umiinog na paggalaw matibay na katawan sa paligid ng isang nakapirming punto ang paggalaw nito ay tinatawag, kung saan ang isang punto ng isang matibay na katawan o palaging konektado dito ay nananatiling hindi gumagalaw na nauugnay sa napiling reference frame. Tinatawag din itong spherical na paggalaw, dahil ang trajectory ng anumang punto ng katawan ay namamalagi sa ibabaw ng isang globo na nakasentro sa isang nakapirming punto. Ang isang halimbawa ng naturang paggalaw ay isang tuktok, na may isang nakapirming fulcrum.

Ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng isang matibay na katawan na malayang gumagalaw sa kalawakan ay anim. Kung sa panahon ng paggalaw ng katawan ang isa sa mga punto nito ay nananatiling maayos, kung gayon ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng naturang katawan sa panahon ng pag-ikot nito sa paligid ng nakapirming puntong ito ay magiging tatlo, at upang matantya ang posisyon nito, tatlong independiyenteng mga parameter ang dapat itakda. Ito ay maaaring gawin sa iba't ibang paraan. Halimbawa, A.N. Iminungkahi ni Krylov ang tinatawag na mga anggulo ng barko bilang mga naturang parameter, na tumutukoy sa posisyon ng isang matibay na katawan (barko) na may kaugnayan sa sistema ng coordinate na nauugnay sa pinagmulan nito sa sentro ng grabidad nito (Fig. 3.1).

Ang mga axes ng fixed coordinate system ay kinuha CXYZ, at para sa mga ehe na mahigpit na konektado sa barko - Cxyz(Larawan 3.1). Aksis CX nakadirekta mula sa popa hanggang sa busog ng barko, ang axis cz- sa starboard side nito, at sa axis CY bumubuo ng tamang coordinate system sa kanila (patayo pataas). Posisyon ng gumagalaw na coordinate system Cxyz, palaging nauugnay sa barko, medyo hindi natitinag CXYZ para sa bawat sandali ng oras ay tinutukoy ng tatlong anggulo ng Krylov: trim anggulo ,anggulo ng bangko ,anggulo ng yaw (Larawan 3.2).

Gaya ng nakikita sa fig. 3.2, eroplano CXY tumatawid sa eroplano xy sa ilang linya bumubuo ng isang anggulo na may axis CX at anggulo may ehe Cx. Eroplano CYZ tumatawid sa eroplano Cxy polylines Cy 1 na bumubuo ng isang anggulo na may axis Cy. Isaalang-alang ang paglipat mula sa system CXYZ sa sistema Cxyz ginawa ng tatlong liko.

Upang tumugma sa sistema CXYZ kasama ang sistema Cxyz tama na:

1) paikutin ang sistema CXYZ sa paligid ng ikatlong bahagi ng coordinate axes cz sa anggulo ng trim, bilang isang resulta kung saan nakuha namin ang system Cx 1 y 1 z 1 , at cz 1 =cz(Larawan 3.3);

2) paikutin ang system sa paligid ng una sa mga coordinate axes sa pamamagitan ng isang anggulo ng roll , bilang isang resulta kung saan nakakakuha kami ng isang system , habang (Fig. 3.4);

3) paikutin ang system sa paligid ng pangalawa ng mga coordinate axes sa pamamagitan ng anggulo ng yaw (Larawan 3.5), bilang isang resulta kung saan nakarating kami sa system Cxyz.

Ang mga pormula ng pagbabagong-anyo ng coordinate ay nauugnay sa mga sumusunod na ugnayan:

1) mula sa CXYZ sa (Larawan 3.3)

X = x 1 cos y - y 1 siny + 0 ,

Y =x 1 sin y + y 1 cos y + 0 , (3.1)

Z = 0 + 0 + z1,

o sa matrix form:

[X] =( isang 3 y ) t [ x 1 ] , o , (3.2)

kung saan ang matrix ay inilipat sa matrix na naglalarawan sa pag-ikot ng system CXYZ sa paligid ng ikatlong coordinate axis СZ sa trim angle y,

; (3.3)

2) mula sa system patungo sa system (Larawan 3.4)

x 1 = x 2 + 0 + 0 ,

y 1 = 0 + y 2 - z 2 , (3.4)

z 1 = 0 + y 2 +z 2 ,

o sa anyo ng matrix

[x 1 ] = [x 2] , o , (3.5)

kung saan inilipat ang matrix sa matrix , na tumutukoy sa pagbabagong-anyo ng pag-ikot mula sa mga axes ng system patungo sa mga axes ng system sa paligid ng una sa mga coordinate axes ng roll angle , na may = ,

; (3.6)

3) mula sa coordinate system hanggang sa system Cxyz(Larawan 3.5)

x 2 = x cos j + 0 + z sinj,

y 2 = 0 + y + 0 , (3.7)

z 2 = -x kasalanan j + 0 + z cosj,

o sa anyong matrix [ x 2 ]= [x], o

. (3.8)

Bukod dito, ang rotation matrix (a 2 j ) t ay ang matrix na inilipat sa matrix ( a 2 j ), na tumutukoy sa rotation transformation mula sa system axes hanggang sa system axes. Cxyz sa pamamagitan ng yaw angle j sa paligid ng pangalawa ng coordinate axes = , ay may anyo

. (3.9)

Para sa anumang punto M mga katawan na may mga coordinate x,y,z sa isang gumagalaw na sistema ng coordinate, mahigpit na konektado dito, at sa sarili nitong mga coordinate X,Y,Z– sa isang nakapirming sistema ng coordinate, posibleng maitatag ang kaugnayan ng mga projection ng point vector sa mga axes ng dalawang coordinate system,

, (3.10)

o sa anyo ng matrix

o , (3.11)

kung saan ang mga anggulo ng Krylov ay ilang function ng oras: trim angle , bank angle , yaw angle .

Ang matrix ay inilipat sa direksyon na cosine matrix, na tumutukoy sa pagbabago ng pag-ikot mula sa mga axes ng nakapirming sistema CXYZ sa mga palakol ng gumagalaw na sistema Cxyz, palaging nauugnay sa barko. Malinaw, kapag gumagalaw ang katawan, ang mga coordinate x,y,z manatiling pare-pareho sa kaibahan sa mga coordinate X,Y,Z.

Ang pagpapalit ng mga relasyon (3.5) at (3.8) sa (3.2), nakukuha namin:

Ang paghahambing (3.11) at (3.12), nalaman namin na ang nais na matrix ay produkto ng tatlong rotation matrice

=

=

.(3.13)

Ang pagpapalit ng kaugnayan (3.5) sa (3.2), makakakuha tayo ng isang intermediate na kaugnayan, na maaaring kailanganin sa ibang pagkakataon, [ X] = [x 2]. Ang intermediate rotation matrix = ay matatagpuan bilang produkto ng dalawang rotation matrice:

=

= (3.13a)

Mga anggulo ng Euler

Sa mga kaso kung saan ang angular na bilis ng pag-ikot sa isang direksyon ay mas malaki kaysa sa iba pang dalawa (generators, motors, turbines, gyroscopes), tatlong anggulo ng Euler ay pinili bilang tatlong independiyenteng mga parameter upang matukoy ang posisyon ng katawan: anggulo ng precession y (t),anggulo ng nutasyon q (t)at anggulo ng pag-ikot (natural na pag-ikot) j (t). Ang kanilang mga pangalan ay hiniram mula sa astronomiya.

Upang itakda ang mga anggulong ito, isaalang-alang ang pag-ikot ng isang matibay na katawan sa paligid ng isang nakapirming punto O. Hayaang magbigay ng ilang reference system at ang fixed coordinate system na nauugnay dito OXYZ, kaugnay kung saan gumagalaw ang matibay na katawan, at ang sistema ng coordinate na nauugnay sa matibay na katawan Oxyz, na gumagalaw na may kaugnayan sa una (Larawan 3.6 ... 3.8). Nangangahulugan ito na ang una at pangalawang coordinate system ay may isang karaniwang pinagmulan O, at ang mga anggulo na nabuo ng mga axes Oxyz may mga palakol OXYZ, pagbabago, ibig sabihin. sistema Oxyz
umiikot na may matibay na katawan sa paligid ng isang nakapirming punto O(Larawan 3.5 ... 3.8).

kanin. 3.6

Kinematic equation sa pangkalahatan na mga coordinate. Euler, Krylov anggulo, quaternions.

Sa kurso ng theoretical mechanics, ang spherical motion ay ibinigay ng mga anggulo ng Euler (Fig. 1.2) - ang precession angle y (pag-ikot sa paligid ng isang nakapirming axis Oz), nutation angle q (pag-ikot sa paligid ng isang semi-movable axis OK- mga linya ng intersection ng mga eroplano Oxy at Oξη, tinatawag na linya ng mga node) at ang anggulo ng tamang pag-ikot j (pag-ikot sa paligid ng axis na nauugnay sa katawan Oz).

kanin. 1.2. Sistema ng orientational na mga anggulo ng Euler ng isang matibay na katawan

Ang mga anggulo ng Euler ay nakalista dito sa pagkakasunud-sunod ng mga pagliko na gagawin sa isang nakapirming frame. Oxyz upang ito ay tugma sa mobile SC Oξηζ. Ang paggamit ng mga anggulo ng Euler sa spherical motion ay ginawa upang ipakita ang pangunahing posibilidad ng paglutas ng mga kaukulang problema ng kinematics. Narito mayroon tayong gawain na ilarawan ang gayong kilusan nang mas mahusay. Ang mga ugnayang kinematic na nagpapahayag ng mga projection ng angular velocity ng katawan sa axis ng coupled SC sa pamamagitan ng angular velocities ng mga ipinahiwatig na anggulo ay kinakatawan para sa mga anggulo ng Euler ng mga formula (na-verify gamit ang KIDIM program):

(1.1)

