Hindi magagawa ng pisika at matematika kung wala ang konsepto ng "dami ng vector". Dapat itong kilala at kilalanin, pati na rin magagawang gumana kasama nito. Dapat ay talagang matutunan mo ito upang hindi malito at hindi makagawa ng mga hangal na pagkakamali.

Paano makilala ang isang scalar na halaga mula sa isang vector?

Ang una ay laging may isang katangian lamang. Ito ang numerical value nito. Karamihan sa mga scalar ay maaaring tumagal ng parehong positibo at negatibong mga halaga. Ang mga halimbawa ay singil ng kuryente, trabaho, o temperatura. Ngunit may ilang mga scalar na hindi maaaring negatibo, tulad ng haba at masa.

Ang dami ng vector, bilang karagdagan sa isang numerical na dami, na palaging kinukuha na modulo, ay nailalarawan din ng isang direksyon. Samakatuwid, maaari itong ilarawan nang graphic, iyon ay, sa anyo ng isang arrow, ang haba nito ay katumbas ng modulus ng halaga na nakadirekta sa isang tiyak na direksyon.

Kapag nagsusulat, ang bawat dami ng vector ay ipinahiwatig ng isang arrow sign sa liham. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang numerical na halaga, kung gayon ang arrow ay hindi nakasulat o ito ay kinuha modulo.

Anong mga aksyon ang madalas na ginagawa sa mga vector?

Una, isang paghahambing. Maaaring sila ay pantay o hindi. Sa unang kaso, ang kanilang mga module ay pareho. Ngunit hindi lamang ito ang kundisyon. Dapat din silang pareho o magkasalungat na direksyon. Sa unang kaso, dapat silang tawaging pantay na mga vector. Sa pangalawa, magkabalikan sila. Kung hindi bababa sa isa sa mga kundisyong ito ay hindi natutugunan, kung gayon ang mga vector ay hindi pantay.

Pagkatapos ay dumating ang karagdagan. Maaari itong gawin ayon sa dalawang panuntunan: isang tatsulok o isang paralelogram. Ang una ay nagrereseta na ipagpaliban ang unang isang vector, pagkatapos ay mula sa dulo nito ang pangalawa. Ang resulta ng karagdagan ay ang isa na kailangang iguguhit mula sa simula ng una hanggang sa katapusan ng pangalawa.

Maaaring gamitin ang parallelogram rule kapag kailangan mong magdagdag ng mga dami ng vector sa physics. Hindi tulad ng unang panuntunan, dito dapat silang ipagpaliban mula sa isang punto. Pagkatapos ay buuin ang mga ito sa isang paralelogram. Ang resulta ng aksyon ay dapat isaalang-alang ang dayagonal ng paralelogram na iginuhit mula sa parehong punto.

Kung ang isang dami ng vector ay ibawas mula sa isa pa, pagkatapos ay muli silang na-plot mula sa isang punto. Ang resulta lamang ay isang vector na tumutugma sa iginuhit mula sa dulo ng pangalawa hanggang sa dulo ng una.

Anong mga vector ang pinag-aaralan sa pisika?

Marami kasing mga scalar. Maaalala mo lang kung anong mga dami ng vector ang umiiral sa pisika. O alamin ang mga palatandaan kung saan maaari silang kalkulahin. Para sa mga mas gusto ang unang pagpipilian, ang gayong mesa ay magiging kapaki-pakinabang. Naglalaman ito ng pangunahing mga pisikal na dami ng vector.

Ngayon ng kaunti pa tungkol sa ilan sa mga dami na ito.

Ang unang halaga ay bilis

Ito ay nagkakahalaga ng pagsisimula upang magbigay ng mga halimbawa ng mga dami ng vector mula dito. Ito ay dahil sa ang katunayan na ito ay pinag-aralan sa mga una.

Ang bilis ay tinukoy bilang isang katangian ng paggalaw ng isang katawan sa kalawakan. Tinutukoy nito ang isang numerical na halaga at isang direksyon. Samakatuwid, ang bilis ay isang dami ng vector. Bilang karagdagan, kaugalian na hatiin ito sa mga uri. Ang una ay linear na bilis. Ito ay ipinakilala kapag isinasaalang-alang ang rectilinear uniform motion. Sa kasong ito, ito ay lumalabas na katumbas ng ratio ng landas na nilakbay ng katawan sa oras ng paggalaw.

Ang parehong formula ay maaaring gamitin para sa hindi pantay na paggalaw. Pagkatapos lamang ito ay magiging karaniwan. Bukod dito, ang agwat ng oras na pipiliin ay dapat na kasing-ikli hangga't maaari. Kapag ang agwat ng oras ay nagiging zero, ang halaga ng bilis ay madalian na.

Kung ang isang arbitrary na paggalaw ay isinasaalang-alang, kung gayon ang bilis ay palaging isang dami ng vector. Pagkatapos ng lahat, dapat itong i-decomposed sa mga bahagi na nakadirekta sa bawat vector na nagdidirekta sa mga linya ng coordinate. Bilang karagdagan, ito ay tinukoy bilang ang derivative ng radius vector, na kinuha na may paggalang sa oras.

Ang pangalawang halaga ay lakas

Tinutukoy nito ang sukat ng intensity ng epekto na ibinibigay sa katawan ng ibang mga katawan o field. Dahil ang puwersa ay isang vector quantity, ito ay kinakailangang may sariling modulo value at direksyon. Dahil ito ay kumikilos sa katawan, ang punto kung saan inilalapat ang puwersa ay mahalaga din. Upang makakuha ng visual na representasyon ng mga vector ng puwersa, maaari kang sumangguni sa sumusunod na talahanayan.

Gayundin, ang resultang puwersa ay isa ring dami ng vector. Ito ay tinukoy bilang ang kabuuan ng lahat ng mga puwersang mekanikal na kumikilos sa katawan. Upang matukoy ito, kinakailangan na magsagawa ng karagdagan ayon sa prinsipyo ng panuntunan ng tatsulok. Kailangan mo lamang na ipagpaliban ang mga vectors mula sa dulo ng nauna. Ang resulta ay ang mag-uugnay sa simula ng una hanggang sa dulo ng huli.

