Sagot: nag-iiba ang serye.

Halimbawa #3

Hanapin ang kabuuan ng serye na $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Dahil ang mas mababang limitasyon sa pagsusuma ay 1, ang karaniwang termino ng serye ay isinusulat sa ilalim ng sum sign: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Buuin ang nth partial sum ng serye, i.e. isama ang unang $n$ na miyembro ng ibinigay na numerical series:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Kung bakit ako nagsusulat ng eksaktong $\frac(2)(3\cdot 5)$, at hindi $\frac(2)(15)$, ay magiging malinaw mula sa karagdagang pagsasalaysay. Gayunpaman, ang pagtatala ng isang bahagyang kabuuan ay hindi nagdulot sa amin ng isang iota na mas malapit sa layunin. Pagkatapos ng lahat, kailangan nating hanapin ang $\lim_(n\to\infty)S_n$, ngunit kung isusulat lang natin:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

kung gayon ang talaang ito, ganap na tama sa anyo, ay hindi magbibigay sa atin ng kahit ano sa kakanyahan. Upang mahanap ang limitasyon, kailangan munang pasimplehin ang partial sum expression.

Mayroong karaniwang pagbabagong-anyo para dito, na binubuo sa pag-decomposing ng fraction na $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, na kumakatawan sa karaniwang termino ng serye, sa elementarya na mga fraction. Ang isang hiwalay na paksa ay nakatuon sa isyu ng nabubulok na mga rational fraction sa elementarya (tingnan, halimbawa, halimbawa No. 3 sa pahinang ito). Ang pagpapalawak ng fraction $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ sa elementary fractions, mayroon kaming:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Tinutumbas namin ang mga numerator ng mga fraction sa kaliwa at kanang bahagi ng resultang pagkakapantay-pantay:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang mga halaga ng $A$ at $B$. Maaari mong buksan ang mga bracket at muling ayusin ang mga termino, o maaari mo lamang palitan ang ilang naaangkop na halaga sa halip na $n$. Para lamang sa isang pagbabago, sa halimbawang ito ay pupunta tayo sa unang paraan, at sa susunod - papalitan natin ang mga pribadong halaga ng $n$. Ang pagpapalawak ng mga bracket at muling pagsasaayos ng mga termino, makukuha natin ang:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Sa kaliwang bahagi ng equation, ang $n$ ay nauuna sa zero. Kung gusto mo, ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay maaaring katawanin para sa kalinawan bilang $0\cdot n+ 2$. Dahil sa kaliwang bahagi ng equality $n$ ay nauuna sa zero, at sa kanang bahagi ng equality $2A+2B$ nauuna sa $n$, mayroon kaming unang equation: $2A+2B=0$. Hinahati namin kaagad ang parehong bahagi ng equation na ito sa pamamagitan ng 2, pagkatapos ay makakakuha kami ng $A+B=0$.

Dahil ang libreng termino sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay katumbas ng 2, at sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ang libreng termino ay katumbas ng $3A+B$, pagkatapos ay $3A+B=2$. Kaya mayroon kaming isang sistema:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

Ang patunay ay isasagawa sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction. Sa unang hakbang, kailangan nating suriin kung ang kinakailangang pagkakapantay-pantay na $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ay para sa $n=1$. Alam namin na ang $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, ngunit ang expression na $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ba ay magbibigay ng value na $\frac( 2 )(15)$ kung ang $n=1$ ay papalitan dito? Suriin natin:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Kaya, para sa $n=1$ ang pagkakapantay-pantay na $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ay nasiyahan. Kinukumpleto nito ang unang hakbang ng paraan ng mathematical induction.

Ipagpalagay na para sa $n=k$ ang pagkakapantay-pantay ay hawak, i.e. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Patunayan natin na magkakaroon ng parehong pagkakapantay-pantay para sa $n=k+1$. Upang gawin ito, isaalang-alang ang $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Dahil $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, pagkatapos ay $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Ayon sa palagay sa itaas $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, kaya ang formula na $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ ay tumatagal ang form:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Konklusyon: ang formula na $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ay totoo para sa $n=k+1$. Samakatuwid, ayon sa paraan ng mathematical induction, ang formula na $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ay totoo para sa anumang $n\in N$. Ang pagkakapantay-pantay ay napatunayan.

Sa isang karaniwang kurso sa mas mataas na matematika, ang isa ay karaniwang kontento sa "pagtanggal" ng mga termino sa pagkansela, nang hindi nangangailangan ng anumang patunay. Kaya, nakuha namin ang expression para sa nth partial sum: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Hanapin ang halaga ng $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Konklusyon: ang ibinigay na serye ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay $S=\frac(1)(3)$.

Ang pangalawang paraan ay ang gawing simple ang formula para sa partial sum.

Upang maging tapat, mas gusto ko ang pamamaraang ito sa aking sarili :) Isulat natin ang bahagyang kabuuan sa isang pinaikling anyo:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Nauna naming nakuha ang $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, kaya:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\kanan). $$

Ang kabuuan na $S_n$ ay naglalaman ng isang may hangganang bilang ng mga termino, kaya maaari naming muling ayusin ang mga ito gayunpaman gusto namin. Gusto ko munang idagdag ang lahat ng mga tuntunin ng form na $\frac(1)(2k+1)$, at pagkatapos lamang pumunta sa mga tuntunin ng form na $\frac(1)(2k+3)$. Nangangahulugan ito na kakatawanin namin ang bahagyang kabuuan sa form na ito:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Siyempre, ang pinalawak na notasyon ay lubhang hindi maginhawa, kaya ang pagkakapantay-pantay sa itaas ay maaaring maisulat nang mas compact:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Ngayon ay binabago namin ang mga expression na $\frac(1)(2k+1)$ at $\frac(1)(2k+3)$ sa parehong anyo. Sa tingin ko ito ay maginhawa upang magmukhang isang mas malaking fraction (bagaman maaari mong gamitin ang isang mas maliit na isa, ito ay isang bagay ng panlasa). Dahil $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (mas malaki ang denominator, mas maliit ang fraction), babawasan namin ang fraction na $\frac(1)(2k+ 3) $ sa anyong $\frac(1)(2k+1)$.

Ipapakita ko ang expression sa denominator ng fraction $\frac(1)(2k+3)$ gaya ng sumusunod:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

At ang kabuuan na $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ ay maaari na ngayong isulat ng ganito:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Kung ang pagkakapantay-pantay ay $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ ay hindi nagtataas ng mga tanong, pagkatapos ay pumunta pa tayo. Kung may mga katanungan, mangyaring palawakin ang tala.

Paano namin nakuha ang na-convert na halaga? Ipakita itago

Mayroon kaming serye na $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Magpakilala tayo ng bagong variable sa halip na $k+1$ - halimbawa, $t$. Kaya $t=k+1$.

Paano nagbago ang lumang variable na $k$? At ito ay nagbago mula 1 hanggang $n$. Alamin natin kung paano magbabago ang bagong variable na $t$. Kung $k=1$, kung gayon ang $t=1+1=2$. Kung $k=n$, pagkatapos ay $t=n+1$. Kaya ang expression na $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ ay ngayon: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Mayroon kaming kabuuan na $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Tanong: mahalaga ba kung anong letra ang gagamitin sa kabuuan na ito? :) Tritely writing the letter $k$ instead of $t$, we get the following:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Ganito ang pagkakapantay-pantay $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) ay nakuha \frac(1)(2k+1)$.

Kaya, ang bahagyang kabuuan ay maaaring katawanin sa sumusunod na anyo:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Tandaan na ang mga kabuuan na $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ at $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ naiiba lamang sa mga limitasyon ng pagsusuma. Gawin nating pareho ang mga limitasyong ito. "Pagkuha" ng unang elemento mula sa kabuuan na $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ nakukuha natin:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"Pagkuha" ng huling elemento mula sa kabuuan na $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, nakukuha namin:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Pagkatapos ang expression para sa bahagyang kabuuan ay kukuha ng anyo:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Kung lalaktawan mo ang lahat ng paliwanag, ang proseso ng paghahanap ng pinaikling formula para sa n-th partial sum ay kukuha ng sumusunod na anyo:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Ipaalala ko sa iyo na binawasan namin ang fraction na $\frac(1)(2k+3)$ sa form na $\frac(1)(2k+1)$. Siyempre, maaari mong gawin ang kabaligtaran, i.e. kumakatawan sa fraction na $\frac(1)(2k+1)$ bilang $\frac(1)(2k+3)$. Ang huling expression para sa bahagyang kabuuan ay hindi magbabago. Sa kasong ito, itatago ko ang proseso ng paghahanap ng bahagyang kabuuan sa ilalim ng isang tala.

Paano mahahanap ang $S_n$, kung magdadala ka sa anyo ng ibang fraction? Ipakita itago

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\kanan) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Kaya $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Hanapin ang limitasyon $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Ang ibinigay na serye ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay $S=\frac(1)(3)$.

Sagot: $S=\frac(1)(3)$.

Ang pagpapatuloy ng paksa ng paghahanap ng kabuuan ng isang serye ay isasaalang-alang sa ikalawa at ikatlong bahagi.

Hayaan ang isang walang katapusang pagkakasunod-sunod ng mga numero u1, u2, u3…

Ang expression na u1+ u2+ u3…+ un (1) ay tinatawag na numerical series, at ang mga numero ng mga bahagi nito ay mga miyembro ng serye.

Ang kabuuan ng isang finite number n ng mga unang termino ng serye ay tinatawag na nth partial sum ng serye: Sn = u1+..+un

Kung pangngalan. may hangganan na limitasyon: pagkatapos ito ay tinatawag na kabuuan ng serye at sinasabi nila na ang serye ay nagtatagpo, kung ang gayong limitasyon ay hindi umiiral, pagkatapos ay sinasabi nila na ang serye ay nag-iiba at walang kabuuan.

2 Geometric at arithmetic series

Isang serye na binubuo ng mga miyembro ng isang walang katapusang geometric na pag-unlad na tinatawag na. geometriko:
o

a+ aq +…+aq n -1

a  0 ang unang termino ng q ay ang denominator. Row sum:

kaya ang finite limit ng sequence ng partial sums ng series ay depende sa quantity q

Mga posibleng kaso:

1 |q|<1

i.e. isang bilang ng skhd-sya at ang kabuuan nito
2 |q|>1
at ang limitasyon ng kabuuan ay katumbas din ng infinity

ibig sabihin, nag-iiba ang serye.

3 na may q = 1, isang serye ang nakuha: a+a+…+a… Sn = na
magkaiba ang serye

4 para sa q1, ang serye ay mukhang: a-a+a ... (-1) n -1 a Sn=0 para sa even n, Sn=a para sa odd n, walang limitasyon ng mga partial sums. nag-iiba ang hilera.

Isaalang-alang ang isang serye ng mga walang katapusang miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic:
u ang unang termino, d ang pagkakaiba. Row sum

para sa anumang u1 at d pareho  0 at ang serye ay palaging nag-iiba.

3 C-va convergent series

Hayaang magbigay ng dalawang serye: u1+u2+…un = (1) at v1+v2+…vn = (2)

Ang produkto ng serye (1) sa pamamagitan ng numerong   R at ang serye: u1+u2+…un = (3)

Ang kabuuan ng mga row (1) at (2) back row:

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) =
(para sa pagkakaiba mayroon lamang isang hitsura)

T1 Tungkol sa karaniwang multiplier

Kung ang serye (1) ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay = S, kung gayon para sa anumang numero  ang serye = ay nagtatagpo rin at ang kabuuan nito S’ = S Kung ang serye (1) ay naghihiwalay at   0, kung gayon ang serye diver din. Iyon ay, ang karaniwang kadahilanan ay hindi nakakaapekto sa mga pagkakaiba-iba ng serye.

T2 Kung ang serye (1) at (2) ay nagtatagpo, at ang kanilang mga kabuuan = ayon sa pagkakabanggit S at S’, kung gayon ang serye:
nagtatagpo din at kung  ang kabuuan nito, kung gayon  = S+S’. Iyon ay, ang convergent series ay maaaring idagdag at ibawas ang termino sa pamamagitan ng termino. Kung ang serye (1) ay nagtatagpo at ang serye (2) ay nag-iiba, ang kanilang kabuuan (o pagkakaiba) ay nag-iiba din. Ngunit kung magkaiba ang magkabilang hanay. pagkatapos ang kanilang kabuuan (o pagkakaiba) ay maaaring mag-diverge (kung un=vn) o mag-converge (kung un=vn)

Para sa row (1) row
ay tinatawag na n-th natitira ng serye. Kung ang natitira sa seryeng ito ay nagtatagpo, ang kabuuan nito ay ilalarawan: r n =

T3 Kung ang serye ay nagtatagpo, kung gayon ang alinman sa mga natitira nito ay nagtatagpo, kung ang anumang natitira sa serye ay nagtatagpo, ang serye mismo ay nagtatagpo. Bukod dito, ang kabuuang kabuuan = bahagyang kabuuan ng serye Sn + r n

Ang pagbabago, pati na rin ang pagtatapon o pagdaragdag ng isang may hangganang bilang ng mga termino, ay hindi makakaapekto sa convergence (divergence) ng serye.

4 Isang kinakailangang criterion para sa convergence ng series

Kung ang serye ay nagtatagpo, ang limitasyon ng karaniwang termino nito ay katumbas ng zero:

Doc-in:

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1, kaya:

Ang tanda na ito ay kinakailangan lamang, ngunit hindi sapat, ibig sabihin, kung ang limitasyon ng karaniwang termino at katumbas ng zero, hindi kinakailangan na ang serye ay magtagpo sa kasong ito. Dahil dito, ang kundisyong ito, kung hindi ito matutupad, ay, sa kabilang banda, ay isang sapat na kondisyon para sa divergence ng serye.

5 Integral sign ng convergence ng serye. Dirichlet row

T1 Bumitaw (1), na ang mga termino ay hindi negatibo at hindi tumataas: u1>=u2>=u3…>=un

Kung mayroong isang function na f(x) na hindi negatibo, tuloy-tuloy, at hindi tumataas ng ganoong f(n) = Un,  n  N, kung gayon para magtagpo ang serye (1), kinakailangan na und ay sapat para sa hindi wastong integral na magtagpo:
, at para sa divergence ito ay sapat at kinakailangan na ang integral na ito, sa kabaligtaran, ay magkakaiba (WOW!).

Ilapat natin ang tampok na ito upang pag-aralan ang seryeng Dirichlet: Narito ito: ,  R Ang seryeng ito ay tinatawag na generalized harmonic series, kapag  >0 ang karaniwang termino ng seryeng ito ay un=1/n  0 at bumababa, para magamit mo ang integral feature, ang function dito ay ang function f(x)=1/x  ( x>=1) ang function na ito ay nakakatugon sa mga kondisyon ng Theorem 1; samakatuwid, ang convergence (divergence) ng Dirichlet series ay katumbas ng convergence ng divergence ng integral:

Tatlong kaso ang posible:

1  >1,

Ang integral at samakatuwid ang serye ay nagtatagpo.

Ang integral at ang serye ay magkaiba

Ang integral at ang serye ay magkaiba

Mga pangunahing kahulugan.

Kahulugan. Tinatawag ang kabuuan ng mga termino ng isang infinite number sequence numerical series.

Kasabay nito, ang mga numero
ay tatawaging mga miyembro ng serye, at u n ay isang karaniwang miyembro ng serye.

Kahulugan. Sums
,n = 1, 2, … tinawag pribado (bahagyang) halaga hilera.

Kaya, posibleng isaalang-alang ang mga pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan ng serye S 1 , S 2 , …, S n , …

Kahulugan. hilera
tinawag nagtatagpo kung ang pagkakasunod-sunod ng mga partial sums nito ay nagtatagpo. Ang kabuuan ng convergent series ay ang limitasyon ng pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan nito.

Kahulugan. Kung ang pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan ng serye ay magkakaiba, i.e. ay walang limitasyon, o may walang katapusang limitasyon, pagkatapos ay tinawag ang serye divergent at walang halagang itinalaga sa kanya.

mga katangian ng hilera.

1) Ang convergence o divergence ng serye ay hindi malalabag kung babaguhin mo, itatapon o magdagdag ng isang tiyak na bilang ng mga termino sa serye.

2) Isaalang-alang ang dalawang hanay
at
, kung saan ang C ay isang pare-parehong numero.

Teorama. Kung ang hilera
nagtatagpo at ang kabuuan nito ayS, pagkatapos ay ang hilera
nagtatagpo din, at ang kabuuan nito ay CS. (C  0)

3) Isaalang-alang ang dalawang hanay
at
.sum o pagkakaiba ang mga row na ito ay tatawaging row
, kung saan ang mga elemento ay nakuha bilang isang resulta ng pagdaragdag (pagbabawas) ng mga orihinal na elemento na may parehong mga numero.

Teorama. Kung ang mga hilera
at
converge at ang kanilang mga kabuuan ay pantay, ayon sa pagkakabanggit.Sat , pagkatapos ay ang hilera
nagtatagpo din at ang kabuuan nito ay katumbas ngS +  .

Ang pagkakaiba ng dalawang convergent series ay magiging convergent series din.

Ang kabuuan ng convergent at divergent na serye ay magiging divergent na serye.

Imposibleng gumawa ng pangkalahatang pahayag tungkol sa kabuuan ng dalawang magkakaibang serye.

Kapag nag-aaral ng serye, dalawang problema ang pangunahing nalutas: ang pag-aaral ng convergence at paghahanap ng kabuuan ng serye.

Cauchy criterion.

(kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa tagpo ng serye)

Para sa pagkakasunod-sunod
ay convergent, ito ay kinakailangan at sapat na para sa anumang
nagkaroon ng numeroN, na san > Nat anumanp> 0, kung saan ang p ay isang integer, ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay magkakaroon:

.

Patunay. (kailangan)

Hayaan
, pagkatapos ay para sa anumang numero
mayroong isang numero N tulad na ang hindi pagkakapantay-pantay

ay ginanap para sa n>N. Para sa n>N at anumang integer p>0, nananatili rin ang hindi pagkakapantay-pantay
. Isinasaalang-alang ang parehong hindi pagkakapantay-pantay, nakukuha natin:

Ang pangangailangan ay napatunayan. Hindi namin isasaalang-alang ang patunay ng kasapatan.

Bumuo tayo ng pamantayang Cauchy para sa serye.

Para sa isang numero
ay convergent kinakailangan at sapat na para sa anumang
nagkaroon ng numeroNtulad na san> Nat anumanp>0 ay makakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay

.

Gayunpaman, sa pagsasagawa, hindi masyadong maginhawang gamitin nang direkta ang pamantayan ng Cauchy. Samakatuwid, bilang isang patakaran, ang mas simpleng pamantayan ng convergence ay ginagamit:

1) Kung ang hilera
nagtatagpo, ito ay kinakailangan na ang karaniwang termino u n gravity patungo sa zero. Gayunpaman, ang kundisyong ito ay hindi sapat. Masasabi lamang natin na kung ang karaniwang termino ay hindi malamang na zero, kung gayon ang serye ay eksaktong diverge. Halimbawa, ang tinatawag na harmonic series ay divergent, bagama't ang karaniwang termino nito ay may posibilidad na zero.

Halimbawa. Siyasatin ang convergence ng isang serye

Hanapin natin
- ang kinakailangang criterion ng convergence ay hindi nasiyahan, kaya ang serye ay nag-iiba.

2) Kung ang serye ay nagtatagpo, kung gayon ang pagkakasunod-sunod ng mga bahagyang kabuuan nito ay may hangganan.

Gayunpaman, ang tampok na ito ay hindi rin sapat.

Halimbawa, ang serye 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… ay nag-iiba dahil ang pagkakasunod-sunod ng mga bahagyang kabuuan nito ay nag-iiba dahil sa katotohanang

Gayunpaman, sa kasong ito ang pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan ay limitado, dahil
para sa anumang n.

Serye na may mga hindi negatibong miyembro.

Kapag nag-aaral ng mga serye na may pare-parehong tanda, kinukulong namin ang aming sarili sa pagsasaalang-alang ng mga serye na may mga hindi negatibong termino, dahil kapag pinarami lang sa -1, ang mga seryeng ito ay maaaring gamitin upang makakuha ng mga serye na may mga negatibong termino.

Teorama. Para sa convergence ng serye
na may mga di-negatibong termino kinakailangan at sapat na ang mga bahagyang kabuuan ng serye ay may hangganan.

Tanda ng paghahambing ng serye sa mga hindi negatibong miyembro.

Hayaang magkaroon ng dalawang hanay
at
sa u n , v n  0 .

Teorama. Kung ang u n  v n para sa anumang n, pagkatapos ay mula sa convergence ng serye
sumusunod sa convergence ng serye
, at mula sa divergence ng serye
sumusunod sa divergence ng serye
.

Patunay. Tukuyin ng S n at  n bahagyang kabuuan ng mga serye
at
. kasi ayon sa theorem, ang serye
nagtatagpo, pagkatapos ang mga bahagyang kabuuan nito ay nililimitahan, ibig sabihin, para sa lahat n n  M, kung saan ang M ay ilang numero. Pero dahil u n  v n, pagkatapos S n   n pagkatapos ay ang mga bahagyang kabuuan ng serye
ay may hangganan din, at ito ay sapat na para sa convergence.

Halimbawa. Magsiyasat para sa serye ng convergence

kasi
, at ang harmonic series diverges, pagkatapos ay ang serye diverges
.

Halimbawa.

kasi
, at ang hilera
nagtatagpo (bilang isang bumababang geometric na pag-unlad), pagkatapos ay ang serye
nagtatagpo rin.

Ginagamit din ang sumusunod na convergence criterion:

Teorama. Kung ang
at may hangganan
, saanhay isang hindi zero na numero, pagkatapos ay ang serye
at
kumilos sa parehong paraan sa mga tuntunin ng convergence.

Tanda ng d'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - Pranses na matematiko)

Kung para sa isang serye
sa mga positibong termino, mayroong isang numeroq<1, что для всех достаточно больших nang hindi pagkakapantay-pantay

tapos yung series
nagtatagpo kung para sa lahat ay sapat na malakinang kundisyon

tapos yung series
diverges.

Paglilimita ng tanda ng d'Alembert.

Ang paglilimita sa pagsusulit sa d'Alembert ay bunga ng pagsubok sa itaas ng d'Alembert.

Kung may limitasyon
, pagkatapos ay sa < 1 ряд сходится, а при  > 1 - diverges. Kung ang = 1, kung gayon ang tanong ng convergence ay hindi masasagot.

Halimbawa. Tukuyin ang convergence ng isang serye .

Konklusyon: ang serye ay nagtatagpo.

Halimbawa. Tukuyin ang convergence ng isang serye

Konklusyon: ang serye ay nagtatagpo.

Cauchy sign. (radical sign)

Kung para sa isang serye
na may mga hindi negatibong termino, mayroong isang numeroq<1, что для всех достаточно больших nang hindi pagkakapantay-pantay

,

tapos yung series
nagtatagpo kung para sa lahat ay sapat na malakinang hindi pagkakapantay-pantay

tapos yung series
diverges.

Bunga. Kung may limitasyon
, pagkatapos ay sa <1 ряд сходится, а при >1 hilera ay naghihiwalay.

Halimbawa. Tukuyin ang convergence ng isang serye
.

Konklusyon: ang serye ay nagtatagpo.

Halimbawa. Tukuyin ang convergence ng isang serye
.

Yung. Hindi sinasagot ng criterion ni Cauchy ang tanong tungkol sa convergence ng serye. Suriin natin ang katuparan ng mga kinakailangang kondisyon ng convergence. Tulad ng nabanggit sa itaas, kung ang serye ay nagtatagpo, ang karaniwang termino ng serye ay may posibilidad na maging zero.

,

kaya, ang kinakailangang kondisyon para sa convergence ay hindi nasiyahan, na nangangahulugan na ang serye ay diverges.

Integral Cauchy na pagsubok.

Kung ang (x) ay isang tuluy-tuloy na positibong function na bumababa sa pagitan at
pagkatapos ay ang mga integral
at
kumilos nang pareho sa mga tuntunin ng convergence.

Mga variable na hilera.

Alternating row.

Ang isang alternatibong serye ay maaaring isulat bilang:

saan

Leibniz sign.

Kung isang alternating series ganap na mga halagau i bumaba
at ang karaniwang termino ay may posibilidad na zero
, pagkatapos ay nagtatagpo ang serye.

Absolute at conditional convergence ng series.

Isaalang-alang ang ilang mga alternatibong serye (na may mga tuntunin ng mga di-makatwirang palatandaan).

(1)

at isang serye na binubuo ng mga ganap na halaga ng mga tuntunin ng serye (1):

(2)

Teorama. Ang convergence ng series (2) ay nagpapahiwatig ng convergence ng series (1).

Patunay. Ang serye (2) ay nasa tabi ng mga di-negatibong termino. Kung ang serye (2) ay nagtatagpo, kung gayon sa pamamagitan ng pamantayan ng Cauchy para sa anumang >0 mayroong isang numerong N para sa n>N at anumang integer p>0 ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay totoo:

Ayon sa pag-aari ng mga ganap na halaga:

Iyon ay, ayon sa pamantayan ng Cauchy, ang convergence ng serye (2) ay nagpapahiwatig ng convergence ng serye (1).

Kahulugan. hilera
tinawag ganap na nagtatagpo kung ang serye ay nagtatagpo
.

Malinaw, para sa serye ng patuloy na pag-sign, ang mga konsepto ng convergence at absolute convergence ay nagtutugma.

Kahulugan. hilera
tinawag may kondisyong nagtatagpo, kung ito ay nagtatagpo, at ang serye
diverges.

d'Alembert's at Cauchy's test para sa alternating series.

Hayaan
- alternating serye.

Tanda ng d'Alembert. Kung may limitasyon
, pagkatapos ay sa <1 ряд
ay magiging ganap na magkakaugnay, at kapag >

Cauchy sign. Kung may limitasyon
, pagkatapos ay sa <1 ряд
ay magiging ganap na magkakaugnay, at kapag >1 ang serye ay magiging magkakaiba. Kapag =1, ang sign ay hindi nagbibigay ng sagot tungkol sa convergence ng serye.

Mga katangian ng ganap na convergent na serye.

1) Teorama. Para sa ganap na convergence ng serye
ito ay kinakailangan at sapat na ito ay maaaring katawanin bilang ang pagkakaiba ng dalawang convergent series na may mga non-negatibong termino.

Bunga. Ang isang conditionally convergent series ay ang pagkakaiba ng dalawang divergent na serye na may mga non-negative na termino na nagiging zero.

2) Sa isang convergent na serye, ang anumang pagpapangkat ng mga tuntunin ng serye na hindi nagbabago sa kanilang pagkakasunud-sunod ay nagpapanatili ng convergence at magnitude ng serye.

3) Kung ang isang serye ay ganap na nagtatagpo, kung gayon ang serye na nakuha mula dito sa pamamagitan ng anumang permutasyon ng mga termino ay ganap ding nagtatagpo at may parehong kabuuan.

Sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga tuntunin ng isang seryeng may kondisyong nagtatagpo, makakakuha ang isa ng isang serye na may kondisyong nagtatagpo na mayroong anumang paunang natukoy na kabuuan, at maging isang magkakaibang serye.

4) Teorama. Sa anumang pagpapangkat ng mga miyembro ng isang ganap na convergent na serye (sa kasong ito, ang bilang ng mga grupo ay maaaring maging may hangganan o walang katapusan, at ang bilang ng mga miyembro sa isang grupo ay maaaring maging may hangganan o walang katapusan), ang isang convergent na serye ay nakuha, ang kabuuan kung saan ay katumbas ng kabuuan ng orihinal na serye.

5) Kung ang mga hilera at ganap na nagtatagpo at ang kanilang mga kabuuan ay pantay, ayon sa pagkakabanggit. S at , pagkatapos ay isang serye na binubuo ng lahat ng mga produkto ng anyo
kinuha sa anumang pagkakasunud-sunod, din ay ganap na nagtatagpo at ang kabuuan nito ay katumbas ng S - ang produkto ng mga kabuuan ng multiply na serye.

Kung, gayunpaman, upang i-multiply ang conditionally convergent series, ang resulta ay maaaring isang divergent series.

Mga functional na pagkakasunud-sunod.

Kahulugan. Kung ang mga miyembro ng serye ay hindi mga numero, ngunit gumagana mula sa X, pagkatapos ay tinawag ang serye functional.

Ang pag-aaral ng convergence ng functional series ay mas mahirap kaysa sa pag-aaral ng numerical series. Ang parehong functional na serye ay maaari, para sa parehong mga halaga ng variable X converge, at sa iba pa - diverge. Samakatuwid, ang tanong ng convergence ng functional series ay nabawasan sa pagtukoy ng mga halaga ng variable X kung saan nagtatagpo ang serye.

Ang hanay ng mga naturang halaga ay tinatawag rehiyon ng convergence.

Dahil ang limitasyon ng bawat function na kasama sa rehiyon ng convergence ng serye ay isang tiyak na numero, kung gayon ang limitasyon ng functional sequence ay magiging isang tiyak na function:

Kahulugan. Kasunod ( f n (x) } nagtatagpo upang gumana f(x) sa segment , kung para sa anumang numero >0 at anumang punto X mula sa segment na isinasaalang-alang mayroong isang numerong N = N(, x) na ang hindi pagkakapantay-pantay

ay ginanap para sa n>N.

Gamit ang napiling halaga >0, ang bawat punto ng segment ay tumutugma sa sarili nitong numero at, samakatuwid, magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga numero na tumutugma sa lahat ng mga punto ng segment. Kung pipiliin mo ang pinakamalaki sa lahat ng numerong ito, magiging angkop ang numerong ito para sa lahat ng punto ng segment , ibig sabihin. magiging karaniwan sa lahat ng punto.

Kahulugan. Kasunod ( f n (x) } nagtatagpo nang pantay upang gumana f(x) sa pagitan kung para sa anumang numero >0 mayroong isang numero N = N() upang ang hindi pagkakapantay-pantay

ay ginaganap para sa n>N para sa lahat ng mga punto ng segment .

Halimbawa. Isaalang-alang ang pagkakasunod-sunod

Ang sequence na ito ay nagtatagpo sa buong axis ng numero sa function f(x)=0 , dahil

I-plot natin ang sequence na ito:

sinx

Tulad ng makikita, habang dumarami ang bilang n ang sequence graph ay lumalapit sa axis X.

functional na mga hilera.

Kahulugan. Pribadong (bahagyang) kabuuan functional range
tinatawag ang mga function

Kahulugan. Functional na saklaw
tinawag nagtatagpo sa punto ( x=x 0 ) kung ang pagkakasunod-sunod ng mga bahagyang kabuuan nito ay nagtatagpo sa puntong ito. Limitasyon ng pagkakasunud-sunod
tinawag sum hilera
sa punto X 0 .

Kahulugan. Ang hanay ng lahat ng mga halaga X, kung saan nagtatagpo ang serye
tinawag rehiyon ng convergence hilera.

Kahulugan. hilera
tinawag pare-parehong nagtatagpo sa isang segment kung ang pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan ng seryeng ito ay pantay na nagtatagpo sa segment na ito.

Teorama. (Cauchy criterion para sa pare-parehong convergence ng isang serye)

Para sa pare-parehong tagpo ng serye
kinakailangan at sapat na para sa anumang numero >0 mayroong ganoong numeroN( ), na san> Nat anumang kabuuanp>0 hindi pagkakapantay-pantay

hahawakan ang lahat ng x sa pagitan [a, b].

Teorama. (Weierstrass uniform convergence test)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - German mathematician)

hilera
nagtatagpo nang pantay at ganap sa segment [a, b], kung ang mga module ng mga miyembro nito sa parehong segment ay hindi lalampas sa mga kaukulang miyembro ng convergent numerical series na may mga positibong miyembro:

mga. mayroong hindi pagkakapantay-pantay:

.

Sinasabi rin nila na sa kasong ito ang functional series
mayorya numerical series
.

Halimbawa. Magsiyasat para sa serye ng convergence
.

kasi
lagi naman, obvious naman yun
.

Ito ay kilala na ang pangkalahatang maharmonya serye nagtatagpo kapag =3>1, pagkatapos, alinsunod sa pagsubok ng Weierstrass, ang seryeng pinag-aaralan ay pare-parehong nagtatagpo at, higit pa rito, sa anumang pagitan.

Halimbawa. Magsiyasat para sa serye ng convergence .

Sa segment [-1,1] ang hindi pagkakapantay-pantay
mga. ayon sa pagsusulit ng Weierstrass, ang seryeng pinag-aaralan ay nagtatagpo sa segment na ito, at nag-iiba sa mga pagitan (-, -1)  (1, ).

Mga katangian ng pare-parehong convergent na serye.

1) Ang teorama sa pagpapatuloy ng kabuuan ng isang serye.

Kung ang mga miyembro ng serye
- tuloy-tuloy sa pagitan [a, b] function at ang serye ay nagtatagpo nang pantay, pagkatapos ay ang kabuuan nitoS(x) ay isang tuluy-tuloy na function sa pagitan [a, b].

2) Ang theorem sa term-by-term na pagsasama ng isang serye.

Uniformly convergent sa segment [a, b] serye na may tuluy-tuloy na termino ay maaaring isama ang termino sa pamamagitan ng termino sa segment na ito, i.e. isang serye na binubuo ng mga integral ng mga termino nito sa pagitan ng [a, b] , ay nagtatagpo sa integral ng kabuuan ng serye sa bahaging ito.

3) Ang theorem sa term-by-term differentiation ng isang serye.

Kung ang mga miyembro ng serye
nagtatagpo sa segment [a, b] ay tuluy-tuloy na mga function na may tuloy-tuloy na derivatives, at ang serye ay binubuo ng mga derivatives na ito
pare-parehong nagtatagpo sa agwat na ito, pagkatapos ay ang ibinigay na serye ay nag-uugnay din nang pantay-pantay at maaaring ibahin ang termino ayon sa termino.

Batay sa katotohanan na ang kabuuan ng serye ay ilang function ng variable X, maaari mong isagawa ang pagpapatakbo ng kumakatawan sa isang function bilang isang serye (pagpapalawak ng isang function sa isang serye), na malawakang ginagamit sa integration, differentiation, at iba pang mga operasyon na may mga function.

Sa pagsasagawa, ang pagpapalawak ng mga pag-andar sa isang serye ng kapangyarihan ay kadalasang ginagamit.

Power series.

Kahulugan. susunod na kapangyarihan ay tinatawag na isang serye

.

Upang pag-aralan ang convergence ng power series, maginhawang gamitin ang d'Alembert test.

Halimbawa. Magsiyasat para sa serye ng convergence

Inilapat namin ang d'Alembert sign:

.

Nalaman namin na ang seryeng ito ay nagtatagpo sa
at diverges sa
.

Ngayon, tukuyin natin ang convergence sa mga hangganang puntos 1 at –1.

Para sa x = 1:
Ang serye ay nagtatagpo ayon sa Leibniz test (tingnan ang Fig. Leibniz sign.).

Para sa x = -1:
series diverges (harmonic series).

Ang mga teorema ni Abel.

(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - Norwegian mathematician)

Teorama. Kung ang power series
nagtatagpo sax = x 1 , pagkatapos ito ay nagtatagpo at, higit pa rito, ganap na para sa lahat
.

Patunay. Sa pamamagitan ng kondisyon ng teorama, dahil ang mga tuntunin ng serye ay may hangganan, kung gayon

saan k ay ilang pare-parehong numero. Ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay totoo:

Ito ay makikita mula sa hindi pagkakapantay-pantay na ito x< x 1 ang mga numerong halaga ng mga miyembro ng aming serye ay magiging mas kaunti (sa anumang kaso, hindi higit pa) kaysa sa mga kaukulang miyembro ng serye sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na nakasulat sa itaas, na bumubuo ng isang geometric na pag-unlad. Ang denominator ng pag-unlad na ito sa pamamagitan ng kondisyon ng teorama ay mas mababa sa isa, samakatuwid, ang pag-unlad na ito ay isang magkakaugnay na serye.

Samakatuwid, batay sa pagsubok ng paghahambing, napagpasyahan namin na ang serye
converges, na nangangahulugang serye
ganap na nagtatagpo.

Kaya, kung ang kapangyarihan serye
nagtatagpo sa isang punto X 1 , pagkatapos ay ganap itong nagtatagpo sa anumang punto ng pagitan ng haba 2 nakasentro sa isang punto X = 0.

Bunga. Kung sa x = x 1 nag-iiba ang serye, pagkatapos ay nag-iiba ito para sa lahat
.

Kaya, para sa bawat serye ng kapangyarihan mayroong isang positibong numero ng R tulad na, para sa lahat X ganyan
series converges absolutely, at para sa lahat
nag-iiba ang hilera. Sa kasong ito, ang numerong R ay tinatawag radius ng convergence. Ang pagitan (-R, R) ay tinatawag pagitan ng convergence.

Tandaan na ang agwat na ito ay maaaring parehong sarado sa isa o dalawang panig, at hindi sarado.

Ang convergence radius ay matatagpuan gamit ang formula:

Halimbawa. Hanapin ang lugar ng convergence ng isang serye

Paghahanap ng radius ng convergence
.

Samakatuwid, ang seryeng ito ay nagtatagpo para sa anumang halaga X. Ang karaniwang termino ng seryeng ito ay may posibilidad na zero.

Teorama. Kung ang power series
nagtatagpo para sa isang positibong halaga x=x 1 , pagkatapos ay pantay-pantay itong nagtatagpo sa anumang pagitan sa loob
.

Mga pagkilos na may serye ng kapangyarihan.

1. Mga serye ng numero: mga pangunahing konsepto, mga kinakailangang kondisyon para sa tagpo ng isang serye. Ang natitirang bahagi ng hilera.

2. Serye na may positibong mga termino at mga palatandaan ng kanilang tagpo: mga palatandaan ng paghahambing, d'Alembert, Cauchy.

3. Alternating row, ang Leibniz test.

1. Kahulugan ng isang serye ng numero. Convergence

Sa mga aplikasyon sa matematika, pati na rin sa paglutas ng ilang mga problema sa ekonomiya, istatistika at iba pang mga lugar, ang mga kabuuan na may walang katapusang bilang ng mga termino ay isinasaalang-alang. Dito namin tinukoy kung ano ang ibig sabihin ng mga naturang halaga.

Hayaang magbigay ng walang katapusang numerical sequence

Kahulugan 1.1. Mga serye ng numero o simple lang malapit ay tinatawag na pagpapahayag (sum) ng anyo

. (1.1)

Numero tinawag miyembro ng isang numero, –pangkalahatan o nth isang miyembro ng row.

Upang itakda ang serye (1.1) ito ay sapat na upang itakda ang function ng natural na argumento ng pagkalkula ng ika-miyembro ng serye sa pamamagitan ng numero nito

Halimbawa 1.1. Hayaan . hilera

(1.2)

tinawag maharmonya na serye.

Halimbawa 1.2. Hayaan mo si Row

(1.3)

tinawag pangkalahatang maharmonya na serye. Sa isang partikular na kaso, sa , isang harmonic series ang nakuha.

Halimbawa 1.3. Hayaan =. hilera

tinawag sa tabi ng isang geometric na pag-unlad.

Mula sa mga tuntunin ng serye (1.1) bumubuo kami ng isang numerical pagkakasunud-sunod ng bahagyang mga halaga saan - ang kabuuan ng mga unang termino ng serye, na tinatawag na n-at bahagyang kabuuan, ibig sabihin.

…………………………….

…………………………….

Numeric na pagkakasunud-sunod na may walang limitasyong pagtaas sa bilang, maaari itong:

1) may hangganan;

2) walang hangganang limitasyon (ang limitasyon ay hindi umiiral o katumbas ng infinity).

Kahulugan 1.2. Serye (1.1) ang tawag nagtatagpo, kung ang pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan nito (1.5) ay may hangganan, i.e.

Sa kasong ito, ang numero ay tinatawag sum serye (1.1) at nakasulat

Kahulugan 1.3. Serye (1.1) ang tawag divergent, kung ang pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan nito ay walang hangganan.

Walang sum na itinalaga sa diverging series.

Kaya, ang problema sa paghahanap ng kabuuan ng convergent series (1.1) ay katumbas ng pagkalkula ng limitasyon ng sequence ng mga partial sums nito.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 1.4. Patunayan na ang serye

nagtatagpo at hanapin ang kabuuan nito.

Hanapin natin ang n-th partial sum ng ibinigay na serye.

Karaniwang Miyembro kinakatawan namin ang serye sa anyo .

Kaya mayroon kaming: . Samakatuwid, ang seryeng ito ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay katumbas ng 1:

Halimbawa 1.5. Magsiyasat para sa serye ng convergence

Para sa row na ito

. Samakatuwid, ang seryeng ito ay nag-iiba.

Magkomento. Para sa , ang serye (1.6) ay ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga zero at malinaw na nagtatagpo.

2. Mga pangunahing katangian ng serye ng numero

Ang mga katangian ng isang kabuuan ng isang may hangganan na bilang ng mga termino ay naiiba sa mga katangian ng isang serye, iyon ay, ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino. Kaya, sa kaso ng isang may hangganan na bilang ng mga termino, maaari silang i-grupo sa anumang pagkakasunud-sunod, hindi nito binabago ang kabuuan. Mayroong convergent series (conditionally convergent, na isasaalang-alang sa Seksyon 5) kung saan, tulad ng ipinakita ni Riemann * , sa pamamagitan ng naaangkop na pagbabago sa pagkakasunud-sunod ng kanilang mga miyembro, maaaring gawin ng isa ang kabuuan ng serye na katumbas ng anumang numero, at maging isang magkakaibang serye.

Halimbawa 2.1. Isaalang-alang ang isang magkakaibang serye ng form (1.7)

Pagpapangkat ng mga miyembro nito sa mga pares, makakakuha tayo ng convergent number series na may kabuuan na katumbas ng zero:

Sa kabilang banda, ang pagpapangkat ng mga miyembro nito nang pares, simula sa pangalawang miyembro, nakakakuha din tayo ng convergent series, ngunit may kabuuan na katumbas ng isa:

Ang convergent series ay may ilang partikular na katangian na nagbibigay-daan sa amin na tratuhin ang mga ito na parang may hangganan na kabuuan. Kaya maaari silang i-multiply sa mga numero, idinagdag at ibawas ang termino sa pamamagitan ng termino. Maaari nilang pagsamahin sa mga pangkat ang anumang katabing termino.

Teorama 2.1.(Isang kinakailangang criterion para sa convergence ng isang serye).

Kung ang serye (1.1) ay nagtatagpo, kung gayon ang pangkalahatang termino nito ay magiging zero habang ang n ay tumataas nang walang katiyakan, ibig sabihin,

Ang patunay ng theorem ay sumusunod mula sa katotohanan na , at kung

Ang S ay ang kabuuan ng serye (1.1), kung gayon

Ang kundisyon (2.1) ay isang kinakailangan ngunit hindi sapat na kundisyon para magtagpo ang serye. Ibig sabihin, kung ang karaniwang termino ng serye ay may posibilidad na zero sa , hindi ito nangangahulugan na ang serye ay nagtatagpo. Halimbawa, para sa harmonic series (1.2) gayunpaman, tulad ng ipapakita sa ibaba, ito ay nag-iiba.