntong x o, maliban, marahil, para sa mismong puntong x o.

Bumuo tayo ng dalawang katumbas na kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto.

Depinisyon 1 (sa "wika ng mga pagkakasunud-sunod", o ayon kay Heine).

Ang numero A ay tinatawag na limitasyon ng function na y \u003d ƒ (x) sa furnace x 0 (o sa x® x o), kung para sa anumang pagkakasunud-sunod ng mga tinatanggap na halaga ng argumento x n, n є N (x n ¹ x 0) nagtatagpo sa x o ang pagkakasunud-sunod ng mga katumbas na halaga ng function na ƒ(х n), n є N, ay nagtatagpo sa numerong A

Sa kasong ito, sumulat
o ƒ(x)->A sa x→x o. Ang geometric na kahulugan ng limitasyon ng isang function: ay nangangahulugan na para sa lahat ng mga puntos x na sapat na malapit sa puntong x o, ang mga katumbas na halaga ng function ay naiiba nang kaunti mula sa numerong A.

Depinisyon 2 (sa "wika ng ε", o pagkatapos ng Cauchy).

Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function sa puntong x o (o sa x→x o) kung para sa anumang positibong ε mayroong positibong numero δ na para sa lahat ng x¹ x o ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Ang geometric na kahulugan ng limitasyon ng pag-andar:

kung para sa alinmang ε-kapitbahayan ng point A ay mayroong δ-kapitbahayan ng punto x o na para sa lahat ng x¹ ho mula sa δ-kapitbahayan na ito ang mga katumbas na halaga ng function na ƒ(x) ay nasa ε-kapitbahayan ng puntong A. Sa madaling salita, ang mga punto ng graph ng function na y = ƒ(x) ay nasa loob ng isang strip na may lapad na 2ε na may hangganan ng mga tuwid na linya y=A+ ε , y=A-ε (tingnan ang Fig. 110) . Malinaw, ang halaga ng δ ay nakasalalay sa pagpili ng ε, kaya isinusulat namin ang δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Patunayan mo yan

Solusyon: Kumuha ng di-makatwirang ε>0, hanapin ang δ=δ(ε)>0 na para sa lahat ng x ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Kung kunin ang δ=ε/2, makikita natin na para sa lahat ng x ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Isang panig na mga limitasyon

Sa kahulugan ng limitasyon ng function, itinuturing na ang x ay may posibilidad na x 0 sa anumang paraan: nananatiling mas mababa sa x 0 (sa kaliwa ng x 0), mas malaki kaysa sa x o (sa kanan ng x o), o nagbabago-bago. sa paligid ng punto x 0 .

May mga kaso kapag ang paraan ng paglapit sa argumentong x sa xo ay makabuluhang nakakaapekto sa halaga ng limitasyon ng function. Samakatuwid, ang konsepto ng isang panig na mga limitasyon ay ipinakilala.

Ang numero A 1 ay tinatawag na limitasyon ng function na y \u003d ƒ (x) sa kaliwa sa punto x o, kung para sa anumang numero ε> 0 mayroong isang numero δ \u003d δ (ε)> 0 na para sa x є (x 0 -δ; x o), ang hindi pagkakapantay-pantay |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 o sa madaling sabi: ƒ (x o- 0) \u003d A 1 (Notation ng Dirichlet) (tingnan ang Fig. 111).

Ang limitasyon ng function sa kanan ay tinukoy nang katulad, isinusulat namin ito gamit ang mga simbolo:

Sa madaling sabi, ang limitasyon sa kanan ay tinutukoy ng ƒ(x o +0)=A.

Ang mga limitasyon ng isang function sa kaliwa at kanan ay tinatawag na one-sided na mga limitasyon. Malinaw, kung mayroon, kung gayon ang parehong isang panig na limitasyon ay umiiral, at A=A 1 =A 2 .

Ang kabaligtaran na pahayag ay totoo rin: kung ang parehong mga limitasyon ƒ(x 0 -0) at ƒ(x 0 +0) ay umiiral at sila ay pantay, kung gayon mayroong isang limitasyon at A \u003d ƒ(x 0 -0).

Kung A 1 ¹ A 2, kung gayon ang pasilyo na ito ay hindi umiiral.