Ang ikatlong dami ay displacement

Habang gumagalaw, inilalarawan ng katawan ang isang tiyak na linya. Tinatawag itong trajectory. Ang linyang ito ay maaaring ganap na naiiba. Ang mas mahalaga ay hindi siya hitsura, at ang simula at pagtatapos ng kilusan. Ang mga ito ay konektado sa pamamagitan ng isang segment na tinatawag na displacement. Ito rin ay isang dami ng vector. Bukod dito, ito ay palaging nakadirekta mula sa simula ng kilusan hanggang sa punto kung saan ang paggalaw ay itinigil. Nakaugalian na itong italaga sa Latin na letrang r.

Dito maaaring lumitaw ang sumusunod na tanong: "Ang landas ba ay isang dami ng vector?". Sa pangkalahatan, ang pahayag na ito ay hindi totoo. Ang landas ay katumbas ng haba ng trajectory at walang tiyak na direksyon. Ang isang pagbubukod ay ang sitwasyon kung kailan isinasaalang-alang ang paggalaw ng rectilinear sa isang direksyon. Pagkatapos ang modulus ng displacement vector ay tumutugma sa halaga sa landas, at ang kanilang direksyon ay naging pareho. Samakatuwid, kapag isinasaalang-alang ang paggalaw sa isang tuwid na linya nang hindi binabago ang direksyon ng paggalaw, ang landas ay maaaring isama sa mga halimbawa ng mga dami ng vector.

Ang pang-apat na halaga ay acceleration

Ito ay isang katangian ng rate ng pagbabago ng bilis. Bukod dito, ang acceleration ay maaaring magkaroon ng parehong positibo at negatibong mga halaga. Sa rectilinear motion, ito ay nakadirekta sa direksyon ng mas mataas na bilis. Kung ang paggalaw ay nangyayari sa isang curvilinear trajectory, ang vector ng acceleration nito ay nabubulok sa dalawang bahagi, ang isa ay nakadirekta sa gitna ng curvature kasama ang radius.

Ilaan ang average at instant na halaga ng acceleration. Ang una ay dapat kalkulahin bilang ratio ng pagbabago sa bilis sa isang tiyak na tagal ng panahon hanggang sa oras na ito. Kapag ang itinuturing na agwat ng oras ay may posibilidad na zero, ang isa ay nagsasalita ng madalian na acceleration.

Ikalimang halaga - momentum

Sa ibang paraan, tinatawag din itong dami ng paggalaw. Ang momentum ay isang dami ng vector dahil sa ang katunayan na ito ay direktang nauugnay sa bilis at puwersa na inilapat sa katawan. Pareho silang may direksyon at ibigay ito sa salpok.

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang huli ay katumbas ng produkto ng masa at bilis ng katawan. Gamit ang konsepto ng momentum ng isang katawan, maaaring isulat ng isa ang kilalang batas ni Newton sa ibang paraan. Lumalabas na ang pagbabago sa momentum ay katumbas ng produkto ng puwersa at agwat ng oras.

Sa pisika, ang batas ng konserbasyon ng momentum ay gumaganap ng isang mahalagang papel, na nagsasaad na sa isang saradong sistema ng mga katawan ang kabuuang momentum nito ay pare-pareho.

Napakaikling nailista namin kung anong mga dami (vector) ang pinag-aaralan sa kurso ng pisika.

Ang problema ng hindi nababanat na epekto

Kundisyon. May nakapirming plataporma sa riles. Isang sasakyan ang papalapit dito sa bilis na 4 m/s. Ang masa ng platform at ang kariton ay 10 at 40 tonelada, ayon sa pagkakabanggit. Ang kotse ay tumama sa platform, isang awtomatikong coupler ang nangyayari. Kinakailangang kalkulahin ang bilis ng sistema ng wagon-platform pagkatapos ng epekto.

Solusyon. Una, kailangan mong ipasok ang notasyon: ang bilis ng kotse bago ang epekto - v1, ang kotse na may platform pagkatapos ng pagkabit - v, ang masa ng kotse m1, ang bigat ng platform - m2. Ayon sa kondisyon ng problema, kinakailangan upang malaman ang halaga ng bilis v.

Ang mga patakaran para sa paglutas ng mga naturang gawain ay nangangailangan ng isang eskematiko na representasyon ng system bago at pagkatapos ng pakikipag-ugnayan. Makatwirang idirekta ang OX axis sa mga riles sa direksyon kung saan gumagalaw ang kotse.

Sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang sistema ng bagon ay maaaring ituring na sarado. Ito ay tinutukoy ng katotohanan na ang mga panlabas na puwersa ay maaaring mapabayaan. Ang puwersa ng grabidad at ang reaksyon ng suporta ay balanse, at ang alitan sa mga riles ay hindi isinasaalang-alang.

Ayon sa batas ng konserbasyon ng momentum, ang kanilang kabuuan ng vector bago ang pakikipag-ugnayan ng kotse at ang platform ay katumbas ng kabuuang para sa coupler pagkatapos ng epekto. Sa una, ang platform ay hindi gumagalaw, kaya ang momentum nito ay zero. Ang bagon lang ang gumalaw, ang momentum nito ay produkto ng m1 at v1.

Dahil ang epekto ay hindi nababanat, ibig sabihin, ang kariton ay kumapit sa plataporma, at pagkatapos ay nagsimula itong gumulong nang magkasama sa parehong direksyon, ang salpok ng sistema ay hindi nagbabago ng direksyon. Ngunit nagbago ang kahulugan nito. Lalo na, ang produkto ng kabuuan ng masa ng kariton na may plataporma at ang nais na bilis.

Maaari mong isulat ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Magiging totoo ito para sa projection ng mga momentum vectors sa napiling axis. Mula dito ay madaling makuha ang pagkakapantay-pantay na kakailanganin upang makalkula ang nais na bilis: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

Ayon sa mga patakaran, dapat mong i-convert ang mga halaga para sa masa mula sa tonelada hanggang kilo. Samakatuwid, kapag pinapalitan ang mga ito sa formula, dapat mo munang i-multiply ang mga kilalang halaga sa pamamagitan ng isang libo. Ang mga simpleng kalkulasyon ay nagbibigay ng bilang na 0.75 m/s.

Sagot. Ang bilis ng kariton na may platform ay 0.75 m/s.

Hinahati ang katawan sa mga bahagi

Kundisyon. Ang bilis ng lumilipad na granada ay 20 m/s. Nahati ito sa dalawang piraso. Ang masa ng una ay 1.8 kg. Patuloy itong gumagalaw sa direksyon kung saan lumilipad ang granada sa bilis na 50 m/s. Ang pangalawang fragment ay may mass na 1.2 kg. Ano ang bilis nito?

