Allgemeines Linearisierungsverfahren
In den meisten Fällen ist es möglich, nichtlineare Abhängigkeiten mit der Methode der kleinen Abweichungen oder Variationen zu linearisieren. Um ᴇᴦο zu betrachten, wenden wir uns einer Verbindung im automatischen Steuersystem zu (Abb. 2.2). Die Eingangs- und Ausgangsgrößen werden mit X1 und X2 bezeichnet, und die externe Störung wird mit F(t) bezeichnet.
Nehmen wir an, dass die Verknüpfung durch eine nichtlineare Differentialgleichung der Form beschrieben wird
Um eine solche Gleichung zu erstellen, müssen Sie den entsprechenden Zweig der technischen Wissenschaften (z. B. Elektrotechnik, Mechanik, Hydraulik usw.) verwenden, der sich mit diesem speziellen Gerätetyp befasst.
Grundlage der Linearisierung ist die Annahme, dass die Abweichungen aller in die Link-Dynamics-Gleichung einbezogenen Größen ausreichend klein sind, da gerade auf einem ausreichend kleinen Abschnitt die krummlinige Kennlinie durch ein Geradenstück ersetzt werden kann. Gemessen werden dabei die Abweichungen der Variablen von ihren Werten im stationären Prozess bzw. in einem bestimmten Gleichgewichtszustand des Systems. Nehmen wir zum Beispiel an, dass der stationäre Prozess durch einen konstanten Wert der Variablen X1 gekennzeichnet ist, den wir als X10 bezeichnen. Im Regelprozess (Abb. 2.3) hat die Variable X1 die Werte, wobei die Abweichung der Variablen X 1 vom konstanten Wert X10 bezeichnet.
Ähnliche Beziehungen werden für andere Variablen eingeführt. Für den betrachteten Fall haben wir ˸ und auch .
Alle Abweichungen werden als hinreichend klein angenommen. Diese mathematische Annahme widerspricht nicht der physikalischen Bedeutung des Problems, da die Idee der automatischen Regelung erfordert, dass alle Abweichungen der Regelgröße während des Regelvorgangs ausreichend klein sind.
Der stationäre Zustand der Verbindung wird durch die Werte X10, X20 und F0 bestimmt. Dann ist Gleichung (2.1) für den stationären Zustand in die Form zu schreiben
Erweitern wir die linke Seite von Gleichung (2.1) in der Taylor-Reihe
wobei D Terme höherer Ordnung sind. Der Index 0 für partielle Ableitungen bedeutet, dass nach der Ableitung der stetige Wert aller Variablen in ihren Ausdruck eingesetzt werden muss.
Die Terme höherer Ordnung in Formel (2.3) umfassen höhere partielle Ableitungen multipliziert mit Quadraten, Kubikzahlen und höheren Abweichungsgraden sowie Abweichungsprodukten. Sie werden im Vergleich zu den Abweichungen selbst, die von erster Ordnung klein sind, von höherer Ordnung klein sein.
Gleichung (2.3) ist eine Link-Dynamic-Gleichung, genau wie (2.1), aber in einer anderen Form geschrieben. Lassen Sie uns die Kleinstwerte höherer Ordnung in dieser Gleichung verwerfen, danach subtrahieren wir die stationären Gleichungen (2.2) von Gleichung (2.3). Als Ergebnis erhalten wir die folgende Näherungsgleichung der Link-Dynamik bei kleinen Abweichungen˸
In diese Gleichung gehen alle Variablen und ihre Ableitungen linear, also bis zum ersten Grad, ein. Alle partiellen Ableitungen sind einige konstante Koeffizienten für den Fall, dass ein System mit konstanten Parametern untersucht wird. Wenn das System variable Parameter hat, dann hat Gleichung (2.4) variable Koeffizienten. Betrachten wir nur den Fall konstanter Koeffizienten.
Allgemeines Linearisierungsverfahren - Konzept und Typen. Klassifizierung und Merkmale der Kategorie "Allgemeine Linearisierungsmethode" 2015, 2017-2018.
Mit der Methode der harmonischen Linearisierung (harmonische Balance) können Sie die Bedingungen für das Vorhandensein und die Parameter möglicher Eigenschwingungen in nichtlinearen automatischen Steuerungssystemen bestimmen. Eigenschwingungen werden durch Grenzzyklen im Phasenraum von Systemen bestimmt. Grenzzyklen teilen den Raum (im Allgemeinen - mehrdimensional) zu den Domänen gedämpfter und divergenter Prozesse. Als Ergebnis der Berechnung der Parameter von Eigenschwingungen kann man schließen, dass sie für ein gegebenes System zulässig sind oder dass es notwendig ist, die Systemparameter zu ändern.
Die Methode ermöglicht:
Bestimmen Sie die Bedingungen für die Stabilität eines nichtlinearen Systems;
Finden Sie die Frequenz und Amplitude der freien Schwingungen des Systems;
Korrekturschaltkreise synthetisieren, um die erforderlichen Parameter der Eigenoszillationen sicherzustellen;
Untersuchen Sie erzwungene Schwingungen und bewerten Sie die Qualität transienter Prozesse in nichtlinearen automatischen Steuerungssystemen.
Bedingungen für die Anwendbarkeit des harmonischen Linearisierungsverfahrens.
1) Bei der Anwendung des Verfahrens wird davon ausgegangen, dass linear Ein Teil des Systems ist stabil oder neutral.
2) Das Signal am Eingang der nichtlinearen Verbindung hat eine ähnliche Form wie das harmonische Signal. Diese Bestimmung bedarf einer Erläuterung.
Abbildung 1 zeigt die Blockdiagramme des nichtlinearen ACS. Die Schaltung besteht aus in Reihe geschalteten Gliedern: einem nichtlinearen Glied y=F(x) und einem linearen
th, die durch die Differentialgleichung beschrieben wird
Für y = F(g - x) = g - x erhalten wir die Bewegungsgleichung eines linearen Systems.
Betrachten Sie Freizügigkeit, d.h. für g(t) º 0. Dann ist
Im Fall von Eigenschwingungen im System ist die freie Bewegung des Systems periodisch. Eine nicht periodische Bewegung über die Zeit endet damit, dass das System an einer Endposition stoppt (normalerweise an einem speziell bereitgestellten Begrenzer).
Bei jeder Form eines periodischen Signals am Eingang eines nichtlinearen Elements enthält das Signal an seinem Ausgang zusätzlich zur Grundfrequenz höhere Harmonische. Die Annahme, dass das Signal am Eingang des nichtlinearen Teils des Systems als harmonisch angesehen werden kann, d.h. dass
x(t)@a×sin(wt),
wobei w = 1/T, T die Periode der freien Schwingungen des Systems ist, entspricht der Annahme, dass der lineare Teil des Systems effektiv ist Filter höhere Harmonische des Signals y(t) = F(x (t)).
Im allgemeinen Fall, wenn ein nichtlineares Element eines harmonischen Signals x(t) am Eingang wirkt, kann das Ausgangssignal Fourier-transformiert werden:
Koeffizienten der Fourier-Reihe
Um die Berechnungen zu vereinfachen, setzen wir C 0 = 0, d. h. dass die Funktion F(x) bezüglich des Ursprungs symmetrisch ist. Eine solche Einschränkung ist nicht erforderlich und erfolgt durch Analyse. Das Auftreten der Koeffizienten C k ¹ 0 bedeutet, dass im allgemeinen Fall die nichtlineare Transformation des Signals von Phasenverschiebungen des umgewandelten Signals begleitet wird. Dies geschieht insbesondere bei Nichtlinearitäten mit mehrdeutigen Eigenschaften (mit verschiedenen Arten von Hystereseschleifen), sowohl Verzögerung als auch in einigen Fällen Phasenfortschritt.
Die Annahme einer effektiven Filterung bedeutet, dass die Amplituden höherer Harmonischer am Ausgang des linearen Teils des Systems klein sind, d.h.
Die Erfüllung dieser Bedingung wird dadurch erleichtert, dass in vielen Fällen die Amplituden der Harmonischen bereits direkt am Ausgang der Nichtlinearität deutlich kleiner ausfallen als die Amplitude der ersten Harmonischen. Zum Beispiel am Ausgang eines idealen Relais mit einem harmonischen Signal am Eingang
y(t)=F(с×sin(wt))=a×sign(sin(wt))
es gibt keine geradzahligen Harmonischen und die Amplitude der dritten Harmonischen in drei Mal kleiner als die Amplitude der ersten Harmonischen
Lass es uns tun Einschätzung des Unterdrückungsgrades höhere Harmonische des Signals im linearen Teil des ACS. Dazu treffen wir eine Reihe von Annahmen.
