Ang graph ng isang function ng 2 variable na z = f(x,y) ay isang surface na naka-project sa XOY plane sa domain ng function na D.
Isaalang-alang ang ibabaw σ , na ibinigay ng equation z = f(x,y) , kung saan ang f(x,y) ay isang differentiable function, at hayaan ang M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) na maging fixed point sa surface σ , i.e. z0 = f(x0,y0). appointment. Ang online na calculator ay idinisenyo upang mahanap tangent plane at surface normal na equation. Ang desisyon ay ginawa sa Word format. Kung kailangan mong hanapin ang equation ng tangent sa curve (y = f(x)), kailangan mong gamitin ang serbisyong ito.

Mga panuntunan sa pagpasok ng function:

Mga panuntunan sa pagpasok ng function:

1. Ang lahat ng mga variable ay ipinahayag sa mga tuntunin ng x,y,z

Padaplis na eroplano sa ibabaw σ sa punto niya M Ang 0 ay ang eroplano kung saan ang mga tangent sa lahat ng mga kurba na iginuhit sa ibabaw ay namamalagi σ sa pamamagitan ng isang punto M 0 .
Ang equation ng tangent plane sa ibabaw na ibinigay ng equation z = f(x,y) sa puntong M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ay may anyo:

z - z 0 \u003d f 'x (x 0, y 0) (x - x 0) + f ' y (x 0, y 0) (y - y 0)

Ang vector ay tinatawag na surface normal vector σ sa puntong M 0 . Ang normal na vector ay patayo sa tangent plane.
Normal sa ibabaw σ sa punto M 0 ay isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito at may direksyon ng vector N.
Ang mga canonical equation ng normal sa ibabaw na ibinigay ng equation z = f(x,y) sa punto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), kung saan z 0 = f(x 0 ,y 0), magkaroon ng form:

Halimbawa #1. Ang ibabaw ay ibinibigay ng equation x 3 +5y . Hanapin ang equation ng tangent plane sa ibabaw sa puntong M 0 (0;1).
Solusyon. Isulat natin ang mga tangent equation sa pangkalahatang anyo: z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0 )
Sa pamamagitan ng kondisyon ng problema x 0 = 0, y 0 = 1, pagkatapos z 0 = 5
Hanapin ang mga partial derivatives ng function z = x^3+5*y:
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" y = 5
Sa puntong M 0 (0.1), ang mga halaga ng mga partial derivatives:
f"x(0;1) = 0
f" y (0; 1) = 5
Gamit ang formula, nakukuha natin ang equation ng tangent plane sa ibabaw sa punto M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) o -5 y + z = 0

Halimbawa #2. Ang ibabaw ay implicitly na ibinibigay y 2 -1/2*x 3 -8z. Hanapin ang equation ng tangent plane sa ibabaw sa puntong M 0 (1;0;1).
Solusyon. Nakahanap kami ng mga partial derivatives ng function. Dahil ang function ay ibinigay sa isang implicit na anyo, naghahanap kami ng mga derivatives sa pamamagitan ng formula:

Para sa aming function:

Pagkatapos:

Sa puntong M 0 (1,0,1) ang mga halaga ng mga partial derivatives:
f "x (1; 0; 1) \u003d -3 / 16
f"y(1;0;1) = 0
Gamit ang formula, nakuha namin ang equation ng tangent plane sa ibabaw sa punto M 0: z - 1 \u003d -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) o 3 / 16 x + z- 19 / 16 \u003d 0

Halimbawa. Ibabaw σ ibinigay ng equation z= y/x + xy – 5x 3 . Hanapin ang equation ng tangent plane at normal sa ibabaw σ sa punto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) nabibilang dito kung x 0 = –1, y 0 = 2.
Hanapin natin ang mga partial derivatives ng function z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)' x \u003d - y / x 2 + y – 15x 2 ;
f y' ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)' y = 1/x + x.
Dot M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ay kabilang sa ibabaw σ , para makalkula natin z 0 , pinapalitan ang ibinigay x 0 = -1 at y 0 = 2 sa surface equation:

z= y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Sa punto M 0 (–1, 2, 1) na halaga ng mga partial derivatives:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; fy'( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Gamit ang formula (5), nakukuha natin ang equation ng tangent plane sa ibabaw σ sa punto M 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Gamit ang formula (6), nakukuha natin ang mga canonical equation ng normal sa ibabaw σ sa punto M 0: .
Mga sagot: tangent plane equation: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; normal na equation: .

