Upang gamitin ang preview ng mga presentasyon, lumikha ng isang Google account (account) at mag-sign in: https://accounts.google.com

Mga slide caption:

Preview:

Paksa

Arithmetic progression

LAYUNIN :

• turuang kilalanin ang pag-unlad ng aritmetika, gamit ang kahulugan at tanda nito;
• magturo upang malutas ang mga problema gamit ang kahulugan, tanda, pormula ng pangkalahatang miyembro ng pag-unlad.

MGA LAYUNIN NG ARALIN:

magbigay ng kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika, patunayan ang isang tanda ng isang pag-unlad ng aritmetika at ituro kung paano ilapat ang mga ito sa paglutas ng mga problema.

MGA PAMAMARAAN NG PAGTUTURO:

aktuwalisasyon ng kaalaman ng mga mag-aaral, independiyenteng gawain, indibidwal na gawain, paglikha ng isang sitwasyon ng problema.

MGA MAKABAGONG TEKNOLOHIYA:

ICT, pag-aaral na nakabatay sa problema, pagkakaiba-iba ng pag-aaral, mga teknolohiyang nagliligtas sa kalusugan.

LESSON PLAN

	Mga yugto ng aralin.	Oras ng pagpapatupad.
	Oras ng pag-aayos.	2 minuto
	Pag-uulit ng nakaraan	5 minuto
	Pag-aaral ng bagong materyal	15 minuto
	Minuto ng pisikal na edukasyon	3 minuto
	Pagkumpleto ng mga takdang-aralin sa paksa	15 minuto
	Takdang aralin	2 minuto
	Pagbubuod	3 minuto

SA PANAHON NG MGA KLASE:

1. Sa huling aralin, nakilala natin ang konsepto ng "Sequence".

Ngayon ay patuloy nating pag-aaralan ang mga pagkakasunud-sunod ng numero, tukuyin ang ilan sa mga ito, kilalanin ang kanilang mga katangian at tampok.

1. Sagutin ang mga tanong: Ano ang sequence?

Ano ang mga sequence?

Paano ka makakapag-set up ng sequence?

Ano ang pagkakasunod-sunod ng numero?

Ano ang mga paraan ng pagtukoy ng numerical sequence na alam mo? Anong formula ang tinatawag na recursive?

1. Ang mga pagkakasunud-sunod ng numero ay ibinigay:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Maghanap ng pattern sa bawat sequence at pangalanan ang susunod na tatlong miyembro ng bawat isa.

1. a n = a n -1 +1
2. a n \u003d a n -1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n \u003d a n -1 + 0.5

Pangalanan ang recursive formula para sa bawat sequence.

slide 1

Ang isang numerical sequence kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang miyembro, na idinagdag sa parehong numero, ay tinatawag na arithmetic progression.

Ang bilang d ay tinatawag na pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Ang pag-unlad ng arithmetic ay isang numerical sequence, kaya maaari itong tumaas, bumababa, pare-pareho. Magbigay ng mga halimbawa ng gayong mga pagkakasunud-sunod, pangalanan ang pagkakaiba ng bawat pag-unlad, gumawa ng konklusyon.

Kinukuha namin ang formula para sa karaniwang termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Sa pisara: hayaan a 1 ay ang unang miyembro ng progression, d ang pagkakaiba nito, kung gayon

isang 2 \u003d isang 1 + d

isang 3 \u003d (a 1 + d) + d \u003d isang 1 + 2d

isang 4 \u003d (a 1 + 2d) + d \u003d isang 1 + 3d

isang 5 \u003d (a 1 + 3d) + d \u003d isang 1 + 4d

a n \u003d a 1 + d (n-1) - ang formula ng n-th na miyembro ng arithmetic progression.

Lutasin ang problema: Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang unang termino ay 5, at ang pagkakaiba ay 4.

Hanapin ang ika-22 termino ng pag-usad na ito.

Ang mag-aaral ay nagpasiya sa pisara: a n =a 1 +d(n-1)

Isang 22 \u003d isang 1 + 21d \u003d 5 + 21 * 4 \u003d 89

Fizkultminutka.

Gumising kami.

Mga kamay sa sinturon. Tumagilid pakaliwa, kanan, (2 beses);

Ikiling pasulong, paatras (2 beses);

Itaas ang iyong mga kamay, huminga ng malalim, ibaba ang iyong mga kamay, huminga nang palabas. (2 beses)

Nagkamay sila. Salamat.

Umupo. Ipinagpatuloy namin ang aralin.

Nilulutas namin ang mga problema sa paggamit ng formula ng pangkalahatang termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Ang mga mag-aaral ay binibigyan ng mga sumusunod na gawain:

1. Sa isang arithmetic progression, ang unang termino ay -2, d=3, a n=118.

Hanapin n.

1. Sa isang arithmetic progression, ang unang termino ay 7, ang ikalabinlimang termino ay -35. Maghanap ng pagkakaiba.
2. Ito ay kilala na sa isang arithmetic progression d=-2, a39=83. Hanapin ang unang termino ng progression.

Ang mga mag-aaral ay nahahati sa mga pangkat. Ang gawain ay ibinibigay sa loob ng 5 minuto. Pagkatapos ay ang unang 3 mag-aaral na nakalutas sa mga problema ay nagresolba sa kanila sa pisara. Ang solusyon ay nadoble sa mga slide.

Isaalang-alang ang mga katangian ng katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Sa pag-unlad ng aritmetika

a n -d=a (n-1)

n+d=a (n+1)

Idinaragdag namin ang dalawang equalities na ito ayon sa termino, nakukuha namin ang: 2а n=a(n+1)+a(n-1)

A n =(a (n+1) +a (n-1 ))/2

Nangangahulugan ito na ang bawat miyembro ng isang arithmetic progression, maliban sa una at huli, ay katumbas ng arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga miyembro.

TEOREM:

Ang numerical sequence ay isang arithmetic progression kung at kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, maliban sa una (at huli, sa kaso ng isang finite sequence), ay katumbas ng arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga miyembro (isang katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika).

Ang pag-unawa sa maraming paksa sa matematika at pisika ay nauugnay sa kaalaman sa mga katangian ng serye ng numero. Ang mga mag-aaral sa grade 9, kapag pinag-aaralan ang paksang "Algebra", isaalang-alang ang isa sa mga mahahalagang pagkakasunud-sunod ng mga numero - isang pag-unlad ng aritmetika. Ibigay natin ang mga pangunahing pormula ng isang pag-unlad ng aritmetika (Grade 9), pati na rin ang mga halimbawa ng kanilang paggamit sa paglutas ng mga problema.