16.3. Limitasyon ng function sa x ® ∞

Hayaang tukuyin ang function na y=ƒ(x) sa pagitan (-∞;∞). Ang numero A ay tinatawag limitasyon ng pag-andarƒ(x) sa x→ ∞ , kung para sa anumang positibong numero ε mayroong isang bilang na М=М()>0 na para sa lahat х ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |х|>М ang hindi pagkakapantay-pantay |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Ang geometriko na kahulugan ng kahulugang ito ay ang mga sumusunod: para sa "ε>0 $ M>0, na para sa x є(-∞; -M) o x є(M; +∞) ang mga katumbas na halaga ng function ƒ( x) ay nahuhulog sa ε-kapitbahayan ng punto A , ibig sabihin, ang mga punto ng graph ay nasa isang strip ng lapad na 2ε, na napapalibutan ng mga tuwid na linya y \u003d A + ε at y \u003d A-ε (tingnan ang Fig. 112 ).

16.4. Walang katapusang malaking function (b.b.f.)

Ang function na y=ƒ(x) ay tinatawag na walang hanggan malaki para sa x→x 0 kung para sa anumang numero M>0 mayroong isang numero δ=δ(M)>0, na para sa lahat ng x ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

Halimbawa, ang function na y=1/(x-2) ay isang b.b.f. sa x->2.

Kung ang ƒ(x) ay may posibilidad na infinity bilang x→x o at kumukuha lamang ng mga positibong halaga, pagkatapos ay isusulat namin

kung ang mga negatibong halaga lamang, kung gayon

Ang function na y \u003d ƒ (x), na ibinigay sa buong linya ng numero, tinatawag na walang katapusan para sa x→∞, kung para sa alinmang numero M>0 mayroong isang numerong N=N(M)>0 na para sa lahat ng x na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |x|>N, ang hindi pagkakapantay-pantay |ƒ(x)|>M ay nasiyahan . maikli:

Halimbawa, ang y=2x ay may b.b.f. sa x→∞.

Tandaan na kung ang argument na х, na may posibilidad na infinity, ay tumatagal lamang ng mga natural na halaga, ibig sabihin, хєN, kung gayon ang katumbas na b.b.f. nagiging isang walang katapusang malaking sequence. Halimbawa, ang sequence v n =n 2 +1, n є N, ay isang walang katapusang malaking sequence. Malinaw, bawat b.b.f. sa isang kapitbahayan ng puntong x o ay walang hangganan sa kapitbahayan na ito. Ang kabaligtaran ay hindi totoo: ang isang walang hangganang function ay maaaring hindi isang b.b.f. (Halimbawa, y=xsinx.)

Gayunpaman, kung ang limƒ(x)=A para sa x→x 0 , kung saan ang A ay isang may hangganang numero, kung gayon ang function na ƒ(x) ay nakatali sa paligid ng puntong x o.

Sa katunayan, mula sa kahulugan ng limitasyon ng function ay sumusunod na para sa x → x 0 ang kondisyon |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Ngayon sa aralin ay susuriin natin mahigpit na pagkakasunud-sunod at mahigpit na kahulugan ng limitasyon ng isang function, pati na rin matutunan kung paano lutasin ang kaukulang mga problema ng isang teoretikal na kalikasan. Ang artikulo ay pangunahing inilaan para sa mga mag-aaral sa unang taon ng mga natural na agham at mga espesyalidad sa inhinyero na nagsimulang mag-aral ng teorya ng pagsusuri sa matematika at nakatagpo ng mga kahirapan sa pag-unawa sa seksyong ito ng mas mataas na matematika. Bilang karagdagan, ang materyal ay medyo naa-access sa mga mag-aaral sa high school.

Sa paglipas ng mga taon ng pag-iral ng site, nakatanggap ako ng hindi magandang dosenang mga liham na may humigit-kumulang sumusunod na nilalaman: "Hindi ko maintindihan nang mabuti ang pagsusuri sa matematika, ano ang dapat kong gawin?", "Hindi ko talaga maintindihan ang matan, ako' Iniisip kong huminto sa aking pag-aaral, atbp. Sa katunayan, ang matan ang madalas na nagpapanipis sa grupo ng mga mag-aaral pagkatapos ng unang sesyon. Bakit ganito ang mga bagay? Dahil ang paksa ay hindi akalain na kumplikado? Hindi talaga! Ang teorya ng mathematical analysis ay hindi napakahirap dahil kakaiba ito. At kailangan mo siyang tanggapin at mahalin kung sino siya =)

Magsimula tayo sa pinakamahirap na kaso. Una at higit sa lahat, huwag mag-drop out sa paaralan. Unawain nang tama, huminto, palaging magkakaroon ng oras ;-) Siyempre, kung sa isang taon o dalawa mula sa napiling espesyalidad ay magkakasakit ka, kung gayon oo - dapat mong isipin ito (at hindi nilalagnat!) tungkol sa pagbabago ng mga aktibidad. Ngunit sa ngayon ito ay nagkakahalaga ng pagpapatuloy. At, mangyaring, kalimutan ang pariralang "Wala akong naiintindihan" - hindi mangyayari na wala kang naiintindihan.