Halimbawa #1. Nabigyan ng function z \u003d f (x, y) at dalawang puntos A (x 0, y 0) at B (x 1, y 1). Kinakailangan: 1) kalkulahin ang halaga z 1 ng function sa punto B; 2) kalkulahin ang tinatayang halaga z 1 ng function sa point B batay sa value z 0 ng function sa point A, na pinapalitan ang increment ng function sa panahon ng paglipat mula sa point A hanggang point B na may differential; 3) buuin ang equation ng tangent plane sa ibabaw z = f(x,y) sa punto C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Solusyon.
Isinulat namin ang mga tangent equation sa pangkalahatang anyo:
z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
Ayon sa kondisyon ng problema x 0 = 1, y 0 = 2, pagkatapos z 0 = 25
Hanapin ang mga partial derivatives ng function z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" x \u003d 2 x + 3 y 3
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" y \u003d 9 x y 2
Sa puntong M 0 (1.2), ang mga halaga ng mga partial derivatives:
f" x (1; 2) = 26
f" y (1; 2) = 36
Gamit ang formula, nakuha namin ang equation ng tangent plane sa ibabaw sa puntong M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
o
-26x-36y+z+73 = 0

Halimbawa #2. Isulat ang mga equation ng tangent plane at ang normal sa elliptical paraboloid z = 2x 2 + y 2 sa punto (1;-1;3).

Ang isang ibabaw ay tinukoy bilang isang hanay ng mga punto na ang mga coordinate ay nakakatugon sa isang tiyak na uri ng equation:

F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

Kung ang function F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) ay tuluy-tuloy sa ilang mga punto at may tuluy-tuloy na mga partial derivatives dito, hindi bababa sa isa sa mga ito ay hindi naglalaho, pagkatapos ay sa kapitbahayan ng puntong ito ang ibabaw na ibinigay ng equation (1) ay magiging tamang ibabaw.

Bilang karagdagan sa itaas implicit na paraan ng pagtatakda, maaaring tukuyin ang ibabaw malinaw, kung ang isa sa mga variable, halimbawa, z, ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng iba:

z = f (x , y) (1′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

Mas mahigpit, simpleng ibabaw ay ang imahe ng isang homeomorphic mapping (iyon ay, isang one-to-one at mutually continuous mapping) ng interior ng unit square. Ang depinisyon na ito ay maaaring bigyan ng analytical expression.

Hayaang magbigay ng isang parisukat sa isang eroplano na may isang parihabang sistema ng coordinate u at v , ang mga coordinate ng mga panloob na punto na kung saan ay nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Isang halimbawa simpleng ibabaw ay isang hemisphere. Ang buong lugar ay hindi simpleng ibabaw. Nangangailangan ito ng karagdagang paglalahat ng konsepto ng isang ibabaw.

Isang subset ng espasyo kung saan ang bawat punto ay may kapitbahayan na simpleng ibabaw, ay tinatawag na tamang ibabaw .

Ibabaw sa differential geometry

Helicoid

catenoid

Ang sukatan ay hindi natatanging tinutukoy ang hugis ng ibabaw. Halimbawa, ang mga sukatan ng isang helicoid at isang catenoid , na na-parameter sa isang naaangkop na paraan, ay nag-tutugma, iyon ay, mayroong isang sulat sa pagitan ng kanilang mga rehiyon na nagpapanatili ng lahat ng haba (isometry). Ang mga ari-arian na napanatili sa ilalim ng mga pagbabagong isometric ay tinatawag panloob na geometry ibabaw. Ang panloob na geometry ay hindi nakasalalay sa posisyon ng ibabaw sa espasyo at hindi nagbabago kapag ito ay nakatungo nang walang pag-igting at compression (halimbawa, kapag ang isang silindro ay nakatungo sa isang kono).

Mga sukatan na koepisyent E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) matukoy hindi lamang ang mga haba ng lahat ng mga kurba, ngunit sa pangkalahatan ang mga resulta ng lahat ng mga sukat sa loob ng ibabaw (anggulo, lugar, kurbada, atbp.). Samakatuwid, ang lahat na nakasalalay lamang sa sukatan ay tumutukoy sa panloob na geometry.

Normal at normal na seksyon

Mga normal na vector sa mga surface point

Ang isa sa mga pangunahing katangian ng isang ibabaw ay ang normal- unit vector patayo sa tangent plane sa isang naibigay na punto:

m = [ r u ′ , r v ′ ] | [ r u ′ , r v ′ ] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u))) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).

Ang tanda ng normal ay depende sa pagpili ng mga coordinate.

Ang seksyon ng ibabaw sa pamamagitan ng isang eroplanong naglalaman ng normal ng ibabaw sa isang naibigay na punto ay bumubuo ng isang tiyak na kurba, na tinatawag na normal na seksyon ibabaw. Ang pangunahing normal para sa isang normal na seksyon ay tumutugma sa normal sa ibabaw (hanggang sa isang palatandaan).

Kung ang kurba sa ibabaw ay hindi isang normal na seksyon, ang pangunahing normal nito ay bumubuo ng isang anggulo na may normal na ibabaw θ (\displaystyle \theta ). Tapos yung curvature k (\displaystyle k) ang kurba ay nauugnay sa kurbada k n (\displaystyle k_(n)) normal na seksyon (na may parehong tangent) Meunier's formula:

k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )

Ang mga coordinate ng normal na vector para sa iba't ibang paraan ng pagtukoy sa ibabaw ay ibinibigay sa talahanayan:

	Mga normal na coordinate sa isang surface point
implicit assignment	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(() \frac (\partial F)(\partial x));\,(\frac (\partial F)(\partial y));\,(\frac (\partial F)(\partial z))\kanan) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial z))\kanan)^(2)))))
tahasang pagtatalaga	(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f) )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\right))(\sqrt (\left((\frac (\partial f)(\ bahagyang x))\kanan)^(2)+\kaliwa((\frac (\partial f)(\partial y))\kanan)^(2)+1))))
parametric na gawain	(D (y , z) D (u , v); D (z , x) D (u , v); D (x , y) D (u , v)) (D (y , z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac) (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\kanan))(\sqrt (\kaliwa((\frac (D(y,z)))(D(u,v)))\kanan)^(2 )+\kaliwa((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\kanan)^(2)+\kaliwa((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\kanan)^(2)))))

Dito D (y , z) D (u , v) = | y u y v z u z v | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Ang lahat ng mga derivatives ay kinuha sa punto (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Curvature

Para sa iba't ibang direksyon sa isang naibigay na punto sa ibabaw, ang ibang curvature ng normal na seksyon ay nakuha, na tinatawag na normal na kurbada; ito ay itinalaga ng plus sign kung ang pangunahing normal ng curve ay napupunta sa parehong direksyon tulad ng normal sa ibabaw, o isang minus sign kung ang mga direksyon ng mga normal ay kabaligtaran.

Sa pangkalahatan, sa bawat punto sa ibabaw mayroong dalawang patayong direksyon e 1 (\displaystyle e_(1)) at e 2 (\displaystyle e_(2)), kung saan ang normal na curvature ay tumatagal ng pinakamababa at pinakamataas na halaga; ang mga direksyong ito ay tinatawag pangunahing. Ang isang pagbubukod ay ang kaso kapag ang normal na curvature ay pareho sa lahat ng direksyon (halimbawa, malapit sa isang globo o sa dulo ng isang ellipsoid ng rebolusyon), at ang lahat ng mga direksyon sa isang punto ay punong-guro.

Mga ibabaw na may negatibong (kaliwa), zero (gitna), at positibo (kanan) na curvature.

Ang mga normal na curvature sa mga pangunahing direksyon ay tinatawag pangunahing mga kurbada; tukuyin natin sila κ 1 (\displaystyle \kappa _(1)) at κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Sukat:

K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

Kahulugan. Ang isang puntong nakahiga sa pangalawang-order na ibabaw na ibinigay ng pangkalahatang equation (1) na may paggalang sa ODSC ay tinatawag na di-isahan kung kabilang sa tatlong numero: mayroong hindi bababa sa isa na hindi katumbas ng zero.

Kaya, ang isang punto na nakahiga sa isang pangalawang-order na ibabaw ay hindi isahan kung at kung ito lamang ang sentro nito, kung hindi, kapag ang ibabaw ay korteng kono, at ang punto ay ang vertex ng ibabaw na ito.

Kahulugan. Ang tangent sa isang second-order na ibabaw sa isang partikular na hindi-isahan na punto dito ay isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito, na nagsa-intersecting sa pangalawang-order na ibabaw sa isang double point, o pagiging isang rectilinear generatrix ng surface.

Teorama 3. Ang mga tangent na linya sa isang pangalawang-order na ibabaw sa isang ibinigay na hindi-isahan na punto dito ay nasa parehong eroplano, na tinatawag na tangent na eroplano sa ibabaw sa puntong isinasaalang-alang. Ang tangent plane equation ay may

Patunay. Hayaang ang , , ay mga parametric equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang di-isahan na punto ng pangalawang-order na ibabaw na ibinigay ng equation (1). Ang pagpapalit sa equation (1) , , sa halip na , , , makuha natin ang:

Dahil ang punto ay nasa ibabaw (1), makikita rin natin mula sa equation (3) (ang halagang ito ay tumutugma sa punto ). Upang ang punto ng intersection ng linya sa ibabaw (1) ay maging doble, o para ang linya ay ganap na nakahiga sa ibabaw, ito ay kinakailangan at sapat na ang pagkakapantay-pantay ay masiyahan:

Kung sa parehong oras:

Pagkatapos ang punto ng intersection ng tuwid na linya sa ibabaw (1) ay doble. Paano kung:

Pagkatapos ang linya ay namamalagi nang buo sa ibabaw (1).

Mula sa mga relasyon (4) at , , sumusunod na ang mga coordinate , , ng anumang puntong nakahiga sa anumang padaplis sa ibabaw (1) ay nakakatugon sa equation:

Sa kabaligtaran, kung ang mga coordinate ng ilang mga punto maliban sa masiyahan ang equation na ito, kung gayon ang mga coordinate , , ng vector ay nakakatugon sa kaugnayan (4), na nangangahulugan na ang linya ay padaplis sa ibabaw na isinasaalang-alang.

Dahil ang punto ay isang di-iisang punto ng ibabaw (1), kung gayon sa mga numero , , mayroong hindi bababa sa isa na hindi katumbas ng zero; kaya ang equation (5) ay isang equation ng unang degree na may kinalaman sa . Ito ang equation ng plane tangent sa ibabaw (1) sa isang nonsingular point na ibinigay dito.

Batay sa mga canonical equation ng second-order surface, madaling buuin ang mga equation ng tangent plane sa isang ellipsoid, hyperboloid, atbp. sa isang naibigay na punto sa kanila.

isa). Tangent plane sa ellipsoid:

2). Tangent plane sa isa at dalawang-sheet na hyperboloids:

3). Tangent plane sa elliptic at hyperbolic paraboloids:

§ 161. Intersection ng tangent plane na may ibabaw ng pangalawang order.

Kumuha kami ng di-iisang punto ng ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod bilang pinagmulan ng mga coordinate ng ODSC, ang axis at inilalagay ito sa plane tangent sa ibabaw sa punto . Pagkatapos sa pangkalahatang equation ng ibabaw (1) ang libreng termino ay katumbas ng zero: , at ang equation ng eroplanong humahawak sa ibabaw sa pinanggalingan ay dapat magmukhang: .

Ngunit ang equation ng eroplanong dumadaan sa pinanggalingan ay may anyo: .

At, dahil ang equation na ito ay dapat na katumbas ng equation , kung gayon , , .

Kaya, sa napiling coordinate system, ang surface equation (1) ay dapat magmukhang:

Sa kabaligtaran, kung , kung gayon ang equation (6) ay ang equation ng ibabaw na dumadaan sa pinanggalingan ng mga coordinate , at ang eroplano ay ang tangent plane sa ibabaw na ito sa punto . Ang equation ng linya kung saan ang tangent plane sa ibabaw sa isang punto ay nagsalubong sa ibabaw (6) ay may anyo:

Kung ang . Ito ay isang invariant sa invariant na teorya para sa mga second-order na linya. Equation (7)

Ito ang pangalawang linya. Sa pamamagitan ng anyo ng linyang ito, ang invariant ay , samakatuwid:

Para sa , narito ang dalawang imaginary intersecting lines.

Kailan - dalawang totoong intersecting na linya.

Kung ang , ngunit hindi bababa sa isa sa mga coefficient , , ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang linya ng intersection (7) ay dalawang magkatugmang linya.

Sa wakas, kung , pagkatapos ay ang eroplano

ay bahagi ng ibinigay na ibabaw, at ang ibabaw mismo ay nahahati, samakatuwid, sa isang pares ng mga eroplano

§ 162. Elliptic, hyperbolic o parabolic na mga punto ng ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod.

1. Hayaang bumalandra ang tangent plane sa ibabaw ng pangalawang order sa isang punto kasama ang dalawang haka-haka na intersecting na tuwid na linya. Sa kasong ito, ang punto ay tinatawag na isang elliptical point ng ibabaw.

2. Hayaang magsalubong ang tangent plane sa ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod sa isang punto sa kahabaan ng dalawang tunay na linya na nagsa-intersect sa punto ng contact. Sa kasong ito, ang punto ay tinatawag na hyperbolic point ng ibabaw.

3. Hayaang magsalubong ang tangent plane sa ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod sa isang punto sa kahabaan ng dalawang magkatapat na tuwid na linya. Sa kasong ito, ang punto ay tinatawag na parabolic point ng ibabaw.

Teorama 4. Hayaang ang second-order surface na may kinalaman sa ODSC ay ibigay ng equation (1) at ang equation na ito (1) ay ang equation ng isang tunay na non-decomposing surface ng pangalawang order. Pagkatapos kung ; pagkatapos ang lahat ng mga punto ng ibabaw ay elliptic.

Patunay. Ipakilala natin ang isang bagong sistema ng coordinate , na pumipili ng anumang di-iisang punto ng ibinigay na ibabaw bilang pinagmulan ng mga coordinate at paglalagay ng mga axes at sa plane tangent sa ibabaw sa punto . Ang equation (1) sa bagong coordinate system ay binago sa anyo:

saan . Kalkulahin natin ang invariant para sa equation na ito.

Dahil ang tanda ay hindi nagbabago sa panahon ng paglipat mula sa isang ODSC patungo sa isa pa, ang mga palatandaan at ay kabaligtaran, samakatuwid, kung , pagkatapos ; at, tulad ng mga sumusunod mula sa pag-uuri (tingnan ang § 161), ang tangent plane sa ibabaw sa isang punto ay nag-intersect sa ibabaw kasama ang dalawang haka-haka na intersecting na linya, i.e. ay isang elliptical point.

2) Ang isang one-sheet na hyperboloid at isang hyperbolic paraboloid ay binubuo ng mga hyperbolic point.

3) Ang tunay na kono ng pangalawang pagkakasunud-sunod (ang vertex ay hindi kasama), elliptic (totoo), hyperbolic at parabolic cylinders ay binubuo ng mga parabolic point.

parabolic cylinder.

Upang matukoy ang lokasyon ng isang parabolic cylinder, sapat na malaman:

1) isang eroplano ng simetrya na kahanay sa mga generator ng silindro;

2) isang padaplis na eroplano sa silindro, patayo sa eroplanong ito ng simetrya;

3) isang vector na patayo sa tangent plane na ito at nakadirekta patungo sa concavity ng cylinder.

Kung ang pangkalahatang equation ay tumutukoy sa isang parabolic cylinder, maaari itong muling isulat bilang:

Pumili tayo m upang ang eroplano

ay magkaparehong patayo:

Sa halagang ito m eroplano

ay magiging isang eroplano ng simetrya parallel sa mga generator ng silindro.

Eroplano

ang magiging tangent plane sa cylinder, patayo sa ipinahiwatig na plane ng symmetry, at ang vector

ay patayo sa natagpuang tangent plane at ididirekta patungo sa concavity ng cylinder.

Normal na equation ng eroplano

1.

4.

Tangent plane at surface normal

Hayaang maibigay ang ilang ibabaw, ang A ay isang nakapirming punto ng ibabaw at ang B ay isang variable na punto ng ibabaw,

(Larawan 1).

Di-zero na vector

→

n

tinawag normal na vector sa ibabaw sa punto A kung

lim B→A j = π 2 .

Ang surface point F (x, y, z) = 0 ay tinatawag na ordinaryo kung sa puntong ito

1. ang mga partial derivatives F " x , F " y , F " z ay tuluy-tuloy;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Kung ang hindi bababa sa isa sa mga kundisyong ito ay nilabag, ang isang punto sa ibabaw ay tinatawag iisang punto ng ibabaw .

Teorama 1. Kung ang M(x 0 , y 0 , z 0 ) ay isang ordinaryong punto ng ibabaw F (x , y , z) = 0 , pagkatapos ay ang vector

→ n \u003d grad F (x 0, y 0, z 0) \u003d F "x (x 0, y 0, z 0) → i + F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F "z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

ay normal sa ibabaw na ito sa puntong M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Patunay ibinigay sa aklat ni I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova `` Kurso ng mas mataas na matematika: Integral calculus. Mga pag-andar ng ilang mga variable. Differential equation. M.: MEI Publishing House, 2002 (p. 128).

Normal sa ibabaw sa ilang mga punto ay tinatawag na isang linya na ang vector ng direksyon ay normal sa ibabaw sa puntong ito at na dumadaan sa puntong ito.

Canonical normal na equation maaaring katawanin bilang

x − x0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y − y0 F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z−z0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Tangent na eroplano sa ibabaw sa ilang mga punto ay tinatawag na isang eroplano na dumadaan sa puntong ito patayo sa normal sa ibabaw sa puntong iyon.

Mula sa kahulugang ito ay sinusundan iyon tangent plane equation mukhang:

(3)

Kung ang isang punto sa ibabaw ay isahan, kung gayon sa puntong ito ang vector na normal sa ibabaw ay maaaring wala, at, dahil dito, ang ibabaw ay maaaring walang normal at isang tangent na eroplano.

Ang geometric na kahulugan ng kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable

Hayaan ang function na z = f (x , y) ay differentiable sa puntong a (x 0 , y 0 ) . Ang graph nito ay ang ibabaw

f (x, y) − z = 0.

Ilagay natin ang z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Pagkatapos ang puntong A (x 0 , y 0 , z 0 ) ay kabilang sa ibabaw.

Ang mga partial derivatives ng function F (x , y , z) = f (x , y) − z ay

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

at sa puntong A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. sila ay tuluy-tuloy;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0 .

Samakatuwid, ang A ay isang ordinaryong punto ng ibabaw F (x, y, z) at sa puntong ito mayroong isang tangent na eroplano sa ibabaw. Ayon sa (3), ang tangent plane equation ay may anyo:

f "x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Ang patayong pag-aalis ng isang punto sa tangent plane sa panahon ng paglipat mula sa punto a (x 0, y 0) patungo sa isang di-makatwirang punto p (x, y) ay B Q (Fig. 2). Ang kaukulang applique increment ay

(z - z 0 ) \u003d f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Dito sa kanang bahagi ay ang kaugalian d z ng function z = f (x, y) sa punto a (x 0 , x 0 ). Dahil dito,
d f (x 0 , y 0 ). ay ang pagtaas ng applicate ng punto ng plane tangent sa graph ng function na f (x, y) sa punto (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0 )).

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng kaugalian na ang distansya sa pagitan ng puntong P sa graph ng function at ang puntong Q sa tangent plane ay isang infinitesimal na mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa sa distansya mula sa puntong p hanggang sa puntong a.

Sa ilang mga punto at mayroong tuluy-tuloy na mga partial derivatives dito, hindi bababa sa isa sa mga ito ay hindi naglalaho, pagkatapos ay sa paligid ng puntong ito ang ibabaw na ibinigay ng equation (1) ay magiging tamang ibabaw.

Bilang karagdagan sa itaas implicit na paraan ng pagtatakda maaaring tukuyin ang ibabaw malinaw, kung ang isa sa mga variable, halimbawa z, ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng iba:

Umiiral din parametric paraan ng pagtatalaga. Sa kasong ito, ang ibabaw ay tinutukoy ng sistema ng mga equation:

Ang konsepto ng isang simpleng ibabaw

Mas tumpak, simpleng ibabaw ay ang imahe ng isang homeomorphic mapping (iyon ay, isang one-to-one at mutually continuous mapping) ng interior ng unit square. Ang depinisyon na ito ay maaaring bigyan ng analytical expression.

Hayaang magbigay ng isang parisukat sa isang eroplano na may isang parihabang sistema ng coordinate u at v , ang mga coordinate ng mga panloob na punto na kung saan ay nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Isang halimbawa simpleng ibabaw ay isang hemisphere. Ang buong lugar ay hindi simpleng ibabaw. Nangangailangan ito ng karagdagang paglalahat ng konsepto ng isang ibabaw.

Isang subset ng espasyo kung saan ang bawat punto ay may kapitbahayan na simpleng ibabaw, ay tinatawag na tamang ibabaw .

Ibabaw sa differential geometry

Helicoid

catenoid

Ang sukatan ay hindi natatanging tinutukoy ang hugis ng ibabaw. Halimbawa, ang mga sukatan ng isang helicoid at isang catenoid , na na-parameter sa isang naaangkop na paraan, ay nag-tutugma, iyon ay, mayroong isang sulat sa pagitan ng kanilang mga rehiyon na nagpapanatili ng lahat ng haba (isometry). Ang mga ari-arian na napanatili sa ilalim ng mga pagbabagong isometric ay tinatawag panloob na geometry ibabaw. Ang panloob na geometry ay hindi nakasalalay sa posisyon ng ibabaw sa espasyo at hindi nagbabago kapag ito ay nakatungo nang walang pag-igting at compression (halimbawa, kapag ang isang silindro ay nakatungo sa isang kono).

Tinutukoy ng mga metric coefficient hindi lamang ang mga haba ng lahat ng mga kurba, ngunit sa pangkalahatan ang mga resulta ng lahat ng mga sukat sa loob ng ibabaw (anggulo, lugar, kurbada, atbp.). Samakatuwid, ang lahat na nakasalalay lamang sa sukatan ay tumutukoy sa panloob na geometry.

Normal at normal na seksyon

Mga normal na vector sa mga surface point

Ang isa sa mga pangunahing katangian ng isang ibabaw ay ang normal- unit vector patayo sa tangent plane sa isang naibigay na punto:

.

Ang tanda ng normal ay depende sa pagpili ng mga coordinate.

Ang seksyon ng isang ibabaw sa pamamagitan ng isang eroplanong naglalaman ng normal (sa isang naibigay na punto) ay bumubuo ng isang tiyak na kurba sa ibabaw, na tinatawag na normal na seksyon ibabaw. Ang pangunahing normal para sa isang normal na seksyon ay tumutugma sa normal sa ibabaw (hanggang sa isang palatandaan).

Kung ang kurba sa ibabaw ay hindi isang normal na seksyon, ang pangunahing normal nito ay bumubuo ng isang anggulo θ na may normal na ibabaw. Tapos yung curvature k ang kurba ay nauugnay sa kurbada k n normal na seksyon (na may parehong tangent) Meunier's formula:

Ang mga coordinate ng normal na vector para sa iba't ibang paraan ng pagtukoy sa ibabaw ay ibinibigay sa talahanayan:

	Mga normal na coordinate sa isang surface point
implicit assignment
tahasang pagtatalaga
parametric na gawain

Curvature

Para sa iba't ibang direksyon sa isang naibigay na punto sa ibabaw, ang ibang curvature ng normal na seksyon ay nakuha, na tinatawag na normal na kurbada; ito ay itinalaga ng plus sign kung ang pangunahing normal ng curve ay napupunta sa parehong direksyon tulad ng normal sa ibabaw, o isang minus sign kung ang mga direksyon ng mga normal ay kabaligtaran.

