Maaari itong tukuyin sa iba't ibang paraan (isang punto at isang vector, dalawang puntos at isang vector, tatlong puntos, atbp.). Ito ay nasa isip na ang equation ng eroplano ay maaaring magkaroon ng iba't ibang anyo. Gayundin, napapailalim sa ilang mga kundisyon, ang mga eroplano ay maaaring parallel, patayo, intersecting, atbp. Pag-uusapan natin ito sa artikulong ito. Matututunan natin kung paano isulat ang pangkalahatang equation ng eroplano at hindi lamang.

Normal na anyo ng equation

Sabihin nating mayroong puwang R 3 na mayroong isang parihabang coordinate system na XYZ. Itakda natin ang vector α, na ilalabas mula sa panimulang punto O. Sa dulo ng vector α iguguhit natin ang eroplanong P, na magiging patayo dito.

Tukuyin ng P ang isang arbitraryong punto Q=(x, y, z). Pipirmahan natin ang radius vector ng puntong Q na may letrang p. Ang haba ng vector α ay p=IαI at Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ito ay isang unit vector na nakaturo patagilid, tulad ng vector α. Ang α, β at γ ay ang mga anggulo na nabubuo sa pagitan ng vector Ʋ at ang mga positibong direksyon ng space axes x, y, z, ayon sa pagkakabanggit. Ang projection ng ilang point QϵП papunta sa vector Ʋ ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Makatuwiran ang equation na ito kapag p=0. Ang tanging bagay ay ang eroplano P sa kasong ito ay magsa-intersect sa puntong O (α=0), na siyang pinagmulan, at ang unit vector Ʋ, na inilabas mula sa puntong O, ay magiging patayo sa P, anuman ang direksyon nito, na nangangahulugan na ang vector Ʋ ay tinutukoy mula sa sign-accurate. Ang nakaraang equation ay ang equation ng aming P plane, na ipinahayag sa vector form. Ngunit sa mga coordinate ito ay magiging ganito:

Ang P dito ay mas malaki sa o katumbas ng 0. Nahanap namin ang equation ng isang eroplano sa espasyo sa normal nitong anyo.

Pangkalahatang Equation

Kung i-multiply natin ang equation sa mga coordinate sa anumang numero na hindi katumbas ng zero, makakakuha tayo ng equation na katumbas ng ibinigay, na tumutukoy sa parehong eroplano. Magiging ganito ang hitsura:

Narito ang A, B, C ay mga numero na magkasabay na naiiba sa zero. Ang equation na ito ay tinutukoy bilang ang general plane equation.

Mga equation ng eroplano. Mga espesyal na kaso

Ang equation sa pangkalahatang anyo ay maaaring mabago sa pagkakaroon ng mga karagdagang kundisyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito.

Ipagpalagay na ang coefficient A ay 0. Nangangahulugan ito na ang ibinigay na eroplano ay parallel sa ibinigay na axis Ox. Sa kasong ito, magbabago ang anyo ng equation: Ву+Cz+D=0.

Katulad nito, magbabago ang anyo ng equation sa ilalim ng mga sumusunod na kondisyon:

• Una, kung B = 0, ang equation ay magbabago sa Ax + Cz + D = 0, na magsasaad ng parallelism sa Oy axis.
• Pangalawa, kung С=0, ang equation ay binago sa Ах+Ву+D=0, na magsasaad ng parallelism sa ibinigay na axis Oz.
• Pangatlo, kung D=0, ang equation ay magmumukhang Ax+By+Cz=0, na nangangahulugang nag-intersect ang eroplano sa O (ang pinanggalingan).
• Pang-apat, kung A=B=0, ang equation ay magbabago sa Cz+D=0, na magpapatunay na parallel sa Oxy.
• Ikalima, kung B=C=0, ang equation ay magiging Ax+D=0, na nangangahulugan na ang eroplano sa Oyz ay parallel.
• Pang-anim, kung A=C=0, ang equation ay kukuha ng form na Ву+D=0, iyon ay, mag-uulat ito ng parallelism sa Oxz.

Uri ng equation sa mga segment

Kung ang mga numerong A, B, C, D ay hindi zero, ang anyo ng equation (0) ay maaaring ang mga sumusunod:

x/a + y/b + z/c = 1,

kung saan ang isang \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Nakukuha namin bilang isang resulta Dapat tandaan na ang eroplanong ito ay magsa-intersect sa Ox axis sa isang punto na may mga coordinate (a,0,0), Oy - (0,b,0), at Oz - (0,0,c) .

Isinasaalang-alang ang equation na x/a + y/b + z/c = 1, madaling makitang kinakatawan ang paglalagay ng eroplano na nauugnay sa ibinigay na sistema ng coordinate.

Normal na mga coordinate ng vector

Ang normal na vector n sa eroplanong P ay may mga coefficient na mga coefficient ng pangkalahatang equation ng ibinigay na eroplano, iyon ay, n (A, B, C).

Upang matukoy ang mga coordinate ng normal na n, sapat na malaman ang pangkalahatang equation ng isang naibigay na eroplano.

Kapag ginagamit ang equation sa mga segment, na may anyong x/a + y/b + z/c = 1, gayundin kapag ginagamit ang pangkalahatang equation, maaaring isulat ng isa ang mga coordinate ng anumang normal na vector ng isang naibigay na eroplano: (1 /a + 1/b + 1/ mula sa).

Dapat tandaan na ang normal na vector ay nakakatulong upang malutas ang iba't ibang mga problema. Ang pinakakaraniwan ay mga gawain na binubuo sa pagpapatunay ng perpendicularity o parallelism ng mga eroplano, mga problema sa paghahanap ng mga anggulo sa pagitan ng mga eroplano o mga anggulo sa pagitan ng mga eroplano at linya.

Tingnan ang equation ng eroplano ayon sa mga coordinate ng punto at ang normal na vector

Ang isang non-zero vector n patayo sa isang partikular na eroplano ay tinatawag na normal (normal) para sa isang partikular na eroplano.

Ipagpalagay na sa coordinate space (rectangular coordinate system) ang Oxyz ay ibinibigay:

• punto Mₒ na may mga coordinate (xₒ,yₒ,zₒ);
• zero vector n=A*i+B*j+C*k.

Kinakailangang bumuo ng isang equation para sa isang eroplano na dadaan sa puntong Mₒ patayo sa normal na n.

Sa espasyo, pipili tayo ng anumang di-makatwirang punto at tinutukoy ito ng M (x y, z). Hayaang ang radius vector ng anumang punto M (x, y, z) ay r=x*i+y*j+z*k, at ang radius vector ng point Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Ang puntong M ay mapapabilang sa ibinigay na eroplano kung ang vector MₒM ay patayo sa vector n. Sinusulat namin ang kondisyon ng orthogonality gamit ang scalar product:

[MₒM, n] = 0.

Dahil MₒM \u003d r-rₒ, ang vector equation ng eroplano ay magiging ganito:

Ang equation na ito ay maaaring kumuha ng ibang anyo. Upang gawin ito, ang mga katangian ng scalar na produkto ay ginagamit, at ang kaliwang bahagi ng equation ay binago. = - . Kung tinukoy bilang c, kung gayon ang sumusunod na equation ay makukuha: - c \u003d 0 o \u003d c, na nagpapahayag ng pare-pareho ng mga projection sa normal na vector ng radius vectors ng mga ibinigay na punto na kabilang sa eroplano.

Ngayon ay maaari mong makuha ang coordinate form ng pagsulat ng vector equation ng ating eroplano = 0. Dahil r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, at n = A*i+B *j+C*k, mayroon kaming:

Lumalabas na mayroon tayong equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang puntong patayo sa normal na n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Tingnan ang equation ng eroplano ayon sa mga coordinate ng dalawang puntos at isang vector collinear sa eroplano

Tinutukoy namin ang dalawang arbitraryong puntos na M′ (x′,y′,z′) at M″ (x″,y″,z″), pati na rin ang vector a (a′,a″,a‴).

