Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga dahilan ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Mga formula ng kapangyarihan ginagamit sa proseso ng pagbabawas at pagpapasimple ng mga kumplikadong expression, sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Numero c ay n-ika-kapangyarihan ng isang numero a kailan:

Mga operasyon na may mga degree.

1. Ang pagpaparami ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay nagdaragdag:

isang ma n = a m + n .

2. Sa paghahati ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay ibinabawas:

3. Ang antas ng produkto ng 2 o higit pang mga salik ay katumbas ng produkto ng mga antas ng mga salik na ito:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Ang antas ng isang fraction ay katumbas ng ratio ng mga antas ng dibidendo at ang divisor:

(a/b) n = a n / b n .

5. Pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami:

(am) n = a m n .

Ang bawat formula sa itaas ay tama sa mga direksyon mula kaliwa hanggang kanan at vice versa.

Halimbawa. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Mga operasyon na may mga ugat.

1. Ang ugat ng produkto ng ilang salik ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng mga salik na ito:

2. Ang ugat ng ratio ay katumbas ng ratio ng dibidendo at ang divisor ng mga ugat:

3. Kapag itinaas ang isang ugat sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang numero ng ugat sa kapangyarihang ito:

4. Kung taasan natin ang antas ng ugat sa n sabay taas sa n Ang kapangyarihan ay isang numero ng ugat, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

5. Kung babawasan natin ang antas ng ugat sa n sabay na ugat n ika degree mula sa radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

Degree na may negatibong exponent. Ang antas ng isang tiyak na numero na may isang hindi positibo (integer) na exponent ay tinukoy bilang isang hinati sa antas ng parehong numero na may isang exponent na katumbas ng ganap na halaga ng hindi positibong exponent:

Formula isang m:a n = a m - n maaaring gamitin hindi lamang para sa m> n, ngunit din sa m< n.

Halimbawa. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Sa formula isang m:a n = a m - n naging patas sa m=n, kailangan mo ang pagkakaroon ng zero degree.

Degree na may zero exponent. Ang kapangyarihan ng anumang hindi-zero na numero na may zero exponent ay katumbas ng isa.

Halimbawa. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Degree na may fractional exponent. Upang itaas ang isang tunay na numero a sa isang antas m/n, kailangan mong kunin ang ugat n ika na antas ng m ika kapangyarihan ng numerong ito a.

Sa artikulong ito, mauunawaan natin kung ano ang antas ng. Dito ay magbibigay kami ng mga kahulugan ng antas ng isang numero, habang isinasaalang-alang nang detalyado ang lahat ng posibleng mga exponent ng antas, na nagsisimula sa isang natural na exponent, na nagtatapos sa isang hindi makatwiran. Sa materyal ay makakahanap ka ng maraming mga halimbawa ng mga degree na sumasaklaw sa lahat ng mga subtleties na lumabas.

Pag-navigate sa pahina.

Degree na may natural na exponent, square ng isang numero, cube ng isang numero

Magsimula tayo sa . Sa hinaharap, sabihin natin na ang kahulugan ng antas ng a na may natural na exponent n ay ibinigay para sa a , na tatawagin natin base ng degree, at n , na tatawagin natin exponent. Tandaan din namin na ang antas na may natural na tagapagpahiwatig ay tinutukoy sa pamamagitan ng produkto, kaya upang maunawaan ang materyal sa ibaba, kailangan mong magkaroon ng ideya tungkol sa pagpaparami ng mga numero.

Kahulugan.

Kapangyarihan ng numero a na may natural na exponent n ay isang pagpapahayag ng anyong a n , na ang halaga ay katumbas ng produkto ng n salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a , iyon ay, .
Sa partikular, ang antas ng isang numero a na may exponent 1 ay ang numero a mismo, iyon ay, a 1 =a.

Kaagad ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit ng mga patakaran para sa pagbabasa ng mga degree. Ang unibersal na paraan upang basahin ang entry a n ay: "a sa kapangyarihan ng n". Sa ilang mga kaso, katanggap-tanggap din ang mga ganitong opsyon: "a to the nth power" at "nth power of the number a". Halimbawa, kunin natin ang degree na 8 12, ito ay "walo sa kapangyarihan ng labindalawa", o "walo hanggang sa ikalabindalawang kapangyarihan", o "ikalabindalawang kapangyarihan ng walo".

Ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero, pati na rin ang pangatlong kapangyarihan ng isang numero, ay may sariling mga pangalan. Ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag ang parisukat ng isang numero, halimbawa, ang 7 2 ay binabasa bilang "pitong parisukat" o "parisukat ng bilang pito". Ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag numero ng kubo, halimbawa, ang 5 3 ay maaaring basahin bilang "limang kubo" o sabihing "kubo ng numero 5".

Oras na para magdala mga halimbawa ng mga degree na may mga pisikal na tagapagpahiwatig. Magsimula tayo sa kapangyarihan ng 5 7 , kung saan 5 ang base ng kapangyarihan at 7 ang exponent. Magbigay tayo ng isa pang halimbawa: 4.32 ang base, at ang natural na numero 9 ay ang exponent (4.32) 9 .

Pakitandaan na sa huling halimbawa, ang base ng degree 4.32 ay nakasulat sa mga bracket: upang maiwasan ang mga pagkakaiba, kukunin namin sa mga bracket ang lahat ng mga base ng degree na naiiba sa natural na mga numero. Bilang halimbawa, binibigyan namin ang mga sumusunod na degree na may mga natural na tagapagpahiwatig , ang kanilang mga base ay hindi natural na mga numero, kaya ang mga ito ay nakasulat sa panaklong. Buweno, para sa kumpletong kalinawan sa puntong ito, ipapakita namin ang pagkakaiba na nakapaloob sa mga talaan ng form (−2) 3 at −2 3 . Ang expression (−2) 3 ay ang kapangyarihan ng −2 na may natural na exponent 3, at ang expression na −2 3 (maaari itong isulat bilang −(2 3) ) ay tumutugma sa numero, ang halaga ng kapangyarihan 2 3 .

Tandaan na mayroong notasyon para sa antas ng a na may exponent n ng anyong a^n . Bukod dito, kung ang n ay isang multivalued na natural na numero, kung gayon ang exponent ay kinuha sa mga bracket. Halimbawa, ang 4^9 ay isa pang notasyon para sa kapangyarihan ng 4 9 . At narito ang higit pang mga halimbawa ng pagsulat ng mga degree gamit ang simbolo na “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Sa mga sumusunod, pangunahing gagamitin natin ang notasyon ng antas ng anyo a n .

Ang isa sa mga problema, ang kabaligtaran ng exponent na may natural na exponent, ay ang problema sa paghahanap ng base ng degree mula sa isang kilalang halaga ng degree at isang kilalang exponent. Ang gawaing ito ay humahantong sa .

Alam na ang hanay ng mga rational na numero ay binubuo ng mga integer at fractional na numero, at ang bawat fractional na numero ay maaaring katawanin bilang positibo o negatibong ordinaryong fraction. Tinukoy namin ang degree na may integer exponent sa nakaraang talata, samakatuwid, upang makumpleto ang kahulugan ng degree na may rational exponent, kailangan naming ibigay ang kahulugan ng degree ng numero a na may fractional exponent m / n, kung saan ang m ay isang integer at ang n ay isang natural na numero. Gawin natin.

Isaalang-alang ang isang degree na may fractional exponent ng form. Upang ang ari-arian ng degree sa isang degree ay manatiling wasto, ang pagkakapantay-pantay ay dapat hawakan . Kung isasaalang-alang natin ang nagresultang pagkakapantay-pantay at kung paano natin tinukoy ang , lohikal na tanggapin, sa kondisyon na para sa ibinigay na m, n at a, ang expression ay may katuturan.

Madaling i-verify na ang lahat ng katangian ng isang degree na may integer exponent ay wasto para sa bilang (ginagawa ito sa seksyon ng mga katangian ng isang degree na may rational exponent).

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na gawin ang mga sumusunod konklusyon: kung para sa ibinigay na m, n at a ang expression ay may katuturan, kung gayon ang kapangyarihan ng numero a na may fractional exponent m / n ay tinatawag na ugat ng ika-n degree mula sa a hanggang sa kapangyarihan m.

Ang pahayag na ito ay naglalapit sa atin sa kahulugan ng isang degree na may fractional exponent. Ito ay nananatiling lamang upang ilarawan kung saan ang m, n at a ang ekspresyon ay may katuturan. Depende sa mga paghihigpit na ipinataw sa m , n at a, mayroong dalawang pangunahing diskarte.

Ang pinakamadaling paraan upang hadlangan ang a ay ang pagpapalagay na a≥0 para sa positibong m at a>0 para sa negatibong m (dahil ang m≤0 ay walang kapangyarihan na 0 m). Pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na kahulugan ng degree na may fractional exponent.

Kahulugan.

Kapangyarihan ng isang positibong numero a na may fractional exponent m/n, kung saan ang m ay isang integer, at ang n ay isang natural na numero, ay tinatawag na ugat ng nth ng numero a sa kapangyarihan ng m, iyon ay, .

Ang fractional degree ng zero ay tinukoy din na may tanging caveat na ang exponent ay dapat na positibo.

Kahulugan.

Power ng zero na may fractional positive exponent m/n, kung saan ang m ay isang positibong integer at n ay isang natural na numero, ay tinukoy bilang .
Kapag ang degree ay hindi tinukoy, ibig sabihin, ang antas ng numerong zero na may fractional na negatibong exponent ay hindi makatwiran.

Dapat pansinin na sa gayong kahulugan ng antas na may fractional exponent, mayroong isang nuance: para sa ilang negatibong a at ilang m at n, ang expression ay may katuturan, at itinapon namin ang mga kasong ito sa pamamagitan ng pagpapakilala ng kundisyon a≥0 . Halimbawa, makatuwirang magsulat o , at pinipilit tayo ng kahulugan sa itaas na sabihin na ang mga degree na may fractional exponent ng form ay walang kabuluhan, dahil ang batayan ay hindi dapat negatibo.

Ang isa pang diskarte sa pagtukoy ng degree na may fractional exponent m / n ay ang hiwalay na isaalang-alang ang pantay at kakaibang exponent ng ugat. Nangangailangan ang diskarteng ito ng karagdagang kundisyon: ang antas ng numero a, na ang exponent ay , ay itinuturing na antas ng numero a, ang exponent nito ay ang katumbas na hindi mababawasang bahagi (ang kahalagahan ng kundisyong ito ay ipapaliwanag sa ibaba). Iyon ay, kung ang m/n ay isang irreducible fraction, kung gayon para sa anumang natural na numero k ang degree ay unang pinalitan ng .

Para sa kahit na n at positibong m, ang expression ay may katuturan para sa anumang hindi negatibong a (ang ugat ng pantay na antas mula sa negatibong numero ay walang katuturan), para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat na iba pa rin mula sa zero (kung hindi, doon ay magiging dibisyon ng zero). At para sa kakaibang n at positibong m, ang numero a ay maaaring maging anuman (ang ugat ng isang kakaibang antas ay tinukoy para sa anumang tunay na numero), at para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat na iba sa zero (upang walang paghahati sa pamamagitan ng zero).

Ang pangangatwiran sa itaas ay humahantong sa amin sa gayong kahulugan ng antas na may fractional exponent.

Kahulugan.

Hayaang ang m/n ay isang irreducible fraction, m isang integer, at n isang natural na numero. Para sa anumang mababawas na ordinaryong fraction, ang antas ay pinapalitan ng . Ang kapangyarihan ng a na may hindi mababawasan na fractional exponent m / n ay para sa



Ipaliwanag natin kung bakit ang isang degree na may reducible fractional exponent ay unang pinapalitan ng isang degree na may hindi mababawasang exponent. Kung tinukoy lang namin ang degree bilang , at hindi gumawa ng reserbasyon tungkol sa irreducibility ng fraction m / n , pagkatapos ay makakatagpo kami ng mga sitwasyong katulad ng sumusunod: dahil 6/10=3/5 , pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay , ngunit , isang .