Ano ang gagawin kung ang teorya ay masama? Sa pamamagitan ng paraan, nalalapat ito hindi lamang sa pagsusuri sa matematika. Kung ang teorya ay masama, pagkatapos ay kailangan mo munang SERYOSO na magsanay. Kasabay nito, dalawang madiskarteng gawain ang malulutas nang sabay-sabay:

- Una, ang isang makabuluhang proporsyon ng teoretikal na kaalaman ay naganap sa pamamagitan ng pagsasanay. At napakaraming tao ang nakakaintindi ng teorya sa pamamagitan ng ... - tama! Hindi, hindi, hindi mo naisip iyon.

- At, pangalawa, ang mga praktikal na kasanayan ay malamang na "mag-uunat" sa iyo sa pagsusulit, kahit na ..., ngunit huwag tayong mag-tune sa ganyan! Ang lahat ay totoo at ang lahat ay talagang "tinaas" sa medyo maikling panahon. Ang pagsusuri sa matematika ay ang paborito kong seksyon ng mas mataas na matematika, at samakatuwid ay hindi ko maiwasang matulungan ka:

Sa simula ng 1st semester, karaniwang pumasa ang mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod at mga limitasyon sa paggana. Hindi maintindihan kung ano ito at hindi alam kung paano lutasin ang mga ito? Magsimula sa isang artikulo Mga Limitasyon sa Pag-andar, kung saan ang konsepto mismo ay itinuturing na "sa mga daliri" at ang pinakasimpleng mga halimbawa ay sinusuri. Pagkatapos ay gumawa ng iba pang mga aralin sa paksa, kabilang ang isang aralin tungkol sa sa loob ng mga pagkakasunud-sunod, kung saan nakabalangkas na talaga ako ng mahigpit na kahulugan.

Anong mga icon bukod sa mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay at modulus ang alam mo?

- isang mahabang patayong stick ay ganito ang nakasulat: "ganyan", "ganyan", "ganyan" o "ganyan", sa aming kaso, malinaw naman, pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang numero - samakatuwid ay "ganyan";

- para sa lahat ng "en" na higit sa ;

– module sign ay nangangahulugan ng distansya, ibig sabihin. Sinasabi sa amin ng notasyong ito na ang distansya sa pagitan ng mga halaga ay mas mababa sa epsilon.

Well, ito ba ay nakamamatay na mahirap? =)

Pagkatapos ng mastering ang pagsasanay, naghihintay ako para sa iyo sa sumusunod na talata:

Sa katunayan, mag-isip tayo nang kaunti - kung paano bumalangkas ng isang mahigpit na kahulugan ng isang pagkakasunud-sunod? ... Ang unang bagay na pumapasok sa isip sa liwanag praktikal na sesyon: "ang limitasyon ng isang sequence ay ang bilang kung saan ang mga miyembro ng sequence ay lumalapit nang walang katapusan na malapit."

Okay, magsulat tayo kasunod :

Madaling maunawaan iyon kasunod lapitan nang walang hanggan malapit sa -1, at even-numbered terms - sa "unit".

Siguro dalawang limitasyon? Ngunit bakit hindi maaaring magkaroon ng sampu o dalawampu ang ilang sequence? Sa ganoong paraan maaari kang pumunta sa malayo. Sa bagay na ito, makatuwirang ipagpalagay iyon kung ang pagkakasunud-sunod ay may limitasyon, kung gayon ito ay natatangi.

Tandaan : ang pagkakasunud-sunod ay walang limitasyon, ngunit ang dalawang pagkakasunod-sunod ay maaaring makilala mula dito (tingnan sa itaas), ang bawat isa ay may sariling limitasyon.

Kaya, ang kahulugan sa itaas ay lumalabas na hindi mapanghawakan. Oo, ito ay gumagana para sa mga kaso tulad ng (na hindi ko masyadong nagamit nang tama sa mga pinasimpleng paliwanag ng mga praktikal na halimbawa), ngunit ngayon kailangan nating makahanap ng isang mahigpit na kahulugan.

Ikalawang pagtatangka: “ang limitasyon ng isang sequence ay ang bilang na nilalapitan ng LAHAT ng miyembro ng sequence, maliban sa, marahil, sa kanilang pangwakas dami." Ito ay mas malapit sa katotohanan, ngunit hindi pa rin ganap na tumpak. Kaya, halimbawa, ang pagkakasunud-sunod kalahati ng mga miyembro ay hindi lumalapit sa zero - pareho lang sila dito =) Sa pamamagitan ng paraan, ang "flashing light" ay karaniwang tumatagal ng dalawang nakapirming halaga.

