Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Mga Random na variable".
Isang gawain 1 . Mayroong 100 tiket na inisyu sa lottery. Isang panalo na 50 USD ang nilaro. at sampung panalo ng $10 bawat isa. Hanapin ang batas ng pamamahagi ng halaga X - ang halaga ng isang posibleng pakinabang.
Solusyon. Mga posibleng halaga ng X: x 1 = 0; x 2 = 10 at x 3 = 50. Dahil mayroong 89 na "walang laman" na mga tiket, pagkatapos ay p 1 = 0.89, ang posibilidad na manalo ay 10 c.u. (10 tiket) – p 2 = 0.10 at para sa isang panalo ng 50 c.u. –p 3 = 0.01. Sa ganitong paraan:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Madaling kontrolin: .
Isang gawain 2. Ang posibilidad na ang mamimili ay pamilyar sa kanyang sarili sa advertisement ng produkto nang maaga ay 0.6 (p = 0.6). Ang pagpili ng kontrol sa kalidad ng advertising ay isinasagawa ng mga mamimili ng botohan bago ang unang nag-aral ng patalastas nang maaga. Gumawa ng isang serye ng pamamahagi ng bilang ng mga nakapanayam na mamimili.
Solusyon. Ayon sa kondisyon ng problema p = 0.6. Mula sa: q=1 -p = 0.4. Ang pagpapalit sa mga halagang ito, nakukuha namin: at bumuo ng isang serye ng pamamahagi:
|
pi |
0,24 |
Isang gawain 3. Ang isang computer ay binubuo ng tatlong independiyenteng mga elemento ng operating: isang system unit, isang monitor, at isang keyboard. Sa isang solong matalim na pagtaas sa boltahe, ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento ay 0.1. Batay sa distribusyon ng Bernoulli, buuin ang batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga nabigong elemento sa panahon ng power surge sa network.
Solusyon. Isipin mo Pamamahagi ng Bernoulli(o binomial): ang posibilidad na sa n mga pagsubok, eksaktong lilitaw ang kaganapan A k minsan: 
, o:
|
q n |
p n |
AT balik tayo sa gawain.
Mga posibleng halaga ng X (bilang ng mga pagkabigo):
x 0 =0 - wala sa mga elemento ang nabigo;
x 1 =1 - pagkabigo ng isang elemento;
x 2 =2 - pagkabigo ng dalawang elemento;
x 3 =3 - kabiguan ng lahat ng elemento.
Dahil, ayon sa kondisyon, p = 0.1, pagkatapos q = 1 – p = 0.9. Gamit ang Bernoulli formula, nakukuha natin
, ,
, .
Kontrol: .
Samakatuwid, ang nais na batas sa pamamahagi:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Gawain 4. Nakagawa ng 5000 rounds. Ang posibilidad na ang isang cartridge ay may depekto 
. Ano ang posibilidad na magkakaroon ng eksaktong 3 may sira na cartridge sa buong batch?
Solusyon. Naaangkop Pamamahagi ng Poisson: ang distribusyon na ito ay ginagamit upang matukoy ang posibilidad na, na ibinigay ng isang napakalaking
bilang ng mga pagsubok (mass trials), kung saan ang posibilidad ng kaganapan A ay napakaliit, ang kaganapan A ay magaganap ng k beses: 
, saan .
Dito n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3. Nahanap namin , pagkatapos ay ang nais na posibilidad: 
.
Gawain 5. Kapag nagpaputok bago ang unang tama na may posibilidad na tamaan ang p = 0.6 para sa isang shot, kailangan mong hanapin ang posibilidad na ang hit ay magaganap sa ikatlong shot.
Solusyon. Ilapat natin ang geometric distribution: hayaang gumawa ng mga independiyenteng pagsubok, kung saan ang kaganapan A ay may posibilidad ng paglitaw p (at hindi pangyayari q = 1 - p). Matatapos ang mga pagsubok sa sandaling mangyari ang event A.
Sa ilalim ng ganitong mga kundisyon, ang posibilidad na mangyari ang kaganapan A sa kth na pagsubok ay tinutukoy ng formula: . Dito p = 0.6; q \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; k \u003d 3. Samakatuwid, .
Gawain 6. Hayaang ibigay ang batas ng pamamahagi ng isang random variable X:
Hanapin ang mathematical na inaasahan.
Solusyon. .
Tandaan na ang probabilistic na kahulugan ng mathematical na inaasahan ay ang average na halaga ng isang random variable.
Gawain 7. Hanapin ang pagkakaiba ng isang random na variable X na may sumusunod na batas sa pamamahagi:
Solusyon. Dito .
Ang batas ng pamamahagi ng parisukat ng X 2 :
|
X 2 |
|||
Kinakailangang pagkakaiba: .
Ang dispersion ay nagpapakilala sa antas ng paglihis (scattering) ng isang random na variable mula sa inaasahan nito sa matematika.
Gawain 8. Hayaang ibigay ang random na variable ng pamamahagi:
|
10m |
|||
Hanapin ang mga numerical na katangian nito.
Solusyon: m, m 2 ,
M 2 , m.
Tungkol sa isang random na variable X, masasabi ng isa - ang inaasahan sa matematika nito ay 6.4 m na may pagkakaiba-iba na 13.04 m 2 , o - ang mathematical expectation nito ay 6.4 m na may deviation na m. Ang pangalawang pagbabalangkas ay malinaw na mas malinaw.
Isang gawain 9.
Random na halaga X ibinigay ng function ng pamamahagi: 
.
Hanapin ang posibilidad na, bilang resulta ng pagsubok, ang halaga ng X ay kukuha sa isang halaga na nasa pagitan 
.
Solusyon. Ang posibilidad na ang X ay kukuha ng isang halaga mula sa isang naibigay na pagitan ay katumbas ng pagtaas ng integral function sa pagitan na ito, i.e. . Sa aming kaso at , samakatuwid
.
Isang gawain 10. Discrete random variable X ibinigay ng batas sa pamamahagi:
Maghanap ng function ng pamamahagi F(x ) at buuin ang graph nito.
Solusyon. Dahil ang distribution function
para sa 
, pagkatapos
sa ;
sa ;
sa ;
sa ;
Kaugnay na tsart:
Gawain 11. Patuloy na random variable X ibinigay ng differential distribution function: 
.
Hanapin ang posibilidad ng pagtama X sa pagitan
Solusyon. Tandaan na ito ay isang espesyal na kaso ng exponential distribution law.
Gamitin natin ang formula: 
.
Isang gawain 12. Hanapin ang mga numerical na katangian ng isang discrete random variable X na ibinigay ng distribution law:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2 :
|
ay ang Laplace function.Kahulugan.Dispersion (pagkakalat) Ang discrete random variable ay tinatawag na mathematical expectation ng squared deviation ng random variable mula sa mathematical expectation nito:
Halimbawa. Para sa halimbawa sa itaas, nakita namin
Ang inaasahan sa matematika ng isang random na variable ay:
Mga posibleng halaga ng squared deviation:
; 
;
Ang dispersion ay:
Gayunpaman, sa pagsasagawa, ang pamamaraang ito ng pagkalkula ng pagkakaiba ay hindi maginhawa, dahil humahantong sa masalimuot na mga kalkulasyon para sa isang malaking bilang ng mga halaga ng isang random na variable. Samakatuwid, isa pang paraan ang ginagamit.
Pagkalkula ng Variance
Teorama. Ang pagkakaiba ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mathematical expectation ng square ng random variable X at ng square ng mathematical expectation nito:
Patunay. Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang inaasahan sa matematika at ang parisukat ng inaasahan sa matematika ay pare-pareho ang mga halaga, maaari nating isulat:
Ilapat natin ang formula na ito sa halimbawa sa itaas:
| X | ||||||
| x2 | ||||||
| p | 0,0778 | 0,2592 | 0,3456 | 0,2304 | 0,0768 | 0,0102 |
Mga Katangian ng Dispersion
1) Ang pagpapakalat ng isang palaging halaga ay zero:
2) Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa dispersion sign sa pamamagitan ng pag-square nito:
.
3) Ang pagkakaiba-iba ng kabuuan ng dalawang independiyenteng random na mga variable ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba-iba ng mga variable na ito:
4) Ang pagkakaiba-iba ng pagkakaiba ng dalawang independiyenteng random na mga variable ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba-iba ng mga variable na ito:
Ang bisa ng pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod mula sa ari-arian 2.
Teorama. Ang pagkakaiba-iba ng bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A sa n independiyenteng mga pagsubok, sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan ay pare-pareho, ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga pagsubok sa pamamagitan ng posibilidad ng paglitaw at ang posibilidad ng kaganapan. hindi nangyayari sa bawat pagsubok:
Halimbawa. Gumagawa ang planta ng 96% ng mga produktong unang baitang at 4% ng mga produkto ng ikalawang baitang. 1000 item ay pinili nang random. Hayaan X- ang bilang ng mga produkto ng unang baitang sa sample na ito. Hanapin ang batas sa pamamahagi, inaasahan sa matematika at pagkakaiba ng isang random na variable.
Kaya, ang batas sa pamamahagi ay maaaring ituring na binomial.
Halimbawa. Hanapin ang pagkakaiba ng isang discrete random variable X– bilang ng mga paglitaw ng kaganapan PERO sa dalawang independiyenteng pagsubok, kung ang mga probabilidad ng paglitaw ng kaganapang ito sa bawat pagsubok ay pantay at alam na
kasi random na halaga X ipinamahagi ayon sa binomial na batas, kung gayon
Halimbawa. Isinasagawa ang mga independyenteng pagsusulit na may parehong posibilidad ng paglitaw ng kaganapan PERO sa bawat pagsubok. Hanapin ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap PERO kung ang pagkakaiba ng bilang ng mga pangyayari sa tatlong independiyenteng pagsubok ay 0.63.
Ayon sa dispersion formula ng binomial law, nakukuha natin ang:
;
Halimbawa. Sinusuri ang isang device na binubuo ng apat na independyenteng operating device. Ang mga posibilidad ng pagkabigo ng bawat isa sa mga aparato ay pantay, ayon sa pagkakabanggit ; ; . Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba-iba ng bilang ng mga nabigong device.
Isinasaalang-alang ang bilang ng mga nabigong device bilang isang random na variable, nakikita namin na ang random na variable na ito ay maaaring tumagal sa mga halaga 0, 1, 2, 3, o 4.
Upang makabuo ng isang batas sa pamamahagi para sa random variable na ito, kinakailangan upang matukoy ang kaukulang mga probabilidad. Tanggapin natin.
1) Walang isang device ang nabigo:
2) Nabigo ang isa sa mga device.
Random variable Ang isang dami ay tinatawag na, bilang isang resulta ng mga pagsubok na isinagawa sa ilalim ng parehong mga kondisyon, ay tumatagal ng iba't ibang, sa pangkalahatan, ang mga halaga, depende sa mga random na kadahilanan na hindi isinasaalang-alang. Mga halimbawa ng mga random na variable: ang bilang ng mga puntos na ibinaba sa isang dice, ang bilang ng mga may sira na produkto sa isang batch, ang paglihis ng punto ng epekto ng projectile mula sa target, uptime ng device, atbp. Pagkilala sa pagitan ng discrete at tuloy-tuloy na random variable . discrete Ang isang random na variable ay tinatawag, ang mga posibleng halaga na bumubuo ng isang mabibilang na hanay, may hangganan o walang katapusan (ibig sabihin, isang set na ang mga elemento ay maaaring bilangin).
tuloy-tuloy Ang isang random na variable ay tinatawag, ang mga posibleng halaga na patuloy na pinupuno ang ilang may hangganan o walang katapusang pagitan ng numerical axis. Ang bilang ng mga halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay palaging walang hanggan.
Ang mga random na variable ay ilalarawan ng malalaking titik ng dulo ng alpabetong Latin: X, Y, . ; mga halaga ng isang random na variable - sa maliliit na titik: X, y. . Sa ganitong paraan, X Nagsasaad ng buong hanay ng mga posibleng halaga ng isang random na variable, at X - Ilang tiyak na kahulugan.
batas sa pamamahagi Ang isang discrete random variable ay isang sulat na ibinigay sa anumang anyo sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kanilang mga probabilities.
Hayaan ang mga posibleng halaga ng random variable X Ay . Bilang resulta ng pagsubok, ang random na variable ay kukuha ng isa sa mga halagang ito, i.e. Isang kaganapan mula sa isang kumpletong pangkat ng magkapares na hindi tugmang mga kaganapan ang magaganap.
Alamin din ang mga probabilidad ng mga pangyayaring ito:
Batas sa pamamahagi ng isang random na variable X Maaari itong isulat sa anyo ng isang talahanayan na tinatawag Malapit sa pamamahagi Discrete random variable:
mga random na variable. Discrete random variable.
Inaasahang halaga
Ang ikalawang seksyon sa teorya ng posibilidad nakatuon mga random na variable , na hindi nakikitang sinamahan kami nang literal sa bawat artikulo sa paksa. At dumating na ang oras upang malinaw na ipahayag kung ano ito:
Random tinawag halaga, na bilang resulta ng pagsusulit ay kukuha isa at isa lamang isang numerical value na nakadepende sa mga random na salik at hindi mahuhulaan nang maaga.
Karaniwan ang mga random na variable italaga sa pamamagitan ng * , at ang kanilang mga halaga sa kaukulang maliliit na titik na may mga subscript, halimbawa, .
* Minsan ginagamit pati na rin ang mga titik ng Griyego
Nakatagpo kami ng isang halimbawa sa unang aralin sa probability theory, kung saan aktwal naming isinasaalang-alang ang sumusunod na random na variable:
- ang bilang ng mga puntos na mahuhulog pagkatapos maghagis ng dice.
Ang pagsubok na ito ay magreresulta sa isa lang at wala ng iba ang linya, alin ang hindi mahuhulaan (hindi isinasaalang-alang ang mga trick); sa kasong ito, ang random na variable ay maaaring tumagal ng isa sa mga sumusunod na halaga:
- ang bilang ng mga lalaki sa 10 bagong silang.
Malinaw na ang bilang na ito ay hindi alam nang maaga, at sa susunod na sampung anak na ipinanganak ay maaaring mayroong:
O mga lalaki - isa at isa lamang ng mga nakalistang opsyon.
At, upang mapanatili ang hugis, isang maliit na pisikal na edukasyon:
- long jump distance (sa ilang unit).
Kahit na ang master ng sports ay hindi mahuhulaan ito 🙂
Gayunpaman, ano ang iyong mga hypotheses?
Sa lalong madaling panahon hanay ng mga tunay na numero walang katapusan, kung gayon ang random na variable ay maaaring tumagal walang katapusang marami mga halaga mula sa ilang pagitan. At ito ang pangunahing pagkakaiba nito mula sa mga nakaraang halimbawa.
Sa ganitong paraan, ipinapayong hatiin ang mga random na variable sa 2 malalaking grupo:
1) Discrete (pasulpot-sulpot) random variable - kumukuha ng hiwalay na kinuha, nakahiwalay na mga halaga. Ang bilang ng mga halagang ito tiyak o walang katapusan ngunit mabibilang.
... hindi maintindihan na mga termino ang iginuhit? Ulitin kaagad mga pangunahing kaalaman sa algebra!
2) Continuous random variable - tumatagal lahat mga numerong halaga mula sa ilang may hangganan o walang katapusang saklaw.
Tandaan : mga pagdadaglat DSV at NSV ay popular sa pang-edukasyon na panitikan
Una, suriin natin ang isang discrete random variable, pagkatapos - tuloy-tuloy.
Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable
- ito ay pagkakaayon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng dami na ito at ang kanilang mga posibilidad. Kadalasan, ang batas ay nakasulat sa isang talahanayan:
Ang termino ay medyo karaniwan hilera
pamamahagi, ngunit sa ilang mga sitwasyon ito ay tila hindi maliwanag, at samakatuwid ay susundin ko ang "batas".
At ngayon napakahalagang punto: dahil ang random variable kinakailangan tatanggapin isa sa mga halaga, pagkatapos ay mabubuo ang kaukulang mga kaganapan buong grupo at ang kabuuan ng mga probabilidad ng kanilang paglitaw ay katumbas ng isa:
o, kung nakasulat na nakatiklop:
Kaya, halimbawa, ang batas ng pamamahagi ng mga probabilidad ng mga puntos sa isang die ay may sumusunod na anyo:
Maaaring nasa ilalim ka ng impresyon na ang isang discrete random variable ay maaari lamang kumuha ng "magandang" integer value. Iwaksi natin ang ilusyon - maaari silang maging anuman:
Ang ilang laro ay may sumusunod na batas sa pamamahagi ng kabayaran:
…marahil matagal mo nang pinapangarap ang mga ganoong gawain 🙂 May sasabihin ako sa iyo na sikreto - ako rin. Lalo na pagkatapos ng trabaho teorya sa larangan.
Solusyon: dahil ang isang random na variable ay maaaring tumagal lamang ng isa sa tatlong mga halaga, ang mga kaukulang kaganapan ay nabuo buong grupo, na nangangahulugan na ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay katumbas ng isa:
Inilalantad namin ang "partisan":
– sa gayon, ang posibilidad na manalo ng mga conventional unit ay 0.4.
Kontrol: kung ano ang kailangan mong tiyakin.