Nalaman namin kung ano ang antas ng isang numero sa pangkalahatan. Ngayon ay kailangan nating maunawaan kung paano tama ang pagkalkula nito, i.e. itaas ang mga numero sa kapangyarihan. Sa materyal na ito, susuriin namin ang mga pangunahing panuntunan para sa pagkalkula ng antas sa kaso ng isang integer, natural, fractional, rational at irrational exponent. Ang lahat ng mga kahulugan ay ilalarawan kasama ng mga halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ang konsepto ng exponentiation

Magsimula tayo sa pagbabalangkas ng mga pangunahing kahulugan.

Kahulugan 1

Exponentiation ay ang pagkalkula ng halaga ng kapangyarihan ng ilang numero.

Iyon ay, ang mga salitang "pagkalkula ng halaga ng antas" at "pagpapalawak" ay nangangahulugan ng parehong bagay. Kaya, kung ang gawain ay "Itaas ang numero 0 , 5 sa ikalimang kapangyarihan", dapat itong maunawaan bilang "kalkulahin ang halaga ng kapangyarihan (0 , 5) 5 .

Ngayon ay binibigyan namin ang mga pangunahing alituntunin na dapat sundin sa naturang mga kalkulasyon.

Alalahanin kung ano ang kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent. Para sa isang kapangyarihan na may base a at exponent n, ito ang magiging produkto ng ika-n na bilang ng mga salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ito ay maaaring isulat tulad nito:

Upang makalkula ang halaga ng antas, kailangan mong isagawa ang pagpapatakbo ng pagpaparami, iyon ay, i-multiply ang mga base ng degree sa tinukoy na bilang ng beses. Ang mismong konsepto ng isang degree na may natural na tagapagpahiwatig ay batay sa kakayahang mabilis na dumami. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa 1

Kundisyon: Itaas ang - 2 sa kapangyarihan ng 4 .

Solusyon

Gamit ang kahulugan sa itaas, isinusulat natin ang: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Susunod, kailangan lang nating sundin ang mga hakbang na ito at makakuha ng 16 .

Kumuha tayo ng mas kumplikadong halimbawa.

Halimbawa 2

Kalkulahin ang halaga 3 2 7 2

Solusyon

Ang entry na ito ay maaaring muling isulat bilang 3 2 7 · 3 2 7 . Mas maaga ay tiningnan namin kung paano tama ang pagpaparami ng mga pinaghalong numero na binanggit sa kondisyon.

Gawin ang mga hakbang na ito at makuha ang sagot: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Kung ang gawain ay nagpapahiwatig ng pangangailangan na itaas ang hindi makatwiran na mga numero sa isang natural na kapangyarihan, kakailanganin muna nating bilugan ang kanilang mga base sa isang digit na magbibigay-daan sa amin upang makakuha ng sagot ng nais na katumpakan. Kumuha tayo ng isang halimbawa.

Halimbawa 3

Isagawa ang pag-squaring ng numerong π .

Solusyon

Bilugan muna natin ito hanggang hundredths. Pagkatapos π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Kung π ≈ 3 . 14159, pagkatapos ay makakakuha tayo ng mas tumpak na resulta: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Tandaan na ang pangangailangan na kalkulahin ang mga kapangyarihan ng hindi makatwiran na mga numero sa pagsasanay ay medyo bihira. Pagkatapos ay maaari nating isulat ang sagot bilang mismong kapangyarihan (ln 6) 3 o i-convert kung maaari: 5 7 = 125 5 .

Hiwalay, dapat itong ipahiwatig kung ano ang unang kapangyarihan ng isang numero. Dito mo lamang maaalala na ang anumang numero na itinaas sa unang kapangyarihan ay mananatili mismo:

Ito ay malinaw sa talaan. .

Hindi ito nakasalalay sa batayan ng antas.

Halimbawa 4

Kaya, (− 9) 1 = − 9 , at 7 3 na itinaas sa unang kapangyarihan ay nananatiling katumbas ng 7 3 .

Para sa kaginhawahan, susuriin namin ang tatlong mga kaso nang hiwalay: kung ang exponent ay isang positive integer, kung ito ay zero, at kung ito ay isang negatibong integer.

Sa unang kaso, ito ay kapareho ng pagtaas sa isang natural na kapangyarihan: pagkatapos ng lahat, ang mga positibong integer ay nabibilang sa hanay ng mga natural na numero. Inilarawan na namin kung paano magtrabaho kasama ang mga naturang degree sa itaas.

