Sa mga problema sa geometry, ang tagumpay ay nakasalalay hindi lamang sa kaalaman sa teorya, ngunit sa isang kalidad na pagguhit.
Sa mga patag na guhit, ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw. Ngunit sa stereometry, ang sitwasyon ay mas kumplikado. Pagkatapos ng lahat, ito ay kinakailangan upang ilarawan tatlong-dimensional katawan sa patag pagguhit, at sa paraang ikaw mismo at ang tumitingin sa iyong guhit ay makikita ang parehong tatlong-dimensional na katawan.

Paano ito gagawin?
Siyempre, ang anumang imahe ng isang three-dimensional na katawan sa isang eroplano ay magiging kondisyonal. Gayunpaman, mayroong isang tiyak na hanay ng mga patakaran. Mayroong pangkalahatang tinatanggap na paraan ng pagbuo ng mga blueprint − parallel projection.

Kumuha tayo ng solidong katawan.
Pumili tayo projection plane.
Sa bawat punto ng volumetric na katawan ay gumuhit kami ng mga tuwid na linya, parallel sa bawat isa at intersecting ang projection plane sa ilang anggulo. Ang bawat isa sa mga linyang ito ay nagsa-intersect sa projection plane sa isang punto. Magkasama, nabuo ang mga puntong ito projection volumetric na katawan sa isang eroplano, iyon ay, ang flat na imahe nito.

Paano bumuo ng mga projection ng volumetric na katawan?
Isipin na mayroon kang isang frame ng isang three-dimensional na katawan - isang prisma, isang pyramid o isang silindro. Ang pag-iilaw nito sa isang parallel beam ng liwanag, nakakakuha kami ng isang imahe - isang anino sa dingding o sa screen. Tandaan na ang iba't ibang mga imahe ay nakuha mula sa iba't ibang mga anggulo, ngunit ang ilang mga pattern ay naroroon pa rin:

Ang projection ng segment ay magiging segment.

Siyempre, kung ang segment ay patayo sa projection plane, ito ay ipapakita sa isang punto.

Sa pangkalahatang kaso, ang projection ng isang bilog ay magiging isang ellipse.

Ang projection ng isang rectangle ay isang paralelogram.

Ganito ang hitsura ng projection ng isang cube papunta sa isang eroplano:

Dito ang harap at likod na mga mukha ay parallel sa projection plane

Magagawa mo ito sa ibang paraan:

Kahit anong anggulo ang piliin natin, Ang mga projection ng parallel segment sa drawing ay magiging parallel segment din. Ito ay isa sa mga prinsipyo ng parallel projection.

Gumuhit kami ng mga projection ng pyramid,

silindro:

Muli, inuulit namin ang pangunahing prinsipyo ng parallel projection. Pinipili namin ang projection plane at gumuhit ng mga tuwid na linya parallel sa bawat isa sa bawat punto ng volumetric body. Ang mga linyang ito ay bumalandra sa projection plane sa ilang anggulo. Kung ang anggulong ito ay 90°, ito ay hugis-parihaba na projection. Sa tulong ng rectangular projection, ang mga guhit ng tatlong-dimensional na bahagi sa engineering ay itinayo. Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa top view, front view, at side view.

Kabanata IV. Mga tuwid na linya at eroplano sa kalawakan. Polyhedra

§ 55. Projection area ng isang polygon.

Alalahanin na ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay ang anggulo sa pagitan ng isang ibinigay na linya at ang projection nito papunta sa eroplano (Larawan 164).

Teorama. Ang lugar ng orthogonal projection ng polygon papunta sa eroplano ay katumbas ng lugar ng projected polygon na pinarami ng cosine ng anggulo na nabuo ng plane ng polygon at ng projection plane.

Ang bawat polygon ay maaaring hatiin sa mga tatsulok, ang kabuuan ng mga lugar kung saan ay katumbas ng lugar ng polygon. Samakatuwid, ito ay sapat na upang patunayan ang teorama para sa isang tatsulok.

Hayaan /\ Ang ABC ay naka-project sa isang eroplano R. Isaalang-alang ang dalawang kaso:
a) isa sa mga partido /\ Ang ABC ay parallel sa eroplano R;
b) wala sa mga partido /\ Ang ABC ay hindi parallel R.

Isipin mo unang kaso: hayaan [AB] || R.

Gumuhit sa pamamagitan ng (AB) na eroplano R 1 || R at proyektong orthogonally /\ Naka-on ang ABC R 1 at sa R(Larawan 165); nakukuha natin /\ ABC 1 at /\ A"B"S".
Sa pamamagitan ng projection property, mayroon kami /\ ABC 1 /\ A"B"C", at samakatuwid

S /\ ABC1=S /\ A"B"C"

Gumuhit tayo ng _|_ at ang bahaging D 1 C 1 . Pagkatapos _|_ , a = φ ay ang anggulo sa pagitan ng eroplano /\ ABC at eroplano R isa. kaya lang

S /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

at samakatuwid S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Lumipat tayo sa pagsasaalang-alang pangalawang kaso. Gumuhit ng eroplano R 1 || R sa tuktok na iyon /\ ABC, ang layo mula sa kung saan sa eroplano R ang pinakamaliit (hayaan itong maging vertex A).
Kami ang magde-design /\ ABC sa isang eroplano R 1 at R(Larawan 166); hayaan ang mga projection nito ayon sa pagkakabanggit /\ AB 1 C 1 at /\ A"B"S".

Hayaan (araw) p 1 = D. Pagkatapos

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Isang gawain. Ang isang eroplano ay iginuhit sa gilid ng base ng isang regular na triangular na prisma sa isang anggulo φ = 30° sa eroplano ng base nito. Hanapin ang lugar ng resultang seksyon kung ang gilid ng base ng prisma a= 6 cm.

Ilarawan natin ang seksyon ng prisma na ito (Larawan 167). Dahil ang prisma ay regular, ang mga gilid na gilid nito ay patayo sa eroplano ng base. Ibig sabihin, /\ Ang ABC ay isang projection /\ ADC, kaya

Detalyadong patunay ng polygon orthogonal projection theorem

Kung - projection ng isang patag n -gon sa isang eroplano, kung gayon, nasaan ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ng mga polygon at. Sa madaling salita, ang projection area ng flat polygon ay katumbas ng produkto ng area ng projected polygon at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng projection plane at ng plane ng projected polygon.

Patunay. ako yugto. Gawin muna natin ang patunay para sa tatsulok. Isaalang-alang natin ang 5 kaso.

1 kaso. humiga sa projection plane .

Hayaan ang mga projection ng mga punto papunta sa eroplano, ayon sa pagkakabanggit. Sa kaso natin. Ipagpalagay natin na. Hayaan - taas, pagkatapos ay sa pamamagitan ng teorama ng tatlong patayo, maaari nating tapusin na - taas (- ang projection ng hilig, - ang base nito at ang tuwid na linya ay dumadaan sa base ng hilig, bukod dito).

Isipin mo. Ito ay hugis-parihaba. Sa pamamagitan ng kahulugan ng cosine:

Sa kabilang banda, dahil at, pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan, ay ang linear na anggulo ng dihedral na anggulo na nabuo ng kalahating eroplano ng mga eroplano at may linya ng hangganan, at, samakatuwid, ang sukat nito ay ang sukat din ng anggulo sa pagitan ang projection planes ng triangle at ang triangle mismo, iyon ay.

Hanapin ang ratio ng lugar sa:

Tandaan na ang formula ay nananatiling totoo kahit na kapag . Sa kasong ito

ika-2 kaso. Nakahiga lamang sa projection plane at parallel sa projection plane .

Hayaan ang mga projection ng mga punto papunta sa eroplano, ayon sa pagkakabanggit. Sa kaso natin.

Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng punto. Sa aming kaso, ang tuwid na linya ay bumalandra sa projection plane, samakatuwid, sa pamamagitan ng lemma, ang tuwid na linya ay nag-intersect din sa projection plane. Hayaan ito sa isang punto Dahil, ang mga punto ay nasa parehong eroplano, at dahil ito ay parallel sa projection plane, ito ay sumusunod mula sa sign ng parallelism ng tuwid na linya at ang eroplano na. Samakatuwid, ay isang paralelogram. Isaalang-alang at. Ang mga ito ay pantay sa tatlong panig (- karaniwan, tulad ng magkasalungat na panig ng isang paralelogram). Tandaan na ang quadrilateral ay isang parihaba at pantay-pantay (kasama ang binti at hypotenuse), samakatuwid, ito ay pantay sa tatlong panig. kaya lang.

Para sa 1 kaso ay naaangkop:, ibig sabihin.

ika-3 kaso. Namamalagi lamang sa projection plane at hindi parallel sa projection plane .

Hayaang ang punto ay ang punto ng intersection ng linya sa projection plane. Tandaan natin na i. Sa 1 pagkakataon: i. Kaya nakuha namin iyon

4 kaso. Ang mga vertice ay hindi nakahiga sa projection plane . Isaalang-alang ang mga perpendicular. Kunin ang pinakamaliit sa mga perpendicular na ito. Hayaan itong patayo. Ito ay maaaring lumabas na alinman lamang, o lamang. Tapos kinukuha pa namin.

Magtabi tayo ng isang punto mula sa isang punto sa isang segment, upang iyon at mula sa isang punto sa isang segment, isang punto, upang iyon. Ang ganitong konstruksiyon ay posible, dahil - ang pinakamaliit sa mga patayo. Tandaan na ito ay isang projection at, sa pamamagitan ng pagbuo. Patunayan natin iyan at pantay-pantay.

Isaalang-alang natin ang isang quadrilateral. Sa pamamagitan ng kondisyon - patayo sa isang eroplano, samakatuwid, ayon sa teorama, samakatuwid. Dahil sa pamamagitan ng pagtatayo, pagkatapos ay sa batayan ng isang parallelogram (sa parallel at pantay na magkabilang panig), maaari nating tapusin na - isang parallelogram. Ibig sabihin, . Ito ay pinatunayan katulad na, . Samakatuwid, at pantay-pantay sa tatlong panig. kaya lang. Tandaan na at, bilang magkasalungat na panig ng parallelograms, samakatuwid, sa batayan ng parallelism ng mga eroplano, . Dahil ang mga eroplanong ito ay parallel, bumubuo sila ng parehong anggulo sa projection plane.

Para sa mga nakaraang kaso, nalalapat:

5 kaso. Ang projection plane ay nag-intersect sa mga gilid . Tingnan natin ang mga tuwid na linya. Ang mga ito ay patayo sa projection plane, kaya sa pamamagitan ng theorem sila ay parallel. Sa mga co-directed ray na may mga pinagmulan sa mga punto, itinatabi namin ang pantay na mga segment, ayon sa pagkakabanggit, upang ang mga vertex ay nasa labas ng projection plane. Tandaan na ito ay isang projection at, sa pamamagitan ng pagbuo. Ipakita natin na ito ay pantay.

Mula noon at, sa pamamagitan ng pagtatayo, noon. Samakatuwid, sa batayan ng isang paralelogram (sa dalawang pantay at magkatulad na panig), - isang paralelogram. Maaari itong mapatunayang katulad na at mga paralelogram. Ngunit pagkatapos, at (bilang magkasalungat na panig), samakatuwid, ay pantay sa tatlong panig. Ibig sabihin, .

Bilang karagdagan, at, samakatuwid, sa batayan ng paralelismo ng mga eroplano. Dahil ang mga eroplanong ito ay parallel, bumubuo sila ng parehong anggulo sa projection plane.

Para sa naaangkop na kaso 4:.

II yugto. Hatiin natin ang flat polygon sa mga triangles gamit ang mga diagonal na iginuhit mula sa vertex: Pagkatapos, ayon sa mga nakaraang kaso para sa mga triangles: .

Q.E.D.