Isang miniature at medyo simpleng gawain ng uri na nagsisilbing lifeline para sa isang lumulutang na estudyante. Sa kalikasan, ang inaantok na kaharian ng kalagitnaan ng Hulyo, kaya oras na upang manirahan sa isang laptop sa beach. Maaga sa umaga, nagsimulang tumugtog ang isang sinag ng araw ng teorya upang tumutok sa lalong madaling panahon sa pagsasanay, na, sa kabila ng ipinahayag nitong kagaanan, ay naglalaman ng mga fragment ng salamin sa buhangin. Kaugnay nito, inirerekumenda kong maingat na isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng pahinang ito. Upang malutas ang mga praktikal na gawain, kailangan mong magawa maghanap ng mga derivatives at unawain ang materyal ng artikulo Mga agwat ng monotonicity at extrema ng isang function.
Una, maikling tungkol sa pangunahing bagay. Sa isang aralin tungkol sa pagpapatuloy ng pag-andar Ibinigay ko ang kahulugan ng continuity sa isang punto at continuity sa isang interval. Ang huwarang pag-uugali ng isang function sa isang segment ay nabuo sa katulad na paraan. Ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang segment kung:
1) ito ay tuloy-tuloy sa pagitan;
2) tuloy-tuloy sa isang punto sa kanan at sa punto umalis.
Ang ikalawang talata ay tumatalakay sa tinatawag na unilateral na pagpapatuloy gumagana sa isang punto. Mayroong ilang mga diskarte sa kahulugan nito, ngunit mananatili ako sa linya na nagsimula nang mas maaga:
Ang function ay tuloy-tuloy sa isang punto sa kanan, kung ito ay tinukoy sa isang partikular na punto at ang kanang-kamay na limitasyon ay tumutugma sa halaga ng function sa isang partikular na punto: 
. Ito ay tuloy-tuloy sa punto umalis, kung tinukoy sa isang partikular na punto at ang kaliwang limitasyon nito ay katumbas ng halaga sa puntong iyon: 
Isipin na ang mga berdeng tuldok ay ang mga kuko kung saan nakakabit ang magic rubber band:
Sa isip, kunin ang pulang linya sa iyong mga kamay. Malinaw, gaano man kalayo natin iunat ang graph pataas at pababa (sa kahabaan ng axis), mananatili pa rin ang function limitado- isang hedge sa itaas, isang hedge sa ibaba, at ang aming produkto ay nanginginain sa isang paddock. kaya, ang isang function na tuloy-tuloy sa isang segment ay nakatali dito. Sa kurso ng mathematical analysis, ang tila simpleng katotohanang ito ay nakasaad at mahigpit na pinatunayan Ang unang teorama ni Weierstrass.… Maraming tao ang naiinis na ang mga elementarya na pahayag ay nakakapagod na pinatunayan sa matematika, ngunit ito ay may mahalagang kahulugan. Ipagpalagay na ang isang tiyak na naninirahan sa terry Middle Ages ay hinila ang graph sa kalangitan na lampas sa mga limitasyon ng visibility, ito ay ipinasok. Bago ang pag-imbento ng teleskopyo, ang limitadong pag-andar sa espasyo ay hindi halata! Sa katunayan, paano mo malalaman kung ano ang naghihintay sa atin sa kabila ng abot-tanaw? Pagkatapos ng lahat, sa sandaling ang Earth ay itinuturing na patag, kaya ngayon kahit na ang ordinaryong teleportasyon ay nangangailangan ng patunay =)
Ayon kay pangalawang Weierstrass theorem, tuloy-tuloy sa segmentumabot ang function nito eksaktong tuktok na gilid at ang kanyang eksaktong ilalim na gilid .
Tinatawag din ang numero ang maximum na halaga ng function sa segment at tinutukoy ng , at ang bilang - ang pinakamababang halaga ng function sa segment may markang .
Sa kaso natin: 
Tandaan
: sa teorya, ang mga tala ay karaniwan 
.
Sa halos pagsasalita, ang pinakamalaking halaga ay matatagpuan kung saan ang pinakamataas na punto ng graph, at ang pinakamaliit - kung saan ang pinakamababang punto.
Mahalaga! Gaya ng itinuro na sa artikulo sa extrema ng function, ang pinakamalaking halaga ng function at pinakamaliit na halaga ng function – IBA, Ano maximum na function at minimum na function. Kaya, sa halimbawang ito, ang numero ay ang minimum ng function, ngunit hindi ang pinakamababang halaga.
By the way, ano ang nangyayari sa labas ng segment? Oo, kahit ang baha, sa konteksto ng problemang isinasaalang-alang, hindi ito interesado sa amin. Ang gawain ay nagsasangkot lamang ng paghahanap ng dalawang numero 
at yun lang!
Bukod dito, ang solusyon ay purong analytical, samakatuwid, hindi na kailangang gumuhit!
Ang algorithm ay namamalagi sa ibabaw at nagmumungkahi ng sarili mula sa figure sa itaas:
1) Hanapin ang mga halaga ng function sa kritikal na mga punto, na kabilang sa segment na ito.
Makakuha ng isa pang goodie: hindi na kailangang suriin ang isang sapat na kondisyon para sa isang extremum, dahil, tulad ng ipinakita lamang, ang pagkakaroon ng isang minimum o maximum hindi pa garantisado ano ang pinakamababa o pinakamataas na halaga. Ang demonstration function ay umabot sa pinakamataas nito at, ayon sa kalooban ng tadhana, ang parehong numero ay ang pinakamalaking halaga ng function sa pagitan . Ngunit, siyempre, ang gayong pagkakataon ay hindi palaging nagaganap.
Kaya, sa unang hakbang, mas mabilis at mas madaling kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na punto na kabilang sa segment, nang hindi naaabala kung mayroon silang extrema o wala.
2) Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment.
3) Kabilang sa mga halaga ng function na makikita sa 1st at 2nd paragraph, piliin ang pinakamaliit at pinakamalaking numero, isulat ang sagot.
Umupo kami sa baybayin ng asul na dagat at tumama sa mga takong sa mababaw na tubig:
Halimbawa 1
Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng isang function sa isang segment
Desisyon:
1) Kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto na kabilang sa segment na ito:
Kalkulahin natin ang halaga ng function sa pangalawang kritikal na punto:
2) Kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment: 
3) Ang mga resulta ng "Fat" ay nakuha gamit ang mga exponential at logarithms, na makabuluhang nagpapalubha sa kanilang paghahambing. Para sa kadahilanang ito, kami ay armado ng isang calculator o Excel at kalkulahin ang tinatayang mga halaga, hindi nakakalimutan na: 
Ngayon malinaw na ang lahat.
Sagot:
Fractional-rational na halimbawa para sa independiyenteng solusyon:
Halimbawa 6
Hanapin ang maximum at minimum na halaga ng isang function sa isang segment
Mula sa praktikal na pananaw, ang pinakakawili-wili ay ang paggamit ng derivative upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function. Ano ang konektado nito? Pag-maximize ng kita, pagliit ng mga gastos, pagtukoy sa pinakamainam na pagkarga ng kagamitan... Sa madaling salita, sa maraming lugar ng buhay, kailangang lutasin ng isa ang problema ng pag-optimize ng ilang mga parameter. At ito ang problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.
Dapat tandaan na ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ay karaniwang hinahanap sa ilang interval X , na alinman sa buong domain ng function o bahagi ng domain. Ang interval X mismo ay maaaring isang line segment, isang open interval 
, isang walang katapusang pagitan.
Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang tahasang ibinigay na function ng isang variable y=f(x) .
Pag-navigate sa pahina.
Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function - mga kahulugan, mga guhit.
Isaalang-alang natin sa madaling sabi ang mga pangunahing kahulugan.
Ang pinakamalaking halaga ng function 
, na para sa alinman 
ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo.
Ang pinakamaliit na halaga ng function y=f(x) sa pagitan ng X ay tinatawag na ganoong halaga 
, na para sa alinman ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo.
Ang mga kahulugang ito ay madaling maunawaan: ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function ay ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga na tinatanggap sa pagitan na isinasaalang-alang sa abscissa.
Mga nakatigil na puntos ay ang mga halaga ng argumento kung saan nawawala ang derivative ng function.
Bakit kailangan natin ng mga nakatigil na puntos kapag naghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng Fermat's theorem. Ito ay sumusunod mula sa theorem na ito na kung ang isang differentiable function ay may extremum (lokal na minimum o lokal na maximum) sa isang punto, ang puntong ito ay nakatigil. Kaya, madalas na kinukuha ng function ang maximum (pinakamaliit) na halaga nito sa interval X sa isa sa mga nakatigil na punto mula sa interval na ito.
Gayundin, ang isang function ay kadalasang maaaring kumuha ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa mga punto kung saan ang unang derivative ng function na ito ay hindi umiiral, at ang function mismo ay tinukoy.
Agad nating sagutin ang isa sa mga pinakakaraniwang tanong sa paksang ito: "Palaging posible bang matukoy ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function"? Hindi hindi palagi. Minsan ang mga hangganan ng interval X ay nag-tutugma sa mga hangganan ng domain ng function, o ang interval X ay walang katapusan. At ang ilang mga function sa infinity at sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ay maaaring tumagal ng parehong walang hanggan malaki at walang hanggan maliit na halaga. Sa mga kasong ito, walang masasabi tungkol sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.
Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng isang graphic na paglalarawan. Tingnan ang mga larawan - at marami ang magiging malinaw.