Ngayon ay maaari na tayong bumuo ng isang equation para sa isang naibigay na eroplano, na dadaan sa magagamit na mga puntos na M′ at M″, pati na rin ang anumang punto M na may mga coordinate (x, y, z) na kahanay sa ibinigay na vector a.

Sa kasong ito, ang mga vector na M′M=(x-x′;y-y′;zz′) at M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) ay dapat magkatugma sa vector a=(a′,a″,a‴), na nangangahulugang (M′M, M″M, a)=0.

Kaya, ang aming equation ng isang eroplano sa kalawakan ay magiging ganito:

Uri ng equation ng isang eroplano na nagsasalubong sa tatlong puntos

Ipagpalagay na mayroon tayong tatlong puntos: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), na hindi kabilang sa parehong tuwid na linya. Kinakailangang isulat ang equation ng eroplano na dumadaan sa ibinigay na tatlong puntos. Sinasabi ng teorya ng geometry na ang ganitong uri ng eroplano ay talagang umiiral, tanging ito lamang ang isa at walang katulad. Dahil ang eroplanong ito ay nagsalubong sa punto (x′, y′, z′), ang anyo ng equation nito ay magiging ganito:

Dito ang A, B, C ay iba sa zero sa parehong oras. Gayundin, ang ibinigay na eroplano ay nag-intersect sa dalawa pang punto: (x″,y″,z″) at (x‴,y‴,z‴). Kaugnay nito, ang mga sumusunod na kondisyon ay dapat matugunan:

Ngayon ay maaari na tayong bumuo ng isang homogenous na sistema na may mga hindi kilalang u, v, w:

Sa aming kaso, ang x, y o z ay isang arbitrary na punto na nakakatugon sa equation (1). Dahil sa equation (1) at sa sistema ng mga equation (2) at (3), ang sistema ng mga equation na ipinahiwatig sa figure sa itaas ay nakakatugon sa vector N (A, B, C), na hindi mahalaga. Iyon ang dahilan kung bakit ang determinant ng sistemang ito ay katumbas ng zero.

Ang equation (1), na aming nakuha, ay ang equation ng eroplano. Ito ay eksaktong pumasa sa 3 puntos, at ito ay madaling suriin. Para magawa ito, kailangan nating palawakin ang ating determinant sa mga elemento sa unang hilera. Ito ay sumusunod mula sa mga umiiral na katangian ng determinant na ang ating eroplano ay sabay-sabay na nag-intersect sa tatlong unang ibinigay na puntos (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Ibig sabihin, nalutas na natin ang gawaing itinakda sa harap natin.

Dihedral anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Ang dihedral angle ay isang spatial geometric figure na nabuo ng dalawang kalahating eroplano na nagmumula sa isang tuwid na linya. Sa madaling salita, ito ang bahagi ng espasyo na nililimitahan ng mga kalahating eroplanong ito.

Sabihin nating mayroon tayong dalawang eroplano na may mga sumusunod na equation:

Alam namin na ang mga vectors N=(A,B,C) at N¹=(A¹,B¹,C¹) ay patayo ayon sa ibinigay na mga eroplano. Kaugnay nito, ang anggulo φ sa pagitan ng mga vectors N at N¹ ay katumbas ng anggulo (dihedral), na nasa pagitan ng mga eroplanong ito. Ang scalar product ay may anyo:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

tiyak dahil

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Ito ay sapat na upang isaalang-alang na 0≤φ≤π.

Sa katunayan, ang dalawang eroplano na nagsalubong ay bumubuo ng dalawang (dihedral) na anggulo: φ 1 at φ 2 . Ang kanilang kabuuan ay katumbas ng π (φ 1 + φ 2 = π). Tulad ng para sa kanilang mga cosine, ang kanilang mga ganap na halaga ay pantay, ngunit naiiba sila sa mga palatandaan, iyon ay, cos φ 1 =-cos φ 2. Kung sa equation (0) palitan natin ang A, B at C ng mga numero -A, -B at -C, ayon sa pagkakabanggit, ang equation na makukuha natin ay tutukoy sa parehong eroplano, ang tanging anggulo φ sa equation cos φ= NN 1 // N||N 1 | ay papalitan ng π-φ.

Perpendicular plane equation

Ang mga eroplano ay tinatawag na patayo kung ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 90 degrees. Gamit ang materyal na nakabalangkas sa itaas, mahahanap natin ang equation ng isang eroplanong patayo sa isa pa. Sabihin nating mayroon tayong dalawang eroplano: Ax+By+Cz+D=0 at A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Maaari nating sabihin na sila ay magiging patayo kung cosφ=0. Nangangahulugan ito na NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallel plane equation

Parallel ay dalawang eroplano na hindi naglalaman ng mga karaniwang punto.

Ang kundisyon (ang kanilang mga equation ay kapareho ng sa nakaraang talata) ay ang mga vectors N at N¹, na patayo sa kanila, ay collinear. Nangangahulugan ito na ang mga sumusunod na kondisyon ng proporsyonalidad ay natutugunan:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Kung ang mga kondisyon ng proporsyonalidad ay pinalawig - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ito ay nagpapahiwatig na ang mga eroplanong ito ay magkasabay. Nangangahulugan ito na ang mga equation na Ax+By+Cz+D=0 at A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 ay naglalarawan ng isang eroplano.

Distansya sa eroplano mula sa punto

Sabihin nating mayroon tayong eroplanong P, na ibinibigay ng equation (0). Kinakailangang hanapin ang distansya dito mula sa puntong may mga coordinate (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Upang gawin ito, kailangan mong dalhin ang equation ng eroplano P sa normal na anyo:

(ρ,v)=p (p≥0).

Sa kasong ito, ang ρ(x,y,z) ay ang radius vector ng ating puntong Q na matatagpuan sa P, ang p ay ang haba ng patayo sa P na pinakawalan mula sa zero point, ang v ay ang unit vector na matatagpuan sa ang isang direksyon.

Ang pagkakaiba ρ-ρº ng radius vector ng ilang punto Q \u003d (x, y, z) na kabilang sa P, pati na rin ang radius vector ng isang naibigay na punto Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ay tulad ng isang vector, ang ganap na halaga ng projection kung saan sa v ay katumbas ng distansya d, na dapat matagpuan mula Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) hanggang P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ngunit

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Kaya pala

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Kaya, makikita natin ang ganap na halaga ng nagresultang expression, iyon ay, ang nais na d.

Gamit ang wika ng mga parameter, nakukuha namin ang halata:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Kung ang ibinigay na punto Q 0 ay nasa kabilang panig ng eroplano P, pati na rin ang pinagmulan, kung gayon sa pagitan ng vector ρ-ρ 0 at v ay:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

Sa kaso kapag ang punto Q 0, kasama ang pinagmulan, ay matatagpuan sa parehong bahagi ng P, kung gayon ang nilikha na anggulo ay talamak, iyon ay:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Bilang resulta, lumalabas na sa unang kaso (ρ 0 ,v)> р, sa pangalawa (ρ 0 ,v)<р.

Tangent plane at ang equation nito

Ang tangent plane sa ibabaw sa tangent point Mº ay ang eroplanong naglalaman ng lahat ng posibleng tangents sa mga curve na iginuhit sa puntong ito sa surface.

Sa ganitong anyo ng surface equation F (x, y, z) = 0, ang equation ng tangent plane sa tangent point Mº (xº, yº, zº) ay magiging ganito:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Kung tinukoy mo ang ibabaw sa tahasang anyo z=f (x, y), ang tangent plane ay ilalarawan ng equation:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Intersection ng dalawang eroplano

Sa coordinate system (parihaba) Oxyz ay matatagpuan, dalawang eroplano П′ at П″ ay ibinigay, na bumalandra at hindi nag-tutugma. Dahil ang anumang eroplano na matatagpuan sa isang rectangular coordinate system ay tinutukoy ng isang pangkalahatang equation, ipagpalagay natin na ang P′ at P″ ay ibinibigay ng mga equation na A′x+B′y+C′z+D′=0 at A″x +B″y+ С″z+D″=0. Sa kasong ito, mayroon tayong normal na n′ (A′, B′, C′) ng P′ plane at ang normal na n″ (A″, B″, C″) ng P″ plane. Dahil ang aming mga eroplano ay hindi parallel at hindi nagtutugma, ang mga vectors na ito ay hindi collinear. Gamit ang wika ng matematika, maaari nating isulat ang kundisyong ito tulad ng sumusunod: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Hayaang ang linya na nasa intersection ng P′ at P″ ay ipahiwatig ng titik a, sa kasong ito a = P′ ∩ P″.

a ay isang tuwid na linya na binubuo ng hanay ng lahat ng mga punto ng (karaniwang) eroplano П′ at П″. Nangangahulugan ito na ang mga coordinate ng anumang punto na kabilang sa linya a ay dapat magkasabay na matugunan ang mga equation na A′x+B′y+C′z+D′=0 at A″x+B″y+C″z+D″= 0. Nangangahulugan ito na ang mga coordinate ng punto ay magiging isang partikular na solusyon ng sumusunod na sistema ng mga equation:

Bilang resulta, lumalabas na ang (pangkalahatang) solusyon ng sistemang ito ng mga equation ay tutukoy sa mga coordinate ng bawat isa sa mga punto ng tuwid na linya, na magsisilbing intersection point ng П′ at П″, at matukoy ang tuwid linya a sa coordinate system na Oxyz (parihaba) sa espasyo.

1. Hanapin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang ibinigay na punto na kahanay ng dalawang ibinigay na (non-collinear) na mga vector

Tandaan: 1 paraan . Kumuha ng di-makatwirang punto ng eroplano M (x, y, z). Ang mga vector ay magiging coplanar dahil sila ay nasa parallel planes. Samakatuwid, ang kanilang pinaghalong produkto
Sa pagsulat ng kundisyong ito sa mga coordinate, nakukuha namin ang equation ng nais na eroplano:

Ito ay mas maginhawa upang kalkulahin ang determinant na ito sa pamamagitan ng pagpapalawak sa unang hilera.

2 paraan . Mga vector
parallel sa nais na eroplano. Samakatuwid, ang isang vector na katumbas ng produkto ng vector ng mga vectors
patayo sa eroplanong ito , ibig sabihin.
At
. Vector ay ang normal na vector ng eroplano . Kung
At
, pagkatapos ay ang vector ay matatagpuan ayon sa formula:

Equation ng eroplano hanapin sa pamamagitan ng punto
at normal na vector

2. Hanapin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos na kahanay sa isang ibinigay na vector
.(
non-collinear).

Tandaan: 1 paraan. Hayaang ang M (x, y, z) ay isang arbitrary na punto ng eroplano. Pagkatapos ay ang mga vectors at
ay matatagpuan sa parallel na mga eroplano, samakatuwid, sila ay coplanar, i.e. kanilang pinaghalong produkto
Ang pagsulat ng kundisyong ito sa mga coordinate, nakukuha namin ang equation ng nais na eroplano .

2 paraan . Ang normal na vector sa nais na eroplano ay magiging katumbas ng produkto ng vector ng mga vector
, ibig sabihin.
o sa mga coordinate:

Ninanais na equation ng eroplano natagpuan ng normal na vector at punto
(o punto
) sa pamamagitan ng formula (2.1.1)

(tingnan ang halimbawa 1 punto 2.2).

3. Hanapin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang punto
parallel sa eroplano 2x – 6y – 3z +5 =0.

Tandaan: normal na vector makikita natin mula sa pangkalahatang equation ng ibinigay na eroplano 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
Vector ay patayo sa isang naibigay na eroplano, samakatuwid, ito ay patayo sa anumang eroplano na kahanay nito. Vector maaaring kunin bilang normal na vector ng nais na eroplano. Buuin ang equation ng nais na eroplano sa pamamagitan ng punto
at normal na vector
(tingnan ang halimbawa 1 punto 2.2).

Sagot:

4. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto
patayo sa linya ng intersection ng mga eroplano 2x + y - 2z + 1 = 0 at

x + y + z - 5 = 0.

Tandaan: 1 paraan. Ang mga vector na patayo sa bawat isa sa kanilang mga eroplano (ang mga vector coordinates ay matatagpuan mula sa mga pangkalahatang equation ng mga eroplano, formula (2.2.1)) ay patayo sa linya ng kanilang intersection at, samakatuwid, ay parallel sa nais na eroplano. Ang nais na eroplano ay dumadaan sa punto
parallel sa dalawang vectors
(tingnan ang gawain 1 punto 5).

Ang equation ng nais na eroplano ay may anyo:

Ang pagpapalawak ng third-order determinant sa unang hilera, makuha namin ang nais na equation.

2 paraan. Buuin ang equation ng eroplano sa pamamagitan ng punto
at normal na vector sa pamamagitan ng formula (2.2.1). normal na vector ay katumbas ng cross product ng mga vectors
, mga.
Dahil ang mga vectors
ay patayo sa linya ng intersection ng mga eroplano, pagkatapos ay ang vector parallel sa linya ng intersection ng mga eroplano at patayo sa nais na eroplano.

Vectors (tingnan ang formula 2.2.1), pagkatapos

Buuin ang equation ng eroplano sa pamamagitan ng punto
at normal na vector

(tingnan ang halimbawa 1 punto 2.2)

Sagot:

5. Hanapin ang equation ng eroplanong dumadaan sa mga puntos
At
patayo sa eroplano 3x – y + 3z +15 = 0.

Tandaan: 1 paraan. Isulat natin ang mga coordinate ng normal na vector ng ibinigay na n pagiging patag

3x - y + 3z +15 = 0:
Dahil ang mga eroplano ay patayo, ang vector parallel sa nais na eroplano Buuin ang equation ng nais na eroplano
na parallel sa vector at dumaan sa mga puntos
(tingnan ang solusyon ng problema 2 punto 5; 1 paraan).

Ang pagkalkula ng determinant, nakuha namin ang equation ng nais na eroplano

10x + 15y - 5z - 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

2 paraan. Buuin ang equation ng nais na eroplano sa pamamagitan ng punto
at ang normal na vector
Vector

Binubuo namin ang equation ng nais na eroplano .

10(x - 2) +15(y - 3) - 5(z + 1) = 0;

10x + 15y - 5z - 70 = 0 (tingnan ang problema 2 point 5; 2nd method). Hatiin ang magkabilang panig ng equation ng 5.

2x + 3y - z - 14 = 0.

Sagot: 2x + 3y - z - 14 = 0.

6. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa mga puntos

At

Tandaan: Buuin natin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong puntos (tingnan ang halimbawa 1, sugnay 2.3, formula 2.3.1).

Ang pagpapalawak ng determinant, nakukuha natin

Sagot:

Magkomento. Upang suriin ang kawastuhan ng pagkalkula ng determinant, inirerekumenda na palitan ang mga coordinate ng mga puntong ito kung saan ang eroplano ay pumasa sa nagresultang equation. Dapat mayroong pagkakakilanlan; kung hindi, nagkaroon ng error sa mga kalkulasyon.

7. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto
parallel sa x-plane – 4y + 5z + 1 = 0.

Tandaan: Mula sa pangkalahatang equation ng isang naibigay na eroplano
x – 4y + 5z + 1 = 0 hanapin ang normal na vector
(pormula 2.2.1). Vector patayo sa nais na eroplano
Buuin ang equation ng eroplano sa pamamagitan ng punto
at normal na vector
(tingnan ang halimbawa 1; sugnay 2.2):

x - 4y + 5z + 15 = 0.

Sagot: x - 4y + 5z + 15 = 0.

8. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto
parallel sa mga vectors

Tandaan: Tingnan ang solusyon ng problema 1 punto 5. Nilulutas namin ang problema sa isa sa mga ipinahiwatig na paraan.

Sagot: x - y - z - 1 = 0.

9. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto
patayo sa linya ng intersection ng mga eroplano 3x - 2y - z + 1 = 0 at x - y - z = 0.

Tandaan: Tingnan ang solusyon ng problema 4 point 5. Nilulutas namin ang problema sa isa sa mga ipinahiwatig na paraan.

Sagot: x + 2y - z - 8 = 0.

10. Hanapin ang equation ng eroplanong dumadaan sa mga puntos

patayo sa eroplano 3x – y – 4z = 0.

Tandaan: Tingnan ang solusyon ng problema 5 punto 5.

Sagot: 9x - y + 7z - 40 = 0.

11. Hanapin ang equation ng eroplanong dumadaan sa mga puntos

parallel sa tuwid na linya na tinukoy ng mga puntos A (5; –2; 3) at B (6; 1; 0).

Tandaan: Ang nais na eroplano ay parallel sa linya AB, samakatuwid, ito ay parallel sa vector
Ninanais na equation ng eroplano nakita namin, tulad ng sa gawain 2, talata 5 (isa sa mga paraan).

Sagot: 3x - 4y - 3z +4 = 0.

12. Point P (2; -1; -2) ay nagsisilbing base ng patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplano. Sumulat ng isang equation para sa eroplanong ito.

Tandaan: Normal na vector sa nais na eroplano ay ang vector
Hanapin ang mga coordinate nito. P (2; -1; -2) at O(0; 0; 0)

mga.
Buuin ang equation ng eroplano sa pamamagitan ng punto at normal na vector
(tingnan ang halimbawa 1, talata 2.2).

Sagot: 2x - y - 2z - 9 = 0.

13. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto
parallel sa eroplano: a) xoy; b) yoz; c) xoz.

Tandaan: Vector
- ang unit vector ng axis oz ay patayo sa xoy plane, samakatuwid, ito ay patayo sa nais na eroplano
Binubuo namin ang equation ng eroplano sa punto A (0; -1; 2) at

= (0; 0; 1), dahil
(tingnan ang solusyon sa problema 3, aytem 5).
z - 2 = 0.

Malulutas namin ang mga problema b) at c) sa katulad na paraan.

b)
saan
(1; 0; 0).

sa)
saan (0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Sagot: a) z - 2 = 0; b) x = 0; c) y + 1 = 0.

14. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa mga puntos
At

B (2; 1; –1) patayo sa eroplano: a) xoy; b) xoz.

Tandaan: Ang normal na vector ng xoy plane ay ang vector

= (0; 0; 1) ay ang unit vector ng oz axis. Buuin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang puntos
at B (2; 1; –1) at patayo sa eroplanong may normal na vector
(0; 0; 1), gamit ang isa sa mga pamamaraan para sa paglutas ng problema 5 ng talata 5.
y - 1 = 0.

Katulad din para sa problema b):
kung saan = (0; 1; 0).

Sagot: a) y - 1 = 0; b) x + z - 1 = 0.

15. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa mga puntos
At

B (2; 3; –1) parallel sa oz axis.

Tandaan: Sa oz axis, maaari mong kunin ang unit vector = (0; 0; 1). Ang solusyon ng problema ay katulad ng solusyon ng problema 2 point 5 (sa anumang paraan).

Sagot: x - y + 1 = 0.

16. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa ox axis at isang punto

Tandaan: Eroplano
dumadaan sa x-axis, at samakatuwid din sa puntong O(0; 0; 0). Sa ox axis, maaari nating kunin ang unit vector = (1; 0; 0). Binubuo namin ang equation ng nais na eroplano gamit ang dalawang puntos na A(2; –1; 6) at O(0; 0; 0) at ang vector parallel sa eroplano. (Tingnan ang solusyon ng problema 2 punto 5).

Sagot: 6y + z = 0.

17. Sa anong halaga ng A magiging patayo ang mga eroplanong Ax + 2y - 7z - 1 \u003d 0 at 2x - y + 2z \u003d 0?

Tandaan: Mula sa mga pangkalahatang equation ng mga eroplano

Ax + 2y - 7z - 1 = 0 at
2x – y + 2z = 0 normal na vectors

= (A; 2; -7) at
= (2; –1; 2) (2.2.1). Ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang eroplano (2.6.1).

Sagot: A = 8.

18. Sa anong halaga ng A ng eroplano 2x + 3y - 6z - 23 = 0 at

4x + Ay - 12z + 7 = 0 ay magiging parallel?

Tandaan:
2x + 3y - 6z - 23 = 0 at
4x + Ay - 12y + 7 = 0

= (2; 3; -6) at
= (4;A; –12) (2.2.1). kasi
(2.5.1)

Sagot: A = 6.

19. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano 2x + y + z + 7 = 0 at x - 2y + 3z = 0.

Tandaan:
2x + y + z + 7 = 0 at
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) at
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Sagot:

20. Buuin ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto

A (1; 2; -3) parallel sa vector =(1; –2; 1).

Tandaan: Tingnan ang solusyon ng halimbawa ng talata 3.1.

Sagot:

21. Bumuo ng mga parametric equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto

A (–2; 3; 1) parallel sa vector =(3; –1; 2).

Tandaan: Tingnan ang solusyon ng halimbawa ng punto 3.2.

Sagot:
.

22. Bumuo ng mga canonical at parametric equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong A (1; 0; -2) at B (1; 2; -4).

Tandaan: Tingnan ang solusyon ng halimbawa 1 ng talata 3.3.

Sagot: a)
b)

23. Bumuo ng mga canonical at parametric equation ng isang tuwid na linya na tinukoy bilang intersection ng dalawang eroplano x - 2y + 3z - 4 = 0 at 3x + 2y - 5z - 4 = 0.

Tandaan: Tingnan ang halimbawa 1 punto 3.4. Hayaan ang z = 0, pagkatapos ay ang x at y na mga coordinate ng punto
hanapin mula sa solusyon ng system

Kaya ang punto
, na nakahiga sa nais na linya, ay may mga coordinate

(2; -1; 0). Upang mahanap ang vector ng direksyon ng nais na tuwid na linya mula sa mga pangkalahatang equation ng mga eroplano
x – 2y +3z – 4 = 0 at
3x + 2y - 5z - 4 = 0

maghanap ng mga normal na vector =(1; -2; 3) at
=(3; 2; –5).

Ang mga canonical equation ng linya ay matatagpuan mula sa punto
(2; -1; 0) at vector ng direksyon

(Tingnan ang formula (3.1.1)).

Ang mga parametric equation ng tuwid na linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula (3.2.1) o mula sa mga canonical equation:
Meron kami:

Sagot:
;
.

24. Sa pamamagitan ng tuldok
(2; -3; -4) gumuhit ng isang linya na parallel sa isang linya

.

Tandaan: Mga Canonical Equation ng Kinakailangang Linya hanapin sa pamamagitan ng punto
at vector ng direksyon kasi
pagkatapos ay para sa vector ng direksyon tuwid maaari mong kunin ang vector ng direksyon tuwid L. Dagdag pa, tingnan ang solusyon ng problema 23, talata 5 o halimbawa 1, talata 3.4.

Sagot:

25. Ang mga triangle vertices A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1), at C (–1; 3; 5) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa median ng triangle ABC na iginuhit mula sa vertex B.

Tandaan: Nahanap namin ang mga coordinate ng point M mula sa kondisyong AM = MC (BM ay ang median ng triangle ABC).

MULA SA iniiwan natin ang mga canonical equation ng tuwid na linyang BM sa dalawang puntos B (2; 4; –1) at
(Tingnan ang halimbawa 1 punto 3.3).

Sagot:

26. Bumuo ng mga canonical at parametric equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto
(–1; –2; 2) parallel sa x axis.

Tandaan: Vector
– ang unit vector ng x-axis ay parallel sa kinakailangang tuwid na linya. Samakatuwid, maaari itong kunin bilang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya
= (1; 0; 0). Bumuo ng mga equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto

(–1; –2: 2) at ang vector = (1; 0; 0) (tingnan ang halimbawang punto 3.1 at halimbawa 1 punto 3.2).

Sagot:
;

27. Bumuo ng mga canonical equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto
(3; –2; 4) patayo sa eroplano 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Tandaan: Mula sa pangkalahatang equation ng eroplano
5x + 3y – 7z + 1 = 0 hanapin ang normal na vector = (5; 3; -7). Ayon sa kondisyon, ang nais na linya
kaya ang vector
mga. vector ay ang vector ng direksyon ng tuwid na linya L: = (5; 3; -7). Binubuo namin ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto
(3; –2; 4) at vector ng direksyon

= (5; 3; -7). (Tingnan ang halimbawang punto 3.1).

Sagot:

28. Buuin ang mga parametric equation ng perpendicular na ibinaba mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplano 4x - y + 2z - 3 = 0.

Tandaan: Buuin natin ang equation ng nais na patayo, i.e. tuwid na linya patayo sa eroplano
4x – y + 2z – 3 = 0 at dumadaan sa puntong O (0; 0; 0). (Tingnan ang solusyon ng problema 27 point 5 at halimbawa 1 point 3.2).

Sagot:

29. Hanapin ang punto ng intersection ng isang linya
at eroplano

x - 2y + z - 15 = 0.

Tandaan: Upang mahanap ang punto M ng intersection ng isang linya

L:
at eroplano

x - 2y + z - 15 = 0, kinakailangan upang malutas ang sistema ng mga equation:

;

Upang malutas ang system, binabago namin ang mga canonical equation ng tuwid na linya sa mga parametric equation. (Tingnan ang problema 23 punto 5).

Sagot:

30. Hanapin ang projection ng point M (4; -3; 1) sa eroplano x + 2y - z - 3 = 0.

Tandaan: Ang projection ng point M sa eroplano ay magiging point P - point p ang intersection ng perpendicular ay bumaba mula sa puntong M hanggang sa eroplano
at mga eroplano Buuin natin ang mga parametric equation ng MP perpendicular.(Tingnan ang solusyon ng problema 28, talata 5).

Hanapin natin ang puntong P - ang punto ng intersection ng linyang MP at ng eroplano (Tingnan ang solusyon ng problema 29 punto 5).

Sagot:

31. Hanapin ang projection ng point A (1; 2; 1) sa isang tuwid na linya

Tandaan: Projection ng point A sa linya L:
ay t puntos Sa intersection ng linya L at ng eroplano
na dumadaan sa punto A at patayo sa linya L. Mula sa mga canonical equation ng linya L, isinulat namin ang vector ng direksyon =(3; -1; 2). Eroplano patayo sa linya L, kaya
Kaya ang vector maaaring kunin bilang normal na vector ng eroplano
= (3; –1; 2). Buuin ang equation ng eroplano punto A(1; 2; 1) at = (3; –1; 2) (tingnan ang halimbawa 1 punto 2.2):
3(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 1) = 0

3x - y + 2z - 3 = 0. Hanapin ang punto B sa intersection ng linya at ng eroplano (tingnan ang problema 29, talata 5):

Sagot:

32. Gumuhit ng linya sa puntong M (3; -1; 0) na kahanay sa dalawang eroplano x - y + z - 3 = 0 at x + y + 2z - 3 = 0.

Tandaan: mga eroplano
x – y + z – 3 = 0 at
x + y + 2z - 3 = 0 ay hindi parallel, dahil kundisyon (2.5.1) ay hindi nasiyahan:
mga eroplano
bumalandra. Ang nais na linya L, parallel sa mga eroplano
parallel sa linya ng intersection ng mga eroplanong ito. (Tingnan ang solusyon ng mga problema 24 at 23 punto 5).

Sagot:

33. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa dalawang linya

Tandaan:1 paraan. Buuin ang equation ng nais na eroplano sa pamamagitan ng punto
nakahiga sa isang tuwid na linya , at ang normal na vector . Vector ay magiging katumbas ng produkto ng vector ng mga nagdidirekta na mga vector ng mga linya
, na makikita natin mula sa mga canonical equation ng mga linya
(formula 3.1.1): = (7; 3; 5) at

= (5; 5; –3)

Point coordinates
hanapin mula sa mga canonical equation ng tuwid na linya

Binubuo namin ang equation ng eroplano sa pamamagitan ng punto
at ang normal na vector =(–34; 46; 20) (tingnan ang halimbawa 1 punto 2.2)
17x - 23y - 10z + 36 = 0.

2 paraan. Paghahanap ng mga vector ng direksyon = (7; 3; 5) at = (5; 5; –3) mula sa mga canonical equation ng mga linya
Punto
(0; 2; –1) makikita natin mula sa equation

. Kumuha ng di-makatwirang punto sa eroplano

M (x; y; z). Mga vector
ay coplanar, samakatuwid
Mula sa kundisyong ito nakukuha natin ang equation ng eroplano:

Sagot: 17x - 23y - 10z +36 = 0.

34. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto
(2; 0; 1) at isang tuwid na linya

Tandaan: Siguraduhin muna natin na ang punto
sa tuwid na linyang ito Ezhit:
Punto
at vector ng direksyon makikita natin mula sa mga canonical equation ng tuwid na linya
:
(1; -1; -1) at

= (1; 2; -1). Normal na vector ng nais na eroplano
Nahanap namin ang mga coordinate ng normal na vector, alam ang mga coordinate =(1; 2; -1) at

= (1; 1; 2):

Binubuo namin ang equation ng eroplano sa pamamagitan ng punto
(2; 0; 1) at ang normal na vector = (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

Sagot: 5x - 3y - z - 9 = 0.

Upang makuha ang pangkalahatang equation ng eroplano, sinusuri namin ang eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto.

Hayaang magkaroon ng tatlong coordinate axes na alam na natin sa kalawakan - baka, Oy At Oz. Hawakan ang sheet ng papel upang manatiling patag. Ang eroplano ang magiging sheet mismo at ang pagpapatuloy nito sa lahat ng direksyon.

Hayaan P arbitrary na eroplano sa kalawakan. Anumang vector na patayo dito ay tinatawag normal na vector sa eroplanong ito. Naturally, pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang non-zero vector.

Kung ang anumang punto ng eroplano ay kilala P at ilang vector ng normal dito, pagkatapos ay sa pamamagitan ng dalawang kondisyong ito ang eroplano sa kalawakan ay ganap na natutukoy(sa pamamagitan ng isang naibigay na punto, mayroon lamang isang eroplanong patayo sa isang naibigay na vector). Ang pangkalahatang equation ng eroplano ay magiging ganito:

Kaya, may mga kundisyon na nagtatakda ng equation ng eroplano. Upang makuha ito sa sarili equation ng eroplano, na mayroong anyo sa itaas, sumakay kami sa eroplano P arbitraryo punto M na may mga variable na coordinate x, y, z. Ang puntong ito ay kabilang sa eroplano kung vector patayo sa vector(Larawan 1). Para dito, ayon sa kondisyon ng perpendicularity ng mga vector, kinakailangan at sapat na ang scalar product ng mga vectors na ito ay katumbas ng zero, iyon ay.

Ang vector ay ibinibigay sa pamamagitan ng kundisyon. Nahanap namin ang mga coordinate ng vector sa pamamagitan ng formula :

.

Ngayon, gamit ang tuldok na formula ng produkto ng mga vectors , ipinapahayag namin ang scalar product sa coordinate form:

Since the point M(x; y; z) ay pinili nang arbitraryo sa eroplano, pagkatapos ang huling equation ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng anumang punto na nakahiga sa eroplano P. Para sa punto N, hindi nakahiga sa isang ibinigay na eroplano, , i.e. ang pagkakapantay-pantay (1) ay nilabag.

Halimbawa 1 Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto at patayo sa isang vector.

Desisyon. Gumagamit kami ng formula (1), tingnan muli:

Sa formula na ito, ang mga numero A , B At C mga coordinate ng vector at mga numero x0 , y0 At z0 - mga coordinate ng punto.

Ang mga kalkulasyon ay napaka-simple: pinapalitan namin ang mga numerong ito sa formula at makuha

Pinaparami namin ang lahat ng bagay na kailangang paramihin at idinagdag lamang ang mga numero (na walang mga titik). Resulta:

.

Ang kinakailangang equation ng eroplano sa halimbawang ito ay lumabas na ipinahayag ng pangkalahatang equation ng unang degree na may paggalang sa mga variable na coordinate x, y, z di-makatwirang punto ng eroplano.

Kaya, isang equation ng form

tinawag ang pangkalahatang equation ng eroplano .

Halimbawa 2 Buuin sa isang parihabang Cartesian coordinate system ang eroplanong ibinigay ng equation .

Desisyon. Upang makagawa ng isang eroplano, kinakailangan at sapat na malaman ang alinman sa tatlo sa mga punto nito na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, halimbawa, ang mga punto ng intersection ng eroplano na may mga coordinate axes.

Paano mahahanap ang mga puntong ito? Upang mahanap ang punto ng intersection sa axis Oz, kailangan mong palitan ang mga zero sa halip na x at y sa equation na ibinigay sa pahayag ng problema: x = y= 0 . Samakatuwid, nakukuha namin z= 6 . Kaya, ang ibinigay na eroplano ay nag-intersect sa axis Oz sa punto A(0; 0; 6) .

Sa parehong paraan, nakita namin ang punto ng intersection ng eroplano na may axis Oy. Sa x = z= 0 ang nakukuha natin y= −3 , iyon ay, isang punto B(0; −3; 0) .

At sa wakas, nakita namin ang punto ng intersection ng aming eroplano sa axis baka. Sa y = z= 0 ang nakukuha natin x= 2 , iyon ay, isang punto C(2; 0; 0). Ayon sa tatlong puntos na nakuha sa aming solusyon A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) at C(2; 0; 0) ginagawa namin ang ibinigay na eroplano.

Isaalang-alang ngayon mga espesyal na kaso ng pangkalahatang equation ng eroplano. Ito ay mga kaso kapag ang ilang mga coefficient ng equation (2) ay nawala.

1. Kailan D= 0 equation tumutukoy sa isang eroplanong dumadaan sa pinanggalingan, dahil ang mga coordinate ng isang punto 0 (0; 0; 0) matugunan ang equation na ito.

2. Kailan A= 0 equation tumutukoy sa isang eroplanong parallel sa axis baka, dahil ang normal na vector ng eroplanong ito ay patayo sa axis baka(ang projection nito sa axis baka katumbas ng zero). Katulad nito, kapag B= 0 eroplano axis parallel Oy, At kailan C= 0 eroplano parallel sa axis Oz.

3. Kailan A=D= Ang 0 equation ay tumutukoy sa isang eroplanong dumadaan sa axis baka dahil ito ay parallel sa axis baka (A=D= 0). Katulad nito, ang eroplano ay dumadaan sa axis Oy, at ang eroplano sa pamamagitan ng axis Oz.

4. Kailan A=B= Ang 0 equation ay tumutukoy sa isang eroplanong parallel sa coordinate plane xOy dahil ito ay parallel sa mga palakol baka (A= 0) at Oy (B= 0). Gayundin, ang eroplano ay parallel sa eroplano yOz, at ang eroplano - ang eroplano xOz.

5. Kailan A=B=D= 0 equation (o z= 0) tumutukoy sa coordinate plane xOy, dahil ito ay parallel sa eroplano xOy (A=B= 0) at dumadaan sa pinanggalingan ( D= 0). Katulad nito, ang equation y= 0 sa espasyo ay tumutukoy sa coordinate plane xOz, at ang equation x= 0 - coordinate plane yOz.

Halimbawa 3 Buuin ang equation ng eroplano P dumadaan sa axis Oy at punto.

Desisyon. Kaya dumaan ang eroplano sa axis Oy. Kaya sa kanyang equation y= 0 at ang equation na ito ay may anyo . Upang matukoy ang mga coefficient A At C ginagamit namin ang katotohanan na ang punto ay kabilang sa eroplano P .

Samakatuwid, kabilang sa mga coordinate nito ay may mga maaaring mapalitan sa equation ng eroplano, na nakuha na natin (). Tingnan natin muli ang mga coordinate ng punto:

M0 (2; −4; 3) .

Sa kanila x = 2 , z= 3 . Pinapalitan namin ang mga ito sa pangkalahatang equation at makuha ang equation para sa aming partikular na kaso:

2A + 3C = 0 .

Aalis kami 2 A sa kaliwang bahagi ng equation, inilipat namin ang 3 C sa kanang bahagi at kumuha

A = −1,5C .

Pagpapalit sa nahanap na halaga A sa equation , nakukuha namin

o .

Ito ang equation na kinakailangan sa halimbawang kondisyon.

Lutasin ang problema sa mga equation ng eroplano sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Halimbawa 4 Tukuyin ang eroplano (o mga eroplano kung higit sa isa) na may kinalaman sa mga coordinate axes o coordinate planes kung ang (mga) eroplano ay ibinigay ng equation .

Mga solusyon sa mga karaniwang problema na nangyayari sa mga pagsubok - sa manu-manong "Mga problema sa isang eroplano: parallelism, perpendicularity, intersection ng tatlong eroplano sa isang punto" .

Equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong puntos

Tulad ng nabanggit na, ang isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paggawa ng isang eroplano, bilang karagdagan sa isang punto at isang normal na vector, ay tatlong puntos din na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya.

Hayaang bigyan ng tatlong magkakaibang puntos , at , hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya. Dahil ang tatlong puntong ito ay hindi namamalagi sa isang tuwid na linya, ang mga vector at hindi collinear, at samakatuwid ang anumang punto ng eroplano ay nasa parehong eroplano na may mga puntos, at kung at kung ang mga vectors lamang, at coplanar, ibig sabihin. kung at kung lamang ang pinaghalong produkto ng mga vector na ito katumbas ng zero.

Gamit ang pinaghalong expression ng produkto sa mga coordinate, nakuha namin ang equation ng eroplano

(3)

Pagkatapos palawakin ang determinant, ang equation na ito ay nagiging equation ng form (2), i.e. ang pangkalahatang equation ng eroplano.

Halimbawa 5 Sumulat ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa tatlong ibinigay na mga punto na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya:

at upang matukoy ang isang partikular na kaso ng pangkalahatang equation ng linya, kung mayroon man.

Desisyon. Ayon sa formula (3) mayroon tayong:

Normal na equation ng eroplano. Distansya mula sa punto hanggang sa eroplano

Ang normal na equation ng isang eroplano ay ang equation nito, na nakasulat sa anyo

Upang ang isang eroplano ay maiguguhit sa anumang tatlong punto sa kalawakan, kinakailangan na ang mga puntong ito ay hindi nakahiga sa isang tuwid na linya.

Isaalang-alang ang mga puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) sa isang karaniwang Cartesian coordinate system.

Upang ang isang di-makatwirang punto M(x, y, z) ay nakahiga sa parehong eroplano na may mga puntos na M 1 , M 2 , M 3 , ang mga vector ay dapat na coplanar.

(
) = 0

Sa ganitong paraan,

Equation ng isang eroplano na dumadaan sa tatlong puntos:

Equation ng isang eroplano na may paggalang sa dalawang puntos at isang vector collinear sa eroplano.

Hayaan ang mga puntos na M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) at ang vector
.

Buuin natin ang equation ng eroplano na dumadaan sa mga ibinigay na puntos na M 1 at M 2 at isang di-makatwirang punto M (x, y, z) na kahanay ng vector .

Mga vector
at vector
dapat ay coplanar, i.e.

(
) = 0

Equation ng eroplano:

Equation ng isang eroplano na may paggalang sa isang punto at dalawang vectors,

collinear na eroplano.

Hayaang magbigay ng dalawang vector
At
, mga collinear na eroplano. Pagkatapos para sa isang di-makatwirang punto M(x, y, z) na kabilang sa eroplano, ang mga vectors
dapat coplanar.

Equation ng eroplano:

Plane equation ayon sa punto at normal na vector .

Teorama. Kung ang isang punto M ay ibinigay sa espasyo 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), pagkatapos ay ang equation ng eroplano na dumadaan sa puntong M 0 patayo sa normal na vector (A, B, C) parang:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Patunay. Para sa isang di-makatwirang punto M(x, y, z) na kabilang sa eroplano, bumubuo kami ng isang vector . kasi vector - ang normal na vector, pagkatapos ito ay patayo sa eroplano, at, samakatuwid, patayo sa vector
. Tapos yung scalar product

= 0

Kaya, nakuha namin ang equation ng eroplano

Napatunayan na ang theorem.

Equation ng isang eroplano sa mga segment.

Kung sa pangkalahatang equation Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, hatiin ang parehong bahagi ng (-D)

,

pinapalitan
, nakukuha namin ang equation ng eroplano sa mga segment:

Ang mga numerong a, b, c ay ang mga intersection point ng eroplano, ayon sa pagkakabanggit, na may mga x, y, z axes.

Plane equation sa vector form.

saan

- radius-vector ng kasalukuyang punto M(x, y, z),

Isang unit vector na may direksyon ng perpendicular na bumaba sa eroplano mula sa pinanggalingan.

Ang ,  at  ay ang mga anggulo na nabuo ng vector na ito na may x, y, z axes.

p ay ang haba ng patayo na ito.

Sa mga coordinate, ang equation na ito ay may anyo:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano.

Ang distansya mula sa isang di-makatwirang punto M 0 (x 0, y 0, z 0) sa eroplano Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 ay:

Halimbawa. Hanapin ang equation ng eroplano, alam na ang puntong P (4; -3; 12) ay ang base ng patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplanong ito.

Kaya A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, gamitin ang formula:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa dalawang puntos na P(2; 0; -1) at

Ang Q(1; -1; 3) ay patayo sa eroplano 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normal na vector sa eroplano 3x + 2y - z + 5 = 0
parallel sa nais na eroplano.

Nakukuha namin:

Halimbawa. Hanapin ang equation ng eroplanong dumadaan sa mga puntos na A(2, -1, 4) at

В(3, 2, -1) patayo sa eroplano X + sa + 2z – 3 = 0.

Ang nais na equation ng eroplano ay may anyo: A x+ B y+ C z+ D = 0, ang normal na vector sa eroplanong ito (A, B, C). Vector
(1, 3, -5) ay kabilang sa eroplano. Ang eroplanong ibinigay sa amin, patayo sa nais, ay may normal na vector (1, 1, 2). kasi Ang mga puntong A at B ay nabibilang sa parehong mga eroplano, at ang mga eroplano ay magkaparehong patayo, kung gayon

Kaya ang normal na vector (11, -7, -2). kasi Ang punto A ay kabilang sa nais na eroplano, kung gayon ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang equation ng eroplanong ito, i.e. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

Sa kabuuan, nakukuha natin ang equation ng eroplano: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Halimbawa. Hanapin ang equation ng eroplano, alam na ang puntong P(4, -3, 12) ay ang base ng patayo na bumaba mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplanong ito.

Paghahanap ng mga coordinate ng normal na vector
= (4, -3, 12). Ang nais na equation ng eroplano ay may anyo: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Upang mahanap ang coefficient D, pinapalitan namin ang mga coordinate ng point Р sa equation:

16 + 9 + 144 + D = 0

Sa kabuuan, nakukuha natin ang nais na equation: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Halimbawa. Dahil sa mga coordinate ng pyramid vertices A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Hanapin ang haba ng gilid A 1 A 2 .

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga gilid A 1 A 2 at A 1 A 4.

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng gilid A 1 A 4 at ng mukha A 1 A 2 A 3 .

Una, hanapin ang normal na vector sa mukha A 1 A 2 A 3 bilang isang cross product ng mga vectors
At
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng normal na vector at ng vector
.

-4 – 4 = -8.

Ang gustong anggulo  sa pagitan ng vector at ng eroplano ay magiging katumbas ng  = 90 0 - .

Hanapin ang lugar ng mukha A 1 A 2 A 3 .

Hanapin ang volume ng pyramid.

Hanapin ang equation ng eroplano А 1 А 2 А 3 .

Ginagamit namin ang formula para sa equation ng isang eroplano na dumadaan sa tatlong puntos.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Kapag ginagamit ang bersyon ng PC ng “ Kurso ng mas mataas na matematika” maaari kang magpatakbo ng isang programa na lulutasin ang halimbawa sa itaas para sa anumang mga coordinate ng pyramid vertices.

I-double click ang icon upang ilunsad ang program:

Sa window ng programa na bubukas, ipasok ang mga coordinate ng pyramid vertices at pindutin ang Enter. Kaya, ang lahat ng mga punto ng desisyon ay maaaring makuha nang paisa-isa.

Tandaan: Upang patakbuhin ang program, dapat ay mayroon kang Maple ( Waterloo Maple Inc.) na naka-install sa iyong computer, anumang bersyon na nagsisimula sa MapleV Release 4.

Equation ng eroplano. Paano magsulat ng isang equation para sa isang eroplano?
Mutual na pag-aayos ng mga eroplano. Mga gawain

Ang spatial geometry ay hindi mas kumplikado kaysa sa "flat" na geometry, at ang aming mga flight sa kalawakan ay nagsisimula sa artikulong ito. Upang maunawaan ang paksa, dapat magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa mga vector, bilang karagdagan, ito ay kanais-nais na maging pamilyar sa geometry ng eroplano - magkakaroon ng maraming pagkakatulad, maraming mga pagkakatulad, kaya ang impormasyon ay mas mahusay na matutunaw. Sa isang serye ng aking mga aralin, ang 2D na mundo ay nagbubukas sa isang artikulo Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Ngunit ngayon ay umalis na si Batman sa flat screen TV at naglulunsad mula sa Baikonur Cosmodrome.

Magsimula tayo sa mga guhit at simbolo. Sa eskematiko, ang eroplano ay maaaring iguhit bilang isang paralelogram, na nagbibigay ng impresyon ng espasyo:

Ang eroplano ay walang hanggan, ngunit mayroon tayong pagkakataon na ilarawan ang isang piraso lamang nito. Sa pagsasagawa, bilang karagdagan sa paralelogram, ang isang hugis-itlog o kahit isang ulap ay iginuhit din. Para sa mga teknikal na kadahilanan, mas maginhawa para sa akin na ilarawan ang eroplano sa ganitong paraan at sa posisyong ito. Ang mga tunay na eroplano, na isasaalang-alang natin sa mga praktikal na halimbawa, ay maaaring ayusin sa anumang paraan - kunin ang pagguhit sa iyong mga kamay at i-twist ito sa kalawakan, na nagbibigay sa eroplano ng anumang slope, anumang anggulo.

Notasyon: kaugalian na magtalaga ng mga eroplano sa maliliit na letrang Griyego, tila upang hindi malito ang mga ito diretso sa eroplano o kasama tuwid sa kalawakan. Sanay na akong gumamit ng sulat . Sa pagguhit, ito ay ang titik na "sigma", at hindi isang butas sa lahat. Bagaman, isang holey na eroplano, ito ay tiyak na napaka nakakatawa.

Sa ilang mga kaso, madaling gamitin ang parehong mga letrang Griyego na may mga subscript para magtalaga ng mga eroplano, halimbawa, .

Malinaw na ang eroplano ay natatanging tinutukoy ng tatlong magkakaibang mga punto na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya. Samakatuwid, ang mga tatlong-titik na pagtatalaga ng mga eroplano ay medyo popular - ayon sa mga punto na kabilang sa kanila, halimbawa, atbp. Kadalasan ang mga titik ay nakapaloob sa mga panaklong: upang hindi malito ang eroplano sa isa pang geometric na pigura.

Para sa mga may karanasang mambabasa, ibibigay ko menu ng shortcut:

• Paano magsulat ng isang equation para sa isang eroplano gamit ang isang punto at dalawang vectors?
• Paano magsulat ng isang equation para sa isang eroplano gamit ang isang punto at isang normal na vector?

at hindi kami mangungulit sa mahabang paghihintay:

Pangkalahatang equation ng eroplano

Ang pangkalahatang equation ng eroplano ay may anyo , kung saan ang mga coefficient ay sabay-sabay na hindi zero.

Ang isang bilang ng mga teoretikal na kalkulasyon at praktikal na mga problema ay may bisa kapwa para sa karaniwang orthonormal na batayan at para sa affine na batayan ng espasyo (kung ang langis ay langis, bumalik sa aralin Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayang vector). Para sa pagiging simple, ipagpalagay namin na ang lahat ng mga kaganapan ay nangyayari sa isang orthonormal na batayan at isang Cartesian rectangular coordinate system.

At ngayon magsanay tayo ng kaunting spatial na imahinasyon. Okay lang kung masama ka, ngayon bubuoin natin ng kaunti. Kahit na ang paglalaro sa nerbiyos ay nangangailangan ng pagsasanay.

Sa pinaka-pangkalahatang kaso, kapag ang mga numero ay hindi katumbas ng zero, ang eroplano ay nag-intersect sa lahat ng tatlong coordinate axes. Halimbawa, tulad nito:

Uulitin ko muli na ang eroplano ay nagpapatuloy nang walang katiyakan sa lahat ng direksyon, at mayroon tayong pagkakataon na ilarawan ang bahagi lamang nito.

Isaalang-alang ang pinakasimpleng equation ng mga eroplano:

Paano maintindihan ang equation na ito? Isipin ito: "Z" LAGING, para sa anumang mga halaga ng "X" at "Y" ay katumbas ng zero. Ito ang equation ng "katutubong" coordinate plane. Sa katunayan, pormal na ang equation ay maaaring muling isulat bilang mga sumusunod: , mula sa kung saan malinaw na nakikita na wala kaming pakialam, kung anong mga halaga ang kinuha ng "x" at "y", mahalaga na ang "z" ay katumbas ng zero.

Katulad nito:
ay ang equation ng coordinate plane ;
ay ang equation ng coordinate plane.

Palubhain natin ang problema nang kaunti, isaalang-alang ang isang eroplano (dito at higit pa sa talata ay ipinapalagay natin na ang mga numerical coefficient ay hindi katumbas ng zero). Isulat muli natin ang equation sa anyo: . Paano ito maintindihan? Ang "X" ay LAGING, para sa anumang halaga ng "y" at "z" ay katumbas ng isang tiyak na numero. Ang eroplanong ito ay parallel sa coordinate plane. Halimbawa, ang isang eroplano ay parallel sa isang eroplano at dumadaan sa isang punto.

Katulad nito:
- ang equation ng eroplano, na parallel sa coordinate plane;
- ang equation ng isang eroplano na parallel sa coordinate plane.

Magdagdag ng mga miyembro: . Ang equation ay maaaring muling isulat tulad nito: , ibig sabihin, ang "Z" ay maaaring maging anuman. Ano ang ibig sabihin nito? Ang "X" at "Y" ay konektado sa pamamagitan ng isang ratio na gumuhit ng isang tiyak na tuwid na linya sa eroplano (makikilala mo equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano?). Dahil ang Z ay maaaring maging anuman, ang linyang ito ay "ginagaya" sa anumang taas. Kaya, ang equation ay tumutukoy sa isang eroplanong parallel sa coordinate axis

Katulad nito:
- ang equation ng eroplano, na parallel sa coordinate axis;
- ang equation ng eroplano, na parallel sa coordinate axis.

Kung ang mga libreng termino ay zero, ang mga eroplano ay direktang dadaan sa mga kaukulang axes. Halimbawa, ang klasikong "direktang proporsyonalidad":. Gumuhit ng isang tuwid na linya sa eroplano at i-multiply ito sa isip pataas at pababa (dahil ang "z" ay anuman). Konklusyon: ang eroplano na ibinigay ng equation ay dumadaan sa coordinate axis.

Tinatapos namin ang pagsusuri: ang equation ng eroplano dumadaan sa pinanggalingan. Buweno, dito ay medyo halata na ang punto ay nakakatugon sa ibinigay na equation.

At, sa wakas, ang kaso na ipinapakita sa pagguhit: - ang eroplano ay kaibigan sa lahat ng mga coordinate axes, habang ito ay palaging "pumuputol" ng isang tatsulok na maaaring matatagpuan sa alinman sa walong octants.

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa espasyo

Upang maunawaan ang impormasyon, kailangang pag-aralan nang mabuti linear inequalities sa eroplano dahil maraming bagay ang magkakatulad. Ang talata ay magiging isang maikling pangkalahatang-ideya na may ilang mga halimbawa, dahil ang materyal ay medyo bihira sa pagsasanay.

Kung ang equation ay tumutukoy sa isang eroplano, kung gayon ang mga hindi pagkakapantay-pantay
magtanong kalahating espasyo. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit (ang huling dalawa sa listahan), kung gayon ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay, bilang karagdagan sa kalahating espasyo, ay kasama ang eroplano mismo.

Halimbawa 5

Hanapin ang unit na normal na vector ng eroplano .

Solusyon: Ang unit vector ay isang vector na ang haba ay isa. Tukuyin natin ang vector na ito sa pamamagitan ng . Ito ay lubos na malinaw na ang mga vectors ay collinear:

Una, tinanggal namin ang normal na vector mula sa equation ng eroplano: .

Paano mahanap ang unit vector? Upang mahanap ang unit vector, kailangan mo bawat vector coordinate na hinati sa haba ng vector.

Isulat muli natin ang normal na vector sa anyo at hanapin ang haba nito:

Ayon sa itaas:

Sagot:

Suriin: , na kinakailangan upang suriin.

Malamang napansin iyon ng mga mambabasa na maingat na nag-aral sa huling talata ng aralin ang mga coordinate ng unit vector ay eksaktong mga direksyon cosine ng vector:

Lumihis tayo mula sa disassembled na problema: kapag binigyan ka ng arbitrary non-zero vector, at sa pamamagitan ng kundisyon na kinakailangan upang mahanap ang mga direksyon ng cosine nito (tingnan ang mga huling gawain ng aralin Tuldok na produkto ng mga vector), pagkatapos ikaw, sa katunayan, ay nakahanap din ng isang unit vector collinear sa ibinigay na isa. Sa katunayan, dalawang gawain sa isang bote.

Ang pangangailangan upang mahanap ang isang yunit ng normal na vector arises sa ilang mga problema ng mathematical analysis.

Nalaman namin ang pangingisda ng normal na vector, ngayon sasagutin namin ang kabaligtaran na tanong:

Paano magsulat ng isang equation para sa isang eroplano gamit ang isang punto at isang normal na vector?

Ang matibay na pagtatayo ng isang normal na vector at isang punto ay kilala ng isang darts target. Mangyaring iunat ang iyong kamay pasulong at isiping pumili ng isang arbitrary na punto sa espasyo, halimbawa, isang maliit na pusa sa isang sideboard. Malinaw, sa pamamagitan ng puntong ito, maaari kang gumuhit ng isang solong eroplano na patayo sa iyong kamay.

Ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang punto na patayo sa vector ay ipinahayag ng formula: