Equation na may x sa degree. Solusyon ng exponential-power equation, algorithm at mga halimbawa

Ang araling ito ay inilaan para sa mga nagsisimula pa lamang matuto ng mga exponential equation. Gaya ng nakasanayan, magsimula tayo sa isang kahulugan at mga simpleng halimbawa.

Kung binabasa mo ang araling ito, pinaghihinalaan ko na mayroon ka nang hindi bababa sa kaunting pag-unawa sa pinakasimpleng mga equation - linear at square: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ atbp. Upang malutas ang mga naturang konstruksiyon ay ganap na kinakailangan upang hindi "mag-hang" sa paksang tatalakayin ngayon.

Kaya, exponential equation. Hayaan akong bigyan ka ng ilang halimbawa:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Ang ilan sa kanila ay maaaring mukhang mas kumplikado sa iyo, ang ilan sa kanila, sa kabaligtaran, ay masyadong simple. Ngunit lahat ng mga ito ay pinagsama ng isang mahalagang tampok: naglalaman ang mga ito ng exponential function $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Kaya, ipinakilala namin ang kahulugan:

Ang exponential equation ay anumang equation na naglalaman ng exponential function, i.e. isang pagpapahayag ng anyong $((a)^(x))$. Bilang karagdagan sa tinukoy na function, ang mga naturang equation ay maaaring maglaman ng anumang iba pang mga algebraic constructions - polynomials, roots, trigonometry, logarithms, atbp.

Sige. Naunawaan ang kahulugan. Ngayon ang tanong ay: kung paano malutas ang lahat ng crap na ito? Ang sagot ay parehong simple at kumplikado sa parehong oras.

Magsimula tayo sa mabuting balita: mula sa aking karanasan sa maraming estudyante, masasabi kong para sa karamihan sa kanila, ang mga exponential equation ay mas madali kaysa sa parehong logarithms, at higit pa sa trigonometrya.

Ngunit mayroon ding masamang balita: kung minsan ang mga nagtitipon ng mga problema para sa lahat ng uri ng mga aklat-aralin at pagsusulit ay binibisita ng "inspirasyon", at ang kanilang utak na nag-aapoy sa droga ay nagsisimulang gumawa ng gayong brutal na mga equation na nagiging problema hindi lamang para sa mga mag-aaral na lutasin ang mga ito - kahit na maraming mga guro ang naipit sa mga ganitong problema.

Gayunpaman, huwag nating pag-usapan ang mga malungkot na bagay. At bumalik tayo sa tatlong equation na ibinigay sa pinakasimula ng kwento. Subukan nating lutasin ang bawat isa sa kanila.

Unang equation: $((2)^(x))=4$. Buweno, sa anong kapangyarihan dapat itaas ang numero 2 upang makuha ang numero 4? Marahil ang pangalawa? Pagkatapos ng lahat, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — at nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero, i.e. talaga $x=2$. Well, salamat, cap, ngunit ang equation na ito ay napakasimple na kahit na ang aking pusa ay malulutas ito. :)

Tingnan natin ang sumusunod na equation:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ngunit narito ito ay medyo mas mahirap. Alam ng maraming estudyante na ang $((5)^(2))=25$ ay ang multiplication table. Pinaghihinalaan din ng ilan na ang $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ ay mahalagang kahulugan ng mga negatibong exponents (katulad ng formula na $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Sa wakas, ilang pili lamang ang hulaan na ang mga katotohanang ito ay maaaring pagsamahin at ang output ay ang sumusunod na resulta:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Kaya, ang aming orihinal na equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

At ngayon ito ay ganap na nalutas! Sa kaliwang bahagi ng equation mayroong isang exponential function, sa kanang bahagi ng equation mayroong isang exponential function, walang iba maliban sa kanila kahit saan pa. Samakatuwid, posible na "itapon" ang mga base at hangal na katumbas ng mga tagapagpahiwatig:

Nakuha namin ang pinakasimpleng linear equation na kayang lutasin ng sinumang mag-aaral sa loob lamang ng ilang linya. Okay, sa apat na linya:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Kung hindi mo maintindihan kung ano ang nangyari sa huling apat na linya, siguraduhing bumalik sa paksang "linear equation" at ulitin ito. Dahil kung walang malinaw na asimilasyon ng paksang ito, masyadong maaga para sa iyo na kumuha ng mga exponential equation.

\[((9)^(x))=-3\]

Well, paano ka magdedesisyon? Unang naisip: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, kaya ang orihinal na equation ay maaaring muling isulat nang ganito:

\[((\kaliwa(((3)^(2)) \kanan))^(x))=-3\]

Pagkatapos ay naaalala namin na kapag nagtataas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang mga tagapagpahiwatig ay pinarami:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

At para sa gayong desisyon, nakakakuha tayo ng isang matapat na karapat-dapat na deuce. Para sa amin, na may pagkakapantay-pantay ng isang Pokémon, ipinadala ang minus sign sa harap ng tatlo sa kapangyarihan ng tatlong ito. At hindi mo magagawa iyon. At dahil jan. Tingnan ang iba't ibang kapangyarihan ng triple:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Pag-compile ng tablet na ito, hindi ako nag-pervert sa sandaling ginawa ko: Itinuring ko ang mga positibong degree, at negatibo, at kahit na fractional ... well, nasaan ang kahit isang negatibong numero dito? Siya ay hindi! At hindi maaari, dahil ang exponential function na $y=((a)^(x))$, una, palaging kumukuha lamang ng mga positibong halaga (kahit gaano mo i-multiply ang isa o hatiin sa dalawa, ito ay magiging isang positibong numero), at pangalawa, ang base ng naturang function, ang numerong $a$, ay bilang isang positibong numero!

Well, kung paano pagkatapos ay upang malutas ang equation $((9)^(x))=-3$? Hindi, walang mga ugat. At sa ganitong diwa, ang mga exponential equation ay halos kapareho sa mga quadratic - maaaring wala ring mga ugat. Ngunit kung sa quadratic equation ang bilang ng mga ugat ay tinutukoy ng discriminant (ang discriminant ay positibo - 2 ugat, negatibo - walang ugat), kung gayon sa mga exponential equation ang lahat ay nakasalalay sa kung ano ang nasa kanan ng pantay na tanda.

Kaya, binubuo namin ang pangunahing konklusyon: ang pinakasimpleng exponential equation ng form na $((a)^(x))=b$ ay may ugat kung at kung $b>0$ lamang. Alam ang simpleng katotohanang ito, madali mong matukoy kung ang equation na iminungkahi sa iyo ay may mga ugat o wala. Yung. ito ba ay nagkakahalaga ng paglutas nito o agad na isulat na walang mga ugat.

Ang kaalamang ito ay makakatulong sa atin nang maraming beses kapag kailangan nating lutasin ang mas kumplikadong mga problema. Pansamantala, sapat na lyrics - oras na upang pag-aralan ang pangunahing algorithm para sa paglutas ng mga exponential equation.

Paano malutas ang mga exponential equation

Kaya, bumalangkas tayo ng problema. Ito ay kinakailangan upang malutas ang exponential equation:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Ayon sa "naive" na algorithm na ginamit namin kanina, kinakailangang katawanin ang numerong $b$ bilang kapangyarihan ng numerong $a$:

Bilang karagdagan, kung sa halip na ang variable na $x$ ay mayroong anumang expression, makakakuha tayo ng bagong equation, na maaari nang malutas. Halimbawa:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

At kakatwa, gumagana ang scheme na ito sa halos 90% ng mga kaso. Paano ang iba pang 10% kung gayon? Ang natitirang 10% ay bahagyang "schizophrenic" exponential equation ng form:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Sa anong kapangyarihan kailangan mong itaas ang 2 upang makakuha ng 3? Sa una? Ngunit hindi: $((2)^(1))=2$ ay hindi sapat. Sa pangalawa? Ni: $((2)^(2))=4$ ay sobra. Ano ngayon?

