$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Sinasabing mayroon si $f$ lokal na maximum sa puntong $x_(0) \sa E$ kung mayroong isang kapitbahayan $U$ ng puntong $x_(0)$ para sa lahat ng $x \in U$ ang hindi pagkakapantay-pantay $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Ang lokal na maximum ay tinatawag mahigpit , kung ang kapitbahayan na $U$ ay mapipili sa paraang para sa lahat ng $x \in U$ ay iba sa $x_(0)$ mayroong $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Kahulugan
Hayaan ang $f$ na maging isang tunay na function sa isang bukas na set $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Sinasabing mayroon si $f$ lokal na minimum sa puntong $x_(0) \sa E$ kung mayroong isang kapitbahayan $U$ ng puntong $x_(0)$ para sa lahat ng $x \in U$ ang hindi pagkakapantay-pantay $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Ang lokal na minimum ay sinasabing mahigpit kung ang kapitbahayan na $U$ ay mapipili para sa lahat ng $x \in U$ ay iba sa $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\kanan)$.

Pinagsasama ng lokal na extremum ang mga konsepto ng lokal na minimum at lokal na maximum.

Theorem (kinakailangang kundisyon para sa extremum ng isang differentiable function)
Hayaan ang $f$ na maging isang tunay na function sa isang bukas na set $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kung sa puntong $x_(0) \sa E$ ang function na $f$ ay may lokal na extremum din sa puntong ito, kung gayon ang $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Ang pagkakapantay-pantay sa zero differential ay katumbas ng katotohanan na ang lahat ay katumbas ng zero, i.e. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Sa one-dimensional na kaso, ito ay . Ipahiwatig ang $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, kung saan ang $h$ ay isang arbitrary vector. Ang function na $\phi$ ay tinukoy para sa sapat na maliit na mga halaga ng modulo na $t$. Bukod dito, may kinalaman sa , ito ay naiba-iba, at $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Hayaan ang $f$ na magkaroon ng lokal na maximum sa x $0$. Kaya, ang function na $\phi$ sa $t = 0$ ay may lokal na maximum at, sa pamamagitan ng Fermat's theorem, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Kaya, nakuha namin na $df \left(x_(0)\right) = 0$, i.e. function na $f$ sa puntong $x_(0)$ ay katumbas ng zero sa anumang vector na $h$.

Kahulugan
Ang mga punto kung saan ang pagkakaiba ay katumbas ng zero, i.e. ang mga kung saan ang lahat ng bahagyang derivatives ay katumbas ng zero ay tinatawag na nakatigil. kritikal na puntos ang mga function na $f$ ay ang mga punto kung saan ang $f$ ay hindi naiba-iba, o katumbas ito ng zero. Kung ang punto ay nakatigil, hindi pa ito sumusunod na ang function ay may isang extremum sa puntong ito.

Halimbawa 1
Hayaan ang $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Pagkatapos ay $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, kaya ang $\left(0,0\right)$ ay isang nakatigil na punto, ngunit ang function ay walang extremum sa puntong ito. Sa katunayan, $f \left(0,0\right) = 0$, ngunit madaling makita na sa anumang kapitbahayan ng puntong $\left(0,0\right)$ ang function ay tumatagal ng parehong positibo at negatibong mga halaga.

Halimbawa 2
Ang function na $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ay may pinagmulan ng mga coordinate bilang isang nakatigil na punto, ngunit malinaw na walang extremum sa puntong ito.

Theorem (sapat na kondisyon para sa isang extremum).
Hayaang ang isang function na $f$ ay dalawang beses na patuloy na naiba-iba sa isang bukas na hanay na $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Hayaang ang $x_(0) \sa E$ ay isang nakatigil na punto at $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Pagkatapos

1. kung ang $Q_(x_(0))$ ay , kung gayon ang function na $f$ sa puntong $x_(0)$ ay may lokal na extremum, ibig sabihin, ang minimum kung positive-definite ang form at ang maximum kung ang form ay negatibo-tiyak;
2. kung ang quadratic form na $Q_(x_(0))$ ay hindi tiyak, ang function na $f$ sa puntong $x_(0)$ ay walang extremum.