Solusyon. Hayaang ang mga masa ng fragment ay ipahiwatig ng mga titik m1 at m2. Ang kanilang bilis ay magiging v1 at v2. Ang unang bilis ng granada ay v. Sa gawain, kailangan mong kalkulahin ang halaga v2.

Upang ang mas malaking fragment ay patuloy na gumagalaw sa parehong direksyon tulad ng buong granada, ang pangalawa ay dapat lumipad sa tapat na direksyon. Kung pipiliin namin para sa direksyon ng axis ang nasa unang salpok, pagkatapos pagkatapos ng break ang malaking fragment ay lilipad sa kahabaan ng axis, at ang maliit na fragment ay lilipad laban sa axis.

Sa problemang ito, pinapayagang gamitin ang batas ng konserbasyon ng momentum dahil sa ang katunayan na ang pagsabog ng isang granada ay nangyayari kaagad. Samakatuwid, sa kabila ng katotohanan na ang gravity ay kumikilos sa granada at mga bahagi nito, wala itong oras upang kumilos at baguhin ang direksyon ng momentum vector kasama ang halaga ng modulus nito.

Ang kabuuan ng mga halaga ng vector ng momentum pagkatapos ng pagsabog ng granada ay katumbas ng isa bago nito. Kung isusulat natin ang batas ng konserbasyon ng momentum ng katawan sa projection papunta sa axis ng OX, magiging ganito ang hitsura: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Madaling ipahayag ang nais na bilis mula dito. Ito ay tinutukoy ng formula: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Pagkatapos ng pagpapalit ng mga numerical na halaga at kalkulasyon, 25 m / s ay nakuha.

Sagot. Ang bilis ng isang maliit na fragment ay 25 m/s.

Problema tungkol sa pagbaril sa isang anggulo

Kundisyon. Ang isang tool ay naka-mount sa isang platform ng mass M. Isang projectile na mass m ang pinaputok mula dito. Ito ay umaalis sa isang anggulo α sa abot-tanaw na may bilis na v (ibinigay na may kaugnayan sa lupa). Ito ay kinakailangan upang malaman ang bilis ng platform pagkatapos ng pagbaril.

Solusyon. Sa problemang ito, maaari mong gamitin ang batas sa konserbasyon ng momentum sa projection papunta sa axis ng OX. Ngunit lamang sa kaso kapag ang projection ng mga panlabas na resultang pwersa ay katumbas ng zero.

Para sa direksyon ng axis ng OX, kailangan mong piliin ang gilid kung saan lilipad ang projectile, at kahanay sa pahalang na linya. Sa kasong ito, ang mga pagpapakita ng mga puwersa ng grabidad at ang reaksyon ng suporta sa OX ay magiging katumbas ng zero.

Ang problema ay malulutas sa isang pangkalahatang paraan, dahil walang tiyak na data para sa mga kilalang dami. Ang formula ay ang sagot.

Ang momentum ng system bago ang pagbaril ay katumbas ng zero, dahil ang platform at ang projectile ay nakatigil. Hayaang ang nais na bilis ng platform ay ipahiwatig ng Latin na titik u. Pagkatapos ang momentum nito pagkatapos ng pagbaril ay tinutukoy bilang ang produkto ng masa at ang projection ng bilis. Dahil ang platform ay gumulong pabalik (laban sa direksyon ng OX axis), ang halaga ng momentum ay magkakaroon ng minus sign.

Ang momentum ng projectile ay ang produkto ng masa nito at ang projection ng velocity sa OX axis. Dahil sa katotohanan na ang bilis ay nakadirekta sa isang anggulo sa abot-tanaw, ang projection nito ay katumbas ng bilis na pinarami ng cosine ng anggulo. Sa literal na pagkakapantay-pantay, magiging ganito ang hitsura: 0 = - Mu + mv * cos α. Mula dito, sa pamamagitan ng mga simpleng pagbabago, ang formula ng sagot ay nakuha: u = (mv * cos α) / M.

Sagot. Ang bilis ng platform ay tinutukoy ng formula u = (mv * cos α) / M.

Problema sa pagtawid ng ilog

Kundisyon. Ang lapad ng ilog sa buong haba nito ay pareho at katumbas ng l, ang mga pampang nito ay parallel. Ang bilis ng daloy ng tubig sa ilog v1 at ang sariling bilis ng bangka v2 ay kilala. isa). Kapag tumatawid, ang busog ng bangka ay mahigpit na nakadirekta sa kabilang pampang. Gaano kalayo ito dadalhin sa ibaba ng agos? 2). Sa anong anggulo α dapat idirekta ang busog ng bangka upang umabot ito sa tapat ng bangko na mahigpit na patayo sa punto ng pag-alis? Gaano karaming oras ang aabutin para sa gayong pagtawid?

Solusyon. isa). Ang buong bilis ng bangka ay ang vector sum ng dalawang dami. Ang una sa mga ito ay ang daloy ng ilog, na nakadirekta sa mga pampang. Ang pangalawa ay ang sariling bilis ng bangka, patayo sa baybayin. Ang pagguhit ay nagpapakita ng dalawang magkatulad na tatsulok. Ang una ay nabuo sa pamamagitan ng lapad ng ilog at ang distansya na dinadala ng bangka. Ang pangalawa ay velocity vectors.

Ang sumusunod na entry ay sumusunod mula sa kanila: s / l = v1 / v2. Pagkatapos ng pagbabagong-anyo, ang isang formula para sa nais na halaga ay nakuha: s = l * (v1 / v2).

2). Sa bersyong ito ng problema, ang kabuuang velocity vector ay patayo sa mga bangko. Ito ay katumbas ng vector sum ng v1 at v2. Ang sine ng anggulo kung saan dapat lumihis ang sariling velocity vector ay katumbas ng ratio ng mga module v1 at v2. Upang makalkula ang oras ng paglalakbay, kakailanganin mong hatiin ang lapad ng ilog sa kinakalkula na kabuuang bilis. Ang halaga ng huli ay kinakalkula ng Pythagorean theorem.

v = √(v22 – v12), pagkatapos ay t = l / (√(v22 – v12)).

Sagot. isa). s = l * (v1 / v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).

