Sa tanong 1. Magbigay ng kahulugan ng parallel lines. Anong dalawang segment ng linya ang tinatawag na parallel? ibinigay ng may-akda Sasha Nizhevyasov ang pinakamagandang sagot ay na sa eroplano ay hindi kailanman magsalubong

Sagot mula sa kakayahang umangkop[guru]
Ang mga parallel na linya ay mga linya na nasa parehong eroplano at maaaring magkasabay o hindi magsalubong.

Sagot mula sa Naumenko[guru]
mga segment. nabibilang sa parallel lines. ay parallel.
tuwid na linya sa eroplano na tinatawag. parallel. kung hindi sila magsalubong o magkasabay.

Sagot mula sa Neurologo[newbie]
Dalawang linya na nasa parehong eroplano at walang karaniwang punto ay tinatawag na parallel.

Sagot mula sa Ihagis[master]

Sagot mula sa Varvara Lamekina[newbie]
ang dalawang linya sa isang eroplano ay sinasabing parallel kung hindi sila magsalubong)

Sagot mula sa Maxim Ivanov[newbie]
Na hindi nagsalubong sa eroplano.

Sagot mula sa Sem2805[aktibo]
dalawang linya sa isang eroplano ay tinatawag na parallel kung hindi sila magsalubong (Grade 7)

Sagot mula sa Sasha Klyuchnikov[newbie]
Parallel lines sa Euclidean geometry, mga linyang nasa parehong eroplano at hindi nagsalubong. Sa ganap na geometry, sa pamamagitan ng isang puntong hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, mayroong pumasa ng hindi bababa sa isang linya na hindi bumalandra sa ibinigay na linya. Sa Euclidean geometry, mayroon lamang isang ganoong linya. Ang katotohanang ito ay katumbas ng ikalimang postulate ni Euclid (mga parallel). Sa Lobachevsky geometry (tingnan ang Lobachevsky geometry) sa eroplano sa pamamagitan ng punto C (tingnan ang figure) sa labas ng ibinigay na linya AB mayroong isang walang katapusang hanay ng mga linya na hindi nagsalubong sa AB. Sa mga ito, dalawa lamang ang tinatawag na parallel sa AB. Ang linya ng CE ay tinatawag na parallel sa linya ng AB sa direksyon mula A hanggang B kung: 1) ang mga punto B at E ay nasa magkabilang panig ng linyang AC; 2) ang linya ng CE ay hindi nagsasalubong sa linyang AB; anumang sinag na dumadaan sa loob ng anggulo ng ACE ay nag-intersect sa ray AB. Ang tuwid na linyang CF na kahanay ng AB sa direksyon mula B hanggang A ay katulad na tinukoy.

Sagot mula sa Anatoly Mishin[newbie]
Ang dalawang linya sa kalawakan ay tinatawag na parallel kung nakahiga sila sa parehong eroplano at hindi nagsalubong.

Sagot mula sa Ўliya[aktibo]
Ang mga parallel na linya ay mga linyang hindi nagsasalubong

Sagot mula sa sabi ni charakov[newbie]
Parallel ay dalawang tuwid na linya na nasa parehong eroplano at walang mga karaniwang punto.
Sa pamamagitan ng isang punto, isang linya lamang ang maaaring iguhit parallel sa isang naibigay na eroplano.

Sagot mula sa Olga Nemtyreva[newbie]
Ang mga parallel na linya ay mga linya na nasa parehong eroplano at maaaring magkasabay o hindi magsalubong. ..Lobachevsky geometry) sa eroplano sa pamamagitan ng punto C (tingnan ang Fig.) sa labas ng ibinigay na linya AB doon ay pumasa sa isang walang katapusang hanay ng mga linya na hindi bumalandra sa AB. Sa mga ito, dalawa lamang ang tinatawag na parallel sa AB.

