Homothety at pagkakatulad.Homothety - isang pagbabago kung saan ang bawat punto M (eroplano o espasyo) ay itinalaga ng isang punto M", nakahiga sa OM (Larawan 5.16), at ang ratio OM":OM= λ pareho para sa lahat ng puntos maliban sa TUNGKOL SA. nakapirming punto TUNGKOL SA ay tinatawag na homothety center. Saloobin OM": OM itinuturing na positibo kung M" at M humiga sa isang tabi ng TUNGKOL SA, negatibo - sa magkabilang panig. Numero X ay tinatawag na homothety coefficient. Sa X< 0 homothety ay tinatawag na kabaligtaran. Saλ = - Ang 1 homothety ay nagiging isang symmetry transformation tungkol sa isang punto TUNGKOL SA. Sa homothety, ang isang tuwid na linya ay pumasa sa isang tuwid na linya, ang mga parallel na linya at eroplano ay napanatili, ang mga anggulo (linear at dihedral) ay napanatili, ang bawat figure ay pumasa dito katulad (Larawan 5.17).

Totoo rin ang kabaligtaran. Ang isang homothety ay maaaring tukuyin bilang isang affine transformation kung saan ang mga linya na nagkokonekta sa mga kaukulang punto ay dumadaan sa isang punto - ang sentro ng homothety. Ang homothety ay ginagamit upang palakihin ang mga imahe (projection lamp, sinehan).

Central at mirror symmetry.Ang simetrya (sa isang malawak na kahulugan) ay isang pag-aari ng isang geometric figure Ф, na nagpapakilala sa isang tiyak na kawastuhan ng anyo nito, ang invariance nito sa ilalim ng pagkilos ng mga paggalaw at pagmuni-muni. Ang figure Ф ay may simetrya (symmetric) kung may mga hindi magkatulad na orthogonal na pagbabagong-anyo na kinuha ang figure na ito sa sarili nito. Ang hanay ng lahat ng mga pagbabagong orthogonal na pinagsama ang figure Ф sa sarili nito ay ang pangkat ng figure na ito. Kaya, isang flat figure (Larawan 5.18) na may isang tuldok M, nagbabago-

Xia sa sarili mo na may salamin pagmuni-muni, simetriko tungkol sa tuwid - axis AB. Dito ang pangkat ng simetrya ay binubuo ng dalawang elemento - ang punto M pinalitan sa M".

Kung ang figure Ф sa eroplano ay tulad na umiikot sa ilang mga punto TUNGKOL SA sa pamamagitan ng isang anggulo ng 360°/n, kung saan ang n > 2 ay isang integer, ibahin ang anyo nito sa sarili nito, pagkatapos ang figure Ф ay may n-th order symmetry na may kinalaman sa punto TUNGKOL SA - sentro ng simetrya. Ang isang halimbawa ng naturang mga figure ay ang mga regular na polygon, halimbawa, hugis-bituin (Larawan 5.19), na may ikawalong-order na simetrya tungkol sa gitna nito. Ang pangkat ng symmetry dito ay ang tinatawag na pangkat na paikot ng n-th order. Ang bilog ay may simetrya ng walang katapusang pagkakasunud-sunod (dahil ito ay pinagsama sa sarili nito sa pamamagitan ng pagliko sa anumang anggulo).

Ang pinakasimpleng uri ng spatial symmetry ay central symmetry (inversion). Sa kasong ito, na may paggalang sa punto TUNGKOL SA ang figure Ф ay pinagsama sa sarili nito pagkatapos ng sunud-sunod na pagmuni-muni mula sa tatlong magkaparehong patayo na eroplano, ibig sabihin, ang punto TUNGKOL SA - ang gitna ng segment na nagkokonekta sa mga simetriko na punto F. Kaya, para sa kubo (Larawan 5.20) ang punto TUNGKOL SA ay ang sentro ng simetrya. puntos M at M" cube

IKATLONG KABANATA

MGA POLYHEDRALS

V. ANG KONSEPTO NG SYMMETRY NG SPATIAL FIGURE

99. Central symmetry. Ang dalawang figure ay tinatawag na simetriko na may kinalaman sa anumang punto O sa espasyo kung ang bawat punto A ng isang figure ay tumutugma sa isang punto A sa kabilang figure, na matatagpuan sa tuwid na linya OA sa kabilang panig ng punto O, sa layo na katumbas ng ang distansya ng point A mula sa point O (Fig. 114) Point O ay tinatawag sentro ng simetrya mga figure.

Nakita na natin ang isang halimbawa ng gayong mga simetriko na figure sa espasyo (§ 53), nang, nagpapatuloy sa kabila ng vertex ng mga gilid at mga mukha ng isang polyhedral na anggulo, nakakuha kami ng isang polyhedral na anggulo na simetriko sa ibinigay. Ang katumbas na mga segment at anggulo na bahagi ng dalawang simetriko figure ay pantay sa isa't isa. Gayunpaman, ang mga numero sa kabuuan ay hindi matatawag na pantay: hindi sila maaaring pagsamahin sa isa't isa dahil sa ang katunayan na ang pagkakasunud-sunod ng mga bahagi sa isang pigura ay naiiba kaysa sa isa pa, tulad ng nakita natin sa halimbawa ng simetriko polyhedral na mga anggulo. .

Sa ilang mga kaso, ang mga simetriko na figure ay maaaring pagsamahin, ngunit ang kanilang mga hindi pantay na bahagi ay magkakasabay. Halimbawa, kumuha tayo ng tamang trihedral angle (Fig. 115) na may vertex sa punto O at mga gilid ng OX, OY, OZ.

Bumuo tayo ng simetriko na anggulo na OX"Y"Z" para dito. Ang anggulong OXYZ ay maaaring pagsamahin sa OX"Y"Z" upang ang gilid ng OX ay tumutugma sa OY", at ang gilid ng OY sa OX". Kung pagsasamahin natin ang katumbas na mga gilid OX at OX" at OY sa OY", ang mga gilid na OZ at OZ" ay ididirekta sa magkasalungat na direksyon.

Kung ang mga simetriko na figure na magkasama ay bumubuo ng isang geometric na katawan, pagkatapos ay sinasabi nila na ang geometric na katawan na ito ay may sentro ng simetrya. Kaya, kung ang isang partikular na katawan ay may sentro ng simetrya, kung gayon ang anumang puntong kabilang sa katawan na ito ay tumutugma sa isang simetriko na punto na kabilang din sa katawan na ito. Sa mga geometric na katawan na aming isinasaalang-alang, halimbawa, ang sentro ng simetrya ay may: 1) isang parallelepiped, 2) isang prisma, na may regular na polygon na may pantay na bilang ng mga gilid sa base.

Ang isang regular na tetrahedron ay walang sentro ng simetrya.

100. Symmetry na may paggalang sa eroplano. Dalawang spatial figure ay tinatawag na simetriko na may kinalaman sa eroplano P kung ang bawat punto A sa isang figure ay tumutugma sa isa pang punto A ", at ang segment AA" ay patayo sa eroplano P at nahahati sa kalahati sa punto ng intersection sa eroplanong ito .

Teorama. Anumang dalawang katumbas na mga segment sa dalawang simetriko figure ay katumbas ng bawat isa.

Hayaang magbigay ng dalawang figure na simetriko na may paggalang sa eroplano P. Pumili tayo ng dalawang punto A at B ng unang figure, hayaang A "at B" ang mga punto ng pangalawang figure na naaayon sa kanila (Fig. 116, ang mga numero ay hindi ipinapakita sa pagguhit).

Hayaang ang karagdagang C ay ang punto ng intersection ng segment AA "na may eroplanong P, D - ang punto ng intersection ng segment na BB" na may parehong eroplano. Pagkonekta ng mga punto C at D na may tuwid na linya ng segment, nakakakuha kami ng dalawang quadrilateral na ABDC at A "B" DC. Dahil AC \u003d A "C, BD \u003d B" D at
/ ACD= / ACD, / BDC= / Sa "DC, bilang mga tamang anggulo, kung gayon ang mga quadrangle na ito ay pantay-pantay (na madaling ma-verify sa pamamagitan ng superposisyon). Samakatuwid, AB \u003d AB" Ito ay sumusunod nang direkta mula sa teorama na ito na ang kaukulang eroplano at dihedral na mga anggulo ng dalawang figure ay simetriko na may paggalang sa Ang eroplano ay pantay sa pagitan Gayunpaman, imposibleng pagsamahin ang dalawang figure na ito sa isa't isa upang ang kanilang mga kaukulang bahagi ay pinagsama, dahil ang pagkakasunud-sunod ng mga bahagi sa isang figure ay baligtad sa na sa isa pa (ito ay mapapatunayan sa ibaba, § 102 Ang dalawang figure na simetriko sa isang eroplano ay: anumang bagay at ang repleksyon nito sa isang plane mirror, anumang figure na simetriko sa salamin nito na may kaugnayan sa eroplano ng salamin.

Kung ang anumang geometric na katawan ay maaaring hatiin sa dalawang bahagi na simetriko na may paggalang sa ilang eroplano, kung gayon ang eroplanong ito ay tinatawag na eroplano ng simetrya ng katawan na ito.

Ang mga geometric na katawan na may simetrya ay napakakaraniwan sa kalikasan at sa pang-araw-araw na buhay. Ang katawan ng tao at hayop ay may simetrya na hinahati ito sa kanan at kaliwang bahagi.

Sa halimbawang ito, lalong malinaw na hindi maaaring pagsamahin ang mga simetriko na figure. Kaya, ang mga kamay ng kanan at kaliwang mga kamay ay simetriko, ngunit hindi sila maaaring pagsamahin, na makikita kahit na mula sa katotohanan na ang parehong guwantes ay hindi magkasya sa parehong kanan at kaliwang mga kamay. Ang isang malaking bilang ng mga gamit sa bahay ay may simetrya: isang upuan, isang hapag-kainan, isang aparador ng mga aklat, isang sofa, atbp. Ang ilan, tulad ng isang hapag-kainan, kahit na walang isa, ngunit dalawang eroplano ng simetrya (Fig. 117) .

Karaniwan, kapag isinasaalang-alang ang isang bagay na may isang eroplano ng simetrya, nagsusumikap kaming kumuha ng ganoong posisyon na may kaugnayan dito na ang eroplano ng simetrya ng aming katawan, o hindi bababa sa aming ulo, ay nag-tutugma sa eroplano ng simetrya ng bagay mismo. Sa kasong ito. lalong napapansin ang simetriko na hugis ng bagay.

101. Symmetry tungkol sa axis. Axis ng simetrya ng pangalawang pagkakasunud-sunod. Dalawang figure ang tinatawag na simetriko tungkol sa l-axis (ang axis ay isang tuwid na linya) kung ang bawat punto A ng unang figure ay tumutugma sa isang punto A "ng pangalawang figure, upang ang segment AA" ay patayo sa l-axis , bumalandra dito at nahahati sa kalahati sa punto ng intersection. Ang l-axis mismo ay tinatawag na second-order symmetry axis.

Mula sa kahulugang ito, direktang sumusunod na kung ang dalawang geometric na katawan na simetriko tungkol sa isang axis ay intersected ng isang eroplanong patayo sa axis na ito, pagkatapos ay dalawang flat figure ang makukuha sa seksyon, simetriko na may kinalaman sa punto ng intersection ng eroplano sa axis ng simetrya ng mga katawan.

Mula dito, mas madaling mahihinuha na ang dalawang katawan na simetriko tungkol sa isang axis ay maaaring pagsamahin sa isa't isa sa pamamagitan ng pag-ikot ng isa sa mga ito ng 180 ° sa paligid ng axis ng symmetry. Sa katunayan, isipin ang lahat ng posibleng mga eroplano na patayo sa axis ng simetrya.

