Isa sa mga pinakatanyag na theorems ng mathematical logic, mapalad at malas sa parehong oras. Ito ay katulad ng espesyal na teorya ng relativity ni Einstein. Sa isang banda, halos lahat ay may narinig tungkol sa kanila. Sa kabilang banda, sa popular na interpretasyon, ang teorya ni Einstein, tulad ng alam mo, "Sabi ng lahat ng bagay sa mundo ay relatibo". At ang incompleteness theorem ni Gödel (simula dito ay simpleng TGN), sa humigit-kumulang pantay na libreng folk formulation, "nagpapatunay na may mga bagay na hindi kayang unawain ng isip ng tao". At kaya ang ilan ay nagsisikap na iakma ito bilang isang argumento laban sa materyalismo, habang ang iba, sa kabaligtaran, ay nagpapatunay sa tulong nito na walang Diyos. Ito ay nakakatawa hindi lamang na ang magkabilang panig ay hindi maaaring maging tama sa parehong oras, ngunit din na ang isa o ang iba ay hindi nag-abala upang malaman kung ano, sa katunayan, ang sinasabi ng teorama na ito.

E ano ngayon? Sa ibaba ay susubukan kong "sa mga daliri" upang pag-usapan ito. Ang aking paglalahad, siyempre, ay hindi magiging mahigpit at madaling maunawaan, ngunit hihilingin ko sa mga mathematician na huwag akong husgahan nang mahigpit. Posible na para sa mga hindi mathematician (na, sa katunayan, kabilang din ako), magkakaroon ng bago at kapaki-pakinabang sa kung ano ang sinabi sa ibaba.

Ang lohika ng matematika ay talagang isang medyo kumplikadong agham, at higit sa lahat, hindi masyadong pamilyar. Nangangailangan ito ng maingat at mahigpit na mga maniobra, kung saan mahalaga na huwag malito ang talagang napatunayan sa katotohanang "ito ay malinaw na." Gayunpaman, umaasa ako na upang maunawaan ang sumusunod na "outline ng patunay ng TGN", ang mambabasa ay mangangailangan lamang ng kaalaman sa matematika ng paaralan / computer science, mga kasanayan sa lohikal na pag-iisip at 15-20 minuto ng oras.

Medyo pinasimple, iginiit ng TGN na sa sapat na kumplikadong mga wika ay may mga hindi mapapatunayang proposisyon. Ngunit sa pariralang ito, halos bawat salita ay nangangailangan ng paliwanag.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagsisikap na malaman kung ano ang isang patunay. Kunin natin ang ilang problema sa paaralan sa aritmetika. Halimbawa, hayaang kailanganin itong patunayan ang kawastuhan ng sumusunod na hindi kumplikadong formula: "" (Ipapaalala ko sa iyo na ang simbolo ay binabasa "para sa alinman" at tinatawag na "universal quantifier"). Maaari itong patunayan sa pamamagitan ng magkatulad na pagbabago, sabihin, tulad nito:

Ang paglipat mula sa isang formula patungo sa isa pa ay nangyayari ayon sa ilang kilalang mga panuntunan. Ang paglipat mula sa ika-4 na formula hanggang sa ika-5 ay naganap, sabihin nating, dahil ang bawat numero ay katumbas ng sarili nito - ganoon ang axiom ng arithmetic. At ang buong pamamaraan ng pagpapatunay, sa gayon, ay isinasalin ang formula sa boolean na halaga na TRUE. Ang resulta ay maaaring MALI - kung pabulaanan natin ang ilang formula. Sa kasong ito, patunayan namin ang negasyon nito. Posibleng isipin ang isang programa (at aktuwal na isinulat ang mga naturang programa) na magpapatunay ng ganoon (at mas kumplikado) na mga panukala nang walang interbensyon ng tao.

Sabihin natin ang parehong bagay nang mas pormal. Ipagpalagay na mayroon kaming isang set na binubuo ng mga string ng mga character ng ilang alpabeto, at may mga panuntunan kung saan ang isang subset ng tinatawag na mga pahayag- iyon ay, mga pariralang may kahulugang gramatika, na ang bawat isa ay totoo o mali. Masasabi nating mayroong function na tumutugma sa mga pahayag mula sa isa sa dalawang value: TRUE o FALSE (iyon ay, imapa ang mga ito sa isang Boolean set ng dalawang elemento).

Tawagan natin ang gayong pares - isang set ng mga pahayag at isang function mula sa - "wika ng mga pahayag". Tandaan na sa pang-araw-araw na kahulugan ang konsepto ng wika ay medyo mas malawak. Halimbawa, ang pariralang Ruso "Well, halika dito!" ay hindi totoo at hindi mali, iyon ay, mula sa punto ng view ng matematikal na lohika, ito ay hindi isang pahayag.

Para sa mga sumusunod, kailangan namin ang paniwala ng isang algorithm. Hindi ko ibibigay ang pormal na kahulugan nito dito - ito ay magdadala sa atin sa malayo. Nililimitahan ko ang aking sarili sa impormal: "algorithm"- ang pagkakasunud-sunod na ito ng hindi malabo na mga tagubilin ("programa"), na sa isang may hangganang bilang ng mga hakbang nagko-convert ng data ng input sa output. Ang naka-italicize ay pangunahing mahalaga - kung ang programa ay mabitin sa ilang paunang data, hindi nito inilalarawan ang algorithm. Para sa pagiging simple at sa aplikasyon sa aming kaso, maaaring isaalang-alang ng mambabasa na ang isang algorithm ay isang programa na nakasulat sa anumang programming language na kilala niya, na, para sa anumang data ng pag-input mula sa isang naibigay na klase, ay garantisadong makumpleto ang trabaho nito sa isang resulta ng Boolean.

Tanungin natin ang ating sarili: mayroon bang "nagpapatunay na algorithm" para sa bawat function (o, sa madaling salita, "deductive") katumbas ng function na ito, ibig sabihin, ang pagsasalin ng bawat pahayag sa eksaktong kaparehong halaga ng boolean gaya nito? Sa mas maikli, ang parehong tanong ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: ang bawat function ay sa isang hanay ng mga proposisyon computable? Tulad ng maaari mo nang hulaan, ito ay sumusunod mula sa bisa ng TGN na hindi, hindi anuman - may mga hindi nakukuwenta na mga function ng ganitong uri. Sa madaling salita, hindi lahat ng totoong pahayag ay mapapatunayan.

Maaaring ang pahayag na ito ay magdudulot sa iyo ng panloob na protesta. Ito ay dahil sa ilang mga pangyayari. Una, kapag tinuturuan tayo ng matematika ng paaralan, kung minsan ay may maling impresyon na ang mga pariralang "ang teorama ay totoo" at "posibleng patunayan o patunayan ang teorama" ay halos magkapareho. Pero kung iisipin mo, hindi naman halata. Ang ilang mga theorems ay napatunayang medyo simple (halimbawa, sa pamamagitan ng enumeration ng isang maliit na bilang ng mga pagpipilian), at ang ilan ay napakahirap. Isaalang-alang, halimbawa, ang sikat na Last Theorem ni Fermat:

ang patunay nito ay natagpuan lamang tatlo at kalahating siglo pagkatapos ng unang pagbabalangkas (at ito ay malayo sa elementarya). Kinakailangang matukoy ang pagkakaiba sa pagitan ng katotohanan ng isang pahayag at ng pagiging mapapatunayan nito. Hindi ito sumusunod mula saanman na walang totoo, ngunit hindi mapapatunayan (at hindi ganap na mabe-verify) na mga pahayag.