1) Frequenz der freien Schwingungen von ACS ungefähr gleich der Grenzfrequenz sein linearer Teil. Beachten Sie, dass die Frequenz freier Schwingungen eines nichtlinearen Regelsystems erheblich von der Frequenz freier Schwingungen eines linearen Systems abweichen kann, so dass diese Annahme nicht immer richtig ist.
2) Wir nehmen den ACS-Oszillationsindex gleich M=1,1.
3) LAH in der Nähe der Grenzfrequenz (w s) hat eine Flankensteilheit von -20 dB/dec. Die Grenzen dieses Abschnitts des LAH sind durch die Relationen mit dem Oszillationsindex verbunden
4) Die Frequenz w max konjugiert mit dem LPH-Abschnitt, so dass, wenn w > w max die LAH-Steigung mindestens minus 40 dB/dec beträgt.
5) Nichtlinearität – ein ideales Relais mit der Charakteristik y = sgn(x), so dass an seinem Nichtlinearitätsausgang nur ungeradzahlige Harmonische vorhanden sind.
Die Frequenzen der dritten Harmonischen w 3 \u003d 3w c, der fünften w 5 \u003d 5w c,
lgw3 = 0,48+lgwc ,
lgw 5 = 0,7 + lgw c .
Frequenz w max = 1,91 w s, lgw max = 0,28 + lgw s. Die Eckfrequenz liegt 0,28 Dekaden von der Grenzfrequenz entfernt.
Die Abnahme der Amplituden der höheren Harmonischen des Signals, wenn sie den linearen Teil des Systems durchlaufen, gilt für die dritte Harmonische
L 3 \u003d -0,28 × 20-(0,48-0,28) × 40 \u003d -13,6 dB, dh 4,8-mal,
für den fünften - L 5 \u003d -0,28 × 20-(0,7-0,28) × 40 \u003d -22,4 dB, dh 13-mal.
Folglich wird das Signal am Ausgang des linearen Teils nahezu harmonisch sein
Dies ist gleichbedeutend mit der Annahme, dass das System ein Tiefpassfilter ist.
In Bezug auf die Funktion Z \u003d cp (X, X 2, ..., XJ, bezüglich des Argumentsystems nichtlinear ist, kann die Lösung des Problems in der oben formulierten Formulierung in der Regel nur näherungsweise auf Basis des Linearisierungsverfahrens gewonnen werden. Das Wesen des Linearisierungsverfahrens besteht darin, dass eine nichtlineare Funktion durch eine lineare ersetzt wird und dann nach bereits bekannten Regeln die numerischen Eigenschaften dieser linearen Funktion gefunden werden, wobei angenommen wird, dass sie ungefähr gleich den numerischen Eigenschaften der nichtlinearen Funktion sind. lineare Funktion.
Betrachten wir das Wesen dieser Methode am Beispiel einer Funktion mit einem zufälligen Argument.
Wenn die Zufallsvariable Z eine gegebene Funktion ist
zufälliges Argument X, dann seine möglichen Werte z mit den möglichen Werten des Arguments verbunden X eine gleichartige Funktion, d.h.
(zum Beispiel, wenn Z = sin X, dann z= sinX).
Wir entwickeln die Funktion (3.20) in einer Taylorreihe in einer Umgebung des Punktes X= m , wobei wir uns nur auf die ersten beiden Terme der Erweiterung beschränken, und das werden wir annehmen 
Der Wert der Ableitung der Funktion (3.20) nach dem Argument X bei X = t x.
Diese Annahme ist gleichbedeutend mit dem Ersetzen der gegebenen Funktion (3.19) durch die lineare Funktion
Auf der Grundlage von Sätzen über mathematische Erwartungswerte und Varianzen erhalten wir Berechnungsformeln zur Ermittlung der numerischen Kennwerte mz Ich im Formular
Beachten Sie, dass im betrachteten Fall die Standardabweichung a r durch die Formel berechnet werden sollte
(Der Modul der Ableitung wird hier genommen, weil es
kann negativ sein.)
Anwendung der Linearisierungsmethode, um die numerischen Eigenschaften einer nichtlinearen Funktion zu finden
eine beliebige Anzahl zufälliger Argumente führt zu Rechenformeln zur Bestimmung seines mathematischen Erwartungswerts, die die Form haben 
x 2, ..., x n) durch Argumente X. und X. jeweils unter Berücksichtigung der Vorzeichen am Punkt berechnet w x, m^, t XP, d.h. durch Ersetzen aller ihrer Argumente x v x 2, ..., x n ihre mathematischen Erwartungen.
Zusammen mit Formel (3.26) zur Bestimmung der Streuung D? Sie können die Berechnungsformel des Formulars verwenden
wo gx x - Korrelationskoeffizient von Zufallsargumenten X.
Auf eine nichtlineare Funktion unabhängiger (oder zumindest unkorrelierter) Zufallsargumente angewendet, haben die Formeln (3.26) und (3.27) die Form
Formeln, die auf der Linearisierung nichtlinearer Funktionen zufälliger Argumente basieren, ermöglichen es, ihre numerischen Eigenschaften nur näherungsweise zu bestimmen. Die Genauigkeit der Berechnung ist umso geringer, je mehr die gegebenen Funktionen von linearen abweichen und je größer die Streuung der Argumente ist. Es ist nicht immer möglich, den möglichen Fehler im Einzelfall abzuschätzen.
Um die durch dieses Verfahren erhaltenen Ergebnisse zu verfeinern, kann eine Technik verwendet werden, die darauf basiert, bei der Entwicklung einer nichtlinearen Funktion nicht nur lineare, sondern auch einige nachfolgende Terme der Entwicklung (normalerweise quadratisch) beizubehalten.
Darüber hinaus können die numerischen Eigenschaften einer nichtlinearen Funktion zufälliger Argumente auf der Grundlage einer vorläufigen Suche nach dem Gesetz ihrer Verteilung für eine gegebene Verteilung des Systems von Argumenten bestimmt werden. Allerdings ist zu bedenken, dass die analytische Lösung eines solchen Problems oft zu kompliziert ist. Um die numerischen Eigenschaften nichtlinearer Funktionen von Zufallsargumenten zu finden, wird daher häufig die Methode der statistischen Modellierung verwendet.
Grundlage des Verfahrens ist die Simulation einer Versuchsreihe, bei der jeweils ein bestimmter Satz von x ich, x 2i , ..., xni zufällige Argumentwerte x v x 2 ,..., x n aus der ihrer gemeinsamen Verteilung entsprechenden Menge. Die erhaltenen Werte mit Hilfe der gegebenen Beziehung (3.24) werden in die entsprechenden Werte transformiert z. der untersuchten Funktion Z. Entsprechend den Ergebnissen z v z 2 , ..., z., ..., zk alle zu Bei solchen Tests werden die gewünschten numerischen Kennwerte mit Methoden der mathematischen Statistik berechnet.
Beispiel 3.2. Bestimmen Sie anhand der Linearisierungsmethode den mathematischen Erwartungswert und die Standardabweichung einer Zufallsvariablen 
1. Durch Formel (3.20) erhalten wir
2. Unter Verwendung der Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen finden wir
und berechnen Sie den Wert dieser Ableitung an diesem Punkt 
:
3. Durch Formel (3.23) erhalten wir 
Beispiel 3.3. Bestimmen Sie anhand der Linearisierungsmethode den mathematischen Erwartungswert und die Standardabweichung einer Zufallsvariablen
1. Durch Formel (3.25) erhalten wir
2. Schreiben wir Formel (3.27) für die Funktion zweier Zufallsargumente 
3. Finden Sie die partiellen Ableitungen der Z-Funktion in Bezug auf die Argumente X1 und X2:
und berechnen ihre Werte am Punkt (m Xi ,t x2):
4. Setzen wir die erhaltenen Daten in die Formel zur Berechnung der Z-Varianz ein, erhalten wir Dz= 1. Daher ist u r = 1.
Differentialgleichungen können mit folgenden Methoden linearisiert werden:
1. Die nichtlineare Funktion des Arbeitsbereichs wird zu einer Taylorreihe entwickelt.
2. In Form von Graphen gegebene nichtlineare Funktionen werden in der Arbeitsebene durch Geraden linearisiert.
3. Statt direkt partielle Ableitungen zu bestimmen, werden Variablen in die ursprünglichen nichtlinearen Gleichungen eingeführt.
,
.
(33)
4. Dieses Verfahren basiert auf der Bestimmung von Koeffizienten nach der Methode der kleinsten Quadrate.
,
(34)
wo 
- Zeitkonstante des pneumatischen Aktuators;
- Übersetzungsverhältnis des pneumatischen Stellantriebs;
- Dämpfungskoeffizient des pneumatischen Antriebs.
Die interne Struktur der ACS-Elemente wird am einfachsten anhand der Blockdiagramme von Graphen bestimmt. Im Gegensatz zu bekannten Blockdiagrammen in Graphen werden Variablen in Form von Zeit angegeben und Bögen bezeichnen entweder Parameter oder Übertragungsfunktionen typischer Verbindungen. Zwischen ihnen besteht eine ausgeglichene Beziehung.
mm nichtlineare Elemente
Die im ersten Kapitel betrachteten Linearisierungsmethoden sind anwendbar, wenn die im LSA-Objekt enthaltene Nichtlinearität mindestens einmal differenzierbar ist oder durch eine Tangente mit einem kleinen Fehler in einer Umgebung in der Nähe des Arbeitspunkts angenähert wird. Es gibt eine ganze Klasse von Nichtlinearitäten, für die beide Bedingungen nicht erfüllt sind. Üblicherweise handelt es sich hierbei um signifikante Nichtlinearitäten. Dazu gehören: Stufen-, stückweise lineare und mehrwertige Funktionen mit Unstetigkeitsstellen erster Art, sowie Potenz- und transtendente Funktionen. Die Verwendung von CCMs, die die Ausführung von logisch-algebraischen Operationen in Systemen ermöglichen, hat zu neuen Arten von Linearitäten geführt, die durch spezielle Logik durch stetige Variablen dargestellt werden.
Zur mathematischen Beschreibung solcher Nichtlinearitäten werden abhängig von den Linearisierungskoeffizienten äquivalente Übertragungsfunktionen verwendet, die man durch Minimierung des mittleren Quadrats des Wiedergabefehlers eines gegebenen Eingangssignals erhält. Die Form der am Eingang der Nichtlinearitäten ankommenden Eingangssignale kann beliebig sein. In der Praxis werden am häufigsten harmonische und zufällige Arten von Eingangssignalen und deren zeitliche Kombinationen verwendet. Entsprechend heißen die Linearisierungsverfahren harmonisch und statisch.
Allgemeine Methode zur Beschreibung äquivalenter Übertragungsfunktionen ne
Die gesamte Klasse der wesentlichen Nichtlinearitäten wird in zwei Gruppen eingeteilt. Die erste Gruppe umfasst einwertige Nichtlinearitäten, bei denen der Zusammenhang zwischen der Eingabe 
und Wochenenden 
Vektorsignalen hängt nur von der Form der statischen Charakteristik der Nichtlinearität ab 
.
.
In diesem Fall bei einer bestimmten Form von Eingangssignalen:
.
Verwendung der Linearisierungsmatrix 
Sie können den ungefähren Wert der Ausgangssignale finden:
.
Aus (42) folgt, dass die Matrix der Linearisierungskoeffizienten einwertiger Nichtlinearitäten reelle Größen und ihre äquivalenten Übertragungsfunktionen sind:
.
Die zweite Gruppe umfasst zweiwertige (mehrwertige) Nichtlinearitäten, bei denen der Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangssignal nicht nur von der Form der statischen Kennlinie abhängt, sondern auch durch die Vorgeschichte des Eingangssignals bestimmt wird. In diesem Fall wird Ausdruck (42) geschrieben als:
.
Um den Einfluss der Vorgeschichte des eingegebenen periodischen Signals zu berücksichtigen, werden wir nicht nur das Signal selbst berücksichtigen 
, sondern auch die Rate ihrer Änderung, das Differential 
.
Für Eingangssignale:
Der ungefähre Wert des Eingangssignals ist:
wo 
und 
- Koeffizienten der harmonischen Linearisierung zweiwertiger Nichtlinearitäten;
- Schwingungsperiode auf der rechten Harmonischen;
- harmonische Funktion.
Äquivalente Übertragungsfunktion:
Es gibt Nichtlinearitäten allgemeinerer Form:
,
,
wo 
und 
- Koeffizienten der harmonischen Linearisierung;
ist die harmonische Zahl.
Periodische Line
. Vor diesem Hintergrund kann die Übertragungsfunktion zweier zweiwertiger Nichtlinearitäten analog zur Übertragungsfunktion dargestellt werden
Mit definieren wir eine verallgemeinerte Formel zur Berechnung der Übertragungsfunktion von einwertigen und zweiwertigen Nichtlinearitäten.
Bei einwertiger Nichtlinearität die Matrix der Linearisierungskoeffizienten 
, abhängig von den Parametern des Vektors 
, wählen wir so, dass der Mittelwert der quadrierten Differenz zwischen den Exakten linearisiert wird 
und ungefähr 
Eingangssignale:
Nach Umformungen, Vereinfachungen, Tricks und erhöhter Wachsamkeit erhalten wir die äquivalente Übertragungsfunktion in Form eines Matrizensystems: 
,
.
,
bei 
,
.
.
Bestimmen Sie den Linearisierungskoeffizienten für einwertige Nichtlinearität. Wenn die erste Harmonische eines Sinussignals an seinem Eingang ankommt:
wo 
.
.
Gleichung (56) ist der erste harmonische Linearisierungsfaktor für einwertige Nichtlinearität, sie definiert die äquivalente Übertragungsfunktion 
.
In Zukunft wird ein Vergleich der Formel zur Bestimmung der Linearisierungskoeffizienten der einfachsten Nichtlinearitäten beim Anlegen periodischer Signale an ihren Eingang: sinusförmig, dreieckig, wir werden die Zweckmäßigkeit der Verwendung der resultierenden äquivalenten Übertragungsfunktionen zeigen.
Der Linearisierungskoeffizient wird bestimmt 
,
.
,
.
Beispiel. Bestimmen Sie den Linearisierungskoeffizienten einer zweiwertigen Nichtlinearität, wenn die erste Harmonische eines Sinussignals in seinen Eingang eintritt und einen Eingang hat. Aus dem Matrizensystem (60) erhalten wir:
,
.
In diesem Beispiel schreiben wir das Eingangssignal wie folgt:
,
.
Wenn für eine zweiwertige Nichtlinearität die allgemeine äquivalente Funktion ist:
.
.
BEI
Reis. 2.2. ATS-Link
Nehmen wir an, dass die Verknüpfung durch eine nichtlineare Differentialgleichung der Form beschrieben wird
Um eine solche Gleichung zu erstellen, müssen Sie den entsprechenden Zweig der technischen Wissenschaften (z. B. Elektrotechnik, Mechanik, Hydraulik usw.) verwenden, der sich mit diesem speziellen Gerätetyp befasst.
Grundlage der Linearisierung ist die Annahme, dass die Abweichungen aller in die Link-Dynamics-Gleichung einbezogenen Größen ausreichend klein sind, da gerade auf einem ausreichend kleinen Abschnitt die krummlinige Kennlinie durch ein Geradenstück ersetzt werden kann. Gemessen werden dabei die Abweichungen der Variablen von ihren Werten im stationären Prozess bzw. in einem bestimmten Gleichgewichtszustand des Systems. Ein stationärer Prozess sei beispielsweise durch einen konstanten Wert der Variablen X 1 gekennzeichnet, den wir als X 10 bezeichnen. Während des Regulierungsprozesses (Abb. 2.3) hat die Variable X 1 die Werte wo 
bezeichnet die Abweichung der Variablen X 1 vom konstanten Wert von X 10 .
ABER
Reis. 2.3. Linkregulierungsprozess
.
Als nächstes können Sie schreiben: 
;
und 
, als 
und 
Alle Abweichungen werden als hinreichend klein angenommen. Diese mathematische Annahme widerspricht nicht der physikalischen Bedeutung des Problems, da die Idee der automatischen Regelung erfordert, dass alle Abweichungen der Regelgröße während des Regelvorgangs ausreichend klein sind.
Der stationäre Zustand der Verbindung wird durch die Werte von X 10 , X 20 und F 0 bestimmt. Dann lässt sich Gleichung (2.1) für den stationären Zustand in die Form schreiben
Erweitern wir die linke Seite von Gleichung (2.1) in der Taylor-Reihe
wobei Terme höherer Ordnung sind. Der Index 0 für partielle Ableitungen bedeutet, dass nach der Ableitung der stetige Wert aller Variablen in ihren Ausdruck eingesetzt werden muss 
.
Die Terme höherer Ordnung in Formel (2.3) umfassen höhere partielle Ableitungen multipliziert mit Quadraten, Kubikzahlen und höheren Abweichungsgraden sowie Abweichungsprodukten. Sie werden im Vergleich zu den Abweichungen selbst, die von erster Ordnung klein sind, von höherer Ordnung klein sein.
Gleichung (2.3) ist eine Link-Dynamic-Gleichung, genau wie (2.1), aber in einer anderen Form geschrieben. Lassen Sie uns die Kleinstwerte höherer Ordnung in dieser Gleichung verwerfen, wonach wir die stationären Gleichungen (2.2) von Gleichung (2.3) subtrahieren. Als Ergebnis erhalten wir bei kleinen Abweichungen die folgende ungefähre Link-Dynamic-Gleichung:
In diese Gleichung gehen alle Variablen und ihre Ableitungen linear, also bis zum ersten Grad, ein. Alle partiellen Ableitungen sind einige konstante Koeffizienten für den Fall, dass ein System mit konstanten Parametern untersucht wird. Wenn das System variable Parameter hat, dann hat Gleichung (2.4) variable Koeffizienten. Betrachten wir nur den Fall konstanter Koeffizienten.
Das Erhalten von Gleichung (2.4) ist das Ziel der durchgeführten Linearisierung. In der Theorie der automatischen Steuerung ist es üblich, die Gleichungen aller Verknüpfungen so zu schreiben, dass der Ausgangswert auf der linken Seite der Gleichung steht und alle anderen Terme auf die rechte Seite übertragen werden. In diesem Fall werden alle Terme der Gleichung durch den Koeffizienten am Ausgabewert dividiert. Als Ergebnis nimmt Gleichung (2.4) die Form an
wobei die folgende Notation eingeführt wird
.
(2.6)
Außerdem ist es der Einfachheit halber üblich, alle Differentialgleichungen in Operatorform mit der Notation zu schreiben
Dann lässt sich die Differentialgleichung (2.5) in die Form schreiben
Diese Aufzeichnung wird die Standardform der Verknüpfungsdynamikgleichung genannt.
Die Koeffizienten T 1 und T 2 haben die Dimension Zeit - Sekunden. Dies folgt daraus, dass alle Terme in Gleichung (2.8) die gleiche Dimension haben müssen, und zwar beispielsweise die Dimension 
(oder px 2) unterscheidet sich von der Dimension x 2 pro Sekunde zur minus ersten Potenz ( 
). Daher werden die Koeffizienten T 1 und T 2 genannt Zeitkonstanten
.
Der Koeffizient k 1 hat die Dimension des Ausgabewerts dividiert durch die Dimension der Eingabe. Es wird genannt Übersetzungsverhältnis Verknüpfung. Für Links, deren Ausgangs- und Eingangswerte die gleiche Dimension haben, werden auch die folgenden Begriffe verwendet: Verstärkung - für einen Link, der ein Verstärker ist oder einen Verstärker in seiner Zusammensetzung hat; Übersetzungsverhältnis - für Getriebe, Spannungsteiler, Skalierungsgeräte usw.
Der Übertragungskoeffizient charakterisiert die statischen Eigenschaften der Verbindung, da im eingeschwungenen Zustand 
. Er bestimmt also die Steilheit der statischen Kennlinie bei kleinen Abweichungen. Wenn wir die gesamte reale statische Eigenschaft des Links abbilden 
, dann ergibt die Linearisierung 
oder 
. Der Transmissionskoeffizient k 1 ist der Tangens der Steigung 
Tangente an diesem Punkt C (siehe Abb. 2.3), von der kleine Abweichungen x 1 und x 2 gemessen werden.
Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die obige Linearisierung der Gleichung für Regelvorgänge gilt, die einen solchen Abschnitt der AB-Kennlinie erfassen, an dem die Tangente wenig von der Kurve selbst abweicht.
Außerdem folgt daraus eine weitere, graphische Methode der Linearisierung. Sind die statische Kennlinie und der Punkt C bekannt, der den stationären Zustand bestimmt, um den herum der Regelvorgang stattfindet, dann wird der Übertragungsbeiwert in der Verknüpfungsgleichung grafisch aus der Zeichnung gemäß der Abhängigkeit k 1 = tg bestimmt 
unter Berücksichtigung des Zeichnungsmaßstabs und der Abmessungen x 2. In vielen Fällen grafische Linearisierungsmethode
erweist sich als bequemer und führt schneller zum Ziel.
Die Dimension des Koeffizienten k 2 ist gleich der Dimension der Verstärkung k 1 mal der Zeit. Daher wird Gleichung (2.8) oft in der Form geschrieben
wo 
ist die Zeitkonstante.
P
Reis. 2.4. Unabhängiger Erregermotor
Der Faktor k 3 ist die Verstärkung für äußere Störungen.
Betrachten Sie als Beispiel für die Linearisierung einen Elektromotor, der von der Seite des Erregerkreises gesteuert wird (Abb. 2.4).
Um eine Differenzialgleichung zu finden, die das Drehzahlinkrement mit dem Spannungsinkrement an der Erregerwicklung in Beziehung setzt, schreiben wir das Gleichgewichtsgesetz der elektromotorischen Kräfte (EMK) im Erregerkreis, das Gleichgewichtsgesetz der EMK im Ankerkreis und das Gesetz von Momentengleichgewicht an der Motorwelle:
;
.
In der zweiten Gleichung wird der Einfachheit halber der Term, der der Selbstinduktions-EMK im Ankerkreis entspricht, weggelassen.
In diesen Formeln sind R B und R I die Widerstände des Erregerkreises und des Ankerkreises; І В und І Я - Ströme in diesen Stromkreisen; U V und U I sind die an diese Kreise angelegten Spannungen, V ist die Anzahl der Windungen der Erregerwicklung; Ф – magnetischer Fluss; Ω die Winkelgeschwindigkeit der Motorwelle ist; M ist das Widerstandsmoment von äußeren Kräften, J ist das reduzierte Trägheitsmoment des Motors; C E und C M - Proportionalitätskoeffizienten.
Nehmen wir an, dass es vor dem Auftreten eines Anstiegs der an die Erregerwicklung angelegten Spannung einen stationären Zustand gab, für den die Gleichungen (2.10) wie folgt geschrieben werden:
(2.11)
Wenn nun die Erregerspannung einen Inkrement U B = U B0 + ΔU B erhält, dann erhalten alle Größen, die den Zustand des Systems bestimmen, ebenfalls Inkremente. Als Ergebnis erhalten wir: І В = І В0 + ΔІ В; Ä = Ä 0 + ΔÄ; ich ich \u003d ich ich0 + ΔІ ich; Ω = Ω0 + ΔΩ.
Wir setzen diese Werte in (2.10) ein, verwerfen die kleinen Werte höherer Ordnung und erhalten:
(2.12)
Durch Subtrahieren der Gleichungen (2.11) von den Gleichungen (2.12) erhalten wir ein Gleichungssystem für Abweichungen:
(2.13)
BEI
Reis. 2.5. Magnetisierungskurve
bestimmt aus der Magnetisierungskurve des Elektromotors (Abb. 2.5).
Die gemeinsame Lösung von System (2.13) ergibt
wo ist der Übertragungskoeffizient, 
,
;
(2.15)
elektromagnetische Zeitkonstante des Erregerkreises, s,
(2.16)
wobei L B = a B der dynamische Koeffizient der Selbstinduktion des Erregerkreises ist; elektromagnetische Zeitkonstante des Motors, s,
.
(2.17)
Aus den Ausdrücken (2.15) – (2.17) ist ersichtlich, dass das betrachtete System im Wesentlichen nichtlinear ist, da der Übertragungskoeffizient und die „Konstante“ der Zeit tatsächlich nicht konstant sind. Sie können für einen bestimmten Modus nur näherungsweise als konstant angesehen werden, sofern die Abweichungen aller Variablen von den stationären Werten gering sind.
Interessant ist der Sonderfall, wenn im eingeschwungenen Zustand U B0 = 0; Ich B0 = 0; Ä 0 = 0 und Ω 0 = 0. Dann nimmt Formel (2.14) die Form an
.
(2.18)
In diesem Fall bezieht sich die statische Charakteristik auf die Zunahme der Motorbeschleunigung 
und Spannungsinkrement im Erregerkreis.
