Die Mathematik als Wissenschaft entstand im Zusammenhang mit der Notwendigkeit, praktische Probleme zu lösen: Messungen am Boden, Navigation usw. Infolgedessen war Mathematik numerische Mathematik und ihr Ziel war es, eine Lösung in Form einer Zahl zu erhalten. Die numerische Lösung angewandter Probleme hat Mathematiker schon immer interessiert. Die größten Vertreter der Vergangenheit kombinierten in ihren Studien das Studium der Naturphänomene und erhielten ihre mathematische Beschreibung, d.h. sein mathematisches Modell und seine Forschung. Die Analyse komplizierter Modelle erforderte die Schaffung spezieller, meist numerischer Methoden zur Problemlösung. Die Namen einiger dieser Methoden weisen darauf hin, dass sie von den größten Wissenschaftlern ihrer Zeit entwickelt wurden. Dies sind die Methoden von Newton, Euler, Lobachevsky, Gauß, Chebyshev, Hermite.

Die heutige Zeit ist durch eine starke Ausweitung der Anwendungen der Mathematik gekennzeichnet, die weitgehend mit der Schaffung und Entwicklung der Computertechnologie verbunden ist. Infolge des Aufkommens von Computern in weniger als 40 Jahren hat sich die Geschwindigkeit der Operationen von 0,1 Operationen pro Sekunde bei manueller Zählung auf 10 Operationen pro Sekunde bei modernen Computern erhöht.

Die weitverbreitete Meinung über die Allmacht moderner Computer erweckt den Eindruck, dass die Mathematiker alle Probleme, die mit der numerischen Lösung von Problemen verbunden sind, losgeworden sind und die Entwicklung neuer Methoden zu ihrer Lösung keine so große Bedeutung mehr hat. In Wirklichkeit ist die Situation anders, da die Bedürfnisse der Evolution in der Regel vor Aufgaben der Wissenschaft gestellt werden, die an der Grenze ihrer Möglichkeiten stehen. Die Ausweitung der Anwendung der Mathematik führte zur Mathematisierung verschiedener Wissenschaftszweige: Chemie, Wirtschaftswissenschaften, Biologie, Geologie, Geographie, Psychologie, Medizin, Technik usw.

Es sind zwei Umstände, die ursprünglich zu dem Wunsch nach Mathematisierung der Wissenschaften führten:

Erstens ermöglicht nur die Anwendung mathematischer Methoden, dem Studium des einen oder anderen Phänomens der materiellen Welt einen quantitativen Charakter zu verleihen;

zweitens, und das ist die Hauptsache, erst die mathematische Denkweise macht einen Gegenstand. Diese Forschungsmethode wird als Computerexperiment bezeichnet - die Studie ist völlig objektiv.

In jüngster Zeit ist ein weiterer Faktor hinzugekommen, der die Prozesse der Wissensmamatisierung stark beeinflusst. Dies ist die rasante Entwicklung der Computertechnologie. Die Verwendung von Computern zur Lösung naturwissenschaftlicher, technischer und angewandter Probleme im Allgemeinen basiert vollständig auf ihrer Mathematisierung.

Mathematische Modelle.

Moderne Technologie zur Untersuchung komplexer Probleme basiert auf der Konstruktion und Analyse mathematischer Modelle des untersuchten Problems, normalerweise mit Hilfe eines Computers. Normalerweise besteht ein Computerexperiment, wie wir bereits gesehen haben, aus mehreren Phasen: Problemstellung, mathematisches Modell erstellen (mathematische Formulierung des Problems), numerische Methode entwickeln, Algorithmus zur Implementierung einer numerischen Methode entwickeln, entwickeln ein Programm, ein Programm debuggen, Berechnungen durchführen, Ergebnisse analysieren.

Der Einsatz von Computern zur Lösung eines wissenschaftlichen oder technischen Problems ist also unweigerlich mit dem Übergang von einem realen Prozess oder Phänomen zu seinem mathematischen Modell verbunden. Daher ist die Anwendung von Modellen in der wissenschaftlichen Forschung und Ingenieurpraxis die Kunst der mathematischen Modellierung.

Ein Modell wird normalerweise als ein repräsentiertes oder materiell realisiertes System bezeichnet, das die wichtigsten und signifikantesten Merkmale eines bestimmten Phänomens reproduziert.

Die Hauptanforderungen an das mathematische Modell sind die Angemessenheit des betrachteten Phänomens, d. h. es sollte die charakteristischen Merkmale des Phänomens ausreichend widerspiegeln. Gleichzeitig sollte es vergleichsweise einfach und zugänglich für die Forschung sein.

Das mathematische Modell spiegelt die Abhängigkeit zwischen den Bedingungen für das Auftreten des untersuchten Phänomens und seinen Ergebnissen in bestimmten mathematischen Konstruktionen wider. Am häufigsten werden die folgenden mathematischen Konzepte als solche Konstruktionen verwendet: Funktion, Funktional, Operator, numerische Gleichung, gewöhnliche Differentialgleichung, partielle Differentialgleichung.

Mathematische Modelle lassen sich nach verschiedenen Kriterien klassifizieren: statisch und dynamisch, konzentriert und verteilt; deterministisch und probabilistisch.

Betrachten Sie das Problem, die Wurzeln der nichtlinearen Gleichung zu finden

Die Wurzeln von Gleichung (1) sind jene Werte von x, die es beim Ersetzen in eine Identität verwandeln. Nur für die einfachsten Gleichungen ist es möglich, eine Lösung in Form von Formeln zu finden, d.h. analytische Form. Häufiger ist es notwendig, Gleichungen durch Näherungsverfahren zu lösen, von denen im Zusammenhang mit dem Aufkommen von Computern numerische Verfahren am weitesten verbreitet sind.

Der Algorithmus zum Finden von Wurzeln durch Näherungsverfahren kann in zwei Stufen unterteilt werden. Zunächst wird die Lage der Wurzeln untersucht und deren Trennung durchgeführt. Es gibt einen Bereich, in dem es eine Wurzel der Gleichung oder eine erste Annäherung an die Wurzel x 0 gibt. Der einfachste Weg, dieses Problem zu lösen, besteht darin, den Graphen der Funktion f(x) zu untersuchen. Um es zu lösen, müssen im Allgemeinen alle Mittel der mathematischen Analyse eingesetzt werden.

Die Existenz mindestens einer Nullstelle von Gleichung (1) auf dem gefundenen Intervall folgt aus der Bolzano-Bedingung:

f(a)*f(b)<0 (2)

Es wird auch angenommen, dass die Funktion f(x) auf dem gegebenen Segment stetig ist. Diese Bedingung beantwortet jedoch nicht die Frage nach der Anzahl der Wurzeln der Gleichung in einem bestimmten Intervall. Ergänzt sich die Forderung nach der Stetigkeit der Funktion mit der Forderung nach ihrer Monotonie, und folgt diese aus der Vorzeichenkonstanz der ersten Ableitung, so können wir die Existenz einer eindeutigen Wurzel auf einem gegebenen Segment behaupten.

Beim Lokalisieren von Wurzeln ist es auch wichtig, die grundlegenden Eigenschaften dieser Art von Gleichung zu kennen. Erinnern Sie sich zum Beispiel an einige Eigenschaften algebraischer Gleichungen:

wo sind reelle koeffizienten.

• a) Eine Gleichung vom Grad n hat n Wurzeln, unter denen es sowohl reelle als auch komplexe geben kann. Komplexe Wurzeln bilden komplexe konjugierte Paare, und daher hat die Gleichung eine gerade Anzahl solcher Wurzeln. Für einen ungeraden Wert von n gibt es mindestens eine reelle Wurzel.
• b) Die Anzahl der positiven reellen Wurzeln ist kleiner oder gleich der Anzahl der variablen Vorzeichen in der Koeffizientenfolge. Wenn Sie in Gleichung (3) x durch -x ersetzen, können Sie die Anzahl der negativen Wurzeln auf die gleiche Weise abschätzen.

In der zweiten Stufe des Lösens von Gleichung (1) wird unter Verwendung der erhaltenen anfänglichen Annäherung ein iterativer Prozess konstruiert, der es ermöglicht, den Wert der Wurzel mit einer gewissen vorbestimmten Genauigkeit zu verfeinern. Der iterative Prozess besteht in der sukzessiven Verfeinerung der anfänglichen Annäherung. Jeder dieser Schritte wird Iteration genannt. Als Ergebnis des Iterationsprozesses wird eine Folge von Näherungswerten der Wurzeln der Gleichung gefunden. Nähert sich diese Folge mit wachsendem n dem wahren Wert der Wurzel x, dann konvergiert der Iterationsprozess. Man sagt, dass ein iterativer Prozess gegen mindestens die Ordnung m konvergiert, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:

wobei С>0 eine Konstante ist. Ist m=1, so spricht man von Konvergenz erster Ordnung; m=2 - ungefähr quadratisch, m=3 - ungefähr kubische Konvergenz.

Die iterativen Zyklen enden, wenn für einen gegebenen zulässigen Fehler die Kriterien für absolute oder relative Abweichungen erfüllt sind:

oder die Kleinheit des Residuums:

Diese Arbeit widmet sich der Untersuchung eines Algorithmus zur Lösung nichtlinearer Gleichungen unter Verwendung der Newton-Methode.