Sa kabila ng kaiklian ng naturang pagtutukoy ng posisyon ng isang katawan sa panahon ng spherical motion (3 degrees ng kalayaan, 3 coordinate), ito ay bihirang ginagamit sa modernong mekanika. Ito ay ipinaliwanag, sa partikular, sa pamamagitan ng katotohanan na ang mga formula para sa pagkalkula ng pangkalahatang mga tulin sa pamamagitan ng mga projection ng angular velocity ng katawan (inverse kinematic relations) ay naglalaman ng mga singularidad at walang simetriko, na nagpapalubha sa pagsusuri ng mga resulta at humahantong sa computational mga pagkakamali. Para sa mga anggulo ng Euler, ang mga ugnayang ito ay kinakatawan ng mga formula:

(1.2)

Mas mainam na gamitin ang mga parameter ng Rodrigues-Hamilton, mga quaternion, mga parameter ng Cayley-Klein.

Patunayan natin d'Alembert-Euler theorem.

Ang paglipat ng katawan na may nakapirming punto mula sa isang posisyon patungo sa isa pa ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pag-ikot sa ilang axis na dumadaan sa nakapirming punto.

Ang paggalaw ng katawan ay ganap na tinutukoy ng paggalaw ng anumang tatsulok na kabilang sa katawan. Samakatuwid, para sa spherical na paggalaw, ito ay katumbas ng paggalaw ng dalawang punto sa ilang globo na ang sentro ay tumutugma sa isang nakapirming punto, o ang paggalaw ng isang arko na nagkokonekta sa mga puntong ito. Ipagpalagay natin na bilang resulta ng paggalaw ng katawan sa oras D t ilang mga punto PERO inilipat sa buong globo sa isang posisyon AT(Larawan 1.3). Kasabay nito, ang punto na nasa posisyon AT, kumuha ng bagong posisyon MULA SA.

kanin. 1.3.

Eroplano ABC nag-intersect sa isang nakapirming globo sa isang bilog (maliit o malaking bilog). Kung ang D isa sa mga pole ng bilog na ito sa globo, kung gayon , dahil sila ay isosceles spherical at , dahil ang mga ito ay dalawang posisyon ng parehong arko ng globo AB. sa pamamagitan ng konstruksiyon (equidistant mula sa poste). Samakatuwid, maaari itong ihanay sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis OD sa gilid adb. Ang teorama ay napatunayan.

Mga parameter ng Rodrigues-Hamilton. Upang tukuyin ang gayong pag-ikot, na tatawagin namin dulong pagliko ng katawan, malinaw naman, kailangan mong itakda ang posisyon ng axis, direksyon at anggulo ng pag-ikot. Ang axis ng pag-ikot ay maaaring itakda sa pamamagitan ng isang unit vector na nakadirekta sa direksyon kung saan ang pag-ikot ng katawan ay mamamasid sa counterclockwise. Ang vector na ito ay natutukoy sa pamamagitan ng mga projection nito sa mga axes ng ilang SC (ang direksyon cosine ng mga anggulo nito sa mga axes ng SC na ito). Kaya, ang huling pag-ikot ay tinutukoy ng apat na scalar na dami - ang mga projection ng unit vector ng axis at ang halaga ng anggulo ng pag-ikot mismo sa paligid ng axis na ito.

Upang itakda ang apat na dami, ginagamit namin ang mga parameter ng Rodrigues-Hamilton, na tinutukoy namin dito λ 0 , λ1 , λ2 , λ 3 . Ang huling tatlong parameter ay karaniwang pinagsama sa isang vector =(λ 1 , λ2 , λ 3 ) T. Kaya, isasaalang-alang namin ang isang hanay ng mga dami ng scalar at vector λ 0 , . Ang mga parameter na ito ay ipinasok sa pamamagitan ng mga elemento ng end turn at maaaring tukuyin bilang mga sumusunod. Hayaan ang direktang vector ng axis sa paligid kung saan ginawa ang pag-ikot, at ψ ang halaga ng anggulo ng pag-ikot. Pagkatapos

Programang pang-edukasyon sa mga quaternion, bahagi 7: pagsasama ng mga angular na bilis, mga anggulo ng Euler-Krylov noong ika-27 ng Pebrero, 2018

Pagsasama ng mga angular na bilis

Kaya't sa wakas ay nakarating na kami sa pangunahing layunin ng mga quaternion - sa gawaing pinakakarapat-dapat nilang gawin at kung saan walang inaasahang alternatibo sa kanila.

Upang magsimula, sinisipa namin ang isang patay na kabayo, sa kahulugan ng mga anggulo ng Euler at Krylov, ngunit dapat na maunawaan ng isa kung ano ang nagtulak sa mga tao na mag-aral at mag-aplay ng tulad ng isang esoteric na bagay bilang quaternions (tatlong haka-haka na yunit, apat na dimensional na espasyo, kalahating anggulo) - hindi ba ito maaaring gawin sa isang course-roll -pitch!?

Ang gawain ay ang mga sumusunod: alam namin ang oryentasyon ng aming produkto sa unang sandali ng oras, at mayroon kaming angular velocity sensors (AVS). Ang mga ito ay maaaring mga makalumang mekanikal na sensor batay sa mga gyroscope (na-miswired sila sa kasumpa-sumpa na Proton), o mga microelectromechanical (MEMS) na sensor, o mas tumpak na fiber optics, o mga laser. Ang huling dalawa ay matigas ang ulo na tinatawag na mga gyroscope, at sa katunayan, ang ilaw ay tumatakbo sa isang bilog doon, ngunit ang pangalan na ito ay hindi pa rin ganap na tama. Gamit ang mga pagbabasa ng mga sensor na ito, dapat nating subaybayan nang eksakto kung aling pagliko ang ginawa ng produkto, sa madaling salita, subaybayan ang oryentasyon nito.

Inaasahan namin na naiintindihan na ng mambabasa na ang pag-iipon ng mga anggulo nang nakapag-iisa sa bawat isa sa mga axes ng sensor ay isang ganap na maling diskarte. Kunin natin halimbawa ang pag-ikot ng sasakyang panghimpapawid, isinasaalang-alang sa.

Sa una, ang sasakyang panghimpapawid ay lumilipad na may zero roll, pitch at heading. Pagkatapos ay gumawa siya ng 90-degree na pagliko sa bangko, pagkatapos ay isang 90-degree na pagliko. Tulad ng nakita natin kanina, pagkatapos ng dalawang pagliko na ito, ang eroplano ay nagsimulang lumipad nang patayo pababa, iyon ay, ang pitch nito ay naging katumbas ng -90 °, kahit na hindi kami gumawa ng anumang mga pagliko nang direkta sa kahabaan ng pitch axis!

Bilang karagdagan, ang oryentasyong ito ng sasakyang panghimpapawid ay nagpapakita ng kababalaghan ng "frame folding" o "hinged lock". Ayon sa GOST 20058-80 at katulad na DIN 9300 at ISO 1151-2:1985, kapag sinabi natin na ang sasakyang panghimpapawid ay may isang tiyak na heading, pitch at roll, nangangahulugan ito: ang kaukulang oryentasyon sa espasyo ay makakamit kung magsisimula tayo mula sa isang pahalang. posisyon sa hilaga, pagkatapos ay iikot namin ang eroplano sa kahabaan ng kurso, pagkatapos nito - sa pitch at, sa wakas, sa roll (tingnan ang figure). Kapag ang pitch ay ±90° (ang sasakyang panghimpapawid ay "tumingin" patayo pataas o patayo pababa), ang heading at roll ay magsisimulang gumana sa parehong paraan (heading 0° at bank 90° ay magbibigay ng parehong saloobin tulad ng heading 90° at bank 0 °, at walang katiyakan maraming iba pang mga kumbinasyon), na tinatawag na frame folding. Kung ipagpalagay natin na sa oryentasyong ito ang heading ay 90°, at ang roll ay zero (ito ay kung paano inirerekumenda na lutasin ang kalabuan), pagkatapos ay isang di-makatwirang maliit na pagliko ng sasakyang panghimpapawid sa kahabaan ng kurso (sa kahulugan, patungo sa pakpak , ibig sabihin, kapag nagtatrabaho sa timon) ay pipilitin ang pagtalon patungo sa 0°, bangko sa 90°, at ang pitch ay bababa sa pinakamaliit na pagliko na ito. Ang ibig sabihin ng "Jumpy" ay isang walang katapusang derivative sa puntong iyon - at ito ay malinaw na hindi maganda ...

Isa pang hindi inaasahang balakid: ang mga libro sa theoretical mechanics ay tumatalakay sa mga anggulo ng Euler at mga anggulo ng Krylov. Ang mga anggulo ng Euler ay may mga pangalan: precession, nutation, tamang pag-ikot - natagpuan nila ang kanilang paraan sa paglalarawan ng mabilis na pag-ikot ng mga bagay.

Ang mga anggulo ni Krylov: yaw, trim, roll. Ang Yaw ay kapareho ng heading, ang trim ay ang nautical term para sa pitch. Tila ang course-pitch-roll na pamilyar sa amin ay ang mga anggulo ng Krylov.

Wala ito doon.
Narito kung paano tinukoy ang mga anggulo ng Krylov:

(nakipaglaban sa tukso na mag-photoshop ng swan, crayfish at pike dito, humihila sa tatlong magkaparehong patayong direksyon)

Narito ang isang quote mula sa aklat ni Branz V.N. at Shmyglevsky I.P. - Paglalapat ng mga quaternion sa mga problema ng oryentasyon ng isang matibay na katawan (1973), p. 79:

Ang unang pag-ikot ay ginagawa sa paligid ng i 3 axis ng heading angle φ, ang pangalawang pag-ikot ay nangyayari sa kahabaan ng i` 2 axis ng roll angle ψ, at ang pangatlo - sa paligid ng e 1 axis ng pitch angle ϑ.

Mapapansin natin na ang mga pag-ikot ay hindi ginagawa sa parehong pagkakasunud-sunod tulad ng dati. Ang mga anggulo na tinutukoy sa ganitong paraan ay mayroon ding karapatang umiral, at sa maliit na roll at pitch deviations hindi sila magkakaiba sa mga naunang ipinakilala, ngunit nasa mga anggulo na katangian ng civil aviation aircraft, ang pagkakaiba ay mapapansin.

Kumuha tayo ng isang "degenerate" na halimbawa pagkatapos ng lahat - ang eroplano ay lumipad nang baligtad, habang upang hindi mahulog, itinaas ng kaunti ang ilong nito. Kapag inilalarawan namin ang posisyon ng sasakyang panghimpapawid sa pamamagitan ng mga anggulo ng Krylov, lumalabas na ang sasakyang panghimpapawid ay lumilipad na may negatibong pitch, dahil ang roll ay unang ginanap, at pagkatapos lamang - sa baligtad na sasakyang panghimpapawid - ang pitch ay pinaikot, kaya naman dapat itong baguhin ang sign - ito ay sa kasong ito, ang ilong ay mahila pataas.

Gayunpaman, ang GOST 20058-80 "DYNAMICS OF AIRCRAFT IN THE ATMOSPHERE" (http://docs.cntd.ru/document/gost-20058-80) ay nagbibigay ng bahagyang naiibang kahulugan ng pitch:
26. Pitch angle ϑ - ang anggulo sa pagitan ng longitudinal axis OX at ng horizontal plane OXgZg ng normal na coordinate system.

Iyon ay, kapag ang ilong ay nakatutok, ang pitch ay dapat palaging positibo, gaano man ang eroplano ay naka-bank!

Kahit na may sapat na makinis na mga pagliko, ang gayong pagkakaugnay ng mga anggulo ay magpapakita mismo, na hahantong sa isang maling pang-unawa sa oryentasyon ng bagay sa espasyo.

At sa pangkalahatan, ang mga kinematic equation para sa mga anggulo ay hindi masyadong masaya. Ipinakita namin ang mga ito para sa mga anggulo ng Euler at para sa mga angular na bilis na sinusukat sa isang pinagsamang batayan (iyon ay, ang mga sensor ay nakatayo sa bagay at umiikot kasama nito):

Siyempre, ang mga formula na ito ay hindi angkop para sa pagtatrabaho sa mga anggulo ng pitch, heading at roll na inilarawan sa GOST 20058-80 - kailangan mong kunin ang iba. Iwanan natin iyon bilang isang ehersisyo para sa mga pinaka-paulit-ulit na mambabasa.

Mayroong ilang mga pakinabang sa paglalarawan ng oryentasyon ng isang matibay na katawan bilang tatlong sulok:
- ito ang pinaka-compact, na nangangailangan lamang ng 3 numero,
- higit pa o hindi gaanong naiintindihan ng isang tao,
- kung minsan ay nagbibigay-daan sa iyo upang makahanap ng isang analytical na solusyon ng mga kinematic equation - para dito, minsang ipinakilala ni Euler ang kanyang mga anggulo.

Ang lahat ng iba pa ay mga pagkukulang: mga multi-level na formula na may maraming mga trigonometriko na pag-andar, ang hitsura ng mga espesyal na punto kung saan kailangan mong ilagay ang iyong "saklay" o sumuko nang maaga, na nagsasabing - huwag pumunta dito, kung hindi man ay mawawala tayo sa kalawakan! Mapapansin din natin na ang lahat ng mga anggulo ay maaaring lumaki nang walang hanggan, kaya magandang ideya na panatilihin ang bawat isa sa kanila sa loob ng mga makatwirang limitasyon, pagdaragdag o pagbabawas ng 2π kung kinakailangan. Para sa pitch, hindi magiging masama na limitahan ang ating sarili sa -π .. π, na nangangailangan ng pagwawasto hindi lamang sa pitch mismo, kundi pati na rin sa kurso. Halos anumang gawain na may tatlong anggulo ay mahirap - umiikot na mga vector, naghahambing ng dalawang posisyon, bumubuo ng mga pag-ikot, atbp. - kahit saan tayo ay natitisod sa dalawang-kuwento na mga expression at isahan na mga punto.

Ang mga anggulo ng Euler o Krylov (o anumang iba pa) ay hindi kailanman ginamit sa pagsasanay sa strapdown attitude control system, ngunit tahasang lumahok sa pagpapatakbo ng mga gyro platform. Sa katunayan, ang isang gyro platform ay isang sensor na nagbabalik ng oryentasyon ng device sa espasyo kaagad sa anyo ng mga anggulo, at bilang isang bonus, isinasama nito ang mga acceleration na inaasahang papunta sa mga nakapirming axes! Ang mga espesyal na punto ng "matematika" dito ay tumutugma sa mga espesyal na punto "sa bakal" - ang pagtiklop ng mga frame, maliban kung ang mga espesyal na hakbang ay ginawa, tulad ng pagpapakilala ng isang ikaapat (kalabisan) na frame, o kahit na ang pag-abandona ng mga frame pabor sa mga nested sphere.

Dalawang iba pang mga representasyon ng matibay na pag-ikot ng katawan - sa pamamagitan ng mga rotation matrice at sa pamamagitan ng quaternions - ay libre mula sa mga disadvantages ng tatlong anggulo. Ang lahat ng mga operasyon ay naging linear, walang mga singular na puntos. Itutuloy...

Ang mga anggulo ng Euler-Krylov

Tatlong anggulo ng Euler-Krylov at binilang na pakaliwa ay nagbibigay-daan sa natatanging itakda ang posisyong anggular ng isang matibay na katawan sa kalawakan. Ipinapakita ng figure ang isa sa mga uri ng mga anggulo ni Krylov - ang tinatawag na mga anggulo ng sasakyang panghimpapawid na ginagamit sa aviation.

Ang mga anggulo ng Euler-Krylov

Ang nakapirming frame ng sanggunian, kung saan ang angular na posisyon ng isang matibay na katawan (sasakyang panghimpapawid) ay isinasaalang-alang, ay nabuo ng kanang triple ng mga vectors. Ang axis ay nakadirekta sa kahabaan ng lokal na patayo mula sa gitna ng Earth, ang axis ay matatagpuan sa horizon plane at nakadirekta sa heograpikal na hilaga (N, North), at ang axis ay umaakma sa coordinate system sa kanan. Sa isang gumagalaw na bagay - halimbawa, isang sasakyang panghimpapawid (LA), - isang gumagalaw na sistema ng coordinate ay mahigpit na konektado. Ang axis nito ay nakadirekta sa kahabaan ng construction (longitudinal) axis ng sasakyang panghimpapawid, ang axis ay kasama ng normal na isa sa direksyon ng zenith, at ang axis ay nasa kahabaan ng transverse sa direksyon ng starboard side ng sasakyang panghimpapawid. Ang angular na posisyon (orientation) ng sasakyang panghimpapawid sa coordinate system ay ibinibigay ng kurso (), pitch () at roll (). Ang pagkakaroon ng isang minus sign sa harap ng mga anggulo ng sasakyang panghimpapawid ay dahil sa ang katunayan na ang kanilang mga positibong halaga, sa kaibahan sa mga klasikal na anggulo ng Euler-Krylov, ay binibilang nang sunud-sunod. Ang pangwakas na posisyon ng sasakyang panghimpapawid ay tinutukoy ng pagkakasunud-sunod ng mga pagliko

Exhibition sa MEMS accelerometer signal

Ang pamamaraan para sa pagtukoy ng mga paunang angular na coordinate ay tinatawag na isang eksibisyon. Para sa roll at pitch gamit ang isang three-axis MEMS accelerometer na gumagawa ng mga acceleration, at kasama ang X, Y at Z axes ng nauugnay na OXYZ moving coordinate system, ang mga kaukulang anggulo ay makikita mula sa mga projection ng gravitational acceleration vector g=9.81 m /s2 sa bawat isa sa mga axes, gamit ang mathematical apparatus ng rotation matrice (3.1)

kumakatawan sa mga halaga mula sa kani-kanilang mga output ng triaxial accelerometer.

Ipahayag natin mula sa (3.2) ang gravitational acceleration vector, kung saan pinaparami natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa kaliwa ng matrix:

Mula sa unang dalawang equation ng system (3.4) nakuha namin

MEMS Accelerometer Calibration

Ang error sa pagtukoy ng mga angular na coordinate ng isang bagay mula sa mga signal ng three-axis MEMS accelerometers ay higit sa lahat ay nakasalalay sa katumpakan ng pagtukoy sa mga salik sa pagwawasto na kinakalkula sa panahon ng pagkakalibrate.

Ang mga error sa pagbabasa ng triaxial accelerometer (TOA) ay dahil sa tatlong salik:

Ang pagkakaroon ng patuloy na pagkiling;

"leakage" ng signal mula sa isang channel patungo sa isa pa, sanhi ng hindi pagkakaugnay ng triple ng mga vector na bumubuo ng dalawang coordinate system: nauugnay sa OXYZ calibration turntable at nauugnay sa TOA (3.4);

Sariling mga ingay ng kurap.

Non-collinearity ng mga axes ng object coordinate system at accelerometer coordinate system

Mula dito, sumusunod na ang modelo ng matematika ng signal ng isang three-axis MEMS accelerometer ay magiging ganito:

kung saan ang vector ng accelerometer readings, ay ang diagonal matrix ng scaling factor, ay ang correction matrix, ay ang mga projection ng gravitational acceleration vector sa mga axes ng kanang trinity ng mga vectors ng coordinate system na nauugnay sa accelerometer, ay ang vector ng patuloy na mga displacement, ay ang TOA intrinsic noise vector.

Nang hindi isinasaalang-alang ang ingay, ang sistema ng mga equation (3.6), na nagsagawa ng mga operasyon ng pagpaparami ng mga matrice at vectors, ay maaaring isulat bilang:

Mula sa (3.7) sumusunod na upang mahanap ang mga parameter ng pagkakalibrate para sa isa sa mga axes, ang bilang ng mga sukat ay kinakailangan katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang parameter ng axis na ito: para sa Z axis - 2, para sa Y axis - 3, para sa ang X axis - 4.

Ang pagkakalibrate ng isang three-axis MEMS accelerometer ay kinabibilangan ng pagtatakda ng sensor sa isang priori na kilalang posisyon at paglutas ng isang overdetermined system ng mga equation para sa mga output signal nito. Kapag isinasagawa ang pamamaraang ito, kaugalian na itakda ang accelerometer sa 12 nakapirming posisyon

12 mga posisyon ng pagkakalibrate MEMS accelerometer

Ipinapakita ng B na upang mabawasan ang error sa pagtatantya, dapat isa-average ang mga coefficient ng pagkakalibrate na natagpuan mula sa bilang ng mga kumbinasyon. Gayunpaman, upang mabawasan ang oras ng pagkakalibrate, anim lamang na tinatawag na orthogonal na posisyon ang maaaring gamitin: 2), 4), 6), 7), 8) at 11); sa kasong ito, ang pagbaba sa bilang ng mga kumbinasyon na humahantong sa pagtaas ng error sa pagsukat ng mga elemento ng matrix ng scale factor k at ang mga elemento ng displacement vector b ng hindi hihigit sa 0.21% at 0.02%, ayon sa pagkakabanggit. Dapat pansinin na ang error sa pagsukat ng mga elemento ng correction matrix T ay maaaring tumaas ng hanggang sa daan-daang porsyento, ngunit dahil ang mga off-diagonal na elemento T ay karaniwang hindi lalampas, sa maliit na roll at pitch angles (hindi hihigit sa 30°), ang error sa pagsukat ng mga anggulong ito ay tataas ng hindi hihigit sa 0.5°.

Inilalarawan ng mga anggulo ng Euler ang pag-ikot ng isang bagay sa three-dimensional na Euclidean space. Sa kasong ito, ang dalawang rectangular coordinate system ay isinasaalang-alang na may isang karaniwang sentro: isang nakapirming system at isang mobile na nauugnay sa bagay. Sa Fig.1, ang fixed coordinate system ay itinalagang XYZ (ito ay nakatagilid), at ang gumagalaw na coordinate system ay itinalagang xyz. Ang mga anggulo ng Euler ay ang mga anggulo kung saan ang gumagalaw na sistema ng coordinate na nauugnay sa bagay ay pinaikot bago ihanay sa nakapirming sistema. Sa klasikal na bersyon, ang unang pag-ikot ay nangyayari sa pamamagitan ng isang anggulo α sa paligid ng z-axis na nauugnay sa object, hanggang sa ang x-axis na nauugnay sa object ay tumutugma sa XY plane ng fixed system. Ang ganitong pagkakataon ay magaganap sa linya ng intersection ng XY at xy na mga eroplano (linya N sa Fig. 1). Ang susunod na pag-ikot ay isinasagawa sa pamamagitan ng isang anggulo β sa paligid ng bagong posisyon ng x-axis na nauugnay sa bagay, hanggang ang mga applicate na axes ng parehong mga rectangular system ay nag-tutugma. Sa kasong ito, ang y-axis na nauugnay sa object ay nasa xy-plane ng fixed XYZ coordinate system. Ang huling pag-ikot ay ginawa ng isang anggulo γ sa paligid ng bagong posisyon ng applicate axis ng gumagalaw na coordinate system (ito ay magkakasabay sa parehong axis ng fixed system), pagkatapos kung saan ang XY at xy coordinate axes ay magkakasabay.

kanin. 1. Euler anggulo

Ang mga naturang pag-ikot ay hindi commutative, at ang huling posisyon ng gumagalaw na coordinate system ay nakasalalay sa pagkakasunud-sunod kung saan ang mga pag-ikot ay ginanap.

Kung ang mga coordinate ng vector R(r x , r y , r z) sa gumagalaw na coordinate system na XYZ ay kilala at ang mga anggulo ng Euler (α, β, γ) ng gumagalaw na coordinate system na xyz na may kaugnayan sa fixed one ay kilala, kung gayon ito ay posibleng kalkulahin ang mga coordinate ng vector na ito sa fixed coordinate system na xyz. Upang gawin ito, bumuo ng mga matrice ng tatlong magkakasunod na pag-ikot sa pamamagitan ng mga anggulo α, β, at γ:

Ang pag-multiply ng mga matrice na ito sa reverse order, makuha natin ang panghuling orthogonal matrix:

T= T 3 ×T2×T1,

na nagko-convert ng mga coordinate ng vector R(r x , r y , r z) ng gumagalaw na coordinate system sa mga coordinate ng vector N(n x , n y, n z) ng parehong haba sa fixed coordinate system:

N=T×R,

kung saan ang N at R ay mga column matrice ng kaukulang mga coordinate.

Ang mga anggulo ng Euler ay ang pinaka natural at nauunawaan kapag nagsasagawa ng iba't ibang mga pagpapatakbo ng pag-ikot ng bagay dahil tumutugma ang mga ito sa mga pag-ikot ng bagay na nakikita sa mga viewport ng mga 3D graphics system. Gayunpaman, ang kanilang paggamit sa mga computer animation system ay nahaharap sa isang bilang ng mga paghihirap. Una sa lahat, ito ay ang pangangailangan na pumili ng isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng mga pag-ikot ng bagay na may kaugnayan sa mga axes ng sistema ng coordinate. Kung paikutin mo muna ang isang bagay sa paligid ng X axis, pagkatapos ay sa paligid ng Y axis, at sa wakas sa paligid ng Z axis, hindi ito magiging parehong pag-ikot kung paikutin mo ang bagay na ito sa parehong mga anggulo, ngunit sa ibang pagkakasunud-sunod.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa - ang paglikha ng isang animation ng isang kubo kapag ito ay pinaikot sa paligid ng Z-axis ng sistema ng coordinate ng mundo sa pamamagitan ng isang anggulo na lampas sa 360°, halimbawa, sa isang anggulo na 450°. Subukan nating lumikha ng dalawang keyframe, kung saan dapat paikutin ang kubo ayon sa anggulong ito. Upang gawin ito, lumikha ng isang karaniwang kahon sa programang MaxScript:

b = kahon()

Pagkatapos nito, ilipat ang slider ng timeline ng animation sa frame 10, i-on ang Auto Key mode, at pagkatapos ay patakbuhin ang command:

b.pag-ikot.z_pag-ikot = 450

I-play ang animation. Ang bagay ay iikot lamang ng 90° dahil ang 360° na pag-ikot nito ay hindi papansinin. Ngayon gawin ang parehong sa 3ds Max program window. Ang animation ng bagay sa pagitan ng dalawang keyframe ay magaganap sa isang anggulo na 450°. Kaya, ang paggamit ng mga pag-ikot ng Euler sa mga computer graphics program na katulad ng MaxScript ay limitado sa sabay-sabay na pag-ikot sa isang anggulo na hindi hihigit sa 360°. Gayunpaman, hindi ka nito pinipigilan na gumawa ng animation nang manu-mano sa likod ng display screen.

Ang isa pang problema sa mga anggulo ng Euler ay ang gimbal lock. Ang hitsura nito ay nakasalalay sa pagpili ng pagkakasunud-sunod ng pag-ikot ng bagay. Halimbawa, paikutin muna natin ang isang bagay sa paligid ng Z axis nang 140°, pagkatapos ay sa paligid ng X axis ng 90°, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng 130° sa paligid ng Y axis (Fig. 2).

kanin. 2. Sunud-sunod na pag-ikot ng bagay

Kung gagawin natin muli ang parehong pagkakasunud-sunod ng mga pag-ikot, halimbawa, 10° sa paligid ng Z axis, pagkatapos ay 90° sa paligid ng X axis, at pagkatapos ay 0° sa paligid ng Y axis, makukuha natin ang parehong resulta. Ang problema ay kapag ang pag-ikot sa paligid ng X axis ay naging 90° o -90°, ang lokal na Y axis ng pag-ikot ay magiging parallel sa Z axis ngunit sa kabaligtaran ng direksyon, at samakatuwid ang pag-ikot sa paligid nito ay sumasalungat sa nakaraang pag-ikot sa paligid. ang Z axis.

Ang lock ng bisagra ay wala para sa mga matrice at quaternion. Ang mga quaternion ay nagbibigay ng maginhawang mathematical notation para sa posisyon at pag-ikot ng mga bagay sa espasyo. Kung ikukumpara sa mga anggulo ng Euler, pinapadali ng mga quaternion ang pagsasama-sama ng mga pag-ikot, gayundin ang pag-iwas sa problema ng hindi pag-ikot sa paligid ng isang axis, anuman ang pag-ikot sa iba pang mga axes. Kung ikukumpara sa mga matrice, mayroon silang mas higit na katatagan ng computational at maaaring maging mas mahusay. Ginagamit ang mga quaternion upang magsagawa ng mga pag-ikot sa computer graphics, robotics, game engine, navigation, molecular dynamics, at sa pangkalahatan kahit saan may mga problema sa mga anggulo o matrice ng Euler.

Panitikan

1. Euler angles at Gimbal lock [Electronic resource] / http://habrahabr.ru - Habrahabr, 2006. - Access mode: http://habrahabr.ru/post/183116/. – Petsa ng pag-access: 10.10.2013.
2. Quaternions at pag-ikot ng espasyo [Electronic resource] / http://ru.wikipedia.org/ - Wikipedia - ang libreng encyclopedia, 2001. - Access mode: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Quaternions_and_rotation_of_space. – Petsa ng pag-access: 10/11/2013.