Ang mga vector ay isang makapangyarihang kasangkapan sa matematika at pisika. Ang mga pangunahing batas ng mechanics at electrodynamics ay nabuo sa wika ng mga vectors. Upang maunawaan ang pisika, kailangan mong matutunan kung paano magtrabaho sa mga vector.

Ang kabanatang ito ay naglalaman ng isang detalyadong presentasyon ng materyal na kinakailangan upang simulan ang pag-aaral ng mekanika:

! Pagdaragdag ng vector

! I-multiply ang isang scalar sa isang vector

! Anggulo sa pagitan ng mga vector

! Projection ng isang vector papunta sa isang axis

! Mga vector at coordinate sa eroplano

! Mga vector at coordinate sa kalawakan

! Tuldok na produkto ng mga vector

Magiging kapaki-pakinabang na bumalik sa teksto ng apendiks na ito sa unang taon kapag nag-aaral ng analytic geometry at linear algebra upang maunawaan, halimbawa, kung saan nagmula ang mga axiom ng linear at Euclidean space.

7.1 Mga dami ng scalar at vector

Sa proseso ng pag-aaral ng pisika, nakakatugon tayo ng dalawang uri ng dami - scalar at vector.

Kahulugan. Ang scalar quantity, o scalar, ay isang pisikal na dami na (sa naaangkop na mga unit) ay nangangailangan ng isang numero upang tukuyin.

Mayroong maraming mga scalar sa pisika. Ang timbang ng katawan ay 3 kg, ang temperatura ng hangin ay 10 C, ang boltahe ng mains ay 220 V. . . Sa lahat ng mga kasong ito, ang dami ng interes sa amin ay ibinibigay ng isang numero. Samakatuwid, ang masa, temperatura, at boltahe ng kuryente ay mga scalar.

Ngunit ang isang scalar sa pisika ay hindi lamang isang numero. Ang scalar ay isang numerong nilagyan ng sukat na 1 . Kaya, dahil sa masa, hindi natin maisusulat ang m = 3; dapat mong tukuyin ang yunit ng pagsukat, halimbawa, m = 3 kg. At kung sa matematika maaari nating idagdag ang mga numero 3 at 220, kung gayon sa pisika ay hindi gagana na magdagdag ng 3 kilo at 220 volts: may karapatan tayong magdagdag lamang ng mga scalar na may parehong sukat (mass na may masa, boltahe na may boltahe. , atbp.).

Kahulugan. Ang dami ng vector, o isang vector, ay isang pisikal na dami na nailalarawan sa pamamagitan ng: 1) isang di-negatibong scalar; 2) direksyon sa kalawakan. Sa kasong ito, ang scalar ay tinatawag na modulus ng vector, o ang ganap na halaga nito.

Ipagpalagay na ang isang kotse ay gumagalaw sa bilis na 60 km/h. Ngunit iyon ay hindi kumpletong impormasyon sa trapiko, hindi ba? Maaaring mahalaga din kung saan pupunta ang kotse, saang direksyon. Samakatuwid, mahalagang malaman hindi lamang ang module (ganap na halaga) ng bilis ng sasakyan sa kasong ito, ito ay 60 km / h, kundi pati na rin ang direksyon nito sa kalawakan. Kaya ang bilis ay isang vector.

Isa pang halimbawa. Ipagpalagay na mayroong isang laryo na may timbang na 1 kg sa sahig. Ang puwersa ng 100 N ay kumikilos sa ladrilyo (ito ang modulus ng puwersa, o ang ganap na halaga nito). Paano lilipat ang ladrilyo? Ang tanong ay walang kahulugan hanggang sa ang direksyon ng puwersa ay tinukoy. Kung ang puwersa ay kumikilos pataas, ang ladrilyo ay lilipat paitaas. Kung ang puwersa ay kumikilos nang pahalang, ang ladrilyo ay lilipat nang pahalang. At kung ang puwersa ay kumikilos nang patayo pababa, kung gayon ang ladrilyo ay hindi tatayo, ito ay pipindutin lamang sa sahig. Nakikita natin, samakatuwid, ang puwersa na iyon ay isang vector din.

Ang dami ng vector sa pisika ay mayroon ding dimensyon. Ang dimensyon ng isang vector ay ang dimensyon ng module nito.

Ipatukoy namin ang mga vector sa pamamagitan ng mga titik na may arrow. Kaya, ang velocity vector ay maaaring tukuyin

sa pamamagitan ng ~v, at ang puwersang vector sa pamamagitan ng F . Sa totoo lang, ang vector na ito ay isang arrow o, gaya ng sinasabi nila, isang nakadirekta na segment (Larawan 7.1).

kanin. 7.1. Vector ~v

Ang panimulang punto ng arrow ay tinatawag na simula ng vector, at ang dulong punto (tip) ng arrow

dulo ng vector. Sa matematika, ang isang vector na nagsisimula sa punto A at nagtatapos sa punto B ay tinutukoy

din AB; minsan kailangan natin ng ganoong notasyon.

Ang isang vector na ang simula at wakas ay nagtutugma ay tinatawag na isang zero vector (o zero) at

tinutukoy ng ~ . Ang null vector ay isang punto lamang; wala itong tiyak na direksyon.

Ang haba ng null vector ay, siyempre, zero.

1 Mayroon ding mga walang sukat na scalar: koepisyent ng friction, kahusayan, refractive index ng medium. . . Kaya, ang refractive index ng tubig ay 1; 33, ito ay kumpletong impormasyon, ang numerong ito ay walang anumang dimensyon.

Ang pagguhit ng mga arrow ay ganap na nalulutas ang problema ng graphical na representasyon ng mga dami ng vector. Ang direksyon ng arrow ay nagpapahiwatig ng direksyon ng ibinigay na vector, at ang haba ng arrow sa isang angkop na sukat ay ang modulus ng vector na ito.

Ipagpalagay, halimbawa, na ang dalawang kotse ay gumagalaw patungo sa isa't isa na may bilis na u = 30 km/h at v = 60 km/h. Pagkatapos ang mga vectors ~u at ~v ng mga bilis ng sasakyan ay magkakaroon ng magkasalungat na direksyon, at ang haba ng vector ~v ay dalawang beses na mas malaki (Larawan 7.2).

kanin. 7.2. Ang vector ~v ay dalawang beses ang haba

Tulad ng naintindihan mo na, ang isang titik na walang arrow (halimbawa, u o v sa nakaraang talata) ay tumutukoy sa modulus ng kaukulang vector. Sa matematika, ang modulus ng isang vector ~v ay karaniwang tinutukoy ng j~vj, ngunit ang mga physicist, kung papayagan ng sitwasyon, ay mas pipiliin ang v na walang arrow.

Ang mga vector ay tinatawag na collinear kung sila ay nakahiga sa parehong linya o sa parallel na linya.

Hayaang magkaroon ng dalawang collinear vectors. Kung ang kanilang mga direksyon ay nag-tutugma, kung gayon ang mga vector ay tinatawag na codirectional; kung magkaiba ang kanilang mga direksyon, kung gayon ang mga vector ay tinatawag na magkasalungat na direksyon. Kaya, sa itaas sa Fig. 7.2 vectors ~u at ~v ay magkasalungat na direksyon.

Ang dalawang vector ay tinatawag na pantay kung sila ay codirectional at may pantay na mga module (Larawan 7.3).

kanin. 7.3. Ang mga vectors ~a at b ay pantay: ~a = b

Kaya, ang pagkakapantay-pantay ng mga vector ay hindi nangangahulugang ang kailangang-kailangan na pagkakaisa ng kanilang mga simula at pagtatapos: maaari nating ilipat ang isang vector na kahanay sa sarili nito, at sa kasong ito makakakuha tayo ng isang vector na katumbas ng orihinal. Ang ganitong paglipat ay patuloy na ginagamit sa mga kaso kung saan ito ay kanais-nais na bawasan ang mga simula ng mga vector sa isang punto, halimbawa, kapag hinahanap ang kabuuan o pagkakaiba ng mga vector. Bumaling tayo ngayon sa pagsasaalang-alang ng mga operasyon sa mga vector.

Sa pag-aaral ng iba't ibang sangay ng physics, mechanics at teknikal na agham, may mga dami na ganap na natutukoy sa pamamagitan ng pagtatakda ng kanilang mga numerical na halaga, mas tiyak, na ganap na tinutukoy gamit ang bilang na nakuha bilang resulta ng kanilang pagsukat sa pamamagitan ng isang homogenous na dami na kinuha bilang isang unit. Ang ganitong mga dami ay tinatawag scalar o, sa madaling salita, mga scalar. Ang mga scalar quantity, halimbawa, ay haba, area, volume, time, mass, body temperature, density, work, electrical capacity, atbp. Dahil ang isang scalar quantity ay tinutukoy ng isang numero (positibo o negatibo), maaari itong i-plot sa kaukulang coordinate axis. Halimbawa, madalas silang bumuo ng axis ng oras, temperatura, haba (landas) at iba pa.

Bilang karagdagan sa mga scalar na dami, sa iba't ibang mga problema mayroong mga dami, para sa pagpapasiya kung saan, bilang karagdagan sa numerical na halaga, kinakailangan ding malaman ang kanilang direksyon sa espasyo. Ang ganitong mga dami ay tinatawag vector. Ang mga pisikal na halimbawa ng mga dami ng vector ay ang pag-aalis ng isang materyal na punto na gumagalaw sa kalawakan, ang bilis at acceleration ng puntong ito, pati na rin ang puwersang kumikilos dito, ang lakas ng isang electric o magnetic field. Ang mga dami ng vector ay ginagamit, halimbawa, sa climatology. Isaalang-alang ang isang simpleng halimbawa mula sa climatology. Kung sasabihin natin na ang hangin ay umiihip sa bilis na 10 m/s, ipakikilala natin ang isang scalar na halaga ng bilis ng hangin, ngunit kung sasabihin natin na ang hilagang hangin ay umiihip sa bilis na 10 m/s, pagkatapos ay sa sa kasong ito ang bilis ng hangin ay magiging isang dami ng vector.

Ang mga dami ng vector ay kinakatawan gamit ang mga vector.

Para sa geometric na representasyon ng mga dami ng vector, ginagamit ang mga nakadirekta na segment, iyon ay, mga segment na may nakapirming direksyon sa espasyo. Sa kasong ito, ang haba ng segment ay katumbas ng numerical value ng vector quantity, at ang direksyon nito ay tumutugma sa direksyon ng vector quantity. Tinatawag ang isang nakadirekta na segment na nagpapakilala sa isang binigay na dami ng vector isang geometric vector o isang vector lamang.

Ang konsepto ng isang vector ay gumaganap ng isang mahalagang papel kapwa sa matematika at sa maraming lugar ng pisika at mekanika. Maraming pisikal na dami ang maaaring ilarawan gamit ang mga vector, at ang representasyong ito ay madalas na nag-aambag sa pangkalahatan at pagpapasimple ng mga formula at resulta. Kadalasan ang mga dami ng vector at ang mga vector na kumakatawan sa kanila ay nakikilala sa isa't isa: halimbawa, sinasabi nila na ang puwersa (o bilis) ay isang vector.

Ang mga elemento ng vector algebra ay ginagamit sa mga disiplina gaya ng: 1) mga de-koryenteng makina; 2) awtomatikong electric drive; 3) electric lighting at irradiation; 4) unbranched alternating current circuits; 5) inilapat na mekanika; 6) theoretical mechanics; 7) pisika; 8) haydrolika: 9) mga bahagi ng makina; 10) lakas ng mga materyales; 11) pamamahala; 12) kimika; 13) kinematics; 14) statics, atbp.

2. Kahulugan ng isang vector. Ang isang segment ng linya ay tinutukoy ng dalawang pantay na punto - ang mga dulo nito. Ngunit maaaring isaalang-alang ng isa ang isang nakadirekta na segment na tinukoy ng isang nakaayos na pares ng mga puntos. Ito ay kilala tungkol sa mga puntong ito kung alin sa mga ito ang una (simula) at alin ang pangalawa (wakas).

Ang isang nakadirekta na segment ay nauunawaan bilang isang nakaayos na pares ng mga puntos, ang una kung saan - punto A - ay tinatawag na simula nito, at ang pangalawa - B - ang pagtatapos nito.

Tapos sa ilalim vector sa pinakasimpleng kaso, ang mismong nakadirekta na segment ay nauunawaan, at sa ibang mga kaso, ang iba't ibang mga vector ay iba't ibang mga klase ng equivalence ng mga nakadirekta na mga segment, na tinutukoy ng ilang partikular na ugnayan ng equivalence. Bukod dito, ang ugnayan ng equivalence ay maaaring magkakaiba, na tinutukoy ang uri ng vector ("libre", "fixed", atbp.). Sa madaling salita, sa loob ng isang equivalence class, ang lahat ng nakadirekta na segment sa loob nito ay itinuturing na perpektong pantay, at ang bawat isa ay maaaring pantay na kumakatawan sa buong klase.

Ang mga vector ay may mahalagang papel sa pag-aaral ng mga infinitesimal na pagbabago ng espasyo.

Kahulugan 1. Isang nakadirekta na segment (o, ano ang pareho, isang nakaayos na pares ng mga puntos) ang tatawagin namin vector. Ang direksyon sa segment ay karaniwang minarkahan ng isang arrow. Kapag nagsusulat, ang isang arrow ay inilalagay sa itaas ng pagtatalaga ng titik ng vector, halimbawa: (sa kasong ito, ang titik na naaayon sa simula ng vector ay dapat ilagay sa harap). Sa mga aklat, kadalasan ang mga titik na nagsasaad ng vector ay nai-type nang bold, halimbawa: a.

Ang tinatawag na zero vector, na ang simula at pagtatapos ay nagtutugma, ay tatawagin din bilang mga vector.

Ang isang vector na ang simula ay tumutugma sa pagtatapos nito ay tinatawag na zero. Ang null vector ay tinutukoy ng o simpleng 0.

Ang distansya sa pagitan ng simula at pagtatapos ng isang vector ay tinatawag na nito mahaba(pati na rin ang modyul at ganap na halaga). Ang haba ng isang vector ay tinutukoy ng | | o | |. Ang haba ng isang vector, o ang modulus ng isang vector, ay ang haba ng katumbas na nakadirekta na segment: | | = .

Ang mga vector ay tinatawag collinear, kung sila ay matatagpuan sa parehong linya o sa parallel na linya, sa madaling salita, kung mayroong isang linya kung saan sila ay parallel.

Ang mga vector ay tinatawag coplanar, kung mayroong isang eroplano kung saan sila ay parallel, maaari silang katawanin ng mga vectors na nakahiga sa parehong eroplano. Ang zero vector ay itinuturing na collinear sa anumang vector, dahil wala itong tiyak na direksyon. Ang haba nito, siyempre, ay zero. Malinaw, anumang dalawang vectors ay coplanar; ngunit siyempre hindi lahat ng tatlong mga vector sa kalawakan ay coplanar. Dahil ang mga vector na parallel sa isa't isa ay parallel sa parehong eroplano, ang collinear vectors ay mas coplanar. Siyempre, ang kabaligtaran ay hindi totoo: ang mga coplanar vector ay maaaring hindi collinear. Sa bisa ng kondisyon sa itaas, ang zero vector ay collinear sa anumang vector at coplanar sa anumang pares ng vectors, i.e. kung hindi bababa sa isa sa tatlong mga vector ay zero, kung gayon sila ay coplanar.

2) Ang salitang "coplanar" ay nangangahulugang: "pagkakaroon ng isang karaniwang eroplano", iyon ay, "matatagpuan sa parehong eroplano." Ngunit dahil pinag-uusapan natin dito ang tungkol sa mga libreng vector na maaaring ilipat (nang hindi binabago ang haba at direksyon) sa isang arbitrary na paraan, dapat nating tawagan ang mga coplanar vectors parallel sa parehong eroplano, dahil sa kasong ito maaari silang ilipat upang sila ay lumabas. na matatagpuan sa isang eroplano.

Upang paikliin ang pagsasalita, sasang-ayon kami sa isang termino: kung ang ilang mga libreng vector ay parallel sa parehong eroplano, pagkatapos ay sasabihin namin na sila ay coplanar. Sa partikular, ang dalawang vector ay palaging coplanar; upang mapatunayan ito, sapat na upang ipagpaliban ang mga ito mula sa parehong punto. Ito ay malinaw, higit pa, na ang direksyon ng eroplano kung saan ang dalawang ibinigay na mga vector ay parallel ay ganap na tinutukoy kung ang dalawang mga vector na ito ay hindi parallel sa isa't isa. Anumang eroplano kung saan ang mga ibinigay na coplanar vector ay parallel ay tatawagin lamang na eroplano ng mga ibinigay na vectors.

Kahulugan 2. Ang dalawang vector ay tinatawag pantay kung sila ay collinear, may parehong direksyon, at may parehong haba.

Dapat palaging tandaan na ang pagkakapantay-pantay ng mga haba ng dalawang vector ay hindi nangangahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga vector na ito.

Sa mismong kahulugan ng kahulugan, dalawang vector, na magkahiwalay na katumbas ng pangatlo, ay katumbas ng bawat isa. Malinaw, ang lahat ng mga zero vector ay katumbas ng bawat isa.

Direkta itong sinusunod mula sa kahulugang ito na sa pamamagitan ng pagpili ng anumang punto A", maaari tayong bumuo (at isa lamang) ang vector A" B", katumbas ng ilang ibinigay na vector , o, gaya ng sinasabi nila, ilipat ang vector sa puntong A" .

Magkomento. Para sa mga vector, walang mga konsepto ng "mas malaki kaysa sa" o "mas mababa kaysa", i.e. sila ay pantay o hindi pantay.

Ang isang vector na ang haba ay katumbas ng isa ay tinatawag walang asawa vector at tinutukoy ng e. Ang unit vector, ang direksyon kung saan tumutugma sa direksyon ng vector a, ay tinatawag ortom vector at tinutukoy ng isang .

3. Sa isa pang kahulugan ng isang vector. Tandaan na ang konsepto ng pagkakapantay-pantay ng mga vector ay malaki ang pagkakaiba sa konsepto ng pagkakapantay-pantay, halimbawa, ng mga numero. Ang bawat numero ay pantay lamang sa sarili nito, sa madaling salita, dalawang pantay na numero sa ilalim ng lahat ng pagkakataon ay maaaring ituring na isa at parehong numero. Sa mga vector, tulad ng nakikita natin, ang sitwasyon ay naiiba: sa pamamagitan ng kahulugan, may iba't ibang, ngunit pantay na mga vector. Bagama't sa karamihan ng mga kaso hindi namin kailangang makilala sa pagitan ng mga ito, maaaring lumabas na sa isang punto ay magiging interesado kami sa vector , at hindi sa isa pang katumbas na vector A"B".