Gamitin natin ang pagpapalawak ayon sa pormula ni Taylor (12.7 p. 292) . Isinasaalang-alang na ang unang pagkakasunud-sunod ng mga partial derivatives sa puntong $x_(0)$ ay katumbas ng zero, nakukuha namin ang $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\kanan) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ bahagyang x_(j)) \kaliwa(x_(0)+\theta h\kanan)h^(i)h^(j),$$ kung saan $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, at $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ para sa $h \rightarrow 0$, pagkatapos ay ang kanang bahagi ay positibo para sa anumang vector na $h$ na may sapat na maliit na haba.
Kaya, kami ay dumating sa konklusyon na sa ilang kapitbahayan ng puntong $x_(0)$ ang hindi pagkakapantay-pantay na $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ ay nasisiyahan kung $ lamang x \neq x_ (0)$ (inilalagay namin ang $x=x_(0)+h$\kanan). Nangangahulugan ito na sa puntong $x_(0)$ ang function ay may mahigpit na lokal na minimum, at sa gayon ang unang bahagi ng aming theorem ay napatunayan.
Ipagpalagay ngayon na ang $Q_(x_(0))$ ay isang hindi tiyak na anyo. Pagkatapos ay mayroong mga vectors na $h_(1)$, $h_(2)$ na $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Para sa sapat na maliit na $t>0$, ang kanang bahagi ay positibo. Nangangahulugan ito na sa alinmang kapitbahayan ng puntong $x_(0)$ ang function na $f$ ay kumukuha ng mga halaga $f \left(x\right)$ mas malaki kaysa sa $f \left(x_(0)\right)$.
Sa katulad na paraan, nakuha namin na sa alinmang kapitbahayan ng puntong $x_(0)$ ang function na $f$ ay kumukuha ng mga halaga na mas mababa sa $f \left(x_(0)\right)$. Ito, kasama ng nauna, ay nangangahulugan na ang function na $f$ ay walang extremum sa puntong $x_(0)$.

Isaalang-alang natin ang isang partikular na kaso ng theorem na ito para sa isang function na $f \left(x,y\right)$ ng dalawang variable na tinukoy sa ilang kapitbahayan ng point $\left(x_(0),y_(0)\right) $ at pagkakaroon ng tuluy-tuloy na partial derivatives ng una at pangalawang order. Hayaan ang $\left(x_(0),y_(0)\right)$ maging isang nakatigil na punto at hayaan ang $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Pagkatapos ang nakaraang teorama ay tumatagal ng sumusunod na anyo.

Teorama
Hayaan ang $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Pagkatapos:

1. kung $\Delta>0$, ang function na $f$ ay may lokal na extremum sa puntong $\left(x_(0),y_(0)\right)$, ibig sabihin, isang minimum kung $a_(11)> 0$ , at maximum kung $a_(11)<0$;
2. kung $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Algorithm para sa paghahanap ng extremum ng isang function ng maraming variable:

1. Nakahanap kami ng mga nakatigil na puntos;
2. Nahanap namin ang pagkakaiba ng ika-2 pagkakasunud-sunod sa lahat ng mga nakatigil na punto
3. Gamit ang sapat na kundisyon para sa extremum ng isang function ng ilang variable, isinasaalang-alang namin ang second-order differential sa bawat stationary point

1. Siyasatin ang function sa extremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Solusyon

   Maghanap ng mga partial derivatives ng 1st order: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Bumuo at lutasin ang system: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Mula sa 2nd equation, ipinapahayag namin ang $x=4 \cdot y^(2)$ — palitan sa 1st equation: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ kanan )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Bilang resulta, 2 nakatigil na puntos ang nakuha:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \kaliwa(\frac(1)(2), 1\kanan)$
   Suriin natin ang katuparan ng sapat na extremum na kondisyon:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Para sa puntong $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Para sa puntong $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, kaya mayroong extremum sa puntong $M_(2)$, at dahil $A_(2)>0 $, kung gayon ito ang pinakamababa.
   Sagot: Ang puntong $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ ay ang pinakamababang punto ng function na $f$.
   

2. Siyasatin ang function para sa extremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Solusyon

   Maghanap ng mga nakatigil na puntos: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Bumuo at lutasin ang system: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   Ang $M_(0) \left(-1, 2\right)$ ay isang nakatigil na punto.
   Suriin natin ang katuparan ng sapat na extremum na kondisyon: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Sagot: walang extrema.
   

Limitasyon sa oras: 0

Navigation (mga numero ng trabaho lamang)

0 sa 4 na gawain ang natapos

Impormasyon

Sagutan ang pagsusulit na ito upang subukan ang iyong kaalaman sa paksang kababasa mo lang, Local Extrema of Functions of Many Variables.

Nakapag-test ka na dati. Hindi mo na ito maaaring patakbuhin muli.

Naglo-load ang pagsubok...

Dapat kang mag-login o magparehistro upang simulan ang pagsubok.

Dapat mong kumpletuhin ang mga sumusunod na pagsubok upang simulan ang isang ito:

resulta

Mga tamang sagot: 0 sa 4

Oras mo:

Tapos na ang oras

Nakakuha ka ng 0 sa 0 puntos (0 )

Ang iyong marka ay naitala sa leaderboard

1. Na may sagot
2. Naka-check out

Gawain 1 ng 4

1 .

Bilang ng mga puntos: 1

Siyasatin ang function na $f$ para sa extrema: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Tama


Hindi maayos


1. Gawain 2 ng 4

   2 .

   Bilang ng mga puntos: 1

   Ang function ba ay $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

Ang pagbabago ng isang function sa isang tiyak na punto at tinukoy bilang ang limitasyon ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento, na may posibilidad na maging zero. Upang mahanap ito, gamitin ang talahanayan ng mga derivatives. Halimbawa, ang derivative ng function na y = x3 ay magiging katumbas ng y’ = x2.

I-equate ang derivative na ito sa zero (sa kasong ito x2=0).

Hanapin ang halaga ng ibinigay na variable. Ito ang magiging mga halaga kung saan ang derivative na ito ay magiging katumbas ng 0. Upang gawin ito, palitan ang mga arbitrary na numero sa expression sa halip na x, kung saan ang buong expression ay magiging zero. Halimbawa:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Ilapat ang mga nakuhang halaga sa linya ng coordinate at kalkulahin ang sign ng derivative para sa bawat isa sa mga nakuha. Ang mga puntos ay minarkahan sa linya ng coordinate, na kinukuha bilang pinagmulan. Upang kalkulahin ang halaga sa mga pagitan, palitan ang mga arbitrary na halaga na tumutugma sa pamantayan. Halimbawa, para sa nakaraang function hanggang sa interval -1, maaari mong piliin ang value -2. Para sa -1 hanggang 1, maaari kang pumili ng 0, at para sa mga value na higit sa 1, piliin ang 2. Palitan ang mga numerong ito sa derivative at alamin ang sign ng derivative. Sa kasong ito, ang derivative na may x = -2 ay magiging katumbas ng -0.24, i.e. negatibo at magkakaroon ng minus sign sa pagitan na ito. Kung x=0, kung gayon ang halaga ay magiging katumbas ng 2, at isang senyales ang inilalagay sa pagitan na ito. Kung x=1, kung gayon ang derivative ay magiging katumbas din ng -0.24 at isang minus ang ilalagay.

Kung, kapag dumadaan sa isang punto sa linya ng coordinate, binago ng derivative ang sign nito mula minus hanggang plus, kung gayon ito ay isang minimum na punto, at kung mula sa plus hanggang minus, kung gayon ito ay isang maximum na punto.

Mga kaugnay na video

Kapaki-pakinabang na payo

Upang mahanap ang derivative, may mga online na serbisyo na kinakalkula ang mga kinakailangang halaga at ipinapakita ang resulta. Sa mga naturang site, makakahanap ka ng derivative na hanggang 5 order.

Mga Pinagmulan:

• Isa sa mga serbisyo para sa pagkalkula ng mga derivatives
• maximum na punto ng function

Ang pinakamataas na punto ng function kasama ang pinakamababang puntos ay tinatawag na extremum point. Sa mga puntong ito, binabago ng function ang pag-uugali nito. Ang Extrema ay tinutukoy sa limitadong mga agwat ng numero at palaging lokal.

Pagtuturo

Ang proseso ng paghahanap ng local extrema ay tinatawag na function at ginagawa sa pamamagitan ng pagsusuri sa una at pangalawang derivatives ng function. Bago simulan ang paggalugad, siguraduhin na ang tinukoy na hanay ng mga halaga ng argumento ay kabilang sa mga pinapayagang halaga. Halimbawa, para sa function na F=1/x, ang halaga ng argument na x=0 ay hindi wasto. O para sa function na Y=tg(x), ang argument ay hindi maaaring magkaroon ng value na x=90°.

Tiyaking naiba ang function ng Y sa buong ibinigay na agwat. Hanapin ang unang derivative Y". Ito ay malinaw na bago maabot ang lokal na pinakamataas na punto, ang function ay tumataas, at kapag dumaan sa maximum, ang function ay nagiging bumababa. Ang unang derivative sa pisikal na kahulugan nito ay nagpapakilala sa rate ng pagbabago ng function. Habang tumataas ang function, positibong halaga ang rate ng prosesong ito. Kapag dumadaan sa lokal na maximum, nagsisimulang bumaba ang function, at nagiging negatibo ang rate ng proseso ng pagbabago ng function. Ang paglipat ng rate ng pagbabago ng function sa pamamagitan ng zero ay nangyayari sa punto ng lokal na maximum.

Ang function ay sinasabing may panloob na punto
mga lugar D lokal na maximum(pinakamababa) kung mayroong ganoong kapitbahayan ng punto
, para sa bawat punto
na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay

Kung ang function ay may sa punto
lokal na maximum o lokal na minimum, pagkatapos ay sinasabi namin na mayroon ito sa puntong ito lokal na extremum(o extreme lang).

Teorama (isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum). Kung ang differentiable function ay umabot sa isang extremum sa punto
, pagkatapos ay ang bawat first-order na partial derivative ng function nawawala sa puntong ito.

Ang mga punto kung saan ang lahat ng first-order na partial derivative ay naglalaho ay tinatawag nakatigil na mga punto ng pag-andar
. Ang mga coordinate ng mga puntong ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng system mula sa mga equation

.

Ang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum sa kaso ng isang differentiable function ay maaaring madaling ibalangkas tulad ng sumusunod:

May mga kaso kapag sa ilang mga punto ang ilang mga bahagyang derivatives ay may walang katapusang mga halaga o wala (habang ang iba ay katumbas ng zero). Ang ganitong mga punto ay tinatawag kritikal na mga punto ng pag-andar. Ang mga puntong ito ay dapat ding ituring bilang "kahina-hinala" para sa isang extremum, gayundin sa mga nakatigil.

Sa kaso ng isang function ng dalawang variable, ang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, katulad ng pagkakapantay-pantay sa zero ng mga partial derivatives (differential) sa extremum point, ay may geometric na interpretasyon: padaplis na eroplano sa ibabaw
sa extremum point ay dapat na parallel sa eroplano
.

20. Sapat na mga kondisyon para sa pagkakaroon ng extremum

Ang katuparan ng kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum sa isang punto ay hindi sa lahat ng garantiya ng pagkakaroon ng isang extremum doon. Bilang halimbawa, maaari nating kunin ang everywhere differentiable function
. Parehong ang mga partial derivatives nito at ang function mismo ay nawawala sa puntong iyon
. Gayunpaman, sa anumang kapitbahayan ng puntong ito, mayroong parehong positibo (malaki
) at negatibo (mas maliit
) mga halaga ng pagpapaandar na ito. Samakatuwid, sa puntong ito, sa pamamagitan ng kahulugan, walang extremum. Samakatuwid, kinakailangang malaman ang mga sapat na kundisyon kung saan ang isang puntong pinaghihinalaang isang extremum ay isang extremum point ng function na pinag-aaralan.

Isaalang-alang ang kaso ng isang function ng dalawang variable. Ipagpalagay natin na ang function
ay tinukoy, tuloy-tuloy, at may tuluy-tuloy na mga partial derivatives hanggang sa at kabilang ang pangalawang pagkakasunud-sunod sa isang kapitbahayan ng ilang punto
, na siyang nakatigil na punto ng function
, ibig sabihin, natutugunan ang mga kundisyon

,
.

Ipakilala natin ang notasyon:

Teorama (sapat na mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum). Hayaan ang function
natutugunan ang mga kundisyon sa itaas, ibig sabihin: naiba sa ilang kapitbahayan ng nakatigil na punto
at dalawang beses na naiba sa punto mismo
. Tapos kung

Kung
pagkatapos ay ang function
sa punto
umabot

lokal na maximum sa
at

lokal na minimum sa
.

Sa pangkalahatan, para sa isang function
sapat na kondisyon para sa pagkakaroon sa isang punto
lokalpinakamababa(maximum) ay positibo(negatibo) ang katiyakan ng pangalawang pagkakaiba.

Sa madaling salita, totoo ang sumusunod na pahayag.

Teorama . Kung sa punto
para sa function

para sa anumang hindi katumbas ng zero sa parehong oras
, pagkatapos sa puntong ito ang function ay may pinakamababa(katulad maximum, kung
).

Halimbawa 18.Maghanap ng mga lokal na extremum point ng isang function

Solusyon. Hanapin ang mga partial derivatives ng function at i-equate ang mga ito sa zero:

Sa paglutas ng sistemang ito, nakahanap kami ng dalawang posibleng extremum point:

Maghanap tayo ng second-order na partial derivatives para sa function na ito:

Sa unang nakatigil na punto , samakatuwid, at
Samakatuwid, ang karagdagang pananaliksik ay kinakailangan para sa puntong ito. Halaga ng function
sa puntong ito ay zero:
Dagdag pa,

sa

a

sa

Samakatuwid, sa anumang kapitbahayan ng punto
function
tumatagal ng mga halaga bilang malaki
, at mas maliit
, at samakatuwid sa punto
function
, sa pamamagitan ng kahulugan, ay walang lokal na extremum.

Sa pangalawang nakatigil na punto



samakatuwid, samakatuwid, dahil
pagkatapos ay sa punto
ang function ay may lokal na maximum.

MAXIMUM AT MINIMUM POINTS

mga punto kung saan kinukuha ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga sa domain ng kahulugan; ang mga ganyang punto ay tinatawag mga punto din ng absolute maximum o absolute minimum. Kung ang f ay tinukoy sa isang topological space X, pagkatapos ay ang punto x 0 tinawag punto ng lokal na maximum (lokal na minimum), kung mayroong ganoong punto x 0, na para sa paghihigpit ng function na isinasaalang-alang sa kapitbahayan na ito, ang punto x 0 ay ang absolute maximum (minimum) point. Tukuyin ang mga punto ng mahigpit at hindi mahigpit na maximum (mini m u m a) (parehong ganap at lokal). Halimbawa, isang punto na tinatawag punto ng isang hindi mahigpit (mahigpit) lokal na maximum ng function na f, kung mayroong ganoong kapitbahayan ng punto x 0, na humahawak para sa lahat (ayon sa pagkakabanggit, f(x) x0). )/

Para sa mga function na tinukoy sa finite-dimensional na mga domain, sa mga tuntunin ng differential calculus, may mga kundisyon at pamantayan para sa isang partikular na punto na maging isang lokal na maximum (minimum) na punto. Hayaang tukuyin ang function na f sa isang tiyak na kapitbahayan ng kahon x 0 ng tunay na axis. Kung ang x 0 - punto ng hindi mahigpit na lokal na maximum (minimum) at sa puntong ito ay mayroong f"( x0), pagkatapos ito ay katumbas ng zero.

Kung ang isang ibinigay na function f ay naiba sa isang kapitbahayan ng isang punto x 0 , maliban, marahil, para sa puntong ito mismo, kung saan ito ay tuloy-tuloy, at ang hinalaw na f" sa bawat panig ng punto x0 pinapanatili ang isang palaging tanda sa kapitbahayan na ito, pagkatapos ay upang x0 ay isang punto ng isang mahigpit na lokal na maximum (lokal na minimum), kinakailangan at sapat na ang derivative ay mag-sign mula plus hanggang minus, ibig sabihin, na f "(x)> 0 sa x<.x0 at f"(x)<0 при x>x0(mula sa minus hanggang plus: f"(X) <0 sa x<x0 at f"(x)>0 kapag x>x 0). Gayunpaman, hindi para sa bawat function na naiba-iba sa isang kapitbahayan ng isang punto x 0 , ang isang tao ay maaaring magsalita ng pagbabago sa tanda ng derivative sa puntong ito. . "

Kung ang function na f ay nasa punto x 0 t derivatives, bukod dito, upang x 0 ay isang punto ng mahigpit na lokal na maximum, ito ay kinakailangan at sapat na ang τ ay maging pantay at ang f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Hayaan ang function na f( x 1 ..., x p] ay tinukoy sa isang n-dimensional na kapitbahayan ng isang punto at naiba sa puntong ito. Kung ang x (0) ay isang hindi mahigpit na lokal na maximum (minimum) na punto, kung gayon ang function na f sa puntong ito ay katumbas ng zero. Ang kundisyong ito ay katumbas ng pagkakapantay-pantay sa zero sa puntong ito ng lahat ng partial derivatives ng 1st order ng function f. Kung ang isang function ay may 2nd continuous partial derivatives sa x(0) , lahat ng 1st derivatives nito ay mawawala sa x(0) at ang 2nd order differential sa x(0) ay isang negatibong (positibong) quadratic na hugis, kung gayon ang x(0) ay isang punto ng mahigpit na lokal na maximum (minimum). Ang mga kundisyon ay kilala para sa M. at M. T. differentiable function, kapag ang ilang mga paghihigpit ay ipinataw sa mga pagbabago sa mga argumento: ang mga constraint equation ay nasiyahan. Ang kailangan at sapat na mga kondisyon para sa maximum (minimum) ng isang tunay na function, na may mas kumplikadong istraktura, ay pinag-aralan sa mga espesyal na sangay ng matematika: halimbawa, sa matambok na pagsusuri, mathematical programming(Tingnan din Maximization at pag-minimize ng function). Ang mga function ng M. at m.t. na tinukoy sa mga manifold ay pinag-aaralan sa calculus ng mga pagkakaiba-iba sa pangkalahatan, at M. at m.t. para sa mga function na tinukoy sa mga function space, ibig sabihin, para sa mga functional, sa variational calculus. Mayroon ding iba't ibang paraan ng tinatayang numerong paghahanap ng M. at m. t.

Lit.: Il'in V. A., Poznya to E. G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3rd ed., Part 1, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.

Ensiklopedya sa matematika. - M.: Encyclopedia ng Sobyet. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Tingnan kung ano ang "MAXIMUM AT MINIMUM POINT" sa iba pang mga diksyunaryo:

Discrete Pontryagin maximum na prinsipyo para sa time-discrete na mga proseso ng kontrol. Para sa ganoong proseso, ang M. p. ay maaaring hindi masiyahan, bagaman para sa tuluy-tuloy na analog nito, na nakukuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng finite difference operator ng isang differential ... ... Mathematical Encyclopedia

Isang teorama na nagpapahayag ng isa sa mga pangunahing katangian ng module ng analytic. mga function. Hayaang ang f(z) ay isang regular na analytic, o holomorphic, function ng mga p-complex na variable sa isang domain D ng isang complex number space maliban sa isang constant, M. m. s. sa ... ... Mathematical Encyclopedia

Ang pinakamalaki at, nang naaayon, ang pinakamaliit na halaga ng isang function na kumukuha ng mga tunay na halaga. Ang punto ng domain ng kahulugan ng function na pinag-uusapan, kung saan ito ay tumatagal ng isang maximum o minimum, ay tinatawag na. ayon sa pagkakabanggit ang pinakamataas na punto o ang pinakamababang punto ... ... Mathematical Encyclopedia

Tingnan ang Maximum at minimum ng isang function, Maximum at minimum ng isang point... Mathematical Encyclopedia

Ang halaga ng tuluy-tuloy na function na ang maximum o minimum (tingnan ang Maximum at Minimum Points). Ang katagang LE... Mathematical Encyclopedia

Tagapagpahiwatig- (Indicator) Ang indicator ay isang information system, substance, device, device na nagpapakita ng mga pagbabago sa anumang parameter Mga indicator ng Forex currency market chart, ano ang mga ito at saan sila mada-download? Paglalarawan ng mga tagapagpahiwatig ng MACD, ... ... Encyclopedia ng mamumuhunan

Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Extreme (mga kahulugan). Ang Extremum (Latin extreme extreme) sa matematika ay ang maximum o minimum na halaga ng isang function sa isang naibigay na set. Ang punto kung saan naabot ang extremum ay ... ... Wikipedia

Ang differential calculus ay isang sangay ng mathematical analysis na nag-aaral ng mga konsepto ng derivative at differential at kung paano ito mailalapat sa pag-aaral ng mga function. Mga Nilalaman 1 Differential calculus ng mga function ng isang variable ... Wikipedia

Ang lemniscate at ang mga trick nito Ang lemniscate ni Bernoulli ay isang plane algebraic curve. Tinukoy bilang locus ng mga puntos, produkto ... Wikipedia

Divergence- (Divergence) Divergence bilang indicator Diskarte sa kalakalan na may MACD divergence Mga Nilalaman Seksyon 1. sa. Seksyon 2. Divergence kung paano. Ang divergence ay isang terminong ginagamit sa ekonomiya upang tukuyin ang kilusan sa kahabaan ng divergent ... ... Encyclopedia ng mamumuhunan

Para sa isang function na f(x) ng maraming variable, ang point x ay isang vector, ang f'(x) ay ang vector ng mga unang derivatives (gradient) ng function na f(x), f ′ ′(x) ay isang simetriko matrix ng pangalawang partial derivatives (Hesse matrix − Hessian) function na f(x).
Para sa isang function ng ilang mga variable, ang mga kondisyon ng pinakamainam ay binuo bilang mga sumusunod.
Isang kinakailangang kondisyon para sa lokal na pinakamainam. Hayaang maging differentiable ang f(x) sa puntong x * R n . Kung ang x * ay isang lokal na extremum point, kung gayon ang f'(x *) = 0.
Tulad ng dati, ang mga punto na solusyon sa isang sistema ng mga equation ay tinatawag na nakatigil. Ang katangian ng nakatigil na puntong x * ay nauugnay sa sign-definiteness ng Hessian matrix f′′(x).
Ang sign-definiteness ng matrix A ay depende sa mga palatandaan ng quadratic form Q(α)=< α A, α >para sa lahat ng nonzero α∈R n .
Dito at sa kabila ang scalar product ng mga vectors x at y ay denoted. Sa pamamagitan ng kahulugan,

Ang isang matrix A ay positibo (hindi negatibo) na tiyak kung Q(α)>0 (Q(α)≥0) para sa lahat ng hindi zero α∈R n ; negatibo (hindi positibo) tiyak kung Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 para sa ilang hindi zero na α∈R n at Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Isang sapat na kondisyon para sa lokal na optimality. Hayaang ang f(x) ay dalawang beses na naiba-iba sa puntong x * R n , at f’(x *)=0 , i.e. x * − nakatigil na punto. Pagkatapos, kung ang matrix f (x *) ay positibo (negatibo) tiyak, ang x * ay isang lokal na minimum (maximum) na punto; kung ang matrix f′′(x *) ay hindi tiyak, ang x * ay isang saddle point.
Kung ang matrix f′′(x *) ay di-negatibo (di-positibo) na tiyak, kung gayon upang matukoy ang katangian ng nakatigil na punto x *, kinakailangan ang pag-aaral ng mga derivative na may mataas na pagkakasunud-sunod.
Upang suriin ang sign-definiteness ng isang matrix, bilang panuntunan, ginagamit ang Sylvester criterion. Ayon sa pamantayang ito, ang isang simetriko matrix A ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng mga angular na menor de edad nito ay positibo. Sa kasong ito, ang angular minor ng matrix A ay ang determinant ng matrix na binuo mula sa mga elemento ng matrix A, na nakatayo sa intersection ng mga row at column na may parehong (at ang una) na mga numero. Upang suriin ang simetriko matrix A para sa negatibong katiyakan, dapat suriin ng isa ang matrix (−A) para sa positibong katiyakan.
Kaya, ang algorithm para sa pagtukoy ng mga punto ng lokal na extrema ng isang function ng maraming mga variable ay ang mga sumusunod.
1. Hanapin ang f′(x).
2. Nalutas ang sistema

Bilang resulta, ang mga nakatigil na puntos x i ay kinakalkula.
3. Hanapin ang f′′(x), itakda ang i=1.
4. Hanapin ang f′′(x i)
5. Ang mga angular na minor ng matrix f′′(x i) ay kinakalkula. Kung hindi lahat ng angular na menor de edad ay non-zero, pagkatapos ay upang matukoy ang likas na katangian ng nakatigil na punto x i, ang pag-aaral ng mga derivative na may mataas na pagkakasunud-sunod ay kinakailangan. Sa kasong ito, ang paglipat sa item 8 ay isinasagawa.
Kung hindi, pumunta sa hakbang 6.
6. Ang mga palatandaan ng mga angular na menor de edad f′′(x i) ay sinusuri. Kung ang f′′(x i) ay positibong tiyak, kung gayon ang x i ay isang lokal na pinakamababang punto. Sa kasong ito, ang paglipat sa item 8 ay isinasagawa.
Kung hindi, pumunta sa item 7.
7. Ang mga angular na menor de edad ng matrix -f′′(x i) ay kinakalkula at ang kanilang mga palatandaan ay sinusuri.
Kung ang -f′′(x i) − ay positibong tiyak, kung gayon ang f′′(x i) ay negatibong tiyak at x i ay isang lokal na pinakamataas na punto.
Kung hindi, ang f′′(x i) ay hindi tiyak at ang x i ay isang saddle point.
8. Ang kondisyon para sa pagtukoy sa katangian ng lahat ng nakatigil na mga punto i=N ay nasuri.
Kung ito ay nasiyahan, pagkatapos ay ang mga kalkulasyon ay nakumpleto.
Kung ang kundisyon ay hindi natugunan, pagkatapos ay i=i+1 ay ipinapalagay at ang paglipat sa hakbang 4 ay isinasagawa.

Halimbawa #1. Tukuyin ang mga punto ng lokal na extrema ng function f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2









Dahil ang lahat ng mga menor sa sulok ay hindi zero, ang katangian ng x 2 ay tinutukoy ng f′′(x).
Dahil ang matrix f′′(x 2) ay positibong tiyak, ang x 2 ay isang lokal na pinakamababang punto.
Sagot: ang function na f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 ay may lokal na minimum sa puntong x = (5/3; 8/3).