Unang antas

Linear na equation. Kumpletong Gabay (2019)

Ano ang "linear equation"

o pasalita - tatlong kaibigan ang binigyan ng mansanas bawat isa, batay sa katotohanan na si Vasya ay may lahat ng mga mansanas.

At ngayon nakapagdesisyon ka na linear equation
Ngayon, bigyan natin ang terminong ito ng depinisyon sa matematika.

Linear Equation - ay isang algebraic equation na ang kabuuang antas ng mga constituent polynomial nito ay. Mukhang ganito:

Saan at anumang mga numero at

Para sa aming kaso kay Vasya at mansanas, isusulat namin:

- "Kung bibigyan ni Vasya ang lahat ng tatlong kaibigan ng parehong bilang ng mga mansanas, wala siyang mga mansanas na natitira"

"Nakatago" na mga linear na equation, o ang kahalagahan ng magkaparehong pagbabago

Sa kabila ng katotohanan na sa unang sulyap ang lahat ay sobrang simple, kapag nilutas ang mga equation, kailangan mong mag-ingat, dahil ang mga linear na equation ay tinatawag na hindi lamang mga equation ng form, kundi pati na rin ang anumang mga equation na nabawasan sa form na ito sa pamamagitan ng mga pagbabagong-anyo at pagpapagaan. Halimbawa:

Nakita natin na ito ay nasa kanan, na, sa teorya, ay nagpapahiwatig na na ang equation ay hindi linear. Bukod dito, kung bubuksan natin ang mga bracket, makakakuha tayo ng dalawa pang termino kung saan ito magiging, ngunit huwag tumalon sa mga konklusyon! Bago husgahan kung linear ang equation, kailangang gawin ang lahat ng pagbabago at sa gayon ay gawing simple ang orihinal na halimbawa. Sa kasong ito, maaaring baguhin ng mga pagbabago ang hitsura, ngunit hindi ang pinakadiwa ng equation.

Sa madaling salita, ang mga pagbabagong ito ay dapat magkapareho o katumbas. Dalawa lang ang ganitong pagbabago, ngunit napakaimportante ng papel nila sa paglutas ng mga problema. Isaalang-alang natin ang parehong pagbabago sa mga kongkretong halimbawa.

Lumipat pakaliwa - pakanan.

Sabihin nating kailangan nating lutasin ang sumusunod na equation:

Noong elementarya, sinabihan kami: "na may X - sa kaliwa, walang X - sa kanan." Anong expression na may x ang nasa kanan? Tama, hindi paanong hindi. At ito ay mahalaga, dahil kung ang tila simpleng tanong na ito ay hindi maintindihan, ang maling sagot ay lalabas. At ano ang expression na may x sa kaliwa? Tama, .

Ngayong napag-usapan na natin ito, inililipat namin ang lahat ng mga termino na may hindi alam sa kaliwa, at lahat ng nalalaman sa kanan, na naaalala na kung walang palatandaan sa harap ng numero, halimbawa, kung gayon ang numero ay positibo, iyon ay, ito ay pinangungunahan ng tandang " ".

Inilipat? Ano ang nakuha mo?

Ang kailangan lang gawin ay magdala ng katulad na mga tuntunin. Ipinepresenta namin:

Kaya, matagumpay naming na-parse ang unang magkatulad na pagbabago, kahit na sigurado ako na alam mo na ito at aktibong ginamit ito nang wala ako. Ang pangunahing bagay - huwag kalimutan ang tungkol sa mga palatandaan para sa mga numero at baguhin ang mga ito sa kabaligtaran kapag naglilipat sa pamamagitan ng pantay na tanda!

Multiplikasyon-dibisyon.

Magsimula tayo kaagad sa isang halimbawa

Tinitingnan namin at iniisip: ano ang hindi namin gusto sa halimbawang ito? Ang hindi alam ay lahat sa isang bahagi, ang kilala ay nasa kabilang bahagi, ngunit may pumipigil sa atin ... At ito ay isang bagay - isang apat, dahil kung wala ito, ang lahat ay magiging perpekto - ang x ay katumbas ng isang numero - eksakto sa kailangan namin!

Paano mo ito maaalis? Hindi tayo maaaring ilipat sa kanan, dahil kailangan nating ilipat ang buong multiplier (hindi natin ito maaaring kunin at alisin ito), at ang paglilipat ng buong multiplier ay hindi rin makatwiran ...

Panahon na upang matandaan ang tungkol sa dibisyon, na may kaugnayan kung saan hahatiin natin ang lahat! Lahat - nangangahulugan ito ng parehong kaliwa at kanang bahagi. Kaya at gayon lamang! Ano ang makukuha natin?

Narito ang sagot.

Tingnan natin ngayon ang isa pang halimbawa:

Hulaan kung ano ang gagawin sa kasong ito? Tama, paramihin ang kaliwa at kanang bahagi! Anong sagot ang nakuha mo? Tama. .

Tiyak na alam mo na ang lahat tungkol sa magkatulad na pagbabago. Isipin na ni-refresh lang namin ang kaalamang ito sa iyong memorya at oras na para sa higit pa - Halimbawa, upang malutas ang aming malaking halimbawa:

Tulad ng sinabi namin kanina, sa pagtingin dito, hindi mo masasabi na ang equation na ito ay linear, ngunit kailangan nating buksan ang mga bracket at magsagawa ng magkaparehong pagbabago. Kaya simulan na natin!

Upang magsimula, naaalala natin ang mga formula para sa pinaikling multiplikasyon, lalo na, ang parisukat ng kabuuan at ang parisukat ng pagkakaiba. Kung hindi mo matandaan kung ano ito at kung paano binubuksan ang mga bracket, lubos kong inirerekumenda ang pagbabasa ng paksa, dahil ang mga kasanayang ito ay magiging kapaki-pakinabang sa iyo kapag nilulutas ang halos lahat ng mga halimbawa na makikita sa pagsusulit.
Nabunyag? Ihambing:

Ngayon ay oras na upang magdala ng mga katulad na termino. Naaalala mo ba kung paano sinabi sa amin sa parehong mga pangunahing klase na "huwag maglagay ng mga langaw na may mga cutlet"? Narito ako ay nagpapaalala sa iyo tungkol dito. Idinaragdag namin ang lahat nang hiwalay - mga kadahilanan na mayroon, mga kadahilanan na mayroon, at iba pang mga kadahilanan na walang mga hindi alam. Habang nagdadala ka ng mga katulad na termino, ilipat ang lahat ng hindi alam sa kaliwa, at lahat ng alam sa kanan. Ano ang nakuha mo?

Tulad ng nakikita mo, ang x-square ay nawala, at nakikita namin ang isang ganap na ordinaryo linear equation. Ito ay nananatiling lamang upang mahanap!

At sa wakas, sasabihin ko ang isa pang napakahalagang bagay tungkol sa magkatulad na pagbabagong-anyo - ang mga magkatulad na pagbabagong-anyo ay naaangkop hindi lamang para sa mga linear na equation, kundi pati na rin para sa square, fractional rational at iba pa. Kailangan mo lang tandaan na kapag naglilipat ng mga salik sa pamamagitan ng pantay na tanda, binabago namin ang tanda sa kabaligtaran, at kapag hinahati o pinarami ng ilang numero, pinaparami / hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa PAREHONG numero.

Ano pa ang kinuha mo sa halimbawang ito? Na ang pagtingin sa isang equation ay hindi laging posible na direkta at tumpak na matukoy kung ito ay linear o hindi. Dapat mo munang ganap na pasimplehin ang expression, at pagkatapos ay hatulan kung ano ito.

Linear na equation. Mga halimbawa.

Narito ang ilang higit pang mga halimbawa para sa iyong pagsasanay sa iyong sarili - tukuyin kung ang equation ay linear at kung gayon, hanapin ang mga ugat nito:

Mga sagot:

1. Ay.

2. Ay hindi.

Buksan natin ang mga bracket at magbigay ng mga katulad na termino:

Gumawa tayo ng magkaparehong pagbabago - hinahati natin ang kaliwa at kanang bahagi sa:

Nakikita natin na ang equation ay hindi linear, kaya hindi na kailangang hanapin ang mga ugat nito.

3. Ay.

Gumawa tayo ng magkaparehong pagbabago - paramihin ang kaliwa at kanang bahagi upang maalis ang denominator.