Ang pangalawang intuitive na argumento laban sa TGN ay mas banayad. Ipagpalagay na mayroon kaming ilang hindi mapapatunayan (sa loob ng balangkas ng deductive na ito) na pahayag. Ano ang pumipigil sa atin na tanggapin ito bilang isang bagong axiom? Kaya, bahagyang gagawing kumplikado ang aming sistema ng mga patunay, ngunit hindi ito kakila-kilabot. Ang argumentong ito ay magiging ganap na tama kung mayroong isang tiyak na bilang ng mga hindi mapapatunayang proposisyon. Sa pagsasagawa, ang mga sumusunod ay maaaring mangyari - pagkatapos mag-postulate ng isang bagong axiom, ikaw ay matitisod sa isang bagong hindi mapapatunayang pahayag. Kunin ito bilang isa pang axiom - matitisod ka sa pangatlo. At iba pa ang ad infinitum. Mananatili daw ang deductica hindi kumpleto. Maaari din kaming gumawa ng mapipilit na hakbang upang matapos ang nagpapatunay na algorithm pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga hakbang na may ilang resulta para sa anumang pahayag ng wika. Ngunit sa parehong oras, magsisimula siyang magsinungaling - humantong sa katotohanan para sa mga maling pahayag, o sa mga kasinungalingan - para sa mga tapat. Sa ganitong mga kaso sinasabi na ang deductive magkasalungat. Kaya, ang isa pang pormulasyon ng TGN ay ganito ang tunog: "Mayroong mga propositional na wika kung saan imposible ang kumpletong pare-parehong deductics" - samakatuwid ang pangalan ng theorem.

Minsan tinatawag na "Gödel's theorem" ay ang pahayag na ang anumang teorya ay naglalaman ng mga problema na hindi malulutas sa loob ng balangkas ng teorya mismo at nangangailangan ng paglalahat nito. Sa isang kahulugan ito ay totoo, bagama't ang gayong pormulasyon ay nakakubli sa isyu sa halip na linawin ito.

Pansinin ko rin na kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa karaniwang mga pag-andar na nagmamapa ng hanay ng mga tunay na numero dito, kung gayon ang "di-computability" ng pag-andar ay hindi magugulat sa sinuman (huwag lamang malito ang "computable function" at "computable number" - ito ay iba't ibang mga bagay). Alam ng sinumang mag-aaral na, halimbawa, sa kaso ng isang function, dapat ay napakaswerte mo sa argumento upang ang proseso ng pagkalkula ng eksaktong decimal na representasyon ng halaga ng function na ito ay nagtatapos sa isang tiyak na bilang ng mga hakbang. At malamang na kakalkulahin mo ito gamit ang isang walang katapusang serye, at ang pagkalkula na ito ay hindi kailanman hahantong sa isang eksaktong resulta, kahit na maaari itong lumapit dito - dahil lamang ang halaga ng sine ng karamihan sa mga argumento ay hindi makatwiran. Sinasabi lamang sa amin ng TGN na kahit na sa mga function na ang mga argumento ay mga string at ang mga halaga ay zero o isa, ang mga di-computable na function, bagaman nakaayos sa isang ganap na naiibang paraan, ay umiiral din.

Para sa mga sumusunod, ilalarawan namin ang "wika ng pormal na aritmetika". Isaalang-alang natin ang isang klase ng mga string ng teksto na may hangganan ang haba, na binubuo ng mga Arabic numeral, mga variable (mga titik ng alpabetong Latin) na kumukuha ng mga natural na halaga, mga puwang, mga palatandaan ng mga operasyong aritmetika, pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay, mga quantifier ("umiiral") at ("para sa any") at, marahil, , ilang iba pang mga simbolo (ang kanilang eksaktong numero at komposisyon ay hindi mahalaga para sa amin). Malinaw na hindi lahat ng ganoong linya ay makabuluhan (halimbawa, "" ay walang kapararakan). Ang subset ng mga makabuluhang expression mula sa klase na ito (iyon ay, mga string na totoo o mali sa mga tuntunin ng ordinaryong aritmetika) ay ang aming hanay ng mga pahayag.

Mga halimbawa ng pormal na aritmetika na pahayag:

atbp. Ngayon, tawagin natin ang isang "formula na may libreng parameter" (FSP) na isang string na nagiging statement kung ang isang natural na numero ay papalitan dito bilang parameter na ito. Mga halimbawa ng FSP (may parameter):

atbp. Sa madaling salita, ang mga FSP ay katumbas ng mga function ng isang natural na argumento na may Boolean na halaga.

Tukuyin ang hanay ng lahat ng FSP sa pamamagitan ng titik . Malinaw na maaari itong i-order (halimbawa, isusulat muna namin ang mga formula ng isang titik na inayos ayon sa alpabeto, na sinusundan ng mga formula na may dalawang titik, atbp.; hindi ito pangunahing para sa amin kung saang alpabeto ang pag-order ay magaganap). Kaya, ang anumang FSP ay tumutugma sa numero nito sa naka-order na listahan, at tutukuyin namin ito .

Bumaling tayo ngayon sa isang sketch ng patunay ng TGN sa sumusunod na pagbabalangkas:

• Para sa proposisyonal na wika ng pormal na aritmetika, walang kumpletong pare-parehong pagbabawas.

Patunayan natin sa pamamagitan ng kontradiksyon.

Kaya't ipagpalagay natin na mayroong ganoong deductive. Ilarawan natin ang sumusunod na auxiliary algorithm na nagtatalaga ng boolean value sa isang natural na numero gaya ng sumusunod:

Sa madaling salita, ang algorithm ay nagreresulta sa halagang TRUE kung at kung ang resulta ng pagpapalit sa FSP sa sarili nitong numero sa aming listahan ay nagbibigay ng maling pahayag.

Narito tayo sa tanging lugar kung saan hihilingin ko sa mambabasa na kunin ang aking salita para dito.

Malinaw, sa ilalim ng pagpapalagay sa itaas, maaaring iugnay ang anumang FSP mula sa isang algorithm na naglalaman ng natural na numero sa input at isang Boolean na halaga sa output. Ang hindi gaanong halata ay ang kabaligtaran:

Ang patunay ng lemma na ito ay mangangailangan ng hindi bababa sa isang pormal, hindi isang intuitive, kahulugan ng paniwala ng isang algorithm. Gayunpaman, kung iisipin mo ito ng kaunti, ito ay lubos na kapani-paniwala. Sa katunayan, ang mga algorithm ay nakasulat sa mga algorithmic na wika, kung saan mayroong mga kakaibang tulad ng, halimbawa, Brainfuck , na binubuo ng walong isang-character na salita, kung saan, gayunpaman, ang anumang algorithm ay maaaring ipatupad. Magiging kakaiba kung ang mas mayamang wika ng mga pormal na formula ng aritmetika na aming inilarawan ay magiging mas mahirap - bagaman, walang duda, ito ay hindi masyadong angkop para sa ordinaryong programming.

Matapos madaanan ang madulas na lugar na ito, mabilis kaming nakarating sa dulo.