Sa segment
Sa unang figure, kinukuha ng function ang pinakamalaking (max y ) at pinakamaliit (min y ) values sa mga nakatigil na punto sa loob ng segment [-6;6] .
Isaalang-alang ang kaso na ipinakita sa pangalawang figure. Baguhin ang segment sa . Sa halimbawang ito, ang pinakamaliit na halaga ng function ay nakamit sa isang nakatigil na punto, at ang pinakamalaking - sa isang punto na may abscissa na tumutugma sa tamang hangganan ng pagitan.
Sa figure No. 3, ang mga boundary point ng segment [-3; 2] ay ang abscissas ng mga puntos na tumutugma sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.
Sa bukas na hanay
Sa ika-apat na figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y ) at pinakamaliit (min y ) na mga halaga sa mga nakatigil na punto sa loob ng bukas na pagitan (-6;6).
Sa agwat , walang mga konklusyon ang maaaring makuha tungkol sa pinakamalaking halaga.
Sa infinity
Sa halimbawang ipinakita sa ikapitong figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking halaga (max y ) sa isang nakatigil na punto na may x=1 abscissa, at ang pinakamaliit na halaga (min y ) ay naabot sa kanang hangganan ng pagitan. Sa minus infinity, ang mga halaga ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3 .
Sa pagitan, hindi naaabot ng function ang alinman sa pinakamaliit o pinakamalaking halaga. Dahil ang x=2 ay nasa kanan, ang mga value ng function ay may posibilidad na minus infinity (ang tuwid na linya na x=2 ay isang vertical asymptote), at dahil ang abscissa ay may posibilidad na plus infinity, ang mga value ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3 . Ang isang graphic na paglalarawan ng halimbawang ito ay ipinapakita sa Figure 8.
Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na function sa segment.
Nagsusulat kami ng algorithm na nagbibigay-daan sa amin na mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.
- Hinahanap namin ang domain ng function at suriin kung naglalaman ito ng buong segment.
- Nahanap namin ang lahat ng mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral at kung saan ay nakapaloob sa segment (kadalasan ang mga naturang punto ay nangyayari sa mga function na may argumento sa ilalim ng module sign at sa mga power function na may fractional-rational exponent). Kung walang ganoong mga punto, pagkatapos ay pumunta sa susunod na punto.
- Tinutukoy namin ang lahat ng mga nakatigil na punto na nahuhulog sa segment. Upang gawin ito, itinutumbas namin ito sa zero, lutasin ang nagresultang equation at piliin ang naaangkop na mga ugat. Kung walang nakatigil na mga punto o wala sa mga ito ang nahuhulog sa segment, pagkatapos ay pumunta sa susunod na hakbang.
- Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga napiling nakatigil na mga punto (kung mayroon man), sa mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral (kung mayroon man), at gayundin sa x=a at x=b .
- Mula sa nakuha na mga halaga ng function, pipiliin namin ang pinakamalaki at pinakamaliit - sila ang nais na maximum at pinakamaliit na halaga ng function, ayon sa pagkakabanggit.
Suriin natin ang algorithm kapag nilulutas ang isang halimbawa para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.
Halimbawa.
Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function
- sa segment;
- sa pagitan [-4;-1] .
Desisyon.
Ang domain ng function ay ang buong hanay ng mga tunay na numero, maliban sa zero, iyon ay, . Ang parehong mga segment ay nasa loob ng domain ng kahulugan.
Nahanap namin ang derivative ng function na may paggalang sa: 
Malinaw, ang derivative ng function ay umiiral sa lahat ng mga punto ng mga segment at [-4;-1] .
Ang mga nakatigil na puntos ay tinutukoy mula sa equation. Ang tanging tunay na ugat ay x=2 . Ang nakatigil na puntong ito ay nahuhulog sa unang bahagi.
Para sa unang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa isang nakatigil na punto, iyon ay, para sa x=1 , x=2 at x=4 : 
Samakatuwid, ang pinakamalaking halaga ng function 
ay naabot sa x=1 , at ang pinakamaliit na halaga 
– sa x=2 .
Para sa pangalawang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function lamang sa mga dulo ng segment [-4;-1] (dahil hindi ito naglalaman ng isang nakatigil na punto): 
Desisyon.
Magsimula tayo sa saklaw ng function. Ang square trinomial sa denominator ng isang fraction ay hindi dapat maglaho: 
Madaling suriin na ang lahat ng mga pagitan mula sa kondisyon ng problema ay nabibilang sa domain ng function.
Ibahin natin ang pag-andar: 
Malinaw, ang derivative ay umiiral sa buong domain ng function.
Maghanap tayo ng mga nakatigil na puntos. Ang derivative ay naglalaho sa . Ang nakatigil na puntong ito ay nasa loob ng mga pagitan (-3;1] at (-3;2).