Isipin kung bakit napakahalaga? Kung alam mo ang sagot sa tanong na ito, nagpapatuloy kami sa higit pang paglutas ng equation, kung hindi, siguraduhing tingnan ang paksa upang hindi magkamali sa mas kumplikadong mga halimbawa. Sa pamamagitan ng paraan, tulad ng nakikita mo, isang sitwasyon kung saan imposible. Bakit?
Kaya't magpatuloy tayo at muling ayusin ang equation:

Kung nakayanan mo ang lahat nang walang kahirapan, pag-usapan natin ang mga linear equation na may dalawang variable.

Mga Linear Equation na may Dalawang Variable

Ngayon ay lumipat tayo sa isang bahagyang mas kumplikadong isa - mga linear na equation na may dalawang variable.

Linear na equation na may dalawang variable na ganito ang hitsura:

Saan, at anumang mga numero at.

Tulad ng nakikita mo, ang pagkakaiba lamang ay ang isa pang variable ay idinagdag sa equation. At kaya ang lahat ay pareho - walang x squared, walang dibisyon sa pamamagitan ng isang variable, atbp. atbp.

Anong halimbawa ng buhay ang ibibigay sa iyo ... Kunin natin ang parehong Vasya. Ipagpalagay na nagpasya siyang bibigyan niya ang bawat isa sa kanyang 3 kaibigan ng parehong bilang ng mga mansanas, at itago ang mga mansanas para sa kanyang sarili. Ilang mansanas ang kailangang bilhin ni Vasya kung bibigyan niya ang bawat kaibigan ng isang mansanas? Paano kung? Paano kung sa pamamagitan ng?

Ang pag-asa ng bilang ng mga mansanas na matatanggap ng bawat tao sa kabuuang bilang ng mga mansanas na kailangang bilhin ay ipapahayag ng equation:

• - ang bilang ng mga mansanas na matatanggap ng isang tao (, o, o);
• - ang bilang ng mga mansanas na kukunin ni Vasya para sa kanyang sarili;
• - kung gaano karaming mga mansanas ang kailangang bilhin ni Vasya, isinasaalang-alang ang bilang ng mga mansanas bawat tao.

Ang paglutas ng problemang ito, nakuha namin na kung binibigyan ni Vasya ang isang kaibigan ng isang mansanas, pagkatapos ay kailangan niyang bumili ng mga piraso, kung nagbibigay siya ng mga mansanas - at iba pa.

At sa pangkalahatan. Mayroon kaming dalawang variable. Bakit hindi i-plot ang dependence na ito sa isang graph? Binubuo at minarkahan namin ang halaga namin, iyon ay, mga puntos, na may mga coordinate, at!

Tulad ng nakikita mo, at umaasa sa isa't isa linearly, kaya ang pangalan ng mga equation - " linear».

Nag-abstract kami mula sa mga mansanas at isinasaalang-alang ang magkakaibang mga equation. Tingnang mabuti ang dalawang nabuong mga graph - isang tuwid na linya at isang parabola, na ibinigay ng mga arbitrary na function:

Hanapin at markahan ang mga katumbas na puntos sa parehong mga figure.
Ano ang nakuha mo?

Makikita mo iyon sa graph ng unang function mag-isa tumutugma isa, iyon ay, at linearly na nakasalalay sa bawat isa, na hindi masasabi tungkol sa pangalawang function. Siyempre, maaari mong tutulan iyon sa pangalawang graph, ang x ay tumutugma din sa - , ngunit ito ay isang punto lamang, iyon ay, isang espesyal na kaso, dahil maaari ka pa ring makahanap ng isa na tumutugma sa higit sa isa. At ang itinayong graph ay hindi kahawig ng isang linya sa anumang paraan, ngunit ito ay isang parabola.

Uulitin ko, isang beses pa: ang graph ng isang linear equation ay dapat na isang STRAIGHT line.

Sa katotohanan na ang equation ay hindi magiging linear, kung pupunta tayo sa anumang lawak - ito ay naiintindihan gamit ang halimbawa ng isang parabola, bagaman para sa iyong sarili maaari kang bumuo ng ilang mas simpleng mga graph, halimbawa o. Ngunit sinisiguro ko sa iyo - wala sa mga ito ang magiging tuwid na LINE.

Huwag magtiwala? Bumuo at pagkatapos ay ihambing sa kung ano ang nakuha ko:

At ano ang mangyayari kung hatiin natin ang isang bagay sa, halimbawa, ilang numero? Magkakaroon ba ng linear dependence at? Hindi kami magtatalo, ngunit bubuo kami! Halimbawa, mag-plot tayo ng function graph.

Kahit papaano ay hindi ito mukhang isang tuwid na linya na binuo ... ayon dito, ang equation ay hindi linear.
Ibuod natin:

1. Linear Equation - ay isang algebraic equation kung saan ang kabuuang antas ng mga constituent polynomial nito ay pantay.
2. Linear Equation na may isang variable ay mukhang:
   , kung saan at ang anumang mga numero;
   Linear Equation na may dalawang variable:
   , kung saan, at anumang mga numero.
3. Hindi laging posible na matukoy kung ang isang equation ay linear o hindi. Minsan, upang maunawaan ito, kinakailangan na magsagawa ng magkatulad na mga pagbabagong-anyo, ilipat ang magkatulad na mga termino sa kaliwa / kanan, hindi nakakalimutang baguhin ang tanda, o i-multiply / hatiin ang parehong bahagi ng equation sa parehong numero.

LINEAR NA EQUATION. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

1. Linear equation

Ito ay isang algebraic equation kung saan ang kabuuang antas ng mga constituent polynomial nito ay pantay.

2. Linear equation na may isang variable mukhang:

Saan at anumang mga numero;

3. Linear equation na may dalawang variable mukhang:

Saan, at anumang mga numero.

4. Mga pagbabago sa pagkakakilanlan

Upang matukoy kung ang equation ay linear o hindi, kinakailangan na gumawa ng magkatulad na pagbabagong-anyo:

• ilipat pakaliwa/kanan tulad ng mga termino, hindi nakakalimutang baguhin ang sign;
• i-multiply/divide ang magkabilang panig ng equation sa parehong numero.

Ang pag-aaral sa paglutas ng mga equation ay isa sa mga pangunahing gawain na ibinibigay ng algebra sa mga mag-aaral. Simula sa pinakasimple, kapag ito ay binubuo ng isang hindi alam, at lumipat sa mas at mas kumplikado. Kung hindi mo pa pinagkadalubhasaan ang mga aksyon na isasagawa sa mga equation mula sa unang pangkat, magiging mahirap na makitungo sa iba.

Upang ipagpatuloy ang pag-uusap, kailangan nating magkasundo sa notasyon.

Pangkalahatang anyo ng isang linear equation na may isang hindi alam at ang prinsipyo ng solusyon nito

Anumang equation na maaaring isulat tulad nito:

a * x = sa,

tinawag linear. Ito ang pangkalahatang formula. Ngunit kadalasan sa mga takdang-aralin, ang mga linear na equation ay nakasulat sa isang implicit na anyo. Pagkatapos ay kinakailangan na magsagawa ng magkatulad na mga pagbabago upang makakuha ng pangkalahatang tinatanggap na notasyon. Kasama sa mga pagkilos na ito ang:

• pambungad na mga bracket;
• paglipat ng lahat ng termino na may variable na halaga sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, at ang iba pa sa kanan;
• pagbabawas ng mga katulad na termino.

Sa kaso kapag ang isang hindi kilalang halaga ay nasa denominator ng isang fraction, kinakailangan upang matukoy ang mga halaga nito kung saan ang expression ay hindi magkakaroon ng kahulugan. Sa madaling salita, dapat itong malaman ang domain ng equation.

Ang prinsipyo kung saan nalutas ang lahat ng mga linear na equation ay upang hatiin ang halaga sa kanang bahagi ng equation sa pamamagitan ng coefficient sa harap ng variable. Ibig sabihin, ang "x" ay magiging katumbas ng / a.

Mga partikular na kaso ng isang linear equation at ang kanilang mga solusyon

Sa panahon ng pangangatwiran, maaaring may mga sandali kapag ang mga linear na equation ay nasa isa sa mga espesyal na anyo. Ang bawat isa sa kanila ay may isang tiyak na solusyon.

Sa unang sitwasyon:

a * x = 0, at isang ≠ 0.

Ang solusyon sa equation na ito ay palaging x = 0.

Sa pangalawang kaso, kinukuha ng "a" ang halaga na katumbas ng zero:

0 * x = 0.

Ang sagot sa equation na ito ay anumang numero. Iyon ay, mayroon itong walang katapusang bilang ng mga ugat.

Ang ikatlong sitwasyon ay ganito ang hitsura:

0*x=in, kung saan sa ≠ 0.

Walang saysay ang equation na ito. Dahil walang mga ugat na nagbibigay-kasiyahan sa kanya.

Pangkalahatang anyo ng isang linear equation na may dalawang variable

Mula sa pangalan nito ay nagiging malinaw na mayroon nang dalawang hindi kilalang dami sa loob nito. Mga Linear Equation na may Dalawang Variable ganito ang hitsura:

a * x + b * y = c.

Dahil may dalawang hindi alam sa entry, ang sagot ay magmumukhang isang pares ng mga numero. Iyon ay, hindi sapat na tukuyin lamang ang isang halaga. Ito ay magiging isang hindi kumpletong sagot. Ang pares ng mga dami kung saan ang equation ay naging isang pagkakakilanlan ay isang solusyon sa equation. Bukod dito, sa sagot, ang variable na nauuna sa alpabeto ay palaging nakasulat sa unang pagkakataon. Minsan sinasabi na ang mga numerong ito ay nagbibigay-kasiyahan sa kanya. Bukod dito, maaaring mayroong isang walang katapusang bilang ng mga naturang pares.

Paano malutas ang isang linear equation na may dalawang hindi alam?

Upang gawin ito, kailangan mo lamang kunin ang anumang pares ng mga numero na lumalabas na tama. Para sa pagiging simple, maaari mong kunin ang isa sa mga hindi alam na katumbas ng ilang prime number, at pagkatapos ay hanapin ang pangalawa.

Kapag nag-solve, madalas kang kailangang magsagawa ng mga aksyon para gawing simple ang equation. Ang mga ito ay tinatawag na magkatulad na pagbabago. Bukod dito, ang mga sumusunod na katangian ay palaging totoo para sa mga equation:

• ang bawat termino ay maaaring ilipat sa tapat na bahagi ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagpapalit ng sign nito ng kabaligtaran;
• ang kaliwa at kanang bahagi ng anumang equation ay pinapayagan na hatiin sa parehong numero, kung ito ay hindi katumbas ng zero.

Mga halimbawa ng mga gawain na may mga linear na equation

Unang gawain. Lutasin ang mga linear na equation: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Sa equation na mauna sa listahang ito, sapat na na hatiin lang ang 20 sa 4. Ang magiging resulta ay 5. Ito ang sagot: x \u003d 5.

Ang ikatlong equation ay nangangailangan na ang pagbabago ng pagkakakilanlan ay maisagawa. Ito ay binubuo sa pagbubukas ng mga bracket at pagdadala ng mga katulad na termino. Pagkatapos ng unang aksyon, ang equation ay kukuha ng form: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Pagkatapos ay kailangan mong ilipat ang lahat ng hindi alam sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, at ang natitira sa kanan. Magiging ganito ang equation: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. Pagkatapos magdala ng mga katulad na termino: 14x \u003d 16. Ngayon ay kapareho ito ng una, at madali ang solusyon nito. Ang sagot ay x=8/7. Ngunit sa matematika ito ay dapat na ihiwalay ang buong bahagi mula sa isang hindi wastong fraction. Pagkatapos ang resulta ay mababago, at ang "x" ay magiging katumbas ng isang buo at isang ikapito.

Sa natitirang mga halimbawa, ang mga variable ay nasa denominator. Nangangahulugan ito na kailangan mo munang malaman kung anong mga halaga ang tinukoy ng mga equation. Upang gawin ito, kailangan mong ibukod ang mga numero kung saan ang mga denominator ay nagiging zero. Sa una sa mga halimbawa ito ay "-4", sa pangalawa ito ay "-3". Iyon ay, ang mga halagang ito ay dapat na hindi kasama sa sagot. Pagkatapos nito, kailangan mong i-multiply ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng mga expression sa denominator.

Ang pagbubukas ng mga bracket at pagdadala ng mga katulad na termino, sa una sa mga equation na ito ay lumalabas: 5x + 15 = 4x + 16, at sa pangalawang 5x + 15 = 4x + 12. Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, ang solusyon sa unang equation ay magiging x = -1. Ang pangalawa ay lumalabas na katumbas ng "-3", na nangangahulugan na ang huli ay walang mga solusyon.

Pangalawang gawain. Lutasin ang equation: -7x + 2y = 5.

Ipagpalagay na ang unang hindi kilalang x \u003d 1, kung gayon ang equation ay kukuha ng anyo -7 * 1 + 2y \u003d 5. Ang paglilipat ng multiplier "-7" sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay at pagpapalit ng sign nito sa plus, lumiliko ito out na 2y \u003d 12. Kaya, y =6. Sagot: isa sa mga solusyon ng equation x = 1, y = 6.

Pangkalahatang anyo ng hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable

Ang lahat ng posibleng sitwasyon para sa hindi pagkakapantay-pantay ay ipinakita dito:

• a * x > b;
• a*x< в;
• a*x ≥v;
• a * x ≤c.

Sa pangkalahatan, mukhang ang pinakasimpleng linear equation, ang pantay na tanda lamang ang pinalitan ng hindi pagkakapantay-pantay.

Mga panuntunan para sa magkatulad na pagbabago ng hindi pagkakapantay-pantay

Tulad ng mga linear na equation, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring baguhin ayon sa ilang mga batas. Bumaba sila dito:

1. anumang literal o numeric na expression ay maaaring idagdag sa kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, at ang inequality sign ay mananatiling pareho;
2. posible rin na i-multiply o hatiin sa parehong positibong numero, mula dito muli ang tanda ay hindi nagbabago;
3. kapag nag-multiply o naghahati sa parehong negatibong numero, ang pagkakapantay-pantay ay mananatiling totoo, sa kondisyon na ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay baligtad.

Pangkalahatang anyo ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay

Sa mga gawain, maaaring ipakita ang mga sumusunod na variant ng hindi pagkakapantay-pantay:

• sa< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• sa< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Tinatawag itong doble dahil nalilimitahan ito ng mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay sa magkabilang panig. Ito ay malulutas gamit ang parehong mga patakaran tulad ng karaniwang hindi pagkakapantay-pantay. At ang paghahanap ng sagot ay nagmumula sa isang serye ng magkatulad na pagbabago. Hanggang sa makuha ang pinakasimple.

Mga tampok ng paglutas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay

Ang una sa mga ito ay ang imahe nito sa coordinate axis. Hindi na kailangang gamitin ang paraang ito para sa mga simpleng hindi pagkakapantay-pantay. Ngunit sa mahihirap na kaso, maaaring kailangan lang.

Upang ilarawan ang hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangang markahan sa axis ang lahat ng mga puntos na nakuha sa panahon ng pangangatwiran. Ang mga ito ay parehong hindi wastong mga halaga, na tinutukoy ng mga tuldok, at mga halaga mula sa mga hindi pagkakapantay-pantay na nakuha pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo. Dito, din, mahalaga na iguhit nang tama ang mga puntos. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kung gayon< или >, pagkatapos ang mga halagang ito ay mabutas. Sa mga hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang mga punto ay dapat lagyan ng kulay.

Pagkatapos ito ay kinakailangan upang ipahiwatig ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay. Ito ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpisa o mga arko. Ang kanilang intersection ay magsasaad ng sagot.

Ang pangalawang tampok ay nauugnay sa pag-record nito. Dalawang pagpipilian ang inaalok dito. Ang una ay ang tunay na hindi pagkakapantay-pantay. Ang pangalawa ay nasa anyo ng mga gaps. Dito siya nagkakagulo. Ang sagot sa mga gaps ay palaging mukhang isang variable na may tanda ng pagmamay-ari at mga panaklong na may mga numero. Minsan mayroong ilang mga puwang, pagkatapos ay kailangan mong isulat ang simbolo na "at" sa pagitan ng mga bracket. Ang mga palatandaang ito ay ganito ang hitsura: ∈ at ∩. May papel din ang mga spacing bracket. Ang pag-ikot ay inilalagay kapag ang punto ay hindi kasama sa sagot, at hugis-parihaba ang halagang ito. Ang infinity sign ay palaging nasa panaklong.

Mga halimbawa ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay

1. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 7 - 5x ≥ 37.

Pagkatapos ng mga simpleng pagbabago, lumalabas na: -5x ≥ 30. Ang paghahati sa "-5", maaari mong makuha ang sumusunod na expression: x ≤ -6. Isa na itong sagot, ngunit maaari itong isulat sa ibang paraan: x ∈ (-∞; -6].

2. Lutasin ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay -4< 2x + 6 ≤ 8.

Una kailangan mong ibawas ang 6 sa lahat ng dako. Ito ay lumabas: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Ang mga sistema ng equation ay malawakang ginagamit sa industriya ng ekonomiya sa matematikal na pagmomodelo ng iba't ibang proseso. Halimbawa, kapag nilulutas ang mga problema sa pamamahala at pagpaplano ng produksyon, mga ruta ng logistik (problema sa transportasyon) o paglalagay ng kagamitan.

Ang mga sistema ng equation ay ginagamit hindi lamang sa larangan ng matematika, kundi pati na rin sa pisika, kimika at biology, kapag nilulutas ang mga problema sa paghahanap ng laki ng populasyon.

Ang isang sistema ng mga linear na equation ay isang termino para sa dalawa o higit pang mga equation na may ilang mga variable kung saan ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang karaniwang solusyon. Ang ganitong pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang lahat ng mga equation ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay o nagpapatunay na ang pagkakasunod-sunod ay hindi umiiral.

Linear Equation

Ang mga equation ng anyong ax+by=c ay tinatawag na linear. Ang mga pagtatalagang x, y ay ang mga hindi alam, ang halaga nito ay dapat matagpuan, b, a ay ang mga coefficient ng mga variable, c ay ang libreng termino ng equation.
Ang paglutas ng equation sa pamamagitan ng paglalagay ng graph nito ay magmumukhang isang tuwid na linya, ang lahat ng mga punto ay ang solusyon ng polynomial.

Mga uri ng mga sistema ng mga linear na equation

Ang pinakasimple ay mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable na X at Y.

F1(x, y) = 0 at F2(x, y) = 0, kung saan F1,2 ay function at (x, y) ay function variable.

Lutasin ang isang sistema ng mga equation - nangangahulugan ito ng paghahanap ng mga ganoong halaga (x, y) kung saan ang sistema ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay, o upang maitaguyod na walang angkop na mga halaga ng x at y.

Ang isang pares ng mga halaga (x, y), na isinulat bilang mga coordinate ng punto, ay tinatawag na solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation.

Kung ang mga sistema ay may isang karaniwang solusyon o walang solusyon, ang mga ito ay tinatawag na katumbas.

Ang mga homogenous na sistema ng mga linear equation ay mga sistema na ang kanang bahagi ay katumbas ng zero. Kung ang tamang bahagi pagkatapos ng "pantay" na tanda ay may halaga o ipinahayag ng isang function, ang naturang sistema ay hindi homogenous.

Ang bilang ng mga variable ay maaaring higit sa dalawa, pagkatapos ay dapat nating pag-usapan ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear equation na may tatlong variable o higit pa.

Nahaharap sa mga sistema, ipinapalagay ng mga mag-aaral na ang bilang ng mga equation ay kinakailangang magkasabay sa bilang ng mga hindi alam, ngunit hindi ito ganoon. Ang bilang ng mga equation sa system ay hindi nakasalalay sa mga variable, maaaring mayroong isang di-makatwirang malaking bilang ng mga ito.

Simple at kumplikadong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation

Walang pangkalahatang analytical na paraan upang malutas ang mga naturang sistema, ang lahat ng mga pamamaraan ay batay sa mga numerical na solusyon. Detalyadong inilalarawan ng kursong pampaaralan ng matematika ang mga pamamaraan tulad ng permutation, algebraic addition, substitution, gayundin ang graphical at matrix method, ang solusyon sa pamamagitan ng Gauss method.

Ang pangunahing gawain sa pagtuturo ng mga pamamaraan ng paglutas ay ang magturo kung paano wastong pag-aralan ang system at hanapin ang pinakamainam na algorithm ng solusyon para sa bawat halimbawa. Ang pangunahing bagay ay hindi kabisaduhin ang isang sistema ng mga patakaran at aksyon para sa bawat pamamaraan, ngunit upang maunawaan ang mga prinsipyo ng paglalapat ng isang partikular na pamamaraan.

Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation ng ika-7 baitang ng pangkalahatang programa sa paaralan ng edukasyon ay medyo simple at ipinaliwanag nang detalyado. Sa anumang aklat-aralin sa matematika, ang bahaging ito ay binibigyan ng sapat na atensyon. Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng Gauss at Cramer ay pinag-aralan nang mas detalyado sa mga unang kurso ng mas mataas na institusyong pang-edukasyon.

Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

Ang mga aksyon ng paraan ng pagpapalit ay naglalayong ipahayag ang halaga ng isang variable hanggang sa pangalawa. Ang expression ay pinapalitan sa natitirang equation, pagkatapos ito ay nabawasan sa isang solong variable na anyo. Ang aksyon ay paulit-ulit depende sa bilang ng mga hindi alam sa system

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation ng ika-7 klase sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang variable na x ay ipinahayag sa pamamagitan ng F(X) = 7 + Y. Ang resultang expression, na pinalitan sa 2nd equation ng system sa halip ng X, ay nakatulong upang makakuha ng isang variable Y sa 2nd equation. . Ang solusyon ng halimbawang ito ay hindi nagdudulot ng mga kahirapan at nagbibigay-daan sa iyong makuha ang halaga ng Y. Ang huling hakbang ay suriin ang mga nakuhang halaga.

Hindi laging posible na lutasin ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagpapalit. Ang mga equation ay maaaring maging kumplikado at ang pagpapahayag ng variable sa mga tuntunin ng pangalawang hindi alam ay magiging masyadong masalimuot para sa karagdagang mga kalkulasyon. Kapag mayroong higit sa 3 hindi alam sa system, ang solusyon sa pagpapalit ay hindi rin praktikal.

Solusyon ng isang halimbawa ng isang sistema ng linear inhomogeneous equation:

Solusyon gamit ang algebraic na karagdagan

Kapag naghahanap ng solusyon sa mga system sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag, ang termino-by-term na pagdaragdag at pagpaparami ng mga equation sa pamamagitan ng iba't ibang mga numero ay isinasagawa. Ang pangwakas na layunin ng mga pagpapatakbo ng matematika ay isang equation na may isang variable.

Ang mga aplikasyon ng paraang ito ay nangangailangan ng pagsasanay at pagmamasid. Hindi madaling lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang paraan ng pagdaragdag na may bilang ng mga variable na 3 o higit pa. Ang pagdaragdag ng algebraic ay kapaki-pakinabang kapag ang mga equation ay naglalaman ng mga fraction at decimal na numero.

Algoritmo ng pagkilos ng solusyon:

1. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa ilang numero. Bilang resulta ng operasyon ng arithmetic, ang isa sa mga coefficient ng variable ay dapat maging katumbas ng 1.
2. Idagdag ang nagresultang termino ng expression sa pamamagitan ng termino at hanapin ang isa sa mga hindi alam.
3. I-substitute ang resultang value sa 2nd equation ng system para mahanap ang natitirang variable.

Pamamaraan ng solusyon sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable

Ang isang bagong variable ay maaaring ipakilala kung ang sistema ay kailangang makahanap ng solusyon para sa hindi hihigit sa dalawang equation, ang bilang ng mga hindi alam ay dapat ding hindi hihigit sa dalawa.

Ang pamamaraan ay ginagamit upang gawing simple ang isa sa mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable. Ang bagong equation ay nalutas na may kinalaman sa ipinasok na hindi alam, at ang resultang halaga ay ginagamit upang matukoy ang orihinal na variable.

Makikita mula sa halimbawa na sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable t, posible na bawasan ang 1st equation ng system sa isang standard square trinomial. Maaari mong lutasin ang isang polynomial sa pamamagitan ng paghahanap ng discriminant.

Kinakailangang hanapin ang halaga ng discriminant gamit ang kilalang formula: D = b2 - 4*a*c, kung saan ang D ay ang nais na discriminant, b, a, c ang mga multiplier ng polynomial. Sa ibinigay na halimbawa, a=1, b=16, c=39, kaya D=100. Kung mas malaki sa zero ang discriminant, mayroong dalawang solusyon: t = -b±√D / 2*a, kung mas mababa sa zero ang discriminant, may isang solusyon lang: x= -b / 2*a.

Ang solusyon para sa mga nagresultang sistema ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.

Isang visual na paraan para sa paglutas ng mga sistema

Angkop para sa mga system na may 3 equation. Ang pamamaraan ay binubuo sa paglalagay ng mga graph ng bawat equation na kasama sa system sa coordinate axis. Ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga curves ang magiging pangkalahatang solusyon ng system.

Ang graphic na pamamaraan ay may isang bilang ng mga nuances. Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa visual na paraan.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, dalawang puntos ang itinayo para sa bawat linya, ang mga halaga ng variable na x ay pinili nang arbitraryo: 0 at 3. Batay sa mga halaga ng x, ang mga halaga para sa y ay natagpuan: 3 at 0. Ang mga puntos na may mga coordinate (0, 3) at (3, 0) ay minarkahan sa graph at ikinonekta ng isang linya.

Ang mga hakbang ay dapat na ulitin para sa pangalawang equation. Ang punto ng intersection ng mga linya ay ang solusyon ng system.

Sa sumusunod na halimbawa, kinakailangan na makahanap ng isang graphical na solusyon sa sistema ng mga linear na equation: 0.5x-y+2=0 at 0.5x-y-1=0.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang sistema ay walang solusyon, dahil ang mga graph ay parallel at hindi nagsalubong sa kanilang buong haba.

Ang mga sistema mula sa Mga Halimbawa 2 at 3 ay magkatulad, ngunit kapag binuo, nagiging malinaw na ang kanilang mga solusyon ay magkaiba. Dapat tandaan na hindi laging posible na sabihin kung ang sistema ay may solusyon o wala, palaging kinakailangan na bumuo ng isang graph.

Matrix at mga varieties nito

Ginagamit ang mga matrice upang maikli ang pagsulat ng isang sistema ng mga linear na equation. Ang matrix ay isang espesyal na uri ng talahanayan na puno ng mga numero. Ang n*m ay may n - row at m - column.

Ang matrix ay parisukat kapag ang bilang ng mga column at row ay pantay. Ang matrix-vector ay isang single-column matrix na may walang katapusang posibleng bilang ng mga row. Ang isang matrix na may mga yunit kasama ang isa sa mga diagonal at iba pang mga zero na elemento ay tinatawag na pagkakakilanlan.

Ang isang kabaligtaran na matrix ay tulad ng isang matrix, kapag pinarami kung saan ang orihinal ay nagiging isang yunit, ang gayong matrix ay umiiral lamang para sa orihinal na parisukat.

Mga panuntunan para sa pagbabago ng isang sistema ng mga equation sa isang matrix

Tungkol sa mga sistema ng mga equation, ang mga coefficient at libreng mga miyembro ng mga equation ay nakasulat bilang mga numero ng matrix, ang isang equation ay isang hilera ng matrix.

Ang isang matrix row ay tinatawag na non-zero kung hindi bababa sa isang elemento ng row ay hindi katumbas ng zero. Samakatuwid, kung sa alinman sa mga equation ang bilang ng mga variable ay naiiba, pagkatapos ito ay kinakailangan upang ipasok ang zero sa lugar ng nawawalang hindi alam.

Ang mga column ng matrix ay dapat na mahigpit na tumutugma sa mga variable. Nangangahulugan ito na ang mga coefficient ng variable x ay maaari lamang isulat sa isang column, halimbawa ang una, ang coefficient ng hindi kilalang y - sa pangalawa lamang.

Kapag nagpaparami ng isang matrix, ang lahat ng mga elemento ng matrix ay sunud-sunod na pinarami ng isang numero.

Mga opsyon para sa paghahanap ng inverse matrix

Ang formula para sa paghahanap ng inverse matrix ay medyo simple: K -1 = 1 / |K|, kung saan ang K -1 ay ang inverse matrix at |K| - determinant ng matrix. |K| hindi dapat katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay may solusyon.

Ang determinant ay madaling kalkulahin para sa isang two-by-two matrix, kinakailangan lamang na i-multiply ang mga elemento nang pahilis sa bawat isa. Para sa opsyong "three by three", mayroong formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Maaari mong gamitin ang formula, o maaari mong tandaan na kailangan mong kumuha ng isang elemento mula sa bawat row at bawat column upang ang mga numero ng column at row ng mga elemento ay hindi na maulit sa produkto.

Solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng matrix method

Ang paraan ng matrix ng paghahanap ng solusyon ay ginagawang posible upang mabawasan ang masalimuot na mga entry kapag nilulutas ang mga sistema na may malaking bilang ng mga variable at equation.

Sa halimbawa, ang isang nm ay ang mga coefficient ng mga equation, ang matrix ay isang vector x n ang mga variable, at ang b n ay ang mga libreng termino.

Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss

Sa mas mataas na matematika, ang Gauss method ay pinag-aaralan kasama ng Cramer method, at ang proseso ng paghahanap ng solusyon sa mga system ay tinatawag na Gauss-Cramer method of solving. Ang mga pamamaraang ito ay ginagamit upang mahanap ang mga variable ng mga sistema na may malaking bilang ng mga linear equation.

Ang pamamaraang Gaussian ay halos kapareho sa mga solusyon sa pagpapalit at algebraic na karagdagan, ngunit mas sistematiko. Sa kurso ng paaralan, ang solusyong Gaussian ay ginagamit para sa mga sistema ng 3 at 4 na equation. Ang layunin ng pamamaraan ay upang dalhin ang sistema sa anyo ng isang baligtad na trapezoid. Sa pamamagitan ng algebraic transformations at substitutions, ang halaga ng isang variable ay matatagpuan sa isa sa mga equation ng system. Ang pangalawang equation ay isang expression na may 2 hindi alam, at 3 at 4 - na may 3 at 4 na variable, ayon sa pagkakabanggit.

Matapos dalhin ang system sa inilarawang anyo, ang karagdagang solusyon ay ibinababa sa sunud-sunod na pagpapalit ng mga kilalang variable sa mga equation ng system.

Sa mga aklat-aralin sa paaralan para sa ika-7 baitang, ang isang halimbawa ng solusyong Gaussian ay inilarawan bilang sumusunod:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, sa hakbang (3) dalawang equation ang nakuha 3x 3 -2x 4 =11 at 3x 3 +2x 4 =7. Ang solusyon ng alinman sa mga equation ay magbibigay-daan sa iyo upang malaman ang isa sa mga variable x n.

Ang Theorem 5, na binanggit sa teksto, ay nagsasaad na kung ang isa sa mga equation ng system ay papalitan ng katumbas, ang resultang sistema ay magiging katumbas din ng orihinal.

Ang pamamaraang Gauss ay mahirap maunawaan ng mga mag-aaral sa gitnang paaralan, ngunit isa ito sa mga pinakakawili-wiling paraan upang mapaunlad ang katalinuhan ng mga batang nag-aaral sa advanced na programa sa pag-aaral sa mga klase sa matematika at pisika.

Para sa kadalian ng pag-record ng mga kalkulasyon, kaugalian na gawin ang mga sumusunod:

Ang mga equation coefficient at libreng termino ay nakasulat sa anyo ng isang matrix, kung saan ang bawat hilera ng matrix ay tumutugma sa isa sa mga equation ng system. naghihiwalay sa kaliwang bahagi ng equation mula sa kanang bahagi. Ang mga numerong Romano ay tumutukoy sa mga bilang ng mga equation sa sistema.

Una, isinulat nila ang matrix kung saan gagana, pagkatapos ay ang lahat ng mga aksyon na isinasagawa sa isa sa mga hilera. Ang resultang matrix ay isinulat pagkatapos ng "arrow" sign at patuloy na isagawa ang mga kinakailangang algebraic operation hanggang sa makamit ang resulta.

