Quadratic equation na may mga parameter

(Methodological development para sa mga mag-aaral sa grade 9-11)

guro sa matematika ng pinakamataas na kategorya ng kwalipikasyon,

Deputy Director para sa UVR

Megion 2013

Paunang salita

https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2. Paglalapat ng Vieta theorem

Ang gawaing pang-agham sa paglutas ng mga problema sa mga parameter at sa partikular na paglutas ng mga quadratic equation na may mga parameter ay propaedeutics gawaing pananaliksik ng mga mag-aaral. Sa USE sa matematika (madalas na mga gawain C5), GIA (mga gawain ng bahagi 2) at sa mga pagsusulit sa pasukan, higit sa lahat ay mayroong dalawang uri ng mga gawain na may mga parameter. Una: "Para sa bawat halaga ng parameter, hanapin ang lahat ng solusyon sa ilang equation o hindi pagkakapantay-pantay." Pangalawa: "Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter, para sa bawat isa kung saan ang ilang mga kundisyon ay nasiyahan para sa isang naibigay na equation o hindi pagkakapantay-pantay." Alinsunod dito, ang mga sagot sa dalawang uri ng mga problemang ito ay naiiba sa esensya. Sa sagot sa problema ng unang uri, ang lahat ng posibleng mga halaga ng parameter ay nakalista, at ang mga solusyon sa equation ay isinulat para sa bawat isa sa mga halagang ito. Sa sagot sa problema ng pangalawang uri, ang lahat ng mga halaga ng parameter ay ipinahiwatig kung saan natutugunan ang mga kundisyon na tinukoy sa problema.

Tulad ng alam mo, napakakaunting pansin ang binabayaran sa paglutas ng mga problema sa mga parameter sa paaralan. Samakatuwid, ang paglutas ng mga problema sa mga parameter ay palaging nagdudulot ng malaking kahirapan para sa mga mag-aaral; mahirap asahan na ang mga mag-aaral na ang pagsasanay ay hindi kasama ang "parametric therapy" ay matagumpay na makayanan ang mga ganoong gawain sa mahirap na kapaligiran ng isang mapagkumpitensyang pagsusuri, samakatuwid, ang mga mag-aaral ay dapat na partikular na maghanda para sa "tagpuan ng mga parameter". Nakikita ng maraming estudyante ang parameter bilang isang "regular" na numero. Sa katunayan, sa ilang mga problema ang parameter ay maaaring ituring na isang pare-parehong halaga, ngunit ang pare-parehong halaga na ito ay tumatagal sa hindi kilalang mga halaga. Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang ang problema para sa lahat ng posibleng mga halaga ng pare-parehong ito. Sa iba pang mga problema, maaaring maging maginhawa upang artipisyal na ideklara ang isa sa mga hindi alam bilang isang parameter.

Ang mga gawain na may mga parameter ay may diagnostic at prognostic na halaga - sa tulong ng mga gawain na may mga parameter, maaari mong suriin ang kaalaman sa mga pangunahing seksyon ng matematika ng paaralan, ang antas ng matematika at lohikal na pag-iisip, ang mga paunang kasanayan ng mga aktibidad sa pananaliksik, at pinaka-mahalaga, nangangako. mga pagkakataon para sa matagumpay na pag-master ng kursong matematika ng isang naibigay na unibersidad.

Ang pagsusuri ng mga opsyon sa PAGGAMIT sa matematika at mga pagsusulit sa pasukan sa iba't ibang unibersidad ay nagpapakita na ang karamihan sa mga iminungkahing gawain na may mga parameter ay nauugnay sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial. Ang pagiging pangunahing isa sa kurso ng matematika ng paaralan, ang quadratic function ay bumubuo ng isang malawak na klase ng mga problema sa mga parameter, magkakaibang anyo at nilalaman, ngunit pinagsama ng isang karaniwang ideya - ang mga katangian ng quadratic function ay ang batayan para sa kanilang solusyon. Kapag nilutas ang mga naturang problema, inirerekumenda na magtrabaho kasama ang tatlong uri ng mga modelo:

1. verbal model - isang pandiwang paglalarawan ng gawain;

2. geometric na modelo - isang sketch ng isang graph ng isang quadratic function;

3. analytical model - isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, na naglalarawan sa geometric na modelo.

Ang manwal ay naglalaman ng mga theorems sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial (kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa lokasyon ng mga ugat ng isang quadratic function na may kaugnayan sa mga ibinigay na puntos), ang aplikasyon ng Vieta's theorem sa solusyon ng mga quadratic equation na may mga parameter. Ang mga detalyadong solusyon ng 15 mga problema sa mga rekomendasyong pamamaraan ay ibinigay. Ang layunin ng manwal na ito ay tulungan ang nagtapos at ang guro ng matematika sa paghahanda para sa pagpasa ng Unified State Examination at GIA sa matematika, at ang entrance exam sa unibersidad sa anyo ng pagsusulit o sa tradisyonal na anyo.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - namamalagi sa kanan ng linya x = n (kondisyon xb>n) ;

3. ang parabola ay bumalandra sa linyang x = n sa isang puntong nasa itaas na kalahating eroplano para sa a>0 at sa isang puntong nasa ibabang kalahating eroplano para sa isang<0 (условие a∙f(n) >0).

https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width= "280" height="240">.png" width="38" height="31 src=">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height=" 264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width= "263" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="263" height="264" >.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290 " height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">. png" width="153" height="43 src=">

Teorama 10. Quadratic equation x2 + p1x + q1 = 0 at x2 + p2x + q2 = 0,

na ang mga diskriminasyon ay hindi negatibo ay may hindi bababa sa isang karaniwang ugat kung at kung lamang (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).

Patunay.

Hayaan ang f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2, at ang mga numerong x1, x2 ay ang mga ugat ng equation f1(x) = 0. Upang ang mga equation ay f1(x) ) = 0 at f2(x) = 0 ay may hindi bababa sa isang karaniwang ugat, ito ay kinakailangan at sapat na ang f1(x)∙f2(x) = 0, ibig sabihin, na (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0 Kinakatawan namin ang huling pagkakapantay-pantay sa anyo

(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.

Dahil ang x12 + p1x1 + q1 = 0 at x22 + p1x2 + q1 = 0, nakukuha namin

((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, i.e.

(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.

Sa pamamagitan ng Vieta theorem x1 +x2 = - p1 at x1x2 =q1; Dahil dito,

(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, o

(q2 – q1)2 = (p2 - p1)((q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =

(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), na dapat patunayan.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src=">

Quadratic equation palakol 2 + bx + c = 0

1) ay may dalawang tunay na positibong ugat kung at kung ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan nang sabay-sabay:

;

2) ay may dalawang tunay na negatibong ugat kung at kung ang mga kundisyon ay natutugunan nang sabay-sabay:

;

3) ay may dalawang tunay na ugat ng magkakaibang mga palatandaan kung at kung ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan nang sabay-sabay:

;

4) ay may dalawang tunay na ugat ng parehong tanda kung

Puna 1. Kung ang coefficient sa X 2 ay naglalaman ng isang parameter, ito ay kinakailangan upang pag-aralan ang kaso kapag ito vanishes.

Puna 2. Kung ang discriminant ng isang quadratic equation ay isang perpektong parisukat, kung gayon sa una ay mas maginhawang maghanap ng mga tahasang expression para sa mga ugat nito.

Pangungusap 3. Kung ang isang equation na naglalaman ng ilang mga hindi alam ay parisukat na may paggalang sa isa sa mga ito, kung gayon ang susi sa paglutas ng problema ay madalas na ang pag-aaral ng discriminant nito.

Nagpapakita kami ng isang pamamaraan para sa pag-aaral ng mga problema na may kaugnayan sa lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomialf(x) = palakol2 + bx + c:

1. Pag-aaral ng kaso a = o (kung ang unang koepisyent ay nakasalalay sa mga parameter).

2. Paghahanap ng discriminant D sa kaso a≠0.

3. Kung ang D ay ang buong parisukat ng ilang expression, pagkatapos ay paghahanap ng mga ugat x1, x2 at subordinating ang mga kondisyon ng problema.

4..png" width="13" height="22 src="> 3. Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema para sa paghahanda para sa GIA at sa Unified State Examination sa matematika

Halimbawa 1 Lutasin ang equation ( a - 2)x 2 – 2palakol + 2a – 3 = 0.

Solusyon. Isaalang-alang ang dalawang kaso: a = 2 at a ≠ 2. sa unang kaso, ang orihinal na equation ay nasa anyo - 4 X+ 1 = 0..png" width="255" height="58 src=">

Para sa isang \u003d 1 o isang \u003d 6, ang discriminant ay zero at ang quadratic equation ay may isang ugat: , ibig sabihin, para sa isang \u003d 1 makuha namin ang ugat , at para sa a = 6 - ang ugat.

Sa 1< a < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">ang equation ay walang mga ugat; para sa a = 1 ang equation ay may isang ugat X= -1; sa ang equation ay may dalawang ugat ; sa a= 2 ang equation ay may iisang ugat ; sa a= 6 ang equation ay may iisang ugat .

Halimbawa 2 Sa anong halaga ng parameter a ang equation ( a - 2)X 2 + (4 – 2a)X+ 3 = 0 ay may iisang ugat?

Solusyon . Kung ang a= 2, pagkatapos ang equation ay magiging linear∙ X+ 3 = 0; na walang ugat.

Kung ang a≠ 2, kung gayon ang equation ay parisukat at may iisang ugat na may zero discriminant D.

D= 0 sa a 1 = 2 at a 2 = 5. Kahulugan a= 2 ay hindi kasama, dahil ito ay sumasalungat sa kondisyon na ang orihinal na equation ay parisukat.

Sagot : a = 5.

4.