Ang bawat naturang eroplano na nagsa-intersecting sa magkabilang katawan ay naglalaman ng mga figure na simetriko tungkol sa tagpuan ng eroplano na may axis ng simetriya ng mga katawan. Kung gagawin natin ang cutting plane na slide sa pamamagitan ng kanyang sarili, umiikot ito sa paligid ng axis ng mahusay na proporsyon ng katawan sa pamamagitan ng 180 °, pagkatapos ay ang unang figure coincides sa pangalawang isa.

Ito ay totoo para sa anumang cutting plane. Ang pag-ikot ng lahat ng mga seksyon ng katawan sa pamamagitan ng 180° ay katumbas ng pag-ikot ng buong katawan ng 180° sa paligid ng axis ng symmetry. Dito sumusunod ang bisa ng ating assertion.

Kung, pagkatapos ng pag-ikot ng isang spatial figure sa paligid ng isang tiyak na tuwid na linya sa pamamagitan ng 180 °, ito ay nag-tutugma sa sarili nito, pagkatapos ay sinasabi nila na ang figure ay may ganitong tuwid na linya bilang ang pangalawang-order na symmetry axis nito.

Ang pangalang "axis of symmetry of the second order" ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na sa panahon ng isang kumpletong pag-ikot sa paligid ng axis na ito, ang katawan ay dalawang beses na kukuha ng isang posisyon na tumutugma sa orihinal (pagbibilang ng orihinal) sa panahon ng pag-ikot. Ang mga halimbawa ng mga geometric na katawan na may axis ng symmetry ng pangalawang order ay:
1) isang regular na pyramid na may pantay na bilang ng mga mukha sa gilid; ang axis ng symmetry nito ay ang taas nito;
2) hugis-parihaba parallelepiped; mayroon itong tatlong axes ng simetriya: mga tuwid na linya na nagdudugtong sa mga sentro ng magkasalungat na mukha nito;
3) isang regular na prisma na may pantay na bilang ng mga mukha sa gilid. Ang axis ng symmetry nito ay ang bawat tuwid na linya na nagdudugtong sa mga sentro ng alinmang pares ng magkasalungat na mukha nito (mga lateral na mukha at dalawang base ng prisma). Kung ang bilang ng mga gilid na mukha ng prisma ay 2 k, kung gayon ang bilang ng naturang mga palakol ng mahusay na proporsyon ay magiging k+ 1. Bilang karagdagan, ang bawat tuwid na linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng magkabilang gilid na gilid nito ay nagsisilbing axis ng simetrya para sa naturang prisma. Ang isang prisma ay may tulad na mga palakol ng mahusay na proporsyon.

Kaya ang tamang 2 k-faceted prism ay may 2 k+1 axes, symmetry.

102. Pag-asa sa pagitan ng iba't ibang uri ng simetrya sa espasyo. Sa pagitan ng iba't ibang uri ng simetrya sa espasyo - axial, planar at central - mayroong isang relasyon, na ipinahayag ng sumusunod na teorama.

Teorama. Kung ang figure F ay simetriko sa figure F "na may paggalang sa eroplano P at sa parehong oras simetriko sa figure F" na may paggalang sa punto O nakahiga sa eroplano P, kung gayon ang mga figure F "at F" ay simetriko na may paggalang sa axis na dumadaan sa punto O at patayo sa eroplano R.

Kunin natin ang ilang punto A ng figure F (Fig. 118). Ito ay tumutugma sa point A "ng figure F" at ang point A "ng figure F" (ang mga figure mismo F, F" at F" ay hindi ipinapakita sa drawing).

Hayaang B ang punto ng intersection ng segment na AA "na may eroplanong P. Gumuhit tayo ng isang eroplano sa pamamagitan ng mga punto A, A" at O. Ang eroplanong ito ay magiging patayo sa eroplano P, dahil ito ay dumadaan sa linyang AA " patayo sa ang eroplanong ito. Sa eroplanong AA" O gumuhit tayo ng tuwid na linyang OH patayo sa OB. Ang linyang OH na ito ay magiging patayo din sa eroplanong P. Dagdag pa, hayaan ang C ang punto ng intersection ng mga linyang AA at OH.

Sa tatsulok na AA "A" "ang segment na BO ay nag-uugnay sa mga midpoint ng mga gilid AA" at AA", samakatuwid, BO || A"A", ngunit BO_|_OH, na nangangahulugang A"A"_|_OH. Dagdag pa, dahil Ang O ay ang gitnang bahagi AA", at CO || AA", pagkatapos ay A"C \u003d A"C. Mula dito napagpasyahan namin na ang mga puntong A" at A" ay simetriko tungkol sa axis OH. Ang parehong ay totoo para sa lahat ng iba pang mga punto ng figure. Kaya, ang aming teorama ay napatunayan. Direktang sumusunod sa teorama na ito, na ang dalawang figure na simetriko tungkol sa isang eroplano ay hindi maaaring pagsamahin upang ang kani-kanilang mga bahagi ay pinagsama. "at ang F ay hindi maaaring pagsamahin bilang simetriko na may kinalaman sa punto, samakatuwid, ang mga figure F at F" ay hindi rin maaaring pagsamahin.

103. Axes of symmetry of higher orders. Ang figure na may axis ng symmetry ay nakahanay sa sarili nito pagkatapos na paikutin sa paligid ng axis ng symmetry sa pamamagitan ng isang anggulo na 180°. Ngunit may mga kaso kapag ang figure ay nag-tutugma sa paunang posisyon pagkatapos ng pag-ikot sa ilang axis sa isang anggulo na mas mababa sa 180°. Kaya, kung ang katawan ay gumawa ng isang kumpletong rebolusyon sa paligid ng axis na ito, pagkatapos ay sa proseso ng pag-ikot ay pagsasamahin ito ng maraming beses sa orihinal na posisyon nito. Ang nasabing axis ng pag-ikot ay tinatawag na isang mas mataas na pagkakasunud-sunod na symmetry axis, at ang bilang ng mga posisyon ng katawan na tumutugma sa orihinal ay tinatawag na pagkakasunud-sunod ng symmetry axis. Maaaring hindi tumutugma ang axis na ito sa axis ng symmetry ng pangalawang order. Kaya, ang isang regular na triangular na pyramid ay walang second-order symmetry axis, ngunit ang taas nito ay nagsisilbing third-order symmetry axis para dito. Sa katunayan, pagkatapos iikot ang pyramid na ito sa taas sa isang anggulo na 120 °, ito ay pinagsama sa sarili nito (Larawan 119).

Kapag ang pyramid ay umiikot sa taas, maaari itong sumakop sa tatlong posisyon, kasabay ng orihinal, bilangin din ang orihinal. Madaling makita na ang anumang even-order symmetry axis ay kasabay ng second-order symmetry axis.

Mga halimbawa ng mga axes ng simetriya ng mas mataas na mga order:

1) Tama n-ang coal pyramid ay may axis ng symmetry n-ika-utos. Ang axis na ito ay ang taas ng pyramid.

2) Tama n-ang coal prism ay may axis ng symmetry n-ika-utos. Ang axis na ito ay isang tuwid na linya na nagkokonekta sa mga sentro ng mga base ng prisma.

104. Ang simetrya ng kubo. Tulad ng para sa anumang parallelepiped, ang punto ng intersection ng mga diagonal ng cube ay ang sentro ng simetrya nito.

Ang kubo ay may siyam na eroplano ng simetrya: anim na diagonal na eroplano at tatlong eroplano na dumadaan sa mga midpoint ng bawat apat na magkatulad na mga gilid nito.

Ang kubo ay may siyam na axes ng symmetry ng pangalawang pagkakasunud-sunod: anim na tuwid na linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng magkasalungat na gilid nito, at tatlong tuwid na linya na nagkokonekta sa mga sentro ng magkasalungat na mukha (Larawan 120).

Ang mga huling linyang ito ay mga palakol ng simetrya ng ikaapat na pagkakasunud-sunod. Bilang karagdagan, ang kubo ay may apat na axes ng simetrya ng ikatlong pagkakasunud-sunod, na kung saan ay ang mga diagonal nito. Sa katunayan, ang dayagonal ng cube AG (Larawan 120) ay malinaw na pantay na nakahilig sa mga gilid AB, AD at AE, at ang mga gilid na ito ay pantay na nakahilig sa isa't isa. Kung ikinonekta natin ang mga punto B, D at E, makakakuha tayo ng isang regular na triangular na pyramid ADBE, kung saan ang dayagonal ng cube AG ay nagsisilbing taas. Kapag ang pyramid na ito ay nakahanay sa sarili nito habang umiikot ito sa taas, ang buong kubo ay magkakahanay sa orihinal nitong posisyon. Madaling makita na ang kubo ay walang ibang mga palakol ng mahusay na proporsyon. Tingnan natin kung gaano karaming iba't ibang mga paraan ang isang kubo ay maaaring magkasya sa sarili nito. Ang pag-ikot sa paligid ng ordinaryong axis ng symmetry ay nagbibigay ng isang posisyon ng kubo, naiiba sa orihinal, kung saan ang kubo sa kabuuan ay nakahanay sa sarili nito.

Ang pag-ikot tungkol sa isang 3rd-order axis ay nagbibigay ng dalawang ganoong posisyon, at ang pag-ikot tungkol sa isang 4th-order axis ay nagbibigay ng tatlong ganoong posisyon. Dahil ang kubo ay may anim na palakol ng pangalawang pagkakasunud-sunod (ito ay mga ordinaryong palakol ng simetriya), apat na palakol ng ikatlong pagkakasunud-sunod at tatlong palakol ng ikaapat na pagkakasunud-sunod, mayroong 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 na posisyon ng kubo, naiiba mula sa orihinal, kung saan ito ay pinagsama sa iyong sarili.

Madaling i-verify nang direkta na ang lahat ng mga posisyon na ito ay naiiba sa isa't isa, pati na rin mula sa paunang posisyon ng kubo. Kasama ang orihinal na posisyon, bumubuo sila ng 24 na paraan upang pagsamahin ang kubo sa sarili nito.

Kahulugan ng simetrya;

• Kahulugan ng simetrya;

• sentral na simetrya;

• Axial symmetry;

• Symmetry tungkol sa eroplano;

• rotational symmetry;

• Simetrya ng salamin;

• Symmetry ng pagkakatulad;

• Symmetry ng mga halaman;

• Simetrya ng hayop;

• Symmetry sa arkitektura;

• Ang tao ba ay isang simetriko na nilalang?

• Symmetry ng mga salita at numero;

SYMMETRY

• SYMMETRY- proporsyonalidad, ang pagkakapareho sa pagkakaayos ng mga bahagi ng isang bagay sa magkabilang panig ng isang punto, linya o eroplano.

• (Paliwanag na diksyunaryo ng Ozhegov)

• Kaya, ang isang geometric na bagay ay itinuturing na simetriko kung may magagawa ka dito, pagkatapos ay mananatili ito hindi nagbabago.

TUNGKOL SA TUNGKOL SA TUNGKOL SA tinawag ang sentro ng simetrya ng pigura.

• Ang pigura ay tinatawag na simetriko na may paggalang sa punto TUNGKOL SA, kung para sa bawat punto ng figure ang punto ay simetriko dito na may paggalang sa punto TUNGKOL SA kabilang din sa figure na ito. Dot TUNGKOL SA tinawag ang sentro ng simetrya ng pigura.

bilog at paralelogram sentro ng bilog ). Iskedyul kakaibang function

Ang mga halimbawa ng mga figure na may central symmetry ay bilog at paralelogram. Ang sentro ng simetrya ng bilog ay sentro ng bilog, at ang sentro ng simetrya ng paralelogram ay punto ng intersection ng mga diagonal nito. Anumang linya ay mayroon ding sentral na simetrya ( anumang punto ng isang linya ang sentro ng simetrya nito). Iskedyul kakaibang function simetriko tungkol sa pinagmulan.

• Ang isang halimbawa ng figure na walang sentro ng simetrya ay arbitrary na tatsulok.

ngunit ngunit a tinawag ang axis ng symmetry ng figure.

• Ang pigura ay sinasabing simetriko na may paggalang sa isang tuwid na linya. ngunit, kung para sa bawat punto ng figure ang punto ay simetriko dito na may paggalang sa tuwid na linya ngunit kabilang din sa figure na ito. Diretso a tinawag ang axis ng symmetry ng figure.

Sa isang nakabukang sulok isang axis ng simetrya angle bisector isang axis ng simetrya tatlong axes ng simetrya sa dalawang palakol ng simetrya, at ang parisukat apat na axes ng simetrya may kaugnayan sa y-axis.

Sa isang nakabukang sulok isang axis ng simetrya- ang linya kung saan ito matatagpuan angle bisector. Mayroon ding isosceles triangle isang axis ng simetrya, at isang equilateral triangle tatlong axes ng simetrya. Ang isang parihaba at isang rhombus na hindi parisukat ay mayroon sa dalawang palakol ng simetrya, at ang parisukat apat na axes ng simetrya. Ang isang bilog ay may walang katapusang bilang ng mga ito. Ang graph ng pantay na function ay simetriko kapag na-plot may kaugnayan sa y-axis.

• May mga figure na walang anumang axis ng symmetry. Kasama sa mga figure na ito paralelogram, maliban sa isang parihaba, tatsulok ng scalene.

puntos PERO At A1 ngunit ngunit AA1 At patayo ngunit binibilang simetriko sa sarili nito

puntos PERO At A1 ay tinatawag na simetriko na may paggalang sa eroplano ngunit(plane of symmetry), kung ang eroplano ngunit dumadaan sa gitna ng segment AA1 At patayo sa segment na ito. Ang bawat punto ng eroplano ngunit binibilang simetriko sa sarili nito. Ang dalawang figure ay tinatawag na simetriko na may kinalaman sa eroplano (o mirror-symmetric na may kinalaman sa) kung sila ay binubuo ng magkapares na simetriko na mga punto. Nangangahulugan ito na para sa bawat punto ng isang figure, ang (medyo) simetriko na punto dito ay nasa isa pang figure.

Ang katawan (o pigura) ay may rotational symmetry, kung kapag lumiliko sa isang anggulo 360º/n, kung saan ang n ay isang integer ganap na magkatugma

• Ang katawan (o pigura) ay may rotational symmetry, kung kapag lumiliko sa isang anggulo 360º/n, kung saan ang n ay isang integer, tungkol sa ilang tuwid na linya AB (axis of symmetry) ito ganap na magkatugma kasama ang orihinal nitong posisyon.

• Radial symmetry- isang anyo ng simetriya na pinapanatili kapag umiikot ang isang bagay sa isang tiyak na punto o linya. Kadalasan ang puntong ito ay tumutugma sa sentro ng grabidad ng bagay, iyon ay, ang punto kung saan nagsalubong isang walang katapusang bilang ng mga palakol ng mahusay na proporsyon. Ang ganitong mga bagay ay maaaring bilog, bola, silindro o kono.

Simetrya ng salamin nag-uugnay ng anuman

Simetrya ng salamin nag-uugnay ng anuman isang bagay at ang repleksyon nito sa isang plane mirror. Ang isang pigura (o katawan) ay sinasabing salamin na simetriko sa isa pa kung magkasama sila ay bumubuo ng isang salamin na simetriko figure (o katawan). Ang mga symmetrically mirrored figure, kasama ang lahat ng kanilang pagkakatulad, ay makabuluhang naiiba sa bawat isa. Ang dalawang mirror-symmetric flat figure ay maaaring palaging ipapatong sa isa't isa. Gayunpaman, para dito kinakailangan na alisin ang isa sa kanila (o pareho) mula sa kanilang karaniwang eroplano.

Simetrya ng pagkakatulad pugad na mga manika.

• Simetrya ng pagkakatulad ay mga kakaibang analogue ng nakaraang mga simetriko, na may pagkakaiba lamang na nauugnay sa kanila sabay-sabay na pagbaba o pagtaas sa mga katulad na bahagi ng figure at ang mga distansya sa pagitan ng mga ito. Ang pinakasimpleng halimbawa ng gayong simetrya ay pugad na mga manika.

• Minsan ang mga figure ay maaaring magkaroon ng iba't ibang uri ng simetrya. Halimbawa, ang ilang mga titik ay may rotational at mirror symmetry: F, H, M, TUNGKOL SA, PERO.

• Mayroong maraming iba pang mga uri ng simetriko na abstract sa kalikasan. Halimbawa:

• Permutation symmetry, na binubuo sa katotohanan na kung ang magkatulad na mga particle ay ipinagpapalit, kung gayon walang mga pagbabagong magaganap;

• Mga sukat ng sukat konektado may zoom. Sa walang buhay na kalikasan, ang simetrya ay pangunahing lumitaw sa isang natural na kababalaghan bilang mga kristal na bumubuo sa halos lahat ng solids. Siya ang nagtatakda ng kanilang mga ari-arian. Ang pinaka-halatang halimbawa ng kagandahan at pagiging perpekto ng mga kristal ay ang kilalang-kilala Snowflake.

Nakakatagpo kami ng simetrya sa lahat ng dako: sa kalikasan, teknolohiya, sining, agham. Ang konsepto ng simetrya ay tumatakbo sa buong siglo-lumang kasaysayan ng pagkamalikhain ng tao. Ang mga prinsipyo ng simetriya ay may mahalagang papel sa pisika at matematika, kimika at biology, inhinyero at arkitektura, pagpipinta at eskultura, tula at musika. Ang mga batas ng kalikasan ay sumusunod din sa mga prinsipyo ng simetrya.

axis ng simetrya.

• Maraming mga bulaklak ang may kawili-wiling pag-aari: maaari silang paikutin upang ang bawat talulot ay kunin ang posisyon ng kapitbahay nito, habang ang bulaklak ay nakahanay sa sarili nito. Ang bulaklak na ito ay may axis ng simetrya.

• Screw symmetry naobserbahan sa pag-aayos ng mga dahon sa mga tangkay ng karamihan sa mga halaman. Matatagpuan tulad ng isang tornilyo sa kahabaan ng tangkay, ang mga dahon ay tila kumakalat sa lahat ng direksyon at hindi nakakubli sa isa't isa mula sa liwanag, na mahalaga para sa buhay ng halaman.

• Bilateral symmetry Ang mga organo ng halaman ay nagtataglay din, halimbawa, ang mga tangkay ng maraming cacti. Madalas na matatagpuan sa botany radially simetriko na binuo na mga bulaklak.

linyang naghahati.

• Ang simetrya sa mga hayop ay nauunawaan bilang pagsusulatan sa laki, hugis at hugis, pati na rin ang kamag-anak na lokasyon ng mga bahagi ng katawan na matatagpuan sa magkabilang panig. linyang naghahati.

• Ang mga pangunahing uri ng simetrya ay radial(radiation) - ito ay nagtataglay ng mga echinoderms, coelenterates, dikya, atbp.; o bilateral(two-sided) - masasabi nating ang bawat hayop (maging insekto, isda o ibon) ay binubuo mula sa dalawang kalahati- kanan at kaliwa.

• spherical symmetry nangyayari sa radiolarians at sunflowers. Anumang eroplano na iginuhit sa gitna ay naghahati sa hayop sa pantay na kalahati.

• Ang simetrya ng isang istraktura ay nauugnay sa organisasyon ng mga pag-andar nito. Ang projection ng plane of symmetry - ang axis ng gusali - ay karaniwang tinutukoy ang lokasyon ng pangunahing pasukan at ang simula ng mga pangunahing daloy ng trapiko.

• Ang bawat detalye sa isang simetriko na sistema ay umiiral bilang isang doppelgänger ng kanyang obligadong pares na matatagpuan sa kabilang panig ng axis, at dahil dito maaari itong ituring na bahagi lamang ng kabuuan.

• Ang pinakakaraniwan sa arkitektura simetrya ng salamin. Ang mga gusali ng Sinaunang Ehipto at ang mga templo ng sinaunang Greece, amphitheater, paliguan, basilica at triumphal arches ng mga Romano, mga palasyo at simbahan ng Renaissance, pati na rin ang maraming mga gusali ng modernong arkitektura ay nasa ilalim nito.

mga accent

• Upang mas mahusay na maipakita ang simetrya sa mga istruktura ay inilalagay mga accent- lalo na ang mga makabuluhang elemento (dome, spiers, tent, pangunahing pasukan at hagdan, balkonahe at bay window).

• Upang idisenyo ang dekorasyon ng arkitektura, ginagamit ang isang palamuti - isang ritmo na paulit-ulit na pattern batay sa simetriko na komposisyon ng mga elemento nito at ipinahayag sa pamamagitan ng linya, kulay o kaluwagan. Sa kasaysayan, maraming uri ng mga burloloy ang nabuo batay sa dalawang pinagmumulan - mga likas na anyo at mga geometric na pigura.

• Ngunit ang isang arkitekto ay una at pangunahin sa isang artista. At samakatuwid, kahit na ang pinaka "classic" na mga estilo ay madalas na ginagamit kawalan ng simetrya– isang nuanced deviation mula sa purong simetrya, o kawalaan ng simetrya- sadyang asymmetrical construction.

• Walang sinuman ang mag-aalinlangan na sa panlabas ang isang tao ay binuo nang simetriko: ang kaliwang kamay ay palaging tumutugma sa kanang kamay at ang parehong mga kamay ay eksaktong pareho. Ngunit ang pagkakahawig ng ating mga kamay, tenga, mata at iba pang bahagi ng katawan ay kapareho ng sa pagitan ng isang bagay at ng repleksyon nito sa salamin.

tama kanyang kalahati magaspang na katangian katangian ng kasarian ng lalaki. Kaliwa kalahati

Maraming mga sukat ng mga parameter ng mukha sa mga kalalakihan at kababaihan ang nagpakita nito tama kanyang kalahati kumpara sa kaliwa, ay may mas malinaw na nakahalang mga sukat, na nagbibigay sa mukha ng higit pa magaspang na katangian katangian ng kasarian ng lalaki. Kaliwa kalahati ang mukha ay may mas malinaw na mga paayon na sukat, na nagbibigay nito makinis na linya at pagkababae. Ipinapaliwanag ng katotohanang ito ang nangingibabaw na pagnanais ng mga babae na magpose para sa mga artista sa kaliwang bahagi ng mukha, at mga lalaki - sa kanan.

Palindrome

• Palindrome(mula sa Gr. Palindromos - tumatakbo pabalik) - ito ay ilang bagay kung saan ang simetrya ng mga bahagi ay tinukoy mula sa simula hanggang sa wakas at mula sa dulo hanggang sa simula. Halimbawa, isang parirala o teksto.

• Ang tuwid na teksto ng isang palindrome, na binabasa ayon sa normal na direksyon ng pagbasa sa script na iyon (karaniwan ay mula kaliwa hanggang kanan), ay tinatawag na pasulong, reverse - isang shell walker o reverse(mula kanan pakaliwa). May simetrya din ang ilang numero.

Kaya, tungkol sa geometry: mayroong tatlong pangunahing uri ng simetrya.

una, sentral na simetrya (o simetrya tungkol sa isang punto) - ito ay isang pagbabagong-anyo ng eroplano (o espasyo), kung saan ang tanging punto (punto O - ang sentro ng simetrya) ay nananatili sa lugar, habang ang iba pang mga punto ay nagbabago ng kanilang posisyon: sa halip na punto A, nakukuha natin ang puntong A1 na ang puntong O ay ang gitna ng segment AA1. Upang makabuo ng isang figure Ф1, simetriko sa figure Ф na may paggalang sa punto O, kinakailangan upang gumuhit ng ray sa bawat punto ng figure Ф na dumadaan sa punto O (ang sentro ng simetrya), at sa ray na ito upang itakda sa tabi ng isang puntong simetriko sa napiling may kinalaman sa puntong O. Ang hanay ng mga puntos na binuo sa paraang ito ay magbibigay ng figure F1.

Malaking interes ang mga figure na may sentro ng simetrya: na may simetrya tungkol sa punto O, anumang punto ng figure F ay muling binago sa ilang punto ng figure F. Mayroong maraming mga naturang figure sa geometry. Halimbawa: isang segment (ang gitna ng segment ay ang sentro ng simetrya), isang tuwid na linya (anuman sa mga punto nito ay ang sentro ng simetriya nito), isang bilog (ang gitna ng bilog ay ang sentro ng simetrya), isang parihaba (ang punto ng intersection ng mga diagonal nito ay ang sentro ng simetrya). Mayroong maraming mga sentral na simetriko na bagay sa buhay at walang buhay na kalikasan (komunikasyon ng mag-aaral). Kadalasan ang mga tao mismo ay gumagawa ng mga bagay na may sentro ng simetryarii (mga halimbawa mula sa karayom, mga halimbawa mula sa mechanical engineering, mga halimbawa mula sa arkitektura at marami pang ibang halimbawa).

Pangalawa, axial symmetry (o simetrya tungkol sa isang linya) - ito ay isang pagbabagong-anyo ng eroplano (o espasyo), kung saan ang mga punto lamang ng linya p ang nananatili sa lugar (ang linyang ito ay ang axis ng simetrya), habang ang iba pang mga punto ay nagbabago ng kanilang posisyon: sa halip na ang punto B , nakakakuha tayo ng isang puntong B1 na ang linya p ay ang perpendicular bisector sa segment na BB1 . Upang makabuo ng isang figure Φ1 simetriko sa figure Φ na may paggalang sa linya p, ito ay kinakailangan para sa bawat punto ng figure Φ upang bumuo ng isang punto simetriko dito na may paggalang sa linya p. Ang hanay ng lahat ng mga itinayong puntong ito ay nagbibigay ng kinakailangang figure Ф1. Maraming mga geometric na hugis na may axis ng simetrya.

Ang isang parihaba ay may dalawa, ang isang parisukat ay may apat, ang isang bilog ay may anumang tuwid na linya na dumadaan sa gitna nito. Kung titingnan mo nang mabuti ang mga titik ng alpabeto, kung gayon sa mga ito ay mahahanap mo ang mga may pahalang o patayo, at kung minsan ay parehong mga palakol ng simetrya. Ang mga bagay na may mga palakol ng simetriya ay medyo karaniwan sa animate at inanimate na kalikasan (mga ulat ng mag-aaral). Sa kanyang aktibidad, ang isang tao ay lumilikha ng maraming mga bagay (halimbawa, mga burloloy) na may ilang mga palakol ng simetrya.

______________________________________________________________________________________________________

pangatlo, planar (mirror) symmetry (o simetrya tungkol sa isang eroplano) - ito ay isang pagbabagong-anyo ng espasyo, kung saan ang mga punto lamang ng isang eroplano ang nagpapanatili ng kanilang lokasyon (α-plane of symmetry), ang natitirang mga punto ng espasyo ay nagbabago ng kanilang posisyon: sa halip na punto C, ang naturang punto C1 ay nakuha na ang eroplano α dumadaan sa gitna ng segment CC1, patayo dito.

Upang bumuo ng isang figure Ф1, simetriko sa figure Ф na may paggalang sa eroplano α, ito ay kinakailangan para sa bawat punto ng figure Ф upang bumuo ng mga punto simetriko na may paggalang sa α, sila ay bumubuo ng figure Ф1 sa kanilang set.

Kadalasan, sa mundo ng mga bagay at bagay sa paligid natin, nakatagpo tayo ng tatlong-dimensional na katawan. At ang ilan sa mga katawan na ito ay may mga eroplano ng simetrya, minsan kahit na marami. At ang tao mismo sa kanyang mga aktibidad (konstruksyon, karayom, pagmomolde, ...) ay lumilikha ng mga bagay na may mga eroplano ng simetrya.

Kapansin-pansin na kasama ang tatlong nakalistang uri ng simetrya, mayroong (sa arkitektura)portable at umiinog, na sa geometry ay mga komposisyon ng ilang mga paggalaw.

Ang simetrya ay nauugnay sa pagkakaisa at kaayusan. At hindi sa walang kabuluhan. Dahil ang tanong kung ano ang symmetry, mayroong isang sagot sa anyo ng literal na pagsasalin mula sa sinaunang Griyego. At lumalabas na nangangahulugan ito ng proporsyonalidad at hindi nababago. At ano ang maaaring maging mas maayos kaysa sa isang mahigpit na kahulugan ng lokasyon? At ano ang matatawag na mas magkatugma kaysa sa isang bagay na mahigpit na tumutugma sa laki?

Ano ang ibig sabihin ng simetrya sa iba't ibang agham?

Biology. Sa loob nito, isang mahalagang bahagi ng mahusay na proporsyon ay ang mga hayop at halaman ay regular na nag-aayos ng mga bahagi. Bukod dito, sa agham na ito ay walang mahigpit na simetrya. Palaging may ilang kawalaan ng simetrya. Inaamin nito na ang mga bahagi ng kabuuan ay hindi nag-tutugma sa ganap na katumpakan.

Chemistry. Ang mga molekula ng isang sangkap ay may isang tiyak na regularidad sa kanilang pag-aayos. Ang kanilang simetrya ang nagpapaliwanag ng maraming katangian ng mga materyales sa crystallography at iba pang sangay ng kimika.

Physics. Ang sistema ng mga katawan at mga pagbabago dito ay inilalarawan gamit ang mga equation. Naglalaman ang mga ito ng simetriko na bahagi, na pinapasimple ang buong solusyon. Ginagawa ito sa pamamagitan ng paghahanap ng mga natipid na dami.

Math. Nasa loob nito na ang pangunahing paliwanag ay ibinigay kung ano ang simetrya. Bukod dito, binibigyan ito ng higit na kahalagahan sa geometry. Dito, ang symmetry ay ang kakayahang ipakita sa mga figure at katawan. Sa isang makitid na kahulugan, ito ay bumaba sa isang mirror image lamang.

Paano tinutukoy ng iba't ibang diksyunaryo ang simetrya?

Kung saan man sila tumingin, ang salitang "proporsyonalidad" ay makikita sa lahat ng dako. Sa Dahl, makikita rin ang gayong interpretasyon bilang pagkakapareho at pagkakapareho. Sa madaling salita, pareho ang ibig sabihin ng simetriko. Nakakatamad din ang sabi, ang mukhang mas interesante ay kung ano ang wala.

Kapag tinanong kung ano ang simetrya, ang diksyunaryo ni Ozhegov ay nagsasalita na ng pagkakapareho sa posisyon ng mga bahagi na nauugnay sa isang punto, linya o eroplano.

Binanggit din ng diksyunaryo ni Ushakov ang proporsyonalidad, gayundin ang buong pagsusulatan ng dalawang bahagi ng kabuuan sa isa't isa.

Kailan pinag-uusapan ng mga tao ang tungkol sa kawalaan ng simetrya?

Ang unlaping "a" ay nagpapawalang-bisa sa kahulugan ng pangunahing pangngalan. Samakatuwid, ang kawalaan ng simetrya ay nangangahulugan na ang pag-aayos ng mga elemento ay hindi nagpapahiram sa sarili nito sa isang tiyak na pattern. Walang immutability dito.

Ang terminong ito ay ginagamit sa mga sitwasyon kung saan ang dalawang kalahati ng item ay hindi perpektong tugma. Most of the time hindi sila magkamukha.

Sa wildlife, ang kawalaan ng simetrya ay gumaganap ng isang mahalagang papel. At maaari itong maging kapaki-pakinabang at nakakapinsala. Halimbawa, ang puso ay inilalagay sa kaliwang kalahati ng dibdib. Dahil dito, ang kaliwang baga ay makabuluhang mas maliit. Ngunit ito ay kinakailangan.

Tungkol sa central at axial symmetry

Sa matematika, may mga ganitong uri nito:

• sentral, iyon ay, ginanap na may paggalang sa isang punto;
• axial, na sinusunod malapit sa isang tuwid na linya;
• specular, ito ay batay sa mga reflection;
• paglipat ng simetrya.

Ano ang axis at sentro ng simetrya? Ito ay isang punto o linya, na nauugnay sa kung saan ang anumang punto ng katawan ay makakahanap ng isa pa. Bukod dito, tulad na ang distansya mula sa orihinal hanggang sa nagresultang isa ay hinahati ng axis o sentro ng simetrya. Sa panahon ng paggalaw ng mga puntong ito, inilalarawan nila ang parehong mga tilapon.

Ito ay pinakamadaling maunawaan kung ano ang simetrya tungkol sa isang axis sa isang halimbawa. Ang papel ng notebook ay dapat na nakatiklop sa kalahati. Ang fold line ang magiging axis ng symmetry. Kung gumuhit kami ng isang patayo na linya dito, kung gayon ang lahat ng mga punto dito ay magkakaroon ng mga puntos na nakahiga sa parehong distansya sa kabilang panig ng axis.

Sa mga sitwasyon kung saan kailangan mong hanapin ang sentro ng simetrya, kailangan mong gawin ang mga sumusunod. Kung mayroong dalawang figure, pagkatapos ay hanapin ang parehong mga punto para sa kanila at ikonekta ang mga ito sa isang segment. Pagkatapos ay hatiin sa kalahati. Kapag ang pigura ay isa, kung gayon ang kaalaman sa mga katangian nito ay makakatulong. Kadalasan ang sentrong ito ay tumutugma sa punto ng intersection ng mga diagonal o taas.

Anong mga hugis ang simetriko?

Ang mga geometric na figure ay maaaring magkaroon ng axial o central symmetry. Ngunit hindi ito isang kinakailangan, maraming mga bagay na wala nito. Halimbawa, ang isang paralelogram ay may sentral ngunit walang axial. At ang mga non-isosceles na trapezoid at triangles ay walang simetrya sa lahat.

Kung isasaalang-alang ang central symmetry, napakaraming figure ang nagtataglay nito. Ito ay isang segment at isang bilog, isang paralelogram at lahat ng mga regular na polygon na may bilang ng mga gilid na nahahati sa dalawa.

Ang sentro ng simetrya ng isang segment (isang bilog din) ay ang sentro nito, habang para sa isang paralelogram ito ay kasabay ng intersection ng mga diagonal. Habang para sa mga regular na polygon, ang puntong ito ay nag-tutugma din sa gitna ng pigura.

Kung ang isang tuwid na linya ay maaaring iguguhit sa isang pigura, kung saan maaari itong matiklop, at ang dalawang halves ay nag-tutugma, kung gayon ito (ang tuwid na linya) ang magiging axis ng simetrya. Ano ang kawili-wili ay kung gaano karaming mga axes ng simetriya ang iba't ibang mga figure.

Halimbawa, ang isang acute o obtuse angle ay may isang axis lamang, na siyang bisector.

Kung kailangan mong hanapin ang axis sa isang isosceles triangle, pagkatapos ay kailangan mong iguhit ang taas sa base nito. Ang linya ay magiging axis ng simetrya. At isa lang. At sa isang equilateral ay magkakaroon ng tatlo sa kanila nang sabay-sabay. Bilang karagdagan, ang tatsulok ay mayroon ding sentral na simetrya na may paggalang sa punto ng intersection ng mga taas.

Ang isang bilog ay maaaring magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga axes ng symmetry. Anumang tuwid na linya na dumaan sa gitna nito ay maaaring matupad ang tungkuling ito.

Ang isang parihaba at isang rhombus ay may dalawang axes ng symmetry. Sa una, dumaan sila sa mga midpoint ng mga gilid, at sa pangalawa, nag-tutugma sila sa mga diagonal.

Pinagsasama ng parisukat ang nakaraang dalawang figure at may 4 na axes ng symmetry nang sabay-sabay. Pareho sila ng rhombus at rectangle.