Ang pagbabalangkas ay hindi mahirap linawin, ngunit pagkatapos ay lumitaw ang isa pang tanong: paano isulat ang kahulugan sa mga termino sa matematika? Ang siyentipikong mundo ay nakipaglaban sa problemang ito sa loob ng mahabang panahon hanggang sa malutas ang sitwasyon. sikat na maestro, na, sa esensya, ay nagpormal ng klasikal na pagsusuri sa matematika sa lahat ng higpit nito. Inaalok ni Cauchy na mag-opera paligid na lubhang nagsulong ng teorya.

Isaalang-alang ang ilang punto at nito arbitraryo-kapitbahayan:

Ang halaga ng "epsilon" ay palaging positibo, at higit pa rito, may karapatan tayong pumili nito sa ating sarili. Ipagpalagay na ang ibinigay na kapitbahayan ay naglalaman ng isang hanay ng mga termino (hindi naman lahat) ilang pagkakasunod-sunod. Paano isulat ang katotohanan na, halimbawa, ang ikasampung termino ay nahulog sa kapitbahayan? Hayaan itong nasa kanang bahagi nito. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto at dapat ay mas mababa sa "epsilon": . Gayunpaman, kung ang "x tenth" ay matatagpuan sa kaliwa ng puntong "a", kung gayon ang pagkakaiba ay magiging negatibo, at samakatuwid ang tanda ay dapat idagdag dito modyul: .

Kahulugan: ang isang numero ay tinatawag na limitasyon ng isang sequence kung para sa anumang paligid nito (preselected) may natural na numero - GANOON LAHAT ang mga miyembro ng sequence na may mas mataas na bilang ay nasa loob ng kapitbahayan:

O mas maikli: kung

Sa madaling salita, gaano man kaliit ang halaga ng "epsilon" na ating kunin, sa malao't madali ang "walang katapusan na buntot" ng pagkakasunud-sunod ay ganap na mapupunta sa lugar na ito.

Kaya, halimbawa, ang "walang katapusang buntot" ng pagkakasunud-sunod LUBOS na napupunta sa anumang arbitraryong maliit na kapitbahayan ng punto . Kaya, ang halagang ito ay ang limitasyon ng pagkakasunud-sunod ayon sa kahulugan. Ipinaaalala ko sa iyo na ang isang sequence na ang limitasyon ay zero ay tinatawag infinitesimal.

Dapat pansinin na para sa pagkakasunud-sunod ay hindi na posibleng sabihin ang "walang katapusan na buntot darating"- ang mga miyembro na may kakaibang numero ay sa katunayan ay katumbas ng zero at "huwag pumunta kahit saan" \u003d) Iyon ang dahilan kung bakit ang pandiwa na "magtatapos" ay ginagamit sa kahulugan. At, siyempre, ang mga miyembro ng naturang sequence bilang din "huwag pumunta kahit saan." Siyanga pala, tingnan kung ang numero ang magiging limitasyon nito.

Ipakita natin ngayon na ang pagkakasunod-sunod ay walang limitasyon. Isaalang-alang, halimbawa, ang isang kapitbahayan ng punto . Malinaw na walang ganoong numero, pagkatapos nito LAHAT ng miyembro ay nasa ibinigay na kapitbahayan - ang mga kakaibang miyembro ay palaging "tumalon" sa "minus one". Para sa isang katulad na dahilan, walang limitasyon sa punto .

Ayusin ang materyal sa pagsasanay:

Halimbawa 1

Patunayan na ang limitasyon ng sequence ay zero. Tukuyin ang numero pagkatapos kung saan ang lahat ng miyembro ng sequence ay garantisadong nasa loob ng anumang arbitraryong maliit na kapitbahayan ng punto .

Tandaan : para sa maraming mga pagkakasunud-sunod, ang nais na natural na numero ay nakasalalay sa halaga - kaya ang notasyon .

Solusyon: isaalang-alang arbitraryo magkakaroon ba numero - na ang LAHAT ng miyembrong may mas mataas na bilang ay nasa loob ng kapitbahayang ito:

Upang ipakita ang pagkakaroon ng kinakailangang numero, ipinapahayag namin sa mga tuntunin ng .

