Kabilang sa iba't ibang mga expression na isinasaalang-alang sa algebra, ang mga kabuuan ng monomials ay sumasakop sa isang mahalagang lugar. Narito ang mga halimbawa ng gayong mga expression:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Ang kabuuan ng monomials ay tinatawag na polynomial. Ang mga termino sa isang polynomial ay tinatawag na mga miyembro ng polynomial. Ang mga monomial ay tinutukoy din bilang mga polynomial, na isinasaalang-alang ang isang monomial bilang isang polynomial na binubuo ng isang miyembro.
Halimbawa, polynomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
maaaring gawing simple.
Kinakatawan namin ang lahat ng mga termino bilang monomials ng karaniwang anyo:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Nagbibigay kami ng mga katulad na termino sa nagresultang polynomial:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Ang resulta ay isang polynomial, ang lahat ng mga miyembro nito ay monomials ng karaniwang anyo, at kasama ng mga ito ay walang mga katulad. Ang ganitong mga polynomial ay tinatawag polynomial ng karaniwang anyo.
Per polynomial degree karaniwang anyo ang pinakamalaki sa mga kapangyarihan ng mga miyembro nito. Kaya, ang binomial \(12a^2b - 7b \) ay may ikatlong antas, at ang trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) ay may pangalawa.
Karaniwan, ang mga tuntunin ng mga karaniwang anyo na polynomial na naglalaman ng isang variable ay nakaayos sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga exponent nito. Halimbawa:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Ang kabuuan ng ilang polynomial ay maaaring i-convert (pinasimple) sa isang karaniwang anyo na polynomial.
Minsan ang mga miyembro ng isang polynomial ay kailangang hatiin sa mga grupo, na nakapaloob sa bawat pangkat sa mga panaklong. Dahil ang mga panaklong ay kabaligtaran ng mga panaklong, madali itong bumalangkas mga panuntunan sa pagbubukas ng panaklong:
Kung ang + sign ay inilalagay bago ang mga bracket, ang mga termino na nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may parehong mga palatandaan.
Kung ang isang "-" na palatandaan ay inilagay sa harap ng mga bracket, ang mga termino na nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may kabaligtaran na mga palatandaan.
Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng isang monomial at isang polynomial
Gamit ang distributive property ng multiplication, maaaring ibahin (pasimplehin) ng isa ang produkto ng isang monomial at isang polynomial sa isang polynomial. Halimbawa:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Ang produkto ng isang monomial at isang polynomial ay magkapareho sa kabuuan ng mga produkto ng monomial na ito at bawat isa sa mga termino ng polynomial.
Ang resultang ito ay kadalasang binabalangkas bilang panuntunan.
Upang i-multiply ang isang monomial sa isang polynomial, dapat isa paramihin ang monomial na ito sa bawat isa sa mga tuntunin ng polynomial.
Paulit-ulit naming ginamit ang panuntunang ito para sa pagpaparami ng kabuuan.
Ang produkto ng polynomials. Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng dalawang polynomial
Sa pangkalahatan, ang produkto ng dalawang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng produkto ng bawat termino ng isang polynomial at bawat termino ng isa pa.
Karaniwang gamitin ang sumusunod na panuntunan.
Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa at idagdag ang mga resultang produkto.
Mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Mga parisukat ng Kabuuan, Pagkakaiba, at Pagkakaiba
Ang ilang mga expression sa algebraic transformations ay kailangang harapin nang mas madalas kaysa sa iba. Marahil ang pinakakaraniwang mga expression ay \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) at \(a^2 - b^2 \), iyon ay, ang parisukat ng kabuuan, ang parisukat ng pagkakaiba, at parisukat na pagkakaiba. Napansin mo na ang mga pangalan ng ipinahiwatig na mga expression ay tila hindi kumpleto, kaya, halimbawa, \((a + b)^2 \) ay, siyempre, hindi lamang ang parisukat ng kabuuan, ngunit ang parisukat ng kabuuan ng a at b. Gayunpaman, ang parisukat ng kabuuan ng a at b ay hindi gaanong karaniwan, bilang panuntunan, sa halip na mga titik a at b, naglalaman ito ng iba't ibang, minsan medyo kumplikadong mga expression.