(a - 1)X 2 + (2a + 3)X + a Ang + 2 = 0 ay may mga ugat ng parehong tanda?

Solusyon. Dahil, ayon sa kondisyon ng problema, ang itinuturing na equation ay quadratic, nangangahulugan ito na a≠ 1. Malinaw, ang kondisyon ng problema ay nagpapahiwatig din ng pagkakaroon ng mga ugat ng quadratic equation, na nangangahulugan na ang discriminant ay hindi negatibo.

D = (2a + 3)2 – 4(a - 1)(a + 2) = 8a + 17.

Dahil, sa pamamagitan ng kondisyon, ang mga ugat ay dapat na may parehong tanda, kung gayon X 1∙X 2 > 0, i.e..png" width="149" height="21 src=">. Napapailalim sa mga kundisyon D≥ 0 at a≠ 1 nakukuha namin https://pandia.ru/text/80/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">.

Halimbawa 3 Hanapin ang lahat ng mga halaga ng a kung saan ang equation na x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 ay may dalawang positibong ugat.

Solusyon. Mula sa Vieta theorem, upang ang parehong mga ugat x1 at x2 ng equation na ito ay maging positibo, ito ay kinakailangan at sapat na ang discriminant ng square trinomial x2 - 2(a - 1)x + (2a + 1) ay hindi- negatibo, at ang produkto x1 ∙ x2 at ang kabuuan x1 + x2 ay positibo. Nakukuha namin na ang lahat ay nagbibigay-kasiyahan sa sistema

At sila lamang ang mga solusyon sa problema. Ang sistemang ito ay katumbas ng sistema

Ang solusyon kung saan, at samakatuwid ang problema mismo, ay lahat ng mga numero mula sa pagitan

Gawain #3.

Sa anong mga halaga ng parameter k ang mga ugat ng equation (k-2)x 2 -2kx+2k-3=0

nabibilang sa pagitan (0;1)?

Solusyon.

Para sa k≠2, ang nais na mga halaga ng parameter ay dapat matugunan ang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay

Saan ang D= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F (1) \u003d k-5, x sa \u003d k / (k-2).

Walang solusyon ang sistemang ito.

Para sa k = 2, ang ibinigay na equation ay may anyo -4x+1 = 0, ang tanging ugat nito

x = ¼, na kabilang sa pagitan (0;1).

Gawain #4.

Sa anong mga halaga ng a ang parehong mga ugat ng equation x 2 -2ax + a 2 -a \u003d 0 ay matatagpuan sa segment?

Ang mga nais na halaga ay dapat masiyahan ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

kung saan D \u003d 4a 2 -4 (a 2 -a) \u003d 4a, f (2) \u003d a 2 -5a + 4, f (6) \u003d a 2 -13a + 36, x sa \u003d a.

Ang tanging solusyon ng system ay ang halaga, a = 4.

4. Malayang gawain (kontrol - pagsasanay).

Ang mga mag-aaral ay nagtatrabaho sa mga grupo, nagsasagawa ng parehong pagpipilian, dahil ang materyal ay napaka-kumplikado at hindi lahat ay maaaring gawin ito.

No. 1. Sa anong mga halaga ng parameter a ang parehong mga ugat ng equation x 2 -2ax + a 2 - 1 \u003d 0 nabibilang sa pagitan (-2; 4)?

No. 2. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng k kung saan mayroong isang ugat ng equation

(k-5)x 2 -2kx+k-4=0 ay mas mababa sa 1 at ang isa pang ugat ay mas malaki sa 2.

Numero 3. Sa anong mga halaga ng a ang numero 1 sa pagitan ng mga ugat ng square trinomial x 2 + (a + 1) x - a 2?

Sa pagtatapos ng oras, ang mga sagot ay ipinapakita. Isinasagawa ang self-checking ng independiyenteng trabaho.

5. Buod ng aralin. Tapusin ang alok.

"Ngayon sa klase..."

"Naaalala ko..."

"Gusto kong tandaan ...".

Sinusuri ng guro ang buong kurso ng aralin at ang mga pangunahing punto nito, sinusuri ang mga aktibidad ng bawat mag-aaral sa aralin.

6. Takdang aralin

(mula sa koleksyon ng mga gawain para sa paghahanda para sa GIA sa grade 9, may-akda L. V. Kuznetsova)

MOU "Secondary school No. 15"

Michurinsk, rehiyon ng Tambov

Algebra lesson sa grade 9

"Ang lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial depende sa mga halaga ng parameter"

Umunlad

guro sa matematika ng 1st kategorya

Bortnikova M.B.

Michurinsk - lungsod ng agham 2016 taon

Ang aralin ay para sa 2 oras.

Dear Guys! Ang pag-aaral ng maraming pisikal at geometric na batas ay madalas na humahantong sa solusyon ng mga problema sa mga parameter. Ang ilang mga unibersidad ay nagsasama rin ng mga equation, hindi pagkakapantay-pantay at kanilang mga sistema sa mga tiket sa pagsusulit, na kadalasang napakasalimuot at nangangailangan ng hindi karaniwang paraan sa paglutas. Sa paaralan, ang isa sa pinakamahirap na seksyon ng kursong paaralan sa algebra ay isinasaalang-alang lamang sa ilang elective o subject na kurso.
Sa aking opinyon, ang functional-graphical na pamamaraan ay isang maginhawa at mabilis na paraan upang malutas ang mga equation na may isang parameter.

Layunin ng Aralin: 1. Palawakin ang ideya ng mga parisukat na equation 2. Alamin kung paano hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter, para sa bawat isa kung saan ang mga solusyon ng equation ay nakakatugon sa mga ibinigay na kondisyon. 3. Bumuo ng interes sa paksa.

Sa panahon ng mga klase:

1. Ano ang parameter

Pagpapahayag ng anyo ah 2 + bx + csa isang kursong algebra ng paaralan ay tinatawag na square trinomial na may kinalaman saX, saan a, b,c ay binibigyan ng tunay na mga numero, bukod pa rito,a=/= 0. Ang mga halaga ng variable x, kung saan nawawala ang expression, ay tinatawag na mga ugat ng square trinomial. Upang mahanap ang mga ugat ng isang square trinomial, kinakailangan upang malutas ang quadratic equationah 2 + bx + c =0.
Tandaan natin ang mga pangunahing equation:palakol + b = 0;
ax2 + bx + c = 0.Kapag hinahanap ang kanilang mga ugat, ang mga halaga ng mga variablea, b, c,na kasama sa equation ay itinuturing na naayos at ibinigay. Ang mga variable mismo ay tinatawag na mga parameter.

Kahulugan.Ang isang parameter ay isang independiyenteng variable, ang halaga nito sa problema ay itinuturing na isang naibigay na fixed o arbitrary na tunay na numero, o isang numero na kabilang sa isang paunang natukoy na hanay.

2. Mga pangunahing uri at pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa mga parameter

Kabilang sa mga gawain na may mga parameter, ang mga sumusunod na pangunahing uri ng mga gawain ay maaaring makilala.

Mga equation na malulutas para sa alinman sa halaga ng (mga) parameter o para sa mga value ng parameter na kabilang sa isang paunang natukoy na hanay. Halimbawa. Lutasin ang mga Equation:palakol = 1 , (a- 2) x = a 2 – 4.

Mga equation kung saan nais mong matukoy ang bilang ng mga solusyon depende sa halaga ng parameter (mga parameter). Halimbawa.

a ang equation 4 X 2 – 4 ax + 1 = 0may iisang ugat?

Ang mga equation kung saan, para sa nais na mga halaga ng parameter, ang hanay ng mga solusyon ay nakakatugon sa ibinigay na mga kondisyon sa domain ng kahulugan.

Halimbawa, hanapin ang mga halaga ng parameter kung saan ang mga ugat ng equation (a- 2) X 2 – 2 palakol + a + 3 = 0 positibo.
Ang mga pangunahing paraan upang malutas ang mga problema sa isang parameter: analytical at graphic.

Analitikal- ito ay isang paraan ng tinatawag na direktang solusyon, na inuulit ang mga karaniwang pamamaraan para sa paghahanap ng sagot sa mga problema na walang parameter. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng naturang gawain.

Gawain 1

Sa anong mga halaga ng parameter a ang equationX 2 – 2 palakol + a 2 – Ang 1 = 0 ay may dalawang magkaibang ugat na kabilang sa pagitan (1; 5)?

Solusyon

X 2 – 2 palakol + a 2 – 1 = 0.
Ayon sa kondisyon ng problema, ang equation ay dapat magkaroon ng dalawang magkaibang mga ugat, at ito ay posible lamang sa ilalim ng kondisyon: D > 0.
Mayroon kaming: D = 4a 2 – 2(a 2 – 1) = 4. Gaya ng makikita mo, ang discriminant ay hindi nakadepende sa a, samakatuwid, ang equation ay may dalawang magkaibang ugat para sa anumang value ng parameter a. Hanapin natin ang mga ugat ng equation:X 1 = a + 1, X 2 = a – 1
Ang mga ugat ng equation ay dapat kabilang sa pagitan (1; 5), i.e.
Kaya, sa 2< a < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Sagot: 2< a < 4.
Ang ganitong diskarte sa paglutas ng mga problema ng uri na isinasaalang-alang ay posible at makatuwiran sa mga kaso kung saan ang discriminant ng quadratic equation ay "mabuti", i.e. ay ang eksaktong parisukat ng anumang numero o expression, o ang mga ugat ng equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng inverse Vieta theorem. Pagkatapos, at ang mga ugat ay hindi hindi makatwiran na mga pagpapahayag. Kung hindi man, ang solusyon ng mga problema ng ganitong uri ay nauugnay sa medyo kumplikadong mga pamamaraan mula sa isang teknikal na punto ng view. At ang solusyon ng hindi makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ay mangangailangan ng bagong kaalaman mula sa iyo.

Graphic- ito ay isang paraan kung saan ang mga graph ay ginagamit sa coordinate plane (x; y) o (x; a). Ang kakayahang makita at kagandahan ng pamamaraang ito ng solusyon ay nakakatulong upang makahanap ng mabilis na paraan upang malutas ang problema. Solusyonan natin ang problema bilang 1 sa pamamagitan ng grapiko.
Tulad ng alam mo, ang mga ugat ng isang quadratic equation (square trinomial) ay ang mga zero ng katumbas na quadratic function: y =X 2 – 2 Oh + a 2 – 1. Ang graph ng function ay isang parabola, ang mga sanga ay nakadirekta paitaas (ang unang coefficient ay katumbas ng 1). Ang geometric na modelo na nakakatugon sa lahat ng mga kinakailangan ng problema ay ganito ang hitsura.

Ngayon ay nananatili itong "ayusin" ang parabola sa nais na posisyon na may mga kinakailangang kondisyon.

1. Dahil ang parabola ay may dalawang punto ng intersection sa axisX, pagkatapos ay D > 0.

   Ang vertex ng parabola ay nasa pagitan ng mga patayong linya.X= 1 at X= 5, kaya ang abscissa ng vertex ng parabola x tungkol sa nabibilang sa pagitan (1; 5), i.e.
   1 < X tungkol sa< 5.

   Napapansin natin yan sa(1) > 0, sa(5) > 0.

Kaya, ang pagpasa mula sa geometric na modelo ng problema hanggang sa analytical, nakakakuha tayo ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

Sagot: 2< a < 4.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang isang graphical na paraan para sa paglutas ng mga problema ng uri na isinasaalang-alang ay posible sa kaso kapag ang mga ugat ay "masama", i.e. naglalaman ng isang parameter sa ilalim ng radical sign (sa kasong ito, ang discriminant ng equation ay hindi isang perpektong parisukat).
Sa pangalawang solusyon, nagtrabaho kami sa mga coefficient ng equation at sa hanay ng functionsa = X 2 – 2 Oh + a 2 – 1.
Ang pamamaraang ito ng paglutas ay hindi matatawag na graphical lamang, dahil. Dito kailangan nating lutasin ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa halip, ang pamamaraang ito ay pinagsama: functional-graphical. Sa dalawang pamamaraang ito, ang huli ay hindi lamang matikas, kundi pati na rin ang pinakamahalaga, dahil ipinapakita nito ang ugnayan sa pagitan ng lahat ng uri ng isang modelo ng matematika: isang pandiwang paglalarawan ng problema, isang geometric na modelo - isang graph ng isang square trinomial, isang analytical model - isang paglalarawan ng isang geometric na modelo sa pamamagitan ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.
Kaya, isinasaalang-alang namin ang isang problema kung saan ang mga ugat ng isang square trinomial ay nakakatugon sa mga ibinigay na kondisyon sa domain ng kahulugan para sa nais na mga halaga ng parameter.

At anong iba pang posibleng kundisyon ang maaaring matugunan ng mga ugat ng isang square trinomial para sa nais na mga halaga ng parameter?

Mga halimbawa ng paglutas ng problema

3. Pagsisiyasat ng lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial depende sa nais na mga halaga ng parameter a.

Gawain bilang 2.

Sa anong mga halaga ng parametera mga ugat ng isang quadratic equation

x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5) \u003d 0 ay higit sa isa?

Solusyon.

Isaalang-alang ang function: y = x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5)

Ang graph ng function ay isang parabola. Ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.

Let's schematically ilarawan ang isang parabola (isang geometric na modelo ng problema).

Ngayon ay lumipat tayo mula sa itinayong geometric na modelo hanggang sa analytical, i.e. Ilarawan natin ang geometriko na modelong ito sa pamamagitan ng isang sistema ng mga kundisyon na sapat dito.

May mga punto ng intersection (o isang punto ng contact) ng parabola na may x-axis, samakatuwid, D≥0, i.e. 16+4(a-1)(a-5)≥0.

Napansin namin na ang vertex ng parabola ay matatagpuan sa kanang kalahating eroplano na may kaugnayan sa tuwid na linya x=1, i.e. ang abscissa nito ay mas malaki sa 1, i.e. 2>1 (ginanap para sa lahat ng mga halaga ng parameter a).

Tandaan na y(1)>0, i.e. 1 - 4 - (a - 1) (a - 5)>0

Bilang resulta, dumarating tayo sa isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

;

Sagot: 2<а<4.

Gawain bilang 3.

X 2 + ax - 2 = 0 mas malaki sa isa?

Solusyon.

Isaalang-alang ang function: y = -x 2 + ah - 2

Ang graph ng function ay isang parabola. Ang mga sanga ng parabola ay tumuturo pababa. Ilarawan natin ang geometric na modelo ng problemang isinasaalang-alang.

U(1)

Gumawa tayo ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

, walang solusyon

Sagot. Walang ganoong mga halaga ng parameter.

Ang mga kondisyon ng mga problema No. 2 at No. 3, kung saan ang mga ugat ng isang square trinomial ay mas malaki kaysa sa isang tiyak na numero para sa nais na mga halaga ng parameter a, bumalangkas kami bilang mga sumusunod.

Pangkalahatang kaso #1.

Para sa anong mga halaga ng parameter a ang mga ugat ng square trinomial

f(x) = palakol 2 Ang + sa + c ay mas malaki kaysa sa ilang bilang na k, ibig sabihin. sa<х 1 ≤x 2 .

Ilarawan natin ang geometric na modelo ng problemang ito at isulat ang kaukulang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay.

Talahanayan 1. Modelo - scheme.

Gawain bilang 4.

Sa anong mga halaga ng parameter a ang mga ugat ng quadratic equation

X 2 +(a+1)x–2a(a–1) = 0 mas mababa sa isa?

Solusyon.

Isaalang-alang ang function: y = x 2 + (a + 1) x–2a (a–1)

Ang graph ng function ay isang parabola. Ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas. Ayon sa kondisyon ng problema, ang mga ugat ay mas mababa sa 1, samakatuwid, ang parabola ay sumasalubong sa x-axis (o hinawakan ang x-axis sa kaliwa ng tuwid na linya x=1).

Let's schematically ilarawan ang isang parabola (isang geometric na modelo ng problema).

y(1)

Lumipat tayo mula sa geometric na modelo patungo sa analytical.

Dahil may mga punto ng intersection ng parabola na may x-axis, pagkatapos ay D≥0.

Ang vertex ng parabola ay matatagpuan sa kaliwa ng tuwid na linya x=1, i.e. ang abscissa x 0 <1.

Tandaan na y(1)>0, i.e. 1+(a+1)-2a(a-1)>0.

Dumating tayo sa isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

;

Sagot: -0.5<а<2.

Pangkalahatang kaso #2.

Para sa kung anong mga halaga ng parameter ang parehong mga ugat ng trinomialf(x) = palakol 2 Ang + sa + c ay magiging mas mababa sa ilang bilang na k: x 1 ≤x 2<к.

Ang geometric na modelo at ang kaukulang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay ipinakita sa talahanayan. Kinakailangang isaalang-alang ang katotohanan na may mga problema kung saan ang unang koepisyent ng square trinomial ay nakasalalay sa parameter a. At pagkatapos ay ang mga sanga ng parabola ay maaaring idirekta pareho pataas at pababa, depende sa mga halaga ng parameter a. Isasaalang-alang namin ang katotohanang ito kapag lumilikha ng isang pangkalahatang pamamaraan.

Numero ng talahanayan 2.

f(k)

Analytical na modelo

(sistema ng mga kondisyon).

Analytical na modelo

(sistema ng mga kondisyon).

Gawain bilang 5.

Sa anong mga halaga ng parameter a 2 -2ax+a=0 nabibilang sa pagitan (0;3)?

Solusyon.

Isaalang-alang ang square trinomial y(x) = x 2 -2ax + a.

Ang graph ay isang parabola. Ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.

Ipinapakita ng figure ang geometric na modelo ng problemang isinasaalang-alang.

Sa

Y(0)

U(3)

0 x 1 x 0 x 1 3 x

Mula sa itinayong geometric na modelo, lumipat tayo sa analytical, i.e. inilalarawan natin ito sa pamamagitan ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

May mga punto ng intersection ng parabola na may x-axis (o isang punto ng contact), samakatuwid, D≥0.

Ang tuktok ng parabola ay nasa pagitan ng mga linyang x=0 at x=3, i.e. abscissa ng parabola x 0 nabibilang sa pagitan (0;3).

Tandaan na ang y(0)>0 at gayundin ang y(3)>0.

Dumating tayo sa sistema.

;

Sagot: a

Pangkalahatang kaso #3.

Para sa anong mga halaga ng parameter a ang mga ugat ng square trinomial ay nabibilang sa pagitan (k; m), ibig sabihin. k<х 1 ≤х 2 < m

Talahanayan Blg. 3. Modelo - scheme.

f(x)

f(k)

f(m)

k x 1 x 0 x 2 mx

f(x)

0kx 1 x 0 x 2 m

f(k)

f(m)

Analytical model ng problema

Analytical model ng problema

GAWAIN #6.

Sa anong mga halaga ng parameter a ay ang mas maliit na ugat lamang ng quadratic equation x 2 Ang +2ax+a=0 ay kabilang sa pagitan ng X (0;3).

Solusyon.

2 -2ax + a

Ang graph ay isang parabola. Ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas. Hayaan ang x 1 mas maliit na ugat ng isang square trinomial. Ayon sa kalagayan ng problema x 1 nabibilang sa pagitan (0;3). Ilarawan natin ang isang geometric na modelo ng problema na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema.

Y(x)

Y(0)

0 x 1 3 x 0 x 2 x

Y(3)

Lumipat tayo sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

1) Pansinin na ang y(0)>0 at y(3)<0. Так как ветви параболы направлены вверх и у(3)<0, то автоматически Д>0. Samakatuwid, ang kundisyong ito ay hindi kailangang isulat sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

Kaya, nakukuha natin ang sumusunod na sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Sagot: a >1,8.

Pangkalahatang kaso #4.

Para sa anong mga halaga ng parameter a ang mas maliit na ugat ng square trinomial ay nabibilang sa ibinigay na pagitan (k; m), ibig sabihin. k<х 1 < m<х 2 .

Talahanayan Blg. 4 . Modelo - scheme.

f(k)

k x 1 0 m x 2

f(m)

F(x)

f(m)

k x 1 mx 2 x

f(k)

Analytical na modelo

Analytical na modelo

GAWAIN #7.

Sa anong mga halaga ng parameter a lamang ang mas malaking ugat ng quadratic equation x 2 +4x-(a+1)(a+5)=0 ay kabilang sa pagitan [-1;0).

Solusyon.

Isaalang-alang ang square trinomial y(x)=x 2+4x-(a+1)(a+5).

Ang graph ay isang parabola. Ang mga sanga ay nakadirekta sa itaas.

Ilarawan natin ang geometric na modelo ng problema. Hayaan ang x 2 ay ang mas malaking ugat ng equation. Sa pamamagitan ng kondisyon ng problema, tanging ang mas malaking ugat ang nabibilang sa pagitan.

y(X)

y(0)

x 1 -1 x 2 0 x

y(-1)

Tandaan na y(0)>0 at y(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях Д>0.

Gumawa tayo ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay at lutasin ito.

Sagot:

Pangkalahatang kaso #5.

Para sa anong mga halaga ng parameter a, ang mas malaking ugat ng square trinomial ay kabilang sa ibinigay na pagitan (k; m), ibig sabihin. x 1< k<х 2 < m.

Talahanayan Blg. 5. Modelo - scheme.

f(x)

f(m)

0 x 1 k x 2 m x

f(k)

f(x)

f(k)

x 1 0kx 2 m

f(m)

Analytical na modelo

Analytical na modelo

W ADACHA No. 8.

Sa anong mga halaga ng parameter a ang segment [-1; 3] ay ganap na matatagpuan sa pagitan ng mga ugat ng quadratic equation x 2 -(2a+1)x+a-11=0?

Solusyon.

Isaalang-alang ang square trinomial y(x)=x 2 - (2a + 1) x + a-11

Ang graph ay isang parabola.

Ang geometric na modelo ng problemang ito ay ipinapakita sa figure.

Y(x)

X 1 -1 0 3 x 2 x

Y(-1)

Y(3)

Sa ilalim ng mga kundisyong ito, D>0, dahil ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.

Sagot: a

Pangkalahatang kaso #6.

Para sa anong mga halaga ng parameter a ang mga ugat ng square trinomial ay nasa labas ng ibinigay na pagitan (k; m), ibig sabihin. x 1< k < m<х 2 .

x 2 -(2a + 1) x + 4-a \u003d 0 nakahiga sa magkabilang panig ng numero mula sa numero 3?

Solusyon.

Isaalang-alang ang square trinomial y(x)=x 2 - (2a + 1) x + 4-a.

Ang graph ay isang parabola, ang mga sanga ay nakadirekta paitaas (ang unang koepisyent ay 1). Ilarawan natin ang geometric na modelo ng problema.

X 1 3 x 2 x

Y(3)

Lumipat tayo mula sa isang geometric na modelo patungo sa isang analitikal.

1. Napansin namin na y(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 awtomatikong.Ang +in+c ay mas mababa sa ilang bilang na k: x 1 ≤ x 2 <к

   3. Para sa anong mga halaga ng parameter a mga ugat ng square trinomial ax 2 Ang +in+c ay nabibilang sa pagitan (k, t) sa<х 1 ≤x 2 <т

   4. Para sa anong mga halaga ng parameter a tanging ang mas maliit na ugat ng square trinomial ax 2 Ang +in+c ay kabilang sa ibinigay na pagitan (k, t), ibig sabihin, k<х 1 <т<х 2

   1. Ilarawan ang geometric na modelo ng problemang ito.

   2. Isulat ang sistema ng mga kondisyon kung saan nababawasan ang solusyon sa problemang ito

   1. Ilarawan ang geometric na modelo ng problemang ito.

   2. Isulat ang sistema ng mga kondisyon kung saan nababawasan ang solusyon sa problemang ito

   1. Ilarawan ang geometric na modelo ng problemang ito.

   2. Isulat ang sistema ng mga kondisyon kung saan nababawasan ang solusyon sa problemang ito

   Ang mga ugat ng quadratic equation x 2 -4x-(a-1)(a-5)=0, higit sa 1.

   Sagot: 2<а<4

   Ang mga ugat ng quadratic equation x 2 +(a+1)x-2a(a-1)=0, mas mababa sa 1.

   Sagot:

   -0,5<а<2

   Ang mga ugat ng quadratic equation x 2 -2ax+a=0, nabibilang sa pagitan (0;3).

   Sagot: 1≤a< 9 / 5

   Tanging ang mas maliit na ugat ng equation na x 2 -2ax+a=0, nabibilang sa pagitan (0;3).

   Sagot: 1≤a< 9 / 5

   1. Ilarawan ang geometric na modelo ng problemang ito.

   2. Isulat ang sistema ng mga kondisyon kung saan nababawasan ang solusyon sa problemang ito

   1. Ilarawan ang geometric na modelo ng problemang ito.

   2. Isulat ang sistema ng mga kondisyon kung saan nababawasan ang solusyon sa problemang ito

   1. Ilarawan ang geometric na modelo ng problemang ito.

   2. Isulat ang sistema ng mga kondisyon kung saan nababawasan ang solusyon sa problemang ito

   Tanging ang pinakamalaking ugat ng equation x 2 +4x-(a+1)(a+5)=0, ay kabilang sa pagitan [-1;0).

   Sagot:(-5;-4]U[-2;-1)

   Ang segment [-1; 3] ay ganap na nasa pagitan ng mga ugat ng quadratic equation x 2 -(2a+1)x+a-11=0.

   Sagot: -1<а<3

   Ang mga ugat ng quadratic equation x 2 -2 (a + 1) x + 4-a \u003d 0, nakahiga sa magkabilang panig ng numero 3.

   Sagot( 10 / 7 ;∞)

   Salamat sa lesson guys!

Sa anong halaga ng parameter ang isang ugat ng equation

mas malaki sa 1 at ang isa ay mas mababa sa 1?

Isaalang-alang ang function -

Layunin:

• Ang pag-aaral ng lahat ng posibleng tampok ng lokasyon ng mga ugat ng isang parisukat na trinomial na may kaugnayan sa isang partikular na punto at nauugnay sa isang partikular na segment batay sa mga katangian ng isang parisukat na function at mga graphical na interpretasyon.
• Paglalapat ng mga pinag-aralan na katangian sa paglutas ng mga hindi karaniwang problema na may isang parameter.

Mga gawain:

• Upang pag-aralan ang iba't ibang paraan ng paglutas ng mga problema batay sa pag-aaral ng lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial sa pamamagitan ng isang graphical na pamamaraan.
• Patunayan ang lahat ng posibleng mga tampok ng lokasyon ng mga ugat ng isang square trinomial, bumuo ng mga teoretikal na rekomendasyon para sa paglutas ng mga hindi pamantayang problema sa isang parameter.
• Master ang isang bilang ng mga teknikal at intelektwal na mga kasanayan sa matematika, alamin kung paano gamitin ang mga ito sa paglutas ng mga problema.

Hypothesis:

Ang paggamit ng graphical na pamamaraan sa mga di-tradisyonal na problema na may parameter ay nagpapasimple sa mga kalkulasyon sa matematika at isang makatwirang paraan upang malutas.

pagkatapos at pagkatapos lamang:

1. Ang parehong mga ugat ay mas mababa sa A,

2. Ang mga ugat ay nasa magkabilang panig ng bilang A,

pagkatapos at pagkatapos lamang:

• pagkatapos at pagkatapos lamang:

pagkatapos at pagkatapos lamang:

3. Ang parehong mga ugat ay mas malaki kaysa sa bilang A, iyon ay

Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan mayroong isang ugat ng equation

mas malaki sa 1 at ang isa ay mas mababa sa 1.

Para sa kung anong mga halaga ng parameter ang equation

may dalawang magkaibang ugat ng parehong tanda?

-6

-2

3

a

1. Ang parehong mga ugat ay nasa pagitan ng mga punto A at B, i.e.

pagkatapos at pagkatapos lamang:

2. Ang mga ugat ay namamalagi sa magkabilang panig ng segment

pagkatapos at pagkatapos lamang:

3. Ang isang ugat ay nasa labas ng segment, at ang isa pa dito, iyon ay

pagkatapos at pagkatapos lamang:

Galugarin ang Equation

sa pamamagitan ng bilang ng mga ugat depende sa parameter.

ang equation ay walang mga solusyon.

may isang solusyon.

Galugarin ang Equation

sa bilang ng mga ugat sa

depende sa parameter.

Kung ang isang ugat ay nasa isang segment, at ang isa sa kaliwa nito.

Kung ang isang ugat ay nasa isang segment, at ang isa sa kanan nito.

ang orihinal na equation ay magkakaroon ng dalawang magkaibang ugat.

sa ilalim ng kung saan

Ang equation ay may tatlong magkakaibang ugat.

Sagot: kailan

sa ilalim ng kung saan

ang orihinal na equation ay magkakaroon ng dalawa

iba't ibang ugat.

Ang equation ay may apat na magkakaibang ugat.