Hindi lahat ng equation na naglalaman ng mga panaklong ay nalulutas sa parehong paraan. Siyempre, madalas na kailangan nilang buksan ang mga bracket at magbigay ng mga katulad na termino (gayunpaman, ang mga paraan ng pagbubukas ng mga bracket ay naiiba). Ngunit minsan hindi mo kailangang buksan ang mga bracket. Isaalang-alang natin ang lahat ng mga kasong ito na may mga partikular na halimbawa:

1. 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).
2. 2x - 3(x + 5) = -12.
3. (x + 1)(7x - 21) = 0.

Paglutas ng mga Equation sa pamamagitan ng Bracket Opening

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng mga equation ay ang pinaka-karaniwan, ngunit kahit na sa lahat ng maliwanag na pagiging pangkalahatan, nahahati ito sa mga subspecies depende sa paraan ng pagbukas ng mga bracket.

1) Solusyon ng equation na 5x - (3x - 7) = 9 + (-4x + 16).

Sa equation na ito, may mga minus at plus sign sa harap ng mga bracket. Upang buksan ang mga bracket sa unang kaso, kung saan sila ay nauuna sa isang minus sign, ang lahat ng mga palatandaan sa loob ng mga bracket ay dapat na baligtarin. Ang pangalawang pares ng mga bracket ay pinangungunahan ng isang plus sign, na hindi makakaapekto sa mga palatandaan sa mga bracket, kaya't maaari lamang itong alisin. Nakukuha namin:

5x - 3x + 7 = 9 - 4x + 16.

Ang mga terminong may x ay ililipat sa kaliwang bahagi ng equation, at ang natitira sa kanan (ang mga palatandaan ng mga inilipat na termino ay magbabago sa kabaligtaran):

5x - 3x + 4x = 9 + 16 - 7.

Narito ang mga katulad na termino:

Upang mahanap ang hindi kilalang salik x, hatiin ang produkto 18 sa kilalang salik 6:

x \u003d 18 / 6 \u003d 3.

2) Solusyon ng equation na 2x - 3(x + 5) = -12.

Sa equation na ito, kailangan mo munang buksan ang mga bracket, ngunit ilapat ang distributive property: upang i-multiply ang -3 sa kabuuan (x + 5), dapat mong i-multiply ang -3 sa bawat termino sa mga bracket at idagdag ang mga resultang produkto:

2x - 3x - 15 = -12

x = 3 / (-1) = 3.

Paglutas ng mga equation nang hindi binubuksan ang mga panaklong

Ang ikatlong equation (x + 1) (7x - 21) \u003d 0 ay maaari ding malutas sa pamamagitan ng pagbubukas ng mga bracket, ngunit mas madali sa mga ganitong kaso na gamitin ang multiplication property: ang produkto ay zero kapag ang isa sa mga kadahilanan ay zero. . Ibig sabihin:

x + 1 = 0 o 7x - 21 = 0.

Ang pangunahing function ng mga bracket ay upang baguhin ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag kinakalkula ang mga halaga. Halimbawa, sa numerical expression \(5 3+7\) ang multiplikasyon ay unang kakalkulahin, at pagkatapos ay ang karagdagan: \(5 3+7 =15+7=22\). Ngunit sa expression na \(5·(3+7)\), ang pagdaragdag sa mga bracket ay unang kakalkulahin, at pagkatapos lamang ng multiplikasyon: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Halimbawa. Palawakin ang bracket: \(-(4m+3)\).
Solusyon : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Halimbawa. Palawakin ang bracket at bigyan ng mga katulad na termino \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solusyon : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Halimbawa. Palawakin ang mga bracket \(5(3-x)\).
Solusyon : Mayroon kaming \(3\) at \(-x\) sa bracket, at lima sa harap ng bracket. Nangangahulugan ito na ang bawat miyembro ng bracket ay pinarami ng \ (5 \) - Ipinaaalala ko sa iyo iyon ang multiplication sign sa pagitan ng isang numero at isang bracket sa matematika ay hindi isinulat upang bawasan ang laki ng mga tala.

Halimbawa. Palawakin ang mga bracket \(-2(-3x+5)\).
Solusyon : Tulad ng sa nakaraang halimbawa, ang naka-bracket na \(-3x\) at \(5\) ay pinarami ng \(-2\).

Halimbawa. Pasimplehin ang expression: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Solusyon : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang huling sitwasyon.

Kapag nagpaparami ng panaklong sa panaklong, ang bawat termino ng unang panaklong ay pinarami sa bawat termino ng pangalawa:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Halimbawa. Palawakin ang mga bracket \((2-x)(3x-1)\).
Solusyon : Mayroon kaming isang produkto ng mga bracket at maaari itong mabuksan kaagad gamit ang formula sa itaas. Ngunit upang hindi malito, gawin natin ang lahat ng hakbang-hakbang.
Hakbang 1. Alisin ang unang bracket - bawat isa sa mga miyembro nito ay pinarami ng pangalawang bracket:

Hakbang 2. Palawakin ang mga produkto ng bracket sa pamamagitan ng kadahilanan tulad ng inilarawan sa itaas:
- una ang una...

Tapos yung pangalawa.

Hakbang 3. Ngayon kami ay nagpaparami at nagdadala ng mga katulad na termino:

Hindi kinakailangang ipinta ang lahat ng mga pagbabago nang detalyado, maaari mong agad na dumami. Ngunit kung natututo ka lang magbukas ng mga bracket - isulat nang detalyado, mas mababa ang pagkakataong magkamali.

Tandaan sa buong seksyon. Sa katunayan, hindi mo kailangang tandaan ang lahat ng apat na panuntunan, isa lang ang kailangan mong tandaan, ito: \(c(a-b)=ca-cb\) . Bakit? Dahil kung papalitan natin ang isa sa halip na c, makukuha natin ang panuntunan \((a-b)=a-b\) . At kung papalitan natin ang minus one, makukuha natin ang panuntunan \(-(a-b)=-a+b\) . Well, kung papalitan mo ang isa pang bracket sa halip na c, maaari mong makuha ang huling panuntunan.

panaklong sa loob ng panaklong

Minsan sa pagsasagawa, may mga problema sa mga bracket na nakapugad sa loob ng iba pang mga bracket. Narito ang isang halimbawa ng naturang gawain: upang gawing simple ang expression na \(7x+2(5-(3x+y))\).

Upang maging matagumpay sa mga gawaing ito, kailangan mong:
- maingat na maunawaan ang nesting ng mga bracket - kung saan ang isa ay kung saan;
- buksan ang mga bracket nang sunud-sunod, simula, halimbawa, sa pinakaloob.

Mahalaga ito kapag binubuksan ang isa sa mga bracket huwag hawakan ang natitirang ekspresyon, isinusulat lang ito kung ano man.
Kunin natin ang gawain sa itaas bilang isang halimbawa.

Halimbawa. Buksan ang mga bracket at bigyan ng mga katulad na termino \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solusyon:

Halimbawa. Palawakin ang mga bracket at bigyan ng mga katulad na termino \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Solusyon :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Ito ay isang triple nesting ng mga panaklong. Nagsisimula kami sa pinakaloob (naka-highlight sa berde). May plus sa harap ng parenthesis, kaya tinanggal lang.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Ngayon ay kailangan mong buksan ang pangalawang bracket, intermediate. Ngunit bago iyon, pasimplehin natin ang expression sa pamamagitan ng pag-ghost ng mga katulad na termino sa pangalawang bracket na ito.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Ngayon binuksan namin ang pangalawang bracket (naka-highlight sa asul). Mayroong multiplier sa harap ng parenthesis - kaya ang bawat termino sa parenthesis ay pinarami nito.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		At buksan ang huling panaklong. Bago ang bracket minus - kaya ang lahat ng mga palatandaan ay baligtad.

Ang pagbubukas ng bracket ay isang pangunahing kasanayan sa matematika. Kung wala ang kasanayang ito, imposibleng magkaroon ng gradong higit sa tatlo sa mga baitang 8 at 9. Samakatuwid, inirerekomenda ko ang isang mahusay na pag-unawa sa paksang ito.

Ang isang equation na may isang hindi alam, na, pagkatapos buksan ang mga bracket at bawasan ang mga katulad na termino, ay kinuha ang form

ax + b = 0, kung saan ang a at b ay mga arbitrary na numero, ay tinatawag linear equation na may isang hindi kilala. Ngayon ay malalaman natin kung paano lutasin ang mga linear na equation na ito.

Halimbawa, lahat ng equation:

2x + 3 \u003d 7 - 0.5x; 0.3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - linear.

Ang halaga ng hindi alam na nagpapalit ng equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay ay tinatawag desisyon o ang ugat ng equation .

Halimbawa, kung sa equation na 3x + 7 \u003d 13 ay pinapalitan natin ang numero 2 sa halip na ang hindi kilalang x, pagkatapos ay nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay 3 2 + 7 \u003d 13. Nangangahulugan ito na ang halaga x \u003d 2 ay ang solusyon o ang ugat ng equation.

At ang halagang x \u003d 3 ay hindi ginagawang tunay na pagkakapantay-pantay ang equation na 3x + 7 \u003d 13, dahil ang 3 2 + 7 ≠ 13. Samakatuwid, ang halagang x \u003d 3 ay hindi solusyon o ugat ng equation.

Ang solusyon ng anumang mga linear na equation ay nabawasan sa solusyon ng mga equation ng form

ax + b = 0.

Inilipat namin ang libreng termino mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanang bahagi, habang binabago ang sign sa harap ng b sa kabaligtaran, nakukuha namin

Kung a ≠ 0, kung gayon x = – b/a .

Halimbawa 1 Lutasin ang equation na 3x + 2 =11.

Inilipat namin ang 2 mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanan, habang binabago ang sign sa harap ng 2 sa kabaligtaran, nakukuha namin
3x \u003d 11 - 2.

Gawin natin ang pagbabawas, kung gayon
3x = 9.

Upang mahanap ang x, kailangan mong hatiin ang produkto sa isang kilalang kadahilanan, iyon ay,
x = 9:3.

Kaya ang halaga x = 3 ay ang solusyon o ang ugat ng equation.

Sagot: x = 3.

Kung a = 0 at b = 0, pagkatapos ay makuha namin ang equation 0x \u003d 0. Ang equation na ito ay may walang katapusang maraming mga solusyon, dahil kapag nagpaparami ng anumang numero sa 0, makakakuha tayo ng 0, ngunit ang b ay 0 din. Ang solusyon sa equation na ito ay anumang numero.

Halimbawa 2 Lutasin ang equation 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Palawakin natin ang mga bracket:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Narito ang mga katulad na miyembro:
0x = 0.

Sagot: x ay anumang numero.

Kung a = 0 at b ≠ 0, pagkatapos ay makuha natin ang equation na 0x = - b. Ang equation na ito ay walang mga solusyon, dahil kapag nagpaparami ng anumang numero sa 0, makakakuha tayo ng 0, ngunit b ≠ 0.

Halimbawa 3 Lutasin ang equation na x + 8 = x + 5.

Ipangkat natin ang mga terminong naglalaman ng mga hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang mga libreng termino sa kanang bahagi:
x - x \u003d 5 - 8.

Narito ang mga katulad na miyembro:
0x = - 3.

Sagot: walang solusyon.

Sa figure 1 ang scheme para sa paglutas ng linear equation ay ipinapakita

Bumuo tayo ng isang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may isang variable. Isaalang-alang ang solusyon ng halimbawa 4.

Halimbawa 4 Solusyonan natin ang equation

1) I-multiply ang lahat ng termino ng equation sa pinakamaliit na common multiple ng mga denominator, katumbas ng 12.

2) Pagkatapos ng pagbabawas makuha namin
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Upang paghiwalayin ang mga miyembrong naglalaman ng hindi kilalang at libreng mga miyembro, buksan ang mga bracket:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Pinagpangkat namin sa isang bahagi ang mga terminong naglalaman ng mga hindi alam, at sa isa pa - mga libreng termino:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Narito ang mga katulad na miyembro:
- 22x = - 154.

6) Hatiin sa - 22 , Nakukuha namin
x = 7.

Tulad ng makikita mo, ang ugat ng equation ay pito.

Sa pangkalahatan, tulad maaaring malutas ang mga equation tulad ng sumusunod:

a) dalhin ang equation sa isang integer form;

b) bukas na mga bracket;

c) pangkatin ang mga terminong naglalaman ng hindi alam sa isang bahagi ng equation, at ang mga libreng termino sa isa pa;

d) magdala ng mga katulad na miyembro;

e) lutasin ang isang equation ng form aх = b, na nakuha pagkatapos magdala ng mga katulad na termino.

Gayunpaman, ang scheme na ito ay hindi kinakailangan para sa bawat equation. Kapag nilulutas ang maraming mas simpleng equation, kailangang magsimula hindi sa una, ngunit sa pangalawa ( Halimbawa. 2), pangatlo ( Halimbawa. 13) at maging mula sa ikalimang yugto, tulad ng halimbawa 5.

Halimbawa 5 Lutasin ang equation na 2x = 1/4.

Nahanap namin ang hindi kilalang x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Isaalang-alang ang solusyon ng ilang mga linear na equation na nakatagpo sa pangunahing pagsusulit ng estado.

Halimbawa 6 Lutasin ang equation 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Sagot: - 0.125

Halimbawa 7 Lutasin ang equation - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Sagot: 2.3

Halimbawa 8 Lutasin ang Equation

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Halimbawa 9 Hanapin ang f(6) kung f (x + 2) = 3 7's

Solusyon

Dahil kailangan nating hanapin ang f(6), at alam natin ang f (x + 2),
pagkatapos x + 2 = 6.

Lutasin namin ang linear equation x + 2 = 6,
nakukuha namin ang x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Kung x = 4 kung gayon
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Sagot: 27.

Kung mayroon ka pa ring mga katanungan, may pagnanais na maunawaan ang solusyon ng mga equation nang mas lubusan, mag-sign up para sa aking mga aralin sa SCHEDULE. Ikalulugod kong tulungan ka!

Inirerekomenda din ng TutorOnline ang panonood ng bagong video tutorial mula sa aming tutor na si Olga Alexandrovna, na makakatulong sa iyong maunawaan ang parehong mga linear na equation at iba pa.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Ang mga panaklong ay ginagamit upang ipahiwatig ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga aksyon ay isinasagawa sa mga numeric at alphabetic na expression, pati na rin sa mga expression na may mga variable. Ito ay maginhawa upang pumasa mula sa isang expression na may mga bracket sa isang magkaparehong pantay na expression na walang mga bracket. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na parenthesis opening.

Upang palawakin ang mga bracket ay nangangahulugan na alisin ang pagpapahayag ng mga bracket na ito.

Ang isa pang punto ay nararapat na espesyal na pansin, na may kinalaman sa mga kakaiba ng mga solusyon sa pagsulat kapag binubuksan ang mga bracket. Maaari naming isulat ang unang expression na may mga bracket at ang resulta na nakuha pagkatapos buksan ang mga bracket bilang pagkakapantay-pantay. Halimbawa, pagkatapos buksan ang mga panaklong, sa halip na ang expression
3−(5−7) nakukuha natin ang expression na 3−5+7. Maaari nating isulat ang parehong mga expression na ito bilang pagkakapantay-pantay 3−(5−7)=3−5+7.

At isa pang mahalagang punto. Sa matematika, upang mabawasan ang mga entry, kaugalian na huwag magsulat ng plus sign kung ito ang una sa isang expression o sa mga bracket. Halimbawa, kung magdaragdag kami ng dalawang positibong numero, halimbawa, pito at tatlo, pagkatapos ay isusulat namin hindi +7 + 3, ngunit 7 + 3 lamang, sa kabila ng katotohanan na ang pito ay isa ring positibong numero. Katulad nito, kung nakikita mo, halimbawa, ang expression (5 + x) - alamin na mayroong plus sa harap ng bracket, na hindi nakasulat, at mayroong plus + (+5 + x) sa harap ng lima.

Panuntunan sa pagpapalawak ng bracket para sa karagdagan

Kapag binubuksan ang mga bracket, kung mayroong plus bago ang mga bracket, ang plus na ito ay tinanggal kasama ng mga bracket.

Halimbawa. Buksan ang mga bracket sa expression na 2 + (7 + 3) Bago ang mga bracket plus, pagkatapos ay ang mga character sa harap ng mga numero sa mga bracket ay hindi nagbabago.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Ang panuntunan para sa pagpapalawak ng mga bracket kapag binabawasan

Kung mayroong isang minus bago ang mga bracket, ang minus na ito ay tinanggal kasama ang mga bracket, ngunit ang mga termino na nasa mga bracket ay nagbabago ng kanilang pag-sign sa kabaligtaran. Ang kawalan ng isang palatandaan bago ang unang termino sa panaklong ay nagpapahiwatig ng isang tanda na +.

Halimbawa. Buksan ang mga bracket sa expression 2 − (7 + 3)

May minus bago ang mga bracket, kaya kailangan mong baguhin ang mga palatandaan bago ang mga numero mula sa mga bracket. Walang sign sa mga bracket bago ang numero 7, ibig sabihin na ang pito ay positibo, ito ay itinuturing na ang + sign ay nasa harap nito.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Kapag binubuksan ang mga bracket, tinanggal namin ang minus mula sa halimbawa, na nauna sa mga bracket, at ang mga bracket mismo ay 2 − (+ 7 + 3), at binabago ang mga palatandaan na nasa mga bracket sa kabaligtaran.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Pagpapalawak ng panaklong kapag nagpaparami

Kung mayroong multiplication sign sa harap ng mga bracket, ang bawat numero sa loob ng mga bracket ay i-multiply sa factor sa harap ng mga bracket. Kasabay nito, ang pagpaparami ng isang minus sa isang minus ay nagbibigay ng isang plus, at ang pagpaparami ng isang minus sa isang plus, tulad ng pagpaparami ng isang plus sa isang minus, ay nagbibigay ng isang minus.

Kaya, ang mga panaklong sa mga produkto ay pinalawak alinsunod sa distributive property ng multiplication.

Halimbawa. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Kapag nagpaparami ng panaklong sa panaklong, ang bawat termino ng unang panaklong ay pinararami sa bawat termino ng ikalawang panaklong.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Sa katunayan, hindi na kailangang tandaan ang lahat ng mga patakaran, sapat na upang tandaan ang isa lamang, ito: c(a−b)=ca−cb. Bakit? Dahil kung papalitan natin ang isa sa halip na c, makukuha natin ang panuntunan (a−b)=a−b. At kung papalitan natin ang minus one, makukuha natin ang panuntunan −(a−b)=−a+b. Well, kung papalitan mo ang isa pang bracket sa halip na c, maaari mong makuha ang huling panuntunan.

Palawakin ang mga panaklong kapag hinahati

Kung mayroong tanda ng dibisyon pagkatapos ng mga bracket, kung gayon ang bawat numero sa loob ng mga bracket ay mahahati ng divisor pagkatapos ng mga bracket, at kabaliktaran.

Halimbawa. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3

Paano palawakin ang mga nested parentheses

Kung ang expression ay naglalaman ng mga nested bracket, pinalawak ang mga ito sa pagkakasunud-sunod, simula sa panlabas o panloob.

Kasabay nito, kapag binubuksan ang isa sa mga bracket, mahalagang huwag hawakan ang iba pang mga bracket, muling isulat ang mga ito kung ano sila.

Halimbawa. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Linear na equation. Solusyon, mga halimbawa.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Linear na equation.

Ang mga linear equation ay hindi ang pinakamahirap na paksa sa matematika ng paaralan. Ngunit may ilang mga trick doon na maaaring palaisipan kahit na isang sinanay na estudyante. Malalaman ba natin ito?)

Ang isang linear na equation ay karaniwang tinukoy bilang isang equation ng form:

palakol + b = 0 saan a at b- anumang mga numero.

2x + 7 = 0. Dito a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 Dito a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Dito a=12, b=1/2

Walang kumplikado, tama? Lalo na kung hindi mo napapansin ang mga salitang: "kung saan ang a at b ay anumang mga numero"... At kung mapapansin mo, ngunit walang ingat na pag-iisip tungkol dito?) Pagkatapos ng lahat, kung a=0, b=0(anumang mga numero ang posible?), pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang nakakatawang expression:

Ngunit hindi lang iyon! Kung, sabihin, a=0, a b=5, ito ay lumalabas na isang bagay na ganap na binibigkas:

Ano ang nagpapahirap at nakakasira ng kumpiyansa sa matematika, oo ...) Lalo na sa mga pagsusulit. Ngunit sa mga kakaibang expression na ito, kailangan mo ring hanapin ang X! Na wala sa lahat. At, nakakagulat, ang X na ito ay napakadaling mahanap. Matututunan natin kung paano ito gagawin. Sa araling ito.

Paano makilala ang isang linear equation sa hitsura? Depende ito sa kung anong hitsura.) Ang daya ay ang mga linear equation ay tinatawag na hindi lamang mga equation ng form palakol + b = 0 , ngunit gayundin ang anumang mga equation na nababawasan sa form na ito sa pamamagitan ng mga pagbabago at pagpapasimple. At sino ang nakakaalam kung ito ay nabawasan o hindi?)

Ang isang linear equation ay maaaring malinaw na makilala sa ilang mga kaso. Sabihin, kung mayroon tayong isang equation kung saan mayroon lamang mga hindi alam sa unang antas, oo mga numero. At ang equation ay hindi mga fraction na hinati ng hindi kilala , ito ay mahalaga! At paghahati sa pamamagitan ng numero, o isang numeric fraction - iyon lang! Halimbawa:

Ito ay isang linear equation. Mayroong mga fraction dito, ngunit walang mga x sa parisukat, sa kubo, atbp., at walang mga x sa mga denominator, i.e. Hindi paghahati sa pamamagitan ng x. At narito ang equation

hindi matatawag na linear. Narito ang lahat ng x ay nasa unang antas, ngunit mayroon paghahati sa pamamagitan ng pagpapahayag na may x. Pagkatapos ng mga pagpapasimple at pagbabago, maaari kang makakuha ng isang linear na equation, at isang quadratic, at anumang gusto mo.

Ito ay lumiliko na imposibleng malaman ang isang linear equation sa ilang masalimuot na halimbawa hanggang sa halos malutas mo ito. Nakakainis. Ngunit sa mga takdang-aralin, bilang panuntunan, hindi sila nagtatanong tungkol sa anyo ng equation, di ba? Sa mga gawain, ang mga equation ay inayos magpasya. Ito ang nagpapasaya sa akin.)

Solusyon ng mga linear equation. Mga halimbawa.

Ang buong solusyon ng mga linear na equation ay binubuo ng magkaparehong pagbabagong-anyo ng mga equation. Sa pamamagitan ng paraan, ang mga pagbabagong ito (kasing dami ng dalawa!) ay sumasailalim sa mga solusyon lahat ng equation ng matematika. Sa madaling salita, ang desisyon anuman Ang equation ay nagsisimula sa mga parehong pagbabagong ito. Sa kaso ng mga linear equation, ito (ang solusyon) sa mga pagbabagong ito ay nagtatapos sa isang ganap na sagot. Makatuwiran na sundin ang link, tama?) Bukod dito, mayroon ding mga halimbawa ng paglutas ng mga linear equation.

Magsimula tayo sa pinakasimpleng halimbawa. Nang walang anumang mga pitfalls. Sabihin nating kailangan nating lutasin ang sumusunod na equation.

x - 3 = 2 - 4x

Ito ay isang linear equation. Ang mga X ay nasa unang kapangyarihan, walang dibisyon ng X. Ngunit, sa totoo lang, wala kaming pakialam kung ano ang equation. Kailangan natin itong lutasin. Ang scheme dito ay simple. Kolektahin ang lahat ng may x sa kaliwang bahagi ng equation, lahat ng walang x (mga numero) sa kanan.

Upang gawin ito, kailangan mong ilipat - 4x sa kaliwang bahagi, na may pagbabago ng tanda, siyempre, ngunit - 3 - sa kanan. By the way, ito pala unang identical transformation ng mga equation. Nagulat? Kaya, hindi nila sinunod ang link, ngunit walang kabuluhan ...) Nakukuha namin:

x + 4x = 2 + 3

Nagbibigay kami ng katulad, isinasaalang-alang namin:

Ano ang kailangan natin para maging ganap na masaya? Oo, para may malinis na X sa kaliwa! Lima ang humarang. Alisin ang limang may pangalawang magkaparehong pagbabagong-anyo ng mga equation. Ibig sabihin, hinahati namin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng 5. Nakakuha kami ng isang handa na sagot:

Isang halimbawa ng elementarya, siyempre. Ito ay para sa isang warm-up.) Hindi masyadong malinaw kung bakit ko naalala ang magkatulad na pagbabago dito? OK. Kinukuha namin ang toro sa pamamagitan ng mga sungay.) Magpasya tayo ng isang bagay na mas kahanga-hanga.

Halimbawa, narito ang equation na ito:

Saan tayo magsisimula? May X - sa kaliwa, walang X - sa kanan? Maaaring ganoon. Maliit na hakbang sa mahabang daan. At magagawa mo kaagad, sa isang unibersal at makapangyarihang paraan. Maliban kung, siyempre, sa iyong arsenal ay may magkaparehong pagbabago ng mga equation.

Nagtatanong ako sa iyo ng isang mahalagang tanong: Ano ang pinaka ayaw mo sa equation na ito?

95 tao sa 100 ang sasagot ng: mga fraction ! Tama ang sagot. Kaya tanggalin na natin sila. Kaya simulan namin kaagad sa pangalawang magkaparehong pagbabago. Ano ang kailangan mong i-multiply ang fraction sa kaliwa upang ang denominator ay ganap na mabawasan? Tama, 3. At sa kanan? Sa pamamagitan ng 4. Ngunit pinapayagan tayo ng matematika na i-multiply ang magkabilang panig sa ang parehong numero. Paano tayo lalabas? I-multiply natin ang magkabilang panig sa 12! Yung. sa isang common denominator. Pagkatapos ang tatlo ay mababawasan, at ang apat. Huwag kalimutan na kailangan mong i-multiply ang bawat bahagi ganap. Narito ang hitsura ng unang hakbang:

Pagpapalawak ng mga bracket:

Tandaan! Numerator (x+2) Kinuha ko ang mga bracket! Ito ay dahil kapag nagpaparami ng mga fraction, ang numerator ay pinarami ng kabuuan, nang buo! At ngayon maaari mong bawasan ang mga fraction at bawasan ang:

Pagbubukas ng natitirang mga panaklong:

Hindi isang halimbawa, ngunit puro kasiyahan!) Ngayon naaalala namin ang spell mula sa mas mababang mga grado: may x - sa kaliwa, walang x - sa kanan! At ilapat ang pagbabagong ito:

Narito ang ilang tulad ng:

At hinahati namin ang parehong bahagi ng 25, i.e. ilapat muli ang pangalawang pagbabagong-anyo:

Iyon lang. Sagot: X=0,16

Tandaan: upang dalhin ang orihinal na nakakalito na equation sa isang kaaya-ayang anyo, gumamit kami ng dalawa (dalawa lang!) magkaparehong pagbabago- pagsasalin kaliwa-kanan na may pagbabago ng sign at multiplication-division ng equation sa parehong numero. Ito ang unibersal na paraan! Magtatrabaho tayo sa ganitong paraan anuman mga equation! Ganap na kahit ano. Iyon ang dahilan kung bakit paulit-ulit kong inuulit ang magkatulad na pagbabagong ito sa lahat ng oras.)

Tulad ng nakikita mo, ang prinsipyo ng paglutas ng mga linear na equation ay simple. Kinukuha namin ang equation at pinasimple ito sa tulong ng magkaparehong pagbabago hanggang makuha namin ang sagot. Ang mga pangunahing problema dito ay nasa mga kalkulasyon, at hindi sa prinsipyo ng solusyon.

Ngunit ... May mga ganoong sorpresa sa proseso ng paglutas ng pinaka-elementarya na mga linear na equation na maaari nilang itaboy sa isang malakas na pagkahilo ...) Sa kabutihang palad, maaari lamang magkaroon ng dalawang ganoong mga sorpresa. Tawagin natin silang mga espesyal na kaso.

Mga espesyal na kaso sa paglutas ng mga linear na equation.

Surprise muna.

Ipagpalagay na nakatagpo ka ng elementary equation, tulad ng:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Bahagyang nababato, inilipat namin ang X sa kaliwa, nang walang X - sa kanan ... Sa pagbabago ng sign, lahat ay chin-chinar ... Nakukuha namin:

2x-5x+3x=5-2-3

Naniniwala kami, at ... naku! Nakukuha namin:

Sa sarili nito, ang pagkakapantay-pantay na ito ay hindi kanais-nais. Zero talaga. Pero wala na si X! At dapat nating isulat sa sagot, kung ano ang katumbas ng x. Kung hindi, hindi mabibilang ang solusyon, oo...) Isang dead end?

Kalmado! Sa ganitong mga kahina-hinalang kaso, ang pinaka-pangkalahatang mga patakaran ay nakakatipid. Paano malutas ang mga equation? Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng equation? Ibig sabihin nito, hanapin ang lahat ng mga halaga ng x na, kapag pinalitan sa orihinal na equation, ay magbibigay sa amin ng tamang pagkakapantay-pantay.

Ngunit mayroon tayong tamang pagkakapantay-pantay na nangyari! 0=0, saan ba talaga?! Ito ay nananatiling upang malaman kung ano ang nakuha ng x. Anong mga halaga ng x ang maaaring palitan inisyal equation kung ang mga x na ito shrink to zero pa rin? Halika?)

Oo!!! Maaaring palitan ang Xs kahit ano! Anong gusto mo. Hindi bababa sa 5, hindi bababa sa 0.05, hindi bababa sa -220. Mangliliit pa sila. Kung hindi ka naniniwala sa akin, maaari mong suriin ito.) Palitan ang anumang mga halaga ng x inisyal equation at kalkulahin. Sa lahat ng oras ang dalisay na katotohanan ay makukuha: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 at iba pa.

Narito ang iyong sagot: x ay anumang numero.

Ang sagot ay maaaring isulat sa iba't ibang mga simbolo ng matematika, ang kakanyahan ay hindi nagbabago. Ito ay isang ganap na tama at kumpletong sagot.

Pangalawang sorpresa.

Kunin natin ang parehong elementary linear equation at baguhin lamang ang isang numero dito. Ito ang ating pagpapasya:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Pagkatapos ng magkaparehong pagbabagong-anyo, nakakakuha tayo ng nakakaintriga:

Ganito. Nalutas ang isang linear equation, nakakuha ng kakaibang pagkakapantay-pantay. Mathematics speaking, meron tayo maling pagkakapantay-pantay. At sa simpleng salita, hindi ito totoo. Rave. Ngunit gayunpaman, ang katarantaduhan na ito ay isang magandang dahilan para sa tamang solusyon ng equation.)

Muli, iniisip namin batay sa mga pangkalahatang tuntunin. Ano ang ibibigay sa atin ng x, kapag ipinalit sa orihinal na equation tama pagkakapantay-pantay? Oo, wala! Walang ganyang xes. Kahit anong palitan mo, mababawasan lahat, mananatili ang kalokohan.)

Narito ang iyong sagot: walang solusyon.

Ito rin ay isang ganap na wastong sagot. Sa matematika, madalas na nangyayari ang mga ganitong sagot.

Ganito. Ngayon, umaasa ako, ang pagkawala ng mga x sa proseso ng paglutas ng anumang (hindi lamang linear) na equation ay hindi mag-abala sa iyo sa lahat. Ang bagay ay pamilyar.)

Ngayong napag-usapan na natin ang lahat ng mga pitfalls sa mga linear na equation, makatuwirang lutasin ang mga ito.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.