Ang mga maalam na mag-aaral ay marahil ay nahulaan na: sa mga ganitong kaso, kapag imposibleng malutas ang "maganda", ang "mabigat na artilerya" ay konektado sa kaso - logarithms. Ipaalala ko sa iyo na gamit ang logarithms, anumang positibong numero ay maaaring katawanin bilang kapangyarihan ng anumang iba pang positibong numero (maliban sa isa):

Tandaan ang formula na ito? Kapag sinabi ko sa aking mga mag-aaral ang tungkol sa logarithm, palagi kitang binabalaan: ang pormula na ito (ito rin ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan o, kung gusto mo, ang kahulugan ng logarithm) ay magmumulto sa iyo nang napakatagal at "lalabas" sa karamihan. mga hindi inaasahang lugar. Well, lumabas siya. Tingnan natin ang aming equation at ang formula na ito:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Kung ipagpalagay namin na ang $a=3$ ay ang aming orihinal na numero sa kanan, at ang $b=2$ ay ang pinaka-base ng exponential function na kung saan gusto naming bawasan ang kanang bahagi, makukuha namin ang sumusunod:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Nakakuha kami ng medyo kakaibang sagot: $x=((\log )_(2))3$. Sa ilang iba pang gawain, sa ganoong sagot, marami ang magdududa at magsisimulang mag-double check sa kanilang solusyon: paano kung may pagkakamali sa isang lugar? Nagmamadali akong pasayahin ka: walang error dito, at ang logarithms sa mga ugat ng exponential equation ay isang pangkaraniwang sitwasyon. Kaya masanay ka na. :)

Ngayon malulutas namin sa pamamagitan ng pagkakatulad ang natitirang dalawang equation:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Iyon lang! Sa pamamagitan ng paraan, ang huling sagot ay maaaring isulat sa ibang paraan:

Kami ang nagpakilala ng multiplier sa argumento ng logarithm. Ngunit walang pumipigil sa amin na idagdag ang salik na ito sa base:

Bukod dito, ang lahat ng tatlong mga pagpipilian ay tama - ang mga ito ay iba't ibang paraan ng pagsulat ng parehong numero. Alin ang pipiliin at isusulat sa desisyong ito ay nasa iyo.

Kaya, natutunan nating lutasin ang anumang mga exponential equation ng anyong $((a)^(x))=b$, kung saan ang mga numerong $a$ at $b$ ay mahigpit na positibo. Gayunpaman, ang malupit na katotohanan ng ating mundo ay ang gayong mga simpleng gawain ay makakatagpo sa iyo nang napakabihirang. Mas madalas makakatagpo ka ng ganito:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]

Well, paano ka magdedesisyon? Maaari ba itong malutas sa lahat? At kung gayon, paano?

Walang panic. Ang lahat ng mga equation na ito ay mabilis at simpleng nabawasan sa mga simpleng formula na napag-isipan na natin. Kailangan mo lang malaman upang matandaan ang ilang mga trick mula sa kursong algebra. At siyempre, walang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree dito. Pag-uusapan ko ang lahat ng ito ngayon. :)

Pagbabago ng mga exponential equation

Ang unang bagay na dapat tandaan ay ang anumang exponential equation, gaano man ito kakumplikado, ang isang paraan o iba pa ay dapat na bawasan sa pinakasimpleng mga equation - ang mismong mga napag-isipan na natin at alam natin kung paano lutasin. Sa madaling salita, ang scheme para sa paglutas ng anumang exponential equation ay ganito ang hitsura:

Isulat ang orihinal na equation. Halimbawa: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Gumawa ng ilang katangahan. O kahit ilang crap na tinatawag na "ibahin ang anyo ng equation";
Sa output, kunin ang pinakasimpleng expression tulad ng $((4)^(x))=4$ o iba pang katulad niyan. Bukod dito, ang isang paunang equation ay maaaring magbigay ng ilang ganoong mga expression nang sabay-sabay.

Sa unang punto, ang lahat ay malinaw - kahit na ang aking pusa ay maaaring isulat ang equation sa isang dahon. Sa ikatlong punto, masyadong, tila, ito ay higit pa o hindi gaanong malinaw - nalutas na natin ang isang buong grupo ng mga naturang equation sa itaas.

Ngunit ano ang tungkol sa pangalawang punto? Ano ang mga pagbabago? Ano ang iko-convert sa ano? At kung paano?

Well, pag-isipan natin ito. Una sa lahat, nais kong ituro ang mga sumusunod. Ang lahat ng exponential equation ay nahahati sa dalawang uri:

Ang equation ay binubuo ng mga exponential function na may parehong base. Halimbawa: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Ang formula ay naglalaman ng mga exponential function na may iba't ibang base. Mga halimbawa: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ at $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

Magsimula tayo sa mga equation ng unang uri - ang mga ito ang pinakamadaling lutasin. At sa kanilang solusyon ay tutulungan tayo ng isang pamamaraan tulad ng pagpili ng mga matatag na expression.

Nagha-highlight ng isang matatag na expression

Tingnan natin muli ang equation na ito:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ano ang nakikita natin? Ang apat ay itinaas sa iba't ibang antas. Ngunit ang lahat ng kapangyarihang ito ay mga simpleng kabuuan ng variable na $x$ sa iba pang mga numero. Samakatuwid, kinakailangang tandaan ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]

Sa madaling salita, ang pagdaragdag ng mga exponent ay maaaring ma-convert sa isang produkto ng mga kapangyarihan, at ang pagbabawas ay madaling ma-convert sa dibisyon. Subukan nating ilapat ang mga formula na ito sa mga kapangyarihan mula sa ating equation:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Isinulat namin muli ang orihinal na equation na isinasaalang-alang ang katotohanang ito, at pagkatapos ay kinokolekta namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -labing-isa; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Ang unang apat na termino ay naglalaman ng elementong $((4)^(x))$ — alisin natin ito sa bracket:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Ito ay nananatiling hatiin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng fraction na $-\frac(11)(4)$, i.e. mahalagang i-multiply sa baligtad na fraction - $-\frac(4)(11)$. Nakukuha namin:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

Iyon lang! Binawasan namin ang orihinal na equation sa pinakasimpleng at nakuha ang huling sagot.

Kasabay nito, sa proseso ng paglutas, natuklasan namin (at inalis pa sa bracket) ang karaniwang kadahilanan na $((4)^(x))$ - ito ang matatag na expression. Maaari itong italaga bilang isang bagong variable, o maaari mo lamang itong ipahayag nang tumpak at makakuha ng sagot. Sa anumang kaso, ang pangunahing prinsipyo ng solusyon ay ang mga sumusunod:

Hanapin sa orihinal na equation ang isang stable na expression na naglalaman ng variable na madaling makilala sa lahat ng exponential function.

Ang mabuting balita ay halos lahat ng exponential equation ay umamin ng ganoong matatag na expression.

Ngunit mayroon ding masamang balita: ang gayong mga ekspresyon ay maaaring maging lubhang nakakalito, at maaaring maging mahirap na makilala ang mga ito. Kaya tingnan natin ang isa pang problema:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Marahil ay may magtatanong ngayon: “Pasha, binato ka ba? Narito ang iba't ibang mga base - 5 at 0.2. Ngunit subukan nating i-convert ang isang kapangyarihan na may base na 0.2. Halimbawa, alisin natin ang decimal fraction, dalhin ito sa karaniwan:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\kaliwa(x+1 \kanan)))=((\kaliwa(\frac(2)(10) ) \kanan))^(-\kaliwa(x+1 \kanan)))=((\kaliwa(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kaliwa(x+1 \kanan)) )\]

Tulad ng makikita mo, ang numero 5 ay lumitaw pa rin, kahit na sa denominator. Kasabay nito, muling isinulat ang indicator bilang negatibo. At ngayon naaalala namin ang isa sa pinakamahalagang panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga degree:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Dito, siyempre, dinaya ko ng kaunti. Dahil para sa isang kumpletong pag-unawa, ang pormula para sa pag-alis ng mga negatibong tagapagpahiwatig ay kailangang isulat tulad ng sumusunod:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\kaliwa(\frac(1)(a) \kanan))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ kanan))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Sa kabilang banda, walang pumipigil sa amin na magtrabaho sa isang bahagi lamang:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ kanan))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Ngunit sa kasong ito, kailangan mong mapataas ang isang antas sa isa pang antas (Ipapaalala ko sa iyo: sa kasong ito, ang mga tagapagpahiwatig ay idinagdag). Ngunit hindi ko kailangang "i-flip" ang mga fraction - marahil para sa isang tao ay magiging mas madali ito. :)

Sa anumang kaso, ang orihinal na exponential equation ay muling isusulat bilang:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Kaya lumalabas na ang orihinal na equation ay mas madaling malutas kaysa sa naunang isinasaalang-alang: dito hindi mo na kailangang mag-isa ng isang matatag na expression - lahat ay nabawasan nang mag-isa. Nananatili lamang na tandaan na $1=((5)^(0))$, kung saan natin makukuha:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

Iyan ang buong solusyon! Nakuha namin ang huling sagot: $x=-2$. Kasabay nito, nais kong tandaan ang isang trick na lubos na pinasimple ang lahat ng mga kalkulasyon para sa amin:

Sa mga exponential equation, siguraduhing alisin ang mga decimal fraction, isalin ang mga ito sa mga ordinaryong. Papayagan ka nitong makita ang parehong mga base ng mga degree at lubos na gawing simple ang solusyon.

Ngayon ay lumipat tayo sa mas kumplikadong mga equation kung saan mayroong iba't ibang mga base, na sa pangkalahatan ay hindi nabawasan sa bawat isa sa tulong ng mga kapangyarihan.