Kaya, inilarawan namin ang algorithm sa itaas. Ayon sa lemma na hiniling kong paniwalaan mo, mayroong isang katumbas na FSP. Mayroon itong ilang numero sa listahan - sabihin nating . Tanungin natin ang ating sarili, ano ang punto? Hayaan itong maging TOTOO. Pagkatapos, ayon sa pagbuo ng algorithm (at samakatuwid ang function na katumbas nito), nangangahulugan ito na ang resulta ng pagpapalit ng isang numero sa function ay MALI. Ang kabaligtaran ay sinusuri sa parehong paraan: mula sa FALSE ay sumusunod sa TRUE. Nakarating kami sa isang kontradiksyon, na nangangahulugan na ang orihinal na palagay ay mali. Kaya, para sa pormal na aritmetika, walang kumpletong pare-parehong pagbabawas. Q.E.D.

Dito angkop na alalahanin si Epimenides (tingnan ang larawan sa pamagat), na, tulad ng alam mo, ay nagpahayag na ang lahat ng mga Cretan ay sinungaling, na ang kanyang sarili ay isang Cretan. Sa isang mas maigsi na pagbabalangkas, ang kanyang pahayag (kilala bilang "sinungaling na kabalintunaan") ay maaaring mabalangkas bilang: "Ako ay nagsisinungaling." Ito ay tiyak na isang pahayag, na kung saan mismo ay nagpapahayag ng kasinungalingan nito, na ginamit namin para sa patunay.

Sa konklusyon, nais kong tandaan na ang TGN ay hindi nag-aangkin ng anumang partikular na nakakagulat. Pagkatapos ng lahat, ang lahat ay matagal nang nasanay sa katotohanan na hindi lahat ng mga numero ay maaaring katawanin bilang isang ratio ng dalawang integer (tandaan, ang pahayag na ito ay may isang napaka-eleganteng patunay na higit sa dalawang libong taong gulang?). At ang mga ugat ng polynomials na may rational coefficients ay hindi rin lahat ng mga numero. At ngayon ay lumabas na hindi lahat ng mga pag-andar ng isang natural na argumento ay computable.

Ang sketch ng patunay na ibinigay ay para sa pormal na aritmetika, ngunit hindi mahirap makita na ang THN ay nalalapat din sa maraming iba pang mga proposisyonal na wika. Siyempre, hindi lahat ng wika ay ganoon. Halimbawa, tukuyin natin ang isang wika tulad nito:

• "Anumang parirala sa wikang Tsino ay isang tunay na pahayag kung ito ay nakapaloob sa quote book ni Kasamang Mao Tse Tung, at hindi tama kung hindi ito nilalaman."

Pagkatapos ang katumbas na kumpleto at pare-parehong nagpapatunay na algorithm (maaari itong tawaging "dogmatic deductive") ay ganito ang hitsura:

• “I-flip ang quote book ni Kasamang Mao Tse Tung hanggang sa makita mo ang pahayag na hinahanap mo. Kung ito ay natagpuan, kung gayon ito ay totoo, at kung ang quote book ay tapos na, at ang pahayag ay hindi natagpuan, kung gayon ito ay mali.

Dito tayo naligtas sa katotohanan na ang anumang pagsipi ay malinaw na may hangganan, kaya ang proseso ng "pagpapatunay" ay tiyak na matatapos. Kaya, ang TGN ay hindi naaangkop sa wika ng mga dogmatikong pahayag. Ngunit pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga kumplikadong wika, tama ba?

Ang ideya ng patunay ay upang bumuo ng isang expression na magpapatotoo dito

sariling unprovability. Ang build na ito ay maaaring gawin sa tatlong hakbang:

Ang unang yugto ay ang pagtatatag ng isang sulat sa pagitan ng pormal na aritmetika at ang hanay ng mga integer (gedelization);

Ang ikalawang yugto ay ang pagbuo ng ilang espesyal na ari-arian tungkol sa kung saan ito ay hindi alam kung ito ay isang teorama ng pormal na arithmetic o hindi;

Ang ikatlong yugto ay ang pagpapalit sa halip na x ng isang tiyak na integer na nauugnay sa sarili nito, ibig sabihin, ang pagpapalit ng mga bilang na ito ng lahat

Unang yugto. Godelization ng pormal na aritmetika

Ang pormal na arithmetic ay maaaring arithmetize (ibig sabihin, Gaedelized) sa sumusunod na paraan: bawat isa sa mga theorems nito ay itinalaga ng isang tiyak na numero. Gayunpaman, dahil ang anumang numero ay isa ring teorama, kung gayon ang anumang teorama ay maaaring ituring, sa isang banda, bilang isang teorem ng pormal na aritmetika, at sa kabilang banda, bilang isang teorama sa isang hanay ng mga teorema ng pormal na aritmetika, ibig sabihin, bilang isang metatheorem na naaayon sa patunay ng isang tiyak na teorama.

Kaya, maaari nating tapusin na ang sistema ng pormal na aritmetika ay naglalaman din ng sarili nitong metasystem.

Inilalahad namin ngayon ang aming mga resulta nang mas konkreto at detalyado.

Una, maaari nating iugnay sa bawat simbolo at pormal na aritmetika ang isang espesyal na pagtatalaga ng code, na tinatawag sa kasong ito ang numero ng Gödel

Pangalawa, itinatalaga namin sa bawat pagkakasunud-sunod ng mga character ang parehong numero ng Gödel gamit ang ilang function ng komposisyon. Hayaan kung nasaan ang mga pagkakasunod-sunod ng mga character na nabuo

Pangatlo (at ito ay mahalaga), ang bawat patunay ng pagkakasunud-sunod ng mga axiom at mga panuntunan sa pagpapalit (o mga panuntunan sa pagpapalit) ay itinalaga ng isang numero kung saan nagsasaad ng pagkakasunud-sunod ng mga teorema na ginamit sa patunay

Kaya, sa anumang patunay sa pormal na aritmetika mayroong tumutugma sa isang tiyak na numero - ang numerong Gödel nito. Anumang pangangatwiran ng pormal na arimetic ay binago sa mga kalkulasyon sa hanay ng mga natural na numero.

Kaya, sa halip na manipulahin ang mga simbolo, teorema, patunay, maaari mong gamitin

mga kalkulasyon sa hanay ng mga integer. Anumang expression tulad ng, halimbawa, ang sumusunod: mapapatunayan sa pormal na aritmetika," ay tumutugma na ngayon sa isang tiyak na numero, na ating tutukuyin bilang

Bumuo tayo ng sumusunod na panukala.

Ang pormal na metaarithmetic ay nakapaloob sa hanay ng mga natural na numero, at ito mismo ay nakapaloob sa interpretasyon ng pormal na aritmetika.

Ang sitwasyong ito na may pormal na aritmetika ay kahawig ng sitwasyon sa natural na wika: pagkatapos ng lahat, walang pumipigil sa atin na gamitin ito upang bumalangkas ng mga pangunahing konsepto at tuntunin nito.

Ang tamang pagpili ng function ay nagbibigay-daan sa isa na gumawa ng hindi malabo na paglipat mula sa A hanggang, ibig sabihin, upang magtalaga ng dalawang magkaibang numero-numero sa dalawang magkaibang patunay. Halimbawa, maaaring pumili ng mga numero ng Gödel sa paraang ang bawat simbolo ng alpabeto ng pormal na aritmetika ay may sariling prime number, tulad ng ipinapakita, halimbawa, sa Talahanayan 1. 3.2.