Sagot mula sa Oksana Tyshchenko[newbie]
Ang mga parallel na linya ay dalawang linya sa isang eroplano na hindi nagsalubong. Ang dalawang segment ng linya ay tinatawag na parallel kung nakahiga sila sa mga parallel na linya.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang artikulong ito ay tungkol sa parallel lines at tungkol sa parallel lines. Una, ang kahulugan ng magkatulad na linya sa eroplano at sa espasyo ay ibinigay, ang notasyon ay ipinakilala, ang mga halimbawa at mga graphic na ilustrasyon ng parallel na linya ay ibinigay. Dagdag pa, sinusuri ang mga palatandaan at kundisyon ng paralelismo ng mga tuwid na linya. Sa konklusyon, ang mga solusyon ay ipinapakita para sa mga tipikal na problema ng pagpapatunay ng parallelism ng mga tuwid na linya, na ibinibigay ng ilang mga equation ng isang tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano at sa tatlong-dimensional na espasyo.

Pag-navigate sa pahina.

Parallel lines - pangunahing impormasyon.

Kahulugan.

Dalawang linya sa isang eroplano ang tinatawag parallel kung wala silang common points.

Kahulugan.

Dalawang linya sa tatlong dimensyon ang tinatawag parallel kung nakahiga sila sa parehong eroplano at walang mga karaniwang punto.

Tandaan na ang sugnay na "kung nakahiga sila sa parehong eroplano" sa kahulugan ng mga parallel na linya sa espasyo ay napakahalaga. Linawin natin ang puntong ito: ang dalawang tuwid na linya sa three-dimensional na espasyo na walang mga karaniwang punto at hindi nakahiga sa parehong eroplano ay hindi magkatulad, ngunit skew.

Narito ang ilang mga halimbawa ng parallel lines. Ang kabaligtaran na mga gilid ng notebook sheet ay nakahiga sa mga parallel na linya. Ang mga tuwid na linya kung saan ang eroplano ng dingding ng bahay ay nagsalubong sa mga eroplano ng kisame at sahig ay magkatulad. Ang mga riles ng tren sa patag na lupa ay maaari ding ituring na magkatulad na linya.

Ang simbolo na "" ay ginagamit upang tukuyin ang magkatulad na mga linya. Iyon ay, kung ang mga linya a at b ay magkatulad, maaari mong maikli ang pagsulat ng isang b.

Tandaan na kung ang mga linya a at b ay magkatulad, maaari nating sabihin na ang linya a ay parallel sa linya b, at gayundin ang linyang b ay parallel sa linya a.

Let us voice a statement that plays a important role in the study of parallel lines in the plane: through a point not lying on a given line, there pass the only line parallel to the given one. Ang pahayag na ito ay tinatanggap bilang isang katotohanan (hindi ito maaaring patunayan sa batayan ng mga kilalang axioms ng planimetry), at ito ay tinatawag na axiom ng parallel lines.

Para sa kaso sa kalawakan, ang teorama ay totoo: sa anumang punto sa espasyo na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, mayroong pumasa sa isang linya na kahanay sa ibinigay na isa. Ang theorem na ito ay madaling mapatunayan gamit ang axiom ng parallel lines na ibinigay sa itaas (makikita mo ang patunay nito sa geometry textbook para sa mga grade 10-11, na nakalista sa dulo ng artikulo sa bibliograpiya).

Para sa kaso sa kalawakan, ang teorama ay totoo: sa anumang punto sa espasyo na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, mayroong pumasa sa isang linya na kahanay sa ibinigay na isa. Ang teorama na ito ay madaling napatunayan gamit ang axiom ng mga parallel na linya na ibinigay sa itaas.

Paralelismo ng mga linya - mga palatandaan at kundisyon ng paralelismo.

Isang tanda ng magkatulad na linya ay isang sapat na kondisyon para sa magkatulad na mga linya, iyon ay, tulad ng isang kondisyon, ang katuparan nito ay ginagarantiyahan ang magkatulad na mga linya. Sa madaling salita, ang katuparan ng kundisyong ito ay sapat na upang sabihin ang katotohanan na ang mga linya ay magkatulad.

Mayroon ding kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa mga parallel na linya sa eroplano at sa tatlong-dimensional na espasyo.

Ipaliwanag natin ang kahulugan ng pariralang "kailangan at sapat na kondisyon para sa magkatulad na mga linya".

Napag-usapan na namin ang sapat na kundisyon para sa mga parallel na linya. At ano ang "kinakailangang kundisyon para sa mga parallel na linya"? Sa pamamagitan ng pangalang "kailangan" ay malinaw na ang katuparan ng kundisyong ito ay kinakailangan para ang mga linya ay magkatulad. Sa madaling salita, kung ang kinakailangang kondisyon para sa mga parallel na linya ay hindi nasiyahan, kung gayon ang mga linya ay hindi parallel. Sa ganitong paraan, kailangan at sapat na kundisyon para magkaparehas ang mga linya ay isang kondisyon, ang katuparan nito ay parehong kinakailangan at sapat para sa magkatulad na linya. Iyon ay, sa isang banda, ito ay isang tanda ng parallel na mga linya, at sa kabilang banda, ito ay isang pag-aari na mayroon ang mga parallel na linya.

Bago ipahayag ang kinakailangan at sapat na kundisyon para magkaparehas ang mga linya, kapaki-pakinabang na alalahanin ang ilang pantulong na kahulugan.

secant line ay isang linya na nagsasalubong sa bawat isa sa dalawang ibinigay na linyang hindi magkatugma.

Sa intersection ng dalawang linya ng isang secant, walong hindi naka-deploy ang nabuo. Ang tinatawag na nakahiga crosswise, kaukulang at isang panig na sulok. Ipakita natin sila sa drawing.

Teorama.

Kung ang dalawang tuwid na linya sa isang eroplano ay tinawid ng isang secant, kung gayon para sa kanilang parallelism ito ay kinakailangan at sapat na ang mga crosswise lying na anggulo ay pantay, o ang mga kaukulang anggulo ay pantay, o ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay katumbas ng 180 degrees .

Ipakita natin ang isang graphical na paglalarawan ng kinakailangan at sapat na kondisyong ito para sa magkatulad na linya sa eroplano.

Makakahanap ka ng mga patunay ng mga kundisyong ito para sa mga parallel na linya sa mga aklat-aralin sa geometry para sa mga baitang 7-9.

Tandaan na ang mga kundisyong ito ay maaari ding gamitin sa tatlong-dimensional na espasyo - ang pangunahing bagay ay ang dalawang linya at ang secant ay nasa parehong eroplano.

Narito ang ilan pang theorems na kadalasang ginagamit sa pagpapatunay ng paralelismo ng mga linya.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa isang eroplano ay parallel sa isang ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel. Ang patunay ng tampok na ito ay sumusunod mula sa axiom ng mga parallel na linya.

Mayroong katulad na kondisyon para sa mga parallel na linya sa tatlong-dimensional na espasyo.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa espasyo ay parallel sa isang ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel. Ang patunay ng tampok na ito ay isinasaalang-alang sa mga aralin sa geometry sa grade 10.

Ilarawan natin ang mga tinig na theorems.

Magbigay tayo ng isa pang theorem na nagpapahintulot sa atin na patunayan ang paralelismo ng mga linya sa eroplano.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa isang eroplano ay patayo sa isang ikatlong linya, kung gayon ang mga ito ay parallel.

Mayroong katulad na teorama para sa mga linya sa espasyo.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa three-dimensional na espasyo ay patayo sa parehong eroplano, kung gayon ang mga ito ay parallel.

Gumuhit tayo ng mga larawang naaayon sa mga teorema na ito.

Ang lahat ng theorems na nabuo sa itaas, mga palatandaan at kinakailangan at sapat na mga kondisyon ay ganap na angkop para sa pagpapatunay ng paralelismo ng mga tuwid na linya sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng geometry. Iyon ay, upang patunayan ang parallelism ng dalawang ibinigay na mga linya, kinakailangan upang ipakita na sila ay kahanay sa ikatlong linya, o upang ipakita ang pagkakapantay-pantay ng mga cross-lying na anggulo, atbp. Marami sa mga problemang ito ay nalutas sa mga aralin sa geometry sa mataas na paaralan. Gayunpaman, dapat tandaan na sa maraming mga kaso ito ay maginhawa upang gamitin ang paraan ng mga coordinate upang patunayan ang parallelism ng mga linya sa isang eroplano o sa tatlong-dimensional na espasyo. Bumuo tayo ng kailangan at sapat na mga kundisyon para sa parallelism ng mga linya na ibinibigay sa isang rectangular coordinate system.

Parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system.

Sa seksyong ito ng artikulo, bubuo tayo kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa mga parallel na linya sa isang rectangular coordinate system, depende sa uri ng mga equation na tumutukoy sa mga linyang ito, at magbibigay din kami ng mga detalyadong solusyon sa mga karaniwang problema.

Magsimula tayo sa kondisyon ng parallelism ng dalawang linya sa eroplano sa rectangular coordinate system na Oxy . Ang kanyang patunay ay batay sa kahulugan ng nagdidirekta na vector ng linya at ang kahulugan ng normal na vector ng linya sa eroplano.

Teorama.

Para magkaparehas ang dalawang linyang hindi magkatugma sa isang eroplano, kinakailangan at sapat na ang mga vector ng direksyon ng mga linyang ito ay collinear, o ang mga normal na vector ng mga linyang ito ay collinear, o ang vector ng direksyon ng isang linya ay patayo sa normal. vector ng pangalawang linya.

Malinaw, ang kondisyon ng parallelism ng dalawang linya sa eroplano ay bumababa sa (mga vector ng direksyon ng mga linya o normal na mga vector ng mga linya) o sa (vektor ng direksyon ng isang linya at normal na vector ng pangalawang linya). Kaya, kung at ang mga vector ng direksyon ng mga linyang a at b, at at ay ang mga normal na vector ng mga linya a at b, ayon sa pagkakabanggit, kung gayon ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa magkatulad na mga linya a at b ay maaaring isulat bilang , o , o , kung saan ang t ay ilang tunay na numero. Sa turn, ang mga coordinate ng pagdidirekta at (o) normal na mga vector ng mga tuwid na linya a at b ay matatagpuan mula sa mga kilalang equation ng mga tuwid na linya.

Sa partikular, kung ang linya a sa rectangular coordinate system na Oxy sa eroplano ay tumutukoy sa pangkalahatang equation ng linya ng form , at ang tuwid na linya b - , kung gayon ang mga normal na vector ng mga linyang ito ay may mga coordinate at ayon sa pagkakabanggit, at ang kondisyon ng parallelism ng mga linyang a at b ay isusulat bilang .

Kung ang tuwid na linya a ay tumutugma sa equation ng tuwid na linya na may slope coefficient ng form . Samakatuwid, kung ang mga tuwid na linya sa isang eroplano sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay parallel at maaaring ibigay ng mga equation ng mga tuwid na linya na may mga slope coefficient, kung gayon ang mga slope coefficient ng mga linya ay magiging pantay. At kabaligtaran: kung ang mga di-nagkataon na tuwid na linya sa isang eroplano sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay maaaring ibigay ng mga equation ng isang tuwid na linya na may pantay na mga coefficient ng slope, kung gayon ang mga tuwid na linya ay parallel.

Kung ang linya a at ang linya b sa isang rectangular coordinate system ay tumutukoy sa mga canonical equation ng linya sa eroplano ng form at , o mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano ng form at ayon sa pagkakabanggit, kung gayon ang mga vector ng direksyon ng mga linyang ito ay may mga coordinate at , at ang parallelism na kondisyon para sa mga linyang a at b ay nakasulat bilang .

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa.

Parallel ba ang mga linya? at ?

Solusyon.

Isinulat namin muli ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment sa anyo ng isang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya: . Ngayon ay makikita natin na ang normal na vector ng tuwid na linya , at ang normal na vector ng tuwid na linya. Ang mga vector na ito ay hindi collinear, dahil walang tunay na numero t kung saan ang pagkakapantay-pantay ( ). Dahil dito, ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga linya sa eroplano ay hindi nasiyahan, samakatuwid, ang mga ibinigay na linya ay hindi magkatulad.

Sagot:

Hindi, ang mga linya ay hindi parallel.

Halimbawa.

Ang mga linya at parallel ba?

Solusyon.

Dinadala namin ang canonical equation ng isang tuwid na linya sa equation ng isang tuwid na linya na may slope: . Malinaw, ang mga equation ng mga linya at ay hindi pareho (sa kasong ito, ang mga ibinigay na linya ay magiging pareho) at ang mga slope ng mga linya ay pantay-pantay, samakatuwid, ang orihinal na mga linya ay parallel.

Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa mga parallel na linya, magbigay ng mga kahulugan, italaga ang mga palatandaan at kundisyon ng paralelismo. Para sa kalinawan ng teoretikal na materyal, gagamitin namin ang mga guhit at ang solusyon ng mga tipikal na halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Depinisyon 1

Parallel lines sa eroplano ay dalawang tuwid na linya sa eroplano na walang mga karaniwang puntos.

Kahulugan 2

Mga parallel na linya sa 3D space- dalawang tuwid na linya sa tatlong-dimensional na espasyo na nasa parehong eroplano at walang mga karaniwang punto.

Dapat pansinin na upang matukoy ang magkatulad na mga linya sa kalawakan, ang paglilinaw na "nakahiga sa parehong eroplano" ay napakahalaga: dalawang linya sa tatlong-dimensional na espasyo na walang mga karaniwang punto at hindi nakahiga sa parehong eroplano ay hindi parallel, ngunit intersecting.

Upang tukuyin ang mga parallel na linya, karaniwang gamitin ang simbolo ∥ . Iyon ay, kung ang mga ibinigay na linya a at b ay magkatulad, ang kundisyong ito ay dapat na maikli na isulat tulad ng sumusunod: a ‖ b . Sa salita, ang parallelism ng mga linya ay ipinahiwatig tulad ng sumusunod: ang mga linya a at b ay parallel, o linya a ay parallel sa linya b, o linya b ay parallel sa linya a.

Bumuo tayo ng isang pahayag na may mahalagang papel sa paksang pinag-aaralan.

Axiom

Sa pamamagitan ng isang punto na hindi kabilang sa isang ibinigay na linya, mayroon lamang isang linya na parallel sa ibinigay na linya. Ang pahayag na ito ay hindi maaaring patunayan sa batayan ng mga kilalang axioms ng planimetry.

Sa kaso pagdating sa espasyo, ang theorem ay totoo:

Teorama 1

Sa pamamagitan ng anumang punto sa espasyo na hindi kabilang sa isang ibinigay na linya, magkakaroon lamang ng isang linya na kahanay sa ibinigay na linya.

Ang theorem na ito ay madaling patunayan batay sa itaas na axiom (geometry program para sa mga grado 10-11).

Ang tanda ng parallelism ay isang sapat na kondisyon kung saan ang mga parallel na linya ay ginagarantiyahan. Sa madaling salita, ang katuparan ng kundisyong ito ay sapat na upang kumpirmahin ang katotohanan ng paralelismo.

Sa partikular, may mga kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa paralelismo ng mga linya sa eroplano at sa kalawakan. Ipaliwanag natin: kinakailangan ay nangangahulugan ng kondisyon, ang katuparan nito ay kinakailangan para sa magkatulad na linya; kung hindi ito nasiyahan, ang mga linya ay hindi parallel.

Sa pagbubuod, ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga linya ay isang kondisyon, ang pagsunod sa kung saan ay kinakailangan at sapat para sa mga linya upang maging parallel sa bawat isa. Sa isang banda, ito ay isang tanda ng paralelismo, sa kabilang banda, isang ari-arian na likas sa magkatulad na mga linya.

Bago magbigay ng isang tumpak na pagbabalangkas ng kinakailangan at sapat na mga kondisyon, naaalala namin ang ilang karagdagang mga konsepto.

Kahulugan 3

secant line ay isang linya na nagsasalubong sa bawat isa sa dalawang ibinigay na linyang hindi magkatugma.

Sa interseksyon ng dalawang tuwid na linya, ang secant ay bumubuo ng walong hindi pinalawak na mga anggulo. Upang bumalangkas ng kinakailangan at sapat na kondisyon, gagamitin namin ang mga uri ng mga anggulo gaya ng cross-lying, kaukulang, at one-sided. Ipakita natin ang mga ito sa ilustrasyon:

Teorama 2

Kung ang dalawang linya sa isang eroplano ay nag-intersect sa isang secant, kung gayon para sa mga ibinigay na mga linya ay parallel ito ay kinakailangan at sapat na ang mga crosswise lying na anggulo ay pantay, o ang mga kaukulang anggulo ay pantay, o ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay katumbas ng 180 degrees.

Ilarawan natin nang graphical ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa magkatulad na linya sa eroplano:

Ang patunay ng mga kundisyong ito ay nasa geometry program para sa mga baitang 7-9.

Sa pangkalahatan, ang mga kundisyong ito ay nalalapat din sa tatlong-dimensional na espasyo, sa kondisyon na ang dalawang linya at ang secant ay nabibilang sa parehong eroplano.

Ituro natin ang ilan pang theorems na kadalasang ginagamit sa pagpapatunay ng katotohanan na ang mga linya ay parallel.

Teorama 3

Sa isang eroplano, dalawang linya na parallel sa isang third ay parallel sa isa't isa. Ang tampok na ito ay pinatunayan sa batayan ng axiom ng parallelism na binanggit sa itaas.

Teorama 4

Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang dalawang linya na parallel sa isang third ay parallel sa isa't isa.

Ang patunay ng katangian ay pinag-aralan sa 10th grade geometry program.

Nagbibigay kami ng isang paglalarawan ng mga theorems na ito:

Ipahiwatig natin ang isa pang pares ng theorems na nagpapatunay sa paralelismo ng mga linya.

Teorama 5

Sa isang eroplano, ang dalawang linya na patayo sa isang pangatlo ay parallel sa bawat isa.

Bumuo tayo ng isang katulad para sa isang three-dimensional na espasyo.

Teorama 6

Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang dalawang linya na patayo sa isang pangatlo ay parallel sa isa't isa.

Ilarawan natin:

Ang lahat ng mga theorems sa itaas, mga palatandaan at kundisyon ay ginagawang posible upang maginhawang patunayan ang paralelismo ng mga linya sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng geometry. Iyon ay, upang patunayan ang parallelism ng mga linya, maaaring ipakita ng isa na ang mga katumbas na anggulo ay pantay, o ipakita ang katotohanan na ang dalawang ibinigay na linya ay patayo sa pangatlo, at iba pa. Ngunit tandaan namin na madalas na mas maginhawang gamitin ang paraan ng coordinate upang patunayan ang parallelism ng mga linya sa isang eroplano o sa tatlong-dimensional na espasyo.

Parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system

Sa isang ibinigay na rectangular coordinate system, ang isang tuwid na linya ay tinutukoy ng equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano ng isa sa mga posibleng uri. Katulad nito, ang isang tuwid na linya na ibinigay sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate sa tatlong-dimensional na espasyo ay tumutugma sa ilang mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo.

Isulat natin ang kailangan at sapat na mga kondisyon para sa parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system, depende sa uri ng equation na naglalarawan sa mga ibinigay na linya.

Magsimula tayo sa kondisyon ng parallel lines sa eroplano. Ito ay batay sa mga kahulugan ng vector ng direksyon ng linya at ang normal na vector ng linya sa eroplano.

Teorama 7

Upang ang dalawang di-nagkataon na linya ay magkapareho sa isang eroplano, kinakailangan at sapat na ang mga vector ng direksyon ng mga ibinigay na linya ay magka-collinear, o ang mga normal na vector ng mga ibinigay na linya ay collinear, o ang vector ng direksyon ng isang linya ay patayo sa normal na vector ng kabilang linya.

Ito ay nagiging malinaw na ang kondisyon ng parallel lines sa eroplano ay batay sa kondisyon ng collinear vectors o ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang vectors. Iyon ay, kung ang a → = (a x , a y) at b → = (b x , b y) ay ang mga vector ng direksyon ng mga linya a at b ;

at n b → = (n b x , n b y) ay mga normal na vector ng mga linyang a at b , pagkatapos ay isusulat namin ang kinakailangan at sapat na kondisyon sa itaas tulad ng sumusunod: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y o n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y o a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , kung saan ang t ay ilang totoong numero. Ang mga coordinate ng nagdidirekta o direktang mga vector ay tinutukoy ng mga ibinigay na equation ng mga linya. Isaalang-alang natin ang mga pangunahing halimbawa.

1. Ang linya a sa isang rectangular coordinate system ay tinutukoy ng pangkalahatang equation ng linya: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; linya b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Pagkatapos ang mga normal na vector ng mga ibinigay na linya ay magkakaroon ng mga coordinate (A 1 , B 1) at (A 2 , B 2) ayon sa pagkakabanggit. Isinulat namin ang kondisyon ng paralelismo tulad ng sumusunod:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Ang tuwid na linya a ay inilalarawan ng equation ng isang tuwid na linya na may slope ng anyong y = k 1 x + b 1 . Tuwid na linya b - y \u003d k 2 x + b 2. Pagkatapos ang mga normal na vector ng mga ibinigay na linya ay magkakaroon ng mga coordinate (k 1 , - 1) at (k 2 , - 1), ayon sa pagkakabanggit, at ang kondisyon ng parallelism ay isusulat tulad ng sumusunod:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Kaya, kung ang mga parallel na linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate system ay ibinibigay ng mga equation na may slope coefficients, kung gayon ang slope coefficient ng mga ibinigay na linya ay magiging pantay. At ang kabaligtaran na pahayag ay totoo: kung ang mga di-nagtutugmang linya sa isang eroplano sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay tinutukoy ng mga equation ng isang linya na may parehong mga coefficient ng slope, kung gayon ang mga ibinigay na linya ay parallel.

1. Ang mga linya a at b sa isang rectangular coordinate system ay ibinibigay ng mga canonical equation ng linya sa eroplano: x - x 1 a x = y - y 1 a y at x - x 2 b x = y - y 2 b y o ang mga parametric equation ng linya sa eroplano: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y at x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Kung gayon ang mga vector ng direksyon ng mga ibinigay na linya ay magiging: a x , a y at b x , b y ayon sa pagkakabanggit, at isinusulat namin ang parallelism na kondisyon tulad ng sumusunod:

a x = t b x a y = t b y

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa 1

Ibinigay ang dalawang linya: 2 x - 3 y + 1 = 0 at x 1 2 + y 5 = 1 . Kailangan mong matukoy kung sila ay parallel.

Solusyon

Isinulat namin ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment sa anyo ng isang pangkalahatang equation:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Nakikita natin na ang n a → = (2 , - 3) ay ang normal na vector ng linya 2 x - 3 y + 1 = 0 , at n b → = 2 , 1 5 ay ang normal na vector ng linya x 1 2 + y 5 = 1 .

Ang mga resultang vectors ay hindi collinear, dahil walang ganoong halaga ng t kung saan ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Kaya, ang kinakailangan at sapat na kondisyon ng parallelism ng mga linya sa eroplano ay hindi nasiyahan, na nangangahulugan na ang mga ibinigay na linya ay hindi parallel.

Sagot: ang mga binigay na linya ay hindi parallel.

Halimbawa 2

Ibinigay na mga linyang y = 2 x + 1 at x 1 = y - 4 2 . Parallel ba sila?

Solusyon

Ibahin natin ang canonical equation ng tuwid na linya x 1 \u003d y - 4 2 sa equation ng isang tuwid na linya na may slope:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Nakikita natin na ang mga equation ng mga linyang y = 2 x + 1 at y = 2 x + 4 ay hindi pareho (kung hindi man, ang mga linya ay magiging pareho) at ang mga slope ng mga linya ay pantay, na nangangahulugan na ang mga ibinigay na linya ay parallel.

Subukan nating lutasin ang problema sa ibang paraan. Una, sinusuri namin kung ang mga ibinigay na linya ay nag-tutugma. Gumagamit kami ng anumang punto ng linya y \u003d 2 x + 1, halimbawa, (0, 1), ang mga coordinate ng puntong ito ay hindi tumutugma sa equation ng linya x 1 \u003d y - 4 2, na nangangahulugang hindi nagtutugma ang mga linya.

Ang susunod na hakbang ay upang matukoy ang katuparan ng kondisyon ng paralelismo para sa mga ibinigay na linya.

Ang normal na vector ng linyang y = 2 x + 1 ay ang vector n a → = (2 , - 1) , at ang vector ng direksyon ng pangalawang ibinigay na linya ay b → = (1 , 2) . Ang scalar product ng mga vector na ito ay zero:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Kaya, ang mga vector ay patayo: ito ay nagpapakita sa amin ng katuparan ng kinakailangan at sapat na kondisyon para ang orihinal na mga linya ay magkatulad. Yung. ang mga ibinigay na linya ay parallel.

Sagot: ang mga linyang ito ay parallel.

Upang patunayan ang parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system ng tatlong-dimensional na espasyo, ang sumusunod na kinakailangan at sapat na kondisyon ay ginagamit.

Teorama 8

Para magkaparehas ang dalawang di-nagkataon na linya sa tatlong-dimensional na espasyo, kinakailangan at sapat na ang mga vector ng direksyon ng mga linyang ito ay magka-collinear.

Yung. para sa mga ibinigay na equation ng mga linya sa tatlong-dimensional na espasyo, ang sagot sa tanong: sila ba ay magkatulad o hindi, ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagtukoy sa mga coordinate ng mga vector ng direksyon ng mga ibinigay na linya, pati na rin ang pagsuri sa kondisyon ng kanilang collinearity. Sa madaling salita, kung ang a → = (a x, a y, a z) at b → = (b x, b y, b z) ay ang mga vector ng direksyon ng mga linyang a at b, ayon sa pagkakabanggit, kung gayon upang maging magkatulad ang mga ito, ang pagkakaroon ng gayong tunay na bilang t ay kinakailangan, upang ang pagkakapantay-pantay ay may hawak na:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Halimbawa 3

Given lines x 1 = y - 2 0 = z + 1-3 at x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3-6 λ . Kinakailangang patunayan ang paralelismo ng mga linyang ito.

Solusyon

Ang mga kondisyon ng problema ay ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya sa espasyo at ang parametric equation ng isa pang tuwid na linya sa espasyo. Mga vector ng direksyon a → at b → ang mga ibinigay na linya ay may mga coordinate: (1 , 0 , - 3) at (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , pagkatapos ay a → = 1 2 b → .

Samakatuwid, ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa mga parallel na linya sa espasyo ay nasiyahan.

Sagot: napatunayan ang paralelismo ng mga ibinigay na linya.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter