Nilalaman ng aralin

Mga Linear Equation na may Dalawang Variable

Ang mag-aaral ay may 200 rubles para kumain ng tanghalian sa paaralan. Ang isang cake ay nagkakahalaga ng 25 rubles, at ang isang tasa ng kape ay nagkakahalaga ng 10 rubles. Gaano karaming mga cake at tasa ng kape ang maaari mong bilhin para sa 200 rubles?

Tukuyin ang bilang ng mga cake sa pamamagitan ng x, at ang bilang ng mga tasa ng kape na dumaan y. Pagkatapos ang halaga ng mga cake ay ilalarawan ng expression na 25 x, at ang halaga ng mga tasa ng kape sa 10 y .

25x- presyo x mga cake
10y- presyo y tasa ng kape

Ang kabuuang halaga ay dapat na 200 rubles. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang equation na may dalawang variable x at y

25x+ 10y= 200

Ilang ugat mayroon ang equation na ito?

Ang lahat ay nakasalalay sa gana ng mag-aaral. Kung bumili siya ng 6 na cake at 5 tasa ng kape, kung gayon ang mga ugat ng equation ay ang mga numero 6 at 5.

Ang pares ng mga halaga 6 at 5 ay sinasabing mga ugat ng Equation 25 x+ 10y= 200 . Isinulat bilang (6; 5) , na ang unang numero ay ang halaga ng variable x, at ang pangalawa - ang halaga ng variable y .

Ang 6 at 5 ay hindi lamang ang mga ugat na bumabaligtad sa Equation 25 x+ 10y= 200 sa pagkakakilanlan. Kung ninanais, para sa parehong 200 rubles, ang isang mag-aaral ay maaaring bumili ng 4 na cake at 10 tasa ng kape:

Sa kasong ito, ang mga ugat ng equation 25 x+ 10y Ang = 200 ay ang pares ng mga halaga (4; 10) .

Bukod dito, ang isang mag-aaral ay maaaring hindi bumili ng kape, ngunit bumili ng mga cake para sa lahat ng 200 rubles. Pagkatapos ang mga ugat ng equation 25 x+ 10y= 200 ang magiging mga halaga 8 at 0

O vice versa, huwag bumili ng mga cake, ngunit bumili ng kape para sa lahat ng 200 rubles. Pagkatapos ang mga ugat ng equation 25 x+ 10y= 200 ang magiging mga halaga 0 at 20

Subukan nating ilista ang lahat ng posibleng ugat ng equation 25 x+ 10y= 200 . Sumang-ayon tayo na ang mga halaga x at y nabibilang sa set ng integer. At hayaan ang mga halagang ito na mas malaki sa o katumbas ng zero:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Kaya ito ay magiging maginhawa para sa mag-aaral mismo. Mas maginhawang bumili ng mga cake nang buo kaysa, halimbawa, ilang buong cake at kalahating cake. Ang kape ay mas maginhawa ring inumin sa buong tasa kaysa, halimbawa, ilang buong tasa at kalahating tasa.

Tandaan na para sa kakaiba x imposibleng makamit ang pagkakapantay-pantay sa ilalim ng alinman y. Pagkatapos ang mga halaga x magkakaroon ng mga sumusunod na numero 0, 2, 4, 6, 8. At alam x madaling matukoy y

Kaya, nakuha namin ang mga sumusunod na pares ng mga halaga (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ang mga pares na ito ay mga solusyon o ugat ng Equation 25 x+ 10y= 200. Ginagawa nilang pagkakakilanlan ang equation na ito.

Uri ng equation palakol + ni = c tinawag linear equation na may dalawang variable. Ang isang solusyon o mga ugat ng equation na ito ay isang pares ng mga halaga ( x; y), na ginagawa itong isang pagkakakilanlan.

Tandaan din na kung ang isang linear equation na may dalawang variable ay nakasulat bilang ax + b y = c , tapos sinasabi nila na nakasulat sa kanonikal(normal) na anyo.

Ang ilang mga linear na equation sa dalawang variable ay maaaring bawasan sa canonical form.

Halimbawa, ang equation 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) maaaring maalala palakol + ni = c. Buksan natin ang mga bracket sa parehong bahagi ng equation na ito, nakukuha natin 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Ang mga terminong naglalaman ng mga hindi alam ay pinagsama-sama sa kaliwang bahagi ng equation, at ang mga terminong walang mga hindi alam ay pinagsama-sama sa kanan. Pagkatapos makuha namin 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Nagdadala kami ng magkatulad na termino sa parehong bahagi, nakakakuha kami ng equation 16 x+ 8y= 32. Ang equation na ito ay binawasan sa anyo palakol + ni = c at kanonikal.

Ang equation 25 ay isinasaalang-alang nang mas maaga x+ 10y Ang = 200 ay isa ring two-variable linear equation sa canonical form. Sa equation na ito, ang mga parameter a , b at c ay katumbas ng mga halaga 25, 10 at 200, ayon sa pagkakabanggit.

Actually yung equation palakol + ni = c ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Paglutas ng Equation 25x+ 10y= 200, hinanap namin ang mga ugat nito sa hanay ng mga integer. Bilang isang resulta, nakakuha kami ng ilang mga pares ng mga halaga na naging isang pagkakakilanlan ang equation na ito. Ngunit sa hanay ng mga rational na numero equation 25 x+ 10y= 200 ay magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Upang makakuha ng mga bagong pares ng mga halaga, kailangan mong kumuha ng arbitrary na halaga para sa x, pagkatapos ay ipahayag y. Halimbawa, kumuha tayo ng variable x halaga 7. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang equation na may isang variable 25×7 + 10y= 200 kung saan ipahayag y

Hayaan x= 15 . Tapos yung equation 25x+ 10y= 200 ay nagiging 25 × 15 + 10y= 200. Mula dito makikita natin iyan y = −17,5

Hayaan x= −3 . Tapos yung equation 25x+ 10y= 200 ay nagiging 25 × (−3) + 10y= 200. Mula dito makikita natin iyan y = −27,5

Sistema ng dalawang linear equation na may dalawang variable

Para sa equation palakol + ni = c maaari kang kumuha ng anumang bilang ng mga arbitrary na halaga para sa x at maghanap ng mga halaga para sa y. Kung hiwalay, ang nasabing equation ay magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Ngunit nangyayari rin na ang mga variable x at y hindi konektado sa isa, ngunit sa pamamagitan ng dalawang equation. Sa kasong ito, bumubuo sila ng tinatawag na sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable. Ang ganitong sistema ng mga equation ay maaaring magkaroon ng isang pares ng mga halaga (o sa madaling salita: "isang solusyon").

Maaaring mangyari din na ang sistema ay walang mga solusyon sa lahat. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay maaaring magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon sa mga bihirang at pambihirang kaso.

Dalawang linear equation ang bumubuo ng isang sistema kapag ang mga halaga x at y ay kasama sa bawat isa sa mga equation na ito.

Bumalik tayo sa pinakaunang equation 25 x+ 10y= 200 . Ang isa sa mga pares ng mga halaga para sa equation na ito ay ang pares (6; 5). Ito ang kaso kapag ang 200 rubles ay maaaring bumili ng 6 na cake at 5 tasa ng kape.

Binubuo namin ang problema upang ang pares (6; 5) ang maging tanging solusyon para sa equation 25 x+ 10y= 200 . Upang gawin ito, bumuo kami ng isa pang equation na magkokonekta sa pareho x mga cake at y tasa ng kape.

Ilagay natin ang teksto ng gawain tulad ng sumusunod:

"Ang isang batang lalaki sa paaralan ay bumili ng ilang mga cake at ilang tasa ng kape sa halagang 200 rubles. Ang isang cake ay nagkakahalaga ng 25 rubles, at ang isang tasa ng kape ay nagkakahalaga ng 10 rubles. Ilang cake at tasa ng kape ang binili ng mag-aaral kung malalaman na ang bilang ng mga cake ay higit ng isa kaysa sa bilang ng mga tasa ng kape?

Mayroon na tayong unang equation. Ito ang Equation 25 x+ 10y= 200 . Ngayon magsulat tayo ng isang equation para sa kundisyon "Ang bilang ng mga cake ay isang yunit na higit sa bilang ng mga tasa ng kape" .