Ngayon tingnan natin kung paano maayos na itaas sa zero na kapangyarihan. Sa isang base na hindi zero, ang pagkalkula na ito ay palaging gumagawa ng isang output na 1 . Nauna naming ipinaliwanag na ang 0th power ng a ay maaaring tukuyin para sa anumang tunay na numero na hindi katumbas ng 0 , at isang 0 = 1 .

Halimbawa 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - hindi tinukoy.

Natitira na lang sa amin ang kaso ng isang degree na may negatibong integer exponent. Napag-usapan na natin na ang mga naturang degree ay maaaring isulat bilang isang fraction 1 a z, kung saan ang a ay anumang numero, at z ay isang negatibong integer. Nakikita namin na ang denominator ng fraction na ito ay hindi hihigit sa isang ordinaryong degree na may positibong integer, at natutunan na namin kung paano kalkulahin ito. Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga gawain.

Halimbawa 6

Itaas ang 3 sa -2 na kapangyarihan.

Solusyon

Gamit ang kahulugan sa itaas, isinusulat natin ang: 2 - 3 = 1 2 3

Kinakalkula namin ang denominator ng fraction na ito at nakakuha ng 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Kung gayon ang sagot ay: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Halimbawa 7

Itaas ang 1, 43 sa -2 na kapangyarihan.

Solusyon

Reformulate: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kinakalkula namin ang parisukat sa denominator: 1.43 1.43. Ang mga desimal ay maaaring i-multiply sa ganitong paraan:

Bilang resulta, nakuha namin ang (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 . Nananatili para sa amin na isulat ang resulta na ito sa anyo ng isang ordinaryong fraction, kung saan kinakailangan na i-multiply ito ng 10 libo (tingnan ang materyal sa conversion ng mga fraction).

Sagot: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ang isang hiwalay na kaso ay nagtataas ng isang numero sa minus first power. Ang halaga ng naturang antas ay katumbas ng bilang na kabaligtaran sa orihinal na halaga ng base: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Halimbawa 8

Halimbawa: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Paano itaas ang isang numero sa isang fractional na kapangyarihan

Upang maisagawa ang naturang operasyon, kailangan nating alalahanin ang pangunahing kahulugan ng isang degree na may fractional exponent: a m n \u003d a m n para sa anumang positibong a, integer m at natural n.

Kahulugan 2

Kaya, ang pagkalkula ng isang fractional na antas ay dapat isagawa sa dalawang hakbang: pagtaas sa isang integer na kapangyarihan at paghahanap ng ugat ng nth degree.

Mayroon tayong pagkakapantay-pantay na a m n = a m n , na, na ibinigay sa mga katangian ng mga ugat, ay karaniwang ginagamit upang malutas ang mga problema sa anyong a m n = a n m . Nangangahulugan ito na kung itataas natin ang numero a sa isang fractional power m / n, pagkatapos ay i-extract muna natin ang root ng nth degree mula sa a, pagkatapos ay itataas natin ang resulta sa isang power na may integer exponent m.

Ilarawan natin sa isang halimbawa.

Halimbawa 9

Kalkulahin ang 8 - 2 3 .

Solusyon

Paraan 1. Ayon sa pangunahing kahulugan, maaari nating katawanin ito bilang: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Ngayon kalkulahin natin ang antas sa ilalim ng ugat at kunin ang ikatlong ugat mula sa resulta: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Paraan 2. Ibahin natin ang pangunahing pagkakapantay-pantay: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Pagkatapos nito, kinukuha namin ang ugat 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 at parisukat ang resulta: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Nakikita namin na ang mga solusyon ay magkapareho. Maaari mong gamitin ang anumang paraan na gusto mo.

May mga kaso kapag ang degree ay may indicator na ipinahayag bilang isang mixed number o decimal fraction. Para sa kadalian ng pagkalkula, mas mahusay na palitan ito ng isang ordinaryong fraction at bilangin tulad ng ipinahiwatig sa itaas.

Halimbawa 10

Itaas ang 44.89 sa kapangyarihan ng 2.5.