Gamit ang exponent property

Ipaalala ko sa iyo na mayroon tayong dalawa pang partikular na malupit na equation:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]

Ang pangunahing kahirapan dito ay hindi malinaw kung ano at sa anong batayan ang mamumuno. Nasaan ang mga nakapirming expression? Nasaan ang mga karaniwang batayan? Walang ganito.

Ngunit subukan nating pumunta sa ibang paraan. Kung walang yari na magkaparehong base, maaari mong subukang hanapin ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasaliksik sa mga magagamit na base.

Magsimula tayo sa unang equation:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Ngunit maaari mong gawin ang kabaligtaran - gumawa ng numero 21 mula sa mga numero 7 at 3. Lalo na madaling gawin ito sa kaliwa, dahil ang mga tagapagpahiwatig ng parehong mga degree ay pareho:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]

Iyon lang! Inalis mo ang exponent sa produkto at agad na nakakuha ng magandang equation na maaaring malutas sa ilang linya.

Ngayon haharapin natin ang pangalawang equation. Narito ang lahat ay mas kumplikado:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\kaliwa(\frac(27)(10) \kanan))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Sa kasong ito, ang mga fraction ay naging hindi mababawasan, ngunit kung ang isang bagay ay maaaring mabawasan, siguraduhing bawasan ito. Madalas itong magreresulta sa mga kawili-wiling batayan na maaari mo nang gawin.

Sa kasamaang palad, wala kaming naisip. Ngunit nakikita namin na ang mga exponent sa kaliwa sa produkto ay kabaligtaran:

Paalalahanan kita: upang maalis ang minus sign sa exponent, kailangan mo lang "i-flip" ang fraction. Kaya't muling isulat natin ang orihinal na equation:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

Sa pangalawang linya, na-bracket lang namin ang kabuuan mula sa produkto ayon sa panuntunang $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, at sa huli ay pinarami lang nila ang bilang na 100 sa isang fraction.

Ngayon tandaan na ang mga numero sa kaliwa (sa base) at sa kanan ay medyo magkatulad. Paano? Oo, malinaw naman: sila ay mga kapangyarihan ng parehong bilang! Meron kami:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \kanan))^(2)). \\\end(align)\]

Kaya, ang aming equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \kanan))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \kanan))^(3\kaliwa(x-1 \kanan)))=((\kaliwa(\frac(10)(3) \kanan))^(3x-3))\]

Kasabay nito, sa kanan, maaari ka ring makakuha ng isang degree na may parehong base, kung saan sapat lamang na "i-flip" ang bahagi:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Sa wakas, ang aming equation ay kukuha ng anyo:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Iyan ang buong solusyon. Ang pangunahing ideya nito ay nagmumula sa katotohanan na kahit na may iba't ibang mga batayan, sinusubukan namin sa pamamagitan ng hook o sa pamamagitan ng crook na bawasan ang mga batayan na ito sa iisang batayan. Dito ay tinutulungan tayo ng mga elementarya na pagbabago ng mga equation at mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga kapangyarihan.

Ngunit anong mga patakaran at kailan gagamitin? Paano maunawaan na sa isang equation kailangan mong hatiin ang magkabilang panig ng isang bagay, at sa isa pa - upang mabulok ang base ng exponential function sa mga kadahilanan?

Ang sagot sa tanong na ito ay darating na may karanasan. Subukan ang iyong kamay sa una sa mga simpleng equation, at pagkatapos ay unti-unting gawing kumplikado ang mga gawain - at sa lalong madaling panahon ang iyong mga kasanayan ay magiging sapat upang malutas ang anumang exponential equation mula sa parehong PAGGAMIT o anumang independiyenteng / pagsubok na trabaho.

At para matulungan ka sa mahirap na gawaing ito, iminumungkahi kong mag-download ng isang hanay ng mga equation sa aking website para sa isang malayang solusyon. Ang lahat ng mga equation ay may mga sagot, kaya maaari mong palaging suriin ang iyong sarili.

Tinatawag na mga equation ng form, kung saan ang hindi alam ay pareho sa exponent at sa base ng degree.

Maaari mong tukuyin ang isang ganap na malinaw na algorithm para sa paglutas ng isang equation ng form. Para dito, dapat bigyang pansin ang katotohanang iyon Oh) hindi katumbas ng zero, isa at minus one, ang pagkakapantay-pantay ng mga degree na may parehong mga base (positibo man o negatibo) ay posible lamang kung ang mga tagapagpahiwatig ay pantay Iyon ay, ang lahat ng mga ugat ng equation ay magiging mga ugat ng equation f(x) = g(x) Ang kabaligtaran na pahayag ay hindi totoo, kung Oh)< 0 at mga fractional na halaga f(x) at g(x) mga ekspresyon Oh) f(x) at

Oh) g(x) mawala ang kanilang kahulugan. Ibig sabihin, kapag galing f(x) = g(x)(para sa at extraneous na mga ugat ay maaaring lumitaw, na dapat na hindi kasama sa pamamagitan ng pagsuri ayon sa orihinal na equation. At ang mga kaso a = 0, a = 1, a = -1 dapat isaalang-alang nang hiwalay.

Kaya, para sa isang kumpletong solusyon ng equation, isinasaalang-alang namin ang mga kaso:

a(x) = 0 f(x) at g(x) ay mga positibong numero, kung gayon ito ang solusyon. Kung hindi, hindi

a(x) = 1. Ang mga ugat ng equation na ito ay mga ugat din ng orihinal na equation.

a(x) = -1. Kung, para sa isang halaga ng x na nakakatugon sa equation na ito, f(x) at g(x) ay mga integer ng parehong parity (alinman sa pareho ay kahit o pareho ay kakaiba), pagkatapos ito ay ang solusyon. Kung hindi, hindi

Para sa at malulutas namin ang equation f(x)=g(x) at sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga resulta na nakuha sa orihinal na equation, pinutol namin ang mga extraneous na ugat.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga equation ng exponential-power.

Halimbawa #1.

1) x - 3 = 0, x = 3. dahil 3 > 0, at 3 2 > 0, pagkatapos x 1 = 3 ang solusyon.

2) x - 3 \u003d 1, x 2 \u003d 4.

3) x - 3 \u003d -1, x \u003d 2. Ang parehong mga tagapagpahiwatig ay pantay. Ito ang solusyon x 3 = 1.

4) x - 3? 0 at x? ± 1. x \u003d x 2, x \u003d 0 o x \u003d 1. Para sa x \u003d 0, (-3) 0 \u003d (-3) 0, ang solusyon na ito ay x 4 \u003d 0. Para sa x \ u003d 1, (-2) 1 = (-2) 1 - tama ang solusyong ito x 5 = 1.

Sagot: 0, 1, 2, 3, 4.

Halimbawa #2.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng arithmetic square root: x - 1 ? 0,x? isa.

1) x - 1 = 0 o x = 1, = 0, 0 0 ay hindi solusyon.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 \u003d -1 x 2 \u003d 0 ay hindi magkasya sa ODZ.

D \u003d (-2) - 4 * 1 * 5 \u003d 4 - 20 \u003d -16 - walang mga ugat.

Sa araling ito, isasaalang-alang natin ang solusyon ng mas kumplikadong mga exponential equation, alalahanin ang mga pangunahing probisyon ng teoretikal tungkol sa exponential function.

1. Kahulugan at katangian ng isang exponential function, isang pamamaraan para sa paglutas ng pinakasimpleng exponential equation

Alalahanin ang kahulugan at pangunahing katangian ng isang exponential function. Ito ay sa mga katangian na ang solusyon ng lahat ng exponential equation at inequalities ay nakabatay.

Exponential function ay isang function ng form , kung saan ang base ay ang degree at Narito ang x ay isang independent variable, isang argument; y - dependent variable, function.

kanin. 1. Graph ng exponential function

Ang graph ay nagpapakita ng pagtaas at pagbaba ng exponent, na naglalarawan ng exponential function sa isang base na mas malaki sa isa at mas mababa sa isa, ngunit mas malaki sa zero, ayon sa pagkakabanggit.

Ang parehong mga kurba ay dumadaan sa punto (0;1)

Mga katangian ng exponential function:

Domain: ;

Saklaw ng mga halaga: ;

Ang function ay monotonic, tumataas bilang , bumababa bilang .

Kinukuha ng monotonic function ang bawat value nito na may iisang value ng argument.

Kapag tumaas ang argumento mula minus hanggang plus infinity, tataas ang function mula sa zero, inclusive, hanggang plus infinity. Sa kabaligtaran, kapag ang argument ay tumaas mula minus hanggang plus infinity, bumababa ang function mula sa infinity hanggang zero, inclusive.

2. Solusyon ng mga tipikal na exponential equation

Alalahanin kung paano lutasin ang pinakasimpleng mga exponential equation. Ang kanilang solusyon ay batay sa monotonicity ng exponential function. Halos lahat ng mga kumplikadong exponential equation ay binabawasan sa mga naturang equation.

Ang pagkakapantay-pantay ng mga exponent na may pantay na base ay dahil sa pag-aari ng exponential function, lalo na ang monotonicity nito.

Paraan ng Solusyon:

Ipantay ang mga base ng mga degree;

Equate exponents.

Lumipat tayo sa mas kumplikadong mga exponential equation, ang layunin natin ay bawasan ang bawat isa sa kanila sa pinakasimpleng.

Tanggalin natin ang ugat sa kaliwang bahagi at bawasan ang mga degree sa parehong base:

Upang bawasan ang isang kumplikadong exponential equation sa isang simple, isang pagbabago ng mga variable ay madalas na ginagamit.

Gamitin natin ang degree property:

Nagpakilala kami ng kapalit. Hayaan mo na

I-multiply namin ang nagresultang equation sa dalawa at ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi:

Ang unang ugat ay hindi nakakatugon sa pagitan ng mga halaga ng y, itinatapon namin ito. Nakukuha namin:

Dalhin natin ang mga degree sa parehong tagapagpahiwatig:

Ipinakilala namin ang isang kapalit:

Hayaan mo na . Sa pagpapalit na ito, malinaw na ang y ay kumukuha ng mahigpit na positibong mga halaga. Nakukuha namin:

Alam namin kung paano lutasin ang mga katulad na quadratic equation, isinulat namin ang sagot:

Upang matiyak na ang mga ugat ay matatagpuan nang tama, maaari mong suriin ayon sa Vieta theorem, iyon ay, hanapin ang kabuuan ng mga ugat at ang kanilang produkto at suriin sa kaukulang coefficient ng equation.

Nakukuha namin:

3. Pamamaraan para sa paglutas ng mga homogenous exponential equation ng pangalawang degree

Pag-aralan natin ang sumusunod na mahalagang uri ng mga exponential equation:

Ang mga equation ng ganitong uri ay tinatawag na homogenous ng pangalawang degree na may paggalang sa mga function f at g. Sa kaliwang bahagi nito ay mayroong isang parisukat na trinomial na may paggalang sa f na may parameter na g o isang parisukat na trinomyal na may paggalang sa g na may parameter na f.

Paraan ng Solusyon:

Ang equation na ito ay maaaring malutas bilang isang quadratic, ngunit mas madaling gawin ito sa kabaligtaran. Dalawang kaso ang dapat isaalang-alang:

Sa unang kaso, nakukuha namin

Sa pangalawang kaso, may karapatan tayong hatiin ayon sa pinakamataas na antas at makuha natin ang:

Dapat kang magpakilala ng pagbabago ng mga variable , nakakakuha kami ng quadratic equation para sa y:

Tandaan na ang mga function na f at g ay maaaring maging arbitrary, ngunit kami ay interesado sa kaso kapag ang mga ito ay exponential function.

4. Mga halimbawa ng paglutas ng mga homogenous na equation

Ilipat natin ang lahat ng termino sa kaliwang bahagi ng equation:

Dahil ang mga exponential function ay nakakuha ng mahigpit na positibong mga halaga, may karapatan kaming agad na hatiin ang equation sa pamamagitan ng , nang hindi isinasaalang-alang ang kaso kapag:

Nakukuha namin:

Ipinakilala namin ang isang kapalit: (ayon sa mga katangian ng exponential function)

Nakakuha kami ng isang quadratic equation:

Tinutukoy namin ang mga ugat ayon sa Vieta theorem:

Ang unang ugat ay hindi nakakatugon sa pagitan ng mga halaga ng y, itinatapon namin ito, nakukuha namin:

Gamitin natin ang mga katangian ng degree at bawasan ang lahat ng degree sa mga simpleng base:

Madaling mapansin ang mga function f at g:

Dahil ang mga exponential function ay nakakuha ng mahigpit na positibong mga halaga, mayroon kaming karapatan na agad na hatiin ang equation sa pamamagitan ng , nang hindi isinasaalang-alang ang kaso kung kailan .

Unang antas

mga exponential equation. Comprehensive Guide (2019)

Kamusta! Ngayon ay tatalakayin namin sa iyo kung paano lutasin ang mga equation na maaaring parehong elementarya (at umaasa ako na pagkatapos basahin ang artikulong ito, halos lahat ng mga ito ay para sa iyo), at ang mga karaniwang binibigyan ng "backfill". Kumbaga, para tuluyang makatulog. Ngunit sisikapin kong gawin ang aking makakaya upang ngayon ay hindi ka magkaproblema kapag nahaharap sa ganitong uri ng equation. Hindi na ako magpapatalo sa paligid, ngunit agad kong ibubunyag ang isang maliit na lihim: ngayon ay mag-aaral tayo mga exponential equation.

Bago magpatuloy sa isang pagsusuri ng mga paraan upang malutas ang mga ito, agad kong babalangkasin para sa iyo ang isang bilog ng mga katanungan (medyo maliit) na dapat mong ulitin bago ka magmadali upang salakayin ang paksang ito. Kaya, para sa pinakamahusay na mga resulta, mangyaring ulitin:

ari-arian at
Solusyon at Equation

naulit? Kahanga-hanga! Kung gayon hindi magiging mahirap para sa iyo na mapansin na ang ugat ng equation ay isang numero. Sigurado ka bang naiintindihan mo kung paano ko ito ginawa? Katotohanan? Pagkatapos ay nagpatuloy kami. Ngayon sagutin mo ako sa tanong, ano ang katumbas ng ikatlong kapangyarihan? Tamang tama ka: . Ang walo ay anong kapangyarihan ng dalawa? Tama iyon - ang pangatlo! kasi. Kaya, ngayon subukan nating lutasin ang sumusunod na problema: Hayaan akong i-multiply ang numero nang isang beses at makuha ang resulta. Ang tanong, ilang beses na ba akong dumami sa sarili ko? Siyempre, maaari mong suriin ito nang direkta:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( ihanay)

Pagkatapos ay maaari mong tapusin na pinarami ko ang sarili ko. Paano pa ito mapapatunayan? At narito kung paano: direkta sa pamamagitan ng kahulugan ng antas: . Ngunit, dapat mong aminin, kung tatanungin ko kung gaano karaming beses ang dalawa ay dapat na i-multiply sa kanyang sarili upang makakuha, sabihin, sasabihin mo sa akin: Hindi ko lolokohin ang aking sarili at paramihin ang aking sarili hanggang sa ako ay asul sa mukha. At siya ay magiging ganap na tama. Dahil paano mo kaya isulat nang maikli ang lahat ng mga aksyon(at ang kaiklian ay kapatid ng talento)

kung saan - ito ang pinaka "mga oras" kapag dumami ka sa sarili mo.

Sa tingin ko, alam mo (at kung hindi mo alam, mapilit, napaka-apurahang ulitin ang mga degree!) na ang aking problema ay isusulat sa form:

Paano mo makatuwirang mahihinuha na:

Kaya, tahimik, isinulat ko ang pinakasimpleng exponential equation:

At kahit na natagpuan ito ugat. Hindi mo ba naisip na ang lahat ay medyo walang halaga? Ganyan din ang iniisip ko. Narito ang isa pang halimbawa para sa iyo:

Ngunit ano ang gagawin? Pagkatapos ng lahat, hindi ito maaaring isulat bilang isang antas ng isang (makatwirang) numero. Huwag tayong mawalan ng pag-asa at tandaan na ang parehong mga numerong ito ay perpektong ipinahayag sa mga tuntunin ng kapangyarihan ng parehong numero. Ano? Kanan: . Pagkatapos ang orihinal na equation ay binago sa anyo:

Mula sa kung saan, gaya ng naunawaan mo na, . Huwag na nating hilahin at isulat kahulugan:

Sa aming kaso sa iyo: .

Ang mga equation na ito ay nalulutas sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga ito sa anyo:

na may kasunod na solusyon ng equation

Sa katunayan, ginawa namin ito sa nakaraang halimbawa: nakuha namin iyon. At nalutas namin ang pinakasimpleng equation sa iyo.

Parang wala namang kumplikado diba? Magsanay muna tayo sa pinakasimple. mga halimbawa:

Muli nating nakikita na ang kanan at kaliwang bahagi ng equation ay dapat na kinakatawan bilang kapangyarihan ng isang numero. Totoo, nagawa na ito sa kaliwa, ngunit sa kanan ay may isang numero. Ngunit, ayos lang, pagkatapos ng lahat, at ang aking equation ay mahimalang nagbabago sa ganito:

Ano ang kailangan kong gawin dito? Anong tuntunin? Power to Power Rule na nagbabasa:

Paano kung:

Bago sagutin ang tanong na ito, punan natin ang sumusunod na talahanayan kasama mo:

Hindi mahirap para sa amin na mapansin na ang mas maliit, mas maliit ang halaga, ngunit gayunpaman, ang lahat ng mga halagang ito ay mas malaki kaysa sa zero. AT MAGIGING GANYAN LAGI!!! Ang parehong ari-arian ay totoo PARA SA ANUMANG BASE NA MAY ANUMANG INDEX!! (para sa anuman at). Kung gayon ano ang maaari nating tapusin tungkol sa equation? At narito ang isa: ito walang ugat! Tulad ng anumang equation ay walang mga ugat. Ngayon ay magsanay tayo at Lutasin natin ang ilang simpleng halimbawa:

Suriin natin:

1. Walang hinihiling sa iyo dito, maliban sa pag-alam sa mga katangian ng mga kapangyarihan (na, sa pamamagitan ng paraan, hiniling ko sa iyo na ulitin!) Bilang isang patakaran, ang lahat ay humahantong sa pinakamaliit na base: , . Kung gayon ang orihinal na equation ay magiging katumbas ng sumusunod: Ang kailangan ko lang ay gamitin ang mga katangian ng mga kapangyarihan: kapag nagpaparami ng mga numero na may parehong base, ang mga exponent ay idinagdag, at kapag hinahati, ang mga ito ay ibinabawas. Pagkatapos ay makukuha ko: Buweno, ngayon na may malinis na budhi ay lilipat ako mula sa exponential equation patungo sa linear: \begin(align)
at 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
at 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. Sa pangalawang halimbawa, kailangan mong maging mas maingat: ang problema ay na sa kaliwang bahagi, hindi namin magagawang kumatawan sa parehong numero bilang isang kapangyarihan. Sa kasong ito minsan ito ay kapaki-pakinabang kumakatawan sa mga numero bilang isang produkto ng mga kapangyarihan na may iba't ibang mga base, ngunit ang parehong mga exponent:

Ang kaliwang bahagi ng equation ay kukuha ng anyo: Ano ang ibinigay nito sa atin? At narito kung ano: Ang mga numero na may iba't ibang mga base ngunit ang parehong exponent ay maaaring i-multiply.Sa kasong ito, ang mga base ay pinarami, ngunit ang exponent ay hindi nagbabago:

Inilapat sa aking sitwasyon, ito ay magbibigay ng:

\begin(align)
at 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
at 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
at ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
at ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Hindi masama, tama?

3. Hindi ko gusto kapag mayroon akong dalawang termino sa isang bahagi ng equation, at wala sa kabilang panig (minsan, siyempre, ito ay makatwiran, ngunit hindi ito ang kaso ngayon). Ilipat ang minus term sa kanan:

Ngayon, tulad ng dati, isusulat ko ang lahat sa pamamagitan ng kapangyarihan ng triple:

Idinaragdag ko ang mga kapangyarihan sa kaliwa at kumuha ng katumbas na equation

Madali mong mahahanap ang ugat nito:

4. Tulad ng tatlong halimbawa, ang term na may minus - isang lugar sa kanang bahagi!

Sa kaliwa, halos lahat ay maayos sa akin, maliban sa ano? Oo, ang "maling antas" ng deuce ay bumabagabag sa akin. Ngunit madali kong maaayos ito sa pamamagitan ng pagsulat ng: . Eureka - sa kaliwa, ang lahat ng mga base ay iba, ngunit ang lahat ng mga antas ay pareho! Mabilis tayong dumami!

Narito muli, malinaw ang lahat: (kung hindi mo naintindihan kung paano ko nakuha ang huling pagkakapantay-pantay, magpahinga saglit, magpahinga at basahin muli nang mabuti ang mga katangian ng degree. Sino ang nagsabi na maaari mong laktawan ang degree na may negatibong exponent? Well, narito ako halos kapareho ng walang tao). Ngayon ay makakakuha ako ng:

\begin(align)
at ((2)^(4\kaliwa((x) -9 \kanan)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Narito ang mga gawain para sa iyong pagsasanay, kung saan ibibigay ko lamang ang mga sagot (ngunit sa isang "halo-halong" form). Lutasin ang mga ito, suriin, at ipagpapatuloy namin ang aming pananaliksik!

handa na? Mga sagot tulad ng mga ito:

kahit anong numero

Okay, okay, nagbibiro ako! Narito ang mga balangkas ng mga solusyon (ang ilan ay medyo maikli!)

Hindi mo ba naisip na hindi nagkataon na ang isang fraction sa kaliwa ay isang "baligtad" na iba? Magiging kasalanan ang hindi gamitin ito:

Ang panuntunang ito ay kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga exponential equation, tandaan itong mabuti!

Pagkatapos ang orihinal na equation ay magiging:

Sa pamamagitan ng paglutas ng quadratic equation na ito, makukuha mo ang mga sumusunod na ugat:

2. Isa pang solusyon: paghahati sa parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng expression sa kaliwa (o kanan). Hahatiin ko sa kung ano ang nasa kanan, pagkatapos ay makukuha ko:

Saan (bakit?!)

3. Ayoko nang ulitin, masyado nang "nguya" ang lahat.

4. katumbas ng isang quadratic equation, ang mga ugat

5. Kailangan mong gamitin ang formula na ibinigay sa unang gawain, pagkatapos ay makukuha mo iyon:

Ang equation ay naging isang maliit na pagkakakilanlan, na totoo para sa alinman. Kung gayon ang sagot ay anumang tunay na numero.

Buweno, narito ka at nagsasanay na magdesisyon ang pinakasimpleng exponential equation. Ngayon gusto kong bigyan ka ng ilang mga halimbawa sa buhay na makakatulong sa iyong maunawaan kung bakit kailangan ang mga ito sa prinsipyo. Dito ay magbibigay ako ng dalawang halimbawa. Ang isa sa kanila ay medyo pang-araw-araw, ngunit ang isa ay higit na pang-agham kaysa sa praktikal na interes.

Halimbawa 1 (mercantile) Hayaan kang magkaroon ng mga rubles, ngunit nais mong gawing rubles. Inaalok ka ng bangko na kunin ang perang ito mula sa iyo sa taunang rate ng interes na may buwanang capitalization ng interes (buwanang accrual). Ang tanong, ilang buwan ang kailangan mong magbukas ng deposito para makolekta ang nais na huling halaga? Isang makamundong gawain, hindi ba? Gayunpaman, ang solusyon nito ay konektado sa pagbuo ng kaukulang exponential equation: Hayaan - ang paunang halaga, - ang huling halaga, - ang rate ng interes para sa panahon, - ang bilang ng mga panahon. Pagkatapos:

Sa aming kaso (kung ang rate ay bawat taon, pagkatapos ito ay kinakalkula bawat buwan). Bakit ito nahahati sa? Kung hindi mo alam ang sagot sa tanong na ito, tandaan ang paksang ""! Pagkatapos makuha namin ang sumusunod na equation:

Ang exponential equation na ito ay malulutas na lamang gamit ang isang calculator (its hitsura pahiwatig nito, at nangangailangan ito ng kaalaman sa logarithms, na makikilala natin sa ibang pagkakataon), na gagawin ko: ... Kaya, upang makatanggap ng isang milyon, kakailanganin nating magdeposito sa loob ng isang buwan ( hindi masyadong mabilis, tama?).

Halimbawa 2 (medyo siyentipiko). Sa kabila ng kanyang, ilang "paghihiwalay", inirerekumenda ko na bigyang-pansin mo siya: regular siyang "nakapasok sa pagsusulit!! (Ang gawain ay kinuha mula sa "tunay" na bersyon) Sa panahon ng pagkabulok ng isang radioactive isotope, ang masa nito ay bumababa ayon sa batas, kung saan ang (mg) ay ang inisyal na masa ng isotope, (min.) ay ang oras na lumipas mula sa paunang sandali, (min.) ay ang kalahating buhay. Sa unang sandali ng oras, ang masa ng isotope ay mg. Ang kalahating buhay nito ay min. Sa ilang minuto magiging katumbas ng mg ang masa ng isotope? Okay lang: kinukuha at pinapalitan lang namin ang lahat ng data sa formula na iminungkahi sa amin:

Hatiin natin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng, "sa pag-asa" na sa kaliwa ay makakakuha tayo ng isang bagay na natutunaw:

Well, napakaswerte namin! Nakatayo ito sa kaliwa, pagkatapos ay lumipat tayo sa katumbas na equation:

Kung saan min.

Tulad ng nakikita mo, ang mga exponential equation ay may tunay na aplikasyon sa pagsasanay. Ngayon gusto kong talakayin sa iyo ang isa pang (simple) na paraan upang malutas ang mga exponential equation, na batay sa pagkuha ng karaniwang kadahilanan sa mga bracket at pagkatapos ay pag-grupo ng mga termino. Huwag matakot sa aking mga salita, naranasan mo na ang pamamaraang ito sa ika-7 baitang noong nag-aral ka ng polynomials. Halimbawa, kung kailangan mong i-factor ang expression:

Magpangkat tayo: ang una at ikatlong termino, gayundin ang pangalawa at ikaapat. Malinaw na ang una at pangatlo ay ang pagkakaiba ng mga parisukat:

at ang pangalawa at ikaapat ay may karaniwang salik na tatlo:

Kung gayon ang orihinal na expression ay katumbas nito:

Kung saan kunin ang karaniwang kadahilanan ay hindi na mahirap:

Dahil dito,

Ito ay tinatayang kung paano tayo kikilos kapag nilulutas ang mga exponential equation: hanapin ang "pagkakatulad" sa mga termino at alisin ito sa mga bracket, at pagkatapos - ano man ang mangyari, naniniwala ako na magiging masuwerte tayo =)) Halimbawa:

Sa kanan ay malayo sa kapangyarihan ng pito (nasuri ko!) At sa kaliwa - medyo mas mahusay, maaari mong, siyempre, "putulin" ang kadahilanan a mula sa unang termino at mula sa pangalawa, at pagkatapos ay harapin ang kung ano ang iyong natanggap, ngunit gawin natin nang mas maingat sa iyo. Ayokong harapin ang mga fraction na hindi maiiwasang nagagawa ng "selection", kaya hindi ba dapat mas mabuting magtiis ako? Kung gayon hindi ako magkakaroon ng mga fraction: gaya ng sinasabi nila, parehong puno ang mga lobo at ligtas ang mga tupa:

Bilangin ang expression sa mga bracket. Magically, magically, lumalabas na (nakakagulat, bagaman ano pa ang maaari nating asahan?).

Pagkatapos ay binabawasan namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng salik na ito. Nakukuha namin: saan.

Narito ang isang mas kumplikadong halimbawa (medyo, talaga):

Eto ang gulo! Wala tayong common ground dito! Hindi lubos na malinaw kung ano ang gagawin ngayon. At gawin natin ang ating makakaya: una, ililipat natin ang "apat" sa isang direksyon, at ang "lima" sa kabilang direksyon:

Ngayon, alisin natin ang "karaniwan" sa kaliwa at kanan:

So ano ngayon? Ano ang pakinabang ng gayong hangal na pagpapangkat? Sa unang sulyap, hindi ito nakikita, ngunit tingnan natin nang mas malalim:

Kaya, ngayon gawin natin ito upang sa kaliwa ay mayroon lamang tayong expression na c, at sa kanan - lahat ng iba pa. Paano natin ito magagawa? At narito kung paano: Hatiin muna ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (para maalis natin ang exponent sa kanan), at pagkatapos ay hatiin ang magkabilang panig sa (para maalis natin ang numerical factor sa kaliwa). Sa wakas makuha namin:

Hindi kapani-paniwala! Sa kaliwa mayroon kaming isang expression, at sa kanan - lamang. Pagkatapos ay agad naming hinuhusgahan iyon

Narito ang isa pang halimbawa upang palakasin:

Ibibigay ko ang kanyang maikling solusyon (hindi talaga nag-aabala na ipaliwanag), subukang alamin ang lahat ng "subtleties" ng solusyon sa iyong sarili.

Ngayon ang pangwakas na pagsasama-sama ng materyal na sakop. Subukang lutasin ang mga sumusunod na problema sa iyong sarili. Magbibigay lamang ako ng mga maikling rekomendasyon at tip para sa paglutas ng mga ito:

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:
Kinakatawan namin ang unang expression sa anyo: , hatiin ang parehong bahagi at kunin iyon
, pagkatapos ay ang orihinal na equation ay na-convert sa anyo: Well, ngayon ay isang pahiwatig - hanapin kung saan mo at ako ay nalutas na ang equation na ito!
Isipin kung paano, paano, ah, mabuti, pagkatapos ay hatiin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng, upang makuha mo ang pinakasimpleng exponential equation.
Alisin ito sa mga bracket.
Alisin ito sa mga bracket.

EXPOSITIONAL EQUATIONS. AVERAGE LEVEL

Ipinapalagay ko na pagkatapos basahin ang unang artikulo, na sinabi ano ang mga exponential equation at kung paano lutasin ang mga ito, pinagkadalubhasaan mo ang kinakailangang minimum na kaalaman na kailangan upang malutas ang pinakasimpleng mga halimbawa.

Ngayon ay susuriin ko ang isa pang paraan para sa paglutas ng mga exponential equation, ito ay

"paraan ng pagpapakilala ng bagong variable" (o pagpapalit). Nilulutas niya ang karamihan sa mga "mahirap" na problema, sa paksa ng mga exponential equation (at hindi lamang mga equation). Ang pamamaraang ito ay isa sa mga pinakakaraniwang ginagamit sa pagsasanay. Una, inirerekomenda ko na maging pamilyar ka sa paksa.

Tulad ng naintindihan mo na mula sa pangalan, ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay upang ipakilala ang gayong pagbabago ng variable na ang iyong exponential equation ay mahimalang magbabago sa isa na madali mo nang malulutas. Ang natitira lang para sa iyo pagkatapos malutas ang napaka "pinasimpleng equation" na ito ay gumawa ng "reverse replacement": ibig sabihin, bumalik mula sa pinalitan sa pinalitan. Ilarawan natin ang sinabi natin sa isang napakasimpleng halimbawa:

Halimbawa 1:

Ang equation na ito ay nalutas sa pamamagitan ng isang "simpleng pagpapalit," bilang mathematicians disparagingly tawag dito. Sa katunayan, ang pagpapalit dito ay ang pinaka-halata. Kailangan lang makita iyon

Pagkatapos ang orihinal na equation ay magiging:

Kung iisipin din natin kung paano, kung gayon ay malinaw kung ano ang kailangang palitan: siyempre, . Ano ang nagiging orihinal na equation? At narito kung ano:

Madali mong mahahanap ang mga ugat nito sa iyong sarili:. Ano ang dapat nating gawin ngayon? Oras na para bumalik sa orihinal na variable. Ano ang nakalimutan kong isama? Namely: kapag pinapalitan ang isang tiyak na antas ng isang bagong variable (iyon ay, kapag pinapalitan ang isang uri), ako ay magiging interesado sa positive roots lang! Ikaw mismo ay madaling makasagot kung bakit. Kaya, hindi kami interesado sa iyo, ngunit ang pangalawang ugat ay angkop para sa amin:

Tapos saan.

Sagot:

Tulad ng makikita mo, sa nakaraang halimbawa, ang kapalit ay humihingi ng aming mga kamay. Sa kasamaang palad, hindi ito palaging nangyayari. Gayunpaman, huwag tayong dumiretso sa malungkot, ngunit magsanay sa isa pang halimbawa na may medyo simpleng kapalit

Halimbawa 2

Malinaw na malamang na kakailanganing palitan (ito ang pinakamaliit sa mga kapangyarihang kasama sa ating equation), gayunpaman, bago magpakilala ng kapalit, ang ating equation ay kailangang "ihanda" para dito, ibig sabihin: , . Pagkatapos ay maaari mong palitan, bilang isang resulta ay makukuha ko ang sumusunod na expression:

Oh horror: isang cubic equation na may ganap na kahila-hilakbot na mga formula para sa solusyon nito (well, nagsasalita sa pangkalahatang mga termino). Ngunit huwag tayong mawalan ng pag-asa kaagad, ngunit isipin kung ano ang dapat nating gawin. Imumungkahi ko ang pagdaraya: alam natin na para makakuha ng "maganda" na sagot, kailangan nating makakuha ng ilang kapangyarihan ng tatlo (bakit ganoon, ha?). At subukan nating hulaan ang hindi bababa sa isang ugat ng ating equation (magsisimula akong manghula mula sa mga kapangyarihan ng tatlo).

Unang hula. Ay hindi ugat. Sayang at ah...

.
Ang kaliwang bahagi ay pantay.
kanang bahagi:!
meron! Nahulaan ang unang ugat. Ngayon ang mga bagay ay magiging mas madali!

Alam mo ba ang tungkol sa "sulok" na pamamaraan ng paghahati? Siyempre alam mo, ginagamit mo ito kapag hinati mo ang isang numero sa isa pa. Ngunit kakaunti ang nakakaalam na ang parehong ay maaaring gawin sa mga polynomial. Mayroong isang kahanga-hangang teorama:

Naaangkop sa aking sitwasyon sinasabi nito sa akin kung ano ang mahahati nang walang nalalabi sa. Paano isinasagawa ang paghahati? ganyan:

Tinitingnan ko kung aling monomial ang dapat kong i-multiply para makakuha ng Clear, pagkatapos ay:

Ibinabawas ko ang nagresultang expression mula sa, nakukuha ko:

Ngayon, ano ang kailangan kong i-multiply para makuha? Ito ay malinaw na sa, pagkatapos ay makakakuha ako ng:

at muli ibawas ang nagresultang expression mula sa natitira:

Well, ang huling hakbang, i-multiply ko sa, at ibawas mula sa natitirang expression:

Hooray, tapos na ang division! Ano ang naipon natin nang pribado? Sa sarili: .

Pagkatapos ay nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na polynomial:

Lutasin natin ang pangalawang equation:

Ito ay may mga ugat:

Pagkatapos ang orihinal na equation:

may tatlong ugat:

Siyempre, itinatapon namin ang huling ugat, dahil mas mababa ito sa zero. At ang unang dalawa pagkatapos ng reverse replacement ay magbibigay sa atin ng dalawang ugat:

Sagot:..

Sa pamamagitan ng halimbawang ito, hindi ko nais na takutin ka, sa halip, itinakda ko upang ipakita na kahit na mayroon kaming isang medyo simpleng kapalit, gayunpaman, ito ay humantong sa isang medyo kumplikadong equation, ang solusyon na nangangailangan ng ilang mga espesyal na kasanayan mula sa amin . Well, walang sinuman ang immune mula dito. Ngunit ang pagbabago sa kasong ito ay medyo halata.

Narito ang isang halimbawa na may bahagyang hindi gaanong halatang pagpapalit:

Hindi talaga malinaw kung ano ang dapat nating gawin: ang problema ay sa ating equation mayroong dalawang magkaibang base at ang isang base ay hindi makukuha mula sa isa sa pamamagitan ng pagtataas nito sa anumang (makatuwirang, natural) na kapangyarihan. Gayunpaman, ano ang nakikita natin? Ang parehong mga base ay naiiba lamang sa sign, at ang kanilang produkto ay ang pagkakaiba ng mga parisukat na katumbas ng isa:

Kahulugan:

Kaya, ang mga numero na base sa ating halimbawa ay conjugate.

Sa kasong iyon, ang matalinong paglipat ay magiging i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa conjugate number.

Halimbawa, sa, pagkatapos ay ang kaliwang bahagi ng equation ay magiging pantay, at ang kanang bahagi. Kung gagawa kami ng kapalit, ang aming orihinal na equation sa iyo ay magiging ganito:

ang mga ugat nito, kung gayon, ngunit ang pag-alala niyan, nakukuha natin iyon.

Sagot: , .

Bilang isang patakaran, ang paraan ng kapalit ay sapat na upang malutas ang karamihan sa mga "paaralan" na mga equation ng exponential. Ang mga sumusunod na gawain ay kinuha mula sa USE C1 (tumaas na antas ng kahirapan). Mayroon ka nang sapat na literate upang malutas ang mga halimbawang ito sa iyong sarili. Ibibigay ko lang ang kinakailangang kapalit.

Lutasin ang equation:
Hanapin ang mga ugat ng equation:
Lutasin ang equation: . Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa segment:

Ngayon para sa ilang mabilis na paliwanag at sagot:

Dito sapat na upang tandaan na at. Kung gayon ang orihinal na equation ay magiging katumbas ng isang ito: Ang equation na ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagpapalit Gawin ang mga sumusunod na kalkulasyon sa iyong sarili. Sa huli, ang iyong gawain ay mababawasan sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometriko (depende sa sine o cosine). Tatalakayin natin ang solusyon ng mga naturang halimbawa sa ibang mga seksyon.
Dito maaari mo ring gawin nang walang kapalit: ilipat lamang ang subtrahend sa kanan at kumakatawan sa parehong mga base sa pamamagitan ng mga kapangyarihan ng dalawa: at pagkatapos ay agad na pumunta sa quadratic equation.
Ang ikatlong equation ay nalutas din sa isang medyo karaniwang paraan: isipin kung paano. Pagkatapos, ang pagpapalit ay makakakuha tayo ng isang quadratic equation: pagkatapos,
Alam mo na ba kung ano ang logarithm? Hindi? Pagkatapos ay agad na basahin ang paksa!

Ang unang ugat, malinaw naman, ay hindi kabilang sa segment, at ang pangalawa ay hindi maintindihan! Ngunit malalaman natin ito sa lalong madaling panahon! Dahil, pagkatapos (ito ay isang pag-aari ng logarithm!) Paghambingin natin:

Ibawas mula sa parehong bahagi, pagkatapos ay makuha namin:

Ang kaliwang bahagi ay maaaring ilarawan bilang:

i-multiply ang magkabilang panig sa pamamagitan ng:

maaaring i-multiply sa, kung gayon

Pagkatapos ay ihambing natin:

Simula noon:

Pagkatapos ang pangalawang ugat ay kabilang sa nais na pagitan

Sagot:

Tulad ng nakikita mo, ang pagpili ng mga ugat ng exponential equation ay nangangailangan ng medyo malalim na kaalaman sa mga katangian ng logarithms, kaya ipinapayo ko sa iyo na maging maingat hangga't maaari sa paglutas ng mga exponential equation. Tulad ng alam mo, sa matematika ang lahat ay magkakaugnay! Gaya ng sinasabi ng aking guro sa matematika: "Hindi mo mababasa ang matematika tulad ng kasaysayan nang magdamag."

Bilang isang tuntunin, lahat ang kahirapan sa paglutas ng mga problema C1 ay tiyak ang pagpili ng mga ugat ng equation. Magsanay tayo sa isa pang halimbawa:

Malinaw na ang equation mismo ay nalutas nang simple. Nang magawa ang pagpapalit, binabawasan namin ang aming orihinal na equation sa mga sumusunod:

Tingnan muna natin ang unang ugat. Paghambingin at: simula, noon. (pag-aari ng logarithmic function, at). Pagkatapos ay malinaw na ang unang ugat ay hindi kabilang sa aming pagitan. Ngayon ang pangalawang ugat: . Ito ay malinaw na (dahil ang pag-andar ay tumataas). Ito ay nananatiling ihambing at

mula noon, pagkatapos, sa parehong oras. Kaya, maaari akong "magmaneho ng peg" sa pagitan ng at. Ang peg na ito ay isang numero. Ang unang expression ay mas mababa kaysa at ang pangalawa ay mas malaki kaysa. Pagkatapos ang pangalawang expression ay mas malaki kaysa sa una at ang ugat ay kabilang sa pagitan.

Sagot: .

Sa konklusyon, tingnan natin ang isa pang halimbawa ng isang equation kung saan ang kapalit ay medyo hindi pamantayan:

Magsimula tayo kaagad sa kung ano ang maaari mong gawin, at kung ano - sa prinsipyo, magagawa mo, ngunit mas mahusay na huwag gawin ito. Posible - upang kumatawan sa lahat sa pamamagitan ng mga kapangyarihan ng tatlo, dalawa at anim. Saan ito humahantong? Oo, at hindi hahantong sa anuman: isang hodgepodge ng mga degree, ang ilan sa mga ito ay medyo mahirap alisin. Ano ang kailangan? Pansinin natin na a At ano ang ibibigay nito sa atin? At ang katotohanan na maaari nating bawasan ang solusyon ng halimbawang ito sa solusyon ng isang medyo simpleng exponential equation! Una, muling isulat natin ang ating equation bilang:

Ngayon hinati namin ang magkabilang panig ng nagresultang equation sa:

Eureka! Ngayon ay maaari naming palitan, makuha namin:

Buweno, ngayon ay iyong pagkakataon na lutasin ang mga problema para sa pagpapakita, at bibigyan ko lamang sila ng mga maikling komento upang hindi ka maligaw! Good luck!

1. Ang pinakamahirap! Ang makakita ng kapalit dito oh, ang pangit! Gayunpaman, ang halimbawang ito ay maaaring ganap na malutas gamit pagpili ng isang buong parisukat. Upang malutas ito, sapat na tandaan na:

Kaya narito ang iyong kapalit:

(Tandaan na dito, sa ating kapalit, hindi natin maaaring itapon ang negatibong ugat!!! At bakit, ano sa palagay mo?)

Ngayon, upang malutas ang halimbawa, kailangan mong lutasin ang dalawang equation:

Pareho silang nalutas sa pamamagitan ng "karaniwang kapalit" (ngunit ang pangalawa sa isang halimbawa!)

2. Pansinin iyon at gumawa ng pagpapalit.

3. Palawakin ang bilang sa mga coprime factor at pasimplehin ang resultang expression.

4. Hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa (o kung gusto mo) at gawin ang pagpapalit o.

5. Tandaan na ang mga numero at ay conjugate.

EXPOSITIONAL EQUATIONS. ADVANCED LEVEL

Bilang karagdagan, tingnan natin ang isa pang paraan - solusyon ng mga exponential equation sa pamamagitan ng logarithm method. Hindi ko masasabi na ang solusyon ng mga exponential equation sa pamamagitan ng pamamaraang ito ay napakapopular, ngunit sa ilang mga kaso lamang ito ay maaaring humantong sa amin sa tamang solusyon ng aming equation. Lalo na madalas itong ginagamit upang malutas ang tinatawag na " halo-halong equation': iyon ay, ang mga kung saan mayroong mga pag-andar ng iba't ibang uri.

Halimbawa, isang equation tulad ng:

sa pangkalahatang kaso, ito ay malulutas lamang sa pamamagitan ng pagkuha ng logarithm ng parehong bahagi (halimbawa, ayon sa base), kung saan ang orihinal na equation ay nagiging sumusunod:

Isaalang-alang natin ang sumusunod na halimbawa:

Malinaw na interesado lamang tayo sa ODZ ng logarithmic function. Gayunpaman, ito ay sumusunod hindi lamang mula sa ODZ ng logarithm, ngunit para sa isa pang dahilan. Sa tingin ko, hindi ka mahihirapang hulaan kung alin.

Dalhin natin ang logarithm ng magkabilang panig ng ating equation sa base:

Tulad ng nakikita mo, ang pagkuha ng logarithm ng aming orihinal na equation ay mabilis na humantong sa amin sa tamang (at maganda!) na sagot. Magsanay tayo sa isa pang halimbawa:

Dito rin, walang dapat ikabahala: kinukuha natin ang logarithm ng magkabilang panig ng equation sa mga tuntunin ng base, pagkatapos ay makukuha natin:

Gumawa tayo ng kapalit:

Gayunpaman, may napalampas kami! Napansin mo ba kung saan ako nagkamali? Pagkatapos ng lahat, pagkatapos:

na hindi nakakatugon sa kinakailangan (isipin kung saan ito nanggaling!)

Sagot:

Subukang isulat ang solusyon ng mga exponential equation sa ibaba:

Ngayon suriin ang iyong solusyon gamit ito:

1. Logarithm namin ang parehong bahagi sa base, na ibinigay na:

(ang pangalawang ugat ay hindi nababagay sa amin dahil sa kapalit)

2. Logarithm sa base:

Ibahin natin ang resultang expression sa sumusunod na anyo:

EXPOSITIONAL EQUATIONS. MAIKLING PAGLALARAWAN AT BATAYANG FORMULA

exponential equation

Uri ng equation:

tinawag ang pinakasimpleng exponential equation.

Mga katangian ng degree

Mga Diskarte sa Solusyon

Pagbawas sa parehong base
Pagbawas sa parehong exponent
Pagpapalit ng variable
Pasimplehin ang expression at ilapat ang isa sa itaas.

Unang antas

mga exponential equation. Comprehensive Guide (2019)

ari-arian at
Solusyon at Equation

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( ihanay)

kung saan - ito ang pinaka "mga oras" kapag dumami ka sa sarili mo.

Sa tingin ko, alam mo (at kung hindi mo alam, mapilit, napaka-apurahang ulitin ang mga degree!) na ang aking problema ay isusulat sa form:

Paano mo makatuwirang mahihinuha na:

Kaya, tahimik, isinulat ko ang pinakasimpleng exponential equation:

At kahit na natagpuan ito ugat. Hindi mo ba naisip na ang lahat ay medyo walang halaga? Ganyan din ang iniisip ko. Narito ang isa pang halimbawa para sa iyo:

Mula sa kung saan, gaya ng naunawaan mo na, . Huwag na nating hilahin at isulat kahulugan:

Sa aming kaso sa iyo: .

Ang mga equation na ito ay nalulutas sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga ito sa anyo:

na may kasunod na solusyon ng equation

Sa katunayan, ginawa namin ito sa nakaraang halimbawa: nakuha namin iyon. At nalutas namin ang pinakasimpleng equation sa iyo.

Parang wala namang kumplikado diba? Magsanay muna tayo sa pinakasimple. mga halimbawa:

Ano ang kailangan kong gawin dito? Anong tuntunin? Power to Power Rule na nagbabasa:

Paano kung:

Bago sagutin ang tanong na ito, punan natin ang sumusunod na talahanayan kasama mo:

Suriin natin:

Inilapat sa aking sitwasyon, ito ay magbibigay ng:

\begin(align)
at 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
at 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
at ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
at ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Hindi masama, tama?

Ngayon, tulad ng dati, isusulat ko ang lahat sa pamamagitan ng kapangyarihan ng triple:

Idinaragdag ko ang mga kapangyarihan sa kaliwa at kumuha ng katumbas na equation

Madali mong mahahanap ang ugat nito:

4. Tulad ng tatlong halimbawa, ang term na may minus - isang lugar sa kanang bahagi!

\begin(align)
at ((2)^(4\kaliwa((x) -9 \kanan)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

handa na? Mga sagot tulad ng mga ito:

kahit anong numero

Okay, okay, nagbibiro ako! Narito ang mga balangkas ng mga solusyon (ang ilan ay medyo maikli!)

Hindi mo ba naisip na hindi nagkataon na ang isang fraction sa kaliwa ay isang "baligtad" na iba? Magiging kasalanan ang hindi gamitin ito:

Ang panuntunang ito ay kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga exponential equation, tandaan itong mabuti!

Pagkatapos ang orihinal na equation ay magiging:

Sa pamamagitan ng paglutas ng quadratic equation na ito, makukuha mo ang mga sumusunod na ugat:

2. Isa pang solusyon: paghahati sa parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng expression sa kaliwa (o kanan). Hahatiin ko sa kung ano ang nasa kanan, pagkatapos ay makukuha ko:

Saan (bakit?!)

3. Ayoko nang ulitin, masyado nang "nguya" ang lahat.

4. katumbas ng isang quadratic equation, ang mga ugat

5. Kailangan mong gamitin ang formula na ibinigay sa unang gawain, pagkatapos ay makukuha mo iyon:

Ang equation ay naging isang maliit na pagkakakilanlan, na totoo para sa alinman. Kung gayon ang sagot ay anumang tunay na numero.

Ang exponential equation na ito ay malulutas na lamang sa isang calculator (ang hitsura nito ay nagpapahiwatig dito, at ito ay nangangailangan ng kaalaman sa logarithms, na makikilala natin sa ibang pagkakataon), na gagawin ko: ... Kaya, upang makatanggap ng isang milyon, kailangan nating magbigay ng kontribusyon para sa isang buwan (hindi masyadong mabilis, tama?).

Hatiin natin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng, "sa pag-asa" na sa kaliwa ay makakakuha tayo ng isang bagay na natutunaw:

Well, napakaswerte namin! Nakatayo ito sa kaliwa, pagkatapos ay lumipat tayo sa katumbas na equation:

Kung saan min.

Magpangkat tayo: ang una at ikatlong termino, gayundin ang pangalawa at ikaapat. Malinaw na ang una at pangatlo ay ang pagkakaiba ng mga parisukat:

at ang pangalawa at ikaapat ay may karaniwang salik na tatlo:

Kung gayon ang orihinal na expression ay katumbas nito:

Kung saan kunin ang karaniwang kadahilanan ay hindi na mahirap:

Dahil dito,

Bilangin ang expression sa mga bracket. Magically, magically, lumalabas na (nakakagulat, bagaman ano pa ang maaari nating asahan?).

Pagkatapos ay binabawasan namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng salik na ito. Nakukuha namin: saan.

Narito ang isang mas kumplikadong halimbawa (medyo, talaga):

Ngayon, alisin natin ang "karaniwan" sa kaliwa at kanan:

So ano ngayon? Ano ang pakinabang ng gayong hangal na pagpapangkat? Sa unang sulyap, hindi ito nakikita, ngunit tingnan natin nang mas malalim:

Hindi kapani-paniwala! Sa kaliwa mayroon kaming isang expression, at sa kanan - lamang. Pagkatapos ay agad naming hinuhusgahan iyon

Narito ang isa pang halimbawa upang palakasin:

Ibibigay ko ang kanyang maikling solusyon (hindi talaga nag-aabala na ipaliwanag), subukang alamin ang lahat ng "subtleties" ng solusyon sa iyong sarili.

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:
Kinakatawan namin ang unang expression sa anyo: , hatiin ang parehong bahagi at kunin iyon
, pagkatapos ay ang orihinal na equation ay na-convert sa anyo: Well, ngayon ay isang pahiwatig - hanapin kung saan mo at ako ay nalutas na ang equation na ito!
Isipin kung paano, paano, ah, mabuti, pagkatapos ay hatiin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng, upang makuha mo ang pinakasimpleng exponential equation.
Alisin ito sa mga bracket.
Alisin ito sa mga bracket.