Ang bilang ng mga cake ay x, at ang bilang ng mga tasa ng kape ay y. Maaari mong isulat ang pariralang ito gamit ang equation x − y= 1. Ang equation na ito ay mangangahulugan na ang pagkakaiba sa pagitan ng mga cake at kape ay 1.

x=y+ 1 . Ang equation na ito ay nangangahulugan na ang bilang ng mga cake ay higit pa sa bilang ng mga tasa ng kape. Samakatuwid, upang makakuha ng pagkakapantay-pantay, ang isa ay idinagdag sa bilang ng mga tasa ng kape. Madaling maunawaan ito kung gagamitin namin ang modelo ng timbang na isinasaalang-alang namin kapag pinag-aaralan ang mga pinakasimpleng problema:

Nakakuha ng dalawang equation: 25 x+ 10y= 200 at x=y+ 1. Dahil ang mga halaga x at y, ibig sabihin, ang 6 at 5 ay kasama sa bawat isa sa mga equation na ito, pagkatapos ay magkasama silang bumubuo ng isang sistema. Isulat natin ang sistemang ito. Kung ang mga equation ay bumubuo ng isang sistema, kung gayon ang mga ito ay naka-frame sa pamamagitan ng pag-sign ng system. Ang system sign ay isang curly brace:

Solusyonan natin ang sistemang ito. Ito ay magbibigay-daan sa amin upang makita kung paano namin naabot ang mga halaga 6 at 5. Mayroong maraming mga pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang sistema. Isaalang-alang ang pinakasikat sa kanila.

Pamamaraan ng pagpapalit

Ang pangalan ng pamamaraang ito ay nagsasalita para sa sarili nito. Ang kakanyahan nito ay upang palitan ang isang equation sa isa pa, na dati nang nagpahayag ng isa sa mga variable.

Sa ating sistema, walang kailangang ipahayag. Sa pangalawang equation x = y+ 1 variable x naipahayag na. Ang variable na ito ay katumbas ng expression y+ 1 . Pagkatapos ay maaari mong palitan ang expression na ito sa unang equation sa halip na ang variable x

Pagkatapos palitan ang expression y+ 1 sa unang equation sa halip x, nakukuha namin ang equation 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ito ay isang linear equation na may isang variable. Ang equation na ito ay medyo madaling lutasin:

Natagpuan namin ang halaga ng variable y. Ngayon ay pinapalitan namin ang halagang ito sa isa sa mga equation at hanapin ang halaga x. Para dito, maginhawang gamitin ang pangalawang equation x = y+ 1 . Ilagay natin ang halaga dito y

Kaya't ang pares (6; 5) ay isang solusyon sa sistema ng mga equation, gaya ng aming nilayon. Sinusuri namin at tinitiyak na ang pares (6; 5) ay nakakatugon sa system:

Halimbawa 2

Palitan ang unang equation x= 2 + y sa pangalawang equation 3 x - 2y= 9 . Sa unang equation, ang variable x ay katumbas ng expression na 2 + y. Pinapalitan namin ang expression na ito sa pangalawang equation sa halip na x

Ngayon hanapin natin ang halaga x. Upang gawin ito, palitan ang halaga y sa unang equation x= 2 + y

Kaya ang solusyon ng system ay ang halaga ng pares (5; 3)

Halimbawa 3. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit:

Dito, hindi tulad ng mga nakaraang halimbawa, ang isa sa mga variable ay hindi tahasang ipinahayag.

Upang palitan ang isang equation sa isa pa, kailangan mo munang .

Ito ay kanais-nais na ipahayag ang variable na may isang koepisyent ng isa. Ang coefficient unit ay may variable x, na nakapaloob sa unang equation x+ 2y= 11 . Ipahayag natin ang variable na ito.

Pagkatapos ng variable na expression x, magiging ganito ang hitsura ng aming system:

Ngayon pinapalitan namin ang unang equation sa pangalawa at hanapin ang halaga y

Kapalit y x

Kaya ang solusyon ng system ay isang pares ng mga halaga (3; 4)

Siyempre, maaari mo ring ipahayag ang isang variable y. Ang mga ugat ay hindi magbabago. Pero kung ipahayag mo y, ang resulta ay hindi isang napakasimpleng equation, ang solusyon kung saan ay aabutin ng mas maraming oras. Magiging ganito ang hitsura:

Nakikita natin na sa halimbawang ito upang ipahayag x mas maginhawa kaysa sa pagpapahayag y .

Halimbawa 4. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit:

Ipahayag sa unang equation x. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

y

Kapalit y sa unang equation at hanapin x. Maaari mong gamitin ang orihinal na equation 7 x+ 9y= 8 , o gamitin ang equation kung saan ipinahayag ang variable x. Gagamitin namin ang equation na ito, dahil ito ay maginhawa:

Kaya ang solusyon ng system ay ang pares ng mga halaga (5; −3)

Paraan ng pagdaragdag

Ang paraan ng pagdaragdag ay ang pagdaragdag ng termino sa pamamagitan ng termino ng mga equation na kasama sa system. Ang pagdaragdag na ito ay nagreresulta sa isang bagong isang-variable na equation. At medyo madaling lutasin ang equation na ito.

Lutasin natin ang sumusunod na sistema ng mga equation:

Idagdag ang kaliwang bahagi ng unang equation sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation. At ang kanang bahagi ng unang equation na may kanang bahagi ng pangalawang equation. Nakukuha namin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay:

Narito ang mga katulad na termino:

Bilang resulta, nakuha namin ang pinakasimpleng equation 3 x= 27 na ang ugat ay 9. Pag-alam sa halaga x mahahanap mo ang halaga y. Palitan ang halaga x sa pangalawang equation x − y= 3 . Nakukuha namin ang 9− y= 3 . Mula rito y= 6 .

Kaya ang solusyon ng system ay isang pares ng mga halaga (9; 6)

Halimbawa 2

Idagdag ang kaliwang bahagi ng unang equation sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation. At ang kanang bahagi ng unang equation na may kanang bahagi ng pangalawang equation. Sa resultang pagkakapantay-pantay, ipinapakita namin ang mga katulad na termino:

Bilang resulta, nakuha namin ang pinakasimpleng equation 5 x= 20, ang ugat nito ay 4. Pag-alam sa halaga x mahahanap mo ang halaga y. Palitan ang halaga x sa unang equation 2 x+y= 11 . Kunin natin ang 8 + y= 11 . Mula rito y= 3 .

Kaya ang solusyon ng system ay ang pares ng mga halaga (4;3)

Ang proseso ng pagdaragdag ay hindi inilarawan nang detalyado. Ito ay dapat gawin sa isip. Kapag nagdadagdag, ang parehong mga equation ay dapat na bawasan sa canonical form. Ibig sabihin, sa isip ac+by=c .

Mula sa isinasaalang-alang na mga halimbawa, makikita na ang pangunahing layunin ng pagdaragdag ng mga equation ay upang alisin ang isa sa mga variable. Ngunit hindi laging posible na agad na malutas ang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag. Kadalasan, ang sistema ay paunang dinadala sa isang anyo kung saan posibleng idagdag ang mga equation na kasama sa sistemang ito.

Halimbawa, ang sistema maaaring malutas nang direkta sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag. Kapag idinaragdag ang parehong mga equation, ang mga termino y at −y mawala dahil ang kanilang kabuuan ay zero. Bilang resulta, ang pinakasimpleng equation ay nabuo 11 x= 22 , na ang ugat ay 2. Pagkatapos ay magiging posible upang matukoy y katumbas ng 5.

At ang sistema ng mga equation ang paraan ng pagdaragdag ay hindi malulutas kaagad, dahil hindi ito hahantong sa pagkawala ng isa sa mga variable. Ang pagdaragdag ay magreresulta sa Equation 8 x+ y= 28 , na may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Kung ang parehong bahagi ng equation ay pinarami o hinati sa parehong numero na hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay isang equation na katumbas ng ibinigay na isa ay makukuha. Ang panuntunang ito ay wasto din para sa isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable. Ang isa sa mga equation (o parehong equation) ay maaaring i-multiply sa ilang numero. Ang resulta ay isang katumbas na sistema, ang mga ugat nito ay magkakasabay sa nauna.

Bumalik tayo sa pinakaunang sistema, na naglalarawan kung gaano karaming mga cake at tasa ng kape ang binili ng estudyante. Ang solusyon ng sistemang ito ay isang pares ng mga halaga (6; 5).

I-multiply namin ang parehong mga equation na kasama sa system na ito sa ilang mga numero. Sabihin nating i-multiply natin ang unang equation sa 2 at ang pangalawa sa 3

Ang resulta ay isang sistema
Ang solusyon sa sistemang ito ay ang pares pa rin ng mga halaga (6; 5)

Nangangahulugan ito na ang mga equation na kasama sa system ay maaaring bawasan sa isang form na angkop para sa paglalapat ng paraan ng karagdagan.

Bumalik sa sistema , na hindi namin malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.

I-multiply ang unang equation sa 6 at ang pangalawa sa −2

Pagkatapos ay makuha namin ang sumusunod na sistema:

Idinaragdag namin ang mga equation na kasama sa sistemang ito. Pagdaragdag ng mga bahagi 12 x at -12 x ay magreresulta sa 0, karagdagan 18 y at 4 y magbibigay ng 22 y, at ang pagdaragdag ng 108 at −20 ay nagbibigay ng 88. Pagkatapos ay makukuha mo ang equation 22 y= 88 , samakatuwid y = 4 .