At ngayon maaari mong ihambing ang mga resulta na nakuha sa bawat punto sa graph ng function. Ang mga asul na tuldok na linya ay nagpapahiwatig ng mga asymptotes.
Maaari itong magtapos sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function. Ang mga algorithm na tinalakay sa artikulong ito ay nagbibigay-daan sa iyo na makakuha ng mga resulta na may pinakamababang pagkilos. Gayunpaman, maaari itong maging kapaki-pakinabang upang matukoy muna ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function at pagkatapos lamang na gumawa ng mga konklusyon tungkol sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa anumang pagitan. Nagbibigay ito ng isang mas malinaw na larawan at isang mahigpit na katwiran ng mga resulta.
Paglalahad ng Problema 2:
Ibinigay ang isang function na tinukoy at tuloy-tuloy sa ilang pagitan. Kinakailangang hanapin ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function sa pagitan na ito.
Batayang teoretikal.
Theorem (Ikalawang Weierstrass Theorem):
Kung ang isang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang saradong agwat , pagkatapos ay maabot nito ang pinakamataas at pinakamababang halaga nito sa agwat na ito.
Maaaring maabot ng function ang pinakamataas at pinakamababang halaga nito alinman sa mga panloob na punto ng pagitan o sa mga hangganan nito. Ilarawan natin ang lahat ng posibleng opsyon. 
Paliwanag:
1) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa kaliwang hangganan ng pagitan sa punto , at ang pinakamababang halaga nito sa kanang hangganan ng pagitan sa punto .
2) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa punto (ito ang pinakamataas na punto), at ang pinakamababang halaga nito sa kanang hangganan ng pagitan sa punto.
3) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa kaliwang hangganan ng pagitan sa punto , at ang pinakamababang halaga nito sa punto (ito ang pinakamababang punto).
4) Ang function ay pare-pareho sa pagitan, i.e. naabot nito ang pinakamababa at pinakamataas na halaga nito sa anumang punto sa pagitan, at ang minimum at maximum na mga halaga ay katumbas ng bawat isa.
5) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa punto , at ang pinakamababang halaga nito sa punto (sa kabila ng katotohanan na ang function ay may parehong maximum at minimum sa pagitan na ito).
6) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa isang punto (ito ang pinakamataas na punto), at ang pinakamababang halaga nito sa isang punto (ito ang pinakamababang punto).
Komento:
Ang "maximum" at "maximum value" ay magkaibang bagay. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng maximum at ang intuitive na pag-unawa sa pariralang "maximum na halaga".
Algorithm para sa paglutas ng problema 2.
4) Piliin sa mga nakuhang halaga ang pinakamalaki (pinakamaliit) at isulat ang sagot.
Halimbawa 4:
Tukuyin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function 
sa segment.
Desisyon:
1) Hanapin ang derivative ng function. 
2) Maghanap ng mga nakatigil na puntos (at mga puntong kahina-hinala ng isang extremum) sa pamamagitan ng paglutas sa equation . Bigyang-pansin ang mga punto kung saan walang two-sided finite derivative. 
3) Kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga nakatigil na punto at sa mga hangganan ng pagitan.
4) Piliin sa mga nakuhang halaga ang pinakamalaki (pinakamaliit) at isulat ang sagot.
Naabot ng function sa segment na ito ang pinakamataas na halaga nito sa puntong may mga coordinate .
Naabot ng function sa segment na ito ang pinakamababang halaga nito sa puntong may mga coordinate .
Maaari mong i-verify ang kawastuhan ng mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagtingin sa graph ng function na pinag-aaralan. 
Komento: Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa pinakamataas na punto, at ang pinakamababang halaga sa hangganan ng segment.
Espesyal na kaso.
Ipagpalagay na gusto mong mahanap ang maximum at minimum na halaga ng ilang function sa isang segment. Pagkatapos ng pagpapatupad ng unang talata ng algorithm, i.e. pagkalkula ng derivative, nagiging malinaw na, halimbawa, nangangailangan lamang ng mga negatibong halaga sa buong segment na isinasaalang-alang. Tandaan na kung negatibo ang derivative, bumababa ang function. Nalaman namin na ang function ay bumababa sa buong agwat. Ang sitwasyong ito ay ipinapakita sa tsart No. 1 sa simula ng artikulo.
Bumababa ang function sa pagitan, i.e. wala itong extremum points. Makikita mula sa larawan na ang function ay kukuha ng pinakamaliit na halaga sa kanang hangganan ng segment, at ang pinakamalaking halaga sa kaliwa. kung ang derivative sa pagitan ay positibo sa lahat ng dako, ang function ay tumataas. Ang pinakamaliit na halaga ay nasa kaliwang hangganan ng segment, ang pinakamalaki ay nasa kanan.