Sagot:
Ito ay hindi pangkaraniwan kapag ang batas sa pamamahagi ay kailangang i-compile nang nakapag-iisa. Para sa paggamit na ito klasikal na kahulugan ng posibilidad, multiplication / addition theorems para sa mga probabilities ng kaganapan at iba pang chips tervera:
Mayroong 50 mga tiket sa lottery sa kahon, 12 sa mga ito ay nanalo, at 2 sa kanila ay nanalo ng 1000 rubles bawat isa, at ang natitira - 100 rubles bawat isa. Gumuhit ng batas ng pamamahagi ng isang random na variable - ang laki ng mga panalo, kung ang isang tiket ay random na nakuha mula sa kahon.
Solusyon: tulad ng napansin mo, kaugalian na ilagay ang mga halaga ng isang random na variable pataas na ayos. Samakatuwid, nagsisimula kami sa pinakamaliit na panalo, at lalo na ang mga rubles.
Sa kabuuan, mayroong 50 - 12 = 38 tulad ng mga tiket, at ayon sa klasikal na kahulugan:
ay ang posibilidad na ang isang random na iginuhit na tiket ay hindi manalo.
Ang natitirang mga kaso ay simple. Ang posibilidad na manalo ng rubles ay:
At para sa:
Pagsusuri: - at ito ay isang partikular na kaaya-ayang sandali ng gayong mga gawain!
Sagot: ang kinakailangang batas sa pamamahagi ng kabayaran:
Ang sumusunod na gawain para sa isang malayang desisyon:
Ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target ay . Gumawa ng batas sa pamamahagi para sa isang random na variable - ang bilang ng mga hit pagkatapos ng 2 shot.
... I knew that you missed him 🙂 We remember multiplication at addition theorems. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.
Ang batas sa pamamahagi ay ganap na naglalarawan ng isang random na variable, ngunit sa pagsasagawa ito ay kapaki-pakinabang (at kung minsan ay mas kapaki-pakinabang) na malaman lamang ang ilan sa mga ito. mga katangiang numero .
Pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable
Sa simpleng salita, ito average na inaasahang halaga na may paulit-ulit na pagsubok. Hayaan ang isang random na variable na kumuha ng mga halaga na may mga probabilidad, ayon sa pagkakabanggit. Kung gayon ang mathematical na inaasahan ng random variable na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto lahat ng mga halaga nito sa pamamagitan ng kaukulang mga probabilidad:
o sa nakatiklop na anyo:
Kalkulahin natin, halimbawa, ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable - ang bilang ng mga puntos na ibinaba sa isang dice:
Ano ang probabilistikong kahulugan ng resultang nakuha? Kung igulong mo ang mamatay ng sapat na beses, kung gayon ibig sabihin ang mga puntos na ibinaba ay magiging malapit sa 3.5 - at ang mas maraming pagsubok na gagawin mo, mas malapit. Sa totoo lang, napag-usapan ko na ang tungkol sa epektong ito nang detalyado sa aralin tungkol sa istatistikal na posibilidad.
Ngayon, alalahanin natin ang ating hypothetical na laro:
Lumilitaw ang tanong: kumikita ba ang paglalaro ng larong ito? ... sino ang may anumang mga impression? Kaya't hindi mo masasabing "offhand"! Ngunit ang tanong na ito ay madaling masagot sa pamamagitan ng pagkalkula ng inaasahan sa matematika, sa esensya - weighted average mga posibilidad na manalo:
Kaya, ang matematikal na inaasahan ng larong ito natatalo.
Huwag magtiwala sa mga impression - magtiwala sa mga numero!
Oo, dito maaari kang manalo ng 10 o kahit na 20-30 beses sa isang hilera, ngunit sa katagalan ay hindi maiiwasang mapahamak tayo. At hindi ko ipapayo sa iyo na maglaro ng mga ganoong laro 🙂 Well, marahil lamang para sa kasiyahan.
Mula sa lahat ng nasa itaas, ito ay sumusunod na ang mathematical na inaasahan ay HINDI isang RANDOM na halaga.
Malikhaing gawain para sa independiyenteng pananaliksik:
Naglalaro si Mr X ng European roulette ayon sa sumusunod na sistema: palagi siyang tumataya ng 100 rubles sa pula. Bumuo ng batas ng pamamahagi ng isang random na variable - ang kabayaran nito. Kalkulahin ang mathematical na inaasahan ng mga panalo at bilugan ito sa kopecks. Paano karaniwan natatalo ba ang manlalaro sa bawat daang taya?
Sanggunian : Ang European roulette ay naglalaman ng 18 pula, 18 itim at 1 berdeng sektor ("zero"). Sa kaganapan ng isang "pula" na bumagsak, ang manlalaro ay binabayaran ng dobleng taya, kung hindi, ito ay mapupunta sa kita ng casino
Mayroong maraming iba pang mga sistema ng roulette kung saan maaari kang lumikha ng iyong sariling mga talahanayan ng posibilidad. Ngunit ito ang kaso kapag hindi namin kailangan ng anumang mga batas at talahanayan sa pamamahagi, dahil tiyak na ang inaasahan ng matematika ng manlalaro ay eksaktong pareho. Mga pagbabago lamang mula sa system patungo sa system pagpapakalat, na malalaman natin sa bahagi 2 ng aralin.
Ngunit bago iyon, magiging kapaki-pakinabang na iunat ang iyong mga daliri sa mga susi ng calculator:
Ang random variable ay ibinibigay ng sarili nitong batas sa pamamahagi ng posibilidad:
Hanapin kung ito ay kilala na. Magpatakbo ng tseke.
Pagkatapos ay lumingon kami sa pag-aaral pagpapakalat ng isang discrete random variable, at kung maaari, NGAYON NA!!- para hindi mawala ang thread ng topic.
Mga solusyon at sagot:
Halimbawa 3 Solusyon: sa pamamagitan ng kondisyon - ang posibilidad na matamaan ang target. Pagkatapos:
ay ang posibilidad ng isang miss.
Gawin natin - ang batas ng pamamahagi ng mga hit sa dalawang shot:
- ni isang hit. Sa pamamagitan ng ang teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga malayang kaganapan:
- isang hit. Sa pamamagitan ng theorems of addition of probabilities of incompatible and multiplication of independent events:
- dalawang hit. Ayon sa theorem ng multiplikasyon ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan:
Suriin: 0.09 + 0.42 + 0.49 = 1
Sagot :
Tandaan : posible na gumamit ng mga pagtatalaga - hindi ito mahalaga.
Halimbawa 4 Solusyon: ang manlalaro ay nanalo ng 100 rubles sa 18 kaso sa 37, at samakatuwid ang batas ng pamamahagi ng kanyang mga panalo ay may sumusunod na anyo:
Kalkulahin natin ang inaasahan sa matematika:
Kaya, para sa bawat daang taya, ang manlalaro ay nawawalan ng average na 2.7 rubles.
Halimbawa 5 Solusyon: sa pamamagitan ng kahulugan ng inaasahan sa matematika:
Magpalit tayo ng mga bahagi at gumawa ng mga pagpapasimple:
kaya:
Suriin natin:
, na dapat i-verify.
Sagot :
(Pumunta sa pangunahing pahina)
Dekalidad na gawa nang walang plagiarism - Zaochnik.com
www.mathprofi.ru
Mga discrete na random variable
Random variable tinatawag ang isang variable na, bilang resulta ng bawat pagsubok, ay tumatagal sa isang dating hindi kilalang halaga, depende sa mga random na dahilan. Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malalaking letrang Latin: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Ayon sa kanilang uri, ang mga random na variable ay maaaring discrete at tuloy-tuloy.
Discrete random variable- ito ay tulad ng isang random na variable, ang mga halaga ay maaaring hindi hihigit sa mabibilang, iyon ay, maaaring may hangganan o mabibilang. Ang pagbibilang ay nangangahulugan na ang mga halaga ng isang random na variable ay maaaring mabilang.
Halimbawa 1 . Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga discrete random variable:
a) ang bilang ng mga hit sa target na may $n$ shot, dito ang mga posibleng value ay $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
b) ang bilang ng mga coats of arm na nahulog kapag naghagis ng barya, narito ang mga posibleng halaga ay $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
c) ang bilang ng mga barkong dumating sakay (isang mabibilang na hanay ng mga halaga).
d) ang bilang ng mga tawag na dumarating sa exchange (isang mabibilang na hanay ng mga halaga).
1. Batas ng probability distribution ng isang discrete random variable.
Maaaring kunin ng discrete random variable na $X$ ang mga value na $x_1,\dots ,\ x_n$ na may probabilities na $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Ang pagsusulatan sa pagitan ng mga halagang ito at ang kanilang mga probabilidad ay tinatawag batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable. Bilang isang patakaran, ang sulat na ito ay tinukoy gamit ang isang talahanayan, sa unang linya kung saan ang mga halaga ng $x_1,\dots ,\ x_n$ ay ipinahiwatig, at sa pangalawang linya ang mga probabilidad na nauugnay sa mga halagang ito ay $ p_1,\dots ,\ p_n$.
$\magsimula
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$
Halimbawa 2 . Hayaang ang random variable na $X$ ay ang bilang ng mga puntos na pinagsama kapag ang isang dice ay pinagsama. Ang ganitong random na variable na $X$ ay maaaring tumagal ng mga sumusunod na halaga $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Ang mga probabilidad ng lahat ng mga halagang ito ay katumbas ng $1/6$. Pagkatapos ay ang probability distribution law para sa random variable na $X$:
$\magsimula
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$
Magkomento. Dahil ang mga kaganapang $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan sa batas ng pamamahagi ng discrete random variable na $X$, ang kabuuan ng mga probabilidad ay dapat na katumbas ng isa, ibig sabihin, $\sum
2. Mathematical expectation ng isang discrete random variable.
Pag-asa sa matematika ng isang random na variable tumutukoy sa "gitnang" halaga nito. Para sa isang discrete random variable, ang mathematical expectation ay kinakalkula bilang ang kabuuan ng mga produkto ng mga value na $x_1,\dots ,\ x_n$ at ang probabilities $p_1,\dots ,\ p_n$ na naaayon sa mga value na ito, i.e.: $M\left(X\right)=\sum ^n_
Mga Katangian ng Inaasahan$M\kaliwa(X\kanan)$:
- Ang $M\left(X\right)$ ay nasa pagitan ng pinakamaliit at pinakamalaking value ng random variable na $X$.
- Ang pag-asa sa matematika ng isang pare-pareho ay katumbas ng pare-pareho mismo, i.e. $M\left(C\right)=C$.
- Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa pag-asa sign: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Ang inaasahan sa matematika ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga inaasahan sa matematika: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Ang mathematical expectation ng produkto ng independent random variables ay katumbas ng product ng kanilang mathematical expectations: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Halimbawa 3 . Hanapin natin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.
Mapapansin natin na ang $M\left(X\right)$ ay nasa pagitan ng pinakamaliit ($1$) at pinakamalaking ($6$) na halaga ng random variable na $X$.
Halimbawa 4 . Alam na ang mathematical expectation ng random variable na $X$ ay katumbas ng $M\left(X\right)=2$. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $3X+5$.
Gamit ang mga katangian sa itaas, nakukuha namin ang $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.
Halimbawa 5 . Alam na ang mathematical expectation ng random variable na $X$ ay katumbas ng $M\left(X\right)=4$. Hanapin ang mathematical expectation ng random variable na $2X-9$.
Gamit ang mga katangian sa itaas, nakukuha namin ang $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Pagpapakalat ng isang discrete random variable.
Ang mga posibleng halaga ng mga random na variable na may pantay na mga inaasahan sa matematika ay maaaring magkalat nang iba sa kanilang mga average na halaga. Halimbawa, sa dalawang grupo ng mag-aaral, ang average na marka para sa pagsusulit sa probability theory ay naging 4, ngunit sa isang grupo ang lahat ay naging mahusay na mga mag-aaral, at sa kabilang grupo, ang mga mag-aaral lamang ng C at mahusay na mga mag-aaral. Samakatuwid, mayroong isang pangangailangan para sa isang numerong katangian ng isang random na variable, na magpapakita ng pagkalat ng mga halaga ng isang random na variable sa paligid ng kanyang inaasahan sa matematika. Ang katangiang ito ay pagpapakalat.
Pagpapakalat ng isang discrete random variable Ang $X$ ay:
Sa panitikang Ingles, ginagamit ang notasyong $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Kadalasan ang variance $D\left(X\right)$ ay kinakalkula ng formula na $D\left(X\right)=\sum^n_
Mga Katangian ng Dispersion$D\left(X\right)$:
- Ang dispersion ay palaging mas malaki kaysa sa o katumbas ng zero, i.e. $D\left(X\right)\ge 0$.
- Ang pagpapakalat mula sa isang pare-pareho ay katumbas ng zero, i.e. $D\left(C\right)=0$.
- Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa dispersion sign, sa kondisyon na ito ay parisukat, i.e. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
- Ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
- Ang pagkakaiba ng pagkakaiba ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba, i.e. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
Halimbawa 6 . Kalkulahin natin ang pagkakaiba ng random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.
Halimbawa 7 . Alam na ang pagkakaiba ng random variable na $X$ ay katumbas ng $D\left(X\right)=2$. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na $4X+1$.
Gamit ang mga katangian sa itaas, makikita natin ang $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ kaliwa(X\kanan)=16\cdot 2=32$.
Halimbawa 8 . Alam na ang pagkakaiba ng $X$ ay katumbas ng $D\left(X\right)=3$. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na $3-2X$.
Gamit ang mga katangian sa itaas, makikita natin ang $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3=12$.
4. Distribution function ng isang discrete random variable.
Ang paraan ng kumakatawan sa isang discrete random variable sa anyo ng isang serye ng pamamahagi ay hindi lamang isa, at higit sa lahat, ito ay hindi pangkalahatan, dahil ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay hindi maaaring tukuyin gamit ang isang serye ng pamamahagi. May isa pang paraan upang kumatawan sa isang random na variable - ang distribution function.
function ng pamamahagi Ang random variable na $X$ ay isang function na $F\left(x\right)$, na tumutukoy sa posibilidad na ang random variable na $X$ ay kukuha ng value na mas mababa sa ilang fixed value na $x$, ibig sabihin, $F\left(x\ kanan)$ )=P\kaliwa(X 6$, pagkatapos ay $F\kaliwa(x\kanan)=P\kaliwa(X=1\kanan)+P\kaliwa(X=2\kanan)+P\kaliwa( X=3 \right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$.
Graph ng distribution function $F\left(x\right)$:
Mga pangunahing batas ng pamamahagi
1. Binomial distribution law.
Inilalarawan ng batas sa pamamahagi ng binomial ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A m beses sa n independiyenteng pagsubok, sa kondisyon na ang posibilidad ng p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho.
Halimbawa, ang departamento ng pagbebenta ng isang tindahan ng hardware ay tumatanggap, sa karaniwan, ng isang order para sa pagbili ng mga telebisyon sa 10 mga tawag. Sumulat ng batas sa pamamahagi ng posibilidad para sa pagbili ng m TV. Bumuo ng polygon ng probability distribution.
Sa talahanayan, ang m ay ang bilang ng mga order na natanggap ng kumpanya para sa pagbili ng isang TV set. Ang C n m ay ang bilang ng mga kumbinasyon ng m TV sa pamamagitan ng n, p ay ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A, i.e. pag-order ng isang TV, ang q ay ang posibilidad na ang kaganapan A ay hindi mangyayari, i.e. hindi pag-order ng TV, P m,n ay ang posibilidad ng pag-order ng m TV mula sa n. Ipinapakita ng Figure 1 ang polygon ng probability distribution.
2. Geometric distribution.
Ang geometric distribution ng isang random variable ay may sumusunod na anyo:
Ang P m ay ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa pagsubok na numero m.
p ay ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa isang pagsubok.
q = 1 - p
Halimbawa. Nakatanggap ang isang kumpanya ng pagkumpuni ng appliance sa bahay ng isang batch ng 10 kapalit na unit para sa mga washing machine. May mga kaso kapag ang isang batch ay naglalaman ng 1 may sira na bloke. Isinasagawa ang pagsusuri hanggang sa may makitang may sira na bloke. Kinakailangan na gumuhit ng isang batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga naka-check na bloke. Ang posibilidad na ang isang bloke ay maaaring may depekto ay 0.1. Bumuo ng polygon ng probability distribution.
Makikita mula sa talahanayan na sa pagtaas ng bilang m, bumababa ang posibilidad na matukoy ang isang may sira na bloke. Pinagsasama ng huling linya (m=10) ang dalawang probabilities: 1 - na ang ikasampung bloke ay naging sira - 0.038742049 , 2 - na ang lahat ng nasuri na mga bloke ay naging magagamit - 0.34867844. Dahil medyo mababa ang posibilidad na mabigo ang isang bloke (p=0.1), medyo mataas ang posibilidad ng huling kaganapang Pm (10 nasubok na bloke). Fig.2.
3. Hypergeometric distribution.
Ang hypergeometric distribution ng isang random na variable ay may sumusunod na anyo:
Halimbawa, gumuhit ng isang batas ng pamamahagi ng 7 nahulaan na mga numero sa 49. Sa halimbawang ito, ang kabuuang mga numero N=49, n=7 mga numero ay inalis, M - ang kabuuang mga numero na may ibinigay na ari-arian, i.e. wastong nahulaan ang mga numero, ang m ay ang bilang ng mga wastong nahulaan na numero sa mga na-withdraw.
Ipinapakita ng talahanayan na ang posibilidad ng paghula ng isang numero m=1 ay mas mataas kaysa kapag m=0. Gayunpaman, ang posibilidad ay nagsisimula nang mabilis na bumaba. Kaya, ang posibilidad ng paghula ng 4 na numero ay mas mababa sa 0.005, at 5 ay bale-wala.
4. Batas sa pamamahagi ng Poisson.
Ang random variable X ay may Poisson distribution kung ang distribution law nito ay may anyo:
Np = const
n ay ang bilang ng mga pagsubok na may posibilidad na walang katapusan
p ay ang posibilidad ng kaganapan na naganap, na may posibilidad na maging zero
m ay ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A
Halimbawa, sa karaniwan, ang isang kumpanya ng TV ay tumatanggap ng humigit-kumulang 100 tawag bawat araw. Ang posibilidad ng pag-order ng isang brand A TV ay 0.08; B - 0.06 at C - 0.04. Iguhit ang batas ng pamamahagi ng mga order para sa pagbili ng mga TV set ng mga tatak A, B at C. Bumuo ng polygon ng probability distribution.
Mula sa kondisyon na mayroon tayo: m=100, ? 1=8, ? 2=6, ? 3 =4 (?10)
(hindi kumpleto ang talahanayan)
Kung ang n ay sapat na malaki upang mapunta sa infinity, at ang halaga ng p ay napupunta sa zero, upang ang produkto np ay mapupunta sa isang pare-parehong numero, kung gayon ang batas na ito ay isang pagtatantya sa batas ng binomial na pamamahagi. Makikita mula sa graph na mas malaki ang probability p, mas malapit ang curve sa m axis, i.e. mas malumanay. (Fig.4)
Dapat pansinin na ang mga batas ng binomial, geometric, hypergeometric at Poisson distribution ay nagpapahayag ng probability distribution ng isang discrete random variable.
5. Unipormeng batas sa pamamahagi.
Kung ang probability density? (x) ay isang pare-parehong halaga sa isang tiyak na pagitan, kung gayon ang batas sa pamamahagi ay tinatawag na uniporme. Ipinapakita ng Figure 5 ang mga graph ng probability distribution function at ang probability density ng unipormeng batas sa pamamahagi.
6. Batas sa normal na pamamahagi (Gauss law).
Kabilang sa mga batas ng pamamahagi ng tuluy-tuloy na random variable, ang pinakakaraniwan ay ang normal na batas sa pamamahagi. Ang isang random na variable ay ipinamamahagi ayon sa normal na batas ng pamamahagi kung ang probability density nito ay may anyo:
saan
a ay ang matematikal na inaasahan ng isang random na variable
? - karaniwang lihis
Ang graph ng probability density ng random variable na may normal na distribution law ay simetriko sa tuwid na linya x=a, ibig sabihin, x katumbas ng mathematical expectation. Kaya, kung x=a, ang curve ay may pinakamataas na katumbas ng:
Kapag nagbago ang halaga ng inaasahan sa matematika, lilipat ang curve sa axis ng Ox. Ang graph (Fig. 6) ay nagpapakita na sa x=3 ang curve ay may pinakamataas, dahil ang mathematical expectation ay 3. Kung ang mathematical expectation ay kukuha ng ibang value, halimbawa, a=6, ang curve ay magkakaroon ng maximum sa x=6. Sa pagsasalita tungkol sa standard deviation, tulad ng makikita mo mula sa graph, mas malaki ang standard deviation, mas maliit ang maximum na halaga ng probability density ng isang random variable.
Ang isang function na nagpapahayag ng distribusyon ng isang random na variable sa pagitan (-?, x), at pagkakaroon ng isang normal na batas sa pamamahagi, ay ipinahayag sa pamamagitan ng Laplace function ayon sa sumusunod na formula:
Yung. ang posibilidad ng isang random na variable X ay binubuo ng dalawang bahagi: ang posibilidad kung saan ang x ay kumukuha ng mga halaga mula sa minus infinity hanggang a, katumbas ng 0.5, at ang pangalawang bahagi ay mula sa a hanggang x. (Fig.7)
Sama-samang Pag-aaral
Mga kapaki-pakinabang na materyales para sa mga mag-aaral, diploma at term paper na iuutos
Aralin: ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable
Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay ang pagsusulatan sa pagitan ng mga posibleng halaga at ang kanilang mga probabilidad. Maaari itong tukuyin sa tabularly, graphically at analytically.
Ano ang random variable ay tinalakay sa araling ito.
Gamit ang tabular na paraan ng pagtatakda, ang unang hilera ng talahanayan ay naglalaman ng mga posibleng halaga, at ang pangalawa ay ang kanilang mga probabilidad, iyon ay.
Ang dami na ito ay tinatawag na serye ng pamamahagi. discrete random variable.
Ang X=x1, X=x2, X=xn ay bumubuo ng isang kumpletong grupo, dahil sa isang pagsubok ang random na variable ay kukuha ng isa at isang posibleng halaga lamang. Samakatuwid, ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay katumbas ng isa, iyon ay, p1 + p2 + pn = 1 o
Kung ang hanay ng mga halaga ng X ay walang hanggan, kung gayon 
Halimbawa 1. Mayroong 100 tiket na inisyu sa isang cash lottery. Isang panalo ng 1000 rubles at 10 sa 100 rubles ang nilalaro. Hanapin ang batas ng pamamahagi ng random variable X - ang halaga ng posibleng panalo para sa may-ari ng isang tiket sa lottery.
Ang nais na batas sa pamamahagi ay may anyo:
Kontrol; 0.01+0.1+0.89=1.
Gamit ang isang graphical na paraan ng pagtatakda ng batas sa pamamahagi, ang mga punto ay itinayo sa coordinate plane (Xi: Pi), at pagkatapos ay ikinonekta ang mga ito ng mga tuwid na linya ng linya. Ang nagresultang sirang linya ay tinatawag polygon ng pamamahagi. Halimbawa 1, ang distribution polygon ay ipinapakita sa Figure 1.
Sa analytical na paraan ng pagtatakda ng batas sa pamamahagi, ang isang formula ay ipinahiwatig na nag-uugnay sa mga probabilidad ng isang random na variable sa mga posibleng halaga nito.
Mga halimbawa ng discrete distribution
Binomial na pamamahagi
Hayaang gawin ang n pagsubok, sa bawat isa kung saan ang kaganapan A ay nangyayari na may pare-pareho ang posibilidad na p, samakatuwid, ay hindi nagaganap na may pare-parehong posibilidad. q = 1- p. Isaalang-alang ang isang random na variable X- ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A sa mga n pagsubok na ito. Ang mga posibleng halaga ng X ay x1 = 0 , x2 = 1,…, xn+1 = n . Ang posibilidad ng mga ito ay posible
Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay tinatawag na Windows XP Word 2003 Excel 2003 Ang mga batas ng pamamahagi ng mga discrete random variable Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay anumang kaugnayan na nagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random variable at […]
Sa pagkakaalam, random variable ay tinatawag na variable na maaaring tumagal sa ilang mga halaga depende sa kaso. Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin (X, Y, Z), at ang kanilang mga halaga ay tinutukoy ng kaukulang mga maliliit na titik (x, y, z). Ang mga random na variable ay nahahati sa discontinuous (discrete) at tuluy-tuloy.
Discrete random variable ay isang random na variable na kumukuha lamang ng finite o infinite (countable) set of values na may ilang partikular na non-zero probabilities.
Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay isang function na nag-uugnay sa mga halaga ng isang random na variable sa kanilang mga katumbas na probabilidad. Maaaring tukuyin ang batas sa pamamahagi sa isa sa mga sumusunod na paraan.
1 . Ang batas sa pamamahagi ay maaaring ibigay ng talahanayan:
kung saan λ>0, k = 0, 1, 2, … .
sa) sa pamamagitan ng paggamit function ng pamamahagi F(x) , na tumutukoy para sa bawat value x ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng halagang mas mababa sa x, i.e. F(x) = P(X< x).
Mga katangian ng function F(x)
3 . Ang batas sa pamamahagi ay maaaring itakda nang graphical – distribution polygon (polygon) (tingnan ang problema 3).
Tandaan na upang malutas ang ilang mga problema, hindi kinakailangang malaman ang batas sa pamamahagi. Sa ilang mga kaso, sapat na upang malaman ang isa o higit pang mga numero na nagpapakita ng pinakamahalagang katangian ng batas sa pamamahagi. Ito ay maaaring isang numero na may kahulugan ng "average na halaga" ng isang random na variable, o isang numero na nagpapakita ng average na laki ng deviation ng isang random na variable mula sa average na halaga nito. Ang mga numero ng ganitong uri ay tinatawag na mga numerical na katangian ng isang random na variable.
Mga pangunahing katangian ng numero ng isang discrete random variable :
- Pag-asa sa matematika
(mean value) ng isang discrete random variable M(X)=Σ x i p i.
Para sa binomial distribution M(X)=np, para sa Poisson distribution M(X)=λ - Pagpapakalat
discrete random variable D(X)=M2 o D(X) = M(X 2) − 2. Ang pagkakaiba ng X–M(X) ay tinatawag na paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito.
Para sa binomial distribution D(X)=npq, para sa Poisson distribution D(X)=λ - Karaniwang lihis (karaniwang lihis) σ(X)=√D(X).
Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable"
Gawain 1.
1000 lottery ticket ang naibigay: 5 sa kanila ang nanalo ng 500 rubles, 10 - 100 rubles, 20 - 50 rubles, 50 - 10 rubles. Tukuyin ang batas ng probability distribution ng random variable X - mga panalo sa bawat tiket.
Solusyon. Ayon sa kondisyon ng problema, ang mga sumusunod na halaga ng random variable X ay posible: 0, 10, 50, 100 at 500.
Ang bilang ng mga tiket na hindi nanalo ay 1000 - (5+10+20+50) = 915, pagkatapos ay P(X=0) = 915/1000 = 0.915.
Sa katulad na paraan, makikita natin ang lahat ng iba pang probabilities: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. Ipinakita namin ang nagresultang batas sa anyo ng isang talahanayan:
Hanapin ang mathematical na inaasahan ng X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
Gawain 3.
Ang aparato ay binubuo ng tatlong independiyenteng mga elemento ng pagpapatakbo. Ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento sa isang eksperimento ay 0.1. Gumuhit ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento, bumuo ng polygon ng pamamahagi. Hanapin ang distribution function na F(x) at i-plot ito. Hanapin ang mathematical expectation, variance at standard deviation ng isang discrete random variable.
Solusyon. 1. Ang discrete random variable X=(bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento) ay may mga sumusunod na posibleng halaga: x 1 =0 (wala sa mga elemento ng device ang nabigo), x 2 =1 (isang elemento ang nabigo), x 3 =2 ( dalawang elemento ang nabigo ) at x 4 \u003d 3 (tatlong elemento ang nabigo).
Ang mga pagkabigo ng mga elemento ay independiyente sa bawat isa, ang mga posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento ay katumbas ng bawat isa, samakatuwid, ito ay naaangkop Formula ni Bernoulli
. Dahil, sa pamamagitan ng kundisyon, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, tinutukoy namin ang mga probabilidad ng mga halaga:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
Suriin: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
Kaya, ang gustong binomial distribution law X ay may anyo:
Sa abscissa axis, inilalagay namin ang mga posibleng halaga x i, at sa ordinate axis, ang kaukulang probabilities р i . Bumuo tayo ng mga puntos na M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Ikinonekta ang mga puntong ito sa mga segment ng linya, makuha namin ang nais na polygon ng pamamahagi.
3. Hanapin ang distribution function F(x) = P(X
Para sa x ≤ 0 mayroon tayong F(x) = P(X<0) = 0;para sa 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
para sa 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
para sa 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
para sa x > 3 ito ay magiging F(x) = 1, dahil tiyak ang kaganapan.
 |
Graph ng function na F(x)
4.
Para sa binomial distribution X:
- inaasahan sa matematika М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- dispersion D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- karaniwang paglihis σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
