Aralin at paglalahad sa mga paksa: "Natural logarithm. Base ng natural logarithm. Logarithm ng natural na numero"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga tulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 11
Interactive na manwal para sa mga baitang 9-11 "Trigonometry"
Interactive na manual para sa grade 10-11 "Logarithms"

Ano ang natural logarithm

Guys, sa huling aralin natutunan namin ang isang bagong, espesyal na numero - e. Ngayon ay patuloy kaming gagana sa numerong ito.
Napag-aralan natin ang logarithm at alam natin na ang base ng logarithm ay maaaring isang set ng mga numero na mas malaki kaysa sa 0. Ngayon ay isasaalang-alang din natin ang logarithm, na nakabatay sa numerong e. Ang ganitong logarithm ay karaniwang tinatawag na natural logarithm . Mayroon itong sariling notasyon: $\ln(n)$ ay ang natural na logarithm. Ang notasyong ito ay katumbas ng: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Ang exponential at logarithmic function ay inverse, at ang natural na logarithm ay ang inverse ng function: $y=e^x$.
Ang mga inverse function ay simetriko na may kinalaman sa tuwid na linya $y=x$.
I-plot natin ang natural logarithm sa pamamagitan ng pag-plot ng exponential function na may kinalaman sa tuwid na linya $y=x$.

Kapansin-pansin na ang slope ng tangent sa graph ng function na $y=e^x$ sa punto (0;1) ay 45°. Pagkatapos ang slope ng tangent sa graph ng natural na logarithm sa punto (1; 0) ay magiging katumbas din ng 45°. Pareho sa mga tangent na ito ay magiging parallel sa linya $y=x$. I-sketch natin ang mga tangents:

Mga katangian ng function na $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Ay hindi kahit na o kakaiba.
3. Tumataas sa buong domain ng kahulugan.
4. Hindi limitado mula sa itaas, hindi limitado mula sa ibaba.
5. Walang pinakamataas na halaga, walang pinakamababang halaga.
6. Tuloy-tuloy.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Matambok.
9. Naiiba kahit saan.

Sa kurso ng mas mataas na matematika ito ay pinatunayan na ang derivative ng isang inverse function ay ang reciprocal ng derivative ng ibinigay na function.
Hindi gaanong makatuwirang suriin ang patunay, isulat na lang natin ang formula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Halimbawa.
Kalkulahin ang halaga ng derivative ng function: $y=\ln(2x-7)$ sa puntong $x=4$.
Solusyon.
Sa pangkalahatan, ang ating function ay kinakatawan ng function na $y=f(kx+m)$, maaari nating kalkulahin ang mga derivatives ng naturang mga function.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Kalkulahin natin ang halaga ng derivative sa kinakailangang punto: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Sagot: 2.

Halimbawa.
Gumuhit ng tangent sa graph ng function na $y=ln(x)$ sa puntong $x=e$.
Solusyon.
Ang equation ng tangent sa graph ng function, sa puntong $x=a$, naaalala nating mabuti.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Sunud-sunod nating kalkulahin ang mga kinakailangang halaga.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Ang tangent equation sa puntong $x=e$ ay ang function na $y=\frac(x)(e)$.
I-plot natin ang natural logarithm at ang padaplis.

Halimbawa.
Siyasatin ang function para sa monotonicity at extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Solusyon.
Domain ng function na $D(y)=(0;+∞)$.
Hanapin ang derivative ng ibinigay na function:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Ang derivative ay umiiral para sa lahat ng x mula sa domain ng kahulugan, pagkatapos ay walang mga kritikal na puntos. Maghanap tayo ng mga nakatigil na puntos:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Ang puntong $х=-1$ ay hindi kabilang sa domain ng kahulugan. Pagkatapos ay mayroon kaming isang nakatigil na punto $х=1$. Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba:

Ang puntong $x=1$ ay ang pinakamababang punto, pagkatapos ay $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Sagot: Bumababa ang function sa segment (0;1], tumataas ang function sa ray $)