Algebraic o arithmetic progression

Ang serye ng numero na tatalakayin sa artikulong ito ay tinatawag sa dalawang magkaibang paraan, na ipinakita sa pamagat ng talatang ito. Kaya, ang pag-unlad ng aritmetika sa matematika ay nauunawaan bilang isang serye ng numero kung saan ang alinmang dalawang numero na nakatayo sa tabi ng isa't isa ay naiiba sa parehong halaga, na tinatawag na pagkakaiba. Ang mga numero sa naturang serye ay karaniwang tinutukoy ng mga titik na may mas mababang integer index, halimbawa, a1, a2, a3, at iba pa, kung saan ang index ay nagpapahiwatig ng bilang ng elemento ng serye.

Dahil sa kahulugan sa itaas ng isang pag-unlad ng arithmetic, maaari nating isulat ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: a2-a1 =...=an-an-1=d, narito ang d ay ang pagkakaiba ng isang algebraic progression at n ay anumang integer. Kung d>0, maaari nating asahan na ang bawat kasunod na termino ng serye ay magiging mas malaki kaysa sa nauna, sa kasong ito ay pinag-uusapan natin ang pagtaas ng pag-unlad. Kung d

Mga formula ng pag-unlad ng aritmetika (grade 9)

Ang itinuturing na serye ng mga numero, dahil ito ay iniutos at sumusunod sa isang partikular na batas sa matematika, ay may dalawang katangian na mahalaga para sa paggamit nito:

Una, alam mo lamang ang dalawang numerong a1 at d, mahahanap mo ang sinumang miyembro ng sequence. Ginagawa ito gamit ang sumusunod na formula: an = a1+(n-1)*d.

Pangalawa, upang kalkulahin ang kabuuan ng n mga termino ng mga nauna, hindi kinakailangang idagdag ang mga ito sa pagkakasunud-sunod, dahil magagamit mo ang sumusunod na formula: Sn = n*(an+a1)/2.

Ang unang pormula ay madaling maunawaan, dahil ito ay isang direktang bunga ng katotohanan na ang bawat miyembro ng serye na isinasaalang-alang ay naiiba mula sa kapitbahay nito sa parehong pagkakaiba.

Ang pangalawang formula ng pag-unlad ng arithmetic ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpuna na ang kabuuan a1+an ay katumbas ng mga kabuuan na a2+an-1, a3+an-2, at iba pa. Sa katunayan, dahil ang a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1, at an-1 = -d+an, pagkatapos ay i-substitute ang mga expression na ito sa kaukulang mga kabuuan, makukuha natin iyon magiging pareho sila. Ang factor n/2 sa 2nd formula (para sa Sn) ay lumilitaw dahil sa ang katunayan na mayroong eksaktong n/2 sums ng uri ai+1+an-i, narito ang i ay isang integer mula 0 hanggang n/2- one .

Ayon sa nakaligtas na makasaysayang ebidensya, ang pormula para sa kabuuan na Sn ay unang nakuha ni Karl Gauss (ang sikat na German mathematician) nang bigyan siya ng gawain ng isang guro ng paaralan na magdagdag ng unang 100 numero.

Halimbawang Problema #1: Hanapin ang Pagkakaiba

Ang mga gawain na nagbibigay ng tanong tulad ng sumusunod: ang pag-alam sa mga formula para sa isang pag-unlad ng aritmetika, kung paano hanapin ang q (d), ay ang pinakasimpleng maaari lamang para sa paksang ito.

Narito ang isang halimbawa: binigyan ng isang numerical sequence -5, -2, 1, 4, ..., ito ay kinakailangan upang matukoy ang pagkakaiba nito, iyon ay, d.

Upang gawin ito ay kasingdali ng paghihimay ng mga peras: kailangan mong kumuha ng dalawang elemento at ibawas ang mas maliit mula sa mas malaki. Sa kasong ito, mayroon tayong: d = -2 - (-5) = 3.

Upang makasigurado sa natanggap na sagot, inirerekumenda na suriin ang natitirang mga pagkakaiba, dahil ang ipinakita na pagkakasunud-sunod ay maaaring hindi masiyahan ang algebraic progression condition. Mayroon kaming: 1-(-2)=3 at 4-1=3. Ang mga data na ito ay nagpapahiwatig na nakuha namin ang tamang resulta (d=3) at pinatunayan na ang serye ng mga numero sa kondisyon ng problema ay talagang isang algebraic progression.

Halimbawang Problema #2: Hanapin ang Pagkakaiba Pag-alam sa Dalawang Tuntunin ng Pag-unlad

Isaalang-alang ang isa pang kawili-wiling problema, na ibinabanta ng tanong kung paano mahahanap ang pagkakaiba. Ang formula ng pag-unlad ng aritmetika sa kasong ito ay dapat gamitin para sa ika-n na termino. Kaya, ang gawain: ibinigay ang una at ikalimang numero ng isang serye na tumutugma sa lahat ng mga katangian ng isang algebraic progression, halimbawa, ito ang mga numerong a1 = 8 at a5 = -10. Paano mahahanap ang pagkakaiba d?

Dapat mong simulan ang paglutas ng problemang ito sa pamamagitan ng pagsulat ng pangkalahatang anyo ng formula para sa ika-n na elemento: an = a1+d*(-1+n). Ngayon ay maaari kang pumunta sa dalawang paraan: alinman sa palitan kaagad ang mga numero at magtrabaho na sa kanila, o ipahayag ang d, at pagkatapos ay lumipat sa tiyak na a1 at a5. Gamitin natin ang huling paraan, makukuha natin ang: a5 = a1+d*(-1+5) o a5 = 4*d+a1, na nagpapahiwatig na d = (a5-a1)/4. Ngayon ay maaari mong ligtas na palitan ang kilalang data mula sa kundisyon at makuha ang huling sagot: d = (-10-8)/4 = -4.5.

Tandaan na sa kasong ito ang pagkakaiba ng pag-unlad ay naging negatibo, iyon ay, mayroong isang pagbaba ng pagkakasunud-sunod ng mga numero. Kinakailangang bigyang-pansin ang katotohanang ito kapag nilulutas ang mga problema upang hindi malito ang mga palatandaan na "+" at "-". Ang lahat ng mga formula sa itaas ay unibersal, kaya dapat silang palaging sundin anuman ang tanda ng mga numero kung saan isinasagawa ang mga operasyon.

Isang halimbawa ng paglutas ng problema No. 3: hanapin ang a1, alam ang pagkakaiba at ang elemento

Baguhin natin ng kaunti ang kalagayan ng problema. Hayaang magkaroon ng dalawang numero: ang pagkakaiba d=6 at ang ika-9 na elemento ng progression a9 = 10. Paano mahahanap ang a1? Ang mga formula ng pag-unlad ng aritmetika ay nananatiling hindi nagbabago, gagamitin namin ang mga ito. Para sa numerong a9 mayroon tayong sumusunod na expression: a1+d*(9-1) = a9. Mula sa kung saan madali nating makukuha ang unang elemento ng serye: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

Isang halimbawa ng paglutas ng problema #4: hanapin ang a1, alam ang dalawang elemento

Ang bersyon na ito ng problema ay isang kumplikadong bersyon ng nauna. Ang kakanyahan ay pareho, ito ay kinakailangan upang kalkulahin ang a1, ngunit ngayon ang pagkakaiba d ay hindi kilala, at isa pang elemento ng pag-unlad ay ibinigay sa halip.

Ang isang halimbawa ng ganitong uri ng problema ay ang sumusunod: hanapin ang unang numero sa isang sequence na kilala bilang isang arithmetic progression at ang ika-15 at ika-23 na elemento ay 7 at 12, ayon sa pagkakabanggit.

Ito ay kinakailangan upang malutas ang problemang ito sa pamamagitan ng pagsulat ng isang expression para sa ika-n na termino para sa bawat elemento na kilala mula sa kundisyon, mayroon tayong: a15 = d*(15-1)+a1 at a23 = d*(23-1)+a1. Tulad ng nakikita mo, nakatanggap kami ng dalawang linear na equation na kailangang lutasin na may paggalang sa a1 at d. Gawin natin ito: ibawas ang unang equation mula sa pangalawang equation, pagkatapos ay makuha natin ang sumusunod na expression: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. Sa pagkuha ng huling equation, ang mga halaga ng a1 ay tinanggal dahil kinansela nila kapag ibinawas. Ang pagpapalit sa kilalang data, makikita natin ang pagkakaiba: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0.625.

Ang halaga ng d ay dapat mapalitan sa anumang formula para sa isang kilalang elemento upang makuha ang unang miyembro ng sequence: a15 = 14*d+a1, kung saan: a1=a15-14*d = 7-14*0.625 = -1.75.

Suriin natin ang resulta, para dito makikita natin ang a1 sa pamamagitan ng pangalawang expression: a23 = d*22+a1 o a1 = a23-d*22 = 12 - 0.625*22 = -1.75.

Isang halimbawa ng paglutas ng problema No. 5: hanapin ang kabuuan ng n elemento

Tulad ng nakikita mo, hanggang sa puntong ito, isang formula ng pag-unlad ng aritmetika (Grade 9) lamang ang ginamit para sa solusyon. Ngayon ay nagpapakita kami ng isang problema para sa solusyon kung saan kailangan nating malaman ang pangalawang formula, iyon ay, para sa kabuuan ng Sn.

Dahil sa sumusunod na sunod-sunod na serye ng mga numero -1.1, -2.1, -3.1,..., kailangan mong kalkulahin ang kabuuan ng unang 11 elemento nito.

Makikita mula sa seryeng ito na ito ay bumababa, at a1 = -1.1. Ang pagkakaiba nito ay: d = -2.1 - (-1.1) = -1. Ngayon, tukuyin natin ang ika-11 termino: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1.1) = -11.1. Matapos makumpleto ang mga kalkulasyon ng paghahanda, maaari mong gamitin ang formula sa itaas para sa kabuuan, mayroon kaming: S11 \u003d 11 * (-1.1 + (-11.1)) / 2 \u003d -67.1. Dahil ang lahat ng mga termino ay negatibong mga numero, ang kanilang kabuuan ay mayroon ding kaukulang tanda.

Isang halimbawa ng paglutas ng problema Blg. 6: hanapin ang kabuuan ng mga elemento mula n hanggang m

Marahil ang ganitong uri ng problema ang pinakamahirap para sa karamihan ng mga mag-aaral. Magbigay tayo ng tipikal na halimbawa: binigyan ng serye ng mga numero 2, 4, 6, 8 ..., kailangan mong hanapin ang kabuuan mula sa ika-7 hanggang ika-13 na termino.

Ang mga formula ng pag-usad ng aritmetika (Grade 9) ay eksaktong kapareho ng ginagamit sa lahat ng mga gawain dati. Ang gawaing ito ay inirerekomenda na malutas sa mga yugto:

Una, hanapin ang kabuuan ng 13 termino gamit ang karaniwang formula.

Pagkatapos ay kalkulahin ang kabuuan na ito para sa unang 6 na elemento.

Pagkatapos ay ibawas ang 2nd mula sa 1st sum.

Pumunta tayo sa solusyon. Tulad ng sa nakaraang kaso, magsasagawa kami ng mga kalkulasyon ng paghahanda: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

Kalkulahin natin ang dalawang kabuuan: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Kunin ang pagkakaiba at kunin ang nais na sagot: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Tandaan na kapag nakuha ang halagang ito, ang kabuuan ng 6 na elemento ng progression ang ginamit bilang subtrahend, dahil ang ika-7 termino ay kasama sa kabuuan ng S7-13.

klase: 9

Uri ng aralin: lesson learning new material.

Ang layunin ng aralin: Pagbuo ng konsepto ng isang pag-unlad ng aritmetika bilang isa sa mga uri ng mga pagkakasunud-sunod, derivation ng formula para sa n-th na miyembro, kakilala sa katangian ng katangian ng mga miyembro ng isang arithmetic progression. Pagtugon sa suliranin.

Layunin ng aralin:

• Pang-edukasyon- ipakilala ang konsepto ng arithmetic progression; mga formula ng ika-na miyembro; katangiang pag-aari na mayroon ang mga miyembro ng arithmetic progressions.
• Pang-edukasyon- bumuo ng kakayahang maghambing ng mga konsepto sa matematika, maghanap ng mga pagkakatulad at pagkakaiba, ang kakayahang mag-obserba, mapansin ang mga pattern, dahilan sa pamamagitan ng pagkakatulad; upang mabuo ang kakayahang bumuo at bigyang-kahulugan ang isang modelo ng matematika ng ilang totoong sitwasyon.
• Pang-edukasyon- upang itaguyod ang pag-unlad ng interes sa matematika at ang mga aplikasyon nito, aktibidad, ang kakayahang makipag-usap, at ipagtanggol ang mga pananaw nang may katwiran.

Kagamitan: computer, multimedia projector, presentation (Appendix 1)

Mga aklat-aralin: Algebra 9, Yu.N.

Plano ng aralin:

1. Sandali ng organisasyon, pagtatakda ng gawain
2. Aktwalisasyon ng kaalaman, gawaing pasalita
3. Pag-aaral ng bagong materyal
4. Pangunahing pangkabit
5. Pagbubuod ng aralin
6. Takdang aralin

Upang madagdagan ang kakayahang makita at kaginhawaan ng pagtatrabaho sa materyal, ang aralin ay sinamahan ng isang pagtatanghal. Gayunpaman, hindi ito kinakailangan, at ang parehong aralin ay maaaring isagawa sa mga silid-aralan na hindi nilagyan ng kagamitang multimedia. Upang gawin ito, ang kinakailangang data ay maaaring ihanda sa pisara o sa anyo ng mga talahanayan at poster.

Sa panahon ng mga klase

I. Organisasyon sandali, pagtatakda ng gawain.

Pagbati.

Ang paksa ng aralin ngayon ay arithmetic progression. Sa araling ito, malalaman natin kung ano ang isang pag-unlad ng aritmetika, kung ano ang pangkalahatang anyo nito, alamin kung paano makilala ang isang pag-unlad ng aritmetika mula sa iba pang mga pagkakasunud-sunod, at lutasin ang mga problema na gumagamit ng mga katangian ng mga pag-unlad ng aritmetika.

II. Aktwalisasyon ng kaalaman, gawaing pasalita.

Ang sequence () ay ibinibigay ng formula: =. Ano ang bilang ng isang miyembro ng sequence na ito kung ito ay katumbas ng 144? 225? 100? Ang mga numero ba ay 48 miyembro ng sequence na ito? 49? 168?

Ito ay kilala tungkol sa sequence () na , . Ano ang tawag sa ganitong uri ng sequencing? Hanapin ang unang apat na termino ng sequence na ito.

Ito ay kilala tungkol sa sequence () na . Ano ang tawag sa ganitong uri ng sequencing? Hanapin kung?

III. Pag-aaral ng bagong materyal.

Pag-unlad - isang pagkakasunud-sunod ng mga halaga, ang bawat isa ay nasa isang tiyak, karaniwan sa buong pag-unlad, depende sa nauna. Ang termino ay hindi na ginagamit ngayon at nangyayari lamang sa mga kumbinasyon ng "aritmetikong pag-unlad" at "geometric na pag-unlad".

Ang terminong "pag-unlad" ay mula sa Latin na pinagmulan (pag-unlad, na nangangahulugang "pasulong") at ipinakilala ng Romanong may-akda na si Boethius (ika-6 na siglo). Ang terminong ito sa matematika ay ginamit upang sumangguni sa anumang pagkakasunud-sunod ng mga numero na binuo ayon sa naturang batas na nagpapahintulot sa pagkakasunud-sunod na ito na magpatuloy nang walang katiyakan sa isang direksyon. Sa kasalukuyan, ang terminong "pag-unlad" sa orihinal nitong malawak na kahulugan ay hindi ginagamit. Dalawang mahalagang partikular na uri ng mga progression - arithmetic at geometric - ang nagpapanatili ng kanilang mga pangalan.

Isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod ng mga numero:

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

Ano ang ikatlong termino ng unang pagkakasunod-sunod? Kasunod na miyembro? Nakaraang miyembro? Ano ang pagkakaiba ng pangalawa at unang termino? Pangatlo at pangalawang miyembro? Pang-apat at pangatlo?

Kung ang pagkakasunud-sunod ay binuo ayon sa isang batas, gumawa ng isang konklusyon, ano ang magiging pagkakaiba sa pagitan ng ikaanim at ikalimang miyembro ng unang pagkakasunud-sunod? Sa pagitan ng ikapito at ikaanim?

Pangalanan ang susunod na dalawang miyembro ng bawat sequence. Bakit, sa tingin mo?

(Sagot ng mag-aaral)

Anong karaniwang pag-aari ang mayroon ang mga sequence na ito? Sabihin ang ari-arian na ito.

(Sagot ng mag-aaral)

Ang mga numeric na sequence na may ganitong katangian ay tinatawag na arithmetic progressions. Anyayahan ang mga estudyante na subukang bumalangkas sa kanilang sarili ng kahulugan.

Kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika: Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, idinagdag na may parehong numero:

( ay isang arithmetic progression kung , kung saan ang ilang numero.

Numero d, na nagpapakita kung gaano kaiba ang susunod na miyembro ng sequence mula sa nauna, ay tinatawag na progression difference: .

Tingnan natin muli ang mga pagkakasunud-sunod at pag-usapan ang mga pagkakaiba. Anong mga tampok ang mayroon ang bawat pagkakasunud-sunod at kung ano ang nauugnay sa mga ito?

Kung sa isang arithmetic progression ang pagkakaiba ay positibo, ang progression ay tumataas: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Kung sa isang pag-unlad ng arithmetic ang pagkakaiba ay negatibo ( , kung gayon ang pag-unlad ay bumababa: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

Kung ang pagkakaiba ay zero () at lahat ng miyembro ng progression ay katumbas ng parehong numero, ang sequence ay tinatawag na stationary: 5, 5, 5, 5, :.

Paano magtakda ng pag-unlad ng arithmetic? Isaalang-alang ang sumusunod na problema.

Gawain. Mayroong 50 toneladang karbon sa bodega noong ika-1. Araw-araw sa loob ng isang buwan, dumarating sa bodega ang isang trak na may 3 toneladang karbon. Magkano ang magiging uling sa bodega sa ika-30, kung ang karbon mula sa bodega ay hindi pa natupok sa panahong ito.

Kung isusulat natin ang dami ng karbon sa bodega ng bawat numero, makakakuha tayo ng aritmetika na pag-unlad. Paano malutas ang problemang ito? Kailangan ba talagang kalkulahin ang dami ng karbon sa bawat araw ng buwan? Posible bang gawin kahit papaano nang wala ito? Pansinin namin na bago ang ika-30, 29 na trak na may karbon ang darating sa bodega. Kaya, sa ika-30 ay magkakaroon ng 50+329=137 toneladang karbon sa stock.

Kaya, alam lamang ang unang miyembro ng pag-unlad ng aritmetika at ang pagkakaiba, mahahanap natin ang sinumang miyembro ng sequence. Lagi nalang bang ganito?

Suriin natin kung paano nakadepende ang bawat miyembro ng sequence sa unang miyembro at sa pagkakaiba:

Kaya, nakuha namin ang formula para sa ika-na miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Halimbawa 1 Ang sequence () ay isang arithmetic progression. Hanapin kung at .

Ginagamit namin ang formula para sa ika-n na termino ,

Sagot: 260.

Isaalang-alang ang sumusunod na problema:

Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang kahit na mga miyembro ay na-overwritten: 3, :, 7, :, 13: Posible bang ibalik ang mga nawawalang numero?

Ang mga mag-aaral ay malamang na unang kalkulahin ang pagkakaiba ng pag-unlad at pagkatapos ay hanapin ang hindi alam na mga termino ng pag-unlad. Pagkatapos ay maaari mo silang anyayahan na hanapin ang kaugnayan sa pagitan ng hindi kilalang miyembro ng sequence, ang nauna at ang susunod.

Desisyon: Gamitin natin ang katotohanan na sa isang pag-unlad ng aritmetika ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kalapit na termino ay pare-pareho. Hayaan ang nais na miyembro ng sequence. Pagkatapos

.

Magkomento. Ang katangiang ito ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang katangiang katangian nito. Nangangahulugan ito na sa anumang pag-unlad ng aritmetika, ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng ibig sabihin ng aritmetika ng nakaraan at kasunod ( . At, sa kabaligtaran, anumang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng nauna at kasunod, ay isang arithmetic progression.

IV. Pangunahing pangkabit.

• No. 575 ab - pasalita
• No. 576 awd - pasalita
• No. 577b - independyente na may pagpapatunay

Sequence (- arithmetic progression. Hanapin kung at

Gamitin natin ang formula ng n-th member,

Sagot: -24.2.

Hanapin ang ika-23 at ika-na miyembro ng arithmetic progression -8; -6.5; :

Desisyon: Ang unang termino ng pag-unlad ng arithmetic ay -8. Hanapin natin ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika, para dito kinakailangan na ibawas ang nauna sa susunod na miyembro ng sequence: -6.5-(-8)=1.5.

Gamitin natin ang formula ng nth term:

Hanapin ang unang termino ng arithmetic progression () kung .

Tandaan natin ang simula ng ating aralin, guys. Nagawa mo bang matuto ng bago sa aralin ngayon, upang makagawa ng ilang mga pagtuklas? Ano ang mga layunin ng aralin? Sa palagay mo ba ay nakamit natin ang ating mga layunin?

Takdang aralin.

Aytem 25, No. 578a, No. 580b, No. 582, No. 586a, No. 601a.

Malikhaing gawain para sa malalakas na mag-aaral: Patunayan iyon sa isang pag-unlad ng aritmetika para sa anumang mga numerong ganoon k ang mga pagkakapantay-pantay at .

Salamat sa lesson guys. Nagsumikap ka ngayon.

Ang matematika ay may sariling kagandahan, tulad ng pagpipinta at tula.

Russian scientist, mekaniko N.E. Zhukovsky

Ang mga karaniwang gawain sa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika ay mga gawaing nauugnay sa konsepto ng isang pag-unlad ng aritmetika. Upang matagumpay na malutas ang mga naturang problema, kinakailangan na malaman ang mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika at magkaroon ng ilang mga kasanayan sa kanilang aplikasyon.

Alalahanin muna natin ang mga pangunahing katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika at ipakita ang pinakamahalagang mga formula, nauugnay sa konseptong ito.

Kahulugan. Numeric na pagkakasunud-sunod, kung saan ang bawat kasunod na termino ay naiiba sa nauna sa pamamagitan ng parehong bilang, tinatawag na arithmetic progression. Kasabay nito, ang bilangtinatawag na progression difference.

Para sa isang pag-unlad ng arithmetic, ang mga formula ay wasto

, (1)

saan . Ang pormula (1) ay tinatawag na pormula ng karaniwang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika, at ang pormula (2) ay ang pangunahing pag-aari ng isang pag-unlad ng aritmetika: ang bawat miyembro ng pag-unlad ay nag-tutugma sa average na aritmetika ng mga kalapit na miyembro nito at .

Tandaan na ito ay tiyak na dahil sa pag-aari na ito na ang pag-unlad na isinasaalang-alang ay tinatawag na "aritmetika".

Ang mga formula (1) at (2) sa itaas ay ibinubuod tulad ng sumusunod:

(3)

Upang kalkulahin ang kabuuan muna mga miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetickaraniwang ginagamit ang formula

(5) saan at .

Kung isasaalang-alang natin ang formula (1), kung gayon ang formula (5) ay nagpapahiwatig

Kung italaga natin

saan . Dahil ang , kung gayon ang mga formula (7) at (8) ay isang paglalahat ng mga katumbas na formula (5) at (6).

Sa partikular, mula sa formula (5) ito ay sumusunod, Ano

Kabilang sa hindi gaanong kilala ng karamihan sa mga mag-aaral ay ang pag-aari ng isang pag-unlad ng aritmetika, na binuo sa pamamagitan ng sumusunod na teorama.

Teorama. Kung , kung gayon

Patunay. Kung , kung gayon

Ang teorama ay napatunayan.

Halimbawa , gamit ang theorem, maaari itong ipakita na

Lumipat tayo sa pagsasaalang-alang ng mga tipikal na halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Arithmetic progression".

Halimbawa 1 Hayaan at . Hanapin .

Desisyon. Sa paglalapat ng formula (6), nakukuha natin ang . Simula at , noon o .

Halimbawa 2 Hayaan ng tatlong beses na higit pa, at kapag hinahati sa kusyente, lumalabas na 2 at ang natitira ay 8. Tukuyin at.

Desisyon. Ang sistema ng mga equation ay sumusunod mula sa kondisyon ng halimbawa

Dahil , , at , pagkatapos ay mula sa sistema ng mga equation (10) makuha natin

Ang solusyon ng sistemang ito ng mga equation ay at .

Halimbawa 3 Hanapin kung at .

Desisyon. Ayon sa formula (5), mayroon tayong o . Gayunpaman, gamit ang ari-arian (9), nakukuha namin ang .

Dahil at , pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay sumusunod ang equation o .

Halimbawa 4 Hanapin kung .

Desisyon.Sa pamamagitan ng formula (5) mayroon tayo

Gayunpaman, gamit ang teorama, maaaring magsulat ang isa

Mula dito at mula sa formula (11) nakukuha natin ang .

Halimbawa 5. Ibinigay: . Hanapin .

Desisyon. Simula noon . Gayunpaman, samakatuwid.

Halimbawa 6 Hayaan , at . Hanapin .

Desisyon. Gamit ang formula (9), nakukuha natin ang . Samakatuwid, kung , pagkatapos o .

Simula at pagkatapos dito mayroon kaming isang sistema ng mga equation

Paglutas ng alin, nakukuha natin at .

Natural na ugat ng equation ay isang .

Halimbawa 7 Hanapin kung at .

Desisyon. Dahil ayon sa formula (3) mayroon tayo na , kung gayon ang sistema ng mga equation ay sumusunod mula sa kondisyon ng problema

Kung papalitan natin ang expressionsa pangalawang equation ng system, pagkatapos makuha namin o .

Ang mga ugat ng quadratic equation ay at .

Isaalang-alang natin ang dalawang kaso.

1. Hayaan , kung gayon . Simula at , noon .

Sa kasong ito, ayon sa formula (6), mayroon tayo

2. Kung , kung gayon , at

Sagot: at.

Halimbawa 8 Ito ay kilala na at Hanapin .

Desisyon. Isinasaalang-alang ang formula (5) at ang kondisyon ng halimbawa, isinulat namin at .

Ito ay nagpapahiwatig ng sistema ng mga equation

Kung i-multiply natin ang unang equation ng system sa 2, at pagkatapos ay idagdag ito sa pangalawang equation, makukuha natin

Ayon sa formula (9), mayroon tayo. Kaugnay nito, mula sa (12) ito ay sumusunod o .

Simula at , noon .

Sagot: .

Halimbawa 9 Hanapin kung at .

Desisyon. Dahil , at ayon sa kondisyon , pagkatapos o .

Mula sa formula (5) ito ay kilala, Ano . Simula noon .

Samakatuwid, dito mayroon tayong sistema ng mga linear na equation

Mula dito nakukuha natin at . Isinasaalang-alang ang formula (8), isinusulat namin ang .

Halimbawa 10 Lutasin ang equation.

Desisyon. Ito ay sumusunod mula sa ibinigay na equation na . Ipagpalagay natin na , , at . Sa kasong ito.

Ayon sa pormula (1), maaari tayong sumulat o .

Dahil , ang equation (13) ay may natatanging angkop na ugat .

Halimbawa 11. Hanapin ang maximum na halaga na ibinigay na at .

Desisyon. Dahil , ang itinuturing na pag-unlad ng arithmetic ay bumababa. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang expression ay tumatagal ng isang maximum na halaga kapag ito ay ang bilang ng minimum na positibong miyembro ng progression.

Gumagamit kami ng formula (1) at ang katotohanan, alin at . Pagkatapos makuha namin iyon o .

Dahil , pagkatapos o . Gayunpaman, sa hindi pagkakapantay-pantay na itopinakamalaking natural na numero, Kaya naman .

Kung ang mga halaga, at pinapalitan sa formula (6), pagkatapos ay makuha namin .

Sagot: .

Halimbawa 12. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na natural na mga numero na, kapag hinati sa 6, ay may natitirang 5.

Desisyon. Tukuyin sa pamamagitan ng set ng lahat ng dalawang-valued na natural na numero, i.e. . Susunod, bumuo kami ng isang subset na binubuo ng mga elementong iyon (mga numero) ng set na, kapag hinati sa numero 6, ay nagbibigay ng natitirang 5.

Madaling i-install, Ano . Obviously, na ang mga elemento ng setbumuo ng isang pag-unlad ng aritmetika, kung saan at .

Upang matukoy ang cardinality (bilang ng mga elemento) ng set, ipinapalagay namin na . Since and , then formula (1) implies or . Isinasaalang-alang ang formula (5), nakukuha namin ang .

Ang mga halimbawa sa itaas ng paglutas ng mga problema ay hindi maaaring sabihin na kumpleto. Ang artikulong ito ay isinulat batay sa isang pagsusuri ng mga modernong pamamaraan para sa paglutas ng mga tipikal na problema sa isang partikular na paksa. Para sa isang mas malalim na pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema na may kaugnayan sa pag-unlad ng arithmetic, ipinapayong sumangguni sa listahan ng mga inirerekomendang literatura.

1. Koleksyon ng mga gawain sa matematika para sa mga aplikante sa mga teknikal na unibersidad / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Mundo at Edukasyon, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: karagdagang mga seksyon ng kurikulum ng paaralan. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Isang kumpletong kurso ng elementarya na matematika sa mga gawain at pagsasanay. Book 2: Number Sequences and Progressions. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

Mayroon ka bang anumang mga katanungan?

Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Paksa: Arithmetic at geometric progressions

Klase: 9

Sistema ng pagsasanay: materyal para sa paghahanda ng pag-aaral ng isang paksa sa algebra at ang yugto ng paghahanda para sa pagpasa sa pagsusulit sa OGE

Target: pagbuo ng mga konsepto ng arithmetic at geometric progression

Mga gawain: turuan na makilala ang mga uri ng pag-unlad, magturo ng tama, gumamit ng mga formula

Arithmetic progression pangalanan ang pagkakasunod-sunod ng mga numero (mga miyembro ng isang progression)

kung saan ang bawat kasunod na termino ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang term na bakal, na tinatawag ding isang hakbang o pagkakaiba sa pag-unlad.

Kaya, sa pamamagitan ng pagtatakda ng hakbang ng pag-unlad at ang unang termino nito, mahahanap mo ang alinman sa mga elemento nito gamit ang formula

1) Ang bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawang numero, ay ang arithmetic mean ng nakaraan at susunod na miyembro ng progression

Totoo rin ang kabaligtaran. Kung ang arithmetic mean ng mga kalapit na odd (even) na mga miyembro ng progression ay katumbas ng member na nasa pagitan nila, kung gayon ang sequence ng mga numero ay isang arithmetic progression. Sa pamamagitan ng assertion na ito ay napakadaling suriin ang anumang pagkakasunud-sunod.

Sa pamamagitan din ng pag-aari ng pag-unlad ng arithmetic, ang formula sa itaas ay maaaring gawing pangkalahatan sa mga sumusunod

Madali itong i-verify kung isusulat namin ang mga tuntunin sa kanan ng equal sign

Madalas itong ginagamit sa pagsasanay upang gawing simple ang mga kalkulasyon sa mga problema.

2) Ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay kinakalkula ng formula

Tandaan na mabuti ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay kailangang-kailangan sa mga kalkulasyon at medyo karaniwan sa mga simpleng sitwasyon sa buhay.

3) Kung kailangan mong hanapin hindi ang buong kabuuan, ngunit isang bahagi ng sequence simula sa k-th na miyembro nito, kung gayon ang sumusunod na sum formula ay magiging kapaki-pakinabang sa iyo

4) Ang praktikal na interes ay ang paghahanap ng kabuuan ng n miyembro ng isang arithmetic progression simula sa k-th na numero. Upang gawin ito, gamitin ang formula

Hanapin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad ng aritmetika 4;7;...

Desisyon:

Ayon sa kondisyon, mayroon tayo

Tukuyin ang hakbang ng pag-unlad

Ayon sa kilalang pormula, makikita natin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad

Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng ikatlo at ikapitong miyembro nito. Hanapin ang unang termino ng progression at ang kabuuan ng sampu.

Desisyon:

Isinulat namin ang mga ibinigay na elemento ng pag-unlad ayon sa mga formula

Ang isang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng denominator at ng isa sa mga miyembro nito. Hanapin ang unang termino ng progression, ang kabuuan ng 50 termino nito simula sa 50 at ang kabuuan ng unang 100 .

Desisyon:

Isulat natin ang formula para sa ika-daang elemento ng progression

at hanapin ang una

Batay sa una, makikita natin ang ika-50 termino ng pag-unlad

Paghahanap ng kabuuan ng bahagi ng pag-unlad

at ang kabuuan ng unang 100

Ang kabuuan ng progression ay 250. Hanapin ang bilang ng mga miyembro ng arithmetic progression kung:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Desisyon:

Isinulat namin ang mga equation sa mga tuntunin ng unang termino at ang hakbang ng pag-unlad at tukuyin ang mga ito

Pinapalitan namin ang mga nakuhang halaga sa sum formula upang matukoy ang bilang ng mga termino sa kabuuan

Paggawa ng mga pagpapasimple

at lutasin ang quadratic equation

Sa dalawang halaga na natagpuan, tanging ang numero 8 ay angkop para sa kondisyon ng problema. Kaya, ang kabuuan ng unang walong termino ng pag-unlad ay 111.

lutasin ang equation

1+3+5+...+x=307.

Desisyon:

Ang equation na ito ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Isinulat namin ang unang termino nito at hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad

Pinapalitan namin ang mga nahanap na halaga sa formula para sa kabuuan ng pag-unlad upang mahanap ang bilang ng mga termino

Tulad ng sa nakaraang gawain, nagsasagawa kami ng mga pagpapasimple at nilulutas ang quadratic equation

Piliin ang mas lohikal sa dalawang halaga. Mayroon kaming na ang kabuuan ng 18 miyembro ng progression na may mga ibinigay na halaga a1=1, d=2 ay katumbas ng Sn=307.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema: Arithmetic progression

Gawain 1

Ang pangkat ng mag-aaral ay nagkontrata na maglagay ng mga ceramic tile sa sahig sa bulwagan ng youth club na may lawak na 288m2. Ang pagkakaroon ng karanasan, ang mga mag-aaral sa bawat susunod na araw, simula sa pangalawa, ay naglatag ng 2 m2 na higit pa kaysa sa nauna, at mayroon silang sapat na mga tile para sa eksaktong 11 araw ng trabaho. Nagpaplano para sa pagtaas ng produktibidad sa parehong paraan, natukoy ng foreman na aabutin ng isa pang 5 araw upang makumpleto ang trabaho. Ilang kahon ng mga tile ang kailangan niyang i-order kung ang 1 kahon ay sapat para sa 1.2 m2 ng sahig, at 3 mga kahon ang kailangan upang palitan ang mababang kalidad na mga tile?

Desisyon

Sa pamamagitan ng kondisyon ng problema, malinaw na pinag-uusapan natin ang tungkol sa pag-unlad ng aritmetika kung saan hayaan

a1=x, Sn=288, n=16

Pagkatapos ay ginagamit namin ang formula: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200mm Hg. Art.

288=(2x+2*15)*16/2

Kalkulahin kung magkano ang m2 mag-aaral na maglalatag sa loob ng 11 araw: S11=(2*3+2*10)*11.2=143m 2

288-143=145m2 ang natitira pagkatapos ng 11 araw ng trabaho, i.e. para sa 5 araw

145/1,2=121(humigit-kumulang) na mga kahon ang kailangang i-order sa loob ng 5 araw.

121+3=124 na mga kahon ang dapat i-order na may mga depekto

Sagot: 124 na kahon

Gawain2

Pagkatapos ng bawat paggalaw ng dilution pump piston, 20% ng hangin sa loob nito ay inalis mula sa sisidlan. Alamin natin ang presyon ng hangin sa loob ng sisidlan pagkatapos ng anim na paggalaw ng piston, kung ang paunang presyon ay 760 mm Hg. Art.

Desisyon

Dahil pagkatapos ng bawat paggalaw ng piston 20% ng magagamit na hangin ay tinanggal mula sa sisidlan, 80% ng hangin ay nananatili. Upang malaman ang presyon ng hangin sa sisidlan pagkatapos ng susunod na paggalaw ng piston, kailangan mong dagdagan ang presyon ng nakaraang paggalaw ng piston ng 0.8.

Mayroon kaming geometric progression na ang unang termino ay 760 at ang denominator ay 0.8. Ang bilang na nagpapahayag ng presyon ng hangin sa sisidlan (sa mm Hg) pagkatapos ng anim na stroke ng piston ay ang ikapitong miyembro ng pag-unlad na ito. Ito ay katumbas ng 760*0.86=200mm Hg. Art.

Sagot: 200 mmHg

Ang isang arithmetic progression ay ibinigay, kung saan ang ikalimang at ikasampung termino ay katumbas ng 38 at 23, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang ikalabinlimang termino ng progression at ang kabuuan ng unang sampung termino nito.

Desisyon:

Hanapin ang bilang ng term ng arithmetic progression 5,14,23,..., kung ang -th term nito ay katumbas ng 239.

Desisyon:

Hanapin ang bilang ng mga termino ng isang arithmetic progression ay 9,12,15,..., kung ang kabuuan nito ay 306.

Desisyon:

Hanapin ang x kung saan ang mga numerong x-1, 2x-1, x2-5 ay bumubuo ng isang arithmetic progression

Desisyon:

Hanapin ang pagkakaiba sa pagitan ng 1 at 2 miyembro ng progression:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Hanapin ang pagkakaiba sa pagitan ng 2 at 3 miyembro ng progression:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

kasi ang pagkakaiba ay pareho, kung gayon ang mga tuntunin ng pag-unlad ay maaaring itumbas:

Kapag nasuri sa parehong mga kaso, ang isang pag-unlad ng aritmetika ay nakuha

Sagot: sa x=-1 at x=4

Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng ikatlo at ikapitong miyembro nito a3=5; a7=13. Hanapin ang unang termino ng progression at ang kabuuan ng sampu.

Desisyon:

Ibinabawas namin ang unang equation mula sa pangalawang equation, bilang isang resulta nakita namin ang hakbang ng pag-unlad

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, kaya d=2

Ang nahanap na halaga ay pinapalitan sa alinman sa mga equation upang mahanap ang unang termino ng pag-unlad ng arithmetic

Kalkulahin ang kabuuan ng unang sampung termino ng pag-unlad

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Sagot: a1=1; S10=100

Sa isang pag-unlad ng arithmetic na ang unang termino ay -3.4 at ang pagkakaiba ay 3, hanapin ang ikalima at ikalabing-isang termino.

Kaya alam natin na a1 = -3.4; d = 3. Hanapin: a5, a11-.

Desisyon. Upang mahanap ang n-th na miyembro ng arithmetic progression, ginagamit namin ang formula: an = a1+ (n – 1)d. Meron kami:

a5 \u003d a1 + (5 - 1) d \u003d -3.4 + 4 3 \u003d 8.6;

a11 \u003d a1 + (11 - 1) d \u003d -3.4 + 10 3 \u003d 26.6.

Tulad ng nakikita mo, sa kasong ito, ang solusyon ay hindi mahirap.

Ang ikalabindalawang termino ng pag-unlad ng arithmetic ay 74, at ang pagkakaiba ay -4. Hanapin ang tatlumpu't apat na termino ng pag-unlad na ito.

Sinabihan tayo na a12 = 74; d = -4, at kailangan mong hanapin ang a34-.

Sa problemang ito, hindi posible na agad na ilapat ang formula an = a1 + (n – 1)d, dahil hindi alam ang unang termino a1. Ang problemang ito ay maaaring malutas sa ilang mga hakbang.

1. Gamit ang terminong a12 at ang pormula ng ikasiyam na termino, makikita natin ang a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, ngayon ay pasimplehin at palitan ang d: a12 = a1 + 11 (-4). Mula sa equation na ito makikita natin ang a1: a1 = a12 - (-44);

Alam namin ang ikalabindalawang termino mula sa kondisyon ng problema, kaya kinakalkula namin ang a1 nang walang anumang mga problema

a1 = 74 + 44 = 118. Lumipat tayo sa pangalawang hakbang - pagkalkula ng a34.

2. Muli, ayon sa formula an = a1 + (n - 1)d, dahil alam na ang a1, tutukuyin natin ang a34-,

a34 = a1 + (34 - 1)d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Sagot: Ang tatlumpu't apat na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay -14.

Tulad ng nakikita mo, ang solusyon ng pangalawang halimbawa ay mas kumplikado. Ang parehong formula ay ginagamit ng dalawang beses upang makuha ang sagot. Ngunit ang lahat ay sobrang kumplikado. Ang solusyon ay maaaring paikliin sa pamamagitan ng paggamit ng mga karagdagang formula.

Tulad ng nabanggit na, kung ang a1 ay kilala sa problema, kung gayon ito ay lubos na maginhawa upang ilapat ang formula para sa pagtukoy ng ika-na miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ngunit, kung hindi ang unang termino ay tinukoy sa kundisyon, kung gayon ang isang pormula ay maaaring sumagip na nag-uugnay sa n-th term na kailangan natin at ang terminong ak na tinukoy sa problema.

an = ak + (n – k)d.

Lutasin natin ang pangalawang halimbawa, ngunit gamit ang bagong formula.

Ibinigay: a12 = 74; d=-4. Hanapin ang: a34-.

Ginagamit namin ang formula an = ak + (n – k)d. Sa aming kaso ito ay magiging:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

Ang sagot sa problema ay nakuha nang mas mabilis, dahil hindi kinakailangan na magsagawa ng mga karagdagang aksyon at hanapin ang unang miyembro ng pag-unlad.

Gamit ang mga formula sa itaas, maaari mong lutasin ang mga problema para sa pagkalkula ng pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic. Kaya, gamit ang formula an = a1 + (n - 1)d, maaari nating ipahayag ang d:

d = (an - a1) / (n - 1). Gayunpaman, ang mga problema sa isang ibinigay na unang termino ay hindi gaanong karaniwan, at malulutas ang mga ito gamit ang aming formula an = ak + (n – k)d, kung saan makikita na d = (an – ak) / (n – k). Isaalang-alang natin ang ganitong gawain.

Hanapin ang pagkakaiba ng arithmetic progression kung alam na a3 = 36; a8 = 106.

Gamit ang formula na nakuha namin, ang solusyon ng problema ay maaaring isulat sa isang linya:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Kung ang formula na ito ay wala sa arsenal, ang solusyon sa problema ay magdadala ng mas maraming oras, dahil ay kailangang lutasin ang isang sistema ng dalawang equation.

geometric na pag-unlad

1. Formula ng ika-miyembro (pangkalahatang miyembro ng pag-unlad).
2. Ang formula para sa kabuuan ng mga unang miyembro ng progression:. Kapag kaugalian na magsalita ng convergent geometric progression; sa kasong ito, maaari mong kalkulahin ang kabuuan ng buong pag-unlad gamit ang formula .
3. Ang formula ng "geometric mean": kung , , ay tatlong magkakasunod na termino ng isang geometric na pag-unlad, kung gayon sa bisa ng kahulugan ay mayroon tayong relasyon: o o .