Solusyon

I-convert natin ang halaga ng indicator sa isang ordinaryong fraction - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

At ngayon ginagawa namin ang lahat ng mga aksyon na nakasaad sa itaas sa pagkakasunud-sunod: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 67 10 5 = 67 10 5 = 67 10 5 = 10 13 501, 25107

Sagot: 13501, 25107.

Kung mayroong malalaking numero sa numerator at denominator ng isang fractional exponent, kung gayon ang pagkalkula ng mga naturang exponent na may mga rational exponent ay medyo mahirap na trabaho. Karaniwang nangangailangan ito ng teknolohiya ng computer.

Hiwalay, naninirahan tayo sa antas na may zero base at isang fractional exponent. Ang isang pagpapahayag ng anyo na 0 m n ay maaaring bigyan ng sumusunod na kahulugan: kung m n > 0, pagkatapos ay 0 m n = 0 m n = 0 ; kung m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Paano itaas ang isang numero sa isang hindi makatwirang kapangyarihan

Ang pangangailangan na kalkulahin ang halaga ng antas, sa tagapagpahiwatig kung saan mayroong isang hindi makatwiran na numero, ay hindi madalas na lumitaw. Sa pagsasagawa, ang gawain ay karaniwang limitado sa pagkalkula ng isang tinatayang halaga (hanggang sa isang tiyak na bilang ng mga decimal na lugar). Karaniwan itong kinakalkula sa isang computer dahil sa pagiging kumplikado ng naturang mga kalkulasyon, kaya hindi namin ito tatalakayin nang detalyado, ipahiwatig lamang namin ang mga pangunahing probisyon.

Kung kailangan nating kalkulahin ang halaga ng degree a na may hindi makatwirang exponent a , pagkatapos ay kukunin natin ang decimal approximation ng exponent at mabibilang mula dito. Ang resulta ay isang tinatayang sagot. Kung mas tumpak ang pagtatantya ng decimal na kinuha, mas tumpak ang sagot. Ipakita natin sa isang halimbawa:

Halimbawa 11

Mag-compute ng tinatayang halaga ng 21 , 174367 ....

Solusyon

Nililimitahan natin ang ating sarili sa pagtatantya ng decimal a n = 1, 17. Gawin natin ang mga kalkulasyon gamit ang numerong ito: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Kung kukunin natin, halimbawa, ang approximation a n = 1 , 1743 , kung gayon ang sagot ay magiging mas tumpak ng kaunti: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Sa pagpapatuloy ng pag-uusap tungkol sa antas ng isang numero, makatuwirang harapin ang paghahanap ng halaga ng antas. Ang prosesong ito ay pinangalanan pagpaparami. Sa artikulong ito, pag-aaralan lang natin kung paano ginaganap ang exponentiation, habang tatalakayin natin ang lahat ng posibleng exponents - natural, integer, rational at irrational. At ayon sa tradisyon, isasaalang-alang namin nang detalyado ang mga solusyon sa mga halimbawa ng pagtaas ng mga numero sa iba't ibang antas.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng "exponentiation"?

Magsimula tayo sa pagpapaliwanag kung ano ang tinatawag na exponentiation. Narito ang nauugnay na kahulugan.

Kahulugan.

Exponentiation ay upang mahanap ang halaga ng kapangyarihan ng isang numero.

Kaya, ang paghahanap ng halaga ng kapangyarihan ng a na may exponent r at pagtaas ng numero a sa kapangyarihan ng r ay ang parehong bagay. Halimbawa, kung ang gawain ay "kalkulahin ang halaga ng kapangyarihan (0.5) 5", maaari itong reformulated tulad ng sumusunod: "Itaas ang numero 0.5 sa kapangyarihan ng 5".

Maaari ka na ngayong pumunta nang direkta sa mga panuntunan kung saan isinasagawa ang exponentiation.

Pagtaas ng numero sa natural na kapangyarihan

Sa pagsasagawa, ang pagkakapantay-pantay batay sa ay karaniwang inilalapat sa anyo . Iyon ay, kapag ang pagtaas ng numero a sa isang fractional power m / n, ang ugat ng nth degree mula sa numero a ay unang nakuha, pagkatapos kung saan ang resulta ay itataas sa isang integer power m.

Isaalang-alang ang mga solusyon sa mga halimbawa ng pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng antas.

Solusyon.

Nagpapakita kami ng dalawang solusyon.

Unang paraan. Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent. Kinakalkula namin ang halaga ng antas sa ilalim ng tanda ng ugat, pagkatapos ay kinuha namin ang ugat ng kubo: .

Ang pangalawang paraan. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may fractional exponent at batay sa mga katangian ng mga ugat, ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo . Ngayon kunin ang ugat Sa wakas, itataas namin sa isang integer na kapangyarihan .

Malinaw, ang nakuha na mga resulta ng pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan ay nagtutugma.

Sagot:

Tandaan na ang fractional exponent ay maaaring isulat bilang isang decimal fraction o isang mixed number, sa mga kasong ito dapat itong palitan ng kaukulang ordinaryong fraction, at pagkatapos ay dapat isagawa ang exponentiation.

Halimbawa.

Kalkulahin ang (44.89) 2.5 .

Solusyon.

Isinulat namin ang exponent sa anyo ng isang ordinaryong fraction (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo): . Ngayon nagsasagawa kami ng pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan:

Sagot:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Dapat ding sabihin na ang pagpapataas ng mga numero sa mga makatwirang kapangyarihan ay isang medyo matrabahong proseso (lalo na kapag ang numerator at denominator ng fractional exponent ay medyo malalaking numero), na kadalasang isinasagawa gamit ang teknolohiya ng computer.

Sa pagtatapos ng talatang ito, tatalakayin natin ang pagbuo ng numerong zero sa isang fractional power. Ibinigay namin ang sumusunod na kahulugan sa fractional degree ng zero ng form: dahil mayroon kami , habang ang zero sa kapangyarihan m/n ay hindi tinukoy. Kaya, ang zero sa isang positibong fractional power ay zero, halimbawa, . At ang zero sa isang fractional na negatibong kapangyarihan ay hindi makatwiran, halimbawa, ang mga expression at 0 -4.3 ay walang katuturan.

Pagtaas sa isang hindi makatwirang kapangyarihan

Minsan ito ay nagiging kinakailangan upang malaman ang halaga ng antas ng isang numero na may hindi makatwirang exponent. Sa kasong ito, para sa mga praktikal na layunin, kadalasan ay sapat na upang makuha ang halaga ng antas hanggang sa isang tiyak na tanda. Napansin namin kaagad na sa pagsasagawa ang halagang ito ay kinakalkula gamit ang teknolohiyang electronic computing, dahil ang manu-manong pagtaas sa isang hindi makatwiran na kapangyarihan ay nangangailangan ng isang malaking bilang ng mga masalimuot na kalkulasyon. Ngunit gayunpaman, ilalarawan namin sa pangkalahatang mga termino ang kakanyahan ng mga aksyon.

Upang makakuha ng tinatayang halaga ng exponent ng a na may hindi makatwirang exponent, kinukuha ang ilang decimal approximation ng exponent, at kinakalkula ang halaga ng exponent. Ang halagang ito ay ang tinatayang halaga ng antas ng numero a na may hindi makatwirang exponent. Kung mas tumpak ang pagtatantya ng decimal ng numero sa simula, mas tumpak ang magiging halaga ng degree sa huli.

Bilang halimbawa, kalkulahin natin ang tinatayang halaga ng kapangyarihan ng 2 1.174367... . Kunin natin ang sumusunod na decimal approximation ng isang irrational indicator: . Ngayon itinaas namin ang 2 sa isang makatwirang kapangyarihan na 1.17 (inilarawan namin ang kakanyahan ng prosesong ito sa nakaraang talata), nakukuha namin ang 2 1.17 ≈ 2.250116. Sa ganitong paraan, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Kung kukuha tayo ng mas tumpak na pagtatantya ng decimal ng isang hindi makatwiran na exponent, halimbawa, , pagkatapos ay makakakuha tayo ng mas tumpak na halaga ng orihinal na degree: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematics Zh textbook para sa 5 cell. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang aklat-aralin para sa 7 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang aklat-aralin para sa 9 na mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).