Es gibt viele verschiedene Methoden zum Lösen nichtlinearer Gleichungen, einige davon werden im Folgenden vorgestellt:

• 1)Iterationsmethode. Beim iterativen Lösen einer nichtlinearen Gleichung verwenden wir die Gleichung in der Form x=f(x). Der Anfangswert des Arguments x 0 und die Genauigkeit e werden festgelegt.Die erste Näherung der Lösung x 1 ergibt sich aus dem Ausdruck x 1 \u003d f (x 0), die zweite - x 2 \u003d f (x 1) , etc. Im allgemeinen Fall wird die i+1-Näherung durch die Formel xi+1 = f(xi) gefunden. Wir wiederholen diesen Vorgang bis |f(xi)|>e. Die Bedingung für die Konvergenz des Iterationsverfahrens |f"(x)|
• 2)Newtons Methode. Beim Lösen einer nichtlinearen Gleichung nach der Newton-Methode werden der Anfangswert des Arguments x 0 und die Genauigkeit e festgelegt.Dann zeichnen wir am Punkt (x 0, F (x 0)) eine Tangente an den Graphen F (x ) und bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente mit der Abszissenachse x 1. An der Stelle (x 1, F (x 1)) bauen wir wieder eine Tangente, finden die nächste Näherung der gesuchten Lösung x 2 usw. Wir wiederholen diesen Vorgang bis |F(xi)| > e. Um den Schnittpunkt (i + 1) der Tangente mit der Abszissenachse zu bestimmen, verwenden wir die folgende Formel

x i+1 \u003d x ich -F (x ich) F "(x ich).

Konvergenzbedingung für das Tangentenverfahren F(x 0) F""(x)>0 usw.

3). Dichotomie-Methode. Die Lösungstechnik reduziert sich auf die schrittweise Halbierung des anfänglichen Unsicherheitsintervalls gemäß der Formel

C bis \u003d a bis + in bis / 2.

Um das notwendige aus den beiden resultierenden Segmenten auszuwählen, ist es notwendig, den Wert der Funktion an den Enden der resultierenden Segmente zu finden und denjenigen zu berücksichtigen, an dem die Funktion ihr Vorzeichen ändert, dh die Bedingung f ( ein k) * f (in k)<0.

Der Prozess der Teilung des Segments wird durchgeführt, bis die Länge des aktuellen Unsicherheitsintervalls kleiner als die angegebene Genauigkeit ist, dh in k - a k< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). Akkord Methode. Die Idee des Verfahrens besteht darin, dass eine Sehne auf dem Segment konstruiert wird, das die Enden des Bogens des Graphen der Funktion y = f (x) und den Punkt c, den Schnittpunkt der Sehne mit der Abszissenachse, zusammenzieht , wird als ungefährer Wert der Wurzel angesehen

c = a - (f(a) x (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c \u003d b - (f (b) × (a-b)) / (f (a) - f (b)).

Die nächste Annäherung wird auf dem Intervall oder in Abhängigkeit von den Vorzeichen der Funktionswerte an den Punkten a,b,c gesucht

x* O wenn f(c) H f(a) > 0 ;

x* O wenn f(c) x f(b)< 0 .

Wenn f "(x) das Vorzeichen nicht in ändert, dann c \u003d x 1 bezeichnen und a oder b als anfängliche Annäherung betrachten, erhalten wir die iterativen Formeln der Akkordmethode mit einem festen rechten oder linken Punkt.

x 0 \u003d a, x i + 1 \u003d x ich - f (x i) (b-x i) / (f (b) -f (x i), mit f "(x) H f "(x)\u003e 0;

x 0 \u003d b, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (x i -a) / (f (x i) -f (a), mit f "(x) H f "(x)< 0 .

Die Konvergenz der Akkordmethode ist linear

Algebraische und transzendente Gleichungen. Methoden der Wurzellokalisierung.

Die allgemeinste Form der nichtlinearen Gleichung:

f(x)=0 (2.1)

wo ist die funktion f(x) auf einem endlichen oder unendlichen Intervall [a, b] definiert und stetig ist.

Definition 2.1. Jede Zahl, die eine Funktion invertiert f(x) zu Null heißt die Wurzel von Gleichung (2.1).

Definition 2.2. Eine Zahl heißt Wurzel der k-ten Vielfachheit, wenn sie zusammen mit der Funktion steht f(x) seine Ableitungen bis einschließlich (k-1)-ter Ordnung sind gleich Null:

Definition 2.3. Eine einzelne Wurzel wird als einfache Wurzel bezeichnet.

Nichtlineare Gleichungen mit einer Variablen werden in algebraische und transzendente unterteilt.

Definition 2.4 . Gleichung (2.1) heißt algebraisch, wenn die Funktion F(x) algebraisch ist.

Durch algebraische Transformationen kann man aus jeder algebraischen Gleichung eine Gleichung in kanonischer Form erhalten:

wo sind die reellen Koeffizienten der Gleichung, x ist die Unbekannte.

Aus der Algebra ist bekannt, dass jede algebraische Gleichung mindestens eine reelle oder zwei komplexe konjugierte Wurzeln hat.

Definition 2.5. Gleichung (2.1) heißt transzendent, falls die Funktion F(x) nicht algebraisch ist.

Das Lösen von Gleichung (2.1) bedeutet:

• 1. Bestimmen Sie, ob die Gleichung Nullstellen hat.
• 2. Bestimmen Sie die Anzahl der Wurzeln der Gleichung.
• 3. Finden Sie die Werte der Wurzeln der Gleichung mit einer bestimmten Genauigkeit.

Die in der Praxis anzutreffenden Gleichungen sind mit analytischen Methoden oft nicht lösbar. Numerische Methoden werden verwendet, um solche Gleichungen zu lösen.

Der Algorithmus zum Finden der Wurzel einer Gleichung mit einer numerischen Methode besteht aus zwei Phasen:

• 1) Abteilung oder Lokalisierung Wurzel, d.h. Festlegen eines Intervalls, das eine Wurzel enthält:
• 2) Klärung Wurzelwerte nach der Methode der sukzessiven Annäherung.

Methoden der Wurzellokalisierung. Theoretische Grundlage des Wurzeltrennalgorithmus ist der Satz von Cauchy über Zwischenwerte einer stetigen Funktion.

Satz 2.1. Wenn die Funktion y \u003d f (x) auf dem Segment [a, b] und f (a) \u003d A, f (b) \u003d B stetig ist, dann gibt es für jeden Punkt C, der zwischen A und B liegt, eine ein Punkt, dass.

Folge. Wenn die Funktion y \u003d f (x) auf dem Segment [a, b] stetig ist und an ihren Enden Werte mit unterschiedlichen Vorzeichen annimmt, dann gibt es auf diesem Segment mindestens eine Wurzel der Gleichung f (x) \u003d 0.

Der Definitions- und Stetigkeitsbereich einer Funktion sei ein endliches Segment [a,b]. Teilen Sie das Segment in n Teile: ,

Wenn wir nacheinander die Werte der Funktion an Punkten berechnen, finden wir solche Segmente, für die die Bedingung erfüllt ist:

diese. , oder, . Diese Segmente enthalten mindestens eine Wurzel.

Satz 2.2. Wenn die Funktion y \u003d f (x) auf dem Segment [a; b] stetig ist, f (a) f (b)<0 и f`(х) на интервале (а;b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а;b] существует единственный корень уравнения f(х) = 0.

Um die Wurzeln zu trennen, können Sie auch den Graphen der Funktion verwenden bei= f (X). Die Wurzeln von Gleichung (2.1) sind diese Werte X, an dem der Graph der Funktion y=f(x) die x-Achse schneidet. Die Konstruktion eines Graphen einer Funktion, selbst mit geringer Genauigkeit, gibt normalerweise eine Vorstellung von der Lage der Wurzeln von Gleichung (2.1). Wenn das Zeichnen der Funktion y \u003d f (x) Schwierigkeiten bereitet, sollte die ursprüngliche Gleichung (2.1) in die Form umgewandelt werden c1(x)= c2(x) damit die Graphen der Funktionen bei= c1(x) und bei= c2(x) waren ganz einfach. Die Abszissen der Schnittpunkte dieser Graphen sind die Wurzeln von Gleichung (2.1).

Beispiel 1 Trennen Sie die Wurzeln der Gleichung x 2 -2cosx=0.

Lösung. Betrachten wir zwei Möglichkeiten, die Wurzeln zu trennen.

• a) Graphischer Weg. Lassen Sie uns die Gleichung in der Form x 2 =2cosx umschreiben und einen Graphen der Funktionen y=x 2 und y=2cosx im selben Koordinatensystem erstellen (Abbildung 5). Da sich diese Graphen an zwei Punkten schneiden, hat die Gleichung zwei Wurzeln, die symmetrisch um den Ursprung in den Intervallen (-/2; 0) und (0; /2) liegen.
• b) Analytische Methode. Lassen f(x)= x 2 -2cosx. Als f(x) eine gerade Funktion ist, genügt es, nur nicht negative Werte von x zu betrachten. Aufgrund der Ungleichung 2cosx2

Derivat f"(x)=2(x+sinx). Auf dem Intervall (0; /2) f"(x)>0 , also f(x) hier monoton ansteigend und sein Graph kann die Achse kreuzen X nicht mehr als einen Punkt. beachte das f(0)=- 2<0, аf(/2)=(/2) 2>0. Das bedeutet, dass die Gleichung eine positive Wurzel hat, die auf dem Intervall (0; /2) liegt. Da die Funktion gerade ist, hat die Gleichung auch eine negative Wurzel, die symmetrisch zur positiven ist. Kommen wir nun zur Verfeinerung der Wurzel. Um die Methode der kombinierten Wurzelverfeinerung anzuwenden, müssen Sie dies sicherstellen f ""(x) on (0; /2) behält das Vorzeichen bei, und wählen Sie die anfängliche Näherung der Wurzel für die Anwendung der Tangentenmethode. Es muss die Bedingung erfüllen: f(x)f ""(x)>0. Als f ""(x)=2(1+cosx) auf positiv ist, dann kann /2 als anfängliche Näherung der Wurzel in der Tangentenmethode genommen werden. Daher kann man setzen x=/21,570796, x 1 = 0 (siehe Algorithmusdiagramm). In unserem Fall ergibt die Akkordmethode einen ungefähren Wert der Wurzel mit einem Nachteil und die Tangentenmethode - mit einem Überschuss.

Betrachten Sie einen iterativen Schritt der Wurzelverfeinerung. Berechnen Sie die Werte f(0), f(/2), f"(/2). Neue Werte x 1 und x finden Sie jeweils durch die Formeln:

|x – x 1 | = 0,387680,4 > 10 –4 =.

Die angegebene Genauigkeit wird nicht erreicht und die Berechnungen müssen fortgesetzt werden.

Iterationsnummer	x 1		f(x 1 )			|x-x 1 |

Daher wurde der ungefähre Wert der Wurzel mit der erforderlichen Genauigkeit als Ergebnis von drei Iterationen gefunden und ist ungefähr gleich 1,0217.

Aufgrund der Symmetrie des Graphen der Funktion f(x) der Wert der zweiten Wurzel ist ungefähr gleich -1,0217.

Wurzelklärung.

Formulierung des Problems . Nehmen wir an, die gesuchte Wurzel von Gleichung (2.1) sei separiert, d.h. Abschnitt [a; b], die eine und nur eine Wurzel der Gleichung hat. Jeder Punkt dieses Segments kann als ungefährer Wert der Wurzel genommen werden. Der Fehler dieser Näherung überschreitet nicht die Länge [a; b]. Folglich reduziert sich das Problem, einen ungefähren Wert der Wurzel mit einer gegebenen Genauigkeit zu finden, darauf, das Segment [a; b] (b - a<), содержащего только один корень уравнения (2.1). Эту задачу обычно называют задачей Root-Verfeinerungen.

Beschreibung numerischer Methoden. Numerische Methoden ermöglichen es, Lösungen für bestimmte Probleme zu finden, wobei man im Voraus weiß, dass die erhaltenen Ergebnisse mit einem bestimmten Fehler berechnet werden. Daher ist es für viele numerische Methoden erforderlich, das „Genauigkeitsniveau“ der resultierenden Lösung im Voraus zu kennen entsprechen wird.

In diesem Zusammenhang ist das Problem, die Wurzeln eines Polynoms der Form (3.1) zu finden,

ist von besonderem Interesse, weil die Formeln zum Finden der Wurzeln sogar einer kubischen Gleichung sind ziemlich kompliziert. Wenn es darum geht, die Nullstellen eines Polynoms zu finden, dessen Grad z „kurzer“ Bruchteil) ist ziemlich klein, und es gibt keine Formeln, um die Wurzeln einer Gradgleichung größer als 4 zu finden. De facto werden alle weiteren Operationen auf reduziert Klärung der Wurzeln, deren Intervalle ungefähr im Voraus bekannt sind. Der einfachste Weg, diese "ungefähren" Wurzeln zu finden, ist die Verwendung grafischer Methoden.

Um die Wurzeln eines Polynoms zu finden, gibt es mehrere numerische Methoden: die Iterationsmethode, die Methode der Akkorde und Tangenten, die Halbteilungsmethode, die Sekantenmethode.

Halbierungsmethode(auch bekannt als "Methode zum Teilen eines Segments in zwei Hälften") ist auch rekursiv, d.h. sieht eine Wiederholung unter Berücksichtigung der erzielten Ergebnisse vor.

Die Essenz der Methode der Halbteilung ist wie folgt:

• - die Funktion F(x) ist gegeben;
• - der zulässige Fehler Q wird bestimmt;
• - Es wird ein Intervall [ a , b ] definiert, das genau die Lösung der Gleichung enthält.

1) Wir berechnen den Wert der Koordinate E, indem wir die Mitte des Segments nehmen, d.h.

E \u003d (a + b) / 2 (3.2)

• 2) Berechnen Sie die Werte von F(a), F(b), F(E) und führen Sie die folgende Überprüfung durch: Wenn F(E)>Q, dann wird die Nullstelle mit der angegebenen Genauigkeit gefunden. Wenn F(E)
• 3) Gehen Sie zu Punkt 1.

Methode der einfachen Iterationen (Methode der sukzessiven Annäherung). Wir ersetzen Gleichung (2.1) durch eine äquivalente Gleichung

x=(x) (3.3)

kann z.B. auf verschiedene Weise erfolgen

x=x+cf(x), c0. (3.4)

Nehmen wir an, dass eine anfängliche Näherung der Wurzel von Gleichung (3.3) gewählt wird. Wir definieren eine Zahlenfolge durch die Formeln

X n+1 = (x n ), n=0,1,2,… (3.5)

Eine solche Folge wird iterativ genannt.

Wenn auf dem Segment, das x 0 und alle nachfolgenden Näherungen x n , nN enthält, die Funktion (x) eine stetige Ableitung "(x) und |"(x)|q hat<1, то итерационная последовательность (3.5) сходится к единственному на корню уравнения (3.3). Скорость сходимости определяется неравенством

Aus dieser Ungleichung folgt insbesondere, dass die Konvergenzrate der Methode der einfachen Iteration vom Wert von q abhängt: je kleiner q, desto schneller die Konvergenz.

Daher ist es in der Praxis wünschenswert, beim Finden der Nullstellen nach der Methode der einfachen Iteration Gleichung (2.1) in der Form (3.3) so darzustellen, dass die Ableitung "(x) in der Nähe der Wurzel möglich ist betragsmäßig kleiner, dafür wird manchmal der Parameter c aus der Formel verwendet (3.4).

Newton-Verfahren (Tangentenverfahren). Wenn eine hinreichend gute Anfangsnäherung bekannt ist, für die folgende Ungleichung gilt:

dann kannst du die einzige Wurzel der Gleichung mit der Newtonschen Formel berechnen

Als erste Annäherung können Sie die Grenzen des Intervalls verwenden und:

Wenn an.

Bei jeder Iteration dieser Methode ist der Rechenaufwand größer als bei den Halbierungs- und Iterationsmethoden, da nicht nur der Wert der Funktion, sondern auch ihre Ableitung ermittelt werden muss. Die Konvergenzrate des Newton-Verfahrens ist jedoch viel höher.

Satz. Sei die Wurzel der Gleichung, d.h. , und ist stetig. Dann gibt es eine Nachbarschaft der Wurzel, so dass, wenn die anfängliche Näherung zu dieser Nachbarschaft gehört, die Folge von Werten für das Newton-Verfahren zu at konvergiert. Der Fehler der th-Näherung der Wurzel kann durch die Formel abgeschätzt werden:

wobei der größte Wert des Moduls der zweiten Ableitung auf dem Segment ist, der kleinste Wert des Moduls der ersten Ableitung auf dem Segment ist.

Stoppregel:

Methode der Akkorde und Tangenten (kombiniert). Diese Methode basiert auf der Konstruktion eines schematischen Graphen einer Funktion, der Bestimmung der Intervalle ihres Schnittpunkts mit der Abszissenachse und dem anschließenden „Komprimieren“ dieses Intervalls unter Verwendung konstruierter Sehnen und Tangenten an den Graphen dieser Funktion.

Es sollte beachtet werden, dass es auch getrennt die Methode der Akkorde (gibt den Wert des Grundtons mit einem Mangel an) und die Methode der Tangenten (mit einem Überschuss) gibt. Der Vorteil des kombinierten Verfahrens liegt jedoch in der „zweiseitigen Verdichtung“ des betrachteten Segments.

Betrachten Sie den folgenden Fall:

• - die Funktion F(x) ist gegeben und ihr Graph ist aufgebaut;
• - der zulässige Fehler Q ermittelt wird
• - auf der Grundlage des Graphen wird ein Segment definiert, auf dem der Graph der Funktion die Abszissenachse schneidet, daher gibt es auf diesem Segment eine Wurzel des betrachteten Polynoms (wir bezeichnen es mit A)

Der weitere Algorithmus reduziert sich auf folgende Aktionen:

• 1) wir bauen eine Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt F(b)
• 2) Wir berechnen die x-Koordinate des Schnittpunkts der Tangente mit der Abszissenachse nach der Formel (3.9) und bezeichnen sie mit b "
• 3) Wir konstruieren eine Sehne zum Graphen der Funktion, die durch die Punkte F(a) und F(b) verläuft.
• 4) Wir berechnen den Schnittpunkt der Sehne mit der Abszissenachse nach Formel (2) und bezeichnen ihn mit a".