Upang gawing simple ang konsepto ng pagkakapantay-pantay ng mga vectors (at alisin ang ilan sa mga paghihirap na nauugnay dito), kung minsan ay napupunta ang isa upang gawing kumplikado ang kahulugan ng isang vector. Hindi namin gagamitin ang kumplikadong kahulugan na ito, ngunit bubuuin namin ito. Upang maiwasan ang pagkalito, isusulat namin ang "Vector" (na may malaking titik) upang tukuyin ang konsepto na tinukoy sa ibaba.

Kahulugan 3. Hayaang magbigay ng nakadirekta na segment. Ang hanay ng lahat ng nakadirekta na mga segment na katumbas ng isang ibinigay sa kahulugan ng Definition 2 ay tinatawag Vector.

Kaya, ang bawat nakadirekta na segment ay tumutukoy sa isang Vector. Madaling makita na ang dalawang nakadirekta na mga segment ay tumutukoy sa parehong Vector kung at kung magkapantay lamang ang mga ito. Para sa mga Vector, tulad ng para sa mga numero, ang pagkakapantay-pantay ay nangangahulugang pareho: dalawang Vector ay pantay-pantay kung at kung sila ay parehong Vector.

Sa isang parallel na pagsasalin ng espasyo, ang isang punto at ang imahe nito ay bumubuo ng isang nakaayos na pares ng mga punto at tumutukoy sa isang nakadirekta na segment, at lahat ng naturang nakadirekta na mga segment ay pantay-pantay sa kahulugan ng Depinisyon 2. Samakatuwid, ang isang parallel na pagsasalin ng espasyo ay maaaring makilala sa isang Vector na binubuo ng lahat ng mga nakadirekta na segment na ito.

Mula sa paunang kurso ng pisika ay kilala na ang isang puwersa ay maaaring katawanin ng isang nakadirekta na bahagi. Ngunit hindi ito maaaring katawanin ng isang Vector, dahil ang mga puwersa na kinakatawan ng pantay na direksyon na mga segment ay gumagawa, sa pangkalahatan, ng iba't ibang mga epekto. (Kung ang isang puwersa ay kumikilos sa isang nababanat na katawan, kung gayon ang nakadirekta na bahagi na kumakatawan dito ay hindi maaaring ilipat kahit na sa kahabaan ng tuwid na linya kung saan ito nakahiga.)

Isa lamang ito sa mga dahilan kung bakit, kasama ng mga Vector, ibig sabihin, mga set (o, gaya ng sinasabi nila, mga klase) ng pantay na nakadirekta na mga segment, kinakailangang isaalang-alang ang mga indibidwal na kinatawan ng mga klase na ito. Sa ilalim ng mga sitwasyong ito, ang aplikasyon ng Definition 3 ay kumplikado sa pamamagitan ng isang malaking bilang ng mga reserbasyon. Susunod tayo sa Depinisyon 1, at sa pangkalahatang kahulugan ay palaging magiging malinaw kung pinag-uusapan natin ang isang mahusay na tinukoy na vector, o anumang katumbas nito ay maaaring palitan sa lugar nito.

Kaugnay ng kahulugan ng vector, sulit na ipaliwanag ang kahulugan ng ilang salita na matatagpuan sa panitikan.

Napapaligiran tayo ng maraming iba't ibang materyal na bagay. Materyal, dahil ito ay maaaring mahawakan, maamoy, makita, marinig at marami pang magagawa. Ano ang mga bagay na ito, ano ang mangyayari sa kanila, o mangyayari kung may gagawin: itapon, alisin ang liko, ilagay sa oven. Bakit may nangyayari sa kanila at paano nga ba ito nangyayari? Lahat ng pag-aaral na ito pisika. Maglaro ng laro: mag-isip ng isang bagay sa silid, ilarawan ito sa ilang salita, dapat hulaan ng isang kaibigan kung ano ito. Tukuyin ang mga katangian ng nilalayon na paksa. Pang-uri: puti, malaki, mabigat, malamig. nahulaan? Isa itong refrigerator. Ang mga detalyeng nakalista ay hindi mga siyentipikong sukat ng iyong refrigerator. Maaari mong sukatin ang iba't ibang bagay sa refrigerator. Kung mahaba, malaki na. Kung kulay, kung gayon ito ay puti. Kung temperatura, pagkatapos ay malamig. At kung ang masa nito, kung gayon ito ay lumalabas na ito ay mabigat. Isipin na ang isang refrigerator ay maaaring galugarin mula sa iba't ibang mga anggulo. Mass, haba, temperatura - ito ang pisikal na dami.

Ngunit ito lamang ang maliit na katangian ng refrigerator na agad na naiisip. Bago bumili ng bagong refrigerator, maaari mong gawing pamilyar ang iyong sarili sa isang bilang ng mga pisikal na dami na nagbibigay-daan sa iyo upang hatulan kung ano ito, mas mabuti o mas masahol pa, at kung bakit ito nagkakahalaga. Isipin ang sukat kung gaano magkakaibang ang lahat sa paligid natin. At gaano kaiba ang mga katangian?

Pagtatalaga ng pisikal na dami

Ang lahat ng pisikal na dami ay karaniwang tinutukoy ng mga titik, mas madalas ang alpabetong Griyego. PERO! Ang isa at ang parehong pisikal na dami ay maaaring magkaroon ng ilang mga pagtatalaga ng titik (sa iba't ibang literatura).

At sa kabaligtaran, ang iba't ibang mga pisikal na dami ay maaaring ipahiwatig ng parehong titik.

Sa kabila ng katotohanan na maaaring hindi mo nakita ang gayong liham, ang kahulugan ng isang pisikal na dami, ang pakikilahok nito sa mga formula ay nananatiling pareho.

Vector at scalar na dami

Sa pisika, mayroong dalawang uri ng pisikal na dami: vector at scalar. Ang kanilang pangunahing pagkakaiba ay iyon may direksyon ang mga pisikal na dami ng vector. Ano ang direksyon ng pisikal na dami? Halimbawa, ang bilang ng mga patatas sa isang bag, tatawagin natin ang mga ordinaryong numero, o mga scalar. Ang temperatura ay isa pang halimbawa ng gayong dami. Ang iba pang napakahalagang dami sa pisika ay may direksyon, halimbawa, bilis; dapat nating tukuyin hindi lamang ang bilis ng paggalaw ng katawan, kundi pati na rin ang landas kung saan ito gumagalaw. May direksyon din ang momentum at puwersa, gayundin ang displacement: kapag ang isang tao ay gumawa ng isang hakbang, masasabi mo hindi lamang kung gaano kalayo ang kanyang hakbang, kundi pati na rin kung saan siya humakbang, ibig sabihin, tukuyin ang direksyon ng kanyang paggalaw. Ang mga dami ng vector ay mas mahusay na tandaan.

Bakit may arrow sa itaas ng mga titik?

Ang isang arrow ay iginuhit lamang sa itaas ng mga titik ng mga pisikal na dami ng vector. Ayon sa paraan sa matematika vector! Ang mga pagpapatakbo ng pagdaragdag at pagbabawas sa mga pisikal na dami na ito ay isinasagawa ayon sa mga tuntunin sa matematika ng mga operasyon na may mga vector. Ang expression na "speed modulus" o "absolute value" ay nangangahulugang eksaktong "velocity vector modulus", iyon ay, ang numerical value ng bilis nang hindi isinasaalang-alang ang direksyon - ang plus o minus sign.

Pagtatalaga ng mga dami ng vector

Ang pangunahing bagay na dapat tandaan

1) Ano ang dami ng vector;
2) Paano naiiba ang isang scalar value sa isang vector;
3) Mga pisikal na dami ng vector;
4) Pagtatalaga ng isang dami ng vector

Sa pisika, mayroong ilang mga kategorya ng mga dami: vector at scalar.

Ano ang dami ng vector?

Ang dami ng vector ay may dalawang pangunahing katangian: direksyon at modyul. Magiging pareho ang dalawang vector kung magkapareho ang kanilang modulo value at direksyon. Upang magtalaga ng dami ng vector, kadalasang ginagamit ang mga titik, kung saan ipinapakita ang isang arrow. Ang isang halimbawa ng dami ng vector ay puwersa, bilis, o acceleration.

Upang maunawaan ang kakanyahan ng isang dami ng vector, dapat isaalang-alang ito ng isa mula sa isang geometric na punto ng view. Ang vector ay isang line segment na may direksyon. Ang haba ng naturang segment ay tumutugma sa halaga ng module nito. Ang isang pisikal na halimbawa ng isang dami ng vector ay ang pag-aalis ng isang materyal na punto na gumagalaw sa kalawakan. Ang mga parameter tulad ng acceleration ng puntong ito, ang bilis at ang mga puwersang kumikilos dito, ang electromagnetic field ay ipapakita din bilang mga vector quantity.

Kung isasaalang-alang namin ang isang dami ng vector anuman ang direksyon, kung gayon ang gayong segment ay maaaring masukat. Ngunit, ang resulta ay magpapakita lamang ng mga bahagyang katangian ng halaga. Para sa kumpletong pagsukat nito, ang halaga ay dapat na dagdagan ng iba pang mga parameter ng nakadirekta na segment.

Sa vector algebra, mayroong isang konsepto zero vector. Sa ilalim ng konseptong ito ay nangangahulugang isang punto. Tulad ng para sa direksyon ng zero vector, ito ay itinuturing na hindi tiyak. Ang zero vector ay tinutukoy ng arithmetic zero na naka-type nang bold.

Kung susuriin natin ang lahat ng nasa itaas, maaari nating tapusin na ang lahat ng nakadirekta na mga segment ay tumutukoy sa mga vector. Ang dalawang segment ay tutukuyin lamang ang isang vector kung pantay ang mga ito. Kapag naghahambing ng mga vector, nalalapat ang parehong panuntunan tulad ng kapag naghahambing ng mga halaga ng scalar. Ang pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan ng isang kumpletong tugma sa lahat ng aspeto.

Ano ang halaga ng scalar?

Hindi tulad ng isang vector, ang isang scalar na dami ay may isang parameter lamang - ito ay numerical value nito. Dapat tandaan na ang nasuri na halaga ay maaaring magkaroon ng parehong positibong numerical na halaga at negatibo.

Kasama sa mga halimbawa ang masa, boltahe, dalas, o temperatura. Sa ganitong mga halaga, maaari kang magsagawa ng iba't ibang mga pagpapatakbo ng aritmetika: karagdagan, paghahati, pagbabawas, pagpaparami. Para sa isang scalar na dami, ang naturang katangian bilang direksyon ay hindi katangian.

Ang isang scalar na dami ay sinusukat sa pamamagitan ng isang numeric na halaga, kaya maaari itong ipakita sa coordinate axis. Halimbawa, napakadalas na itinatayo nila ang axis ng distansyang nilakbay, temperatura o oras.

Mga pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng mga dami ng scalar at vector

Mula sa mga paglalarawang ibinigay sa itaas, makikita na ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng mga dami ng vector at mga dami ng scalar ay nasa kanilang katangian. Ang isang vector quantity ay may direksyon at isang modulus, habang ang isang scalar quantity ay may numerical value lang. Siyempre, ang isang dami ng vector, tulad ng isang scalar, ay maaaring masukat, ngunit ang gayong katangian ay hindi magiging kumpleto, dahil walang direksyon.

Upang mas malinaw na ipakita ang pagkakaiba sa pagitan ng isang scalar quantity at isang vector quantity, isang halimbawa ang dapat ibigay. Upang gawin ito, kumuha kami ng isang larangan ng kaalaman bilang klimatolohiya. Kung sasabihin natin na ang hangin ay umiihip sa bilis na 8 metro bawat segundo, pagkatapos ay ipapasok ang isang scalar value. Ngunit, kung sasabihin natin na ang hilagang hangin ay umiihip sa bilis na 8 metro bawat segundo, pag-uusapan natin ang halaga ng vector.

Malaki ang papel ng mga vector sa modernong matematika, gayundin sa maraming larangan ng mekanika at pisika. Karamihan sa mga pisikal na dami ay maaaring ilarawan bilang mga vector. Ginagawa nitong posible na gawing pangkalahatan at gawing simple ang mga formula at resultang ginamit. Kadalasan ang mga halaga ng vector at mga vector ay nakikilala sa bawat isa. Halimbawa, sa pisika naririnig na ang bilis o puwersa ay isang vector.