Talahanayan 3.2

Ang bawat formula (binubuo ng mga simbolo na nag-iiba mula 1 hanggang sa turn ay naka-encode ng isang sequence na binubuo ng mga unang prime number, ibig sabihin, ang numero

kung saan ang isang pangunahing numero.

Sa turn, ang patunay, ibig sabihin, ang pagkakasunud-sunod ng mga formula ay ie-encode sa katulad na paraan ng numero

At kabaligtaran, salamat sa pamamaraang ito ng pagbuo ng mga numero, nagiging posible, simula sa isang tiyak na numero, sa pamamagitan ng pagbubulok nito sa mga pangunahing kadahilanan (dahil sa pagiging natatangi ng nabubulok na mga natural na numero sa mga produkto ng mga kapangyarihan ng mga pangunahing numero), na bumalik sa dalawa mga hakbang sa mga exponents, ibig sabihin, sa mga primitive na simbolo pormal na aritmetika. Siyempre, ito ay kadalasang may teoretikal na kahalagahan, dahil ang mga numero ay mabilis na nagiging masyadong malaki.

para mamanipula sila. Gayunpaman, dapat tandaan na ang pangunahing posibilidad ng operasyong ito ay mahalaga.

Halimbawa. Hayaang ibigay ang numerong T, na tumutugma sa ilang patunay at kumakatawan sa produkto ng mga prime number:

Nangangahulugan ang agnas na ito na ang patunay ng theorem ay naglalaman ng dalawang yugto: ang isa ay tumutugma sa numerong 1981027125 253, at ang isa pa sa numerong 1981027125 211. Nabulok muli sa prime factor bawat isa sa mga numerong ito, nakukuha natin

Mula sa pormal na arithmetic alphabet coding table (Talahanayan 3.2) nakita namin na ang aming mga numero ng Gödel para sa dalawang numerong ito

ay tumutugma sa sumusunod na patunay:

Ang formula ay sumusunod mula sa formula

Kaya, sa metaarithmetic, ang halaga ng orihinal na numero ay nakuha mula sa pormal na arithmetic.

Pangalawang yugto. Ang Lemma ni Gödel

Ang bawat numerong T na nauugnay sa isang patunay ay tumutugma sa isang teorema na mapapatunayan sa pormal na aritmetika. Ang "Gaudelized" na pormal na aritmetika ay tinatawag na arithmetized na pormal na aritmetika. Dahil ang bawat axiom at bawat panuntunan ng arithmetized pormal na arithmetic ay tumutugma sa ilang operasyon ng aritmetika, kung gayon sa tulong ng isang sistematikong pagsusuri posible upang matukoy kung ang isang naibigay na numero T ay tumutugma sa patunay ng ilang theorem ng Number T at sa kasong ito ay form. isang pares ng conjugate number. The expression and are conjugate” Representable within the most arithmetized formal arithmetic. Nangangahulugan ito na mayroong numero ng Gödel na nagdi-digitize sa pahayag na ito.

Dumating na tayo sa kritikal na punto ng patunay ni Gödel. Hayaang ang A ay isang expression ng arithmetized na pormal na aritmetika na naglalaman ng ilang libreng variable. Sa halip na ito, maaari kang gumawa ng pagpapalit ng ilang termino. Sa partikular, posibleng palitan ang expression A ng mismong expression A. Sa kasong ito, ang number-expression A ay sabay-sabay na gumaganap ng dalawang magkaibang tungkulin (tingnan ang mga constructions sa itaas

Cantor at Richard): ito ay parehong tunay na expression para sa pagpapalit at ang resultang termino. Ang espesyal na pagpapalit na ito ay ilalarawan bilang Kaya ang pormula ay nangangahulugan na ang numero ay ang numero ng Gödel na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit - sa ekspresyong A:

Pagkatapos ay bumuo si Gödel ng isang expression (na hindi alam kung ito ay isang theorem o isang non-theorem) kung saan ipinakilala niya ang pagpapalit na ito. Mukhang ganito ang expression:

Ikatlong yugto. Panghuling pagpapalit

Sa arithmetized na pormal na arithmetic, ang expression na ito ay kinakatawan sa numerical form. Hayaan ang E ang Gödel number nito. Dahil ang expression ay naglalaman ng isang libreng variable, mayroon kaming karapatan na magsagawa ng pagpapalit - higit sa pagpapalit ng numero E at denoting - pagpapalit ng E:

Tinutukoy natin ang pangalawang ekspresyong ito ng a at ang numerong Gödel nito sa pamamagitan ng E. Bigyan natin ng interpretasyon ang ekspresyong e.

Unang interpretasyon. Walang ganoong pares kung saan ang mga sumusunod ay sabay na magkakatotoo: sa isang banda, ang T ay ang bilang ng arithmetized na patunay ng theorem na aritmetika mismo, at sa kabilang banda, magkakaroon ng kapalit Ngunit dahil mayroong parehong pagbabagong-anyo tulad ng iba, ito ay kinakatawan sa mga termino at sa kanilang notasyon ng code - mga numero ng Gödel at, samakatuwid, mayroong ganoong numero. Kung gayon marahil ang numerong T ay hindi umiiral.

Pangalawang interpretasyon. Walang arithmetized proof T ng theorem na magiging isang -substitution ng E. Kaya, kung walang patunay, ito ay dahil hindi ito isang theorem sa sarili nito. Ito ay humahantong sa isang ikatlong interpretasyon.

Pangatlong interpretasyon. Ang isang expression kung saan ang Gödel number ay isang -substitution ng E ay hindi isang theorem sa arithmetized formal arithmetic. Ngunit dito nakasalalay ang pagkakasalungatan, dahil sa pamamagitan ng pagtatayo ito mismo ay isang -pagpapalit ng E, at ang bilang ay sa pamamagitan ng pagtatayo walang iba kundi ang numerong E mismo. Ito ay nagpapahiwatig ng huling interpretasyon ng e.

09si sen

Anumang sistema ng mathematical axioms, simula sa isang tiyak na antas ng pagiging kumplikado, ay alinman sa panloob na hindi naaayon o hindi kumpleto.

Noong 1900, ang World Conference of Mathematicians ay ginanap sa Paris, kung saan David Gilbert(David Hilbert, 1862–1943) binalangkas sa anyo ng mga theses ang 23 pinakamahalaga, sa kanyang opinyon, mga gawain na kailangang lutasin ng mga theoreticians ng darating na ikadalawampu siglo. Ang numerong dalawa sa kanyang listahan ay isa sa mga simpleng problema na tila halata hanggang sa maghukay ka ng mas malalim. Sa modernong mga termino, ito ang tanong: sapat ba ang matematika sa sarili nitong? Ang pangalawang gawain ni Hilbert ay nabawasan sa pangangailangan na mahigpit na patunayan na ang sistema ng mga axiom - mga pangunahing pahayag na kinuha sa matematika bilang batayan nang walang patunay - ay perpekto at kumpleto, iyon ay, pinapayagan nito ang matematikal na paglalarawan ng lahat ng bagay na umiiral. Kinakailangang patunayan na posible na magtakda ng gayong sistema ng mga axiom na, una, sila ay magiging pare-pareho, at pangalawa, ang isa ay maaaring gumawa ng isang konklusyon mula sa kanila tungkol sa katotohanan o kasinungalingan ng anumang pahayag.

Kumuha tayo ng isang halimbawa mula sa geometry ng paaralan. Sa karaniwang Euclidean planimetry (geometry sa isang eroplano), mapapatunayan nang walang kondisyon na ang pahayag na "ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180°" ay totoo, at ang pahayag na "ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 137° "ay hindi totoo. Sa esensyal na pagsasalita, sa Euclidean geometry, alinmang pahayag ay mali o totoo, at ang pangatlo ay hindi ibinigay. At sa simula ng ikadalawampu siglo, ang mga mathematician ay walang muwang na naniniwala na ang parehong sitwasyon ay dapat sundin sa anumang lohikal na pare-parehong sistema.

At pagkatapos ay noong 1931 ilang Viennese bespectacled mathematician Kurt Gödel- kumuha at naglathala ng maikling artikulo na nagpabaligtad lamang sa buong mundo ng tinatawag na "mathematical logic". Pagkatapos ng mahaba at masalimuot na mathematical at theoretical preambles, literal niyang itinatag ang mga sumusunod. Kunin natin ang anumang pahayag tulad ng: "Ang Assumption #247 ay lohikal na hindi mapapatunayan sa sistemang ito ng mga axiom" at tawagin itong "statement A". Kaya, pinatunayan lamang ni Gödel ang sumusunod na kamangha-manghang pag-aari ng anumang sistema ng mga axiom:

"Kung ang isang pahayag A ay mapapatunayan, kung gayon ang isang di-A na pahayag ay maaaring patunayan."

Sa madaling salita, kung posible na patunayan ang bisa ng pahayag na "Ang Assumption 247 ay hindi mapapatunayan", kung gayon posible rin na patunayan ang bisa ng pahayag na "Ang Assumption 247 ay mapapatunayan". Iyon ay, ang pagbabalik sa pagbabalangkas ng pangalawang problema sa Hilbert, kung ang sistema ng mga axiom ay kumpleto (iyon ay, anumang pahayag dito ay maaaring patunayan), kung gayon ito ay hindi naaayon.

Ang tanging paraan sa sitwasyong ito ay ang pagtanggap ng isang hindi kumpletong sistema ng mga axiom. Iyon ay, kailangan nating tiisin ang katotohanan na sa konteksto ng anumang lohikal na sistema ay magkakaroon pa rin tayo ng mga "uri A" na mga pahayag na malinaw na totoo o mali - at maaari nating hatulan ang kanilang katotohanan sa labas lamang ng balangkas ng axiomatics na mayroon tayo. pinagtibay. Kung walang ganoong mga pahayag, kung gayon ang ating axiomatics ay magkasalungat, at sa loob ng balangkas nito ay tiyak na magkakaroon ng mga pormulasyon na maaaring mapatunayan at mapabulaanan.

Kaya ang pormulasyon ng una, o mahina, incompleteness theorem ni Gödel ay: "Ang anumang pormal na sistema ng mga axiom ay naglalaman ng mga hindi nalutas na pagpapalagay". Ngunit hindi tumigil doon si Gödel, na binabalangkas at pinatutunayan ang pangalawa o malakas na teorama ng kawalan ng kumpleto ni Gödel: “Ang lohikal na pagkakumpleto (o kawalan) ng anumang sistema ng mga axiom ay hindi maaaring patunayan sa loob ng balangkas ng sistemang ito. Upang patunayan o pabulaanan ito, kinakailangan ang mga karagdagang axiom (pagpapalakas ng system).

Mas ligtas na isipin na ang mga theorems ni Godel ay abstract at hindi nag-aalala sa atin, ngunit ang mga lugar lamang ng kahanga-hangang lohika ng matematika, ngunit sa katunayan ito ay naging direktang nauugnay sa istraktura ng utak ng tao. Ang English mathematician at physicist na si Roger Penrose (ipinanganak 1931) ay nagpakita na Mga teorema ni Gödel ay maaaring gamitin upang patunayan ang pagkakaroon ng mga pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng utak ng tao at isang computer. Ang punto ng kanyang pangangatwiran ay simple. Ang computer ay gumagana nang mahigpit na lohikal at hindi matukoy kung ang pahayag A ay totoo o mali kung ito ay lalampas sa saklaw ng axiomatics, at ang mga naturang pahayag, ayon sa teorama ni Gödel, ay tiyak na umiiral. Ang isang tao, na nahaharap sa ganoong lohikal na hindi mapapatunayan at hindi masasagot na pahayag A, ay palaging nagagawang matukoy ang katotohanan o kamalian nito - batay sa pang-araw-araw na karanasan. Hindi bababa sa ito, ang utak ng tao ay nakahihigit sa isang computer na nakagapos ng mga purong lohikal na circuit. Naiintindihan ng utak ng tao ang buong lalim ng katotohanan na nakapaloob sa mga theorems ni Gödel, ngunit hinding-hindi maiintindihan ng isang computer. Samakatuwid, ang utak ng tao ay anumang bagay maliban sa isang computer. Nagagawa niyang gumawa ng mga desisyon, at papasa ang Turing test.

Anumang sistema ng mathematical axioms, simula sa isang tiyak na antas ng pagiging kumplikado, ay alinman sa panloob na hindi naaayon o hindi kumpleto.

Noong 1900, ang World Conference of Mathematicians ay ginanap sa Paris, kung saan ipinakita ni David Hilbert (1862-1943) sa anyo ng mga abstract ang 23 pinakamahalaga, sa kanyang opinyon, mga problema na binuo niya, na dapat lutasin ng mga teoretikal na siyentipiko. ng darating na ikadalawampu siglo. Ang numerong dalawa sa kanyang listahan ay isa sa mga simpleng problema na tila halata hanggang sa maghukay ka ng mas malalim. Sa modernong mga termino, ito ang tanong: sapat ba ang matematika sa sarili nitong? Ang pangalawang problema ni Hilbert ay upang patunayan nang mahigpit na ang sistema mga axiom- ang mga pangunahing pahayag na kinuha sa matematika bilang batayan nang walang patunay - ay perpekto at kumpleto, iyon ay, pinapayagan ka nitong mathematically ilarawan ang lahat ng umiiral. Kinakailangang patunayan na posible na magtakda ng gayong sistema ng mga axiom na, una, sila ay magiging pare-pareho, at pangalawa, ang isa ay maaaring gumawa ng isang konklusyon mula sa kanila tungkol sa katotohanan o kasinungalingan ng anumang pahayag.

Kumuha tayo ng isang halimbawa mula sa geometry ng paaralan. Pamantayan Euclidean planimetry(geometry sa eroplano) posibleng patunayan nang walang kondisyon na ang pahayag na "ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180°" ay totoo, at ang pahayag na "ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 137°" ay mali. Sa esensyal na pagsasalita, sa Euclidean geometry, alinmang pahayag ay mali o totoo, at ang pangatlo ay hindi ibinigay. At sa simula ng ikadalawampu siglo, ang mga mathematician ay walang muwang na naniniwala na ang parehong sitwasyon ay dapat sundin sa anumang lohikal na pare-parehong sistema.

At pagkatapos noong 1931, ang ilang Viennese bespectacled mathematician na si Kurt Godel ay kumuha at naglathala ng isang maikling artikulo na simpleng binaligtad ang buong mundo ng tinatawag na "mathematical logic". Pagkatapos ng mahaba at masalimuot na mathematical at theoretical preambles, literal niyang itinatag ang mga sumusunod. Kunin natin ang anumang pahayag tulad ng: "Ang Assumption #247 ay lohikal na hindi mapapatunayan sa sistemang ito ng mga axiom" at tawagin itong "statement A". Kaya pinatunayan lang ni Gödel ang sumusunod na kamangha-manghang pag-aari anuman mga sistema ng axiom:

"Kung ang isang pahayag A ay mapapatunayan, kung gayon ang isang di-A na pahayag ay maaaring patunayan."

Sa madaling salita, kung posible na patunayan ang bisa ng pahayag na "Assumption 247 hindi provable", kung gayon posible na patunayan ang bisa ng pahayag na "Assumption 247 provably". Iyon ay, ang pagbabalik sa pagbabalangkas ng pangalawang problema sa Hilbert, kung ang sistema ng mga axiom ay kumpleto (iyon ay, anumang pahayag dito ay maaaring patunayan), kung gayon ito ay hindi naaayon.

Ang tanging paraan sa sitwasyong ito ay ang pagtanggap ng isang hindi kumpletong sistema ng mga axiom. Iyon ay, kailangan nating tiisin ang katotohanan na sa konteksto ng anumang lohikal na sistema ay maiiwan tayo ng mga "uri A" na mga pahayag na malinaw na totoo o mali - at maaari lamang nating hatulan ang kanilang katotohanan. sa labas ang balangkas ng axiomatics na aming pinagtibay. Kung walang ganoong mga pahayag, kung gayon ang ating axiomatics ay magkasalungat, at sa loob ng balangkas nito ay tiyak na magkakaroon ng mga pormulasyon na maaaring mapatunayan at mapabulaanan.

Kaya ang mga salita una,o mahina Gödel's incompleteness theorems: "Ang anumang pormal na sistema ng mga axiom ay naglalaman ng mga hindi nalutas na pagpapalagay." Ngunit si Gödel ay hindi tumigil doon, na bumubuo at nagpapatunay pangalawa, o malakas Ang incompleteness theorem ni Godel: “Ang lohikal na pagkakumpleto (o hindi pagkakumpleto) ng anumang sistema ng mga axiom ay hindi maaaring patunayan sa loob ng balangkas ng sistemang ito. Upang patunayan o pabulaanan ito, kinakailangan ang mga karagdagang axiom (pagpapalakas ng system).

Mas ligtas na isipin na ang mga theorems ni Godel ay abstract at hindi nag-aalala sa atin, ngunit ang mga lugar lamang ng kahanga-hangang lohika ng matematika, ngunit sa katunayan ito ay naging direktang nauugnay sa istraktura ng utak ng tao. Ang English mathematician at physicist na si Roger Penrose (ipinanganak 1931) ay nagpakita na ang mga theorems ni Gödel ay maaaring gamitin upang patunayan ang mga pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng utak ng tao at isang computer. Ang punto ng kanyang pangangatwiran ay simple. Ang computer ay gumagana nang mahigpit na lohikal at hindi matukoy kung ang pahayag A ay totoo o mali kung ito ay lalampas sa saklaw ng axiomatics, at ang mga naturang pahayag, ayon sa teorama ni Gödel, ay tiyak na umiiral. Ang isang tao, na nahaharap sa ganoong lohikal na hindi mapapatunayan at hindi masasagot na pahayag A, ay palaging nagagawang matukoy ang katotohanan o kamalian nito - batay sa pang-araw-araw na karanasan. Hindi bababa sa ito, ang utak ng tao ay nakahihigit sa isang computer na nakagapos ng mga purong lohikal na circuit. Naiintindihan ng utak ng tao ang buong lalim ng katotohanan na nakapaloob sa mga theorems ni Gödel, ngunit hinding-hindi maiintindihan ng isang computer. Samakatuwid, ang utak ng tao ay anumang bagay maliban sa isang computer. Kaya niya upang gumawa ng mga desisyon, at papasa ang Turing test.

Siguro kung may ideya si Hilbert kung hanggang saan kami dadalhin ng mga tanong niya?

Kurt Godel, 1906-78

Austrian, noon ay American mathematician. Ipinanganak sa Brünn (Brünn, ngayon ay Brno, Czech Republic). Nagtapos siya sa Unibersidad ng Vienna, kung saan nanatili siyang guro sa Departamento ng Matematika (mula noong 1930 - isang propesor). Noong 1931 inilathala niya ang isang teorama na kalaunan ay natanggap ang kanyang pangalan. Bilang isang purong apolitical na tao, napakahirap niyang nakaligtas sa pagpatay sa kanyang kaibigan at empleyado ng departamento ng isang Nazi na estudyante at nahulog sa isang malalim na depresyon, na ang mga pagbabalik ay sumasalamin sa kanya hanggang sa katapusan ng kanyang buhay. Noong 1930s, lumipat siya sa Estados Unidos, ngunit bumalik sa kanyang katutubong Austria at nagpakasal. Noong 1940, sa kasagsagan ng digmaan, napilitan siyang tumakas sa Amerika sa paglalakbay sa pamamagitan ng USSR at Japan. Sa loob ng ilang panahon nagtrabaho siya sa Princeton Institute for Advanced Study. Sa kasamaang palad, ang pag-iisip ng siyentipiko ay hindi makatiis, at siya ay namatay sa gutom sa isang psychiatric clinic, tumanggi na kumain, dahil siya ay kumbinsido na nilayon nilang lasonin siya.

Uspensky V.A.

Ang incompleteness theorem ni Gödel. 1994.

Theoretical Computer Science 130,1994, pp.273-238.

Marahil ay talagang kakaiba ang incompleteness theorem ni Gödel. Natatangi dahil tinutukoy nila ito kapag gusto nilang patunayan ang "lahat ng bagay sa mundo" - mula sa presensya ng mga diyos hanggang sa kawalan ng katwiran. Ako ay palaging interesado sa isang mas "pangunahing tanong" - at sino sa mga sumangguni sa incompleteness theorem ay hindi lamang maaaring bumalangkas nito, ngunit mapatunayan din ito? Inilathala ko ang artikulong ito sa kadahilanang ito ay nagpapakita ng isang napaka-accessible na pagbabalangkas ng teorama ni Gödel. Inirerekomenda ko na basahin mo muna ang artikulo ni Tullio Regge Kurt Gödel at ang kanyang sikat na teorama

Ang konklusyon tungkol sa imposibilidad ng isang unibersal na pamantayan ng katotohanan ay

isang direktang kinahinatnan ng resulta na nakuha ni Tarski sa pamamagitan ng pagsasama

Ang undecidability theorem ni Gödel sa kanyang sariling teorya ng katotohanan, ayon sa

na maaaring walang unibersal na pamantayan ng katotohanan kahit na para sa relatibong

makitid na lugar ng teorya ng numero, at samakatuwid para sa anumang agham na gumagamit

aritmetika. Natural, ang resultang ito ay naglalapat ng fortiori sa konsepto ng katotohanan

sa anumang di-matematika na larangan ng kaalaman kung saan ito ay malawak

ginagamit ang aritmetika.

Karl Popper

Si Uspensky Vladimir Andreevich ay ipinanganak noong Nobyembre 27, 1930 sa Moscow. Nagtapos mula sa Faculty of Mechanics at Mathematics ng Moscow State University (1952). Doktor ng Physical and Mathematical Sciences (1964). Propesor, Pinuno ng Departamento ng Mathematical Logic at Theory of Algorithms ng Faculty of Mechanics and Mathematics (1966). Nagbabasa ng mga kurso ng mga lektura na "Introduction to Mathematical Logic", "Computable Functions", "Gödel's Completeness Theorem". Naghanda ng 25 kandidato at 2 doktor ng agham

1. Paglalahad ng suliranin

Ang incompleteness theorem, ang eksaktong pormulasyon kung saan ibibigay namin sa dulo ng kabanatang ito, at marahil mamaya (kung ang mambabasa ay interesado dito) at ang patunay, ay nagsasaad ng humigit-kumulang sa mga sumusunod: sa ilalim ng ilang mga kundisyon sa anumang wika ay may totoo, ngunit hindi mapapatunayang mga pahayag.

Kapag bumalangkas tayo ng teorama sa ganitong paraan, halos bawat salita ay nangangailangan ng ilang paliwanag. Samakatuwid, magsisimula tayo sa pagpapaliwanag ng kahulugan ng mga salitang ginagamit natin sa pagbabalangkas na ito.

Hindi namin ibibigay ang pinaka-pangkalahatang posibleng kahulugan ng isang wika, mas pinipiling i-confine ang ating sarili sa mga konseptong pangwika na kakailanganin natin mamaya. Mayroong dalawang ganoong konsepto: "ang alpabeto ng wika" at "ang hanay ng mga totoong pahayag ng wika".

1.1.1. Alpabeto

Sa pamamagitan ng alpabeto, ang ibig naming sabihin ay isang may hangganang hanay ng mga elementarya na palatandaan (iyon ay, mga bagay na hindi maaaring hatiin sa mga bahaging bahagi). Ang mga karakter na ito ay tinatawag na mga titik ng alpabeto. Ang ibig sabihin ng isang salita ng isang alpabeto ay isang may hangganang pagkakasunod-sunod ng mga titik. Halimbawa, ang mga ordinaryong salita sa Ingles (kabilang ang mga wastong pangalan) ay mga salita ng 54-titik na alpabeto (26 maliliit na titik, 26 malalaking titik, isang gitling at isang kudlit). Ang isa pang halimbawa - ang mga natural na numero sa decimal notation ay mga salita ng isang 10-titik na alpabeto, na ang mga titik ay mga palatandaan: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Gagamit kami ng ordinaryong malalaking titik upang tukuyin mga alpabeto. Kung ang L ay isang alpabeto, kung gayon ang L? ay tumutukoy sa hanay ng lahat ng mga salita ng alpabeto L, - mga salitang nabuo mula sa mga titik nito. Ipagpalagay namin na ang anumang wika ay may sariling alpabeto, upang ang lahat ng mga expression ng wikang ito (ibig sabihin - mga pangalan ng iba't ibang mga bagay, mga pahayag tungkol sa mga bagay na ito, atbp.) ay mga salita ng alpabeto na ito. Halimbawa, ang anumang pangungusap sa wikang Ingles, gayundin ang anumang tekstong nakasulat sa Ingles, ay maaaring ituring bilang isang salita ng pinahabang 54 na titik na alpabeto, na kinabibilangan din ng mga bantas, interword space, isang pulang linya ng character, at posibleng ilang iba pang mga kapaki-pakinabang na karakter. Ipagpalagay na ang mga expression ng wika ay mga salita ng ilang alpabeto, sa gayon ay ibinubukod namin sa pagsasaalang-alang ang mga "layered" na expression ng uri na ???f(x)dx. Gayunpaman, ang limitasyong ito ay hindi masyadong makabuluhan, dahil ang anumang ganitong expression, gamit ang angkop na mga kombensiyon, ay maaaring "iunat" sa isang linear na anyo. Any set M na nakapaloob sa L? ay tinatawag na set ng salita ng alpabeto L. Kung sasabihin lang natin na ang M ay isang set ng salita, ibig sabihin ay ito ay isang salita ng ilang alpabeto. Ngayon ang pagpapalagay ng wika sa itaas ay maaaring muling i-rephrase tulad ng sumusunod: sa anumang wika, ang anumang hanay ng mga expression ay isang set ng salita.

1.1.2. Maraming totoong claim

Ipinapalagay namin na binibigyan kami ng subset T ng set L? (kung saan ang L ay ang alpabeto ng ilang wikang ating isinasaalang-alang), na tinatawag na set ng "mga totoong pahayag" (o simpleng "mga katotohanan"). Direktang pagpasa sa subset T, inalis namin ang mga sumusunod na intermediate na hakbang ng pangangatwiran: una, kung aling mga salita ng alpabeto L ang mahusay na nabuong mga expression ng wika, iyon ay, mayroon silang tiyak na kahulugan sa aming interpretasyon ng wikang ito (halimbawa , 2 + 3, x + 3, x=y, x=3, 2=3, 2=2 ay mahusay na nabuo na mga expression, habang ang mga expression tulad ng +=x ay hindi); pangalawa, kung aling mga expression ang mga formula, i.e. maaaring depende sa isang parameter (hal., x=3, x=y, 2=3, 2=2); pangatlo, alin sa mga formula ang mga closed formula, i.e. mga pahayag na hindi nakadepende sa mga parameter (halimbawa, 2=3, 2=2); at panghuli, kung aling mga saradong formula ang mga totoong pahayag (halimbawa, 2=2).

1.1.3. Pangunahing pares ng wika

1.2. "Hindi mapapatunayan"

Ang ibig sabihin ng "unprovable" ay walang ebidensya.

1.3. Patunay

Sa kabila ng katotohanan na ang terminong "patunay" ay marahil isa sa pinakamahalaga sa matematika (sinimulan ng Bourbaki ang kanilang aklat na "Fundamentals of Mathematics" na may mga salitang: "Mula sa panahon ng mga sinaunang Griyego, ang pagsasabi ng "matematika" ay nangangahulugang pareho ng pagsasabi ng "patunay""), wala siyang tiyak na kahulugan. Sa pangkalahatan, ang konsepto ng patunay kasama ang lahat ng mga sangay ng semantiko nito ay kabilang, sa halip, sa larangan ng sikolohiya kaysa sa matematika. Ngunit kahit na ano pa man, ang patunay ay isang argumento lamang na nakikita nating lubos na nakakumbinsi upang kumbinsihin ang iba.

Kapag isinulat, ang patunay ay nagiging isang salita sa ilang alpabeto P, tulad ng anumang tekstong Ingles ay isang salita sa alpabeto L, isang halimbawa nito ay ibinigay sa itaas. Ang hanay ng lahat ng mga patunay ay bumubuo ng isang subset (at medyo malaking subset) ng hanay na P?. Hindi namin tatangkaing magbigay ng isang tumpak na kahulugan ng parehong "walang muwang" at "ganap" na konsepto ng patunay, o - na katumbas - upang tukuyin ang kaukulang subset ng P?. Sa halip, isasaalang-alang natin ang isang pormal na analogue ng hindi malinaw na konseptong ito, kung saan gagamitin pa rin natin ang terminong "patunay" sa mga sumusunod. Ang analog na ito ay may dalawang napakahalagang tampok na nakikilala ito mula sa intuitive na konsepto (bagaman ang intuitive na ideya ng patunay ay sumasalamin pa rin sa mga tampok na ito sa ilang mga lawak). Una sa lahat, ipinapalagay namin na mayroong iba't ibang mga konsepto ng patunay, iyon ay, ang iba't ibang mga subset ng mga patunay sa P? ay pinahihintulutan, at higit pa rito: sa katunayan, ipagpalagay natin na ang alpabeto ng mga patunay ng P mismo ay maaaring magbago . Sa mga sumusunod, hihilingin namin na para sa bawat naturang konsepto ng isang patunay mayroong isang mahusay na pamamaraan, sa madaling salita, isang algorithm na tiyak na tutukuyin kung ang isang ibinigay na salita ng alpabeto P ay isang patunay o hindi. Ipinapalagay din namin na mayroong isang algorithm na palaging magagamit upang matukoy kung aling pahayag ang pinatutunayan ng isang ibinigay na patunay. (Sa maraming sitwasyon, ang pahayag na pinatutunayan ay ang huling pahayag lamang sa pagkakasunud-sunod ng mga hakbang na bumubuo ng patunay.)

Kaya, ang aming huling salita ng kahulugan ay ang mga sumusunod:

(1) Mayroon tayong alpabeto L (ang alpabeto ng wika) at ang alpabeto P (ang alpabeto ng patunay).

(2) Binigyan tayo ng set P na isang subset ng P? at ang mga elemento ay tinatawag na "proofs". Sa hinaharap, ipagpalagay namin na mayroon din kaming isang algorithm na nagbibigay-daan sa amin upang matukoy kung ang isang arbitrary na salita ng alpabeto P ay isang elemento ng set P, iyon ay, isang patunay, o hindi.

(3) Mayroon din tayong function? (para sa paghahanap kung ano ang eksaktong napatunayan), kaninong domain? nakakatugon sa kondisyong P???P?, at kaninong saklaw ang nasa P?. Ipinapalagay namin na mayroon kaming isang algorithm na kinakalkula ang function na ito (ang eksaktong kahulugan ng mga salitang "kinakalkula ng algorithm ang isang function" ay ang mga sumusunod: ang mga halaga ng function ay nakuha gamit ang algorithm na ito - isang hanay ng mga espesyal na panuntunan sa pagbabago). Sasabihin natin na ang elementong p? Ang P ay isang patunay ng salita?(p) ng alpabeto L.

Ang triple na nakakatugon sa mga kundisyon (1)-(3) ay tinatawag na deductive system sa alpabeto L.

Para sa mambabasa na pamilyar sa karaniwang paraan ng pagtukoy ng "patunay" sa mga tuntunin ng "axiom" at "panuntunan ng hinuha", ipapaliwanag namin ngayon kung paano maituturing ang pamamaraang ito bilang isang espesyal na kaso ng kahulugan na ibinigay sa seksyon 1.3.2. Ibig sabihin, ang isang patunay ay karaniwang binibigyang kahulugan bilang isang pagkakasunud-sunod ng naturang mga expression ng wika, na ang bawat isa ay alinman sa isang axiom o dati nang nakuha mula sa mga umiiral nang pahayag gamit ang isa sa mga panuntunan ng hinuha. Kung magdaragdag tayo ng bagong salita * sa alpabeto ng ating wika, maaari tayong sumulat ng gayong patunay bilang isang salita na binubuo gamit ang resultang alpabeto: ang pagkakasunod-sunod ng mga ekspresyon ay nagiging salitang C1*C2*...*Cn. Sa kasong ito, ang function na tumutukoy kung ano ang eksaktong napatunayan ay may halaga nito sa bahagi ng salitang ito kaagad kasunod ng huling titik * sa pagkakasunud-sunod. Ang algorithm na ang pagkakaroon ay kinakailangan sa Seksyon 1.3.2. mga kahulugan, ay madaling mabuo kapag natukoy na natin ang alinman sa mga tinatanggap na kahulugan ng mga salitang "axiom" at "rule of inference".

1.4 Mga pagtatangka na tumpak na bumalangkas ng incompleteness theorem

1.4.1. Unang pagsubok

"Sa ilalim ng ilang partikular na kundisyon, para sa pangunahing pares ng wika ng alpabeto L at ang deductive system sa L, palaging mayroong isang salita sa T na walang patunay." Mukhang malabo pa rin ang opsyong ito. Sa partikular, madali kaming makabuo ng anumang bilang ng mga deductive system na may napakakaunting mapapatunayang salita. Halimbawa, sa isang walang laman na deductive system (kung saan ang P = ?) ay walang mga salita na magkakaroon ng mga patunay.

1.4.2. Pangalawang pagsubok

May isa pang mas natural na diskarte. Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang wika - sa kahulugan na binibigyan tayo ng isang pangunahing pares ng wikang ito. Ngayon ay hahanapin natin ang gayong deduktibong sistema sa L (sa madaling salita, naghahanap tayo ng isang patunay na pamamaraan) kung saan mapapatunayan natin ang pinakamaraming salita mula sa T hangga't maaari, sa limitasyon ng lahat ng salita mula sa teorema ni T. Gödel ay naglalarawan ng sitwasyon kung saan tulad ng isang deductive system ( kung saan ang bawat salita sa T ay mapapatunayan) ay hindi umiiral. Kaya, nais naming bumalangkas ng sumusunod na pahayag:

"Sa ilalim ng ilang mga kundisyon tungkol sa pangunahing pares, walang ganoong deductive system kung saan ang bawat salita mula sa T ay magkakaroon ng patunay."

Gayunpaman, ang nasabing pahayag ay malinaw na mali, dahil kinakailangan lamang na kumuha ng isang deductive system kung saan ang P = L, P = P? at?(p) = p para sa lahat ng p sa P?; tapos bawat salita galing kay L? ay trivially provable. Samakatuwid, kailangan nating tanggapin ang ilang limitasyon kung aling mga deductive system ang ginagamit natin.

1.5. Hindi pagbabago

Magiging natural na humiling na ang "mga totoong pahayag" lamang, iyon ay, mga salita lamang mula sa T, ang maaaring patunayan. Sasabihin natin na ang isang deductive system ay pare-pareho sa paggalang sa isang pangunahing pares kung?(P)?T. Sa lahat ng kasunod na pangangatwiran, kami ay magiging interesado lamang sa mga pare-parehong sistemang deduktibo. Kung tayo ay bibigyan ng isang wika, kung gayon ito ay magiging lubhang kaakit-akit na makahanap ng ganoong pare-parehong sistema ng deduktibo kung saan ang bawat totoong pahayag ay magkakaroon ng patunay. Ang variant ng theorem ni Gödel na interesado sa amin ay eksaktong nagsasaad na sa ilalim ng ilang mga kundisyon na may paggalang sa pangunahing pares, imposibleng makahanap ng gayong deductive system.

1.6. pagkakumpleto

Sinasabi na ang isang deductive system ay kumpleto na may kinalaman sa isang pangunahing pares, sa kondisyon na ang ?(P)?T. Pagkatapos ang aming pagbabalangkas ng incompleteness theorem ay tumatagal ng sumusunod na anyo:

Sa ilang partikular na kundisyon na may kinalaman sa pangunahing pares, walang ganoong deductive system sa L na magiging kumpleto at medyo pare-pareho.