Bilang isang resulta, ang isang matrix ay dapat makuha kung saan ang isa sa mga diagonal ay 1, at ang lahat ng iba pang mga coefficient ay katumbas ng zero, iyon ay, ang matrix ay nabawasan sa isang solong anyo. Hindi natin dapat kalimutang gumawa ng mga kalkulasyon sa mga numero ng magkabilang panig ng equation.

Ang notasyong ito ay hindi gaanong masalimuot at nagbibigay-daan sa iyo na huwag magambala sa pamamagitan ng paglilista ng maraming hindi alam.

Ang libreng aplikasyon ng anumang paraan ng solusyon ay mangangailangan ng pangangalaga at isang tiyak na dami ng karanasan. Hindi lahat ng mga pamamaraan ay inilalapat. Ang ilang mga paraan ng paghahanap ng mga solusyon ay mas kanais-nais sa isang partikular na lugar ng aktibidad ng tao, habang ang iba ay umiiral para sa layunin ng pag-aaral.

Ang pag-aaral sa paglutas ng mga equation ay isa sa mga pangunahing gawain na ibinibigay ng algebra sa mga mag-aaral. Simula sa pinakasimple, kapag ito ay binubuo ng isang hindi alam, at lumipat sa mas at mas kumplikado. Kung hindi mo pa pinagkadalubhasaan ang mga aksyon na isasagawa sa mga equation mula sa unang pangkat, magiging mahirap na makitungo sa iba.

Upang ipagpatuloy ang pag-uusap, kailangan nating magkasundo sa notasyon.

Pangkalahatang anyo ng isang linear equation na may isang hindi alam at ang prinsipyo ng solusyon nito

Anumang equation na maaaring isulat tulad nito:

a * x = sa,

tinawag linear. Ito ang pangkalahatang formula. Ngunit kadalasan sa mga takdang-aralin, ang mga linear na equation ay nakasulat sa isang implicit na anyo. Pagkatapos ay kinakailangan na magsagawa ng magkatulad na mga pagbabago upang makakuha ng pangkalahatang tinatanggap na notasyon. Kasama sa mga pagkilos na ito ang:

• pambungad na mga bracket;
• paglipat ng lahat ng termino na may variable na halaga sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, at ang iba pa sa kanan;
• pagbabawas ng mga katulad na termino.

Sa kaso kapag ang isang hindi kilalang halaga ay nasa denominator ng isang fraction, kinakailangan upang matukoy ang mga halaga nito kung saan ang expression ay hindi magkakaroon ng kahulugan. Sa madaling salita, dapat itong malaman ang domain ng equation.

Ang prinsipyo kung saan nalutas ang lahat ng mga linear na equation ay upang hatiin ang halaga sa kanang bahagi ng equation sa pamamagitan ng coefficient sa harap ng variable. Ibig sabihin, ang "x" ay magiging katumbas ng / a.

Mga partikular na kaso ng isang linear equation at ang kanilang mga solusyon

Sa panahon ng pangangatwiran, maaaring may mga sandali kapag ang mga linear na equation ay nasa isa sa mga espesyal na anyo. Ang bawat isa sa kanila ay may isang tiyak na solusyon.

Sa unang sitwasyon:

a * x = 0, at isang ≠ 0.

Ang solusyon sa equation na ito ay palaging x = 0.

Sa pangalawang kaso, kinukuha ng "a" ang halaga na katumbas ng zero:

0 * x = 0.

Ang sagot sa equation na ito ay anumang numero. Iyon ay, mayroon itong walang katapusang bilang ng mga ugat.

Ang ikatlong sitwasyon ay ganito ang hitsura:

0*x=in, kung saan sa ≠ 0.

Walang saysay ang equation na ito. Dahil walang mga ugat na nagbibigay-kasiyahan sa kanya.

Pangkalahatang anyo ng isang linear equation na may dalawang variable

Mula sa pangalan nito ay nagiging malinaw na mayroon nang dalawang hindi kilalang dami sa loob nito. Mga Linear Equation na may Dalawang Variable ganito ang hitsura:

a * x + b * y = c.

Dahil may dalawang hindi alam sa entry, ang sagot ay magmumukhang isang pares ng mga numero. Iyon ay, hindi sapat na tukuyin lamang ang isang halaga. Ito ay magiging isang hindi kumpletong sagot. Ang pares ng mga dami kung saan ang equation ay naging isang pagkakakilanlan ay isang solusyon sa equation. Bukod dito, sa sagot, ang variable na nauuna sa alpabeto ay palaging nakasulat sa unang pagkakataon. Minsan sinasabi na ang mga numerong ito ay nagbibigay-kasiyahan sa kanya. Bukod dito, maaaring mayroong isang walang katapusang bilang ng mga naturang pares.

Paano malutas ang isang linear equation na may dalawang hindi alam?

Upang gawin ito, kailangan mo lamang kunin ang anumang pares ng mga numero na lumalabas na tama. Para sa pagiging simple, maaari mong kunin ang isa sa mga hindi alam na katumbas ng ilang prime number, at pagkatapos ay hanapin ang pangalawa.

Kapag nag-solve, madalas kang kailangang magsagawa ng mga aksyon para gawing simple ang equation. Ang mga ito ay tinatawag na magkatulad na pagbabago. Bukod dito, ang mga sumusunod na katangian ay palaging totoo para sa mga equation:

• ang bawat termino ay maaaring ilipat sa tapat na bahagi ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pagpapalit ng sign nito ng kabaligtaran;
• ang kaliwa at kanang bahagi ng anumang equation ay pinapayagan na hatiin sa parehong numero, kung ito ay hindi katumbas ng zero.

Mga halimbawa ng mga gawain na may mga linear na equation

Unang gawain. Lutasin ang mga linear na equation: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Sa equation na mauna sa listahang ito, sapat na na hatiin lang ang 20 sa 4. Ang magiging resulta ay 5. Ito ang sagot: x \u003d 5.

Ang ikatlong equation ay nangangailangan na ang pagbabago ng pagkakakilanlan ay maisagawa. Ito ay binubuo sa pagbubukas ng mga bracket at pagdadala ng mga katulad na termino. Pagkatapos ng unang aksyon, ang equation ay kukuha ng form: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Pagkatapos ay kailangan mong ilipat ang lahat ng hindi alam sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, at ang natitira sa kanan. Magiging ganito ang equation: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. Pagkatapos magdala ng mga katulad na termino: 14x \u003d 16. Ngayon ay kapareho ito ng una, at madali ang solusyon nito. Ang sagot ay x=8/7. Ngunit sa matematika ito ay dapat na ihiwalay ang buong bahagi mula sa isang hindi wastong fraction. Pagkatapos ang resulta ay mababago, at ang "x" ay magiging katumbas ng isang buo at isang ikapito.

Sa natitirang mga halimbawa, ang mga variable ay nasa denominator. Nangangahulugan ito na kailangan mo munang malaman kung anong mga halaga ang tinukoy ng mga equation. Upang gawin ito, kailangan mong ibukod ang mga numero kung saan ang mga denominator ay nagiging zero. Sa una sa mga halimbawa ito ay "-4", sa pangalawa ito ay "-3". Iyon ay, ang mga halagang ito ay dapat na hindi kasama sa sagot. Pagkatapos nito, kailangan mong i-multiply ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng mga expression sa denominator.

Ang pagbubukas ng mga bracket at pagdadala ng mga katulad na termino, sa una sa mga equation na ito ay lumalabas: 5x + 15 = 4x + 16, at sa pangalawang 5x + 15 = 4x + 12. Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, ang solusyon sa unang equation ay magiging x = -1. Ang pangalawa ay lumalabas na katumbas ng "-3", na nangangahulugan na ang huli ay walang mga solusyon.

Pangalawang gawain. Lutasin ang equation: -7x + 2y = 5.

Ipagpalagay na ang unang hindi kilalang x \u003d 1, kung gayon ang equation ay kukuha ng anyo -7 * 1 + 2y \u003d 5. Ang paglilipat ng multiplier "-7" sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay at pagpapalit ng sign nito sa plus, lumiliko ito out na 2y \u003d 12. Kaya, y =6. Sagot: isa sa mga solusyon ng equation x = 1, y = 6.

Pangkalahatang anyo ng hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable

Ang lahat ng posibleng sitwasyon para sa hindi pagkakapantay-pantay ay ipinakita dito:

• a * x > b;
• a*x< в;
• a*x ≥v;
• a * x ≤c.

Sa pangkalahatan, mukhang ang pinakasimpleng linear equation, ang pantay na tanda lamang ang pinalitan ng hindi pagkakapantay-pantay.

Mga panuntunan para sa magkatulad na pagbabago ng hindi pagkakapantay-pantay

Tulad ng mga linear na equation, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring baguhin ayon sa ilang mga batas. Bumaba sila dito:

1. anumang literal o numeric na expression ay maaaring idagdag sa kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, at ang inequality sign ay mananatiling pareho;
2. posible rin na i-multiply o hatiin sa parehong positibong numero, mula dito muli ang tanda ay hindi nagbabago;
3. kapag nag-multiply o naghahati sa parehong negatibong numero, ang pagkakapantay-pantay ay mananatiling totoo, sa kondisyon na ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay baligtad.

Pangkalahatang anyo ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay

Sa mga gawain, maaaring ipakita ang mga sumusunod na variant ng hindi pagkakapantay-pantay:

• sa< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• sa< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Tinatawag itong doble dahil nalilimitahan ito ng mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay sa magkabilang panig. Ito ay malulutas gamit ang parehong mga patakaran tulad ng karaniwang hindi pagkakapantay-pantay. At ang paghahanap ng sagot ay nagmumula sa isang serye ng magkatulad na pagbabago. Hanggang sa makuha ang pinakasimple.

Mga tampok ng paglutas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay

Ang una sa mga ito ay ang imahe nito sa coordinate axis. Hindi na kailangang gamitin ang paraang ito para sa mga simpleng hindi pagkakapantay-pantay. Ngunit sa mahihirap na kaso, maaaring kailangan lang.

Upang ilarawan ang hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangang markahan sa axis ang lahat ng mga puntos na nakuha sa panahon ng pangangatwiran. Ang mga ito ay parehong hindi wastong mga halaga, na tinutukoy ng mga tuldok, at mga halaga mula sa mga hindi pagkakapantay-pantay na nakuha pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo. Dito, din, mahalaga na iguhit nang tama ang mga puntos. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kung gayon< или >, pagkatapos ang mga halagang ito ay mabutas. Sa mga hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang mga punto ay dapat lagyan ng kulay.

Pagkatapos ito ay kinakailangan upang ipahiwatig ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay. Ito ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpisa o mga arko. Ang kanilang intersection ay magsasaad ng sagot.

Ang pangalawang tampok ay nauugnay sa pag-record nito. Dalawang pagpipilian ang inaalok dito. Ang una ay ang tunay na hindi pagkakapantay-pantay. Ang pangalawa ay nasa anyo ng mga gaps. Dito siya nagkakagulo. Ang sagot sa mga gaps ay palaging mukhang isang variable na may tanda ng pagmamay-ari at mga panaklong na may mga numero. Minsan mayroong ilang mga puwang, pagkatapos ay kailangan mong isulat ang simbolo na "at" sa pagitan ng mga bracket. Ang mga palatandaang ito ay ganito ang hitsura: ∈ at ∩. May papel din ang mga spacing bracket. Ang pag-ikot ay inilalagay kapag ang punto ay hindi kasama sa sagot, at hugis-parihaba ang halagang ito. Ang infinity sign ay palaging nasa panaklong.

Mga halimbawa ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay

1. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 7 - 5x ≥ 37.

Pagkatapos ng mga simpleng pagbabago, lumalabas na: -5x ≥ 30. Ang paghahati sa "-5", maaari mong makuha ang sumusunod na expression: x ≤ -6. Isa na itong sagot, ngunit maaari itong isulat sa ibang paraan: x ∈ (-∞; -6].

2. Lutasin ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay -4< 2x + 6 ≤ 8.

Una kailangan mong ibawas ang 6 sa lahat ng dako. Ito ay lumabas: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

At iba pa, lohikal na pamilyar sa mga equation ng iba pang mga uri. Ang susunod sa linya ay linear na equation, ang may layuning pag-aaral na nagsisimula sa mga aralin sa algebra sa ika-7 baitang.

Malinaw na kailangan mo munang ipaliwanag kung ano ang isang linear equation, magbigay ng isang kahulugan ng isang linear equation, ang mga coefficient nito, ipakita ang pangkalahatang anyo nito. Pagkatapos ay maaari mong malaman kung gaano karaming mga solusyon ang mayroon ang isang linear equation depende sa mga halaga ng mga coefficient, at kung paano matatagpuan ang mga ugat. Ito ay magbibigay-daan sa iyo na magpatuloy sa paglutas ng mga halimbawa, at sa gayon ay pagsamahin ang pinag-aralan na teorya. Sa artikulong ito gagawin natin ito: tatalakayin natin nang detalyado ang lahat ng teoretikal at praktikal na mga punto tungkol sa mga linear na equation at ang kanilang solusyon.

Sabihin natin kaagad na dito ay isasaalang-alang lamang natin ang mga linear na equation na may isang variable, at sa isang hiwalay na artikulo ay pag-aaralan natin ang mga prinsipyo ng paglutas linear equation sa dalawang variable.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang isang linear equation?

Ang kahulugan ng isang linear equation ay ibinibigay sa pamamagitan ng anyo ng notasyon nito. Bukod dito, sa iba't ibang mga aklat-aralin ng matematika at algebra, ang mga pormulasyon ng mga kahulugan ng mga linear na equation ay may ilang mga pagkakaiba na hindi nakakaapekto sa kakanyahan ng isyu.

Halimbawa, sa isang algebra textbook para sa grade 7 ni Yu. N. Makarycheva at iba pa, ang isang linear equation ay tinukoy bilang sumusunod:

Kahulugan.

Uri ng equation ax=b, kung saan ang x ay isang variable, ang a at b ay ilang mga numero, ay tinatawag linear equation na may isang variable.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga linear na equation na tumutugma sa tininigan na kahulugan. Halimbawa, ang 5 x=10 ay isang linear equation na may isang variable x , dito ang coefficient a ay 5 , at ang bilang b ay 10 . Isa pang halimbawa: −2.3 y=0 ay isa ring linear na equation, ngunit may variable na y , kung saan ang a=−2.3 at b=0 . At sa mga linear na equation x=−2 at −x=3.33 a ay hindi tahasang naroroon at katumbas ng 1 at −1, ayon sa pagkakabanggit, habang sa unang equation b=−2 at sa pangalawa - b=3.33 .

At isang taon bago nito, sa aklat-aralin ng matematika ni N. Ya. Vilenkin, ang mga linear na equation na may isang hindi kilalang, bilang karagdagan sa mga equation ng form a x = b, ay itinuturing din na mga equation na maaaring mabawasan sa form na ito sa pamamagitan ng paglilipat ng mga termino mula sa isa. bahagi ng equation sa isa pang may kabaligtaran na tanda, gayundin sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga katulad na termino. Ayon sa kahulugang ito, ang mga equation ng form 5 x=2 x+6 , atbp. ay linear din.

Sa turn, ang sumusunod na kahulugan ay ibinigay sa algebra textbook para sa 7 klase ni A. G. Mordkovich:

Kahulugan.

Linear equation na may isang variable x ay isang equation ng form a x+b=0 , kung saan ang a at b ay ilang mga numero, na tinatawag na coefficients ng linear equation.

Halimbawa, ang mga linear na equation ng ganitong uri ay 2 x−12=0, dito ang coefficient a ay katumbas ng 2, at b ay katumbas ng −12, at 0.2 y+4.6=0 na may coefficients a=0.2 at b =4.6. Ngunit sa parehong oras, may mga halimbawa ng mga linear na equation na may anyo na hindi a x+b=0 , ngunit a x=b , halimbawa, 3 x=12 .

Tayo, upang wala tayong anumang mga pagkakaiba sa hinaharap, sa ilalim ng isang linear na equation na may isang variable na x at mga coefficients a at b mauunawaan natin ang isang equation ng form a x+b=0 . Ang ganitong uri ng linear equation ay tila ang pinaka-makatwiran, dahil ang mga linear equation ay algebraic equation unang degree. At ang lahat ng iba pang mga equation na ipinahiwatig sa itaas, pati na rin ang mga equation na nabawasan sa anyo ng isang x+b=0 sa tulong ng mga katumbas na pagbabago, ay tatawagin mga equation na bumabawas sa mga linear na equation. Sa diskarteng ito, ang equation na 2 x+6=0 ay isang linear na equation, at 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, atbp. ay mga linear equation.

Paano malutas ang mga linear na equation?

Ngayon ay oras na upang malaman kung paano nalutas ang mga linear na equation na isang x+b=0. Sa madaling salita, oras na upang malaman kung ang linear equation ay may mga ugat, at kung gayon, ilan at kung paano mahahanap ang mga ito.

Ang pagkakaroon ng mga ugat ng isang linear equation ay nakasalalay sa mga halaga ng mga coefficient a at b. Sa kasong ito, ang linear equation a x+b=0 ay mayroon

• ang tanging ugat sa a≠0 ,
• ay walang mga ugat para sa a=0 at b≠0 ,
• ay may walang katapusang maraming ugat para sa a=0 at b=0 , kung saan ang anumang numero ay ugat ng isang linear equation.

Ipaliwanag natin kung paano nakuha ang mga resultang ito.

Alam natin na upang malutas ang mga equation, posibleng lumipat mula sa orihinal na equation patungo sa mga katumbas na equation, iyon ay, sa mga equation na may parehong mga ugat o, tulad ng orihinal, na walang mga ugat. Upang gawin ito, maaari mong gamitin ang mga sumusunod na katumbas na pagbabago:

• paglipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda,
• at din multiply o paghahati sa magkabilang panig ng equation sa parehong di-zero na numero.

Kaya, sa isang linear equation na may isang variable ng form na a x+b=0, maaari nating ilipat ang terminong b mula sa kaliwang bahagi patungo sa kanang bahagi na may kabaligtaran na tanda. Sa kasong ito, ang equation ay kukuha ng anyo a x=−b.

At pagkatapos ay ang paghahati ng parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng numero a ay nagmumungkahi ng sarili nito. Ngunit mayroong isang bagay: ang numero a ay maaaring katumbas ng zero, kung saan imposible ang gayong dibisyon. Upang harapin ang problemang ito, ipagpalagay muna natin na ang numero a ay iba sa zero, at isaalang-alang ang kaso ng zero a nang hiwalay sa ibang pagkakataon.

Kaya, kapag ang a ay hindi katumbas ng zero, maaari nating hatiin ang parehong bahagi ng equation a x=−b ng a , pagkatapos nito ay ma-convert sa anyo x=(−b): a , ang resultang ito ay maaaring isulat gamit ang a solidong linya bilang .

Kaya, para sa a≠0, ang linear na equation na a·x+b=0 ay katumbas ng equation , kung saan makikita ang ugat nito.

Madaling ipakita na ang ugat na ito ay natatangi, ibig sabihin, ang linear equation ay walang ibang mga ugat. Pinapayagan ka nitong gawin ang kabaligtaran na pamamaraan.

Tukuyin natin ang ugat bilang x 1 . Ipagpalagay na mayroong isa pang ugat ng linear equation, na tinutukoy natin x 2, at x 2 ≠ x 1, na, dahil sa mga kahulugan ng pantay na mga numero sa pamamagitan ng pagkakaiba ay katumbas ng kundisyon x 1 − x 2 ≠0 . Dahil ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng linear equation a x+b=0, kung gayon ang mga numerical equalities na a x 1 +b=0 at a x 2 +b=0 ay magaganap. Maaari nating ibawas ang mga katumbas na bahagi ng mga pagkakapantay-pantay na ito, na pinahihintulutan sa atin ng mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay na numero, mayroon tayong x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , kung saan a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 at pagkatapos ay a (x 1 − x 2)=0 . At ang pagkakapantay-pantay na ito ay imposible, dahil pareho ang a≠0 at x 1 − x 2 ≠0. Kaya tayo ay dumating sa isang kontradiksyon, na nagpapatunay sa pagiging natatangi ng ugat ng linear equation a·x+b=0 para sa a≠0 .

Kaya't nalutas namin ang linear equation a x+b=0 na may a≠0 . Ang unang resulta na ibinigay sa simula ng subsection na ito ay makatwiran. May dalawa pang nakakatugon sa kundisyon a=0 .

Para sa a=0 ang linear equation na a·x+b=0 ay nagiging 0·x+b=0 . Mula sa equation na ito at sa pag-aari ng pag-multiply ng mga numero sa zero, sumusunod na kahit anong numero ang kunin natin bilang x, kapag pinalitan natin ito sa equation na 0 x+b=0, nakukuha natin ang numerical equality b=0. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo kapag b=0 , at sa ibang mga kaso kapag b≠0 ang pagkakapantay-pantay na ito ay mali.

Samakatuwid, na may a=0 at b=0, anumang numero ang ugat ng linear equation a x+b=0, dahil sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang pagpapalit ng anumang numero sa halip na x ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero 0=0. At para sa a=0 at b≠0, ang linear equation na a x+b=0 ay walang mga ugat, dahil sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang pagpapalit ng anumang numero sa halip na x ay humahantong sa isang maling numerical equality b=0.

Ginagawang posible ng mga katwiran sa itaas na bumuo ng isang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na nagpapahintulot sa paglutas ng anumang linear equation. Kaya, algorithm para sa paglutas ng isang linear equation ay:

• Una, sa pamamagitan ng pagsulat ng isang linear na equation, makikita natin ang mga halaga ng mga coefficient a at b.
• Kung a=0 at b=0 , kung gayon ang equation na ito ay may walang katapusang maraming mga ugat, ibig sabihin, ang anumang numero ay isang ugat ng linear na equation na ito.
• Kung ang a ay iba sa zero, kung gayon
• ang koepisyent b ay inililipat sa kanang bahagi na may kabaligtaran na tanda, habang ang linear na equation ay binago sa anyo a x=−b ,
• pagkatapos kung saan ang parehong bahagi ng resultang equation ay hinati sa isang di-zero na numero a, na nagbibigay ng nais na ugat ng orihinal na linear equation.

Ang nakasulat na algorithm ay isang kumpletong sagot sa tanong kung paano malutas ang mga linear na equation.

Sa konklusyon ng talatang ito, nararapat na sabihin na ang isang katulad na algorithm ay ginagamit upang malutas ang mga equation ng form a x=b. Ang pagkakaiba nito ay nakasalalay sa katotohanan na kapag ang a≠0, ang parehong bahagi ng equation ay agad na hinati sa numerong ito, narito ang b ay nasa nais na bahagi ng equation at hindi na ito kailangang ilipat.

Upang malutas ang mga equation ng form a x=b, ang sumusunod na algorithm ay ginagamit:

• Kung a=0 at b=0 , kung gayon ang equation ay may walang katapusang maraming ugat, na anumang mga numero.
• Kung a=0 at b≠0 , kung gayon ang orihinal na equation ay walang mga ugat.
• Kung ang a ay hindi zero, kung gayon ang magkabilang panig ng equation ay nahahati sa isang di-zero na numero a, kung saan matatagpuan ang tanging ugat ng equation na katumbas ng b / a.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga linear equation

Magpatuloy tayo sa pagsasanay. Suriin natin kung paano inilapat ang algorithm para sa paglutas ng mga linear equation. Ipakita natin ang mga solusyon ng mga tipikal na halimbawa na tumutugma sa iba't ibang mga halaga ng mga coefficient ng mga linear equation.

Halimbawa.

Lutasin ang linear equation 0 x−0=0 .

Solusyon.

Sa linear equation na ito, a=0 at b=−0 , na kapareho ng b=0 . Samakatuwid, ang equation na ito ay may walang katapusang maraming ugat, anumang numero ang ugat ng equation na ito.

Sagot:

x ay anumang numero.

Halimbawa.

May mga solusyon ba ang linear equation 0 x+2.7=0?

Solusyon.

Sa kasong ito, ang coefficient a ay katumbas ng zero, at ang coefficient b ng linear equation na ito ay katumbas ng 2.7, iyon ay, iba ito sa zero. Samakatuwid, ang linear equation ay walang mga ugat.