Kung sa una ay mahirap magdagdag ng mga equation sa iyong isip, pagkatapos ay maaari mong isulat kung paano idinagdag ang kaliwang bahagi ng unang equation sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation, at ang kanang bahagi ng unang equation sa kanang bahagi ng ang pangalawang equation:

Alam na ang halaga ng variable y ay 4, maaari mong mahanap ang halaga x. Kapalit y sa isa sa mga equation, halimbawa sa unang equation 2 x+ 3y= 18 . Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang equation na may isang variable 2 x+ 12 = 18 . Inilipat namin ang 12 sa kanang bahagi, binabago ang sign, nakakuha kami ng 2 x= 6 , samakatuwid x = 3 .

Halimbawa 4. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

I-multiply ang pangalawang equation sa −1. Pagkatapos ang system ay kukuha ng sumusunod na form:

Idagdag natin ang parehong equation. Pagdaragdag ng mga sangkap x at −x ay magreresulta sa 0, karagdagan 5 y at 3 y magbibigay ng 8 y, at ang pagdaragdag ng 7 at 1 ay nagbibigay ng 8. Ang resulta ay equation 8 y= 8 , na ang ugat ay 1. Alam na ang halaga y ay 1, mahahanap mo ang halaga x .

Kapalit y sa unang equation, nakukuha namin x+ 5 = 7 , samakatuwid x= 2

Halimbawa 5. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

Ito ay kanais-nais na ang mga terminong naglalaman ng parehong mga variable ay matatagpuan isa sa ilalim ng isa. Samakatuwid, sa pangalawang equation, ang mga termino 5 y at −2 x magpalit ng lugar. Bilang resulta, ang sistema ay kukuha ng anyo:

I-multiply ang pangalawang equation sa 3. Pagkatapos ay kukuha ang system ng form:

Ngayon idagdag natin ang parehong mga equation. Bilang resulta ng karagdagan, nakukuha namin ang equation 8 y= 16 , na ang ugat ay 2.

Kapalit y sa unang equation, makakakuha tayo ng 6 x− 14 = 40 . Inilipat namin ang term −14 sa kanang bahagi, binabago ang sign, nakakakuha kami ng 6 x= 54 . Mula rito x= 9.

Halimbawa 6. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

Alisin natin ang mga fraction. I-multiply ang unang equation sa 36 at ang pangalawa sa 12

Sa resultang sistema ang unang equation ay maaaring i-multiply sa −5 at ang pangalawa sa 8

Idagdag natin ang mga equation sa resultang sistema. Pagkatapos ay makukuha natin ang pinakasimpleng equation −13 y= −156 . Mula rito y= 12 . Kapalit y sa unang equation at hanapin x

Halimbawa 7. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

Dinadala namin ang parehong mga equation sa normal na anyo. Narito ito ay maginhawa upang ilapat ang panuntunan ng proporsyon sa parehong mga equation. Kung sa unang equation ang kanang bahagi ay kinakatawan bilang , at ang kanang bahagi ng pangalawang equation bilang , kung gayon ang sistema ay kukuha ng anyo:

May proportion tayo. Pina-multiply natin ang mga extreme at middle terms nito. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

I-multiply namin ang unang equation sa −3, at buksan ang mga bracket sa pangalawa:

Ngayon idagdag natin ang parehong mga equation. Bilang resulta ng pagdaragdag ng mga equation na ito, nakakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay, sa parehong bahagi kung saan magkakaroon ng zero:

Lumalabas na ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Ngunit hindi natin maaaring kunin ang mga di-makatwirang halaga mula sa langit para sa x at y. Maaari naming tukuyin ang isa sa mga halaga, at ang isa ay matutukoy depende sa halaga na aming tinukoy. Halimbawa, hayaan x= 2 . I-substitute ang value na ito sa system:

Bilang resulta ng paglutas ng isa sa mga equation, ang halaga para sa y, na makakatugon sa parehong mga equation:

Ang magreresultang pares ng mga halaga (2; −2) ay magbibigay-kasiyahan sa system:

Maghanap tayo ng isa pang pares ng mga halaga. Hayaan x= 4. I-substitute ang value na ito sa system:

Maaari itong matukoy sa pamamagitan ng mata na y katumbas ng zero. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang pares ng mga halaga (4; 0), na nakakatugon sa aming system:

Halimbawa 8. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

I-multiply ang unang equation sa 6 at ang pangalawa sa 12

Isulat muli natin ang natitira:

I-multiply ang unang equation sa −1. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

Ngayon idagdag natin ang parehong mga equation. Bilang resulta ng karagdagan, nabuo ang equation 6 b= 48 , na ang ugat ay 8. Palitan b sa unang equation at hanapin a

Sistema ng mga linear equation na may tatlong variable

Ang isang linear equation na may tatlong variable ay may kasamang tatlong variable na may coefficients, pati na rin ang isang intercept. Sa canonical form, maaari itong isulat bilang mga sumusunod:

ax + by + cz = d

Ang equation na ito ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Sa pamamagitan ng pagbibigay ng dalawang variable na magkaibang mga halaga, isang pangatlong halaga ay matatagpuan. Ang solusyon sa kasong ito ay ang triple ng mga halaga ( x; y; z) na ginagawang pagkakakilanlan ang equation.

Kung variable x, y, z ay magkakaugnay ng tatlong equation, pagkatapos ay nabuo ang isang sistema ng tatlong linear na equation na may tatlong variable. Upang malutas ang naturang sistema, maaari mong ilapat ang parehong mga pamamaraan na naaangkop sa mga linear na equation na may dalawang variable: ang paraan ng pagpapalit at ang paraan ng pagdaragdag.

Halimbawa 1. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit:

Nagpapahayag kami sa ikatlong equation x. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

Ngayon gawin natin ang pagpapalit. Variable x ay katumbas ng expression 3 − 2y − 2z . Ipalit ang expression na ito sa una at pangalawang equation:

Buksan natin ang mga bracket sa parehong mga equation at magbigay ng mga katulad na termino:

Nakarating kami sa isang sistema ng mga linear equation na may dalawang variable. Sa kasong ito, maginhawang ilapat ang paraan ng pagdaragdag. Bilang resulta, ang variable y mawawala at mahahanap natin ang halaga ng variable z

Ngayon hanapin natin ang halaga y. Para dito, maginhawang gamitin ang equation − y+ z= 4. Palitan ang halaga z

Ngayon hanapin natin ang halaga x. Para dito, maginhawang gamitin ang equation x= 3 − 2y − 2z . Palitan ang mga halaga dito y at z

Kaya, ang triple ng mga halaga (3; −2; 2) ay ang solusyon sa aming system. Sa pamamagitan ng pagsusuri, tinitiyak namin na ang mga halagang ito ay nakakatugon sa system:

Halimbawa 2. Lutasin ang sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag

Idagdag natin ang unang equation sa pangalawa na pinarami ng −2.

Kung ang pangalawang equation ay pinarami ng −2, ito ay kukuha ng anyo −6x+ 6y- 4z = −4 . Ngayon idagdag ito sa unang equation:

Nakikita natin na bilang resulta ng elementarya na pagbabago, ang halaga ng variable ay natukoy x. Ito ay katumbas ng isa.

Bumalik tayo sa pangunahing sistema. Idagdag natin ang pangalawang equation sa pangatlo na pinarami ng −1. Kung ang ikatlong equation ay pinarami ng −1, ito ay kukuha ng anyo −4x + 5y − 2z = −1 . Ngayon idagdag ito sa pangalawang equation:

Nakuha ang equation x - 2y= −1 . Palitan ang halaga dito x na nakita namin kanina. Pagkatapos ay matutukoy natin ang halaga y

Alam na natin ngayon ang mga halaga x at y. Ito ay nagpapahintulot sa iyo na matukoy ang halaga z. Ginagamit namin ang isa sa mga equation na kasama sa system:

Kaya, ang triple ng mga halaga (1; 1; 1) ay ang solusyon sa aming system. Sa pamamagitan ng pagsusuri, tinitiyak namin na ang mga halagang ito ay nakakatugon sa system:

Mga gawain para sa pag-compile ng mga sistema ng linear equation

Ang gawain ng pag-compile ng mga sistema ng mga equation ay nalutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng ilang mga variable. Susunod, ang mga equation ay pinagsama-sama batay sa mga kondisyon ng problema. Mula sa pinagsama-samang mga equation, bumubuo sila ng isang sistema at nilulutas ito. Ang pagkakaroon ng paglutas ng sistema, kinakailangan upang suriin kung ang solusyon nito ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema.

Gawain 1. Ang isang Volga na kotse ay umalis sa lungsod para sa kolektibong bukid. Bumalik siya sa kahabaan ng isa pang kalsada, na mas maikli ng 5 km kaysa sa una. Sa kabuuan, ang kotse ay nagmaneho ng 35 km sa magkabilang direksyon. Ilang kilometro ang haba ng bawat kalsada?

Solusyon

Hayaan x- haba ng unang kalsada, y- ang haba ng pangalawa. Kung ang kotse ay nagmaneho ng 35 km sa parehong paraan, kung gayon ang unang equation ay maaaring isulat bilang x+ y= 35. Inilalarawan ng equation na ito ang kabuuan ng mga haba ng parehong kalsada.

Sinasabing pabalik ang kotse sa kahabaan ng kalsada, na mas maikli kaysa sa una ng 5 km. Pagkatapos ang pangalawang equation ay maaaring isulat bilang x− y= 5. Ang equation na ito ay nagpapakita na ang pagkakaiba sa pagitan ng mga haba ng mga kalsada ay 5 km.

O ang pangalawang equation ay maaaring isulat bilang x= y+ 5 . Gagamitin natin ang equation na ito.

Dahil ang mga variable x at y sa parehong mga equation ay tumutukoy sa parehong numero, pagkatapos ay maaari tayong bumuo ng isang sistema mula sa kanila:

Lutasin natin ang sistemang ito gamit ang isa sa mga naunang pinag-aralan na pamamaraan. Sa kasong ito, maginhawang gamitin ang paraan ng pagpapalit, dahil sa pangalawang equation ang variable x naipahayag na.

Palitan ang pangalawang equation sa una at hanapin y

Palitan ang nahanap na halaga y sa pangalawang equation x= y+ 5 at hanapin x

Ang haba ng unang kalsada ay tinukoy ng variable x. Ngayon nahanap na natin ang kahulugan nito. Variable x ay 20. Kaya ang haba ng unang kalsada ay 20 km.

At ang haba ng ikalawang kalsada ay ipinahiwatig ng y. Ang halaga ng variable na ito ay 15. Kaya ang haba ng pangalawang kalsada ay 15 km.

Suriin natin. Una, tiyakin natin na ang system ay nalutas nang tama:

Ngayon suriin natin kung ang solusyon (20; 15) ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema.

Sinabi na sa kabuuan ang sasakyan ay nagmaneho ng 35 km sa magkabilang direksyon. Idinaragdag namin ang mga haba ng parehong kalsada at tinitiyak na ang solusyon (20; 15) ay nakakatugon sa kundisyong ito: 20 km + 15 km = 35 km

Susunod na kondisyon: bumalik ang kotse sa kahabaan ng isa pang kalsada, na 5 km na mas maikli kaysa sa una . Nakikita namin na ang solusyon (20; 15) ay nakakatugon din sa kondisyong ito, dahil ang 15 km ay mas maikli sa 20 km ng 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Kapag nag-compile ng isang system, mahalaga na ang mga variable ay tumutukoy sa parehong mga numero sa lahat ng mga equation na kasama sa system na ito.

Kaya ang aming sistema ay naglalaman ng dalawang equation. Ang mga equation na ito naman ay naglalaman ng mga variable x at y, na tumutukoy sa parehong mga numero sa parehong mga equation, katulad ng mga haba ng mga kalsada na katumbas ng 20 km at 15 km.

Gawain 2. Ang mga Oak at pine sleeper ay inilagay sa platform, sa kabuuan ay 300 sleeper. Ito ay kilala na ang lahat ng oak sleepers ay tumimbang ng 1 toneladang mas mababa kaysa sa lahat ng pine sleepers. Tukuyin kung gaano karaming mga oak at pine sleeper ang hiwalay, kung ang bawat oak sleeper ay tumitimbang ng 46 kg, at bawat pine sleeper ay 28 kg.

Solusyon

Hayaan x oak at y Ang mga pine sleeper ay inilagay sa platform. Kung mayroong 300 sleepers sa kabuuan, ang unang equation ay maaaring isulat bilang x+y = 300 .

Lahat ng oak sleepers ay tumitimbang ng 46 x kg, at ang pine ay may timbang na 28 y kg. Dahil ang mga oak sleeper ay tumitimbang ng 1 toneladang mas mababa kaysa sa pine sleeper, ang pangalawang equation ay maaaring isulat bilang 28y- 46x= 1000 . Ang equation na ito ay nagpapakita na ang mass difference sa pagitan ng oak at pine sleepers ay 1000 kg.

Ang mga tonelada ay na-convert sa kilo dahil ang masa ng mga oak at pine sleeper ay sinusukat sa kilo.

Bilang resulta, nakakakuha tayo ng dalawang equation na bumubuo sa system

Solusyonan natin ang sistemang ito. Ipahayag sa unang equation x. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

Palitan ang unang equation sa pangalawa at hanapin y

Kapalit y sa equation x= 300 − y at alamin kung ano x

Nangangahulugan ito na 100 oak at 200 pine sleeper ang inikarga sa platform.

Suriin natin kung ang solusyon (100; 200) ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema. Una, tiyakin natin na ang system ay nalutas nang tama:

Nasa 300 umano ang natutulog sa kabuuan. Idinaragdag namin ang bilang ng mga oak at pine sleeper at tinitiyak na ang solusyon (100; 200) ay nakakatugon sa kundisyong ito: 100 + 200 = 300.

Susunod na kondisyon: lahat ng oak sleepers ay tumitimbang ng 1 toneladang mas mababa kaysa sa lahat ng pine . Nakikita namin na ang solusyon (100; 200) ay nakakatugon din sa kondisyong ito, dahil ang 46 × 100 kg ng mga oak sleeper ay mas magaan kaysa sa 28 × 200 kg ng mga pine sleeper: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Gawain 3. Kumuha kami ng tatlong piraso ng haluang metal na tanso at nikel sa mga ratio na 2: 1, 3: 1 at 5: 1 ayon sa timbang. Sa mga ito, ang isang piraso na tumitimbang ng 12 kg ay pinagsama sa isang ratio ng tanso at nikel na nilalaman na 4: 1. Hanapin ang masa ng bawat orihinal na piraso kung ang masa ng una sa kanila ay dalawang beses sa masa ng pangalawa.

Isaalang-alang muna natin ang kaso kapag ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga variable, i.e. m = n. Kung gayon ang matrix ng system ay parisukat, at ang determinant nito ay tinatawag na determinant ng system.

Inverse matrix na pamamaraan

Isaalang-alang sa mga pangkalahatang tuntunin ang sistema ng mga equation na AX = B na may isang non-singular square matrix A. Sa kasong ito, mayroong isang inverse matrix A -1 . I-multiply natin ang magkabilang panig sa A -1 sa kaliwa. Nakukuha namin ang A -1 AX \u003d A -1 B. Mula dito EX \u003d A -1 B at

Ang huling pagkakapantay-pantay ay isang matrix formula para sa paghahanap ng mga solusyon sa naturang mga sistema ng mga equation. Ang paggamit ng formula na ito ay tinatawag na inverse matrix method

Halimbawa, gamitin natin ang paraang ito upang malutas ang sumusunod na sistema:

;

Sa pagtatapos ng solusyon ng system, ang isang pagsusuri ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa mga equation ng system. Sa kasong ito, dapat silang maging tunay na pagkakapantay-pantay.

Para sa halimbawang ito, suriin natin:

Paraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear equation na may square matrix gamit ang mga formula ng Cramer

Hayaan n=2:

Kung ang parehong bahagi ng unang equation ay pinarami ng isang 22, at ang parehong bahagi ng pangalawa sa pamamagitan ng (-a 12), at pagkatapos ay idinagdag ang mga resultang equation, pagkatapos ay ibubukod natin ang variable na x 2 mula sa system. Katulad nito, maaari mong alisin ang variable na x 1 (sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng unang equation sa (-a 21) at magkabilang panig ng pangalawa sa isang 11). Bilang resulta, nakukuha namin ang system:

Ang expression sa mga bracket ay ang determinant ng system

Magpakilala

Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

Ito ay sumusunod mula sa resultang sistema na kung ang determinant ng sistema ay 0, kung gayon ang sistema ay magiging pare-pareho at tiyak. Ang natatanging solusyon nito ay maaaring kalkulahin ng mga formula:

Kung = 0, a 1 0 at/o  2 0, ang mga equation ng system ay kukuha ng anyong 0*х 1 = 2 at/o 0*х 1 = 2. Sa kasong ito, ang sistema ay hindi naaayon.