Ang mga ekspresyong \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ay madaling i-convert (pasimplehin) sa mga polynomial ng karaniwang anyo, sa katunayan, natugunan mo na ang ganoong gawain kapag nagpaparami ng mga polynomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Ang mga resultang pagkakakilanlan ay kapaki-pakinabang na tandaan at ilapat nang walang mga intermediate na kalkulasyon. Ang mga maikling pormulasyon sa salita ay nakakatulong dito.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ang parisukat ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat at ang dobleng produkto.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - ang parisukat ng pagkakaiba ay ang kabuuan ng mga parisukat nang hindi nadodoble ang produkto.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ang pagkakaiba ng mga parisukat ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan.
Ang tatlong pagkakakilanlang ito ay nagpapahintulot sa mga pagbabagong palitan ang kanilang mga kaliwang bahagi ng mga kanan at vice versa - mga kanang bahagi ng mga kaliwa. Ang pinakamahirap na bagay sa kasong ito ay upang makita ang kaukulang mga expression at maunawaan kung ano ang mga variable na a at b ay pinalitan sa kanila. Tingnan natin ang ilang halimbawa ng paggamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.
Sa araling ito, aalalahanin natin ang mga pangunahing kahulugan ng paksang ito at isaalang-alang ang ilang tipikal na gawain, ibig sabihin, pagdadala ng polynomial sa isang karaniwang anyo at pagkalkula ng numerical na halaga para sa mga ibinigay na variable na halaga. Lutasin natin ang ilang mga halimbawa kung saan ilalapat ang pagbabawas sa karaniwang anyo upang malutas ang iba't ibang uri ng mga problema.
Paksa:Mga polynomial. Mga operasyong aritmetika sa mga monomial
Aralin:Pagbawas ng isang polynomial sa isang karaniwang anyo. Mga karaniwang gawain
Alalahanin ang pangunahing kahulugan: ang polynomial ay ang kabuuan ng mga monomial. Ang bawat monomial na bahagi ng isang polynomial bilang isang termino ay tinatawag na miyembro nito. Halimbawa:
Binomial;
Polinomyal;
Binomial;
Dahil ang polynomial ay binubuo ng mga monomial, ang unang aksyon na may polynomial ay sumusunod mula dito - kailangan mong dalhin ang lahat ng mga monomial sa karaniwang anyo. Alalahanin na para dito kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numerical na kadahilanan - kumuha ng isang numerical coefficient, at i-multiply ang kaukulang kapangyarihan - makuha ang bahagi ng titik. Bilang karagdagan, bigyang-pansin natin ang theorem sa produkto ng mga kapangyarihan: kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan, ang kanilang mga exponents ay nagdaragdag.
Isaalang-alang ang isang mahalagang operasyon - pagdadala ng polynomial sa isang karaniwang anyo. Halimbawa:
Komento: upang dalhin ang polynomial sa karaniwang anyo, kailangan mong dalhin sa karaniwang anyo ang lahat ng monomial na bahagi nito, pagkatapos nito, kung may mga katulad na monomial - at ito ay mga monomial na may parehong bahagi ng titik - magsagawa ng mga aksyon kasama nila.
Kaya, isinasaalang-alang namin ang unang karaniwang problema - ang pagdadala ng polynomial sa isang karaniwang anyo.
Ang susunod na tipikal na gawain ay ang pagkalkula ng isang tiyak na halaga ng isang polynomial para sa ibinigay na mga numerical na halaga ng mga variable na kasama dito. Patuloy nating isaalang-alang ang nakaraang halimbawa at itakda ang mga halaga ng mga variable:
Komentaryo: Alalahanin na ang isa sa anumang natural na kapangyarihan ay katumbas ng isa, at ang zero sa anumang natural na kapangyarihan ay katumbas ng zero, bilang karagdagan, naaalala natin na kapag nag-multiply ng anumang numero sa zero, makakakuha tayo ng zero.
Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng mga tipikal na operasyon ng pagdadala ng polynomial sa isang karaniwang anyo at pagkalkula ng halaga nito:
Halimbawa 1 - dalhin sa karaniwang anyo:
Komento: ang unang aksyon - dinadala namin ang mga monomial sa karaniwang anyo, kailangan mong dalhin ang una, pangalawa at ikaanim; ang pangalawang aksyon - nagbibigay kami ng mga katulad na miyembro, iyon ay, ginagawa namin ang ibinigay na mga operasyon sa aritmetika sa kanila: ang una ay idinagdag sa ikalima, ang pangalawa sa pangatlo, ang iba ay muling isinulat nang walang mga pagbabago, dahil wala silang mga katulad.
Halimbawa 2 - kalkulahin ang halaga ng polynomial mula sa halimbawa 1 na ibinigay ang mga halaga ng mga variable:
Komento: kapag kinakalkula, dapat tandaan na ang isang yunit sa anumang natural na antas ay isang yunit, kung mahirap kalkulahin ang mga kapangyarihan ng dalawa, maaari mong gamitin ang talahanayan ng kapangyarihan.
Halimbawa 3 - sa halip na isang asterisk, ilagay ang gayong monomial upang ang resulta ay hindi naglalaman ng isang variable:
Komento: anuman ang gawain, ang unang aksyon ay palaging pareho - upang dalhin ang polynomial sa karaniwang anyo. Sa aming halimbawa, ang pagkilos na ito ay nabawasan sa pag-cast tulad ng mga miyembro. Pagkatapos nito, dapat mong maingat na basahin muli ang kundisyon at isipin kung paano namin mapupuksa ang monomial. malinaw na para dito kailangan mong idagdag ang parehong monomial dito, ngunit may kabaligtaran na pag-sign -. pagkatapos ay papalitan natin ang asterisk ng monomial na ito at siguraduhing tama ang ating desisyon.
Ang polynomial ay isang kabuuan ng mga monomial. Kung ang lahat ng mga termino ng polynomial ay nakasulat sa karaniwang anyo (tingnan ang aytem 51) at ang pagbabawas ng mga katulad na termino ay ginanap, pagkatapos ay isang polynomial ng karaniwang anyo ang makukuha.
Anumang integer expression ay maaaring mabago sa isang polynomial ng karaniwang anyo - ito ang layunin ng mga pagbabagong-anyo (pagpapasimple) ng mga integer na expression.
Isaalang-alang ang mga halimbawa kung saan ang buong expression ay dapat na bawasan sa karaniwang anyo ng isang polynomial.
Solusyon. Una, dinadala namin ang mga tuntunin ng polynomial sa karaniwang anyo. Nakukuha namin Pagkatapos ng pagbabawas ng mga katulad na termino, nakakakuha kami ng polynomial ng karaniwang anyo
Solusyon. Kung mayroong plus sign sa harap ng mga bracket, maaaring tanggalin ang mga bracket, na pinapanatili ang mga palatandaan ng lahat ng termino na nakapaloob sa mga bracket. Gamit ang panuntunang ito para sa pagbubukas ng mga bracket, nakukuha namin ang:
Solusyon. Kung mayroong isang ziak "minus" sa harap ng mga bracket, kung gayon ang mga bracket ay maaaring tanggalin sa pamamagitan ng pagbabago ng mga palatandaan ng lahat ng mga termino na nakapaloob sa mga bracket. Gamit ang parenthesis escaping rule na ito, makukuha natin ang:
Solusyon. Ang produkto ng isang monomial at isang polynomial, ayon sa batas ng pamamahagi, ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng monomial na ito at ng bawat miyembro ng polynomial. Nakukuha namin
Solusyon. Meron kami
Solusyon. Meron kami
Ito ay nananatiling magbigay ng mga katulad na termino (sila ay may salungguhit). Nakukuha namin:
53. Mga formula para sa pinaikling multiplikasyon.
Sa ilang mga kaso, ang pagbawas ng buong expression sa karaniwang anyo ng isang polynomial ay isinasagawa gamit ang mga pagkakakilanlan:
Ang mga pagkakakilanlan na ito ay tinatawag na pinaikling mga pormula ng pagpaparami,
Isaalang-alang natin ang mga halimbawa kung saan kinakailangang i-convert ang isang naibigay na expression sa karaniwang anyo na myogles.
Halimbawa 1. .
Solusyon. Gamit ang formula (1), nakukuha natin ang:
Halimbawa 2. .
Solusyon.
Halimbawa 3. .
Solusyon. Gamit ang formula (3), nakukuha natin ang:
Halimbawa 4
Solusyon. Gamit ang formula (4), nakukuha natin ang:
54. Factorization ng polynomials.
Minsan maaari mong i-convert ang isang polynomial sa isang produkto ng ilang mga kadahilanan - polynomial o subterms. Ang ganitong pagbabago ng pagkakakilanlan ay tinatawag na factorization ng isang polynomial. Sa kasong ito, ang polynomial ay sinasabing mahahati ng bawat isa sa mga salik na ito.
Isaalang-alang ang ilang paraan ng factoring polynomials,
1) Pag-alis ng karaniwang salik sa bracket. Ang pagbabagong ito ay direktang kinahinatnan ng distributive law (para sa kalinawan, kinakailangan lamang na muling isulat ang batas na ito “mula kanan pakaliwa”):
Halimbawa 1. Pag-factor ng polynomial
Solusyon. .
Karaniwan, kapag inaalis ang common factor sa mga bracket, ang bawat variable na kasama sa lahat ng miyembro ng polynomial ay inaalis na may pinakamaliit na exponent na mayroon ito sa polynomial na ito. Kung ang lahat ng mga coefficient ng polynomial ay mga integer, kung gayon ang pinakamalaking modulo common divisor ng lahat ng coefficient ng polynomial ay kukunin bilang coefficient ng common factor.
2) Paggamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon. Ang mga formula (1) - (7) mula sa talata 53, na binabasa "mula kanan pakaliwa, sa maraming pagkakataon ay nagiging kapaki-pakinabang para sa pag-factor ng mga polynomial.
Halimbawa 2. I-factorize .
Solusyon. Meron kami . Paglalapat ng formula (1) (pagkakaiba ng mga parisukat), makuha namin ang . Nag-aaplay
ngayon ang mga formula (4) at (5) (kabuuan ng mga cube, pagkakaiba ng mga cube), nakukuha natin:
Halimbawa 3. .
Solusyon. Alisin muna natin ang karaniwang salik sa bracket. Upang gawin ito, makikita natin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga coefficient 4, 16, 16 at ang pinakamaliit na exponents kung saan ang mga variable a at b ay kasama sa mga monomial na bumubuo sa polynomial na ito. Nakukuha namin:
3) Paraan ng pagpapangkat. Ito ay batay sa katotohanan na ang commutative at associative na mga batas ng karagdagan ay nagbibigay-daan sa iyo na pangkatin ang mga termino ng isang polynomial sa iba't ibang paraan. Minsan ang ganitong pagpapangkat ay posible na pagkatapos i-bracket ang mga karaniwang salik sa bawat pangkat, ang isa at ang parehong polynomial ay nananatili sa mga bracket, na kung saan, bilang isang karaniwang kadahilanan, ay maaaring i-bracket. Isaalang-alang ang mga halimbawa ng factoring ng isang polynomial.
Halimbawa 4. .
Solusyon. Ipangkat natin ito ng ganito:
Sa unang grupo, inaalis natin ang karaniwang salik sa pangalawang pangkat - ang karaniwang salik 5. Nakukuha natin Ngayon ang polynomial bilang karaniwang salik na inaalis natin sa bracket: Kaya, nakukuha natin ang:
Halimbawa 5
Solusyon. .
Halimbawa 6
Solusyon. Dito, walang pagpapangkat na hahantong sa hitsura ng parehong polynomial sa lahat ng mga grupo. Sa ganitong mga kaso, minsan lumalabas na kapaki-pakinabang na kumatawan sa anumang termino ng polynomial bilang kabuuan, at pagkatapos ay subukang muli na ilapat ang paraan ng pagpapangkat. Sa aming halimbawa, ipinapayong kumatawan bilang isang kabuuan na nakukuha namin
Halimbawa 7
Solusyon. Nagdaragdag at nagbawas kami ng monomial, nakukuha namin
55. Mga polynomial sa isang variable.
Ang polynomial, kung saan ang a, b ay mga variable na numero, ay tinatawag na polynomial ng unang degree; isang polynomial kung saan ang a, b, c ay mga variable na numero, ay tinatawag na polynomial ng pangalawang degree o isang square trinomial; isang polynomial kung saan ang a, b, c, d ay mga numero, ang isang variable ay tinatawag na polynomial ng ikatlong degree.
Sa pangkalahatan, kung ang o ay isang variable, pagkatapos ay isang polynomial
ay tinatawag na lshomogeneal degree (na may paggalang sa x); , m-terms ng polynomial, coefficients, ang nangungunang termino ng polynomial, at ang coefficient ng nangungunang term, ang libreng termino ng polynomial. Karaniwan, ang polynomial ay nakasulat sa mga nagpapababang kapangyarihan ng variable, ibig sabihin, ang mga degree ng variable ay unti-unting bumababa, lalo na, ang senior term ay nasa unang lugar, at ang libreng termino ay nasa huli. Ang antas ng isang polynomial ay ang antas ng nangungunang termino.
Halimbawa, isang fifth-degree polynomial kung saan ang nangungunang termino, 1, ay ang libreng termino ng polynomial.
Ang ugat ng isang polynomial ay ang halaga kung saan nawawala ang polynomial. Halimbawa, ang bilang 2 ay ang ugat ng polynomial dahil
Sinabi namin na parehong karaniwan at hindi karaniwang polynomial ang nagaganap. Sa parehong lugar, nabanggit namin na anuman polynomial sa karaniwang anyo. Sa artikulong ito, malalaman muna natin kung ano ang kahulugan ng pariralang ito. Susunod, inilista namin ang mga hakbang na nagbibigay-daan sa iyong i-convert ang anumang polynomial sa isang karaniwang form. Panghuli, isaalang-alang ang mga solusyon sa karaniwang mga halimbawa. Ilalarawan namin ang mga solusyon sa mahusay na detalye upang harapin ang lahat ng mga nuances na lumitaw kapag nagdadala ng mga polynomial sa karaniwang anyo.
Pag-navigate sa pahina.
Ano ang ibig sabihin ng pagdadala ng polynomial sa karaniwang anyo?
Una kailangan mong malinaw na maunawaan kung ano ang ibig sabihin ng pagdadala ng polynomial sa isang karaniwang anyo. Harapin natin ito.
Ang mga polynomial, tulad ng anumang iba pang mga expression, ay maaaring sumailalim sa magkatulad na pagbabago. Bilang resulta ng naturang mga pagbabago, ang mga expression ay nakuha na magkapareho sa orihinal na expression. Kaya't ang pagganap ng ilang mga pagbabagong-anyo na may mga polynomial ng isang hindi karaniwang anyo ay nagpapahintulot sa amin na pumasa sa mga polynomial na magkapareho sa kanila, ngunit nakasulat na sa isang karaniwang anyo. Ang ganitong paglipat ay tinatawag na pagbabawas ng polynomial sa karaniwang anyo.
Kaya, dalhin ang polynomial sa karaniwang anyo- ito ay nangangahulugan ng pagpapalit ng orihinal na polynomial ng isang polynomial ng karaniwang anyo na kapareho nito, na nakuha mula sa orihinal sa pamamagitan ng pagsasagawa ng magkatulad na pagbabago.
Paano magdala ng polynomial sa karaniwang anyo?
Isipin natin kung anong mga pagbabago ang makakatulong sa atin na dalhin ang polynomial sa isang karaniwang anyo. Magsisimula tayo sa kahulugan ng isang polynomial ng karaniwang anyo.
Sa pamamagitan ng kahulugan, ang bawat termino ng isang karaniwang anyo na polynomial ay isang karaniwang anyo na monomial, at ang isang karaniwang anyo na polynomial ay hindi naglalaman ng mga ganoong termino. Sa turn, ang mga polynomial na nakasulat sa isang anyo maliban sa karaniwang anyo ay maaaring binubuo ng mga monomial sa isang hindi karaniwang anyo at maaaring maglaman ng mga katulad na termino. Ito ay lohikal na humahantong sa sumusunod na panuntunan. kung paano i-convert ang isang polynomial sa karaniwang anyo:
- kailangan mo munang dalhin sa karaniwang anyo ang mga monomial na bumubuo sa orihinal na polynomial,
- at pagkatapos ay isagawa ang pagbabawas ng mga katulad na miyembro.
Bilang resulta, ang isang karaniwang form na polynomial ay makukuha, dahil ang lahat ng mga miyembro nito ay isusulat sa karaniwang anyo, at hindi ito maglalaman ng mga naturang miyembro.
Mga Halimbawa, Mga Solusyon
Isaalang-alang ang mga halimbawa ng pagdadala ng mga polynomial sa karaniwang anyo. Kapag nag-solve, susundin namin ang mga hakbang na idinidikta ng panuntunan mula sa nakaraang talata.
Dito napapansin natin na kung minsan ang lahat ng mga termino ng isang polynomial ay nakasulat sa karaniwang anyo nang sabay-sabay, kung saan sapat na upang magdala ng mga katulad na termino. Minsan, pagkatapos na bawasan ang mga termino ng isang polynomial sa karaniwang anyo, walang katulad na mga miyembro, samakatuwid, ang yugto ng pagbabawas ng mga naturang miyembro sa kasong ito ay tinanggal. Sa pangkalahatan, kailangan mong gawin pareho.
Halimbawa.
Ipahayag ang mga polynomial sa karaniwang anyo: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5 at .
Solusyon.
Ang lahat ng mga miyembro ng polynomial 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 ay nakasulat sa karaniwang anyo, wala itong ganoong mga termino, samakatuwid, ang polynomial na ito ay ipinakita na sa karaniwang anyo.
Lumipat tayo sa susunod na polynomial 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5. Ang anyo nito ay hindi pamantayan, gaya ng pinatutunayan ng mga terminong 2·a 3 ·0.6 at −b·a·b 4 ·b 5 ng hindi karaniwang anyo. Katawanin natin ito sa karaniwang anyo.
Sa unang yugto ng pagdadala ng orihinal na polynomial sa karaniwang anyo, kailangan nating katawanin ang lahat ng miyembro nito sa karaniwang anyo. Samakatuwid, binabawasan natin ang monomial 2 a 3 0.6 sa karaniwang anyo, mayroon tayong 2 a 3 0.6=1.2 a 3 , pagkatapos nito ang monomial −b a b 4 b 5 , mayroon tayong −b a b 4 b 5 = −a b 1+4+5 = −a b 10. Sa ganitong paraan, . Sa nagresultang polynomial, ang lahat ng mga termino ay nakasulat sa karaniwang anyo; bukod dito, ito ay malinaw na wala itong mga naturang termino. Samakatuwid, nakumpleto nito ang pagbawas ng orihinal na polynomial sa karaniwang anyo.
Ito ay nananatiling kinakatawan sa karaniwang anyo ang huli sa mga binigay na polynomial. Pagkatapos dalhin ang lahat ng miyembro nito sa karaniwang anyo, ito ay isusulat bilang 
. Ito ay may katulad na mga miyembro, kaya kailangan mong mag-cast tulad ng mga miyembro: 
Kaya kinuha ng orihinal na polynomial ang karaniwang anyo −x y+1 .
Sagot:
5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – nasa karaniwang anyo na, 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5 =0.8+1.2 a 3 −a b 10, .
Kadalasan, ang pagdadala ng polynomial sa isang karaniwang anyo ay isang intermediate na hakbang lamang sa pagsagot sa tanong ng problema. Halimbawa, ang paghahanap ng antas ng isang polynomial ay nagsasangkot ng paunang representasyon nito sa isang karaniwang anyo.
Halimbawa.
Magdala ng polynomial 
sa karaniwang anyo, ipahiwatig ang antas nito at ayusin ang mga termino sa pababang kapangyarihan ng variable.
Solusyon.
Una, dinadala namin ang lahat ng mga tuntunin ng polynomial sa karaniwang anyo: 
.
Ngayon ay nagbibigay kami ng mga katulad na miyembro: 
Kaya dinala namin ang orihinal na polynomial sa karaniwang anyo, ito ay nagpapahintulot sa amin na matukoy ang antas ng polynomial, na katumbas ng pinakamalaking antas ng mga monomial na kasama dito. Malinaw na ito ay 5.
Ito ay nananatiling ayusin ang mga tuntunin ng polynomial sa pagbaba ng mga kapangyarihan ng mga variable. Upang gawin ito, kinakailangan lamang na muling ayusin ang mga termino sa nagresultang polynomial ng karaniwang anyo, na isinasaalang-alang ang kinakailangan. Ang terminong z 5 ay may pinakamataas na antas, ang mga antas ng mga termino , −0.5·z 2 at 11 ay katumbas ng 3 , 2 at 0 , ayon sa pagkakabanggit. Samakatuwid, magkakaroon ng anyo ang isang polynomial na may mga terminong nakaayos sa mga nagpapababang kapangyarihan ng variable 
.
Sagot:
Ang antas ng polynomial ay 5, at pagkatapos ng pag-aayos ng mga termino nito sa pagpapababa ng mga kapangyarihan ng variable, ito ay kukuha ng anyo .
Bibliograpiya.
- Algebra: aklat-aralin para sa 7 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A. G. Algebra. ika-7 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 17th ed., idagdag. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Algebra at ang simula ng mathematical analysis. Baitang 10: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3rd ed. - M.: Enlightenment, 2010.- 368 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.
Ang mathematical model ng ZLP ay tinatawag na standard, kung ang mga hadlang dito ay ipinakita sa anyo ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, at ang layunin ng pag-andar ay pinaliit o pinalaki.
Pagtatalaga ng serbisyo. Ang online na calculator ay idinisenyo upang i-convert ang QZLP sa SZLP sa pamamagitan ng pag-convert ng matrix a sa pagkakakilanlan. Mayroong dalawang karaniwang mga form na magagamit:
- Unang karaniwang anyo ax ≥ b , F(X) → min.
- Pangalawang karaniwang anyo ax ≤ b , F(X) → max.
Pagtuturo. Piliin ang bilang ng mga variable at bilang ng mga hilera (bilang ng mga paghihigpit). Ang resultang solusyon ay nai-save sa isang Word file.
Paano magdala ng canonical linear programming problem sa standard formI-convert sa canonical form
Halimbawa. Ang pangunahing problema ng linear programming ay ibinigay. Gamit ang mga elementarya na pagbabago ng matrix ng mga coefficient ng sistema ng pagpilit, dalhin ang problema sa isang karaniwang anyo at lutasin ito gamit ang isang geometric na pamamaraan o patunayan na wala itong pinakamainam na plano.
Pinalawak na matrix ng sistema ng mga hadlang-pagkakapantay-pantay ng problemang ito:
|
Bawasan natin ang sistema sa identity matrix sa pamamagitan ng paraan ng mga pagbabagong Jordanian.
1. Pinipili namin ang x 1 bilang batayang variable.
Permissive element RE=1.
Ang linya na tumutugma sa variable x 1 ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati sa lahat ng elemento ng linya x 1 sa paglutas ng elemento RE=1
Sa natitirang mga cell ng column x 1 nagsusulat kami ng mga zero.
Upang gawin ito, pumili ng apat na numero mula sa lumang plano, na matatagpuan sa mga vertice ng parihaba at palaging isama ang nagpapagana na elemento ng RE.
NE \u003d SE - (A * B) / RE
STE - elemento ng lumang plano, RE - paglutas ng elemento (1), A at B - mga elemento ng lumang plano, na bumubuo ng isang parihaba na may mga elemento ng STE at RE.
| 1: 1 | 6: 1 | -1: 1 | -1: 1 | -1: 1 | 2: 1 |
| 5-(1 5):1 | -12-(6 5):1 | -1-(-1 5):1 | 2-(-1 5):1 | 0-(-1 5):1 | -4-(2 5):1 |
| 3-(1 3):1 | -1-(6 3):1 | -2-(-1 3):1 | 0-(-1 3):1 | -1-(-1 3):1 | -7-(2 3):1 |
2. Pinipili namin ang x 2 bilang batayang variable.
Permissive element RE=-42.
Ang linya na tumutugma sa variable x 2 ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng lahat ng elemento ng linya x 2 sa paglutas ng elemento RE=-42
Sa halip na elementong nagpapagana, makakakuha tayo ng 1.
Sa natitirang mga cell ng column x 2 nagsusulat kami ng mga zero.
Ang lahat ng iba pang elemento ay tinutukoy ng parihaba na panuntunan.
Ipakita natin ang pagkalkula ng bawat elemento sa anyo ng isang talahanayan:
| 1-(0 6):-42 | 6-(-42 6):-42 | -1-(4 6):-42 | -1-(7 6):-42 | -1-(5 6):-42 | 2-(-14 6):-42 |
| 0: -42 | -42: -42 | 4: -42 | 7: -42 | 5: -42 | -14: -42 |
| 0-(0 -19):-42 | -19-(-42 -19):-42 | 1-(4 -19):-42 | 3-(7 -19):-42 | 2-(5 -19):-42 | -13-(-14 -19):-42 |
Kumuha kami ng bagong matrix:
| 1 | 0 | -3 / 7 | 0 | -2 / 7 | 0 |
| 0 | 1 | -2 / 21 | -1 / 6 | -5 / 42 | 1 / 3 |
| 0 | 0 | -17 / 21 | -1 / 6 | -11 / 42 | -20 / 3 |
3. Pinipili namin ang x 3 bilang batayang variable.
Permissive element RE= -17/21.
Ang linya na tumutugma sa variable x 3 ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati sa lahat ng mga elemento ng linya x 3 sa pamamagitan ng paglutas ng elemento RE= -17 / 21
Sa halip na elementong nagpapagana, makakakuha tayo ng 1.
Sa natitirang mga cell ng column x 3 nagsusulat kami ng mga zero.
Ang lahat ng iba pang elemento ay tinutukoy ng parihaba na panuntunan.
Ipakita natin ang pagkalkula ng bawat elemento sa anyo ng isang talahanayan:
| 1-(0 -3 / 7): -17 / 21 | 0-(0 -3 / 7): -17 / 21 | -3 / 7 -(-17 / 21 -3 / 7): -17 / 21 | 0-(-1 / 6 -3 / 7): -17 / 21 | -2 / 7 -(-11 / 42 -3 / 7): -17 / 21 | 0-(-6 2 / 3 -3 / 7): -17 / 21 |
| 0-(0 -2 / 21): -17 / 21 | 1-(0 -2 / 21): -17 / 21 | -2 / 21 -(-17 / 21 -2 / 21): -17 / 21 | -1 / 6 -(-1 / 6 -2 / 21): -17 / 21 | -5 / 42 -(-11 / 42 -2 / 21): -17 / 21 | 1 / 3 -(-6 2 / 3 -2 / 21): -17 / 21 |
| 0: -17 / 21 | 0: -17 / 21 | -17 / 21: -17 / 21 | -1 / 6: -17 / 21 | -11 / 42: -17 / 21 | -6 2 / 3: -17 / 21 |
Kumuha kami ng bagong matrix:
| 1 | 0 | 0 | 3 / 34 | -5 / 34 | 60 / 17 |
| 0 | 1 | 0 | -5 / 34 | -3 / 34 | 19 / 17 |
| 0 | 0 | 1 | 7 / 34 | 11 / 34 | 140 / 17 |
Dahil may identity matrix ang system, kinukuha namin ang X = (1,2,3) bilang mga pangunahing variable.
Ang mga katumbas na equation ay:
x 1 + 3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 = 3 9 / 17
x 2 - 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 = 1 2 / 17
x 3 + 7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 = 8 4 / 17
Ipinapahayag namin ang mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng iba pa:
x 1 = - 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17
x 2 = 5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17
x 3 \u003d - 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17
Ipalit ang mga ito sa layuning function:
F(X) = - 3(- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17) + 13(5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17) + (- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17) - 2x 4
o
Sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:
- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17 ≥ 0
5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17 ≥ 0
- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17 ≥ 0
Dinadala namin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay sa sumusunod na anyo:
3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 ≤ 3 9 / 17
- 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 ≤ 1 2 / 17
7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 ≤ 8 4 / 17
F(X) = - 1 / 34 x 4 + 13 / 34 x 5 +12 3 / 17 → max
Pasimplehin natin ang sistema.
3x 1 - 5x 2 ≤ 120
- 5x 1 - 3x 2 ≤ 38
7x1 + 11x2 ≤ 280
F(X) = - x 1 + 13x 2 +414 → max