Wir erhalten also ein neues Segment , das (gemäß den Definitionen einer Sehne und einer Tangente) noch die Lösung von Gleichung A enthält.

Nun nehmen wir das Segment als neues Segment und wiederholen die Schritte 1-4, bis die Differenz F(b)-F(a) kleiner als der ursprünglich eingebettete Fehler Q wird. Wir bemerken auch, dass es danach empfohlen wird, das arithmetische Mittel zu nehmen F als gewünschte Lösung (a) und F(b).

Wenn also der Akkord (Tangente) den Wert der Wurzel mit einem Überschuss angibt, wird diese Wurzel als neue rechte Grenze genommen, und wenn mit einem Mangel, dann die linke. In beiden Fällen liegt die exakte Wurzel zwischen den Schnittpunkten der Sehne und der Tangente mit der Abszissenachse.

Bemerkungen zur Methode der Akkorde und Tangenten. Da die Lösung des Problems das Finden der Ableitung der Funktion F(x) erfordert, ist die Methode der Akkorde und Tangenten auf Programmebene ziemlich schwierig zu implementieren, weil die Regeln zur Berechnung von Derivaten in allgemeiner Form sind für das "Verständnis" eines Computers ziemlich umständlich; Wenn die Ableitung für jeden Grad des Polynoms direkt angegeben wird, wird der Computerspeicher stark belastet, was die Arbeit stark verlangsamt, und das Einstellen der Funktion und dementsprechend ihrer Ableitung direkt im Programmcode ist nicht akzeptabel. Mit dieser Methode erfolgt jedoch die Konvergenz des Intervalls zum Grundton am schnellsten, insbesondere wenn die Methode der Akkorde und Tangenten mit der Halbierungsmethode kombiniert wird, weil Die Mitte des neuen Segments bietet oft eine völlig zufriedenstellende Lösung.

Die Sekantenmethode. Die Sekantenmethode kann aus der Newton-Methode erhalten werden, indem die Ableitung durch einen ungefähren Ausdruck ersetzt wird - die Differenzformel:

Formel (3.8) verwendet die beiden vorherigen Näherungen u. Daher muss für einen gegebenen Anfangswert die nächste Näherung berechnet werden, beispielsweise nach der Newton-Methode, wobei die Ableitung ungefähr durch die Formel ersetzt wird

Algorithmus der Sekantenmethode:

1) Anfangswert und Fehler sind angegeben. Berechnen

2) für n= 1,2, ….. solange die Bedingung erfüllt ist, rechnen wir nach Formel (3.8).

Formulierung des Problems

Wurzeltrennung

Wurzelverfeinerung

1.2.3.2. Iterationsmethode

1.2.3.4. Akkord Methode

Formulierung des Problems

Algebraische Gleichungen

( 1.2.1-1)

transzendente gleichung

(1.2.1-2)

Iterative Verfeinerung von Wurzeln.

Auf der Stufe der Trennung der Wurzeln wird das Problem gelöst, möglichst schmale Segmente zu finden, die eine und nur eine Wurzel der Gleichung enthalten.

Der Wurzelverfeinerungsschritt zielt darauf ab, einen angenäherten Wert der Wurzel mit einer gegebenen Genauigkeit zu berechnen. Dabei werden iterative Verfahren zur Berechnung sukzessiver Approximationen an die Wurzel verwendet: x 0 , x 1 , ..., x n , ..., bei denen jede nachfolgende Approximation x n+1 ausgehend von der vorherigen x n berechnet wird. Jeder Schritt wird als Iteration bezeichnet. Wenn die Folge x 0 , x 1 , ..., x n , … als n ® ¥ einen Grenzwert hat, der gleich dem Wert der Wurzel ist, dann sagt man, dass der Iterationsprozess konvergiert.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Wurzeln zu trennen und zu verfeinern, auf die wir weiter unten eingehen werden.

Wurzeltrennung

Die Wurzel der Gleichung f(x)=0 wird auf dem Segment als getrennt (lokalisiert) betrachtet, wenn diese Gleichung keine anderen Wurzeln auf diesem Segment hat. Um die Wurzeln der Gleichung zu trennen, ist es notwendig, den Bereich der zulässigen Werte der Funktion f(x) in ausreichend schmale Segmente zu unterteilen, von denen jedes nur eine Wurzel enthält. Existieren Grafik und analytisch Wurzeltrennungsmethoden.

Wurzelverfeinerung

Die Aufgabe, die Wurzel der Gleichung mit Genauigkeit getrennt durch das Intervall zu verfeinern, besteht darin, einen solchen ungefähren Wert der Wurzel zu finden, für die die Ungleichung gilt . Wenn die Gleichung nicht eine, sondern mehrere Wurzeln hat, wird die Verfeinerungsstufe für jede getrennte Wurzel durchgeführt.

Halbteilungsmethode

Die Wurzel der Gleichung f(x)=0 sei auf dem Segment getrennt, d. h. es gibt eine einzelne Wurzel auf diesem Segment, und die Funktion auf diesem Segment ist stetig.

Die Halbierungsmethode ermöglicht es Ihnen, eine Folge von verschachtelten Segmenten , , …,,… zu erhalten, sodass f(a i).f(b i)< 0 , wobei i=1,2,…,n, und die Länge jedes nachfolgenden Segments halb so lang ist wie das vorherige:

Das sequentielle Verengen des Segments um den unbekannten Wert der Wurzel stellt die Ausführung in einem gewissen Schritt sicher n Ungleichungen |b n - a n |< e. Поскольку при этом для любого хÎ будет выполняться неравенство | - х| <, то с точностью любое

Als ungefährer Wert der Wurzel kann beispielsweise ihr Mittelpunkt genommen werden

Bei der Bisektionsmethode wird von Iteration zu Iteration die Länge des Anfangssegments konsequent um die Hälfte reduziert (Abb. 1.2.3-1). Daher gilt im n-ten Schritt die folgende Abschätzung des Fehlers des Ergebnisses:

( 1.2.3-1)

wo ist der genaue Wert der Wurzel, x n í ist der ungefähre Wert der Wurzel im n-ten Schritt.

Wenn wir die resultierende Fehlerschätzung mit der gegebenen Genauigkeit vergleichen, können wir die erforderliche Anzahl von Schritten abschätzen:

(1.2.3-2)

Aus der Formel ist ersichtlich, dass der Wert abnimmt e(Erhöhung der Genauigkeit) führt zu einer deutlichen Erhöhung des Rechenaufwands, daher wird in der Praxis für eine relativ grobe Wurzelfindung die Halbteilungsmethode verwendet und deren weitere Verfeinerung mit anderen, effizienteren Methoden durchgeführt .

Reis. 1.2.3-2. Schema des Bisektionsverfahrensalgorithmus

Das Schema des Bisektionsalgorithmus ist in Abb. 2 dargestellt. 1.2.3-2. Der obige Algorithmus geht davon aus, dass die linke Seite der Gleichung f(x) als Softwaremodul ausgelegt ist.

Beispiel 1.2.3-1. Geben Sie die Wurzel der Gleichung x 3 +x-1=0 mit einer Genauigkeit von =0,1 an, die auf der Strecke lokalisiert ist.

Die Ergebnisse werden bequem anhand von Tabelle 1.2.3-3 dargestellt.

Tabelle 1.2.3-3

k	a	b	Fa)	f(b)	(a+b)/2	f((a+b)/2)	ein k	b k
			-1		0.5	-0.375	0.5
	0.5		-0.375		0.75	0.172	0.5	0.75
	0.5	0.75	-0.375	0.172	0.625	-0.131	0.625	0.75
	0.625	0.75	-0.131	0.172	0.688	0.0136	0.625	0.688

Nach der vierten Iteration ist die Länge des Segments |b 4 – a 4 | = |0,688-0,625| = 0,063 kleiner als der Wert geworden ist e Daher können Sie für den ungefähren Wert der Wurzel den Wert der Mitte dieses Segments nehmen: x \u003d (a 4 + b 4) / 2 \u003d 0,656 .

Der Wert der Funktion f(x) am Punkt x = 0,656 ist f(0,656) = -0,062 .

Iterationsmethode

Beim Iterationsverfahren wird die Gleichung f(x)=0 durch eine äquivalente Gleichung x=j(x) ersetzt. Wenn die Wurzel der Gleichung auf dem Segment getrennt wird, dann basierend auf der anfänglichen Näherung x 0 н, Sie können eine Folge von Annäherungen an die Wurzel erhalten

x 1 \u003d j (x 0), x 2 \u003d j (x 1), ..., , ( 1.2.3-3)

wobei die Funktion j(x) eine Iterationsfunktion genannt wird.

Die Konvergenzbedingung für das einfache Iterationsverfahren wird durch den folgenden Satz bestimmt.

Lassen Sie die Wurzel X* Gleichungen x=j(x) auf einem Segment getrenntund konstruierte eine Folge von Näherungen gemäß der Regel xn \u003d j (xn -1) . Dann, wenn alle Mitglieder der Sequenz x n = j(x n - 1) í und es gibt solche q(0 das für alle x О durchgeführt|j'(x)| = q<1, dann ist diese Folge konvergent und der Grenzwert der Folge ist der Wert der Wurzel x* , d.h. der Iterationsprozess konvergiert unabhängig von der anfänglichen Näherung gegen die Wurzel der Gleichung.

Wenn also die Konvergenzbedingung des Iterationsverfahrens erfüllt ist, dann ergibt sich die Folge x 0 , x 1 , x 2 , …, x n , …, die man mit der Formel x n +1 = j(x n ), konvergiert gegen den genauen Wert der Wurzel:

Die Bedingung j(x)í für xí bedeutet, dass alle durch die Iterationsformel erhaltenen Näherungen x 1 , x 2 , …, x n , … zu dem Segment gehören müssen, in dem die Wurzel getrennt wird.

Um den Fehler des Iterationsverfahrens abzuschätzen, die Bedingung

pro Zahl q den größten Wert |j"(x)| annehmen kann , und der Prozess der Iterationen sollte bis zur Ungleichheit fortgesetzt werden

(1.2.3-5)

In der Praxis wird häufig eine vereinfachte Fehlerabschätzungsformel verwendet. Wenn zum Beispiel 0

|xn-1 - xn | € .

Mit der iterativen Formel x n +1 = j(x n) können Sie den Wert der Wurzel der Gleichung f(x)=0 mit beliebiger Genauigkeit erhalten .

Geometrische Darstellung des Iterationsverfahrens. Auf der X0Y-Ebene zeichnen wir die Graphen der Funktionen y=x und y=j(x ). Die Wurzel der Gleichung x=j(x) ist die Abszisse des Schnittpunkts der Graphen der Funktion y = j(x). ) und direkt y=x. Nehmen wir eine anfängliche Annäherung x 0 н . Auf der Kurve y \u003d j (x) entspricht es dem Punkt A 0 \u003d j (x 0). Um die nächste Annäherung zu finden, zeichnen Sie eine gerade horizontale Linie durch Punkt A 0 bis zum Schnittpunkt mit der geraden Linie y \u003d x (Punkt B 1) und senken Sie die Senkrechte zum Schnittpunkt mit der Kurve (Punkt A 1), dh x 1 \u003d j (x 0) . Wenn wir die Konstruktion auf ähnliche Weise fortsetzen, haben wir eine unterbrochene Linie A 0, B 1, A 1, B 2, A 2 ..., für die die gemeinsamen Abszissen der Punkte eine sukzessive Annäherung x 1, x 2, . .., x n ("Leiter") zur Wurzel X*. Von Abb. 1.2.3-3a ist ersichtlich, dass der Prozess gegen die Wurzel der Gleichung konvergiert.

Betrachten Sie nun eine andere Form der Kurve y = j(x) (Abb. 1.2.6b). Die gestrichelte Linie A 0 , B 1 , A 1 , B 2 , A 2 ... hat dabei die Form einer "Spirale". In diesem Fall wird jedoch auch eine Konvergenz beobachtet.

Man sieht leicht, dass im ersten Fall die Ableitung die Bedingung 0 erfüllt< j’(x)< 1, а во втором случае производная j’(x)<0иj’(x)>-eines. Somit ist es offensichtlich, dass wenn |j'(x)|<1, то процесс итераций сходится к корню.

Betrachten Sie nun die Fälle, in denen |j'(x) |> 1. In Abb. 1.2.3-4a zeigt den Fall, wenn j'(x)>1, und in Abb. 1.2.3-4b - wenn j'(x)< -1. В обоих случаях процесс итерации расходится, то есть, полученное на очередной итерации значение х все дальше удаляется от истинного значения корня.

Möglichkeiten zur Verbesserung der Konvergenz des Iterationsprozesses. Betrachten Sie zwei Möglichkeiten zur Darstellung der Funktion j(x) beim Übergang von der Gleichung f(x) zu x=j(x).

1. Die Funktion j(x) sei in Umgebungen der Wurzel differenzierbar und monoton, und es gebe eine Zahl k £ |j‘(x)|, wobei k ³ 1 (d. h. der Prozess divergiert). Ersetzen wir die Gleichung x=j(x) durch ihre äquivalente Gleichung x=Y(x). ) , wo Y(x) = 1/j(x)(gehen wir weiter zur Umkehrfunktion). Dann

was bedeutet q=1/k< 1 и процесс будет сходиться.

2. Wir stellen die Funktion j(x) als j(x) = x - lf(x) dar, wobei l der Koeffizient ist , nicht gleich

Null. Damit der Prozess konvergiert, ist das notwendig
0<|j¢(x)| = |1 - lf¢(x)| < 1. Возьмем l= 2/(m 1 +M 1 ), wobei m 1 und M 1 die Minimal- und Maximalwerte von f'(x) sind (m 1 =min|f'(x)|, M 1 =max|f'(x)|) für хн, d.h. 0£ m 1 £ f¢(x) £ M 1 £1. Dann

und der Prozess konvergiert, hat die rekursive Formel die Form

Wenn f¢(x)< 0, то в рекуррентной формуле f(x) следует умножить на -1 .

Der Parameter λ kann auch durch die Regel bestimmt werden:

Wenn, dann, und wenn, dann, wo .

Das Schema des Algorithmus des Iterationsverfahrens ist in Abb. 1 dargestellt. 1.2.3-5.

Die ursprüngliche Gleichung f(x)=0 wurde in eine für Iterationen geeignete Form transformiert: Die linke Seite der ursprünglichen Gleichung f(x) und die Iterationsfunktion fi(x) im Algorithmus sind als separate Softwaremodule konzipiert.

Reis. 1.2.3-5. Algorithmusdiagramm der Iterationsmethode

Beispiel 1.2.3-2. Verfeinern Sie die Wurzel der Gleichung 5x – 8∙ln(x) – 8 =0 mit einer Genauigkeit von 0,1, die auf dem Intervall lokalisiert ist.

Wir bringen die Gleichung in eine für Iterationen geeignete Form:

Daher nehmen wir für den ungefähren Wert der Wurzel der Gleichung den Wert x 3 = 3,6892, der die erforderliche Genauigkeit der Berechnungen liefert. An diesem Punkt ist f(x 3) = 0,0027.

Akkord Methode

Geometrische Interpretation der Akkordmethode ist wie folgt
(Abb.1.2.3-8).

Zeichnen wir eine Gerade durch die Punkte A und B. Die nächste Annäherung x 1 ist die Abszisse des Schnittpunkts der Sehne mit der 0x-Achse. Lassen Sie uns die Gleichung eines geraden Liniensegments konstruieren:

Setzen wir y = 0 und finden den Wert x = x 1 (eine andere Annäherung):

Wir wiederholen den Berechnungsprozess, um die nächste Annäherung an die Wurzel zu erhalten - x 2 :

In unserem Fall (Abb. 1.2.11) und wird die Berechnungsformel der Akkordmethode aussehen

Diese Formel gilt, wenn Punkt b als Fixpunkt angenommen wird und Punkt a als erste Annäherung dient.

Betrachten Sie einen anderen Fall (Abb. 1.2.3-9), wenn .

Die Geradengleichung für diesen Fall hat die Form

Die nächste Näherung x 1 bei y = 0

Dann hat die rekursive Formel für die Methode der Akkorde für diesen Fall die Form

Zu beachten ist, dass für den Fixpunkt bei der Akkordmethode das Segmentende gewählt wird, für das die Bedingung f (x) ∙ f¢¢ (x)>0 erfüllt ist.

Wenn also der Punkt a als Fixpunkt genommen wird , dann wirkt x 0 = b als erste Annäherung und umgekehrt.

Ausreichende Bedingungen, die die Berechnung der Wurzel der Gleichung f(x)=0 unter Verwendung der Akkordformel gewährleisten, sind die gleichen wie bei der Tangentenmethode (Newton-Methode), aber anstelle der anfänglichen Annäherung wird ein Fixpunkt gewählt. Die Akkordmethode ist eine Modifikation der Newton-Methode. Der Unterschied besteht darin, dass die nächste Näherung bei der Newton-Methode der Schnittpunkt der Tangente mit der 0X-Achse ist, und bei der Akkordmethode – der Schnittpunkt der Sehne mit der 0X-Achse – die Näherungen zum Grundton hin konvergieren verschiedene Seiten.

Die Schätzung des Fehlers der Akkordmethode wird durch den Ausdruck bestimmt

(1.2.3-15)

Abbruchbedingung des Iterationsprozesses nach der Methode der Akkorde

(1.2.3-16)

Wenn M1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n - x n -1 | £ e.

Beispiel 1.2.3-4. Geben Sie die Wurzel der Gleichung e x - 3x = 0 an, getrennt auf einem Segment mit einer Genauigkeit von 10 -4 .

Prüfen wir die Konvergenzbedingung:

Daher sollte a=0 als Fixpunkt gewählt werden, und x 0 \u003d 1 sollte als erste Annäherung genommen werden, da f (0) \u003d 1> 0 und f (0) * f "(0)> 0 .

Berechnungsergebnisse, die mit der Formel erhalten wurden
1.2.3-14 sind in Tabelle 1.2.3-4 dargestellt.

Tabelle 1.2.3-4

Reis. 1.2.3-10. Schema des Algorithmus der Akkordmethode

Die nichtlineare Gleichung ist

1) algebraische oder transzendente Gleichung

2) algebraische Gleichung

3) trigonometrische Gleichung

4) transzendente gleichung

Thema 1.2. Methoden zum Lösen nichtlinearer Gleichungen

Formulierung des Problems

Wurzeltrennung

1.2.2.1. Grafische Trennung von Wurzeln

1.2.2.2. Analytischer Zweig der Wurzeln

Wurzelverfeinerung

1.2.3.1. Halbteilungsmethode

1.2.3.2. Iterationsmethode

1.2.3.3. Newton-Verfahren (Tangentenverfahren)

1.2.3.4. Akkord Methode

1.2.3.5. Vergleich von Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen

1.2.4. Testaufgaben zum Thema "Methoden zum Lösen nichtlinearer Gleichungen"

Formulierung des Problems

Eines der wichtigsten und häufigsten Probleme der mathematischen Analyse ist das Problem, die Wurzeln einer Gleichung mit einer Unbekannten zu bestimmen, die allgemein als f(x) = 0 dargestellt werden kann. Abhängig von der Form der Funktion f( x) werden algebraische und transzendente Gleichungen unterschieden. Algebraische Gleichungen heißen Gleichungen, in denen der Wert der Funktion f(x) ein Polynom n-ten Grades ist:

f (x) \u003d P (x) \u003d ein n x n + ein 2 x 2 + ... + ein 1 x + ein 0 \u003d 0. ( 1.2.1-1)

Jede nicht-algebraische Gleichung wird aufgerufen transzendente gleichung. Die Funktion f(x) in solchen Gleichungen ist mindestens eine der folgenden Funktionen: exponentiell, logarithmisch, trigonometrisch oder invers trigonometrisch.

Die Lösung der Gleichung f (x) \u003d 0 ist die Menge der Wurzeln, dh solche Werte der unabhängigen Variablen, für die sich die Gleichung in eine Identität verwandelt. Die genauen Werte der Wurzeln lassen sich jedoch nur für einige Arten von Gleichungen analytisch finden. Insbesondere können Formeln, die die Lösung einer algebraischen Gleichung ausdrücken, nur für Gleichungen nicht höher als vierten Grad erhalten werden. Es gibt noch weniger Möglichkeiten, eine exakte Lösung transzendentaler Gleichungen zu erhalten. Es ist zu beachten, dass das Problem, die genauen Werte der Wurzeln zu finden, nicht immer korrekt ist. Wenn also die Koeffizienten der Gleichung ungefähre Zahlen sind, kann die Genauigkeit der berechneten Werte der Wurzeln die Genauigkeit der ursprünglichen Daten sicherlich nicht überschreiten. Diese Umstände zwingen uns, die Möglichkeit in Betracht zu ziehen, die Wurzeln der Gleichung mit begrenzter Genauigkeit zu finden (ungefähre Wurzeln).

Das Problem, die Wurzel einer Gleichung mit einer gegebenen Genauigkeit ( > 0) zu finden, gilt als gelöst, wenn ein Näherungswert berechnet wird, der vom exakten Wert der Wurzel um nicht mehr als den Wert e abweicht

(1.2.1-2)

Der Prozess zum Finden der ungefähren Wurzel der Gleichung besteht aus zwei Schritten:

1) Trennung von Wurzeln (Lokalisierung von Wurzeln);

Gleichungen, die unbekannte Funktionen enthalten, die mit einer Potenz größer als eins potenziert werden, werden als nichtlinear bezeichnet.
Beispielsweise ist y=ax+b eine lineare Gleichung, x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 ist nichtlinear (im Allgemeinen als F(x)=0 geschrieben).

Ein System nichtlinearer Gleichungen ist die gleichzeitige Lösung mehrerer nichtlinearer Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen.

Es gibt viele Methoden Lösen nichtlinearer Gleichungen und Systeme nichtlinearer Gleichungen, die normalerweise in 3 Gruppen eingeteilt werden: numerisch, graphisch und analytisch. Analytische Methoden ermöglichen es, die genauen Werte der Lösung von Gleichungen zu bestimmen. Grafische Methoden sind am wenigsten genau, aber sie ermöglichen es, in komplexen Gleichungen die ungefährsten Werte zu bestimmen, aus denen Sie in Zukunft genauere Lösungen für die Gleichungen finden können. Die numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen beinhaltet das Durchlaufen zweier Stufen: die Trennung der Wurzel und ihre Verfeinerung auf eine bestimmte spezifizierte Genauigkeit.
Die Trennung der Wurzeln erfolgt auf verschiedene Weise: grafisch, mit verschiedenen spezialisierten Computerprogrammen usw.

Betrachten wir mehrere Methoden zum Verfeinern von Wurzeln mit einer bestimmten Genauigkeit.

Methoden zur numerischen Lösung nichtlinearer Gleichungen

Methode der Halbteilung.

Die Essenz der Halbteilungsmethode besteht darin, das Intervall in zwei Hälften zu teilen (с=(a+b)/2) und den Teil des Intervalls zu verwerfen, in dem es keine Wurzel gibt, d.h. Bedingung F(a)xF(b)

Abb.1. Verwenden der Methode der Halbteilung beim Lösen nichtlinearer Gleichungen.

Betrachten Sie ein Beispiel.

Teilen wir das Segment in 2 Teile: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0,5.
Ist das Produkt F(a)*F(x)>0, dann wird der Anfang des Segments a nach x (a=x) verlegt, ansonsten das Ende des Segments b zum Punkt x (b=x ). Wir teilen das resultierende Segment erneut in zwei Hälften usw. Alle Berechnungen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Abb.2. Tabelle der Berechnungsergebnisse

Als Ergebnis der Berechnungen erhalten wir unter Berücksichtigung der erforderlichen Genauigkeit den Wert x = -0,946

Akkord Methode.

Bei der Akkordmethode wird ein Segment angegeben, in dem es nur einen Grundton mit der angegebenen Genauigkeit e gibt. Durch die Punkte im Segment a und b, die die Koordinaten (x(F(a); y(F(b))) haben, wird eine Gerade (Sehne) gezogen, als nächstes die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Abszissenachse (Punkt z) bestimmt.
Wenn F(a)xF(z)

Abb. 3. Verwenden der Akkordmethode zum Lösen nichtlinearer Gleichungen.

Betrachten Sie ein Beispiel. Es ist notwendig, die Gleichung x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 innerhalb von e zu lösen

Im Allgemeinen sieht die Gleichung so aus: F(x)= x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5

Finden Sie die Werte von F(x) an den Enden des Segments:

F(-1) = -0,2 > 0;

Lassen Sie uns die zweite Ableitung F''(x) = 6x-0,4 definieren.

F''(-1)=-6,4
F''(0) = -0,4

An den Enden des Segments wird die Bedingung F(-1)F’’(-1)>0 beobachtet, daher verwenden wir zur Bestimmung der Wurzel der Gleichung die Formel:

Alle Berechnungen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Abb.4. Tabelle der Berechnungsergebnisse

Als Ergebnis der Berechnungen erhalten wir unter Berücksichtigung der erforderlichen Genauigkeit den Wert x = -0,946

Tangentenmethode (Newton)

Diese Methode basiert auf der Konstruktion von Tangenten an den Graphen, die an einem der Enden des Intervalls gezeichnet werden. Am Schnittpunkt mit der X-Achse (z1) wird eine neue Tangente gebaut. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis der erhaltene Wert mit dem gewünschten Genauigkeitsparameter e (F(zi) vergleichbar ist)

Abb.5. Anwendung der Tangentenmethode (Newton) zur Lösung nichtlinearer Gleichungen.

Betrachten Sie ein Beispiel. Es ist notwendig, die Gleichung x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 innerhalb von e zu lösen

Im Allgemeinen sieht die Gleichung so aus: F(x)= x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5

Lassen Sie uns die erste und zweite Ableitung definieren: F'(x)=3x^2-0.4x+0.5, F''(x)=6x-0.4;

F''(-1)=-6-0,4=-6,4
F''(0) = -0,4
Die Bedingung F(-1)F''(-1)>0 ist erfüllt, also erfolgt die Berechnung nach der Formel:

Wobei x0=b, F(a)=F(-1)=-0,2

Alle Berechnungen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Abb.6. Tabelle der Berechnungsergebnisse

Als Ergebnis der Berechnungen erhalten wir unter Berücksichtigung der erforderlichen Genauigkeit den Wert x = -0,946

Betrachten Sie das Problem, die Wurzeln der nichtlinearen Gleichung zu finden

Die Wurzeln von Gleichung (1) sind jene Werte von x, die es beim Ersetzen in eine Identität verwandeln. Nur für die einfachsten Gleichungen ist es möglich, eine Lösung in Form von Formeln zu finden, d.h. analytische Form. Häufiger ist es notwendig, Gleichungen durch Näherungsverfahren zu lösen, von denen im Zusammenhang mit dem Aufkommen von Computern numerische Verfahren am weitesten verbreitet sind.

Der Algorithmus zum Finden von Wurzeln durch Näherungsverfahren kann in zwei Stufen unterteilt werden. Zunächst wird die Lage der Wurzeln untersucht und deren Trennung durchgeführt. Es gibt einen Bereich, in dem es eine Wurzel der Gleichung oder eine erste Annäherung an die Wurzel x 0 gibt. Der einfachste Weg, dieses Problem zu lösen, besteht darin, den Graphen der Funktion f(x) zu untersuchen. Um es zu lösen, müssen im Allgemeinen alle Mittel der mathematischen Analyse eingesetzt werden.

Die Existenz mindestens einer Nullstelle von Gleichung (1) auf dem gefundenen Intervall folgt aus der Bolzano-Bedingung:

f(a)*f(b)<0 (2)

Es wird auch angenommen, dass die Funktion f(x) auf dem gegebenen Segment stetig ist. Diese Bedingung beantwortet jedoch nicht die Frage nach der Anzahl der Wurzeln der Gleichung in einem bestimmten Intervall. Ergänzt sich die Forderung nach der Stetigkeit der Funktion mit der Forderung nach ihrer Monotonie, und folgt diese aus der Vorzeichenkonstanz der ersten Ableitung, so können wir die Existenz einer eindeutigen Wurzel auf einem gegebenen Segment behaupten.

Beim Lokalisieren von Wurzeln ist es auch wichtig, die grundlegenden Eigenschaften dieser Art von Gleichung zu kennen. Erinnern Sie sich zum Beispiel an einige Eigenschaften algebraischer Gleichungen:

wo sind reelle koeffizienten.

• a) Eine Gleichung vom Grad n hat n Wurzeln, unter denen es sowohl reelle als auch komplexe geben kann. Komplexe Wurzeln bilden komplexe konjugierte Paare, und daher hat die Gleichung eine gerade Anzahl solcher Wurzeln. Für einen ungeraden Wert von n gibt es mindestens eine reelle Wurzel.
• b) Die Anzahl der positiven reellen Wurzeln ist kleiner oder gleich der Anzahl der variablen Vorzeichen in der Koeffizientenfolge. Wenn Sie in Gleichung (3) x durch -x ersetzen, können Sie die Anzahl der negativen Wurzeln auf die gleiche Weise abschätzen. Iteration Newton Dichotomie nichtlinear

In der zweiten Stufe des Lösens von Gleichung (1) wird unter Verwendung der erhaltenen anfänglichen Annäherung ein iterativer Prozess konstruiert, der es ermöglicht, den Wert der Wurzel mit einer gewissen vorbestimmten Genauigkeit zu verfeinern. Der iterative Prozess besteht in der sukzessiven Verfeinerung der anfänglichen Annäherung. Jeder dieser Schritte wird Iteration genannt. Als Ergebnis des Iterationsprozesses wird eine Folge von Näherungswerten der Wurzeln der Gleichung gefunden. Nähert sich diese Folge mit wachsendem n dem wahren Wert der Wurzel x, dann konvergiert der Iterationsprozess. Man sagt, dass ein iterativer Prozess gegen mindestens die Ordnung m konvergiert, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:

wobei С>0 eine Konstante ist. Ist m=1, so spricht man von Konvergenz erster Ordnung; m=2 - ungefähr quadratisch, m=3 - ungefähr kubische Konvergenz.

Die iterativen Zyklen enden, wenn für einen gegebenen zulässigen Fehler die Kriterien für absolute oder relative Abweichungen erfüllt sind:

oder die Kleinheit des Residuums:

Diese Arbeit widmet sich der Untersuchung eines Algorithmus zur Lösung nichtlinearer Gleichungen unter Verwendung der Newton-Methode.

Abteilung: ASOIiU

Labor arbeit

Zum Thema: DIE WURZEL EINER NICHTLINEAREN GLEICHUNG FINDEN. METHODEN ZUR LÖSUNG EINES SYSTEMS VON NICHTLINEAREN GLEICHUNGEN

Moskau, 2008

DIE WURZEL EINER NICHTLINEAREN GLEICHUNG FINDEN

1. Problemstellung

Gegeben sei eine Funktion, die zusammen mit ihren mehreren Ableitungen stetig ist. Es ist erforderlich, alle oder einige reelle Wurzeln der Gleichung zu finden

Diese Aufgabe ist in mehrere Teilaufgaben unterteilt. Zunächst ist es notwendig, die Anzahl der Wurzeln zu bestimmen, ihre Art und Lage zu untersuchen. Zweitens finden Sie die ungefähren Werte der Wurzeln. Wählen Sie drittens daraus die für uns interessanten Wurzeln aus und berechnen Sie diese mit der erforderlichen Genauigkeit, z. Die erste und zweite Aufgabe werden in der Regel durch analytische oder graphische Methoden gelöst. In dem Fall, in dem nur die reellen Wurzeln von Gleichung (1) gesucht werden, ist es nützlich, eine Tabelle mit Funktionswerten zusammenzustellen. Wenn die Funktion in zwei benachbarten Knoten der Tabelle unterschiedliche Vorzeichen hat, dann liegt zwischen diesen Knoten eine ungerade Anzahl von Wurzeln der Gleichung (mindestens eine). Wenn diese Knoten nahe beieinander liegen, liegt höchstwahrscheinlich nur eine Wurzel zwischen ihnen.

Die gefundenen Näherungswerte der Wurzeln können mit verschiedenen iterativen Verfahren verfeinert werden. Betrachten wir drei Methoden: 1) die Methode der Dichotomie (oder Teilen des Segments in zwei Hälften); 2) einfaches Iterationsverfahren und 3) Newton-Verfahren.

2. Methoden zur Lösung des Problems

2.1 Verfahren zum Teilen eines Segments in zwei Hälften

Das einfachste Verfahren zum Finden der Wurzel der nichtlinearen Gleichung (1) ist das Halbteilungsverfahren.

Auf der Strecke sei eine stetige Funktion gegeben.Haben die Werte der Funktion an den Enden der Strecke unterschiedliche Vorzeichen, d.h. dann bedeutet dies, dass es innerhalb des gegebenen Segments eine ungerade Anzahl von Wurzeln gibt. Lassen Sie für die Bestimmtheit nur eine Wurzel haben. Die Essenz des Verfahrens besteht darin, die Länge des Segments bei jeder Iteration zu halbieren. Wir finden die Mitte des Segments (siehe Abb. 1) Berechnen Sie den Wert der Funktion und wählen Sie das Segment aus, auf dem die Funktion ihr Vorzeichen ändert. Teilen Sie das neue Segment wieder in zwei Hälften. Und wir setzen diesen Prozess fort, bis die Länge des Segments gleich dem vorbestimmten Fehler bei der Berechnung der Wurzel e ist. Die Konstruktion mehrerer sukzessiver Approximationen nach Formel (3) ist in Abbildung 1 dargestellt.

Also, der Algorithmus der Dichotomie-Methode:

1. Abstand und Fehler einstellen e.

2. Wenn f(a) und f(b) die gleichen Vorzeichen haben, gib eine Meldung aus, dass die Nullstelle nicht gefunden werden kann, und stoppe.

Abb.1. Das Verfahren zum Halbieren eines Segments zum Lösen einer Gleichung der Form f(x)=0.

3. Andernfalls berechnen Sie c=(a+b)/2

4. Wenn f(a) und f(c) unterschiedliche Vorzeichen haben, setze b=c, andernfalls a=c.

5. Wenn die Länge des neuen Segments ist, dann berechne den Wert der Wurzel c=(a+b)/2 und höre auf, andernfalls gehe zu Schritt 3.

Da die Länge des Segments in N Schritten um 2 N-mal reduziert wird, wird der angegebene Fehler beim Finden der Wurzel e in Iterationen erreicht.

Wie zu sehen ist, ist die Konvergenzrate niedrig, aber die Vorteile des Verfahrens beinhalten Einfachheit und bedingungslose Konvergenz des iterativen Prozesses. Wenn das Segment mehr als eine Wurzel enthält (aber eine ungerade Zahl), dann wird immer eine gefunden.

Kommentar. Zur Bestimmung des Intervalls, in dem die Wurzel liegt, ist eine zusätzliche Analyse der Funktion erforderlich, die entweder auf analytischen Schätzungen oder auf der Verwendung eines grafischen Lösungsverfahrens basiert. Es ist auch möglich, eine Suche nach Funktionswerten an verschiedenen Stellen zu organisieren, bis die Vorzeichenwechselbedingung der Funktion erfüllt ist

2.2 Einfaches Iterationsverfahren

Bei Anwendung dieser Methode muss die ursprüngliche nichtlineare Gleichung (1) in die Form umgeschrieben werden

Lassen Sie uns die Wurzel dieser Gleichung als C * bezeichnen. Sei die anfängliche Näherung der Wurzel bekannt. Durch Einsetzen dieses Werts in die rechte Seite von Gleichung (2) erhalten wir eine neue Annäherung

usw. Für den (n+1)-Schritt erhalten wir die folgende Näherung

(3)

Somit erhalten wir gemäß Formel (3) eine Folge Ñ 0 , Ñ 1 ,…,Ñ n +1 , die bei n®¥ zur Wurzel Ñ * strebt. Der iterative Prozess stoppt, wenn die Ergebnisse zweier aufeinanderfolgender Iterationen nahe beieinander liegen, d. h. die Bedingung

(4)

Untersuchen wir die Bedingung und Konvergenzrate der Zahlenfolge (C n ) für n®¥. Erinnern Sie sich an die Definition der Konvergenzrate. Eine Folge (C n ), die gegen den Grenzwert С * konvergiert, hat eine Konvergenzrate der Ordnung a, wenn für n®¥ die Bedingung gilt

Nehmen wir an, es hat eine stetige Ableitung, dann lässt sich der Fehler beim (n+1)-ten Iterationsschritt e n +1 = C n +1 – C * = g(C n) – g(C *) darstellen als Serie

e n+1 » C n+1 – C * = g¢(C *) (C n -C *) +¼@ g¢(C *) e n +¼

Das erhalten wir also unter der Bedingung

çg¢(C *) ç<1(6)

Folge (3) konvergiert mit einer linearen Geschwindigkeit a=1 zur Wurzel. Bedingung (6) ist eine Bedingung für die Konvergenz des einfachen Iterationsverfahrens. Offensichtlich hängt der Erfolg der Methode davon ab, wie gut die Funktion gewählt ist.

Um beispielsweise die Quadratwurzel zu ziehen, d. H. Eine Gleichung der Form x \u003d a 2 zu lösen, können Sie setzen

x \u003d g 1 (x) \u003d a / x (7a)

x=g 2 (x)=(x+a/x)/2.(7b)

Es ist leicht, das zu zeigen

½g 1" (C)½=1,

½g 2" (C)½<1.

Somit konvergiert der erste Prozess (7a) überhaupt nicht, während der zweite (7b) für jede anfängliche Näherung C 0 > 0 konvergiert.

Reis. 2. Grafische Interpretation der Methode einfacher Iterationen zur Lösung einer Gleichung der Form x=g(x).

Konstruktion mehrerer sukzessiver Approximationen nach Formel (3)

Ñ ​​0 , Ñ 1 , …, Ñ n = C *

in Abbildung 2 gezeigt.

2.3 Newtonsche Methode

In der Literatur wird dieses Verfahren oft als Tangentenverfahren bezeichnet, ebenso wie Linearisierungsverfahren. Wir wählen die erste Näherung С 0 . Nehmen wir an, dass die Abweichung С 0 vom wahren Wert der Wurzel С * klein ist, dann erhalten wir, wenn wir f(C *) in eine Taylor-Reihe am Punkt С 0 erweitern

f(C *) = f(C 0) + f¢(C 0) (C * -C 0) +¼(8)

Wenn f¢(C 0) ¹ 0 , dann können wir uns in (8) auf lineare Terme in DC =C-C 0 beschränken. Unter Berücksichtigung von f(C *)=0 können wir aus (9) die folgende Näherung für die Wurzel finden

C 1 \u003d C 0 - f (C 0) / f ¢ (C 0)

oder für die (n+1)-te Näherung

C n+1 = C n – f (C n) / f ¢(C n) (9)

Um den iterativen Prozess zu beenden, kann eine von zwei Bedingungen verwendet werden

çC n +1 – C n ç

çf(C n +1) ç

Die Untersuchung der Konvergenz des Newton-Verfahrens wird ähnlich wie im vorherigen Fall durchgeführt. Erhalten Sie dies unabhängig unter der Bedingung

½f"(C)/2f"(C)½<1.

Das Newton-Verfahren hat eine quadratische Konvergenzrate ().

Reis. 3. Graphische Interpretation des Newton-Verfahrens zum Lösen einer Gleichung der Form f(x)=0.

Konstruktion mehrerer sukzessiver Approximationen nach Formel (9)

Ñ ​​0 , Ñ 1 , …, Ñ n = C *

in Abbildung 3 gezeigt.

1. Für eine gegebene Funktion f(x)

Bestimmen Sie die Anzahl der reellen Wurzeln der Gleichung f(x)=0, ihre Position und ungefähre Werte (erstellen Sie ein Diagramm oder drucken Sie eine Wertetabelle).

· Berechnen Sie eine der gefundenen Nullstellen (beliebig) mit einer Genauigkeit von e=0,5*10 -3 .

Verwenden Sie für Berechnungen die Methode, das Segment in zwei Hälften zu teilen (bestimmen Sie die Anzahl der Iterationen), und finden Sie dann dieselbe Wurzel mithilfe der Newton-Methode (bestimmen Sie auch die Anzahl der Iterationsschritte).

Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse.

Aufgabenoptionen

1.x3 –3x 2 +6x – 5 = 0 2.x3 +sinx –12x-1=0

3. x 3 –3x 2 –14x – 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 =0

5. x 2 +4sin x -1 = 0 6. 4x -ln x = 5

7. x 6 –3x 2 +x – 1 = 0 8. x 3 – 0,1x 2 +0,3x –0,6 = 0

9.10. (x -1) 3 + 0,5e x = 0

11.12.x5 -3x2 + 1 = 0

13. x 3 -4x 2 -10x -10 = 0 14.

15. 16.

19. 20.

23. 24. x 4 - 2,9 x 3 + 0,1 x 2 + 5,8 x - 4,2 = 0

25.x4 +2.83x3 - 4.5x2 -64x-20=0 26.

METHODEN ZUR LÖSUNG EINES SYSTEMS VON NICHTLINEAREN GLEICHUNGEN

1. Formulierung des Problems

Es soll ein System von n nichtlinearen Gleichungen gelöst werden:

(1)

Es gibt keine direkten Methoden zur Lösung von System (1). Nur in einigen Fällen kann dieses System direkt gelöst werden. Beispielsweise ist es im Fall von zwei Gleichungen manchmal möglich, eine unbekannte Variable durch eine andere auszudrücken und so das Problem auf die Lösung einer nichtlinearen Gleichung in Bezug auf eine Unbekannte zu reduzieren.

Das Gleichungssystem (1) lässt sich kurz in Vektorform schreiben:

. (2)

Gleichung (2) kann eine oder mehrere Wurzeln in der Domäne D haben. Es ist erforderlich, die Existenz der Wurzeln der Gleichung festzustellen und die ungefähren Werte dieser Wurzeln zu finden. Zum Finden der Nullstellen werden üblicherweise iterative Verfahren verwendet, bei denen die Wahl der Anfangsnäherung von grundlegender Bedeutung ist. Die anfängliche Annäherung ist manchmal aus physikalischen Überlegungen bekannt. Bei zwei Unbekannten kann die erste Näherung grafisch gefunden werden: Zeichnen Sie die Kurven f 1 (x 1 , x 2)=0 und f 2 (x 1 , x 2)=0 auf die Ebene (x 1 , x 2 ) und finden Sie ihre Schnittpunkte. Für drei oder mehr Variablen (sowie für komplexe Wurzeln) gibt es keine zufriedenstellenden Möglichkeiten, die anfängliche Näherung auszuwählen.

Betrachten wir zwei iterative Hauptverfahren zum Lösen des Gleichungssystems (1), (2) - das einfache Iterationsverfahren und das Newton-Verfahren.

2. Methoden zum Lösen eines Systems nichtlinearer Gleichungen

2.1 Einfaches Iterationsverfahren

Stellen wir System (1) in der Form dar

(3)

oder in Vektorform:

(4)

Der Algorithmus des einfachen Iterationsverfahrens ist wie folgt. Wir wählen eine Nullnäherung

Die nächste Näherung ergibt sich aus den Formeln:

oder genauer:

(5)

Der iterative Prozess (5) wird fortgesetzt, bis die Änderungen aller Unbekannten in zwei aufeinanderfolgenden Iterationen klein werden, d. h.

In der Praxis wird statt der letzten Bedingung oft die Ungleichung verwendet:

(6)

wo ist die rms-Norm eines n-dimensionalen Vektors , d.h.

Bei der Verwendung dieser Methode wird der Erfolg weitgehend durch eine gute Wahl der anfänglichen Näherung bestimmt: Sie sollte nahe genug an der wahren Lösung liegen. Andernfalls konvergiert der iterative Prozess möglicherweise nicht. Wenn der Prozess konvergiert, dann ist seine Konvergenzrate linear.

2.2. Newtons Methode

In der übersetzten Literatur findet man den Namen Newton-Raphson-Methode. Dieses Verfahren konvergiert viel schneller als das einfache Iterationsverfahren.

Lassen Sie eine Annäherung an die Wurzel bekannt sein, damit

Dann lässt sich das ursprüngliche System (2) wie folgt schreiben:

Entfaltet man Gleichung (7) in eine Taylorreihe in der Nähe des Punktes und beschränkt sich auf lineare Terme in der Abweichung , erhält man:

oder in Koordinatenform:

(8)

System (8) kann umgeschrieben werden als:

(9)

Das resultierende System (9) ist ein System linearer algebraischer Gleichungen bezüglich Inkrementen

Die Werte der Funktionen F 1 , F 2 , …, F n und ihrer Ableitungen in (9) werden zu berechnet

.

Die Determinante von System (9) ist das jakobinische J:

(10)

Für die Existenz einer eindeutigen Lösung des Gleichungssystems (9) muss sie von Null verschieden sein. Nachdem wir das System (9) zum Beispiel durch das Gauß-Verfahren gelöst haben, finden wir eine neue Näherung:

.

Wir prüfen Bedingung (6). Wenn es nicht erfüllt ist, finden wir auch die Jacobi-Zahl (10) mit einer neuen Näherung und lösen erneut (9), also finden wir die 2. Näherung, und so weiter.

Iterationen stoppen, sobald Bedingung (6) erfüllt ist.

Finden Sie mit der Newton-Methode Lösungen für ein System nichtlinearer Gleichungen mit einer bestimmten Genauigkeit. Untersuchen Sie die Konvergenz des iterativen Prozesses.

Aufgabenoptionen

1 2

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13 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.