Dahil para sa anumang halaga na "en", maaaring alisin ang modulus sign:

Gumagamit kami ng mga aksyong "paaralan" na may mga hindi pagkakapantay-pantay na inulit ko sa mga aralin Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay at Saklaw ng pag-andar. Sa kasong ito, isang mahalagang pangyayari ay ang "epsilon" at "en" ay positibo:

Dahil sa kaliwa ay pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga natural na numero, at ang kanang bahagi ay karaniwang fractional, kailangan itong bilugan:

Tandaan : kung minsan ang isang yunit ay idinagdag sa kanan para sa reinsurance, ngunit sa katunayan ito ay isang overkill. Sa relatibong pagsasalita, kung hihinain din natin ang resulta sa pamamagitan ng pag-round down, kung gayon ang pinakamalapit na angkop na numero (“tatlo”) ay makakatugon pa rin sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

At ngayon tinitingnan natin ang hindi pagkakapantay-pantay at tandaan na noong una ay isinasaalang-alang natin arbitraryo-kapitbahayan, i.e. Ang "epsilon" ay maaaring katumbas ng sinuman positibong numero.

Konklusyon: para sa anumang arbitraryong maliit -kapitbahayan ng punto, ang halaga . Kaya, ang isang numero ay ang limitasyon ng isang sequence ayon sa kahulugan. Q.E.D.

Sa pamamagitan ng paraan, mula sa resulta malinaw na nakikita ang isang natural na pattern: mas maliit ang -kapitbahayan, mas malaki ang bilang na pagkatapos ay LAHAT ng miyembro ng sequence ay nasa kapitbahayan na ito. Ngunit gaano man kaliit ang "epsilon", palaging may "walang katapusan na buntot" sa loob, at sa labas - kahit na ito ay malaki, gayunpaman pangwakas bilang ng mga miyembro.

Paano ang mga impression? =) Sumasang-ayon ako na ito ay kakaiba. Ngunit mahigpit! Mangyaring basahin muli at isipin muli.

Isaalang-alang ang isang katulad na halimbawa at pamilyar sa iba pang mga diskarte:

Halimbawa 2

Solusyon: sa pamamagitan ng kahulugan ng isang sequence, ito ay kinakailangan upang patunayan iyon (Magsalita ng malakas!!!).

Isipin mo arbitraryo-kapitbahayan ng punto at tseke, meron ba natural na numero - kung saan para sa lahat ng mas malalaking numero ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:

Upang ipakita ang pagkakaroon ng naturang , kailangan mong ipahayag ang "en" sa pamamagitan ng "epsilon". Pinasimple namin ang expression sa ilalim ng module sign:

Sinisira ng module ang minus sign:

Ang denominator ay positibo para sa anumang "en", samakatuwid, ang mga stick ay maaaring alisin:

Binasa:

Ngayon dapat nating kunin ang square root, ngunit ang catch ay para sa ilang "epsilons" ang kanang bahagi ay magiging negatibo. Para maiwasan ang gulo na ito palakasin natin modulus ng hindi pagkakapantay-pantay:

Bakit ito magagawa? Kung, medyo nagsasalita, ito ay lumalabas na , kung gayon ang kondisyon ay mas masisiyahan pa. Ang module ay maaari dagdagan lang wanted number , at babagay din iyon sa atin! Sa halos pagsasalita, kung ang ikadaan ay angkop, kung gayon ang ikadalawang daan ay gagawin! Ayon sa kahulugan, kailangan mong ipakita ang mismong pagkakaroon ng numero(kahit ilan lang), pagkatapos nito ang lahat ng miyembro ng sequence ay nasa -kapitbahayan. Siyanga pala, kaya hindi tayo natatakot sa final rounding ng right side up.

Pag-extract ng ugat:

At bilugan ang resulta:

Konklusyon: kasi ang halaga ng "epsilon" ay pinili nang di-makatwiran, pagkatapos ay para sa anumang arbitraryong maliit -kapitbahayan ng punto, ang halaga , tulad na ang hindi pagkakapantay-pantay . Sa ganitong paraan, sa pamamagitan ng kahulugan. Q.E.D.

Payo ko lalo na maunawaan ang pagpapalakas at pagpapahina ng mga hindi pagkakapantay-pantay - ang mga ito ay tipikal at napakakaraniwang pamamaraan ng pagsusuri sa matematika. Ang tanging bagay na kailangan mong subaybayan ang kawastuhan ng ito o ang pagkilos na iyon. Kaya, halimbawa, ang hindi pagkakapantay-pantay walang kinalaman lumuwag, pagbabawas, sabihin, isa:

Muli, may kondisyon: kung eksaktong magkasya ang numero, maaaring hindi na magkasya ang nauna.

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa isang nakapag-iisang solusyon:

Halimbawa 3

Gamit ang kahulugan ng isang sequence, patunayan iyon

Maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Kung ang pagkakasunod-sunod walang katapusang mahusay, pagkatapos ay ang kahulugan ng limitasyon ay nabuo sa katulad na paraan: ang isang punto ay tinatawag na limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod kung para sa alinman, arbitraryong malaki mayroong isang bilang na para sa lahat ng mas malalaking numero , ang hindi pagkakapantay-pantay ay masisiyahan. Tinatawag ang numero ang kapitbahayan ng puntong "plus infinity":

Sa madaling salita, gaano man kalaki ang halaga na kunin natin, ang "walang katapusan na buntot" ng sequence ay kinakailangang mapupunta sa -kapitbahayan ng punto , mag-iiwan lamang ng isang may hangganang bilang ng mga termino sa kaliwa.

Halimbawang gumagana:

At isang pinaikling notasyon: kung

Para sa kaso, isulat mo mismo ang kahulugan. Ang tamang bersyon ay nasa dulo ng aralin.

Pagkatapos mong "punan" ang iyong kamay ng mga praktikal na halimbawa at malaman ang kahulugan ng limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod, maaari mong buksan ang literatura sa pagsusuri sa matematika at / o iyong aklat sa panayam. Inirerekomenda ko ang pag-download ng 1st volume ng Bohan (mas madali - para sa mga part-time na mag-aaral) at Fikhtengoltz (mas detalyado at masusing). Sa iba pang mga may-akda, pinapayuhan ko si Piskunov, na ang kurso ay nakatuon sa mga teknikal na unibersidad.

Subukang maingat na pag-aralan ang mga theorems na may kinalaman sa limitasyon ng pagkakasunud-sunod, ang kanilang mga patunay, mga kahihinatnan. Sa una, ang teorya ay maaaring mukhang "maulap", ngunit ito ay normal - kailangan lang ng ilang oras upang masanay. At marami rin ang makakatikim!

Mahigpit na kahulugan ng limitasyon ng isang function

Magsimula tayo sa parehong bagay - kung paano bumalangkas ng konseptong ito? Ang pandiwang kahulugan ng limitasyon ng isang function ay nabuo nang mas simple: "ang isang numero ay ang limitasyon ng isang function, kung may" x "na may posibilidad na (parehong kaliwa at kanan), ang kaukulang mga halaga ng function ay may posibilidad na » (tingnan ang pagguhit). Ang lahat ay tila normal, ngunit ang mga salita ay mga salita, ang kahulugan ay kahulugan, isang icon ay isang icon, at ang mahigpit na mathematical notation ay hindi sapat. At sa ikalawang talata, makikilala natin ang dalawang diskarte sa paglutas ng isyung ito.

Hayaang tukuyin ang function sa ilang pagitan maliban, marahil, para sa punto . Sa literatura pang-edukasyon, ito ay karaniwang tinatanggap na ang function doon hindi tinukoy:

Ang pagpipiliang ito ay nagha-highlight ang kakanyahan ng limitasyon ng pag-andar: "x" malapit nang walang katapusan approaches , at ang mga kaukulang halaga ng function ay malapit nang walang katapusan sa . Sa madaling salita, ang konsepto ng isang limitasyon ay hindi nagpapahiwatig ng isang "eksaktong diskarte" sa mga puntos, ibig sabihin walang katapusang malapit na pagtatantya, hindi mahalaga kung ang function ay tinukoy sa punto o hindi.

Ang unang kahulugan ng limitasyon ng isang function, hindi nakakagulat, ay binuo gamit ang dalawang sequence. Una, ang mga konsepto ay magkakaugnay, at pangalawa, ang mga limitasyon ng mga pag-andar ay karaniwang pinag-aaralan pagkatapos ng mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod.

Isaalang-alang ang pagkakasunod-sunod puntos (wala sa drawing) nabibilang sa pagitan at maliban sa, na nagtatagpo sa . Pagkatapos ang kaukulang mga halaga ng function ay bumubuo rin ng isang numerical sequence, ang mga miyembro nito ay matatagpuan sa y-axis.

Limitasyon ng paggana ng Heine para sa anumang mga pagkakasunud-sunod ng punto (pag-aari at naiiba sa), na nagtatagpo sa punto , ang katumbas na pagkakasunud-sunod ng mga halaga ng function ay nagtatagpo sa .

Si Eduard Heine ay isang German mathematician. ... At hindi na kailangang mag-isip ng ganoon, isa lang ang bakla sa Europe - ito ay Gay-Lussac =)

Ang pangalawang kahulugan ng limitasyon ay binuo ... oo, oo, tama ka. Ngunit una, tingnan natin ang disenyo nito. Isaalang-alang ang isang arbitrary -kapitbahayan ng punto ("itim" na kapitbahayan). Batay sa nakaraang talata, ang notasyon ay nangangahulugan na ilang halaga ang function ay matatagpuan sa loob ng "epsilon"-environment.

Ngayon hanapin natin -kapitbahayan na tumutugma sa ibinigay na -kapitbahayan (gumuhit ng mga itim na tuldok na linya mula kaliwa hanggang kanan at pagkatapos ay mula sa itaas hanggang sa ibaba). Tandaan na ang halaga ay pinili kasama ang haba ng mas maliit na segment, sa kasong ito, kasama ang haba ng mas maikling kaliwang segment. Bukod dito, ang "crimson" -kapitbahayan ng isang punto ay maaari pang bawasan, dahil sa sumusunod na kahulugan ang mismong katotohanan ng pagkakaroon ay mahalaga kapitbahayan na ito. At, gayundin, ang entry ay nangangahulugan na ang ilang halaga ay nasa loob ng "delta" na kapitbahayan.

Cauchy na limitasyon ng isang function: ang numero ay tinatawag na limitasyon ng function sa punto kung para sa anumang paunang pinili kapitbahayan (arbitraryong maliit), umiiral-kapitbahayan ng punto, GANOON na: AS ONLY values (pag-aari) kasama sa lugar na ito: (mga pulang arrow)- KAYA AGAD ang mga kaukulang halaga ng function ay ginagarantiyahan na makapasok sa -kapitbahayan: (asul na mga arrow).

Dapat kong bigyan ng babala na upang maging mas maliwanag, nag-improvised ako ng kaunti, kaya huwag abusuhin ito =)

Shorthand: kung

Ano ang kakanyahan ng kahulugan? Sa matalinghagang pagsasalita, sa pamamagitan ng walang katapusang pagbawas sa -kapitbahayan, "sinasamahan" natin ang mga halaga ng function sa limitasyon nito, na walang iniiwan na alternatibo para sa kanila na lumapit sa ibang lugar. Medyo hindi karaniwan, ngunit muli mahigpit! Upang makuha ang ideya nang tama, basahin muli ang mga salita.

! Pansin: kung kailangan mo lang mag formulate kahulugan ayon kay Heine o lamang Cauchy na kahulugan mangyaring huwag kalimutan ang tungkol sa makabuluhan paunang komento: "Isaalang-alang ang isang function na tinukoy sa ilang pagitan maliban sa isang punto". Sinabi ko ito nang isang beses sa pinakadulo simula at hindi ulitin ito sa bawat pagkakataon.

Ayon sa kaukulang theorem ng mathematical analysis, ang mga kahulugan ng Heine at Cauchy ay katumbas, ngunit ang pangalawang variant ay ang pinakakilala (gagawin pa rin!), na tinatawag ding "limitasyon sa dila":

Halimbawa 4

Gamit ang kahulugan ng limitasyon, patunayan iyon

Solusyon: ang function ay tinukoy sa buong linya ng numero maliban sa punto. Gamit ang kahulugan ng , pinapatunayan namin ang pagkakaroon ng limitasyon sa isang naibigay na punto.

Tandaan : ang magnitude ng "delta" na kapitbahayan ay nakasalalay sa "epsilon", kaya ang pagtatalaga

Isipin mo arbitraryo-kapitbahayan. Ang gawain ay gamitin ang halagang ito upang suriin kung meron ba- kapitbahayan, GANOON, na mula sa hindi pagkakapantay-pantay sumusunod sa hindi pagkakapantay-pantay .

Ipagpalagay na , binabago namin ang huling hindi pagkakapantay-pantay:
(mabulok ang square trinomial)

Isaalang-alang ang isang function na %%f(x)%% na tinukoy kahit man lang sa ilang nabutas na kapitbahayan %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% ng punto %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% pinalawig na linya ng numero.

Ang konsepto ng isang limitasyon ayon kay Cauchy

Ang numerong %%A \in \mathbb(R)%% ay tinatawag limitasyon ng pag-andar%%f(x)%% sa %%a \in \mathbb(R)%% (o bilang %%x%% ay may posibilidad na %%a \in \mathbb(R)%%) kung, ano man ang positibo bilang %%\varepsilon%% ay, mayroong positibong bilang na %%\delta%% na para sa lahat ng mga punto ng nabutas na %%\delta%% kapitbahayan ng puntong %%a%% ang mga halaga ng function nabibilang sa %%\varepsilon %%-kapitbahayan ng puntong %%A%%, o

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\umiiral \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

Ang kahulugang ito ay tinatawag na kahulugan sa wika ng %%\varepsilon%% at %%\delta%%, na iminungkahi ng Pranses na matematiko na si Augustin Cauchy at ginamit mula pa noong simula ng ika-19 na siglo hanggang sa kasalukuyan, dahil mayroon itong kinakailangang mathematical rigor at accuracy.

Pinagsasama-sama ang iba't ibang kapitbahayan ng puntong %%a%% tulad ng %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \text( U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^- ( a) %% na may mga kapitbahayan %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \text( U) _\varepsilon (-\infty)%%, nakakakuha tayo ng 24 na pagtukoy sa limitasyon ng Cauchy.

geometric na kahulugan

Ang geometric na kahulugan ng limitasyon ng isang function

Alamin natin kung ano ang geometric na kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto. I-plot natin ang function na %%y = f(x)%% at markahan ang mga puntos na %%x = a%% at %%y = A%% dito.

Ang limitasyon ng function na %%y = f(x)%% sa puntong %%x \to a%% ay umiiral at katumbas ng A kung para sa alinmang %%\varepsilon%%-kapitbahayan ng puntong %%A% % maaaring tukuyin ng isa ang gayong %%\ delta%%-kapitbahayan ng puntong %%a%%, na para sa alinmang %%x%% nitong %%\delta%%-kapitbahayan, ang halagang %%f(x )%% ay nasa %%\varepsilon%%-neghborhood points %%A%%.

Tandaan na ayon sa kahulugan ng Cauchy ng limitasyon ng isang function, para sa pagkakaroon ng limitasyon sa %%x \to a%%, hindi mahalaga kung anong halaga ang kukunin ng function sa mismong puntong %%a%%. Maaari kang magbigay ng mga halimbawa kung saan ang function ay hindi tinukoy kapag %%x = a%% o kumuha ng isang halaga maliban sa %%A%%. Gayunpaman, ang limitasyon ay maaaring %%A%%.

Kahulugan ng limitasyon ng Heine

Ang elementong %%A \in \overline(\mathbb(R))%% ay tinatawag na limitasyon ng function na %%f(x)%% sa %% x \to a, a \in \overline(\mathbb(( R))%% , kung para sa anumang sequence %%\(x_n\) \to a%% mula sa domain, ang sequence ng mga katumbas na values ​​​​%%\big\(f(x_n)\big\)%% ay may posibilidad hanggang %%A%%.

Ang kahulugan ng limitasyon ayon kay Heine ay maginhawang gamitin kapag may mga pagdududa tungkol sa pagkakaroon ng limitasyon ng isang function sa isang naibigay na punto. Kung posible na bumuo ng hindi bababa sa isang sequence %%\(x_n\)%% na may limitasyon sa puntong %%a%% upang ang sequence na %%\big\(f(x_n)\big\)%% ay walang limitasyon, pagkatapos ay maaari nating tapusin na ang function na %%f(x)%% ay walang limitasyon sa puntong ito. Kung para sa dalawa iba-iba sequence %%\(x"_n\)%% at %%\(x""_n\)%% na may pareho limitahan ang %%a%%, ang mga sequence na %%\big\(f(x"_n)\big\)%% at %%\big\(f(x""_n)\big\)%% ay mayroon iba-iba mga limitasyon, kung gayon sa kasong ito ang limitasyon ng function na %%f(x)%% ay wala rin.

Halimbawa

Hayaan ang %%f(x) = \sin(1/x)%%. Suriin natin kung ang limitasyon ng function na ito ay umiiral sa puntong %%a = 0%%.

Pumili muna kami ng sequence $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) converging to this point. $$

Malinaw, %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% at %%\lim (x_n) = 0%%. Pagkatapos %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% at %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

Pagkatapos ay kunin ang pagkakasunod-sunod $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

kung saan %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% at %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. Katulad din para sa sequence $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) ) \pi) \kanan\), $$

nagtatagpo din sa puntong %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

Ang lahat ng tatlong pagkakasunud-sunod ay nagbigay ng iba't ibang mga resulta, na sumasalungat sa kondisyon ng kahulugan ng Heine, i.e. ang function na ito ay walang limitasyon sa puntong %%x = 0%%.

Teorama

Ang kahulugan ng limitasyon ayon kay Cauchy at ayon kay Heine ay katumbas.