Sa kaso kapag = 1 = 2 = 0, ang system ay magiging pare-pareho at hindi tiyak (ito ay magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon), dahil ito ay kukuha ng anyo:

Teorama ni Cramer(inaalis namin ang patunay). Kung ang determinant ng matrix ng system n ng mga equation  ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon, na tinutukoy ng mga formula:

,

kung saan ang  j ay ang determinant ng matrix na nakuha mula sa matrix A sa pamamagitan ng pagpapalit sa j-th column ng column ng mga free terms.

Ang mga formula sa itaas ay tinatawag Mga formula ng Cramer.

Bilang halimbawa, gamitin natin ang pamamaraang ito upang malutas ang isang sistema na dati nang nalutas gamit ang inverse matrix na pamamaraan:

Mga disadvantages ng mga itinuturing na pamamaraan:

1) makabuluhang kumplikado (pagkalkula ng mga determinant at paghahanap ng inverse matrix);

2) limitadong saklaw (para sa mga system na may square matrix).

Ang mga tunay na sitwasyong pang-ekonomiya ay madalas na ginagaya ng mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation at variable ay medyo makabuluhan, at mayroong mas maraming equation kaysa sa mga variable. Samakatuwid, ang sumusunod na paraan ay mas karaniwan sa pagsasanay.

Gauss method (paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable)

Ang pamamaraang ito ay ginagamit upang malutas ang isang sistema ng m linear equation na may n variable sa pangkalahatang paraan. Ang kakanyahan nito ay namamalagi sa paglalapat ng isang sistema ng mga katumbas na pagbabago sa pinalawak na matrix, sa tulong ng kung saan ang sistema ng mga equation ay binago sa anyo kapag ang mga solusyon nito ay naging madaling mahanap (kung mayroon man).

Ito ay isang view kung saan ang itaas na kaliwang bahagi ng system matrix ay magiging isang stepped matrix. Ito ay nakakamit gamit ang parehong mga diskarte na ginamit upang makakuha ng isang stepped matrix upang matukoy ang ranggo. Sa kasong ito, ang mga elementarya na pagbabago ay inilalapat sa pinalawak na matrix, na magpapahintulot sa isa na makakuha ng isang katumbas na sistema ng mga equation. Pagkatapos nito, ang augmented matrix ay kukuha ng form:

Ang pagkuha ng naturang matrix ay tinatawag sa isang tuwid na linya Pamamaraan ng Gauss.

Ang paghahanap ng mga halaga ng mga variable mula sa kaukulang sistema ng mga equation ay tinatawag paurong Pamamaraan ng Gauss. Isaalang-alang natin ito.

Tandaan na ang huling (m – r) equation ay kukuha ng anyo:

Kung hindi bababa sa isa sa mga numero
ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang katumbas na pagkakapantay-pantay ay magiging mali, at ang buong sistema ay magiging hindi pare-pareho.

Samakatuwid, para sa anumang magkasanib na sistema
. Sa kasong ito, ang huling (m – r) na mga equation para sa anumang mga halaga ng mga variable ay magiging mga pagkakakilanlan 0 = 0, at maaari silang balewalain kapag nilulutas ang system (itapon lamang ang kaukulang mga hilera).

Pagkatapos nito, magiging ganito ang system:

Isaalang-alang muna ang kaso kapag r=n. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

Mula sa huling equation ng system ang isa ay maaaring natatanging mahanap x r .

Ang pag-alam sa x r , ang isa ay maaaring natatanging ipahayag ang x r -1 mula dito. Pagkatapos mula sa nakaraang equation, alam ang x r at x r -1 , maaari naming ipahayag ang x r -2 at iba pa. hanggang x 1 .

Kaya, sa kasong ito, ang sistema ay magiging collaborative at tiyak.

Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag r basic(basic), at lahat ng iba pa - hindi basic(menor de edad, libre). Ang huling equation ng system ay magiging ganito:

Mula sa equation na ito, maaari nating ipahayag ang pangunahing variable x r sa mga tuntunin ng mga di-basic:

Ang penultimate equation ay magiging ganito:

Ang pagpapalit sa resultang expression sa halip na x r, magiging posible na ipahayag ang pangunahing variable x r -1 sa pamamagitan ng mga di-basic. atbp. sa variable x 1 . Upang makakuha ng solusyon sa system, maaari mong itumbas ang mga di-basic na variable sa mga arbitrary na halaga at pagkatapos ay kalkulahin ang mga pangunahing variable gamit ang mga nakuhang formula. Kaya, sa kasong ito, ang sistema ay magiging pare-pareho at walang katiyakan (magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon).

Halimbawa, lutasin natin ang sistema ng mga equation:

Ang hanay ng mga pangunahing variable ay tatawagin batayan mga sistema. Ang hanay ng mga hanay ng mga coefficient para sa kanila ay tatawagin din batayan(mga pangunahing hanay), o pangunahing menor de edad matrice ng system. Ang solusyon na iyon ng system, kung saan ang lahat ng di-basic na variable ay katumbas ng zero, ay tatawagin pangunahing solusyon.

Sa nakaraang halimbawa, ang pangunahing solusyon ay (4/5; -17/5; 0; 0) (mga variable x 3 at x 4 (c 1 at c 2) ay nakatakda sa zero, at ang mga pangunahing variable x 1 at x 2 ay kinakalkula sa pamamagitan ng mga ito) . Upang magbigay ng halimbawa ng isang di-pangunahing solusyon, kinakailangang itumbas ang x 3 at x 4 (c 1 at c 2) sa mga di-makatwirang numero na hindi katumbas ng zero sa parehong oras, at kalkulahin ang natitirang mga variable sa pamamagitan ng sila. Halimbawa, sa c 1 = 1 at c 2 = 0, nakakakuha tayo ng hindi pangunahing solusyon - (4/5; -12/5; 1; 0). Sa pamamagitan ng pagpapalit, madaling i-verify na ang parehong mga solusyon ay tama.

Malinaw, sa isang hindi tiyak na sistema ng mga di-pangunahing solusyon, maaaring mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon. Gaano karaming mga pangunahing solusyon ang maaaring mayroon? Ang bawat row ng transformed matrix ay dapat na tumutugma sa isang pangunahing variable. Sa kabuuan, mayroong n variable sa problema, at r pangunahing row. Samakatuwid, ang bilang ng mga posibleng hanay ng mga pangunahing variable ay hindi maaaring lumampas sa bilang ng mga kumbinasyon mula n hanggang 2 . Maaaring mas mababa ito sa , dahil hindi laging posible na ibahin ang anyo ng system na ang partikular na hanay ng mga variable na ito ang batayan.

Anong uri ito? Ito ay isang anyo kapag ang matrix na nabuo mula sa mga column ng mga coefficient para sa mga variable na ito ay magiging stepwise at, sa kasong ito, ay bubuo ng mga rrow. Yung. ang ranggo ng matrix ng mga coefficient para sa mga variable na ito ay dapat na katumbas ng r. Hindi ito maaaring mas malaki, dahil ang bilang ng mga column ay katumbas ng r. Kung ito ay lumabas na mas mababa sa r, pagkatapos ito ay nagpapahiwatig ng isang linear na pag-asa ng mga haligi na may mga variable. Ang mga naturang column ay hindi maaaring maging batayan.

Isaalang-alang natin kung ano ang iba pang mga pangunahing solusyon na matatagpuan sa halimbawa sa itaas. Upang gawin ito, isaalang-alang ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng apat na variable na may dalawang pangunahing mga. Ang ganitong mga kumbinasyon ay gagawin
, at isa sa mga ito (x 1 at x 2) ay naikonsidera na.

Kunin natin ang mga variable x 1 at x 3 . Hanapin ang ranggo ng matrix ng mga coefficient para sa kanila:

Dahil ito ay katumbas ng dalawa, maaari silang maging basic. Tinutumbas namin ang mga di-basic na variable x 2 at x 4 sa zero: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Pagkatapos ay mula sa formula x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 sumusunod na x 1 \u003d 4/5, at mula sa formula x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 sumusunod na x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Kaya, nakukuha natin ang pangunahing solusyon (4/5; 0; 17/5; 0).

Katulad nito, maaari kang makakuha ng mga pangunahing solusyon para sa mga pangunahing variable x 1 at x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 at x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 at x 4 - (0; 0; 9; 4).

Ang mga variable na x 2 at x 3 sa halimbawang ito ay hindi maaaring kunin bilang mga pangunahing, dahil ang ranggo ng kaukulang matrix ay katumbas ng isa, i.e. mas mababa sa dalawa:

.

Ang isa pang diskarte ay posible upang matukoy kung posible o hindi na bumuo ng isang batayan mula sa ilang mga variable. Kapag nilulutas ang halimbawa, bilang isang resulta ng pagbabago ng system matrix sa isang stepped form, kinuha nito ang form:

Sa pamamagitan ng pagpili ng mga pares ng mga variable, posible na kalkulahin ang kaukulang mga menor de edad ng matrix na ito. Madaling makita na para sa lahat ng mga pares, maliban sa x 2 at x 3 , hindi sila katumbas ng zero, i.e. ang mga column ay linearly independent. At para lamang sa mga column na may mga variable na x 2 at x 3
, na nagpapahiwatig ng kanilang linear dependence.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Kaya, ang equation na naaayon sa ikatlong hilera ng huling matrix ay hindi pare-pareho - ito ay humantong sa maling pagkakapantay-pantay 0 = -1, samakatuwid, ang sistemang ito ay hindi naaayon.

Paraan ng Jordan-Gauss 3 ay isang pag-unlad ng pamamaraang Gaussian. Ang kakanyahan nito ay ang pinalawig na matrix ng system ay nababago sa anyo kapag ang mga koepisyent ng mga variable ay bumubuo ng isang identity matrix hanggang sa isang permutation ng mga hilera o haligi 4 (nasaan ang ranggo ng system matrix).

Lutasin natin ang system gamit ang pamamaraang ito:

Isaalang-alang ang augmented matrix ng system:

Sa matrix na ito, pipiliin namin ang elemento ng pagkakakilanlan. Halimbawa, ang koepisyent sa x 2 sa ikatlong hadlang ay 5. Siguraduhin natin na sa natitirang mga row sa column na ito ay may mga zero, i.e. gawing single ang column. Sa proseso ng mga pagbabago, tatawagin natin ito hanaypermissive(nangunguna, susi). Ang ikatlong hadlang (ang pangatlo string) ay tatawagin din permissive. Ang sarili ko elemento, na nakatayo sa intersection ng pinapayagang hilera at haligi (narito ito ay isang yunit), ay tinatawag ding permissive.

Ang unang linya ay naglalaman na ngayon ng koepisyent (-1). Upang makakuha ng zero sa lugar nito, i-multiply ang ikatlong hilera sa (-1) at ibawas ang resulta mula sa unang hilera (ibig sabihin, idagdag lamang ang unang hilera sa pangatlo).

Ang pangalawang linya ay naglalaman ng isang koepisyent ng 2. Upang makakuha ng zero sa lugar nito, i-multiply ang ikatlong linya ng 2 at ibawas ang resulta mula sa unang linya.

Ang resulta ng mga pagbabago ay magiging ganito:

Malinaw na ipinapakita ng matrix na ito na ang isa sa unang dalawang hadlang ay maaaring tanggalin (ang kaukulang mga hilera ay proporsyonal, ibig sabihin, ang mga equation na ito ay sumusunod sa isa't isa). I-cross out natin ang pangalawa:

Kaya, mayroong dalawang equation sa bagong sistema. Isang column (pangalawa) ang natanggap, at ang unit dito ay nasa pangalawang row. Tandaan natin na ang pangunahing variable x 2 ay tumutugma sa pangalawang equation ng bagong sistema.

Pumili tayo ng pangunahing variable para sa unang hilera. Maaari itong maging anumang variable maliban sa x 3 (dahil sa x 3 ang unang constraint ay may zero coefficient, ibig sabihin, ang set ng mga variable x 2 at x 3 ay hindi maaaring maging basic dito). Maaari mong kunin ang una o ikaapat na variable.

Piliin natin ang x 1. Pagkatapos ang elemento ng paglutas ay magiging 5, at ang magkabilang panig ng equation ng paglutas ay kailangang hatiin ng lima upang makakuha ng isa sa unang hanay ng unang hilera.

Siguraduhin natin na ang natitirang mga row (i.e., ang pangalawang row) ay may mga zero sa unang column. Dahil ngayon ang pangalawang linya ay hindi zero, ngunit 3, kinakailangan na ibawas mula sa pangalawang linya ang mga elemento ng na-convert na unang linya, na pinarami ng 3:

Ang isang pangunahing solusyon ay maaaring direktang makuha mula sa nagreresultang matrix sa pamamagitan ng pag-equate ng mga di-basic na variable sa zero, at ang mga pangunahing variable sa mga libreng termino sa kaukulang mga equation: (0.8; -3.4; 0; 0). Maaari ka ring makakuha ng mga pangkalahatang formula na nagpapahayag ng mga pangunahing variable sa pamamagitan ng mga hindi pangunahing: x 1 \u003d 0.8 - 1.2 x 4; x 2 \u003d -3.4 + x 3 + 1.6x 4. Inilalarawan ng mga formula na ito ang buong walang katapusang hanay ng mga solusyon sa system (sa pamamagitan ng pagtutumbas ng x 3 at x 4 sa mga arbitrary na numero, maaari mong kalkulahin ang x 1 at x 2).

Tandaan na ang kakanyahan ng mga pagbabago sa bawat yugto ng pamamaraang Jordan-Gauss ay ang mga sumusunod:

1) hinati ang permissive string ng permissive element para makakuha ng unit sa lugar nito,

2) mula sa lahat ng iba pang mga row, ang nabagong resolving power na pinarami ng elemento na nasa ibinigay na linya sa resolving column ay ibinawas upang makakuha ng zero sa halip na elementong ito.

Isaalang-alang muli ang binagong augmented matrix ng system:

Makikita mula sa entry na ito na ang ranggo ng matrix ng system A ay r.

Sa kurso ng pangangatwiran sa itaas, itinatag namin na ang sistema ay pare-pareho kung at kung lamang
. Nangangahulugan ito na ang augmented matrix ng system ay magiging ganito:

Ang pagtatapon ng mga zero na hilera, nakuha namin na ang ranggo ng pinalawig na matrix ng system ay katumbas din ng r.

Kronecker-Capelli theorem. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay pare-pareho kung at kung ang ranggo ng matrix ng system ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix ng sistemang ito.

Alalahanin na ang ranggo ng isang matrix ay katumbas ng maximum na bilang ng mga linearly independent na hilera nito. Ito ay sumusunod mula dito na kung ang ranggo ng pinalawig na matrix ay mas mababa sa bilang ng mga equation, kung gayon ang mga equation ng system ay linearly dependent, at isa o higit pa sa mga ito ay maaaring hindi kasama sa system (dahil sila ay isang linear kumbinasyon ng iba). Ang sistema ng mga equation ay magiging linearly independent lamang kung ang ranggo ng extended matrix ay katumbas ng bilang ng mga equation.

Bukod dito, para sa mga pare-parehong sistema ng mga linear na equation, maaari itong pagtalunan na kung ang ranggo ng matrix ay katumbas ng bilang ng mga variable, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon, at kung ito ay mas mababa sa bilang ng mga variable, kung gayon ang sistema ay hindi tiyak at may walang katapusang maraming solusyon.

1Halimbawa, ipagpalagay na mayroong limang row sa matrix (ang paunang row order ay 12345). Kailangan nating baguhin ang pangalawang linya at ang ikalima. Upang ang pangalawang linya ay mahulog sa lugar ng ikalima, upang "lumipat" pababa, sunud-sunod naming binabago ang mga katabing linya ng tatlong beses: ang pangalawa at pangatlo (13245), ang pangalawa at ikaapat (13425) at ang pangalawa at panglima (13452). Pagkatapos, upang ang ikalimang hilera ay pumalit sa pangalawa sa orihinal na matrix, kinakailangan na "ilipat" ang ikalimang hilera sa pamamagitan lamang ng dalawang magkakasunod na pagbabago: ang ikalima at ikaapat na hanay (13542) at ang ikalima at pangatlo (15342).

2Bilang ng mga kumbinasyon mula n hanggang r ang bilang ng lahat ng iba't ibang r-element na subset ng isang n-element set ay tinatawag (iba't ibang set ang may iba't ibang komposisyon ng mga elemento, ang pagkakasunud-sunod ng pagpili ay hindi mahalaga). Ito ay kinakalkula ng formula:
. Alalahanin ang kahulugan ng tanda na "!" (paktoral):
0!=1.)

3Dahil ang pamamaraang ito ay mas karaniwan kaysa sa pamamaraang Gaussian na tinalakay kanina, at sa esensya ay isang kumbinasyon ng pasulong at baligtad na pamamaraang Gaussian, kung minsan ay tinatawag din itong pamamaraang Gaussian, na inaalis ang unang bahagi ng pangalan.

4Halimbawa,
.

5Kung walang mga yunit sa matrix ng system, posible, halimbawa, na hatiin ang parehong bahagi ng unang equation sa dalawa, at pagkatapos ay ang unang coefficient ay magiging pagkakaisa; o katulad nito.

Lutasin ang sistema na may dalawang hindi alam - nangangahulugan ito ng paghahanap ng lahat ng mga pares ng mga variable na halaga na nakakatugon sa bawat isa sa mga ibinigay na equation. Ang bawat ganoong pares ay tinatawag solusyon sa sistema.

Halimbawa:
Ang pares ng mga halaga \(x=3\);\(y=-1\) ay isang solusyon sa unang sistema, dahil sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga triple at minus na ito sa system sa halip na \(x\) at \ (y\), ang parehong equation ay naging wastong equalities \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) \)

Ngunit \(x=1\); \(y=-2\) - ay hindi solusyon sa unang sistema, dahil pagkatapos ng pagpapalit ang pangalawang equation "ay hindi nagtatagpo" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Tandaan na ang mga ganitong pares ay kadalasang isinusulat nang mas maikli: sa halip na "\(x=3\); \(y=-1\)" sumusulat sila ng ganito: \((3;-1)\).

Paano malutas ang isang sistema ng mga linear na equation?

Mayroong tatlong pangunahing paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation:

1. Pamamaraan ng pagpapalit.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

Ipalit ang resultang expression sa halip na ang variable na ito sa isa pang equation ng system.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   Sa pangalawang equation, ang bawat termino ay pantay, kaya pinapasimple namin ang equation sa pamamagitan ng paghahati nito sa \(2\).
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Ang sistemang ito ay maaaring malutas sa alinman sa mga paraan, ngunit tila sa akin na ang paraan ng pagpapalit ay ang pinaka-maginhawa dito. Ipahayag natin ang y mula sa pangalawang equation.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Palitan ang \(6x-13\) para sa \(y\) sa unang equation.
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Ang unang equation ay naging normal. Solusyonan natin ito.

   Buksan muna natin ang mga panaklong.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Ilipat natin ang \(117\) sa kanan at magbigay ng mga katulad na termino.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hatiin ang magkabilang panig ng unang equation sa \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hooray, nakita namin ang \(x\)! Palitan ang halaga nito sa pangalawang equation at hanapin ang \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Isulat natin ang sagot.

Susuriin namin ang dalawang uri ng mga sistema ng paglutas ng mga equation:

1. Solusyon ng system sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit.
2. Solusyon ng system sa pamamagitan ng termino-by-term na karagdagan (pagbabawas) ng mga equation ng system.

Upang malutas ang sistema ng mga equation paraan ng pagpapalit kailangan mong sundin ang isang simpleng algorithm:
1. Ipinapahayag namin. Mula sa anumang equation, nagpapahayag kami ng isang variable.
2. Kapalit. Pinapalitan namin sa isa pang equation sa halip na ang ipinahayag na variable, ang resultang halaga.
3. Nilulutas namin ang nagresultang equation na may isang variable. Nakahanap kami ng solusyon sa system.

Lutasin sistema sa pamamagitan ng termino-by-term na karagdagan (pagbabawas) kailangan:
1. Pumili ng variable kung saan gagawa tayo ng parehong coefficient.
2. Idinaragdag o binabawasan natin ang mga equation, bilang resulta nakakakuha tayo ng equation na may isang variable.
3. Nilulutas namin ang nagresultang linear equation. Nakahanap kami ng solusyon sa system.

Ang solusyon ng system ay ang mga intersection point ng mga graph ng function.

Isaalang-alang natin nang detalyado ang solusyon ng mga system gamit ang mga halimbawa.

Halimbawa #1:

Lutasin natin sa paraan ng pagpapalit

Paglutas ng sistema ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

2x+5y=1 (1 equation)
x-10y=3 (2nd equation)

1. Ipahayag
Makikita na sa pangalawang equation ay mayroong variable x na may coefficient na 1, kaya lumalabas na pinakamadaling ipahayag ang variable x mula sa pangalawang equation.
x=3+10y

2. Pagkatapos ipahayag, pinapalitan natin ang 3 + 10y sa unang equation sa halip na ang variable na x.
2(3+10y)+5y=1

3. Nilulutas namin ang nagresultang equation na may isang variable.
2(3+10y)+5y=1 (bukas na mga bracket)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

Ang solusyon ng sistema ng mga equation ay ang mga intersection point ng mga graph, samakatuwid kailangan nating hanapin ang x at y, dahil ang intersection point ay binubuo ng x at y. Hanapin natin ang x, sa unang talata kung saan ipinahayag natin ay pinapalitan natin ang y doon.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Nakaugalian na magsulat ng mga puntos sa unang lugar, isinulat namin ang variable na x, at sa pangalawang lugar ang variable na y.
Sagot: (1; -0.2)

Halimbawa #2:

Lutasin natin sa pamamagitan ng termino-by-term na karagdagan (pagbabawas).

Paglutas ng isang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag

3x-2y=1 (1 equation)
2x-3y=-10 (2nd equation)

1. Pumili ng variable, sabihin nating pipiliin natin ang x. Sa unang equation, ang variable x ay may coefficient na 3, sa pangalawa - 2. Kailangan nating gawin ang mga coefficient na pareho, para dito may karapatan tayong i-multiply ang mga equation o hatiin sa anumang numero. I-multiply namin ang unang equation sa pamamagitan ng 2, at ang pangalawa sa pamamagitan ng 3 at makakuha ng kabuuang koepisyent ng 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Mula sa unang equation, ibawas ang pangalawa upang maalis ang variable na x. Lutasin ang linear equation.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Hanapin ang x. Pinapalitan natin ang nahanap na y sa alinman sa mga equation, sabihin natin sa unang equation.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Ang punto ng intersection ay magiging x=4.6; y=6.4
Sagot: (4.6; 6.4)

Gusto mo bang maghanda para sa mga pagsusulit nang libre? Tutor online ay libre. Walang biro.

Mas maaasahan kaysa sa graphical na pamamaraan na tinalakay sa nakaraang talata.

Pamamaraan ng pagpapalit

Ginamit namin ang paraang ito sa ika-7 baitang upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation. Ang algorithm na binuo sa ika-7 baitang ay medyo angkop para sa paglutas ng mga sistema ng anumang dalawang equation (hindi kinakailangang linear) na may dalawang variable na x at y (siyempre, ang mga variable ay maaaring ipahiwatig ng iba pang mga titik, na hindi mahalaga). Sa katunayan, ginamit namin ang algorithm na ito sa nakaraang talata, kapag ang problema ng isang dalawang-digit na numero ay humantong sa isang modelo ng matematika, na isang sistema ng mga equation. Nalutas namin ang sistemang ito ng mga equation sa itaas sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit (tingnan ang halimbawa 1 mula sa § 4).

Algorithm para sa paggamit ng paraan ng pagpapalit kapag nilulutas ang isang sistema ng dalawang equation na may dalawang variable na x, y.

1. Ipahayag ang y sa mga tuntunin ng x mula sa isang equation ng system.
2. Palitan ang resultang expression sa halip na y sa isa pang equation ng system.
3. Lutasin ang resultang equation para sa x.
4. Palitan naman ang bawat ugat ng equation na matatagpuan sa ikatlong hakbang sa halip na x sa expression na y hanggang x na nakuha sa unang hakbang.
5. Isulat ang sagot sa anyo ng mga pares ng mga halaga (x; y), na natagpuan, ayon sa pagkakabanggit, sa ikatlo at ikaapat na hakbang.

4) Palitan naman ang bawat isa sa mga nahanap na halaga ng y sa formula x \u003d 5 - Zy. Kung noon
5) Mga pares (2; 1) at mga solusyon ng isang ibinigay na sistema ng mga equation.

Sagot: (2; 1);

Algebraic na paraan ng pagdaragdag

Ang pamamaraang ito, tulad ng paraan ng pagpapalit, ay pamilyar sa iyo mula sa kursong algebra sa ika-7 baitang, kung saan ginamit ito upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation. Naaalala namin ang kakanyahan ng pamamaraan sa sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 2 Lutasin ang isang sistema ng mga equation

I-multiply namin ang lahat ng mga termino ng unang equation ng system sa pamamagitan ng 3, at iwanan ang pangalawang equation na hindi nagbabago:
Ibawas ang pangalawang equation ng system mula sa unang equation nito:

Bilang resulta ng algebraic na pagdaragdag ng dalawang equation ng orihinal na sistema, nakuha ang isang equation na mas simple kaysa sa una at pangalawang equation ng ibinigay na sistema. Sa mas simpleng equation na ito, may karapatan kaming palitan ang anumang equation ng isang ibinigay na system, halimbawa, ang pangalawa. Pagkatapos ang ibinigay na sistema ng mga equation ay papalitan ng isang mas simpleng sistema:

Ang sistemang ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit. Mula sa pangalawang equation nakita namin Ang pagpapalit ng expression na ito sa halip na y sa unang equation ng system, nakuha namin

Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga ng x sa formula

Kung x = 2 kung gayon

Kaya, nakahanap kami ng dalawang solusyon sa system:

Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable

Nakilala mo ang paraan ng pagpapakilala ng bagong variable kapag nilulutas ang mga rational equation na may isang variable sa kursong algebra sa ika-8 baitang. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation ay pareho, ngunit mula sa isang teknikal na pananaw mayroong ilang mga tampok na tatalakayin natin sa mga sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 3 Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Magpakilala tayo ng bagong variable Pagkatapos ang unang equation ng system ay maaaring muling isulat sa mas simpleng anyo: Lutasin natin ang equation na ito na may paggalang sa variable t:

Pareho sa mga halagang ito ay nakakatugon sa kundisyon, at samakatuwid ay ang mga ugat ng isang rational equation na may variable na t. Ngunit nangangahulugan ito ng alinman mula sa kung saan natin makikita na x = 2y, o
Kaya, gamit ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, pinamamahalaan namin, tulad ng, upang "pagsapin-sapin" ang unang equation ng system, na medyo kumplikado sa hitsura, sa dalawang mas simpleng equation:

x = 2 y; y - 2x.

Anong susunod? At pagkatapos ang bawat isa sa dalawang simpleng equation na nakuha ay dapat isaalang-alang sa turn sa isang sistema na may equation x 2 - y 2 \u003d 3, na hindi pa natin naaalala. Sa madaling salita, ang problema ay nabawasan sa paglutas ng dalawang sistema ng mga equation:

Ito ay kinakailangan upang makahanap ng mga solusyon para sa unang sistema, ang pangalawang sistema, at isama ang lahat ng mga resultang pares ng mga halaga sa sagot. Lutasin natin ang unang sistema ng mga equation:

Gamitin natin ang paraan ng pagpapalit, lalo na't handa na ang lahat para dito: pinapalitan natin ang expression na 2y sa halip na x sa pangalawang equation ng system. Kunin

Dahil sa x \u003d 2y, nakita namin ang x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2, ayon sa pagkakabanggit, dalawang solusyon sa ibinigay na sistema ay nakuha: (2; 1) at (-2; -1). Lutasin natin ang pangalawang sistema ng mga equation:

Gamitin nating muli ang paraan ng pagpapalit: pinapalitan natin ang expression na 2x sa halip na y sa pangalawang equation ng system. Kunin

Ang equation na ito ay walang mga ugat, na nangangahulugan na ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon. Kaya, ang mga solusyon lamang ng unang sistema ang dapat isama sa sagot.

Sagot: (2; 1); (-2;-1).

Ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable sa paglutas ng mga sistema ng dalawang equation na may dalawang variable ay ginagamit sa dalawang bersyon. Unang opsyon: isang bagong variable ang ipinakilala at ginagamit sa isang equation lamang ng system. Ganito talaga ang nangyari sa halimbawa 3. Ang pangalawang opsyon: dalawang bagong variable ang ipinakilala at ginamit nang sabay-sabay sa parehong mga equation ng system. Ito ang magiging kaso sa halimbawa 4.

Halimbawa 4 Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Ipakilala natin ang dalawang bagong variable:

Natutunan natin yan

Ito ay magpapahintulot sa amin na muling isulat ang ibinigay na sistema sa isang mas simpleng anyo, ngunit may kinalaman sa mga bagong variable na a at b:

Dahil ang isang \u003d 1, pagkatapos ay mula sa equation na a + 6 \u003d 2 nakita namin: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Kaya, para sa mga variable a at b, nakakuha kami ng isang solusyon:

Pagbabalik sa mga variable na x at y, nakuha namin ang sistema ng mga equation

Inilapat namin ang paraan ng pagdaragdag ng algebraic upang malutas ang sistemang ito:

Mula noon mula sa equation na 2x + y = 3 nakita namin:
Kaya, para sa mga variable na x at y, nakakuha kami ng isang solusyon:

Tapusin natin ang bahaging ito sa isang maikli ngunit seryosong teoretikal na talakayan. Nakakuha ka na ng ilang karanasan sa paglutas ng iba't ibang equation: linear, square, rational, irrational. Alam mo na ang pangunahing ideya ng paglutas ng isang equation ay ang unti-unting paglipat mula sa isang equation patungo sa isa pa, mas simple ngunit katumbas ng ibinigay na isa. Sa nakaraang seksyon, ipinakilala namin ang paniwala ng equivalence para sa mga equation na may dalawang variable. Ginagamit din ang konseptong ito para sa mga sistema ng mga equation.

Kahulugan.

Dalawang sistema ng mga equation na may mga variable na x at y ay sinasabing katumbas kung mayroon silang parehong mga solusyon o kung ang parehong mga sistema ay walang mga solusyon.

Ang lahat ng tatlong pamamaraan (pagpapalit, algebraic na karagdagan, at pagpapakilala ng mga bagong variable) na aming tinalakay sa seksyong ito ay ganap na tama mula sa punto ng view ng equivalence. Sa madaling salita, gamit ang mga pamamaraang ito, pinapalitan namin ang isang sistema ng mga equation ng isa pa, mas simple, ngunit katumbas ng orihinal na sistema.

Graphical na paraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation

Natutunan na natin kung paano lutasin ang mga sistema ng mga equation sa mga karaniwan at maaasahang paraan gaya ng paraan ng pagpapalit, pagdaragdag ng algebraic at ang pagpapakilala ng mga bagong variable. At ngayon, alalahanin natin ang pamamaraan na napag-aralan mo na sa nakaraang aralin. Ibig sabihin, ulitin natin ang alam mo tungkol sa paraan ng graphical na solusyon.

Ang paraan ng paglutas ng mga sistema ng mga equation sa graphical na paraan ay ang pagbuo ng isang graph para sa bawat isa sa mga partikular na equation na kasama sa sistemang ito at nasa parehong coordinate plane, at kung saan kinakailangan din na hanapin ang intersection ng mga punto ng mga graph na ito. . Upang malutas ang sistemang ito ng mga equation ay ang mga coordinate ng puntong ito (x; y).

Dapat tandaan na karaniwan para sa isang graphical na sistema ng mga equation na magkaroon ng alinman sa isang solong tamang solusyon, o isang walang katapusang bilang ng mga solusyon, o walang mga solusyon sa lahat.

Ngayon tingnan natin ang bawat isa sa mga solusyong ito. At kaya, ang sistema ng mga equation ay maaaring magkaroon ng isang natatanging solusyon kung ang mga linya, na siyang mga graph ng mga equation ng system, ay magsalubong. Kung ang mga linyang ito ay magkatulad, kung gayon ang gayong sistema ng mga equation ay ganap na walang mga solusyon. Sa kaso ng pagkakataon ng mga direktang graph ng mga equation ng system, kung gayon ang ganitong sistema ay nagpapahintulot sa iyo na makahanap ng maraming mga solusyon.

Ngayon, tingnan natin ang algorithm para sa paglutas ng isang sistema ng dalawang equation na may 2 hindi alam gamit ang isang graphical na pamamaraan:

Una, sa una ay bumuo kami ng isang graph ng 1st equation;
Ang ikalawang hakbang ay ang pag-plot ng graph na nauugnay sa pangalawang equation;
Pangatlo, kailangan nating hanapin ang mga intersection point ng mga graph.
At bilang resulta, nakukuha natin ang mga coordinate ng bawat intersection point, na magiging solusyon sa sistema ng mga equation.

Tingnan natin ang pamamaraang ito nang mas detalyado sa isang halimbawa. Binigyan tayo ng isang sistema ng mga equation na dapat lutasin:

Paglutas ng mga Equation

1. Una, bubuo tayo ng graph ng equation na ito: x2+y2=9.

Ngunit dapat tandaan na ang graph na ito ng mga equation ay magiging isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan, at ang radius nito ay magiging katumbas ng tatlo.

2. Ang susunod nating hakbang ay ang magplano ng equation tulad ng: y = x - 3.

Sa kasong ito, dapat tayong bumuo ng isang linya at hanapin ang mga puntos (0;−3) at (3;0).

3. Tingnan natin kung ano ang nakuha natin. Nakita namin na ang linya ay nag-intersect sa bilog sa dalawa sa mga punto nito A at B.

Ngayon hinahanap namin ang mga coordinate ng mga puntong ito. Nakikita namin na ang mga coordinate (3;0) ay tumutugma sa punto A, at ang mga coordinate (0;−3) ay tumutugma sa punto B.

At ano ang makukuha natin bilang resulta?

Ang mga numero (3;0) at (0;−3) na nakuha sa intersection ng isang tuwid na linya na may bilog ay tiyak na mga solusyon ng parehong mga equation ng system. At mula dito ay sumusunod na ang mga numerong ito ay mga solusyon din ng sistemang ito ng mga equation.

Ibig sabihin, ang sagot sa solusyon na ito ay ang mga numero: (3;0) at (0;−3).