Sa pangkalahatan, sa bawat punto sa ibabaw mayroong dalawang patayong direksyon e 1 at e 2 , kung saan ang normal na curvature ay tumatagal ng pinakamababa at pinakamataas na halaga; ang mga direksyong ito ay tinatawag pangunahing. Ang isang pagbubukod ay ang kaso kapag ang normal na curvature ay pareho sa lahat ng direksyon (halimbawa, malapit sa isang globo o sa dulo ng isang ellipsoid ng rebolusyon), at ang lahat ng mga direksyon sa isang punto ay punong-guro.

Mga ibabaw na may negatibong (kaliwa), zero (gitna), at positibo (kanan) na curvature.

Ang mga normal na curvature sa mga pangunahing direksyon ay tinatawag pangunahing mga kurbada; tukuyin natin ang mga ito sa pamamagitan ng κ 1 at κ 2 . Sukat:

K= κ 1 κ 2

tinawag Gaussian curvature, buong kurbada o simple lang kurbada ibabaw. Meron ding term curvature scalar, na nagpapahiwatig ng resulta ng convolution ng curvature tensor; sa kasong ito, ang curvature scalar ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa Gaussian curvature.

Maaaring kalkulahin ang gaussian curvature sa pamamagitan ng isang sukatan, at samakatuwid ito ay isang object ng intrinsic geometry ng mga surface (tandaan na ang mga pangunahing curvature ay hindi nalalapat sa intrinsic geometry). Sa pamamagitan ng pag-sign ng curvature, maaari mong uriin ang mga punto ng ibabaw (tingnan ang figure). Ang kurbada ng eroplano ay zero. Ang curvature ng isang globo ng radius R ay kahit saan ay katumbas ng . Mayroon ding ibabaw ng patuloy na negatibong kurbada - isang pseudosphere.

Geodesic na linya, geodesic curvature

Ang kurba sa ibabaw ay tinatawag geodetic na linya, o simple lang geodetic, kung sa lahat ng punto nito ang pangunahing normal sa kurba ay tumutugma sa normal sa ibabaw. Halimbawa: sa isang eroplano, ang geodesics ay magiging mga tuwid na linya at mga segment ng linya, sa isang globo - mahusay na mga bilog at ang kanilang mga segment.

Katumbas na kahulugan: para sa isang geodesic na linya, ang projection ng pangunahing normal nito sa magkadikit na eroplano ay ang zero vector. Kung ang curve ay hindi isang geodesic, kung gayon ang tinukoy na projection ay nonzero; ang haba nito ay tinatawag geodesic curvature k g kurba sa ibabaw. May kaugnayan:

,

saan k ay ang curvature ng curve na ito, k n- kurbada ng normal na seksyon nito na may parehong padaplis.

Ang mga geodesic na linya ay tumutukoy sa panloob na geometry. Inilista namin ang kanilang mga pangunahing katangian.

• Isa at isa lamang geodesic ang dumadaan sa isang ibinigay na punto sa ibabaw sa isang partikular na direksyon.
• Sa isang sapat na maliit na lugar ng ibabaw, ang dalawang punto ay maaaring palaging konektado sa pamamagitan ng isang geodesic, at bukod dito, isa lamang. Paliwanag: sa isang globo, ang magkasalungat na mga pole ay konektado sa pamamagitan ng isang walang katapusang bilang ng mga meridian, at dalawang malapit na mga punto ay maaaring konektado hindi lamang sa pamamagitan ng isang segment ng isang malaking bilog, kundi pati na rin sa pamamagitan ng pagdaragdag nito sa isang buong bilog, upang ang pagiging natatangi ay naobserbahan lamang. sa isang maliit.
• Ang geodesic ay ang pinakamaikling. Mas mahigpit: sa isang maliit na piraso ng ibabaw, ang pinakamaikling landas sa pagitan ng mga ibinigay na punto ay nasa kahabaan ng geodesic.

Square

Ang isa pang mahalagang katangian ng ibabaw ay ang nito parisukat, na kinakalkula ng formula: